（电磁场与微波技术专业论文）超分辨率电磁成像和基于传输线网络的左手媒质研究.pdf

趣分辨率电磁成像和基于传输线网络的左手媒质研究 超分辨率电磁成像和基于传输线网络的左手媒 质研究 硕士研究生：秦瑶 导师：崔铁军教授 学校：东南大学 摘要 超分辨率成像是电磁学与光学领域= | # 常重要的研究课题。在电磁成像中，通过高阶成像或近场成像方 法，可以捕捉到凋落波分量的信息，从而实现超分辨率成像。电磁逆散射与电磁成像本身是计算电磁学领 域中相当重要的分支，在地球物理学勘探、生物医学成像、地雷侦察等方面有广泛的应用。而近年来，左 手媒质被证明具有凋落波放大和超分辨率的完美成像性质。左手媒质又称异向介质，是最近几年新兴的国 际前沿课题，目前在许多国家已经受到不同寻常的重视。 电磁逆散射与电磁成像是一个复杂的非线性问题。在其大部分应用中主要采用线睦逆散射方法。但是， 线性逆散射对于大对比度的目标成像是不准确的。本论文提出高阶电磁逆散射成像算法，它在线性逆散 射的基础上不需要求解非线性积分方程，即可获得高分辨率的电磁成像。文章分别就二维和三维问题， 给出了高阶算法公式的详细推导，并且进行了大量数值仿真，验证算法的可靠性和有效性。 左手媒质具有许多不同于自然界中普通媒质的新奇性质。本论文分析了左手媒质的物理性质， 讨论了完美成像理论与高分辨率电磁成像。同时，综述了左手媒质的实现方法，并且提出实现左手 媒质的综合传输线模型，给出了左手传输线媒质的参数设计公式及推导过程，并利用商用软件对所 提出的左手媒质传输线实现方法与综合传输线模型进行仿真与比较。此外，文章讨论了利用左手媒 质实现开放式谐振腔和封闭左手谐振腔等的应用，对开放式谐振腔和封闭左手谐振腔的性质进行了 理论分析，并利用软件仿真加以验证。 关键词；超分辨率成像，电磁成像，逆散射高阶扩展波恩近似，左手媒质，负折射，综舍传输线 模型，开放式谐振腔，封闭式左手谐振腔 超分辨率电磁成像和基于传输线网绐的左手媒质研究 s t u d yo fs u p e r - r e s o l u t i o ne l e c t r o m a g n e t i c im a g i n ga n d l e f t h a n d e dm a t e r i a l sm a d eo ft r a n s m i s s i o n l i n es t r u c t u r e s m a s t e rc a n d i d a t e ：q i ny a o s u p e r v i s o r ：p r o f c u i t i ej u n s o u t h e a s tu n i v e r s i t y ，n a n j i n g ，p r c h i n a a b s t r a c t s u p e r - r e s o l u t i o ni m a g i n gi s o n eo ft h em o s ti m p o r t a n tt o p i c si no p t i c sa n de l e c t r o m a g n e t i c i n e l e c t r o m a g n e t i ci m a g i n g ，t h ei n f o r m a t i o no fe v a n e s c e n tv c a v e si sp o s s i b l et ob ec a p t u r e db yu s i n gh i g h o r d e ro rn e a r - f i e l dm e t h o d t h e r e f o r e ，s u p e rr e s o l u t i o ni m a g i n gc a nb er e a l i z e d e l e c t r o m a g n e t i ci n v e r s e s c a t t e r i n ga n di m a g i n ga r ei m p o r t a n tb r a n c h e si nt h ef i e l do fc o m p u t a t i o n a le l e c t r o m a g n e t i c s ，w h i c hf i n d w i d ea p p l i c a t i o ni ng e o p h y s i c a lp r o b i n g ，b i o m e d i c a li m a g i n g ，l a u d m i n ed e t e c t i o ne t cr e c e n ty e a r s ， l e f t - h a n d e dm a t e r i a l ( l h m ) h a sb e e np r o v e dt op o s s e s st h ep r o p e t t yo fa m p l i f i c a t i o no fe v a n e s c e n tw a v e s a n dp e r f e c ti m a g i n gw i t hs u p e rr e s o l u t i o n l e f t - h a n d e dm a t e r i a l ，a l s on a m e da sm e t a m a t e r i a l ，i san e w l y r i s e ns u b j e c tt h a th a sg r o w ni n t e r n a t i o n a l l yp o p u l a rr e c e n t l y i th a sn o wa r o u s e di n t e n s i v ea t t e n t i o no f v a r i o u sc o u n t i e s e l e c t r o m a g n e t i ci n v e r s es c a t t e r i n ga n di m a g i n ga r ec o m p l i c a t e dn o n l i n e a rp r o b l e m s i n n l o s to f a p p l i c a t i o n s ，l i n e a ri n v e r s es c a t t e r i n ga p p r o x i m a t i o nh a sb e e nu s e d h o w e v e r , l i n e a ri n v e r s es c a t t e r i n gi s n o ta c c u r a t ef o ri m a g i n go fh i g h - c o n t r a s to b j e c t s ，i nt h i st h e s i s ，h i g h o r d e ri n v e r s es c a t t e r i n ga l g o r i t h m s a r ep r o p o s e d o nt h eb a s eo fl i n e a ri n v e r s es c a t t e r i n g ，t h en e wa l g o r i t h m sr e s u l ti ng o o dr e s o l u t i o nw i t h o u t a n yr e q u i r e m e n tf o rs o l v i n gn o n l i n e a ri n t e g r a le q u a t i o n s i nt h ep a p e r , f o r m u l a so ft h el a i g h - o r d e r a l g o r i t h m sa r ec a r e f u l l yd e r i v e di nt h ec a s eo ft w od i m e n s i o n sa n dt h r e ed i m e n s i o n s ，r e s p e c t i v e l y ag r e a t d e a lo f n u m e r i c a ls i m u l a t i o n sh a v eb e e nd o n et op r o v et h ev a l i d i t ya n de f f i c i e n c yo f t h ea l g o r i t t m x s l h mh a sm a n ya m a z i n gc h a r a c t e r i s t i c sd i f f e r e n tf r o mn o r m a l l ye x i s t i n gm a t e r i a li nt h en a t u r e i nt h e t h e s i s ，s o m ep h y s i c a lp r o p e r t i e so fl h ma r ed i s c u s s e do np e r f e c ti m a g i n gt h e o r ya n ds u p e rr e s o l u t i o n i m a g i n g ，m e a n w h i l e ，ac o m p r e h e n s i v ei n t r o d u c t i o no nt h er e a l i z a t i o no fl e f t - h a n d e dm a t e r i a li sg i v e n ，a n d ag e n e r a lt r a n s m i s s i o n l i n em o d e lf o rt h el h mr e a l i z a t i o nh a sb e e np r e s e n t e d d e t a i l e dd e s i g nf o r m u l a s f o rp a r a m e t e r so fl h mt r a n s m i s s i o nl i n em a t e r i a l ，t o g e t h e rw i t ht h ed e r i v a t i o n a lp r o c e d u r e ，a r ep r o v i d e d b yu s eo fc o m m e r c i a ls o f t w a r e s i m u l a t i o n sh a v eb e e nc o n d u c t e df o rt h eg e n e r a lt r a n s m i s s i o nl i n em o d e l i nl h mr e a l i z a t i o nf i n a l l y , t h er e a l i z a t i o no fo p e nc a v i l i e sm a d eo fl h ma n dc l o s e dl h mc a v i t i e sa r e d i s c u s s e di nt h et h e s i sa st h ea p p l i c a t i o n so fl h mt h e o r e t i c a la n a l y s i sa n ds i m u l a t i o nr e s u l t so ns u c h p r o p e l t i e sa r ea l s og i v e n 东南大学硕士学位论文 k e yw o r d s ：s u p e 卜r e s 0 1 u t i o ni m a g i n g ，e l e c t r o m a g n e t i ci m a g i n g ， i n v e r s e s c a t l c r i n g ， h i g h o r d e r e x b o ma p p r o x i m a t i o n s ，l e f t h a n d e d m a t e r i a l s ，n e g a t i v er e f r a c t i o n ，g e n e r n t r a n s m i s s i o nl i n em o d e l ，o p e nc a v i t mc i o s e dl h m c a v i t y 东南大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特另4 加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发 表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用 过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明 并表示了谢意。 研究生签名：鑫璺日期：j ! 堕肛j 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的 复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内 容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可 以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研 究生院办理。 研究生签名：奎遂! 导师签名：彳盗笙垂日期：2 c 船箩2 馆印 第一章绪论 第一章绪论 1 1引言 人类一直以来的梦想之一就是拥有更敏锐的视觉。自从列文虎克发明了显微镜和伽利略 发明了天文望远镜以来，更为敏锐的视觉意味着可以看清非常遥远或者非常细小的物体。自 2 0 世纪以来，人们开始追求各种曾经不可能的“视觉”能力包括可以穿透我们周围的 遮蔽物或者是我们自身，以及利用人类视力所不可见的“光”。电磁成像因而诞生，并成为 科学与技术领域非常重要的课题。 我们知道透镜很早就被人类发明，长期以来应用于照相机等光学器械中，以在胶片或其 他媒质上成像。1 8 9 5 年，德国物理学家伦琴发现了可以穿透不透明物体成像的x 射线。不 久，该射线被确认为波长比可见光更短的一种电磁波。这之后x 射线被广泛应用于医疗成 像，并且不断得到发展。1 9 3 0 年美国的研究人员发明了利用无线电波段的长波探测飞机的 仪器。1 9 3 5 年，英国人沃森瓦特设计了更好的无线电波探测器雷达，并很快被英国军 方大量使用。从二战结束到现在，雷达成为应用极其广泛的一项成像技术，其具体应用领域 有民航飞机的航线控制、星球的表面探测、地面交通的车速检查、气象预测等等。它几乎可 以被称为是无处不在的。 电磁成像因为被广泛应用于生物医学成像、雷达探测、航海与遥感等诸多高科技领域， 而具有非常重要的意义。 1 2电磁成像的分辨率 在x 射线可以穿透物体的能力背后有其物理原因。那就是，根据瑞利准则( r a y l e i g h c r i t e r i o n ) ，一种电磁波通常只能用来分辨尺寸不小于大约其波长一半的物体。因此，波长越 短，能分辨的物体尺寸就越小：同时电磁波的波长还决定了成像的质量和清晰程度。波长越 短，清晰程度越高。 我们通常用分辨率( r e s o l u t i o n ) 来描述成像的质量。近年来，人们已经发现超分辨率( s u p e r r e s o l u t i o n ) 成像是可以实现的。所谓超分辨率成像。通常指分辨率小于四分之一波长的成像。 1 3逆散射成像 1 3 1 逆散射成像的意义 逆散射成像，是指通过收集和测量到的散射体以外的场的数据，得到散射体的形状和 ( 或) 性质。逆散射成像在各种探测与遥感方面的应用中有重大意义。例如，在地球物理学 探测中进行地下资源的勘探、地质构造的探察以及地质灾害的研究；在无损检测中不破坏和 损伤地检测物体，对它的性能、质量、内部有无缺陷进行判断：在微波和超声波的医疗成像 中诊断癌症等各种伤病；在埋地目标的探测中用于发现地下军事目标与有污染废弃物；在雷 东南大学硕士学位论文 达成像中侦察飞机等目标的形状与性质等等。除了得到目标的像以外，通过逆散射成像，人 们还可以得到散射体的介电常数、速度或导磁性等许多其他性质。 旷 义 广 ， e “。 图l - 1 散射体在入射场下引起散射场 1 3 2 逆散射成像的方法 大多数的成像方法利用电磁场或电磁波的数据来探查目标或得到目标的像。逆散射成像 是利用场的扰变或者由于目标存在而引入的散射场来得到目标的信息。如图1 1 ，当入射场 e ”照射到散射体v 上时，会在空间产生散射场e “，逆散射成像就是在已知入射场e ”的 情况下通过测量散射体外的总场e = e ”+ e ”来恢复散射体的性质。逆散射问题往往具 有相当的难度，尤其当场存在相互作用的时候，例如电磁逆散射问题。由于涉及到散射体内 部的多次散射效应，逆散射问题通常是非线性的；同时由于目标的高谱分量引起了凋落波， 该问题叉具有不唯一性。 有一种线性逆散射方法被称为衍射层析成像( d i f f r a c t i o nt o m o g r a p h y d t ) 技术，该方 法考虑了衍射效应，适用于散射体散射较弱的情况。这时单次散射起绝对主要作用，散射场 与目标体之间存在线性关系；这种情形下，波恩近似( b o ma p p r o x i m a t i o n ) 与r y t o v 近似都 可以用来计算散射场，散射场与目标特性函数之间构成傅立叶交换关系。衍射层析成像经常 用于超声波成像和微波成像，以在多次散射效应较弱的时候通过测量数据得到良好的目标重 建结果。但是当多次散射效应较强，无法忽略的时候，例如在背景与散射体具有强对比度的 情形下，衍射层析成像方法往往不够精确。 1 3 3 逆散射成像的分辨率问题 衡量逆散射方法好坏的准则之一是成像的分辨率。通常意义上来说，根据瑞利判据，远 场范围测量到的波得到的成像结果，分辨率大约在0 5 个波长左右。对于计算机层析成像 ( c t ) 或者x 光层析成像技术这样的逆散射方法而言，远场数据的成像结果被限制在0 5 个波长。近场光学显微镜或声子显微镜，可以通过近场数据的采集或是对凋落波的测量实现 分辨率限制的突破。近场表面测量提取了目标物体的高频信息，从而使得目标体的成像可以 达到亚波长的分辨率。一般说来，成像分辨率小于四分之一波长被称为超分辨率。 近些年来，研究人员发现如果采用非线性逆散射算法4 1 ，通过远场测量数据也可以同 2 第一章绪论 样可以得到超分辨率的成像。已经得到证明的是，基丁变形波恩迭代方法( d b i m ) 的远场 数据成像可以得到小到o i 波长的超分辨率”1 。这已经为数值模拟结果和实验室得到的实验 结果同时证明。从物理角度来说，我们可以将这一事实理解为。在变形波恩迭代方法既考虑 了近场的相互作用，也计算了散射目标内部的多次散射作用，因此变形波恩迭代方法用到了 更多的凋落波信息，因此相对于只考虑了单次散射的线性近似算法，它的成像结果要精确得 多。 1 4 左手媒质 1 4 1 左手媒质的背景与意义 折射是最为基本和重要的光学现象之一。当一束光穿过两种媒质分界面的时候。其路线 会发生变化。而如何变化由两种介质折射率的差异决定差异越大，光线偏折越多。折射的 概念尽管一般被理解为是关于可见光的，但实际上在所有电磁波段，折射的概念都存在。我 们所知道的所有自然界存在的物质所具有的折射率都为正数。 左手媒质( 1 e f t - h a n d e dm a t e r i a l ) 的概念于1 9 6 8 年由前苏联科学家v e s e l a g o 提出。在左。 手媒质中电场、磁场、和波矢量的方向呈左手关系【6 l ，见图l - 2 。通过假设和分析，v e s e l a g o 发现这种物质不违背任何物理定律，并且具有许多不同寻常的物理特性。同时，他认为左手 媒质的概念有更深刻的理论背景，可能改变我们对所有己知的电磁现象的认知。但由于人们 一直没有在自然界中找到这样的物质，左手媒质的概念被搁置了很久。 ee ( a )( b ) 图1 - 2 电场、磁场与波矢量的方向关系。( 8 ) 右手媒质；( b ) 左手媒质 直到2 0 世纪9 0 年代，p e n d r y 的工作揭开了左手媒质研究的新篇章，他指出了左手媒质 是可以实现的，提出了实现方法，并给出了仿真结果。此后左手媒质引起了广泛的关注，直 到现在此方面研究工作的数量仍在以惊人的速度增长。 1 4 2 左手媒质可以实现超分辨率 透镜可以用来成像。要达到最好的分辨率，需要一个相对较大的镜片，越大越好，并且 分辨率的下限为二分之一波长。这个下限在电脑芯片尺寸、d v d 存储能力等很多方面成为 了需要攻克的难题。 芝 东南大学硕士学位论文 b f 1 i ：“； 弋多 州 七七 辱n 图i - 3 波的传播和捅落波的衰减与放大 ( a ) 波通过透镜成像；( b ) 凋落波在透镜成像中的衰减； ( c ) 波通过左手媒质条带成像；( d ) 凋落波在左手媒质成像中的衰减与放大。 ( 本图引自j b p e n & y , d i l s m i t h r e v e r s i n g l t g h t w i t h n e g a t i v e r e f r a c t t o n ，” p h y s i c st o d a y , j u n e ，2 0 0 4 ) 透镜之所以无法达到更好的分辨率，是因为电磁波同时具有凋落波和传播波分量。其中， 凋落波分量在达到像点之前就已经衰减至很小。假使可以将凋落波放大，而放大的量又恰到 好处，那么我们就可以恢复出凋落波对成像的贡献，突破分辨率的限制。而左手媒质正好可 以做到这一点1 7 1 。 近场可以在左手媒质的表面激励起高频谐振，使已经衰减的凋落波在左手媒质内部被放 大。凋落波在媒质内部被放大的程度与在相当厚度的外部普通媒质中衰减的程度相抵消，如 图1 - 3 所示。利用左手媒质成像的分辨率也有其限制，这是因为任何媒质都存在损耗。损耗 越小，分辨率越高。 左手媒质这些奇异的电磁性质，将会对通讯技术、微波器件、光学器件产生极为重要的 影响。这引起了世界各国政府和军方的浓厚兴趣，纷纷探索其在军事领域中的应用前景。据 目前公开的资料，这些研究工作已经得到了诸如美国国防部、能源部、海军实验室、陆军实 验室、n a t o 等机构和部门的关注和资助。 1 5 本论文的主要内容与安排 本论文从电磁成像的分辨卒着手分析如何实现超分辨率。首先研究逆散射成像，考虑了 二维和三维的探地问题，在波恩近似和准线性近似方法的基础之上提出了新的高阶逆散射算 法一高阶扩展波恩近似，并通过数值仿真验证了算法的优越性。继而探讨了左手媒质实现超 4 第一章绪论 分辨率的“完美成像”理论，并研究左手媒质的实现。提出了基于加载l c 传输线和左右手 复合传输线的新模型一综合传输线模型。该模型克服了前述两种模型的缺点，因而更加完善。 通过软件仿真研究了综合传输线模型的有效性。此外，本文还讨论利用左手媒质的应用，研 究利用左手媒质实现开放式谐振腔，提出了具有特殊性质的封闭左手谐振腔。 文章的内容安排如下。 第一章，绪论。介绍了超分辨率的概念，电磁成像和逆散射的意义、方法与分辨率问题， 以及左手媒质的研究及其可以实现超分辨率等性质。 第二章，埋地目标的逆散射成像。推导了二维和三维半空间逆散射成像的高阶算法公式， 通过编程、仿真和结果分析，验证了算法的可靠性与优越性。 第三章，左手媒质与超分辨率。介绍了左手媒质的新奇特性，证明了左手媒质可以实现 超分辨率，并给出了仿真结果。 第四章，左手媒质实现的传输线方法。首先，介绍了左手媒质的可实现性问题和目前主 要的实现方法及各个方法的优缺点。详细介绍了左手媒质实现的传输线方法：加载l c 的传 输线和左右手复合传输线，并推导了设计公式。在此基础上提出了集两者优点的综合传输线 模型，通过软件仿真证明了综合传输线模型的有效性。 第五章，左手媒质的应用。首先对四区域的开放式谐振腔及其性质与机理进行研究，利 用加载l c 的传输线媒质来实现，并进行软件仿真辅助分析。然后提出了封闭式左手谐振腔， 对其性质进行了理论分析和仿真验证。 东南大学硕士学位论文 第二章埋地目标的逆散射成像 2 1 半空间问题 对半空间问题电磁逆散射成像技术的研究具有重要的实际意义。半空间问题的成像方法 在诸多领域有广泛的应用，如在军事与和平维护中地雷的侦测与排除、未爆炸军械的定性， 以及近地面地球物理学探测，和环境的评估与检测等。 考虑图2 - 1 所示的半空间问题模型。如果是埋地问题则上半空间a 区域为空气，下半空 间b 区域为地。散射耳标位于b 区域。在a 区域设置发射与接收装置，发射装置发出电磁波， 接收装置接收并记录电磁场的信息，用算法加以分析、反演，以确定散射目标的存在和位置， 恢复散射目标的形状和得到散射目标的性质。 发射机 a 区域 接收机 b 区域 散射体 图2 - 1埋地目标探测问题的模型 电磁逆散射的半空间问题比自由空间中的情形更为复杂。因为逆散射问题所要解决的是 散射目标与散射场之间的积分关系，而这个积分的核所包含的格林函数在半空间条件下要复 杂得多。由于空间区域的增加，往往需要考虑几种格林函数以及电磁场在空间分界面上的透 射与反射。其中三维问题又要比二维问题更复杂。下面将从二维问题着手研究埋地目标逆散 射成像的算法，然后进一步探讨三维问题。 2 2 二维问题 散射目标与散射场之间的关系是非线性的，因为散射目标内部存在多次散射效应。但在 一定的限制条件下，可以对这种非线性的关系进行线性化近似。因此，逆散射的理论可以粗 略地划分为线性逆散射和非线性逆散射。线性逆散射是通过适当近似，使得测量到的数据与 i f l 标特性函数之间呈线性关系。如此一来，只需要解一个相对容易的线性方程，就可以通过 测量数据恢复目标散射体的信息。在第一章绪论提到的x 光层析成像与计算机层析成像中， 6 第二章埋地目标的逆散射成像 x 光的衰减与其在所穿过路径上经历的衰减的积分和构成线性关系。在核磁共振成像( m 础) 中，接收到的无线电频率信号的振动旋转密度在一条直线上的积分和成正比。 考虑一个如图2 - 2 所示的二维探地问题。上半空间a 具有相对介电常数函和相对电导 率1 7 。，下半空间b 具有相对介电常数6 和相对电导率o o 。建立如图所示的直角坐标系， 原点位于a 区域与b 区域分界面上，x 轴位于分界面所在直线上，y 轴垂直子分界面。通常 a 区域为空气，有占。= 1 ，o a = 0 ；b 区域为有损耗的地。二维介质体散射目标埋于b 区域， 具有相对介电常数旬和相对电导率盯，。当s 。= 9 6 且盯。= 时，半空问问题退化为全空 间问题。 ld 重建区域i ! l 图2 - 2 二维探地问题模型 考虑多发射机与多接收机的情形。发射机与接收机均为二维点源，位于与a 区域分界面 平行的直线上。y s 0 的区域是未知的，选择一个包含所有散射体的长方形盒状区域 d = d 。d y 作为需要重建和恢复的区域。d ，和d y 为盒状区域的两条边长，区域内的相 对介电常数占( p ) 与相对电导率盯( p ) 可以定义为 i q p ) ，p e qf q ( p ) ， p 马 占( p ) = ， 盯( p ) = ( 1 ) 【岛， 其它 【， 其它 其中空间矢f p = 缸+ 勿，r p d 。d j 为第j 个目标体内区域。 设二维点源为2 方向的电流线源，则电磁场的模式是是横向极化的，所有电场极化方向 都是三方向。接收机接收到的电场是入射场和目标体的散射场相加后的总场： e o = e ：c + e t 2 ) 散射场满足积分方程 露4 ( p p ) = k 2 上幽g ( p ，p ) e a p ，p ，) o ( p ) ( 3 ) 7 东南大学硕士学位论文 方程中，p ，p ，分别是接收机和发射机的位置矢量；k 是自由空间波数；g ( p ，p ) 是p ， 在a 区域且p 在b 区域的半空间格林函数，可以由索莫非积分( s o m m e r f e l d 1 i k ei n t e g r a l ) 给 出： g 山， p ) = 去出画( e x p i k 砂一k b y y + 以( 耳叫】 ( 4 ) 这里， g o ( k x l = k b y + 二k a y ( 5 ) b 妇= 七2 瓦一 ( 6 其中瓦= 岛+ i a c o o c - o 和瓦= 岛+ i c r s o 是口区域和b 区域的复相对介电常数。 e 6 ( p ，p ，) 是b 区域的总电场，是6 区域入射场与散射场之和，满足如下积分方程 易( p ，p f ) = j 碧。( p ，p ，) + 七2 印宫( p ，p ) 露( p ，p ，) 。( p ) ( 7 ) 其中，e 誓( p ，p ，) 是b 区域的入射电场， j 。( p ，m ) = i k t ? o l g , k ( p ，p f ) ( 8 ) 为线电流源发射机的电流强度r o 为自由空间波阻抗。在式( 7 ) 、( 8 ) 中，g ( p ，p ) 为 p 和p 都在b 区域的半空间格林函数，g k ( p ，p ，) 为p 在b 区域p ，在a 区域的格林函数。 踟( p ，p ) = 石l l 呶- 1 瞳7 + 氏p 一7 + 1 p 4 r “ ( 9 ) 9 6 。( p ，p 。) = g ( p ，p ) ( 1 0 ) 0 ( p ) 是需要通过算法得到的目标散射体特性函数，定义为 o ( p ) = 文p ) 一磊= ( f ( p ) 一岛) + 二一( 仃( p ) 一o b ) ( 1 1 ) & 艏0 f = f + i o - , ：o o o o 是散射体的复相对介电常数。 2 2 1 线性逆散射方法 观察( 7 ) 式可以知道b 区域总场玩( p ，p ，) 与未知的目标函数d ( p ) 有关，要得到准确 的目标区域总场必须知道首先目标函数0 ( p ) ，因此要利用积分方程( 3 ) 由散射场 占( p p ) 得到o ( p ) 是一个非线性问题。 当目标函数较小时，可以采用波恩近似： e 6 ( p ，p ，) = 霹( p ，p ，) ( 1 2 ) 使得方程( 3 ) 转化为一个线性关系 8 第二章埋地目标的逆散射成像 e r ( p ，p ，) = k 1l 矗p g ( p ，p e 孑。( p ，p ，) o ( p ) ( 1 3 ) 从而可以比较容易地利用d t 等技术得到目标函数。 基于波恩近似的线性逆散射在实地探测中应用广泛。值得注意的是，适宜采用波恩近似 的条件是目标函数o ( p ) 较小。由目标函数的定义式( 1 1 ) ，可以看到，目标函数较小意味着 散射体的介电常数s ( p ) 、电导率o - ( p ) 与b 区域背景的介电常数岛( p ) 、电导率吼( p ) 较接 近，这种情形被称作低对比度。本质上来说，由于散射体的性质与背景的性质差异很小，因 此散射作用相对较弱，故可以忽略二次散射及之后的散射作用。这种情况下，( 7 ) 式中等号 后面第二项积分项比第一项( p ，p 。) 要小很多，因而有( 1 2 ) 式中的近似关系。 2 2 2 准线性近似 当敖射体与背景之闻对度增大，多次散射效应变得重要，不能被忽略，波恩近似也失 去了准确性。针对多次散射效应，已经有各种不同的非线性算法被提出，用于解决该问题。 多数非线性算法建立在牛顿法的基础上，通过解一系列正散射问题得到一个非线性算子的 f r 6 c h c t 导数，然后对结果进行优化。在这些算法中，变形波恩迭代法、波恩迭代法等都是 有效的算法。 为了解决多次散射效应所带来的问题，同时避免解非线性问题，z h d a n o v 等人提出了准 线性近似方法和修正准先行近似方法l b l 【。该算法引入一个算子z ( p ) ，假设 e ( p ，p ，) = z ( p ) f 碧”( p ，p 。) ( 1 4 ) 当z ( p ) = 1 时，可以看到( 1 4 ) 与( 1 2 ) 式完全一样，准线性近似变为波恩近似。事实上， ( 1 4 ) 式是对方程( 7 ) 的一个比( 1 2 ) 更准确的近似。z ( p ) 在物理意义上是一个反射系 数，描述多次散射的效果。 定义一个新的目标函数d o ( p ) ： o o ( p ) = z ( p ) 0 ( p ) ( 1 5 ) 那么有 既( p ，p ，) o ( p ) = e ( p ，p ，) 0 0 ( p ) ( 1 6 ) 将上式代入( 3 ) 中，可以得到 e ( p ，p ，) = 七2d p g “( p ，p ) e 7 ( p ，p ，) o b ( p ) ( 1 7 ) 很明显这是一个线性积分方程，并且需要说明的是这是一个准确的式子。它具有和方程( 1 3 ) 式完全一样的形式，因此可以同样地通过线性方法解得o o ( p ) 。如果可以得到反射系数 z ( p ) ，则利用( 1 5 ) 式的关系可以得到准确的目标函数d ( p ) 。 根据扩展波恩近似，半空间格林函数g ( p ，p ) 与j 函数的性状十分相似。当p ，接近p 时，格林函数g 的函数值非常大，而当p 离p 较远时函数值很小。 9 东南大学硕士学位论文 将( 1 6 ) 式代入( 7 ) 式，可以得到 e b ( p ，p ，) = e f 。( p ，p ，) + k 2 i ) d p g ( p ，p ) ，e f ( p ，p ，) 0 0 ( p ) ( 1 8 ) 考虑g b b ( p ，p ) 的类万函数性，将( 1 4 ) 式代入( 1 8 ) 式的左侧，利用扩展波恩近似可以得 到z ( p ) 近似的积分形式： z ( p ) = 1 + k 2 l 、d p g ( p ，p ) 0 0 ( p ) ( 1 9 ) 从而可以进一步得到目标函数d ( p ) 。 准线性近似方法适用于低频、高损耗的情况。这是因为当频率较低、背景损耗较大时， 瓦的虚部较大，因而格林函数的奇异性更好，更接近于艿函数。 2 2 3 高阶扩展波恩近似 下面的工作将在准线性近似的思想方法基础上，m z ( o ) 寻找更准确的近似。 如果对d 区域进行离散化，剖分成n 个网格。则( 1 8 ) 式可以用矩阵形式表示： e 6 = v e ? 。 ( 2 0 ) 其中e 6 = ( e me 6 ：，e 。) f 与e 荔= ( e 并，e 嚣，e 嚣y 为表示总场和入射 场的n 维向量，y = ( ) x 是系数矩阵，对应于z ( p ) 。由于( 1 6 ) 式中等号右边第一项 的存在，显然系数矩阵y 的每个对角线元素包含i ，而且一般说来该矩阵是满阵。 如果令 一y=-0=i(21) 那么对应地有g ( p ) = 1 ，易( p ，p ，) = j 矿( p , p ，) ，也就是波恩近似，我们令其为零阶近似。 如果将系数矩阵y 的每一个行非对角线元素都加到该行的对角线元素上，在对角线元 素占优的情况下，可以近似地令 v = x ：硪a g 羔k ，壹，量， ( ：z ) lj 。l j 。1 3 = 1 j 则y l 与( 1 9 ) 式中的x ( p ) 是完全等效的，因此( 2 2 ) 式就是准线性近似，我们令其为一阶 近似。 由此可见，从矩阵的角度来看，做准线性近似的基础就在于系数矩阵y 本身具有主对 角占优的性质。 利用一阶近似矩阵x ，将( 2 0 ) 重新写为一个准确的形式 e 。= 一y x 一孓e ( 2 3 ) 因为矩阵_ 1 是v 的近似，所以耳1 是y 一1 的近似，一y 一y l 一1 接近于i ：一y 可一，e y 本身 更接近于对角阵。因此，对矩阵v 一y l - 1 进行类似式( 2 2 ) 的近似：将矩阵每一个行非对角 线元素都加到该行的对角线元素上这个近似比之前所做的一阶近似更准确。如此可以得 1 0 第二章埋地目标的逸散射成像 l i y = - 2 = 西昭 x ，巧”丘o ，f ”只( ”，巧”霹 ( 2 4 ) l p l j t l，t 1 j 其中 d i a g p ，m ，爿”，硝l = - - 1 ( 2 5 ) 依此类推，我们可以得到n 阶近似的表达式 i ， 彳= e “= 踟g 嚣，巧帕只o ，砭，g 町砖，巧町踏 ( 2 6 ) l j 。l ，。l，。i j 其中 d i g k ，爿，带 = 砑1 ( 2 7 ) 高阶近似的表达式还可以写成积分形式 z ( p ) = 1 + _ j 2e 却( p ，p 7 ) 0 0 ( p ) ( 2 8 ) z ”“( p ) = i + a ”+ 1 ( p ) z ”( p ) ( 2 9 ) 爿”( p ) = k 2 上却台( p ，p 7 ) 0 0 ( p ) z ”( p ，) ( 3 0 ) 我们推导出y - - 维半空间问题高阶算法，可以归结为两个步骤：a ) 分别由公式( 1 7 ) 、 ( 2 8 ) 得到零阶近似结果0 0 ( p ) 和一阶反射系数z ( p ) ；b ) 由公式( 2 9 ) 、( 3 0 ) 得到高 阶反射系数z ”1 ( p ) ，进而由式( 1 5 ) 得到高阶近似的目标函数。由于高阶算法利用了扩 展波思近似，所以称其为高阶扩展波恩近似。 关于上述算法的两点说明： ( i ) 零阶近似结果o o ( p ) 的求解中进行了正则化处理； 将( 1 7 ) 式写为算子形式 e=eoo(3d 由于无法求得l 精确的逆算子，所以我们通过一个最优化过程来求解0 0 ，即寻找一个o o ， s = 忙一【o 。1 1 2 + 4 0 。旺 ( 3 2 ) 达到最小值。式中80 2 是欧几里德范数，范数：定义为 i i o 。旺= o ；面o 。 ( 3 3 ) 其中，面= i 或面= p 【。( 3 2 ) 式中右边第二项占l l o o 畦中正则化参数j 控制o 。的范数， 防止范数过大。傻占最小化的过程可以得到 1 1 东南大学硕士学位论文 ( p 【+ 瘟) 0 。= - + e ( 3 4 ) ( i d 利用了n 叮加速彳“的计算。 在求得零阶目标函数后，得到高阶结果的过程中，a ”1 的计算是需要较多时间的一个 环节，计算复杂度为d ( 2 ) 。考虑利用f f t ，通过式( 3 0 ) 计算4 “，可以将计算复杂 度降低到o ( n l o g ) 。 2 2 4 数值结果 为了验证二维高阶扩展波恩近似的逆散射方法是否具有可靠性和有效性，我们需要进行 数值计算验证。根据之前推导的算法，利用c o m p a qv i s u a lf o r a a n 编程。 羹际电导率f s m 一阶近似结果f s ，m ) 1 0 6 一o童 一1 0 5 善06篁4 o “ o j “_ 3。3 -4-40 j 0 2 o l2 34-234 x t m ix 柳i 被恩近似结果f s ，m ， = 阶近似结果f s m 一1 2 耋 h 3 2341234 ，l r n ) l 螂 圈2 - 3 单个散射体情况下成像结果与实际数据的比较 g b = 4 。o b = q o i s m ，| = 8 ，o i = i s m 0 , 4 0 2 假设重建区域是一个尺寸为仇x d y = 5 m 5 m 的方形区域，同时将其离散为 。n ，= 3 2 3 2 个单元。发射机和接收机位于半空间分界面上，共有5 0 个发射机和5 0 个接收机，交错分布，相i 拘发射机与接收机之间相距o 1 m ，工作频率为5 m h z ，在该频 率上目标函数d ( p ) 的表达式( 1 1 ) 中电导率项的贡献要比介电常数项的贡献要大得多，因 此目标函数可以近似为 d ( p ) = f 阜帆( p ) 一】= f 睾( p ) ( 3 5 ) 一 以 弗 一 耄_ 啪 m 第二牵埋地目标豹逆教射成像 因此，逆散射运算实际上恢复的是一个实数目标函数p ，( p ) 。但是为了得到更贴近于实际 的测量数据，背景和散射体的介电常数在生成蒯量敛据的过程中被使用。 ( a )( b ) z ( m ) 圈2 - 4单个散射体情况下成像结果与实际数据的比较 s b = 4 口l ；0 m s m ，8s = 8 ，口i = i s m ( a ) z = - ：3 ，栉( b ) 工= 2 5 m 第一步，设定目标散射体个数，形状以及目标函数，通过正散射计算加以一定的噪声考 虑得到模拟的测量散射数据，再进行第二步逆散射运算。 首先考虑单个散射体的情形。设重建区域背景的损耗较大，介电常数和电导率为 岛= 4 ，o - b = 0 o i s m ，当散射体的介电常数为s ，= 8 ，电导率为0 5 = i s m 时，图2 3 给出了重建区域实际电导率与波恩近似、一阶近似以及二阶近似的计算结果比较。其中，正 散射计算中加入了1 0 的白噪声；正则化处理中选择了b = i ，l ，艿= 0 1 。图2 4 ( a ) 、 ( b ) 分别画出了在z ；- 3 m 和工= 2 5 m 两条线上的电导率实际值与重建值。 下面考虑重建区域内有两个散射体，背景的介电常数和电导率岛= 4 ，o 8 = 0 o i s m ， 散射体的介电常数为占，= 8 ，电导率为o a =