（应用数学专业论文）dirichlet级数与随机dirichlet级数的增长性.pdf

d i r i c h l e t 级数与随机d i r i c h l e t 级数的增长性 摘要 本文首先利用型函数研究了全平面上有限级d i r i e h l e t 级数的增长性和正规增 长性，得到了两个充要条件；证明了有限级随机d i r i c h l e t 级数的增长性几乎必然 与其在每条水平直线上的增长性相同对于无限级d i r i c h l e t 级数，分别在右半平 面及全平面上定义了其超级的概念，研究了它们的超级和正规超级与其系数间的 关系；得到了平面上无限级随机d i r i c h l e t 级数的超级几乎必然与其在每条水平直 线上的超级相同 关键词：d i r i c h l e t 级数，随机d i r i c f i l e t 级数，型函数，精确级，增长性，超级 t h eg r o w t ho fd i r i c h l e ts e r i e sa n dr a n d o md i r i c h l e ts e r i e s a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ef i r s ts t u d yt h eg r o w t ha n dr e g u l a rg r o w t ho fd i r i c h l e ts e r i e s o ff i n i t eo r d e rb y t y p ef u n c t i o ni nt h ep l a n ea n d o b t a i nt w o n e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n t c o n d i t i o n s ；a n dp r o v et h a tt h eg r o w t ho f r a n d o m e n t i r ef u n c t i o n sd e f i n e db yr a n d o m d i r i c h l e ts e r i e so ff i n i t eo r d e ri ne v e r yh o r i z o n t a ls t r a i g h tl i n ei sa l m o s ts u r e l y e q u a lt ot h eg r o w t ho fe n t i r ef u n c t i o n sd e f i n e db yt h e i rc o r r e s p o n d i n gd i r i c h l e t s e r i e s t h e nw ed e f i n et h eh y p e r - o r d e ro fd i r i e h l e ts e r i e so fi n f i n i t eo r d e rr e s p e c t i v e l y i nt h ep l a n eo ri nt h er i g h t - h a i fp l a n e ，s t u d yt h er e l a t i o n sb e t w e e nt h eh y p e r - o r d e r a n d r e g u l a rh y p e r - o r d e r o fd i r i c h l e ts e r i e so fi n f i n i t eo r d e ra n dt h e c o f f i c i e n t s ；o b t a i n t h eh y p e r - o r d e ro fr a n d o me n t i r ef u n c t i o n sd e f i n e db yr a n d o md i r i c h t e ts e r i e so f i n f i n i t eo r d e ri ne v e r yh o r i z o n t a ls t r a i g h tl i n ei sa l m o s ts u r e l ye q u a lt ot h eh y p e r - o r d e ro fe n t i r ef u n c t i o n sd e f i n e db yt h e i rc o r r e s p o n d i n gd i r i c h l e ts e r i e s k e y w o r d s ：d i r i c h l e ts e r i e s ，r a n d o md i r i c h l e ts e r i e s ，t h et y p ef u n c t i o n ，t h e p r o x i m a t eo r d e r ，g r o w t h ，h y p e r - o r d e r 前言 d i r i c h l e t 级数是1 9 世纪中叶l d i r i c h l e t 研究数论时引进的，可看作是t a y l o r 级数的推广，也是l a p a l a c e - s t i e l t j e s 的一个特例对于d i r i c h l e t 级数的研究，一方 面是为了解决数论中提出的问题，一方面是为了了解这种级数本身的分析性质在 后一方面，关于d i r i c h l e t 级数的增长性，余家荣教授 ，、孙遭椿教授 6 1 9 , 1 3 , 1 4 】 等许多专家和学者已作过大量的研究 自从熊庆来引入型函数u ( r ) = r p ( ) 以来，许多学者 8 - 1 4 利用型函数u ( r ) 确定d i r i c h l e t 级数的精确级p ( r ) ，研究d i r i c h l e t 级数的增长性与系数、指数间的 关系对于有限级d i r i c h l e t 级数，本文利用型函数研究了它的增长性及正规增长 性，简化并推广了文i s l 中的结果 为了进一步刻划无限级d i r i c h l e t 级数的增长性，本文将亚纯函数的超级概念 引入到d i r i c h l e t 级数中，分别在右半平面及全平面上定义了无限级d i r i c h l e t 级数 的超级与正规超级，研究了它们与级数系数、指数间的关系。 随机级数的研究最早是由e b o r e l 在1 8 9 6 年提出的对于随机d i r i c h l e t 级 数所确定的随机整函数或半平面内随机解析函数的增长性及值分布，近年来国内 已有不少的研究 9 , 1 0 , 1 3 , 1 4 , 1 6 本文在随机变量序列不要求同分布的情况下，就随机 d i r i c h l e t 级数所确定的整函数的增长性、超级进行了研究 第一章有限级d i r i c h l e t 级数及随机d i r i c h l e t 级数 关于d i r i c h l e t 级数及随机d i r i c h l e t 级数的增长性，国内外已作过许多重要研 究 1 - 1 t 1 对于有限级d i r i c h l e t 级数，余家荣教授在文【1 】中研究了其增长性和正规 增长性，剂名生教授在【5 】中对半平面上的情形简化和推广了余家荣教授的结果， 对于全平面上的情形是否有相应的结果? 本章研究并解奂了上述问题对于随机 d i r i c h l e t 级数，证明了由它确定的随机整函数的增长性几乎必然与其在每条水平 直线上的增长性相同 1 1 有限级d i r i c h l e t 级数 考虑d i r i c h l e t 级数 ，( s ) = b n e h 8 ， ( 1 1 ) 其中s = 口+ i t ， 6 。 为复常数列，0 = a o x 1 k a 。十+ 。若 甄掣= 一o 。，- - 溉i l n n 慨 则级数( 1 1 ) 在全平面上是收敛与绝对收敛的，它表示的函数f ( s ) 为一整函数 令 m ( o ，) = s u p l f ( a + i t ) l ；t r ，m ( a ，) = m a x i b 。l e l “o ；n n ) ， 则由文【6 知：m ( o ，) m ( o ，) 定义1 1 ，( s ) 在全平面上的增长级p 定义为 p ：一l i m - l n + l n + m ( a , f ) ， 口+ + 盯 其中i n + z = m a x f l ，i n x 若0 j 口 0 ) 上单调、分段连续可微，且满足 1 ) ，魄p ( r ) = p ，l i r a p ( r ) r l n r = o ； 2 ) 鲰等= 舻( o 女 时，u ( r ) 为r 的增函 数5 3 ) 瓢帮= 1 我们称v ( r ) 为级数( 1 1 ) 的型函数。“r ) 为级数( 1 1 ) 的精确级 引理1 1 闸设。及 是正的常数，则 妒( 口) = a u ( e ) 一a 呒( 口 o 。) 在口= i n w ( a ) 一：l n ( a p ) + o ( 1 ) 时达到最小值 一a i n w ( ) l ) + ! ( 1 + o ( 1 ) ) l n ( a e p ) ，q _ + 。) 其中u ( r ) 为定义1 2 中满足1 ) 、2 ) 的型函数，r = w ( t ) 与t = 己厂( r ) 互为反函 数，且 。粤鬻“，( 0 ) 在z = 壶( 1 十o ( 1 ) ) u ( e 。) 时达到最大值忐( 1 + o o ) ) u ( e 。) ， o _ 十。) 定理1 1设有限p 级d i r i c h l e t 级数( 1 ，1 ) 满足( 1 2 ) 及 甄尝= a 0 ，使当口 尬时有 i n + m ( 口，f ) 3 ，使当n2k 时， 一 。 r 时，5 1 n 曲n 2 结合( 1 6 ) ，有 m ( o ，) m ( a ，) ( 蜀+ n “+ n - 2 ) n = kn = t + 1 m ( ，) ( k + t t - 5 d t + c 1 ) s m ( ，) ( k + 丁圭百t 。5 + c ，) 因此，结合( 1 5 ) ，对充分大的口有 i n + m ( 吖) 茎i n + m ( 剐) + g + 1 n 击+ ( 1 划( ；) 等 曼( a + 2 s ) u ( e ) = ( a + 2 ) ，( e 4 + 吉) 茎( a + 2 ) u ( ( 1 + o ( 1 ) ) e 7 ) s ( a + 2 e ) ( 1 + o ( 1 ) ) u ( ，) 故，甄屿铲s 以= 燕岛茅 另一方面，由m ( o ，) m ( o ，) 可得：疆聂i n + 盯m ( a j ) 疆露帮= a 因此，甄帮= 甄崤舻= a 由以上两方面的证明可知，疆戛：堕专鍪产与瓢坦毛嚣铲同时有限或同时 无限，从而本定理完全得证 下面的定理简化并推广了文f 8 】中定理2 的结果 定理1 2 设有限p 级d i r i c h l e t 级数( 1 1 ) 满足( 1 2 ) 及( 1 4 ) ，则 甄l i m 絮掣= 甄l i m 厕高， 其中v ( r ) 为定义1 2 中满足1 ) 、2 ) 的型函数 证明：设甄帮= 考虑0 下 0 ，j 慨 0 ，使当盯 如时有 i n + f ( 以f ) p + s ) u ( e 4 ) 于是，由l k i e l n 4sm ( o ，) m ( d ，) 得：i n l k l ( r + e ) u ( e 4 ) 一a 。口 根据引理1 1 ，当仲充分大时，有 i n t k l - - k l n w ( a n ) + 誓( 1 + 口( 1 ) ) l n 【( r + ) e 纠 即 w ( h ) si b i 一寺【( 下+ 5 ) e p 】；( 1 + “1 ) 1 因为r = w t ) 与t = u r ) 互为反函数，且它们都是单调增加函数，所以 a 。u ( 1 b , , i 一忐【( r + s ) 喇；( 1 + 1 ) ) ) 茎f p + s ) e 纠( 1 + 。( 1 ) ) ( 1 + o ( i ) ) u ( i b d 一寺) 眦，甄志r 托 虮雌姚确5 甄i t m 赤g r r “+ ”e p 叫 k l 一意) 若7 = o ，显然，。蜘五而言= 磊2 o t 可见，当：耍匠堕镍铲有限时，疆l i r a + 。圳h l 一矗) 也有限 其次，假定：甄_ = h = i = r ( o r 0 ，3 l n + = n - + + e p u ( 1 k i 一而) 。1一 k 0 使得 i b 0 1sg li b , , i k 1 e x p - a , , i n w ( 南) 】，n = ， 根据引理1 2 ，当礼充分大时， m o - , ，) a u ( 0 ) 和a 。一 。o 扣一o o ) 若。旦罕b 等2 1 ， 则存在一单调递增数列 钆 ，使 h 甜吣。旦锗= l 证明，由于 ( 仃) = a u ( e 4 ) 是口的连续函数且当仃 i n ：时随增大而 递增，所以对于a 。 a u ( 矗) = h o n o ) 0 ，存在口l i n r o 使 a 。= h ( 0 1 ) = a t 驴( 矿1 ) 因为a 。， a 所以存在c r 2 吼，使 a 。：= h ( a 2 ) = a u ( 酽2 ) 这个过程可以无限进行下去，得到一个递增正数列 ) ，满足 a 。= ( 吼) = a u ( e “) 注意到 。一o o 扣- o 。) 及( e 4 ) 的定义得：o - v 斗。扣_ o o ) 最后由。l i r a + o o 每# = 1 和k ，= a v ( 矿) 可得：。斗l i r a + 。耕；1 下面的定理给出了有限级d i r i c h l e t 级数( 1 1 ) 正规增长的充要条件 定理1 3设有限p 级d i r i c h l e t 级数( 1 1 ) 满足( 1 2 ) 及( 1 4 ) ，则 ，铲= 错甄赢高吐 ( 1 t s ， 并且存在一个递增正整数序列 n 。】，使得 l i m 。础m a ”丙乩l i r a 。等1 ( 1 9 ) ”- + + o oe p u ( 1 6 。i 一5 蔷) ”_ + + o o 其中u ( r ) 为定义1 2 中满足1 ) 、2 ) 的型函数 渊；觥若( 1 8 ) 茄蜘( 1 舢式触，蛐。甄志。1 得：v ( 0 ，1 ) ，b n l n + ，使当 l 时。有 h ( 卜咖( r 击) 习万墨沥 硼划一击) 因为t = ( ，p ) 与r = w ( t ) 互为反函数且都是递增函数，所以 ( 高) r 击弓l n l b i - a m i n ( 己葡) 取正数列 o d ，使a 。= ( 1 一) p ( 1 + ) u ( 8 “) = p ( 1 一萨) u ( e 9 v ) ， 则根据引理1 3 得： o d 单调增加且- - + o 。扣斗o 。) 于是，对于充分大的皿存在u n + 使“s 口口l ，所以根据引理1 2 和引理 1 3 得 i n + i ( o ，) i n + m p ，) i n + f 6 m + a n 。o i n + l b n ，i + a 。o v h 一k l n ( 若葡) = ( 1 叫( 1 + d ( 1 ) ) 啡“) = ( 1 一e ) u ( e “) ( 1 一e ) u ( e 4 ) ， 由s 的任意性可得； 娜鳟帮1 故结合定理1 2 便得 ，掣乩，群引 必要性 若( 1 8 ) 式左边成立，则由定理1 2 知：( 1 8 ) 式右边也成立下面 证明( 1 9 ) 式成立取 靠 ( o ，因此最的子集 或= 如取：帆n m + 1 ) 中的元素同时满足( 1 1 0 ) 和( 1 1 1 ) 式最后将刀= 日反中的元索由小到大进行 排列，记为 ) 则它满足( 1 9 ) 式，从而必要性得证 2 ) 存在女n + ，使。旦每警1 ，则由a 。弹， k 妒稠t 疆l i 磊m 毒 1 于是存在，y ( o ，；) 及 ) 的子列( 不妨仍记为 蜡) ，使v v n + 有。 卷 ，” 6 取( 呓 ： n 笔) _ ， ， n ：) = 捌) ，则 成) 与 n ：) 为两个递增的正整数序列，且 n ： ( 1 + ，y ) a ， 0 = 1 ，2 ，j ) - 令卢： 0 ，则对于充分大的 ，当n ： 付 n ：时，n 专瓯，于是由o 1 0 ) 式 可得 广_ 1 6 女 l 一卢， e p u ( 1 “) 所以， l nl b - a 。l n w ( 高历) = = l n 小h 4 ) a , , a - a , , i n w i 了_ 二每而) 根据引理1 2 ，对于充分大的 ，当屯 n 0 ，使 ；三 1 一吼( o n o 时，雨 l n ( j k l e l ：4 ) a n a a 1 nw ( 南) 对于充分大的。，当n2 时，k k ，于是 1 n ( m 矿椭) s k ( 岫( 赢) ) = o ( 1 1 3 ) 当n o n 屯时， 。k 南a = 硒，根据引理1 2 和( 1 3 ) 得 f l n ( 呲k “) 勋一石1 n ( 西) = 再1 + - 4 7 。e p v t e ) t o 。一l n ( 1 + 1 5 _ 1 ，( 护) ) 】 s 高e p u ( ) k - l n ( 南) h 。( 1 ) 啊】 = 高e p u ( 一) 【扣l 十卅。( 1 ) l 丁；三南u ( 矿”) 忙l n ( 1 + 7 ) + 。( 1 ) 】 7 因此，当n2n 。时，由( 1 1 2 ) ，( 1 1 3 ) 和( 1 1 4 ) 可得 l n ( b 。l e l n 4 。) ( 1 一q 1 ) ( 1 + o ( 1 ) ) u ( e “) ，0 m = m i n # ，q ) 1 从而m ( ，) s 恐e x p ( 1 一叩1 ) ( 1 + o ( 1 ) ) u ( 驴) 】，其中娲为一正常数 所以i n + m ( 哦，f ) 墨i n + 0 ，则对 任意日ea ，存在b = 曰( d ，h ) 0 ，k = k ( h ， 五。) ) n ，使得对任何复数列 k ) ec 及任何p q e 恒有 pp t ，i 6 。蜀( 删2 _ p ) b f 1 2 醴， 。1 1 n = qn = q 结合1 9 1 中引理3 和i l o l 中引理2 3 可得 引理1 5 设 五。) ) 是概率空间( q ，4 ，p ) 上有有限方差如f 墨，( u ) 2 d w = 鹾 n 时，有1 扣) 昔甄掣h 扎 设甄l i m t n2 恕t n - 1 ，其中t n t 0 - 由引理1 5 ， 甄) l l k 面m e ( i z 。1 ) d 。点- 对几乎必然( a s ) 的w n ，( 磊。0 ) 有子序列 乙。扣) ，i 瓦。如) i ! ， n 斟 为 n k 的子序列，( 但依赖于“的选择) 令k ) = ；历i 赢，对于； ( s ) = 薹；h ) e 3 n s3 蠢) = i 丽磊赢 则 酪u 芝酾川2 l i m ；a 刚n k t 训一丽丽1 - - r 。丽盂寿两 2 j l - i r a t “5t 1 4 i m 。t n 2n i _ + i m t n 1 由定理1 2 知 甄l i m 锴= 甄锴= 爵( 啦扎 下话甄l i r at n 1 弓甄帮1 令g ( s ) = 蔓k k e n ，：口+ ；由引理1 5 中1 ) 可得 n = u m b 丘) i k k ( u ) i e 枷= l k 民磊和) e 枷= ( 1 6 n 晶磊扫) l e h 6 e 一争) m ( ，g ) ( f 磊和) e 一挚) m ( a ，g ) c t z o ( w ) l + ( g p ) n e 一争) ) “。0 n = l 类似定理1 1 证明中的推导过程，由定理1 1 及定理1 2 的结果可得：当面n 。1 ， 燕l i r a 帮l - y 五。- l a + 咿r e ( a ) , g ) = 甄絮掣= 器h - 面- 1 l n + m 矿( a , g ) 1 故本定理得证 定理1 5 设随机d i r i c h l e t 级数( 1 1 5 ) 满足( 1 1 6 ) 、( 1 4 ) 及( 1 ，1 7 ) 的右 端， 五( ) ) 是引理1 4 中的随机变量序列，则级数( 1 1 5 ) 几乎必然( a s ) 对 v t o r ，有 疆l i r a 佃i n + i f u , ( ( a e 。+ ) i t o ) l = 1 其中u ( r ) 为定义1 2 中满足1 ) 、2 ) 的型函数 9 证明：根据定理的假设，由定理1 4 可得： 甄筹面o - + + o o 等掣乩 设 h 邛；甄l i r a 嗡掣 1 ) ( s = 州啪 要证定理成立，只需证p ( 日) = 0 取 g 。) 0 ( o s 。 0 ，于是v w 珥。有 甄蛆锵掣 0 ，当盯 时 j 厶p + i t o ) i = 6 。( u ) e h 5 i m o 对，v u h ，有 i k ( u ) e m i 当j m o 时，有 f k k i e l ”4s g e 【“( 1 一! 孚) v ( 矿) ) 以上c 1 ，c 均表示某正常数因此， 甄j i m 掣= 百，- 4 + o o 掣小警， 这与定理1 _ 4 矛盾故p ( 日) = 0 ，从而本定理得证 本章取自文 1 8 1 1 0 第二章半平面上无限级d i r i c h l e t 级数的超级 2 1 定义和引理 考虑d i r i c h l e t 级数 ，( s ) = e b n e 。”，( 2 1 ) 其中s = 口+ i t ， k ) 为复常数列，0 = a o a 1 a 2 0 的增长级p 定义为 ；_iiin+in_mr(a,f)p ，盯 o 2 。霈一i 广m 当p = 0 ，0 0 p 2 2 。_ + o + 面r 一，9 u 若，l _ + i r a 。+ 鲢型逸等业= p 2 ，则称d i r i c h l e t 级数，( s ) 具有正规超级p 2 引理2 1 n 1 对于d i r i c h l e t 级数( 2 1 ) ，则有m ( q ，) m ( o ，) ，( o - o ) 引理2 2设a 及口为正的常数，则函数 妒( 正) = 一盯z + x ( 1 na ：) 一丢 在z = “p ( ! = 产) 。】p - 十o + ) 时达到最大值t ! 翳。e x p 【( ! = 产) 。】p _ + o + ) 证明：我们有 ( 引= 一。+ ( 1 n x ) 一：一：( ) l = 一盯+ ( i n x ) 一：( 1 一蕊1 ) = 一c r + ( 1 n x ) ( 1 一0 0 ) ) ( z + o 。) 令x ) = 0 ，得d = ( 1 n x ) 一：( 1 一o ( 1 ) ) 忙_ + + 。) 于是，z = e x p ( ! ：笋) 8 】p _ o + ) ， 当。递增通过这一值时，x ) 由正变负因此，妒( 。) 在。= e x p ( ! = 笋) 。】p 。 0 + ) 时达到最大值 一a 酬生h + e x p ( 生川若酉= 唧 ( 1 - - 。o ( 1 ) h 引理2 3 设无限级d i r i c h l e t 级数( 2 1 ) 满足 藏1 i n 两+ i n n 1 ， ( 23 ) 拇娶i 瓦- 0 ，使当0 口 d 对，有 i n m ( a , ，) 8 x p f ( 圭p 扣】 于是由i k l e 。“4 r e ( a , ，) m h ，) 得t 当0 口 d 时 i n + f k ls a n 盯+ 唧f ( 三) m + 5 】 ( 2 5 ) 取n 充分大，令一满足 h 2 i 麒p 睁酣8 】， ( 2 6 ) 则 m 。= 1 n ；+ ( ；) 肿= ( 1 + o ( 1 ) ) ( ；) 胂 ( 2 7 ) 由【2 ，5 ) ，( 2 6 ) 式得：i n 弋。j b n l a n o - + a n o = 2 a n 口，所以 1 “； n a 时，有 i n i n a , ts ( p l + 6 ) 1 n ( 蒂胬) ，i n + s a n ( 1 n a n ) 一志 0 ，有 l n ( i kj e - a r i a ) 茎a 。口+ a 。( i na 。) 一赤 由引理2 2 可知，上式的右边当a 。= e x p 【( ! = 笋) m + 。】i 即盯= ( 1 一o ( 1 ) ) ( 1 n k ) 一志 时达到最大倩则 l n ( i b i e 佻螂【( l 笋严1 因此 i n t o h ，) s i n + i n + h i m ( o ，f ) k o a e x p 【( 生严1 凰。e 圳疆 ( p l + s ) l n ；+ ( n + e ) l n 十2 + l n + l n + ( 凰。) + l n 2 其中编是正的常数 故由s 的任意性得t - i 吾i 垡堕：警堡p l ，从而根据引理2 3 得； a - - + _ o + “；一一 ：l 埘i r ai n + i n + i n m ( a , f ) 茎p l 2 时，有i n i a 。( 1 n a 。) 一而1 于是坳 0 ，有 l n ( i b 。 e 一1 n v ，) a 。口+ a 。，( 1 n a 。) 一志 取满足a 。= “p ；( 者) 9 2 1 ，则当+ ，。5 时，由。粤等等= 1 得 k 熙麓1 ( 1 声) p 2 - s = 。- - + + c o 掺1p 2 - e = 熙器( 2 1 2 ) 由( 2 1 2 ) 式，对上述e 0 ，当u 充分大时，有螋l + g( 丢) 一。一 当a 0 充分小，而口充分大时，则有 i n m ( o ) 兰l n r e ( o ) i n m ( 吼，) l n ( i b 。l e 一 n v n ) 一a 。仉，+ a 。( 】n a m ) 一去 = 2 赤叫“e x p 【 去p “】 跏e x p i ( i 万) ( ；) 打5 1 具甲k l 是止的雨双敢 丁i n + i n + i n m ( a ) 、i n + l n + r ( k 1 a ) + 学+ 从而由的任意性知，1 1 里! n f 世气；警! 蚴见结合定理2 1 可得 口- + u to 舞盟掣i n 一 口+ o + ! 一 从而充分性得证 再证必要性若( 2 1 0 ) 式左边成立，则由定理2 1 知：( 2 1 0 ) 式右边也成立 下面证明( 2 1 1 ) 式成立取单调下降正数列 “ 0 令 峨= n ：哂i n i n a n p 2 - - s k ) ( 2 - 1 3 ) 峨2 ”：哂 j ( 2 - 1 3 ) 则由( 2 1 0 ) 式右边知t 对每个k n + ，取为非空无限集且e k + ice k ，将取中 正整数由小到大记为( n 铲 墨。下面分两种情况讨论 1 ) 若对每个n + 都有。l i r a + 。l 。n a 。( 妒k ) l i r a = 1 ，则存在心取，使得当妒 1 ) 若对每个n + 都有。+ 。小) 2 1 ，则存在心取，使得当妒 帆耐，有 竺i 盟l + ( 2 1 4 ) n a i n n 一 、7 由于最+ lcb ，可取帆+ l 肌，因此b 的子集 或= n 甄：帆sn 帆+ 。 中的元素同时满足( 2 1 3 ) 和( 2 1 4 ) 式最后将e = 西碳中的元素由小到大进行 排列，记为 ，1 易证它满足( 2 1 1 ) 式，从而必要性得证 i n ( k )l n f 2 ) 存在n + ，捕v - 1 - - ； ”+ o o 当i n az ( 。) 1 ，则由a 。弹。 a 。驴) 得j 甄i 带 1 于是存在正数7 及 n 驴 的子列( 不妨仍记为 格) ) ，使v n 十有 垃1帆ln a 。一。一” 取t 屯 = 堪。) ， n ： = 趱 ，则 屯) 与 为两个递增的正整数序列，且 ( 1 + 7 ) i n a n - ，扣= 1 ，2 ，) 令p = 0 ，贝4 对于充分大的口，当碡 n 时，n 琶玩，于是由( 2 1 3 ) 式 可得 试l n ( 南l n m ) 出飞 晚一卢1 n ( 高胬) 。艘”堋肛 所以， l k l a 。 l n 入。) 一南， l n ( 1 k e h 4 ) 一a 。仃+ a 。( 1 n 。) 一南 1 5 由引理22 ，对于充分大的”，当n ： n 0 ，0 目 扎。时，看 l n ( k i e _ 1 ”一) n 。，取满足( i n a 。：) + = ( 老) m “，则l n a 。：= ( 老) 绮于是对于充分 大的 ，当札o n 墨以时 l n ( 1 k l e k ) 一a 。z + a 。( i n a 。) 一i 未sa 。：唧【( ) 9 2 1 1 ( 2 。1 7 ) 对于充分大的 0 1 当n n ：时，取可= a 芝7 a 。： k ，根据( 2 1 6 ) 式和引理 2 2 有 i n ( f k l e h z ) 一a 。威+ a 。( 1 n a 。) 一赤一j i 乏t + 页孑( 1 n i i ) 一i 素 = 一a 。1 - 。t - 1 瓦+ a 芝1 【( 1 + 7 ) ( 1 na 。：) 】一i 未 ( 南) 丽1 ( a ：) 南“p 【( 1 + 似专) 麓1 e x p 【( 1 + 们( 寿) ”可 ( 2 1 8 ) 结合( 2 1 5 ) ，( 2 1 7 ) 及( 2 1 8 ) ，可见当 充分大时， l n m ( 以) e x p 阮( 专) “1 1 】， 其中如是正的常数，l = m i 芦，订，所以 ：。匿。l n + i n _ + i n r m ( a ”) m 一 。旦1 i 善一曼m 一吼， 因此根据引理2 3 得，戛壁铲p 2 一札这与( 2 1 0 ) 式左边矛盾，故 必要性得证 本章取自文1 1 7 】 1 6 第三章平面上无限级d i r i c h l e t 级数的正规超级 对于无限级d i r i c h l e t 级数，文【1 7 中研究了半平面上它的超级和正规超级与 其系数问的关系本文主要讨论了全平面上的情形，得到了两个充要条件；对于随 机d i r i c h l e t 级数，证明了由它确定的随机整函数的超级几乎必然与其在每条水平 直线上的超级相同 3 1 无限级d i x i c h l e t 级数的超级 考虑d i r i c h l e t 级数 饰) = k e 孙， 其中s = 口+ i t ， k ) 为复常数列，0 = a o a 1 a 2 a 。t + o 。若 藏掣= 一o 。，甄i i n n 慨 ”_ 。 n 。 n _ 。a “ ( 3 1 ) ( 3 2 ) 则级数( 3 1 ) 在全平面上是收敛与绝对收敛的，它表示的函数f ( s ) 为一整函数 若其增长级 p l i m l n + i n + m ( a , f ) a - + c o 盯 = + o 。 则称级数( 3 1 ) 为无限级d i r i c h l e t 级数仿文f l7 引入如下的定义 定义3 1 无限级d i r i c h l e t 级数f ( 8 ) 在全平面上的超级m 定义为 p 2 ：1 而f i n + i n + i n m ( a , f ) f - - t - o o 盯 若，马鲢堕号望盟= p 2 ，则称d i r i c h l e t 级数，( 5 ) 具有正规超级p 2 引理3 1设。及口为正的常数，则函数 妒( z ) = 口”_ d x l n l n z 在嚣= e x p l e , + 蕊1 ( a - + o 。) 时达到最大值牟黠。e x p e 青硒1 p _ + 。o ) 证明；我们有 ( 。) = 口一扣1 n 霉+ 忐) ：口一：i l n z ( 1 + 。( 1 ) ) ( 写_ 十) 8 、 令妒( z ) = 0 ，得盯= ：h l n x ( 1 + o ( 1 ) ) ( x