（物理电子学专业论文）光线量子论势阱透射机理与透射系数研究.pdf

摘要 光线透过两波导界而传输时，由于受到s n e l l 定律的制约，光能的 损耗很大，导致三个元件以上的集成光路不能走向应用，阻碍了大规模 集成光路的发展。本文以光流线量子力学方程为基础，借助隧穿效应原 理，应用光流线量子论的物理思想，首先从理论上探索光传输界面的量 子共振和耦合规律。 本文应用光流线量子力学方程，模拟两元件对接耦合的介质界面间 隙为一维折射率势阱，讨论光线透穿过两个界而的霸子共振透射规律， 并推导m 光线透穿波导介质端面的透射系数，得m 透射系数随折射率变 化的曲线，进而找到光透过率为1 的理论极限，首次提出增大光在波导 端面传输的透射条件，为进一步探索由于光耦合损耗大阻碍技术发鼹问 题打下了基础。 关键词：隧穿效应 光流线量子理论光流线量子力学方程折射 率势阱光流线量子透射 a b s t r a c t w h e n1 i g h tt r a n s m i t t i n gt h r o u 曲t w oi m e r f a c e so fw a v e g u l d e ，t h e l u m i n o u se n e r g yo fc o u p l i n gl o s s e sg r e a tf o rt h ec o n d i t i o no fs n e l ll a w ， w h i c hr e s t r i c t st h e 、 f i d e 印p l i c a t i o no fc o u p l i n gm o r eo p t i c a le l e m e n t si t h a so b s t r u c t e dt h ed e v e l o p m e n to ft h ei n t e g r a t e do p t i c s t h i sp a p e rb a s e do n t h eq l i a n t u mm e c h a l l i c a le q u a t i o no fl i g h t n o w 1 i n e ，u s e dt h et u n n e l i n g e f r e c tt h e o r y ，a n da p p l i e df o r t h ep h y s i c “i d e 0 1 0 9 yo f1 i g h t f l o w l i n e q u a n t u mt h e o r y ，g a v em er u l eo fq u a n t u mr e s o n a n c ea n dq u a n t u mc o u p l l n g a b o v ea 1 1 i nt h i sp a d e r ，m eq u a n t u mm e c h a n j c a le q u a t i o no fl i g h t n o w l i n ei s u s e da n dt h ei n t e r f a c i a lc l e a r a n c eo ft w oe l e m e m s c o u p l i n gi ss i m u l 砒e dt o b eao n e - d i m e n s i o n a lp o t e m i a lw e l lo fr e 行a c t i v ei n d e x ，w ed i s c u s s e dt h e q u a n t 啪 r e s o n a l l c et r a n s m i s s i o nl a ww h e n1 i g h ti s p e n e t r a t i n g t w o i n t e r f a c e s ，a t t a i n e d m et r a n s m i s s i o nc o e m c i e n to f1 i 曲t p e n e t r a t i n g w a v e g u i d e ， a n dg a i n e dt h ev a r i a t i o n a lc u r v eb e t w e e nt r a n s m i s s i o n c o e 硒c i e ma n dt h ei n d e xo fr e f r a c t i o n ，a n df u r t h e r 卫a i n e dt h et h e o r e t i c1 i m i t w i t ht h et r a n s m i s s i v i t vo f1 f i r s t2 a v et h e 仃；m s m i s s i o nc o n d i t i o nf o r i n c r e a s i n gt h el i g h tt r a n s m i t t i n g o n w a v e g u i d ep o r t ， a n ds e t u pt h e f o u l l d a t i o nf o rf u r t h e re x p l o r i n gt 1 1 ep r o b l e mo fl i g h tc o u 叫i n gw i t hh i g hl o s s 0 fe n e r g y k e y w o r d s ： t u n n e l i n g e f f b c t l i g h t - n o w l i n eq u a n t u mt h e o r y q u a t u m m e c h a n i c a l e q u a t i o n o f l i g h t n o w - l i n e p o t e n t i a lw e u o f r c f r a c t i v ei n d e xt r a n s m i s s i o no f l i g h t n o w i i n eq u a n t u m 长春理工大学硕士学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的硕士学位论文光线量子论势阱透射机理 与透射系数研究是本人在指导教师的指导下，独立进行研究工作所取 得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人 或集体己经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个 人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律 结果由本人承担。 作者签名：上滥三! 堕年三月立日 长春理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“长春理工大学硕士、博士学 位论文版权使用规定”，同意长春理工大学保留并向国家有关部门或机 构送交学位论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权 长春理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论文。 作者签名：盥型盗2 丛年互月三z 日 指荆币躲竖臣型让月卑日 第一章绪论 1 1 引言 2 0 世纪6 0 年代激光出现以后，物理学家们对介质发光和光吸收现 象作了许多理论研究，形成了激光物理、红外物理、发光物理及探测技 术等专业性的光学理论“。光发射和光探测基本上是电光转换和光电 转换的问题，在原子物理和量予力学的基础上容易形成专业陛的理论。 早期对光传输的研究主要是空气中或稀薄气体中的应用研究，在波动光 学理论基础卜- 也容易形成光传输的专业性理论。把介质作为承载光传输 的媒质，不必考虑光场作用于介质和介质山此作用所产生的变化，反作 用于光场，而对光传输所产， i 的影响。其实质上忽略了光与介质问相互 作用影响，在处理光传输的物理模型j ：，简化r 光传输的物理体系，这 种弱导光条件下的经典电磁波理论，在许多场合下结果还是不错的。 如果光进入稠密介质，光与介质相互作用不田以忽略就会出现不少筹 异。 2 0 世纪7 0 年代初期，光通讯和集成光学技术的出现，标志者光 信息技术的到来。这是一个完全的光传输物理过程，主要依靠光与介质 相互作用实现高速度、大容量信息传输和信息处理，集成光路器件设计、 制作和应用也是依靠光与介质相互作用降低传输损耗和耦合损耗。因此 光通讯和集成光学技术的主要问题，是纯正的介质光传输问题，提醒我 们必须重点研究光与介质相互作用的物理问题。 光与介质相瓦作用是微观物理过程，介质光传输是光发射以后到光 吸收的中间过程，这个过程是介质中的光传播过程，光与介质都必须遵 守波粒二象性的量子运动规律，但是光波进入介质后的量子特性至令没 有得到准确的理论描述。由丁二光量了概念只是一种理念，有无静j p 质量 还没有得到实验证实，凶此介质中传输的光波遇到了波粒二象性的冲 突。为了解决这个问题，必须找到恰当解释光与介质相互作用的量子理 论。 进入9 0 年代，微腔激光器概念提出，被认为是完全量子化的激光 器，可以使激光模式转换效率提高5 个数量级。1 ；1 9 8 7 年光子晶体现象 发现。“1 ，被认为是传输光的“半导体”超晶格介质；还有多孔硅发光 强度达到了硅材料可以制作激光器的要求“。这些实验发现都有很好的 应用前景，也为寻找光与介质相互作用的量子理沦提供了新的实验基础 和启发性思考。如果有i ：r 描述介质光传输的量子理论就可以提f 介质光 传输巾用人工技术控制能量的技术原理，呵能使这些光学新技术实验发 现如同6 0 年代电子技术存量子力学支持下迅速发展那样获得迅速丌发 麻用。 光在薄膜介质中的传输明显的存在与介质相互作用的量子效应 。“1 ，但是波动光学理论不能反映这种量子效应；在解决实际问题时， 作为光纤光学和光纤技术巾重要理论基础的光线光学反而显得更为简 捷、方便、直观“。以光线光学为基础经过量子化原则建立起来的光流 线嚣子理论，在解决光集成和介质中光传输问题方面比较成功，它既继 承了严格光传输理论，又揭示了光的量了性特征，为光传输提供r 一个 量子物理理论方法。应用光流线量了理论研究现代光学技术中的些问 题如计算集成光学中光波导模式、光纤传导模式以及研究光纤中光弧予 问题、微腔激光器模式等均有较大突破。”1 。本论文主要应用光流线 量子理沦研究光传输的势阱透剩机理及透射系数。 本论文分六章。第章概述目前光子技术发展中存在的量子物理问 题及解决问题的尝试性方法；第二章对隧穿效应进行分析，为研究光传 输的势阱透射机理打f 基础；第三章介绍本论文所应用的理论光流 线量子理论；第四章研究光传输的势阱透射机理，引入一维有限深折射 率方势阱模型和占折射率势阱模型；第j i 章分别对光传输的方势阱和占 势阱透射系数进行分析比较，得出有意义的结论；第六章介绍论文的研 究成果并做出了展望。 1 2 光子技术发展遇到的量子物理问题 近一r 年来激光、光通讯、光集成和光信息处理技术日益高涨，引 起人们瞩目。但是光子技术的发展也提 h 了光学理论和光学技术中的困 惑：怎样像控制电了那样对光也实现量子控制问题。这里对光在介质中 传输的几个问题：激光能量转换效率低问题，多孔硅发光问题，光子品 体的带隙理论问题以及集成光路耦合技术问题提出原则性思考。 一激光能量转换效率低问题。 激光器的出现，揭示了光学新技术时代的到来。激光器发明已4 0 多年了，各种激光器的制作和应用技术也很火热，但是它的能量转换效 率是很低的， 一直在1 0 2 0 之间徘徊，要得到激光输出就要付出 高额的能量代价。近二十年来激光应用风靡世界各个技术领域，激光器 的高成本和传输能量损耗越来越引起专家、学者和企业家们的重视。物 理学家和应用物理学家都在研究降低光学技术能量损耗问题，但是在激 光器的设计中只能控制电子的行为，光发射以后的损耗与传输过程，是 光与介质桐臣作用过程，即光传输过程，而激光器谐振腔设计原理是以 绎媳波动光学为理论依据，经典波动光学不能描述光与介质相瓦作用的 量子运动行为，斟此没有个能够控制光的运动i j ：为的严格量子物理理 论，激光器的能量消耗足很难降低的，就连自发辐射都不能控制，对于 腔内的光能传输振荡控制更是不可能。 1 9 8 5 年微腔激光器的提出，给我们一个启发，是由于模式转换效 率低t 光能损耗太大，告诉我们提高激光能量转换效率是有可能的n o ， 但没有明确的实现技术控制的物理原理。专家们对跟电子运动有关的能 量损耗研究得很充分，技术措施也卜分严格，而对光能损耗的控制就显 得力不从心。用经典波动光学理论解释，激光器 j 光能的损耗都是合理 的，但是换一种想法，如果对光的运动行为也有如同电子运动的量子理 论，也有量子尺寸效应以及共振隧道效应，那么激光器的能量转换效率 一定会有较大幅度提高的”。 二多孔硅发光问题。 2 0 世纪9 0 年代科学家发现精密殴计的多孔硅可以用光致激励发射 出强光，会使硅材料足以成为制作发光器件的材料，这与传统的固体能 带理论所预言的由于间接带隙而导敛硅材料只能发射很弱的光这个结 论相矛盾”“。这个发现也提出了光存硅介质中也存在量子运动的问题。 三光子晶体的带隙理论问题。 1 9 8 7 年y a b o l o n o v i t c h 和j o h n 由实验提出，在人工制造的周期性介 质中，光的传输具有波段选择性，称为光子带隙结构，把周期性介质称 为光予晶体，并预言光子晶体将是“光的半导体”和“光的超品格”， 町以实现光的人工控制，预示着巨大的应用| i 景，光子晶体成为国内外 光子学信息材料研究的热点”一。物王里学家致力于研究光子带隙的理 论，力图寻找“微带”和“于能带”的物理原理“。但是光子晶体问题 的根本解决，必须首先解决光在介质中运动的量子规律问题。我们研究 认为，光流线量予理论所揭示的光流线在介质中的运动规律，跟电子在 原子中或在周期性同体中有相同的运动图像，运用光流线量子理沦研究 光予晶体的带隙理论问题i _ 能会从理论上和技术原理上有大的突破”。 四集成光路耦合技术问题。 1 9 7 0 年集成光学提出以后，对于集成光路的研究在1 廿界各地持续 高涨。薄膜制作技术以及精细加1 技术都有了长足发展，并阻这些技术 为支柱，基本确立了用各种材料制作光波导的方法，但是还存在i ：多问 题，其中最重要的就是光传输损耗问题。 光波导传输损耗允许的最大限度取决于集成光路应具备的功能指 标。一般情况下，在含有大约1 0 个器件的集成光路中，光路全长约5 0 m m ， 总的传输损耗上限若取为5 d b ，那么单位长度的传输损耗就是l d b c m 。 这个数值在玻璃光波导中可以做到1 ，但是相当多的场台要求有更低的 损耗，因此低损耗化是急待解决的问题。 山于单个器件之间耦合损耗过大而导致三个元件以上的集成光路 一i 能走向应用，多元件多功能集成光路器件制造也很困难，阻碍了集成 光学发展。其实关键是光路耦合技术问题没有得到解决。按照经典波动 光学理论，由于s n e l l 定律制约，当载息光线进入第三个元件时，光束 能量损失殆尽，即载息光信号已经没有传输信息的能力了。光路器件之 刈耦合损耗太大这个问题一直困扰着物理学家和光学专家们，而应用经 典波动光学无法解决这个问题。要解决这个问题，关键是找到光传输的 量子运动规律。 综上所述，光子技术发展所提出的量子物理问题，实质卜- 是对光传 输的量子物理理论提出的挑战。对于这问题，国内外学者们都已认识 到了，并且发展出不少的理论方法和技术实验措施，也取得了不少有价 值的学术成果和技术应用成果，但是从物理理论的角度分析，对光在介 质中的量子运动规律还没有找到。近年来发展起来的光流线量子理论， 在几个光子技术领域中作了理论预言，效果很好，可能对这些光子技术 的发展有所推进“。 13 论文研究目的和内容 f ；| 的，激光应用、集成光学、光纤通讯等主流光学应用技术，都是 以物理光学( 或波动光学) 为理论指导，而传统的物理光学是以电动力学 为基础的经典物理理论，没有量子力学的物理思想。这些光学技术都是 光在介质中传输的物理问题，也都是微观物理的内容，而微观物理的基 础物理是量子力学，但是光学理论中恰恰没有量子理论。从九_ 卜年代丌 始建立的光流线量子理论，补充了光学理论中没有量子物理的空白。 本论文研究目的是针对光路祸合技术不可控制及耦合损耗大问题， 应用光流线量子理论研究光传输的势阱透射机理及透射系数，为光予学 器件的设计提供一个新的物理原理和技术途径。 论文的主要研究内容： 本文应用光流线量子力学方程和光流线量子理论物理思想，研 究光传输界面的量子共振和耦合规律，建立量子尺寸效应。 二：试图解释由于光耦合损耗大阻碍技术发展问题，首先从理论上 探索量子耦合规律。 沦文研究的意义： 1 这一研究将在解决光路耦合技术j 、u j 题及激光器降低成本问题上 有重大突破； 2 为光子学器件( 光隔离器和耦合器) 的设计提供一个新的物理原 理和技术途径，对许多光学技术应用有指导作用。 第二章隧穿效应分析 叫顾电子技术发展，我们都注意到，固体电子学器件，电子遵： ! 量 了力学原理，并且在多原子的固体中电子运动存在能带结构”】，这是制 作电子学器件的最重要原理，因此电子技术的发展从根本上说是受量子 力学理论支撑下发展起来的，而且许多电子学器件的设计是受电子在固 体量子沦中的量子尺寸效应原理支撑f 完成的。所渭电子的量予尺寸效 应就是电子在固体理论中的量子化规律跟固体材料的结构尺寸存在有 定量关系，其中包括量子禁戒、量子共振、量予隧穿三个基本圳律”。 正冈为电子运动有量子尺寸效应，设计师们可以通过合理地设计材料的 结构，随意地控制电子的运动行为，制作出所需要的新型电子学器件， 例如晶体二极管、隧道效应管等。 跟= ；包子技术比较一卜世纪术兴起的光子技术，就没有光的量子尺寸 效应，因而使目前几个最有前景的光子技术领域不能顺利发展。本章对 隧穿效应进行分析，重点分析电予的隧穿效应，为研究光传输的势阱透 劓机理打下基础。 2 1 隧穿的概念m 1 当电予或其它微观粒子从势垒的边入劓时，即使它们不具有足够 的动能从势垒顶部翻越势垒，它们仍然能够存势垒入射的边消失而在 势垒的另一边出现。这种现象形象的称之为微观粒子隧道贯穿通过势垒 或隧穿势垒e 但要注意：在一般情况下只有当势垒宽度与微观粒子的德 布罗意波长可比拟时，隧穿势垒的现象才显著得可以被观测到。 微观粒子因具有波动性而能以一定的概率穿过比它动能更高的势 垒，所以况微观粒子隧穿势垒是粒子波动性的种表现。根据量予力学 的踣本原理，表示微观粒子状态的波函数将延展到整个空间，它们的那 些势能有限不连续点处也是光滑连续的。因此，虽然粒子的动能小于势 垒的高度，它们仍然可以出现在按照经典力学是禁戒的势垒区域内并穿 过势垒区，于是隧穿势垒现象就发生了。必须强调的是隧穿过程遵从能 量守恒和动量( 或准动量) ：r 恒定律。 现在简要阐述任意势垒的隧穿情况。如图2 1 所示任意势垒u “) 的 隧穿示意图。当粒子的能量e ，小于势垒能量u ( x ) 时，从求解薛定谔力 程得到的粒子波函数妒( x ) 和妒( x ) y ( x ) 的统计解释可知，粒子隧穿通过 经典力学禁戒的势垒区的概率在势垒区具有指数衰减的特征。 幽2 1 任意势垒u ( x ) 的隧穿示意蚓 在许多情况下，对于如图2 1 所示的任意势垒可以相当精确地求得 这个概率的表示式如下： 丁= g e x p ( 一2 足)( 2 1 一1 ) k = 麟m ，e 。胁 m = 掣 在采用w k b 近似方法时前因子g 的值取1 ，对于矩形势垒有 ( 2 j 一2 ) 舻矿i 甫孬 ( 2 _ 卜3 ) 6 ( 七2 + f2 ) ( g2 + 盯2 ) 、“1 。 其中e ，足动能，x ，和x ：是e 。= u ( z ) 的点，即所谓经典转折点( 经典允 许区与经典禁戒区的交界点) ，称为隧穿系数，它可以认为是从左边 入射的粒子波p “所携带的概率流自纠m 中通过势垒u ( x ) e ，区域的份 额，它是一个很小的分数。势垒区域和势垒右边的波函数分别具有m 和n “的形式( p 和p 足常数) 。 2 2 隧穿的早期应用 隧穿的研究和应用相当早，从量子力学一建立就丌始了。关于隧穿 的研究和应用大致i 玎以划分成两个时期：第州期从量予力学建立到第 二次世界大战的5 0 年代初。由于受材料制造水平的限制，在这州期 主要是用隧穿解释各种微观的物理学、化学和生物学现象；第二时期从 5 0 年代中期至今。在这时期人们有目的地使用人造结构来研究隧穿 现象，并以此为基础制作隧穿器件和装置：“。 微观粒了隧道贯穿势垒是量子力学描写微观粒子运动所得到的直 接结果。量子力学是在1 9 2 3 年至1 9 2 7 年剧建立起来的，而对微观粒予 隧穿现象的研究几乎是与量子力学的建立同时开始的。量子力学所预言 的电子或其它微观粒子隧道贯穿势垒的现象是粒子波动性最引人注日 的表现之。 电子隧穿研究的进展依赖于技术的进步，现代技术使人们能够制作 纯度很高的材料和f 分精巧的仪器，从而能够探测微j i ! ! 世界在原予尺度 水平上发生的各种现象。电子常常处于被势垒约束或限制的状态，所以 凡涉及发生在微观领域的各种过程，研究人员自然要考虑电子隧穿发生 的可能性”“。 微观粒子特别是电予的隧道贯穿不仅是自然界中最普遍发生的现 象之一，也是人们最广泛地观测和研究的自然现象之一。早在1 9 2 2 年， l i i i e n f e l d 就观测到了电子从金属到真空的隧穿现象。此后，随着量子力 学的建立，隧穿的原理被系统的阐述并用于研究各种各样的物理问题。 到了1 9 2 8 年，基于隧穿的原理，当时的许多理论物理学家就梢信外加 高电场的作用将使势垒畸变，导致势垒高度降低或变窄，促成电子隧穿 明显发生。现在简单介绍三个用隧穿原理解释在原子尺度上物质的结构 和行为的例子。 图2 2 强电场使求臻氢原予周围电f 的库仑势阱发生畸变， 下是电子隧穿通过库仑势垒导致氯原子场离化 第一个例子足o p p e n h e i m e r 把处_ j + 激发态氢原子的自动离化归因为 电子隧道贯穿效应。对于图2 2 所示的个在场f = 矿工作用f 位于 z = o 处的氢原予，他引进两个电子态：波峰在核附近的局域原子态” ，和“自由电子态”，并假定电子在经典转折点x = 6 和边界x = 纠2 之间振荡。如果场是弱场，0 p p e n h e i m e r 证明电子从与场无关的念v ，跃 迁到均匀场的本征态v ，的速率可用黄金规则( 9 0 1 d e nr u l e ) 计算得到 1 一 = 等i m j2 p ，( ) ( 2 2 一】) 儿 其中j m l2 = j + 1 h 7 ( x ) ) j4 ，h7 ( x ) = 一e 声_ 是微扰哈密顿量。应该指 出，0 p p e n h e i m e r 的这种处理方法后来发展成为处理隧穿时广泛应用的 转移哈密顿法。 i 曲 弋l 厂 戮 斟2 3 电子隧穿从金属表面冷发劓，外场使表而势垒畸变成三角势垒 第二个例子是f o w l e r 和n o r d h e i m 借助电子隧穿解释在外场作用下 f 乜子从冷金属的发射现象。这种现象早在1 9 2 2 年就被l i l i e n f e l d 观测到 过，但在这以前一直没有得到解释。他们假设金属表面存在如图2 3 所 示的三角形势垒在( 2 卜2 ) 式中代入电予的费米能e 。= e ，得 2 足= 2 f ( 2 彬) 咒 删出= 笋 ( 22 其中是金属的功函数，f 是场强，6 = 乡名是经典转折点。因为女 空间中每个状态可容纳两个电子，电子的群速度v 。= a1 刮，从电 流密度公式 以= 斋胪( 驯( 呻( 篆溉吼以 ( 223 ) 和费米函数 八耻卜c 等，丁 。a ， 并t = j ( 2 11 ) 和( 2 2 2 ) 式，最后可得 = 砉篇唧c 一嘴笋， 。s ， 1 ( e ，+ ) 8 砌 、 3 a e f ( 2 25 ) 式显示觑( 1 ，f2 ) 勺l 舻旱直线关系。 图2 4 粒子衰变的隧穿模型 第i 个例子是g a m o w ，g u r n e y 和c o n d o n 把某些运核的自然衰变 发射甜粒子的现象作为隧穿过程来处理。他们假设核中衰变前口粒子位 于一个能量为e 的亚稳态。如图2 4 ，如果取隧穿势垒为 u ( x ) = ( z 2 ) 2 92 ，r r ( 只是核半径) ，使用( 2 1 2 ) 式得到 量= 等m z 净2 n 卜志卜。删 其中6 = ( z 一2 ) 2 p 2 e ，埘。是口粒子的质量，z 是原子序数。经过讣算 得到口粒子的寿命的倒数为1 o = 4 e x p ( 一2 j | ( ) ，爿是常数，它很好的解 释了重核衰变发射口粒子和元素的人工转变的实验结果，电有助于对量 子力学隧穿原理的理解。现以铀核为例。已知它的半径为1 0 m m ，包围 着它的势垒高度2 7 m e v ，而它发射的g 粒子的能量仅4 m e v ，小于势垒高 度。这种现象只有用口粒子隧道贯穿通过势垒才能解释。理论计算表明 口粒子隧穿通过铀核势垒的概率仅1 0 。3 8 。口粒子以1 07 m s 的速度在尺 寸为1 0 “4 m 铀核势阱内运动，那么它势垒碰撞频率为1 02 1 厶。因此，铀 核衰变发射单个口粒子的平均时间间隔为1 03 8 1 0 ”= 1 0 ”j ，即3 1 0 9 年! 这是一个很大的数，但铀的半衰期的确是几十亿年，作为比较，我 们考虑半衰期为l o “s 的r a c7 。r a c 核的甜粒子能量比铀核的大一倍， 为8 m e v ，包同它的势垒也比铀核的低。通过类似于对铺核的理论计算， 我们得到r a c 核发射a 粒子的概率为l o 。1 7 。冈此，r a c 发射d 粒子的 平均时间问隔减少为1 0 ”l o ”= l o 。s ，事实如此。这种巨火的差别if ! 是 山粒子隧穿所引起的，也反映出粒子隧穿概率对粒子能量和势垒高度有 很强烈的依赖关系。 以上的= 三个例子中，隧穿的理沧模型都成功地解释了实验结果，这 也是早期量予力学理论的巨大胜利。1 9 3 0 年，f r e n k e l 认为金属接触电 阻与温度无关的异常特性，可以借助发生在一个很窄的真空间隙之问的 隧道贯穿来说明，因为隧穿效应与温度无关。h o l m 和m e i s s n e r 在1 9 3 2 年和1 9 3 3 年对金属接触电阻的仔细测量证明了f r e n k e l 的上述解释。 f = 0 r 耳 目。 图25 ( a ) 固体的能带结构示意图；( b ) 外电场使能带发生倾斜， 电子可以从价带隧道进入导带 在许多情况下，半导体和金属接触时在界面形成的势垒层太厚，因 此隧穿事实 ： 不可能被观测到。到了1 9 3 3 年，z e n e f 在固体能带论的基 1 2 础上用带闯隧穿解释高电场作片j 下的介电击穿现象。如图2 5 所示，高 电场的作用使同体的能带倾斜，这时价带的电子无需获得能量也口j 以借 助隧穿通过禁带进入导带。事变上，刚为高电场作用下的固体内会产生 巾r 牢，( 对，即使现在也很难判断发生击穿时的电流是由电子窄穴对的 隧道贯穿，或是由电子的隧穿引起的。1 9 3 7 年，m u l l e r 用电子隧穿解 释了场离子显微镜巾高电场作用下探针表面的离子化现象。此后，从 3 0 年代末到4 0 年代末的一段时期，对电子隧穿的理论和实验研究没有 取得明显的进展。 2 3 电子对势垒的隧道贯穿 在固体物理、新型材料的研究等领域，电子的势垒贯穿极为重要“l 。 电予隧穿势垒是原予尺度上发生的所有自然现象，包括生命现象中的一 个基本过程，也是迄今被人们最广泛地分析和研究的电子运动过程之 。本节将着重研究电子对势垒的隧道贯穿现象，并用理论方法处理单 个粒予隧道贯穿问题。 隧穿是一个能量守恒和准动量守恒的粒子输运过程，根据粒子服从 能量j ) 。匾的假设，粒子在隧穿的整个过程中的每一时刻的能量应该是明 确可知的。基于上述假定，有两种物理上等效的处理单个粒子隧道贯穿 的理论方法：与时间无关的稳态法和龠时间的转移哈密顿法。采用稳态 法处理问题时，物理图像直观并且在外场强的条件下也可以应用。与时 间无关的稳态法是基于假设：( 1 ) 势垒函数不显含时f h jt ；( 2 ) 单个睾电子 的波函数平滑地延伸通过势垒区域并布满整个空问，如图2 6 j 行示。用 稳态法处理粒子隧穿的程序是首先写出势垒区域内和势垒区域外的不 含时间的薛定谔方程，然后根据各个区域内粒子波函数在势垒间断处的 匹配条件：波函数和波函数的次导数在该处连续，决定各区域波函数 的具体形式。一旦隧穿粒子在各个区域内波函数的具体形式被确定，就 可以用这些波函数计算各种算符表示的力学量。 e p 旦= 0 0 卜卜 一x l 鬈j26 稳态法示意图稳态波函数平滑的延伸到整个空间的不同区域 现在应用稳态法研究电子剥图2 7 所示的一维单个阶跃势垒的隧 道贯穿。电子的波函数应满足不含时问的薛定谔方程 t 2 h = 一- 兰v 2 + u ( x ) ，它们可以写成 ，( x ) = d 1 已“1 。+ 6 】e 叫4 4( 2 31 ) y ，( x ) = “2 p 4 2 + 6 2 p 7 4 2 。 ( 2 32 ) 其中：，( x ) 和妒。( x ) 分别是电子在区域i 和势垒区i i 的波函数， 七，壳= ( 2 跏e ) 乃， 露：惫= 乜m ( e u ，) 】咒 ( 2 33 ) 在势垒区l i 内，当e u ： o 时，：是实的；但当e 一 o ，宽度为。：势阱深为 o 时，按照经典物理观点，只有e 圪的粒子彳能越过势垒进入右边自出 区，e o 的粒子掉进一环阱罩，在阱蹙不仅作反射运动， 州叫也有透射，即势阱的量了透刺，而且一定条件下会产牛阱内r = 1 的 热振透射现象”8 f 。 2 51 一维势垒的量子隧穿 图2 1 1 所示的势垒，左右两侧都是粒子自由运动区间，左侧有沿x 力向运动的粒子，碰到势垒考虑反射和透劓两种可能。 势场y ( x ) 为 图2 一维势垒量子隧穿 o x x “ ( 2 51 ) 考虑e 情况，势垒两侧都遵守定念方程 学+ 警= 。 弦盹) 令女= 丽办，则解为 l ：。x p ( j 奴) + r e 印( 一i h ) 。 “ u 。驯 为计算方便，入射波取归一化振幅l ，r e 。“和“分别代表反劓波和透 射波。入射粒子流密度为 肛去卜去e 蛀e “昙e “卜 眨一， 反射流密度和透射流密度为 ，= h 2u： = 阿u ( 2 5 5 ) 则反射系数和透射系数为 q = ，= 例2 ( 2 5 6 ) ，= ，= 蚓2 ( 2 5 7 ) 问题归结为按边界条件的连续性求出s 和r 系数，然后从z 取值判断透 射能否发生。在势垒内部f o x 1 ，鼢七么= e “2 1 可得 ，的近似表示 r “1 6 2 2 p “。( 女2 + 女2 ) 2 等半唧 一鲁厕而 呵见隧穿效应随m ，口和( e ) 以对数速度增加。对于e k 的情况 也町方便地计算出 r = + 丢( 妻一丢 2 s i n2 煳 其呻k l j x ，x = 再试f 丽7 h 。 ( 2 5 一l8 ) 2 5 2 一维势阱的量子隧穿 存上曲基于一维势垒量 子隧穿n 论的基础上，对于一 维势阱的量子隧穿，只要做数 学上变量坐标处理就可以求 出透射系数，。 由图2 1 2 可见，跟图2 1 l 比较，取i ，0 斗一( o ) k ) 0 j 一 旦 f x 一碥 削21 2 一维势阱茧子隧穿 r = 应而丽j 弘= 、丽肪 ( 2 5 1 9 ) 一丁= h 2 s i n 2 麒r = l + s i n2 酬4 e ( 1 + 影) 】- l ( 2 5 2 0 ) 可见，= o 无势阱时，丁= 1 ；当o 时，r 0 沿x 方向 运动。 幽2 1 3j 势垒与势阱 山于d ( x ) 的定义在x = o 点为。，而p ( x ) 出= 1 ，任耿y 常数，势 垒函数写为 定态方程为 矿( x ) = 芦( x )( 2 5 2 1 ) 一笔警= 陋啊x ) p ( 25 _ 2 2 ) x = o 是方程极大值奇点，在( 一s ，) 领域内积分求解方程( 2 5 2 2 ) 得 州h ，( o 卜孚卿) 眨5 啦) 妒( o ) 在x = o 点外的领域内不连续，而( o ) = o 七连续有值存在，式 ( 2 5 2 3 ) 称y7 的跃变条件。在x 0 时，方程为 d 2 ( x ) 出2 十t2 ( x ) = o ，t = 、，丽届 同方势垒情况类似有解 吣，= r 劣“。裂 根据x = o 点( x ) 连续，妒( x ) 不连续的跃变条件有 ( 2 5 2 4 ) ( 2 5 2 5 ) 而 1 + r = s 1 1 一r = 2 芦f 肋2 s = l ( 1 + 溉y 肠2 女) r ：s 一1 ：一2 之m + 掣 壳2 七l南2 豇j ( 2 5 2 6 ) ( 2 5 2 7 ) ( 2 5 2 8 ) 则透射系数和反射系数为 ? ：蚓2 ：一j -( 2 5 2 9 ) 1 + 旦0 2 肋2 吲月1 2 2 曩l t + 筹j ( 2s 一。) 同时有 肾+ 盯= 1( 2 5 3 1 ) 若令 雠三臻 呐z ， 旧= 卅y2 自2 一 其中上和e ，分别为j 势的特征长度和特征能量。由式( 2 5 2 9 ) 可见 蚓2 = l ( 1 + e ，2 e ) ，s = l ( 1 + i 肛) ，透射系数依赖于特征能量于入射 能量之比。当入射粒子能量e 巨时蚓2z1 即粒子将完全穿透势垒。 对于占势阱的情况，只要作y 斗一，y ( x ) = ( x ) 叶y ( x ) ：一( x ) ， 就可以方便地得到d 势阱中的量子透射系数 卜壶2 i 。， l + 旦：1 + 兰r 第三章光流线量子理论基础 从电子的隧穿效应可见，如果把光子也看成同电子样的有重物质 粒子，应用量子力学的理论，很容易得到光了的量子尺寸效应。但是至 今没有在实验上测到光子的静止质量，因而量子力学的理论不能应用。 光在介质中传输是光j 介质物质相互作用的物理体系，是一个非相对论 的物理体系，在这个体系中光与介质相：作用的量子效应足不容忽略 的，因此光在介质中传输必须用非相划论性的量予理论描述。 1 9 9 4 年提出的介质中光传输的能量流线模型”1 ，模拟介质中传输 的光束为光能量流线，在光线光学基础上，建立了光流线量子理论，适 用于光发射到光吸收的传输过程。这个理论是非相对论性的，可以有效 地描述光与介质相互作用体系的量予运动行为，为我们处理光传输问题 找到了个新的量予理论方法，对实现新兴光学技术中技术控制同标提 供方便“。 奉章将详细介绍光流线量子理论建立的基础、原理及对光流线量了 力学方程的物理解释。 3 1 光线光学基础 光流线量子理论是光线光学理沦在近年米发展起来的理论分支，它 是在光线力学基础上，经过量子化原则建立起来的描述光在致密介质中 传输的微观机制的理论，跟几何光学和光线力学一样，也是以光线作为 基本物理概念，吸收量子物理的波粒二象性概念和董子力学的数学方 法。本节重点讲述作为光流线量子理论基础的光线光学理沦。 光线光学理论一直是传统光学仪器和光学源器件设计和制作的基础 理论，它以几何光学为基础，由几何光学发展而来，与力学和统计力学 结合产生光线力学，与量子力学结合产生了光线量予力学，并进一步发 展为光流线量子力学，形成了完整的光线光学理论，将对新兴的光学技 术的发展起着重要的指导作用。“。 光线光学是从古老的几何光学发展起来的，有长期的实验基础和经 验总结。事实上，早在1 6 2 8 年f e r m a t 原理的提 h 就已绎形成了完整的 理论体系，f e r m a t 原理是根据力学的变分原理提出的光在可变化的折射 率行( x ，弘z ) 介质中传播存在最小光程原理，光线光学属于经典力学理论 体系，以光线为描述对象。1 8 0 1 年7 i i y o u n g 波动学晚提出，由于当时波 动说和粒子况不相容，光线光学的影响丌始下滑，2 3 0 年后的1 8 6 2 年 j m a x w e l l 提出光是电磁波论断，以后形成波动光学，光线光学逐渐被遗 忘，波动光学成为主流学派，至今长达1 4 0 年。1 9 5 6 年w p a u l i 按照分 析力学的思考方法，重新演证了光线光学，建立了光线力学体系，也称 为哈密顿光学”。到2 0 世纪7 0 年代集成光学和光纤通讯出现，波动光 学的理论在介质光传输中遇到麻烦，而光线光学理论在薄膜介质中表述 具有直观简捷的特征，h = | 炳耕先生首先在光波导中提出m 线光学和有效 折射牢的概念，d m a r c u s e 也系统的演证了光线光学的基本公式”一”“。 311 “光线”的基本概念 f ：i 从有了光学这个学科以米，儿何光学就是光学的丌篇内容。几何 光学曾绎在科学史上，伴随着许多科学的发现和新学科的诞生，一个极 简单的折射利反射定律，帮助人们观察和发现的科学现象和规律是无法 训数的，冈此几何光学与自然科学的各门学科十分密切。几何光学是人 类文明的象征，是人类世代对自然现象观察和研究的结果，是自然规律 的客观反映。 代数学出现了以后，几何光学引入光线概念，特别是微积分出现以 厉，几何光学发展为光线光学，与物理学的力学理论结合产生了光线力 学。几何光学的理论体系就是以光的直进性和折射、反射定律为基本理 论，也即光线光学的实验基础。光线的概念就是光的宏观粒子十牛标志， 光线光学就是光的宏观力学理论。 在真空条件或准真窄( 稀薄气体空间) 条件和各向均匀介质条件下， 以电磁波理论为基础的波动光学是一个精确的理论，它进入了对光的特 性研究微观机制的层次，不过只是波动性的层次。在光技术或光子技术 蓬勃发展的今天，光的传输已由自由空f 自j 进入了致密介质空削，实际技 术的研究已经不能把介质简化为各向同性的简单模型。新兴的光技术， 如光纤通信、光弧子通信、光介质信息存储、光计算等，恰恰是应用介 质对光传输的不均匀性发展起来的，因此，波动光学精确成立的物理条 件大致被破坏了，再用波动光学理论去解释新兴光予技术所出现的光学 现象，已经遇到物理概念和数学方法上的麻烦。 由于波动光学理论体系在面对新兴光子技术所表现的局限性以及物 理概念上的缺陷，在训论光在介质中传输问题时，放弃光是电磁波的基 本认识，也放弃光是有重粒子的认识，从光学实验中观测到的“光线” 这个事实出发，认为光线是光波能量载体，介质中光传输是光能量的流 动，模拟光流线模型，分析光在介质中的直观现象，并把几何光学的直 线，推广为任意曲线，以此展丌光线光学理论。 3 1 2 光线方程 1 波动光学中，光线应是波阵面相应同位相点的线迹，若是常数位 州的光波，其线迹为直线， 般情况是曲线。光线有时也称为射线，射 线的方向为光的传播力i q ，射线的长短称为光程。波动光学的标量方程 v2 十盂2 渺= o ( 3 卜1 ) 其解 = ( x ，y ，z ) p “t ”，。 ( 3 卜2 ) y ( _ y ，z ) 为光波场函数，= 等= 出厩，= 出i 石，s ( t y ，z ) 称 光程函数。代进方程( 3 1 一1 ) 得 是。2 ( 当；一v 、v ，) p 。一i 七。( 2 v 。v y 。+ 。v ：。) + v2 。= o ( 3 13 ) 根据波长z 远小于光程的条件，则上式的第。项远大于后几项，并且在 实数空间计算，令虚部为零，并考虑折射率取如下关系 n2 = t 2 2 = 纠 ( 3 1 4 ) 得 ( v ，) 2 = h 2 ( 3 卜5 ) 此式是由波动方程得到的光程函数方程。光线的路程函数为 j = s ( x ，y ，z ) ，跟传输介质的折射率直接相关。