（物理电子学专业论文）低气压氩射频感应放电计算模型的探讨.pdf

摘要 低气压射频感应放电在最近几年得到了科研人员越来越多的青睐，这主要 是因为这种放电在照明业、等离子体辅助加工等很多领域呈现出新的优点，具有 。 广阔的应用前景。这些新的应用推动了对射频感应放电机理的研究，同时，对放 电现象的深入研究也必将为射频感应等离子体的新应用提供强有力的理论支持。 本文分析了低气压射频感应放电的基本过程，采用流体方程描述带电粒子 的平衡和电子能量平衡，通过放电中电子吸收功率密度将电磁场波动方程和流体 方程耦台起来，数值计算耦合方程组可以得到电场分布和等离子体参数。采用传 统的描述射频感应放电的变压器模型，从实验测量的线圈电流得到放电功率，从 而给出电磁场的边界条件。在射频工作条件下经典的电导率方程往往不能正确地 描述实际情况，所以求解电磁场波动方程时使用的电导率将通过动力学公式推导 出来。计算和实验中采用氩气作为放电物质，放电气压为一乇，在这个气压下可 以忽略非局部加热的影响。在第一步工作中我们首先求解波动方程和流体方程 组，与g l o b a l 模型的结果比较，我们的结果比较理想，并且给出了更详尽的结 果。功率吸收密度的最大值位置偏向等离子体边缘处，这样的结构将有助于提高 发光效率。电场轮廓反映出放电中存在的趋肤效应，但这个效应在我们的放电条 件下还不很显著。 关键词：低气压射频感应放电放电参数无极灯 a b s t r a c t i nt h el a s tf e w y e a r st h e r ew a sas t e a d i l yi n c r e a s i n gi n t e r e s t i nl o wp r e s s u r er f i n d u c t i v ed i s c h a r g e s ，b e c a u s et h i sl d n do fd i s c h a r g e sh a v em a n yf e a t u r e st h a tm a k e t h e ma t t r a c t i v ei n a p p l i c a t i o nf i e l d s ，s u c h a si n l i g h t i n gi n d u s t r y a n dp l a s m a a i d p r o c e s s i n g ，t h e i rg r e a tp r o s p e c t i n a p p l i c a t i o np r o p e l s t h es t u d i e s o fd i s c h a r g e t h e o r i e s ， i nt h i sa r t i c l et h eb a s i c p h y s i c a lp r o c e s s e s i nr fi n d u c t i v e d i s c h a r g e w e r e d i s c u s ；菇da n dt h ef l u i de q u a t i o n sw e r eu s e dt od e s c r i b et h ec h a r g e dp a r t i c l eb a l a n c e a n de l e c t r o ne n e r g yb a l a n c e t h ef l u i de q u a t i o n sw e en u m e r i c a l l yr e s o l v e dc o u p l e d w i t ht h ee l e c t r o m a g n e t i cw a v e e q u m i o nt h r o u g h a b s o r b e dp o w e r b ye l e c t r o n s ，a n dt h e e l e c t r i cf i e l dp r o f i l ea n dp l a s m ap m - a r n e t e r sw e r eg i v e n t h et r a d i t i o n a lt r a n s f o r m e r m o d e lf o ri n d u c t i v e d i s c h a r g e s w a su s e dt o g i v e t h ew a v ee q u a t i o n b o u n d a r y c o n d i t i o nf r o mt h ec o i lc u r r e n tm e a s u r e d t h ec l a s s i c a le l e c t r i c a ic o n d u c t i v i t yf o r m u l a i sn o ts u i t a b l ef o rc o n l n l o nr fi n d u c t i v ed i s c h a r g e s ，s ot h ed y n a m i ce l e c t r i c a l c o n d u c t i v i t yf o r m u l aw a su s e di n o u rc a l c u l a t i o n t h ec a l c u l a t i o na n de x p e r i m e n t w e r ec a r r i e do u tf o ra ni n d u c t i v ed i s c h a r g ei nt h ec y l i n d r i c a lc o n f i g u r a t i o nw i m1 t o r r a r g o n a st h ef i l l i n g s c o m p a r e dw i t ht h er e s u l t sf r o mg l o b a lm o d e l ，w eo b t a i n e dm o r e d e m i l e dr e s u l t sc a l c u l a t e dw i t h o u tt h ea s s u m p t i o n su s e di ng l o b a lm o d e l t h e p o s i t i o no ft h em a x i m a lp o w e rd e n s i t yt e n d st o t h ep l a s m ab o u n d a r y , a n ds u c ha p r o f i l e w i l l h e l pt oi m p r o v et h el u m i n o u se f f i c i e n c y t h e a z i m u t h a le l e c t r i cf i e l d p r o f i l er e f l e c t st l es k i ne f f e c t ，w h i c hu n d e r o u r d i s c h a r g ec o n d i t i o n si sn o ta sn o t a b l e a si nt h el i t e r a t u r e k e y w o r d s ：l o w p r e s s u r ei n d u c t i v ed i s c h a r g e s ；d i s c h a r g ep a r a m e t e r s ； e l e c t r o d e l e s sl a m p s 3 引言 对射频( r f ) 感应放电( 即感应耦合等离子体i o p ) 的机理的研究工作从其被 发现【啦! 以来已经持续了一个多世纪的时间。由于其特有的性质，这种放电等离 子体在很多领域中都得到了广泛应用。在不同的应用当中，射频感痤耦合放电的 条件可以有很大的不同，尤其是放电的气压，可以从几r e t o r t 到几个大气压。高 气压射频感应放电产生的是接近平衡态的等离子体【引。对高气压感应放电较早就 有了比较深入的研究【4 4 】，这种放电在光谱化学分析、等离子体辅助化学合成和 晶体生长等领域得到了广泛应用。低气压感应放电产生的是非热平衡等离子体， 这种等离子体已被用作粒子加速器离子源和空间推动器【8 】。低气压射频感应放电 在近十几年又得到了科研人员更多的青睐，这主要是因为这种放电在照明业【9 ，如j 和等离子体辅助加工【“l 等领域呈现出很多新的优点。采用射频感应放电的无极放 电灯，其长寿命高效率的特点已使这种新型光源得到了日益广泛的应用。由于在 较低的气压下能够提供较大的等离子体浓度，同时等离子体的产生和离子能量的 能够分别控制，并可根据需要设计成大面积高均匀性的等离子体源，低气压射频 感应放电在材料处理和高科技微加工等领域中拥有非常广阔的应用前景。正是当 前低气压射频放电在诸多领域越来越广泛的应用，使得对这种放电现象的机理研 究越来越深入和广泛。 本文的工作将着重于低气压射频感应放电等离子体的模型的探讨。 一、背景知识和理论基础 1 射频感应放电及其在电光源中的应用 射频感应放电又被称为h 放电f 1 2 1 ，是通过感应线圈中的射频电流维持的放 电。交变电流流过线圈时会产生时变磁场，时变磁场进一步会产生一个射频电场， 放电就是在这个电场维持下进行。这个电场是与感应线圈相平行的环形电场，所 以等离子体中的电流也与线圈平行。正是因为有这样的放电结构，射频感应放电 常常被类比为一个变压器 1 3 , 1 4 ，感应线圈被视作变压器的初级，放电电流被视作 变压器次级，次级的线圈只有一匝。在不同的应用场合，采用的放电腔和感应线 圈的几何形状会有较大差别。图l 给出的是在电光源和等离子体加工中常用的几 种放电系统的示意图。在电光源领域中常用的是( a ) ( b ) 两种配置，在等离子体加 工中常用的是( a ) ( c ) ( d ) 配置。 ( a ) ：r 2 ( b ) r 4j 融j i i 等7 暂千体 ；一内置线圈( d ： q 皤目n 目嘲q 脚蛾h h 嘲瑚* l * i l ￥h 图1 几种常见的射频感应耦合放电几何配置 气体放电灯的寿命和产品设计通常都受到电极发射材料的限制。无极放电 灯不需电极，所以灯的寿命可以很长，由电极而给光源设计带来的局限性也被消 除。应用广泛的一类无极灯是低气压感应放电灯。射频感应放电被应用于无极放 电灯已有1 0 0 多年的历史。随着高频电源技术的发展，近十几年感应放电灯得到 了蓬勃发展。1 9 9 1 年m a t s u s h i t a 推出了e v e r l i i g h t 无极灯，结构类似图一中( a ) 的 情况，线圈绕在灯壳外面。同年p h i l i p s 发布了自己的产品q l 感应灯，1 9 9 4 年 g e 公司也推出了g e n u r a 紧凑型无极灯。这两种产品的结构如图2 ( a ) ( b ) 所示，感 应线圈位于灯内的凹腔里面，以解决电磁污染问题。o s r a m 推出的工作在 o 2 5 m h z 的无极荧光灯e n d u r a ( 图2 c ) 实现了减少电磁干扰和控制电源成本的 目的。感应无极灯的迅速发展激励了对射频感应放电的深入研究。 射频发生器 能量祸台棒岍包 ( a ) 图2 几种常见的感应无极灯示意图 2 射频感应放电的理论模型 基于变压器的观点【1 3 1 4 1 ，p i e j a k 等 1 5 】将射频感应放电的外部电参数与放电等 离子体的内部电参数联系起来，清晰地给出了用变压器模型分析射频感应放电的 方法。外部电参数主要是线圈电流、线圈电压和外加功率，内部电参数主要是等 离子体的空间平均电流、电压和阻抗等。采用变压器模型来分析低气压射频感应 放电，如果已经实验测量得到了外部的电参量，通过简单的变换，就可以得到等 离子体内部的平均放电参量值。这是变压器模型的一个显著的优点，也就是说， 不必求解m a x w e l l 方程组，也不必假定等离子体浓度分布轮廓和等离子体加热机 制，只需利用变压器的电路分析原理，就能够得到放电自身的平均放电参量和放 电的吸收功率系数。同时，由于避免了考察放电的细节过程，变压器模型适用于 不同的放电几何形状。p i e j a k 等已经指出，变压器模型也可以与其他的放电模 型结合起来，构建射频感应放电模型。在我们的计算也引入了变压器模型。对变 压器模型的具体说明和使用将在下一节中适当的地方给出。 对于射频感应放电内部参数的计算和放电模型的研究从这种放电被发现到 目前一直在进行当中。t h o m s o n 6 1 是最早观察研究射频感应放电的先驱之，他 假定等离子体是均匀的，计算了电磁场分布并给出等离子体电导率平均值 孑。= p 2 磊。肺。v 。，一g 。是均匀电子密度，是电子中性粒子碰撞频率。e c k e r t 【4 】 采用了t h o m s o n 的电磁场模型，先假定均匀的电子浓度以计算电磁场，然后采 用s c k o t t k y 正柱理论给出的零阶贝塞尔函数分布的电予浓度1 ”，计算了放电的 吸收功率和阻抗。h e n r i k s e n 等f 】8 】假定了抛物线形的电子浓度分布并闭合求解了 电磁场。d e n n e m a n 1 9 】又假定了零阶贝塞尔轮廓的电子浓度分布，数值方法求解 了麦克斯韦方程组。d e n n e m a n 的工作只是针对图1 中( a ) 的放电情况，对于( b ) 的放电情况，l i s t e r 等扩展了d e n n e m a n 的方法，通过数值求解麦克斯韦方程 组和电子扩散方程，得到了任意电子浓度分布情况下的电场分布和功率密度的相 对分布轮廓，计算时仍然假定了均匀电子温度并忽略了逐次电离。这些模型【”珈1 当中都采用了零电子浓度的边界条件。 上面的几种模型都引入了一定的假定条件，或者规定了分布轮廓，或者忽 略了一些对浓度分布会造成影响的因素。如果要在模型中避免引入这些假定，就 要采用动力学模型或流体模型口1 j 甜。动力学模型通常采用b o l t z m a n n 输运方程或 m o n t ec a r l o 方法1 2 3 】，动力学模型最显著的优点是能够给出自恰的电子能量分布 函数( e e d f ) 。当电子能量分布明显偏离麦克斯韦分布时，采用动力学模型考虑 电子能量分布和其他非线性影响是非常重要的。但动力学模型的计算非常费时， 计算效率很低。流体模型相对动力! 学模型比较简单，如果电子能量分布很接近麦 克斯韦分布或通过实验等方法得到了电子能量分布，通常可以直接采用流体模型 迸行等离子体的模型计算。流体模型是通过b o l t z m a n n 矩方程构建的。在实际建 模中常常用迁移扩散条件来代替其中的动量平衡方程，这样可将问题简化。如果 放电中电子浓度和离子的差别不可忽略，在动力学模型和流体模型中必须引入泊 松方程才能得到浓度、温度和空间场的自洽解。采用动力学模型和流体模型可以 方便地使用比零边界条件更严格的边界条件【2 4 】，例如带电粒子在鞘层边缘的流 体速度满足b o h m 速度。我们将采用了流体模型，并假定电子和离子速度是相等 的，即空间各处都满足电中性条件，同时也采用迁移扩散条件代替动量平衡方程。 在我们研究的工作气压范围里，电子能量分布偏离麦克斯韦分布不是很明显( 25 1 ， 所以我们在目前的工作中直接采用麦克斯韦分布下得到的速率系数，并用采用麦 克斯韦分布计算电导率。 g l o b a l 模型【2 6 1 通过假定均匀的电子浓度和温度；从能量平衡和粒子平衡出 发可以求出电子的浓度和温度。然后再假定电子浓度的轮廓，可以进一步求解电 磁场和电流密度轮廓。这是一种快速简便的模拟等离子体的方法，但需要假定电 子轮廓才能求解电磁场方程。 要改进感应放电灯的设计、开发新型产品，就需要对这种感应放电的物理 过程有深入详尽的了解。除了通常用来描述等离子体的重要参量，例如电子浓度 电子温度，还要考察放电的发光性质。因此除了用流体矩方程描述等离子体外， 还需要引入考察激发态原子浓度的速率方程。综合分析这些方程，可以构建起描 述射频感应放电的碰撞辐射模型。 3 流体模型中的相关问题 通常情况下流体模型将忽略放电的非局部效应和电子的动力学影响，而只 考虑局部作用。但在射频感应放电中，在一定工作条件下非局部电子加热 2 5 , 2 7 2 9 1 和电子的动力学影响 3 0 , 2 5 1 是非常显著的，这时就必须将这些因素考虑到流体模型 中。 在高频放电中存在两种不同的加热机制l 。一种是焦耳加热，电子通过与 中性原子的碰撞而被电场加热，此时电场和电流的关系是局部的，即 j ( r ) = 盯( ，) e ( r ) 。当电子的平均自由程很小，可以与电场的空间不均匀尺度相比 或更大时，将会发生非局部加热。发生非局部加热时，电子在一个电场震荡周期 里可以运动相当大的距离，v 。8 m ，v 。是电子平均速度，占是电场不均匀空 间尺度或趋肤深度，是电磁场频率。这样电子就可以从电场区域获得能量。在 非局部电子加热为主的放电中，射频电流电场的分布不再是单调的，电子能量分 布也会受非局部加热的影响而发生很大变化 3 1 - 3 2 】。在我们当前选择的工作气压下 ( - 1 t o r t ) ，非局部加热频率已经远小于电子中性原子碰撞频率，因此计算电导 率时我们将忽略非局部加热频率v 。= 一v e 4 8 【29 1 。将研究的气压范围扩展到更低的 气压范围并考虑非局部加热将是我们下一步的工作。 等离子体电导率是流体模型中采用的一个基本参量。电导率通过欧姆定律 将局部电流和局部电场联系起来。在高频放电中通常采用的电导率经典表达式为 盯= l , le 2 l i r a 。( v 。+ j c o ) 】，e 为电子基本电量，m 。为电子质量，n 。为电子浓度，v ， 为电子碰撞频率，6 9 为电磁场频率。这个经典表达式只有在电子碰撞频率与电 子速度无关的情况下才是严格成豆的。在这种情况下等离子体电阻r e p ：1 ) 与频 率无关，等离子体电抗i m p ：1 ) 完全取决于电子惯性而与电子碰撞频率无关。 如果电子的碰撞频率与速度的依赖关系不能忽略，但甜满足足够高的条件 ( 功2 v ；) ，将也关于电子能量分布函数取适当平均，经典表达式仍然可以作 为一种理想的近似，很多文献都采用了这个高频极限条件f 1 9 , 2 0 , 2 9 。袒这个高频极 限条件在射频感应放电中在通常的工作条件下被证明是不正确的，而电子碰 撞频率通常也与电子速度相关，所以应该采用动力学方程f 3 3 】的电导率形式。电 子碰撞的影响将被同时包含在等离子体电导率实部和虚部当中。在惰性气体中， 由于电子碰撞频率存在显著的冉绍尔最小值，采用动力学方程尤其重要。在动力 学模型中这个问题自然就被包含在动力学方程自身中。但采用流体模型时，就必 须引入电导率的动力学方程加以修正。关于电导率的计算，具体说明将放在下一 部分相应的地方给出。 4 我们的工作 针对低气压射频感应放电，采用流体方程描述带电粒子的平衡和电子能量 平衡，通过数值计算求解放电参数。波动方程通过吸收功率密度与电子的能量平 衡方程耦合起来。通过变压器模型将感应线圈电流与等离子体参数相联系，由此 给出电场的边界值。在电动模型中采用了电导率的动力学公式。采用氲气作为放 电气体，放电腔为圆柱形。将包括完全辐射转移项的激发态速率方程耦合到流体 方程中，可得到全面的放电信息，但本文的工作没有包括这一都分的数值求解。 目前的射频感应无极灯仍然采用汞作为主要放电物质。但人们都在追求绿 色环保的新型产品，同样也对电光源产品的发展提出了新的更高的要求。低气压 ( 1 t o r t ) 惰性气体和惰性气体卤素混合物质有可能成为汞的理想替代物质【3 4 1 之 一，例如氙放电以及氤一碘混合放电。但通常这些物质的放电效率低于汞放电， 因此很有必要进行提高这类物质放电光效的研究。但由于对碰撞截面等知识的局 限，目前我们选择放电情况简单、碰撞参数也较全的氩气作为实验气体。氩气放 电的模型比较容易再推广到其他的惰性气体放电中去。 在射频感应放电启动瞬间首先会发生e 放电【2 2 l ，随着电子浓度的增加迅速 转入h 放电状态。射频感应放电启动后通常仍然存在一定的轴向电场的影响。 但e 放电的功率耦合系数随着电子浓度的增加而减小【3 5 】，在通常的射频感应放 电中，e 放电所占的成分已经很小，对等离子体的影响也很小。e h 放电模式的 转化1 和迟滞现象 3 6 , 3 7 超出了本文的研究范围，在此不做讨论。我们在模型中将 忽略e 放电的影响。 二实验测试 图3 电流测试图 为了将我们的计算模型简化，实验放电灯采用旋转对称的圆柱形，感应线 圈绕在灯管上。如果灯管长度远大于灯管的半径，就可将模型简化为一维的问题。 采用的电源频率为1 3 5 6 m h z 。放电灯工作时的线圈电流可以通过高频电流探头 和5 0 0 m h z 示波器( l e c r o yl t 3 4 2 ) 直接测得。 三理论模型和求解 1 电动模型 线国。 0r pr c r l j l i 图4 放电几何形状示意图 1 ) 电磁场的计算 设放电管和感应线圈的长度相对放电半径来说足够长，则放电管两端的影 响可以忽略，这就将问题简化为在半径方向r 上的一维问题。在图4 圆柱形放电 管中，将产生角向射频电场易、轴向磁场h ：。假定它们随时问按e x p u 耐) 指数 变化。那么麦克斯韦方程在介电常数为的介质中的柱坐标表达式为 墼：一j o j e e 。 d r 。 ! 旱( 呜) ：一掣。h ，( 2 ) ra r 式中珊为射频角频率，风为自由空间磁导率。在等离子体空间里，介电常数s ( ，) 为自由空间介电常数和等离子体中的相对介电常数郇( ，) 的乘积， s ( r ) = 氏占，( r ) 。相对等离子体介电常数郇( ，) 由下式决定： f 一( ，) = 1 一。0 ) o ，_ 。0 盯( ，) ( 3 ) 上式中的口( r ) 为等离子体电导率。在我们考察的电子浓度范围内，位移电流( 对 应3 式右侧的第一项) 远小于传导电流，我们将位移电流忽略，可以将( 1 ) 式 简化为： 璺：一( r e o a r 将( 2 ) 式代入( 4 ) 式消去t t ：可以得到波动方程 ；詈p 等) 一( 7 1 + _ ，掣。盯( 功易= o ( 4 ) 。( 5 ) 由上式可以计算感应电场强度。等离子体电导率的计算问题将在下一小节 中讨论。如果已知等离子体电导率和电场强度，就可以计算等离子体中射频感应 电场的加热( 电子吸收) 功率密度 ：r e ( 盯) 1e oi ： ( 6 ) 我们前面已经指出，感应线圈两端的电势差引起的轴向电场t 在放电的启 动阶段起着重要作用，而在感应放电稳定工作时e 放电所占比例已经很小【3 6 l ， 我们可以忽略它的影响。 雪副墓( e v ) 图5 【3 0 】氨的电子碰撞截面：o e l 为弹性碰撞截面，盯1 为激发到1 s 2 3 ，4 5 态的截面，盯l i 为激发到更高激发态的截面，q 为电离截面，盯。为总截面 2 ) 电导率的计算 等离子体的电特性是由等离子体电导率所决定的，它是研究等离子体时一 个非常重要的参量。它的通式为【2 6 】： 仃n = 堡! ! ! 坠 v 卵+ ，脚印+ c o ；i ( v 础+ ，c 9 凹) ) ( 7 ) 上式中哳为有效碰撞频率，鲋为有效驱动频率。n e ( r ) 为电子浓度，m 。为电子 质量，。= e b ：m 。是电子回旋加速频率3 8 1 ，其中b ；是轴向射频磁感应强度的方 均根值。如果珊。 4 0 ( b ) 电子能量服从m a x w e l l 分布。 ( c ) 在我们研究的气压范围内，带电粒子的复合以管壁复合为主，忽略体积复合。 ( d ) 在低气压和中等气压范围内，电子和离子的径向运动为双极性扩散所控制。 ( e ) 假定氨气的温度空间分布是均匀的，即其浓度分布是空间均匀的。这个假定 可能偏离实际情况比较大，但在目前的工作中先不考虑氩气浓度分布的影响。 ( f ) 等离子体中是电中性的，空间各处都满足 。= n 。；电子和离予以相同的速度v 向管壁双极性扩散。 ( g ) 在我们研究的放电中，激发态的浓度远小于基态原子浓度，所以可以忽略各 个碰撞过程对基态原子浓度的影响，基态原子浓度恒定不变。 ( h ) 忽略磁场对带电粒子的影响。 考虑表( 1 ) 中列出的各个碰撞过程，放电中电子的平衡方程可以写成 鲁+ 掣= k j m 。扎，( n , + y l m ) ”矿”2 ”， ) 式中h ，是辐射态浓度，”。，是亚稳态浓度，各个速率系数的含义在表中已经列出。 在双极性扩散下并考虑到z 正，带电粒子的流体速度可以写成： 矿。一掣 。)o ”p 聊f l ， r 上式中t 是电子温度，柳。是离子质量，离子中性粒子碰撞频率可由 v 。= 2 p o t o r r x 1 0 7 s 1 估算，其中p o 是以t o r t 为单位的气压值( 45 1 。 电子的能量平衡可以用下式表示 2 4 】： 面0 ( i 3 幔) + 去( = 屹，叫 ( 1 6 ) 式中吼是电子热流密度，匕，是公式( 1 2 ) 中的射频电场加热功率密度，。 表示电子在单位时间里由于碰撞造成的能量损失。电子热流密度为f 2 4 】： 。一5t l e 魍 吼一j 蒜苗 ( 1 7 ) 这里我们忽略了跟流体速度相关的项。式中p 。为电子中性粒子的平均碰撞 频率。由于弹性碰撞频率远远高于其他电子碰撞过程的频率，可直接将弹性碰撞 频率近似作为总的平均碰撞频率，v e n = n k 。 根据简化模型中的碰撞过程，每个电子在单位时间里由于碰撞造成的能量 损失为： i o = n k 。s ，+ n ( k ，+ 七。) 占+ + 哺。占。( 1 8 ) 式中电离能= 1 5 7 6 e v ，激发能= 1 1 5 6 e v ，占。：1 3 1 5 e v 。这里忽略 了电子参与弹性碰撞和逐次电离的能量损失。 从基态到3 p 5 4 p 态的激发速率系数为： k p = 1 4 x 1 0 。4 7 ”e x p ( - 1 3 1 5 l ) ( 1 9 ) 除了在能量平衡方程( 1 8 ) 式中考虑激发到4 p 态的过程对电子能量的影响 与3 p5 4 p 态相关的其他碰撞过程我们都予以忽略。 2 ) 激发态平衡方程 为了使对激发态的考察简化，除了我们前面所作的假定，还需引入下面的 假定条件： ( a ) 基态原予吸收一个光子后所发出的光子的频率与原先吸收的光子频率无 关，亦即完全的频率再分配。在我们讨论的气压范围内，谱线的放宽以压 功放宽为主，其他的放宽成分可以忽略，所以这一假设可以成立。 ( b ) 为了方便计算核函数，认为激发态原予在辐射光子时是各向同性的：同时 假定光子在放电管壁没有反射。 ( c ) 忽略受激辐射的影响。 考虑表一中的各个碰撞过程，辐射激发态1 只的速率方程可以写成： ! ! ! 笔笋! = k r n n 。( r ) + t 。，n 。( ，) h 。( ，) 一t 。h ，( ，) 以。( ，) 一七，胛，( r ) 甩。( ，) d r 。 一女。m ，( ，) 一k y n ( ，) _ ( ，) + 喜( ，d ，旦冬盟) ( 2 0 ) r o t o r 一土怫( ，) + 土k ，( ，) g ( ，一rf ) d r ， f vf v 。 亚稳态3 b 的速率方程为： 了o h m ( r ) = 女。m 。( r ) + 女。疗，( ，) n 。( r ) 一女。月。( 咖。( ，) 一女。，n ，( 咖。( ，) 一m 。( ，) 一女，。n ：( ，) “。( ，) _ ( ，) + 要( ，d 。旦竺掣) 2 。 式中各个速率系数的含义已在表中说明。上面两式中d r 和d 。分别是辐射态和亚 稳态的扩散系数，我们采用n d = 2 4 2 1 0 2 0 ( m s ) 。做近似处理f 4 6 1 。 公式( 2 0 ) 中的展后一项是自吸收项。其中g ( ；，) 是辐射转移的核函数 ( k e r n e lf u n c t i o n ) ，它表示在r 处d r 体积元中辐射的光子在r 处d r 体积元中被吸 收的几率。由核函数的复杂性决定了这一积分项是非常复杂的，在实际计算中必 须通过有效的方法简化处理。 将放电容器沿半径划分为m 个小单元，每个单元的长度为a r 。在每个小单 元内激发态粒子的浓度可以视为是均匀的，第j 个小单元的激发态浓度可表示为 n ， 门。这样自吸收项可以写成： 卜，( ，) g ( i ，) 打：兰堋( ；一，一：兰怫 f ( 2 2 ) 矩阵元 代表第个i=小l单元发(出rj的rt)光dr子在j=第14jj i j 个小单元中心被吸收的几率。 积分瞄i 为在第f 个小单元内的体积积分。采用文献【4 7 1 中的方法，可以将矩阵元 4 。表示成如下的简化形式： a h=6+s一sii_(231 ，= 去n 扣万篙幂耐d 曰 ， 式中r 表示第i 个小单元的外径值，即i a r ：，是第，个小单元的中心半径值， 即( ，一o 5 ) r ；r ( 去) 是，函数的一。个特值3 6 2 5 6 0 9 9 ；是谱线中心的吸收系 数。 ( 2 5 ) 式中也为谱线中心波- l 壬、( 1 0 4 8 n m ) ，9 1 、9 2 分别是下能级和上能级的简并度，g ( v ) 为光谱线的轮廓。在我们研究的气压范围内( 1 t o r t ) ，谱线( 1 0 4 8 n m ) 的放宽主 要是共振放宽，谱线轮廓为l o r e n t z 型： 7蛳l 娩丌 烈5 f i _ ( a v 阿l v 一”oj +j 。 ( 2 6 ) 式中v 。是谱线的中心频率，1 0 4 8 n m 对应的频率为2 8 6 1 0 6 g h z ；a v 是共振放 宽的半值全宽度【4 8 】： v t ：血 ( 2 7 ) 3 2 ，_ r e o m f ”o 9 式中女：，是共振放宽常数，一：是振子强度。对于氩原子的1 只呻1 s 。自发跃迁，k ：一 的理论计算值4 卅为1 5 3 2 ，i 2 的实验测量值5 叫为0 2 2 1 4 。 由此可得谱线中心的吸收系数k 。为： 驴鲁詈。嘉 ， 室温3 0 0 k 气压1 t o r r 的气体浓度为n = 3 2 2 1 0 2 2 m 一，代入( 2 7 ) 式可以算 得a v = 0 1 2 1 g h z ，再从( 2 8 ) 式可以得到k o = 1 1 3 x 1 0 8 m 。放电半径为0 8 c m ， 可见在当前放电条件下1 0 4 8 n m 辐射是光性厚的。在光性厚的情况下，采用完全 的辐射转移方程是必要的【4 7 】。 计算出辐射激发态的浓度分布后，就可以计算在半径r 处单位面积的辐射光 通量【4 7 ： 即) ：萼f 融) 一弦1 ) g ( j t ，) d b 其中g ( r ) 为净发射系数，这里忽略了受激发射的影响： s ( r ) _ f l _ k l 。h v 。”，( ，) g ( v 油， 式中h 是p l a n e k 常数。这里的计算仍然要采用前面使用过的离散方法，将包含核 函数的积分项离散化。 3 ) 边界条件 由旋转对称性可知轴心处电二f 温度、电子浓度和激发态原子浓度在半径方 向的梯度为零。激发态原子在等离子体边界的浓度近似为零。 在等离子边界处，流体速度( 1 5 式) 满足b o h m 判据 1 1 , 2 4 ： v ( r ，) = t ( 耶) m ( 2 9 ) 热流密度( 1 7 式) 的边界条件为f 2 4 】： 吼( 砟) = 瓦( 砟) ( 2 + l n 沥了瓦j ) 心( 月，) 厕m j 一 ( 3 0 ) 3 变压器模型 如图8 ( a ) 所示，将感应线圈和放电等离子体分别看作一个变压器的初级和 次级。初级匝数为虬，电阻值为，电感为l 。次级看作是单匝线圈，电阻为 r ：，电感为：。等离子体的电感工：包括两部分，几何电感l ：和电子惯性电感 l 。，前者是由放电电流的路径决定的，后者对应着等离子体电导率( 8 式) 的虚 数部分。初级线圈通过互感m 与次级的几何电感l ：耦合起来。这里需要说明的 是，对应等离子体电导率虚部的电感上。包含了电子动力学影响，所以它不仅来 源于电子惯性，而且电子碰撞也对它有很大的影响口o l 。 一 i ei p m吟v r ( a ) d x ( b ) 图8 变压器电路( a ) 将感压! 耦台放电等离子体看作变压器的次级。 ( b ) 将变压器次级转换成初级的等效电路元件。 将变压器次级等效为初级的电路元件是分析变压器的经典方法，如图8 ( b ) 所示。从初级看上去，次级即等离子体的等效电阻和电感为： p ：了擘氅( 3 1 ) r ；+ ( 越。+ 砒2 ) 2 7 z ；一享掌蚓( 3 2 ) “ r ；+ ( 砒。+ 鸣) 2 7 ( 3 2 ) 式中的负号反映了逆磁效应( 放电电流与感应线圈电流方向相反) 。从上 面两式可以看出，次级阻抗在初级的等效值是由感应频率珊、放电的几何形状和 等离子体中的放电参数决定的。 等离子体电阻可由定义给出： 耻南2 考2 南 ， 式中 = ，电子惯性电感可由它与等离子体电阻r ：的关系【1 5 】 求出： 2 ，一r 2 ：堑一 ( 3 4 ) 功 l 式中 = 。初级线圈的电感和等离子体的几何电感可从线圈电 感的经典计算公式得出【1 5 】： ，：一些型鲨 ( 3 5 ) “。丽而面页历“ l ： 丝竺；( 3 6 ) 2 2 l ( 1 + 0 8 8 r p l ) 、。” 式中r 。为线圈半径，r p 为等离子体半径，三为等离子体长度，为线圈长度， 曲缚圈币斯百威m 表扶式1 2 6 1 ： m ：p o n ：r ；n 上 ( 3 7 ) 将上面得到的各个参数代入( 3 1 、3 2 ) 式中，计算得到p 和z 。感应线圈 的电流可以通过实验赢接测得。则等离子体吸收的总功率可以由下式计算： p , o = e p ( 3 8 ) 由上式和( 1 3 ) 式就可以确定电场强度的边界条件。 其实这里的分析也给我们另外的信息，即利用变压器模型可以帮助设计计 算机数据包。在当前的电源设计软件中，缺少理想的光源模型。由变压器模型和 前面两节中的分析可以看出，我们可以构建出一个光源模型，即将t 一 p ，z 相关联。 4 数值求解 方程( 1 1 ) ( 1 4 ) ( 1 6 ) ( 2 0 ) ( 2 1 ) 及相应的边界条件构成了一组非线性微 分方程组，需要通过数值方法求解。我们可以将这些方程的求解化为三部分处理， 第一部分求解电磁场分布，输入量为第二部分和第三部分的结果，即第二部分输 出的电子浓度和温度和第三部分确定的总吸收功率，输出量为射频电磁场沿半径 方向的分布。第二部分求解电子浓度温度及激发态浓度，输入量为由第一部分的 结果确定的吸收功率密度，输出量为电子浓度温度及激发态浓度的分布。第三部 分确定放电总的吸收功率，输入量为第二部分输出的结果和实验测得的感应线圈 电流，输出的总吸收功率输入到第一部分中确定边界条件。在前面已经指出了在 流体理论中需要引入动力学影响( 9 式) ，所以求解中还要考虑这一步计算。将这 几部分的关系用图9 表示出来。下面简要地分别说明各个部分的计算。 图9 计算关系示意图 1 ) 波动方程的求解 关于未知数e ( r ) 的波动方程( 1 1 式) ，是一个复数两阶微分方程，在应用 差分方法线性化之前，应给先将它的实部和虚部分开来。先作如下定义： e ( r ) = x + y y 矿p ( r ) = 盯8 + _ ，盯 把它们代入( 1 1 ) 式可以得到下面两个微分方程： 窘+ ；警一c 专一掣o c r j ) x = 一掣。盯8 y c s ， 窘+ ；警一c 专一掣o g y j ，y = ：掣o o r 鼻 c 4 。， 采用有限差分法将上面两个方程化为线性方程组，将半径r ，划分为n 份， 每一份长度为a r ，与前面采用的划分保持一致。两个线性方程组表示如下： b 1q 口zb 2 一d d n 一2b n 一2 c ”一： d h 一1b h l b lq 口2b 2 。2 以一： 口n 2d n 一2c p 2 d 。lb 。，1 d 。一2 d ， z l x 2 x m 一d ， k 匕 k 一： 以一 + c h l ( 4 1 ) ( 4 2 ) 上面两式已经包含了边界条件凰= k = e = 0 ，石。= 1 a 式中的符号为以 下数值： 吼= 1 一瓦1 6 。= 一( 2 + 古) + 掣。盯! a ，2 = 一( 2 + 矿1 ) 一 ， 1 q 2 1 + 万 妒掣加2 = 警巧 后 掣o e 2 a r 2 ( 4 3 ) 粤i ( 4 4 ) 2 v 十 k 一。 ( 4 5 ) ( 4 6 ) 其中”彬和彬可从( 9 ) 式得到，射频角频率= 2 刀v ，v = 1 3 5 6 m h z 。这两个 线性方程组( 4 1 ，4 2 ) 可以表示成如下形式： aix=a2y+a3(47) bly=b2(48) 耳艺k k x以以 式中各个矩阵和向量与( 4 1 、4 2 ) 两式中的矩阵和向量相对应。 量x 和y = y = ( 日1 一b 2 a , - 1 a 2 ) 。1 ( 曰2 a l a 3 ) 由此可以求出向 ( 4 9 ) x = 爿i 1 a 2 y + 一i 。a 3 ( 5 0 ) 这样就可以求出三( r ) 。再联立( 1 3 ) ( 3 8 ) 式，就可以求出等离子体边界处 的电场强度e 0 从而径向各点的电场强度易( ，) = e 。e ( r ) 就可以得到。再由( 1 2 ) 式可以求出电子吸收功率密度。 2 ) 流体方程的求解 流体方程( 1 4 ) ( 1 6 ) ( 2 0 ) ( 2 1 ) 的求解仍然要通过将微分方程化为线性方 程来实现。但限于对数学求解方法的局限，直接将这四个方程同步求解难以在有 限时间里得到收敛解。我们当前的工作是先通过求解( 1 4 ) ( 1 6 ) 式来计算电子 浓度和温度，而对( 2 0 ) ( 2 1 ) 式的求解我们将在今后的工作中进行。这样，我 们就必须将( 1 4 ) 式简化处理，即忽略方程右侧的后面三项，也就是暂时不计算逐 级电离和中性原子碰撞电离的影响。这样的简化必然使模型的计算结果偏离完全 求解应该得到的结果，但作为数值求解方法的第一步，我们目前暂时采用这样的 简化方法来进行计算。通过我们最后得到的结果分析，这样的简化带来的误差是 可以接受的；g l o b a l 模型的分析中也指出误差为1 6 左右。 我们采用文献中给出的方法对微分方程进行处理和计算。这个方法就是， 对于两个变量相乘构成的非线性项，取其中一个乘数为当前时间点的量，而另一 乘数取前一时间点的量，这样非线性项就转化为线性项，将原来的非线性问题转 化为通过时间演化求解稳态解的线性问题。这是常用的一种数值解法。例如( 1 4 ) 式中出现的电子浓度和速度的乘积顼是非线性的就把电子浓度取为前一个时刻 的值，速度为当前时刻的值，这就将这一非线性项化为线性项。具体的处理方法 采用文献 5 ”中的方法，并在附录中给出简要说明。 3 ) 计算过程 首先假定初始电子浓度和温度，可以由波动方程( 1 1 ) 式求得相对电场强 度值e ，并由( 1 2 、3 8 ) 式确定边界电场值e 。从而给出绝对电场强度分布e 。 由电场强度可以计算得到等离子体吸收功率密度 只。k = r e ( o - 。) l 岛 2 2 ，这 ，e 样就可以计算f 。时刻新的电子浓度和温度分布。由新得到的电子浓度和温度可以 计算新的吸收功率密度。如此循环，就可以得到在当前电场强度下的稳定结果。 将这个稳定结果代回波动方程，球得新的电场强度分布，然后再在这个新的电场 强度下进行迭代计算，得到新的稳定解。这样的循环过程一直进行到电子浓度和 电场强度基本不变为止。图l o 为汁算流程图。 线圈电流假定初始条件 图1 0 计算流程图 出| 吉呆 四结果及分析 采用的放电管长度为l = 9 c m ，半径为r 。= 8 m m ，感应线圈半径为 r = 9 ，6 m m ，线圈长度与放电管的长度相同，电源射频频率为v = 1 3 5 6 m h z ， 线圈匝数为2 0 。由公式( 3 5 ，3 6 ，3 7 ) 可以计算得到l o = 1 6 2 , u h ，l 2 = 2 s n h ，互感 m = 5 6 1 n h 。实验测量得到的线圈电流如图1 1 所示，有效值为以= 0 8 1 i a 。 计算得到的放电等离子体在初级线圈的等效电阻值p = 1 4 ，5 9 f 2 ，总的吸收功率 己= 9 6 w 。 ： 、，、a 、 j? 。j 。f r 。壤 奄 l j i | 辽 十蚵l一”嘈+ 4 芏 一p ；呻。 i f |l 1 -l j | i ”* ” i i j v、，“jj心“l ：_ i r 瞄8 1 1 0i 呐p k p k2 - 1 1 5r f r e q1 3 5 6 4 1 2 m v a l 5 8 8f b s 图1 1 线圈电流波形 计算得到的电场强度如图1 2 所示。图1 3 是文献 2 0 1 通过数值求解波动方程 和扩散方程得到的电场强度的相对分布轮廓，图中的定义为= 2 忙。卢) 2 ，