能量均分定理课件.ppt

玻尔兹曼分布律,1.麦克斯韦速度分布函数是讨论理想气体在热动平衡状态下分子在没有外力场作用下的速度分布情况：,一、从麦克斯韦分布律推广到分子处在重力场中,这时，分子在空间分布是均匀的。气体分子在空间各处的密度分布也是均匀的。,2.如果考虑力场作用（如分子处在重力场中），气体分子在空间的分布是否还均匀？,因为分子处在力场中，,麦氏速率分布：,上式称为玻尔兹曼分布律。其中叫做玻尔兹曼因子，是决定分布分子数多少的重要因子。,二、玻尔兹曼分布律,1.要计算体积元中的各种速度总分子数目：,则：,考虑归一化条件：,即：,所以：,分子数密度：,三、重力场中微粒按高度分布,1.重力场中微粒受到两种相互对立的作用。,无规则热运动使气体分子均匀分布。,重力使气体分子聚集在地面上，非均匀分布。,2.当时,此公式就是玻尔兹曼分布律给出的粒子按高度分布的定律。,又因为,所以,说明：,h,则n按指数而减小；,T，分子的无规则热运动越剧烈，n的减小就越缓慢。,分子的摩尔质量越大，重力作用越显著，n的减小就越迅速。,1.质点的自由度,一、自由度,所谓某一物体的自由度，就是决定该物体在空间的位置所需要的独立坐标的数目。,如果一质点在空间自由运动，它的位置需三个独立坐标x,y,z决定，自由度i=3,如果一质点被限制在一平面或曲面上运动，它的位置需两个独立坐标决定，自由度i=2,如果一质点被限制在一直线或曲线上运动，它的位置需一个独立坐标决定，自由度i=1,2.刚体的自由度,刚体的运动可以分解为质心的平动和绕过质心的转动：,刚体的位置可由质心的位置(三个独立坐标)决定；,用三个方向余弦中的独立的两个决定转轴的方位；,用一个独立坐标决定刚体绕轴转动的角度。,于是刚体的自由度i=3个平动+3个转动=6.,二、分子的自由度,1.单原子分子，如He,Ne,Ar等，可看作质点，i=3,2.双原子分子，如O2,H2,CO等，可看作一根化学键联结起来的线状分子，两个原子间的距离不变的为刚性双原子，两个原子间的距离可伸长或缩短的为非刚性双原子。对刚性双原子，i=3个平动+2个转动。其中两个转动是决定其联线的方位的。对于非刚性双原子，i=3个平动+2个转动+1个振动。,一般双原子分子在低温时只有平动，常温下开始转动，高温时才有振动，似乎一些自由度在温度不够高时被“冻结”了。,3.多原子分子，由三个或三个以上的原子组成。i=3个平动+3个转动+(3n-6)个振动=3n个自由度其中n为组成分子的原子数目。,单原子分子，如He,Ne,Ar等，可看作质点，i=3,双原子分子，如O2,H2,CO等，可看作一根化学键联结起来的线状分子,多原子分子，由三个或三个以上的原子组成。,三、能量均分定理,1.推导,对于非相对论性理想气体，由于,所以,又因为,所以,即平均动能是在三个平动自由度上平分的，每个自由度上都分到。,2019/12/13,15,可编辑,2.由经典统计物理学的原理可导出一个定理：“在热平衡状态下，物质（气体、液体和固体）分子的每一个自由度都具有相同的平均动能。在温度T下其数值为”。此定理叫能量按自由度均分定理。,若某种气体的分子有t个平动自由度，r个转动自由度，s个振动自由度，则,对于单原子分子：t=3，r=0，s=0双原子分子：t=3，r=2，s=0（刚性）s=1（非刚性）,3.分子振动时除动能外，还有势能。如假定分子作简谐振动，则,（平均振动动能等于平均振动势能）,理想气体的内能,1.内能：,各种形式的动能的总和,分子内部原子间的振动势能的总和,分子与分子间的势能,分子间无相互作用力,各种形式的动能的总和,分子内部原子间的振动势能的总和,所以，理想气体一个分子的平均总能量为,1mol理想气体的总能量为,Mkg的理想气体的总能量为,刚性分子,内能算例,6-5分子碰撞频率的统计规律,按照气体分子运动论，在常温下，气体分子的平均速度约为数百米每秒。这样看来，气体内发生的过程，好象都应在一瞬间完成。但实际情况并非如此，气体的扩散过程进行得很慢。例如，打开香水瓶盖，距离几米远的人要几分钟才能闻到香水味。为了解释这个现象，克劳修斯首先提出了分子相互碰撞的概念。分子虽然运动很快，但一秒钟内要发生若干亿次碰撞，每碰一次，运动方向改变一次，所以分子是沿着一条极为曲折的道路运动的，结果它由一处运动到另外一处要花很长的时间。,一、基本概念,自由程：任意两次相互碰撞之间每个分子自由走过的路程，称为自由程。,平均碰撞频率：每个分子每秒钟与其他分子碰撞的平均次数，称为平均碰撞频率，用符号表示。,平均自由程：每两次连续碰撞间一个分子自由路程的平均值叫平均自由程，用符号表示。,分子的平均碰撞频率、平均自由程以及平均速率之间存在以下关系：,二、平均碰撞频率,1.假设：,每个分子都是直径为d的小刚球（此处d称为分子的有效直径）,分子间的相互作用过程看作是刚球的弹性碰撞。,分子碰撞是在同一种分子中进行。,2.推导：,研究一分子A，假定其他分子不动，A分子以平均相对速率运动。在分子A运动的过程中，只有其中心与A的中心之间相距小于或等于分子有效直径的那些分子才能与A碰撞。故只有在以A为中心的运动轨迹为轴线，以分子有效直径为半径的一个曲折的圆柱体内的分子与A相碰。而圆柱体外的分子将不能与A相碰。圆柱体的截面积称做分子的碰撞截面。,A,圆柱体的截面积为，叫做分子的碰撞截面。=d2,在时间内，A分子所走过的路程为，相应的圆柱体的体积为。若以n表示分子数密度，则此圆柱体内的分子数为。这就是分子A在时间内与其它分子的碰撞次数。因此，分子的平均碰撞频率为,三、平均自由程meanfreepath,分子的平均自由程为：,将理想气