（电路与系统专业论文）curvelet变换与偏微分方程在图像去噪中的应用研究.pdf

摘要 图像的获取和传递的过程存在着种种干扰，这就使得图像不可避免的 受到噪声的污染。如何有效对图像进行去噪处理一直是图像处理领域中研 究的热点。它对提高图像质量有着重要的意义。图像去噪的核心问题是消 除图像的噪声和保持图像的特征。本文对基于c u r v e l e t 变换和偏微分方程 ( p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ) 的图像去噪模型进行了深入的研究。 c u r v e l e t 变换具有多尺度的特性，能够聚焦图像的微小变化。同时它 引入了一个方向参数，又具有方向性，对图像的边缘，轮廓等特征有着良 好的表达能力。这使它在图像的去噪领域有着很好的表现。 偏微分方程对图像进行去噪是对整幅图像进行处理。它能根据图像的 特征及方向对图像进行平滑。它在对图像去噪的同时不会造成图像边缘信 息的模糊。详细介绍了p - m 扩散模型和t v 扩散模型两种经典的偏微分去噪 模型，它们都有着良好的边缘保持能力，但是也存在着“阶梯 效应，细 节和纹理丢失等问题。 本文在详细分析c u r v e l e t 去噪模型和偏微分方程去噪模型基础上，提 出了结合c u r v e l e t 变换的各向异性扩散图像去噪模型。它有机的结合了 c u r v e l e t 变换及偏微分方程去噪方法的优点。通过选择合适的偏微分方程 参数值处理经过c u r v e l e t 变换得到的图像的不同c u r v e l e t 系数矩阵改进 了各向异性去噪模型。实现了建立在对图像精细分析的基础上的新的各向 异性扩散模型。新模型的处理结果能有效避免传统各向异性扩散出现的阶 梯( s t a i r c a s i n g ) 效应，更好的保留图像的纹理和细节。多组实验证明新 模型获得了比c u r v e l e t 去噪和传统各向异性扩散模型的更高的p s n r 值和 更好的视觉效果。 关键词：图像去噪，c u r v e l e t 变换，偏微分方程，各向异性扩散，p m 扩 散。t v 扩散 a b s t r a c t t h e r ea r ei n e v i t a b l ys o m en o i s e si ni m a g eb e c a u s eal o to f i n t e r f e r e n c e se x i s ti nt h ep r o c e s so fg e t t i n ga n dt r a n s m i t t i n gi m a g e h o wt or e m o v en o i s e se f f i c i e n t l yi th a sb e e nac o n s t a n tr e s e a r c h t o p i ci nt h ef i e l d so fi m a g ep r o c e s s i n g d e n o i s i n gi si m p o r t a n tf o r i m p r o v i n gi m a g eq u a li t y r e m o v i n gt h en o i s e sa n dm a i n t a i n i n gi m a g e c h a r a c t e r i s t i c si st h ec o r ei s s u eo fi m a g ed e n o i s i n g i m a g e d e - n o i s i n g m o d e l sb a s e do nc u r v e l e tt r a n s f o r ma n dp a r t i a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r es t u d i e dd e e p l yi nt h i sp a p e r t h ec h a r a c t e r i s t i co fm u l t i s c a l e e n a b l ei tt of o c u ss m a ll c h a n g e so ft h ei m a g e i t sd i r e c t i o np a r a m e t e re n b l e i tt og i v e e x p r e s s i o nt oi m a g ee d g e s a n dc o n t o u r se x c e l l e n t l y t h o s em a k e c u r v e l e tt r a n s f o r md oag o o dw o r ki nt h ef i e l d so fi m a g ed e n o s i n g p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sf o ri m a g ed e 。n o i s i n gb a s eo nt h e w h o l ei m a g e i tc a ns m o o t ht h ei m a g eu n d e ri m a g ef e a t u r e sa n dt h e i r d i r e c t i o n s s oi tc a nr e m o v en o i s e sw h i l ep r e s e r v ee d g e sw e l l t h e p md i f f u s i o nm o d e la n dt vd i f f u s i o na r ei n t r o d u c e dd e t a il e d l y ，t h e y c a nk e e pt h ee d g ew e l lb u te x i s tt h es h o r t c o m i n g so fs t a i r c a s i n g e f f e c t ，l o s es m a l ld e t a i l sa n dt e x t u r e s a ni m a g ed e - n o i s i n gm o d e lb yi n t e g r a t i n ga n i s o t r o p i cd i f f u s i o n w i t hc u r v e l e tt r a n s f o r mi sp r o p o s e di nt h i sp a p e rb yd e t a i l e d a n a l y s i so fc u r v e l e td e n o i s i n gm o d e la n dp a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sd e n o i s i n gm o d e l t h em e t h o dh a sc o m b i n e dt h es t r o n g p o i n t s o fc u r v e l e t t r a n s f o r mw i t h p a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s d e - n o i s i n gm e t h o da n dc o n q u e r e dt h e i rd i s a d v a n t a g e s i t sm a i n p r i n c i p a lt oi m p r o v et h ea n i s o t r o p i cd i f f u s i o nd e 。n o i s i n gm o d e lb y m e a n so fd e a l i n gw i t ht h ed i f f e r e n tm a t r i x e so fc u r v e l e tc o e f f i c i e n t o ft h ei m a g eb yc u r v e l e tt r a n s f o r m v i ac h o o s i n ga p p r o p r i a t e p a r a m e t e r so fp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i t sc a r r i e do u tt h e n e wa n i s o t r o p i cd i f f u s i o nm o d e lb a s e do nt h er e f i n e da n a l y s i so f i m a g e t h er e s u l to ft h en e wm o d e lc a na v e r tt h es t a i r c a s i n ge f f e c t i nt h et r a d i t i o n a la n i s o t r o p i cd i f f u s i o ne f f e c t i v e l ya n dk e e pt h e t e x t u r e sa n dd e t a ilso fi m a g e sb e t t e r t h isp a p e rh a sa r g u e dt h a t t h en e wm o d e lh a sg o t t e nh i g h e rp s n ra n db e t t e rv i s u a lq u a l i t yt h a n c u r v e l e td e n o i s i n ga n dt r a d i t i o n a l a n i s o t r o p i cd i f f u s i o nm o d e l k e yw o r d s ：i m a g ed e n o i s i n g ，c u r v e l e tt r a n s f o r m ，p a r t i a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，a n i s o t r o p i cd i f f u s i o n ，p - md i f f u s i o n t v d i f f u s i o n i 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任 何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要 贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明 的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：百丐墒厶 矽，厂年6 月2 ，p 日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文 被查阅和借阅。本人授权湖南师范大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存 和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密吼 ( 请在以上相应方框内打“。) 作者签名：力丐胡红 日期：) 口口辟月矽日 导师躲括夺日期：7 瞄年6 月加日 。j ， c u r v e l e t 变换与偏微分方程在图像去噪中的应用研究 第一章绪论 1 1 论题背景与意义 作为人类最高级的感知形式之一，视觉在人类传递和获取信息的过程 中起着相当大的作用，它是人类获取信息的重要途径。据研究，在人类所 有接受的信息中，有6 0 的信息为视觉信息。这其中图像又是人类获取视 觉信息的一个重要途径。俗话说百闻不如一见，相较于其他信息，图像信 息包含着更大的信息量，表达更直观和准确，在信息的传递过程中有着更 高的效率和更广泛的适用性。特别是在当今多媒体技术和互联网技术高度 发展的信息社会，数字图像更是在信息的传递过程中起着举足轻重的作用， 数字图像处理技术无论在理论上还是实践上都存在着巨大的潜力n 】。 一幅图像可以定义为一个二维函数f ( x ，y ) ，这里x 和y 是空间坐标，而 在任何一对空间坐标的幅值，称为该点图像的强度或灰度。如果图像在空 间和灰度上都是连续的，我们称此图像为连续图像或模拟图像。如果我们 对某连续图像进行离散化，如数字摄影、扫描等，使得空间坐标x 和y 及幅 值，为有限、离散的值，就获得了此连续图像的数字图像形式。这样数字 图像可以表示为一个矩阵 f = u ( f ，脚村。， ( 1 - 1 ) 其中l i m ，l _ ，o 厂( f ，j ) 2 5 5 。 数字图像处理，也就是利用数字计算机及其它有关数字技术对图像进 行运算技术及处理，使经过处理的原图像能满足某种需要。数字图像处理 技术在2 0 世纪6 0 年代末和2 0 世纪7 0 年代初开始用于医学图像、地球遥 l 硕士学位论文 感监测和天文等领域。发展至今，数字图像处理技术已经成功应用于天文 学、生物学、核医学、法律实施、国防及工业等众多领域中，在这些领域 中发挥着相当重要的作用。 图像的平滑去噪作为数字图像处理领域的一项很基本的重要的技术， 是数字图像处理中一个长期的热点领域。一幅图像在其获取和传输的过程 中将会引入噪声，例如图像在获取中由于环境条件和传感器自身的质量引 入噪声，在传输过程中因为传输信道的干扰而被噪声污染等等，这些可以 说是不可避免的。噪声的引入必将影起图像质量的下降，从而影响到图像 的应用，因而需要对数字图像进行去噪，对数字图像的进行平滑去噪处理 质量的好坏将直接影响到图像的分割、识别等后续处理及应用过程。图像 去噪领域的最重要的一个问题就是如何在良好去除噪声的同时保持图像的 特征，人们针对这个问题做了大量的研究工作，提出了多种去噪模型。 c u r v e l e t 变换( c u r v e l e tt r a n s f o r m ) 和偏微分方程( p a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ，p d e ) 是近年发展起来的数字图像处理中的两项新技术，它们在 数字图像处理的众多领域中发挥着越来越重要的作用。它们在图像平滑去 噪领域中也有着优异的表现，但同样也有着各自的缺点和局限。 1 2 c u r v e i e t 变换在数字图像处理的发展简介 小波变换近十几年来被广泛应用于众多领域之中，取得了许多令人瞩 目的成就，现在已经成为了一个重要的数学分析工具，吸引了众多科学研 究者的注意力。在图像压缩、去噪、增强、特征提取、数字水印等数字图 像处理领域中，小波变换也有着卓越的表现。在m p e g 4 和j p e 9 2 0 0 0 等国际 标准的实现中小波变换更是关键技术。但是小波在对二维信号的表达上有 2 c u r v e l e t 变换与偏微分方程在图像去噪中的应用研究 它的固有缺陷，它只能反映信号的零维奇异性，即反映奇异“点的位置 和特性，而难以表达更高维的特性。而图像的边缘等线条信息恰恰包含了 图像的大部分信息。针对小波的这些研究，促使e j c a n d e s 和d l d o n o h o 于1 9 9 9 年提出了c u r v e l e t 变换( c u r v e l e t t r a n s f o r m ) 理论 9 1 。c u r v e l e t 变换由 于引入了一个方向参量，因此它具有高度的各向异性特征，具有良好的边 缘和线状细节等的表征能力。它对图像的边缘有着优越的表达能力，能以 较少的非零系数精确的表征图像的边缘信息。c u r v e l e t 理论的初期是建立在 r i d g e l e t 1 0 l 理论的基础之上的，它的数字实现采用含7 个参数的复杂结构【l l 】， 使得数学定量分析十分困难；另外，为克服变换中的块效应，使用重叠的 窗口，又增加其数字实现的冗余度。所以其早期的c u r v e l e t 应用的范围不是 太广【1 2 。1 4 】。文献【1 5 】提出了一种新的c u r v e l e t 变换实现形式，它彻底摆脱了 与r i d g e l e t 理论上的联系，而且在实现上也不再需要r i d g e l e 的参与，它的实 现比第一代的c u r v e l e t 变换实现更简单、更便于理解。 c u r v e l e t 变换出现只有几年时间，虽然不能确定c u r v e l e t 变换以后能 否在数字图像领域发挥和小波同样重要的作用，但是其已经在数字图像处 理的众多领域显示出了它的优势，体现出了它在数字图像处理领域中巨大 的发展潜力。 1 3 偏微分方程在数字图像处理中的发展简介 一 偏微分方程是近年来数字图像处理研究中的一个热点，被广泛的用于 数字图像处理的各个领域当中。将偏微分方程应用到数字图像处理中的想 法可以追溯至l j g a b o r 4 1 的工作，然而其实质性进入数字图像处理领域归功于 k o e n d e r i n k l 5 1 和w t i k i n l 6 弓 入尺度空间的概念，通过对图像进行高斯滤波可 1 硕士学位论文 以获得图像的多个尺度的表达即图像的尺度空间，他们指出由高斯滤波得 到的图像等价于用经典的热扩散方程对图像进行各向同行扩散。也就是说 设原图像为i ( x ，y ，0 ) ，i ( x ，y ，f ) 为时间r ( 即对图像平滑的迭代次数) 时的平 滑图像，则图像的热扩散方程为 掣：a i ( x , y , t ) ， ( 1 2 ) 叫 其中4 讹m 砂为图像的拉普拉斯算子，方程的初始条件为，( 葛弗o ) ，其解为 j ( 薯弘f 户g 叮( 础0 ) g ( 五y ) = c t - 1 e x p - ( x 2 + y 2 ) 4 0 ， ( 1 - 3 ) 这里的 为卷积，以上两个公式说明了初始图像与不同尺度的高斯滤波器的 卷积等价于热扩散方程的解。此方程是各向同性的，对图像的所有成分采 用同样强度的扩散，在去噪的同时也会模糊掉图像的边缘和细节。他们的 理论将偏微分方程引入了数字图像处理领域。在8 0 年代后期，h u m m e l 1 8 1 发 现热扩散方程不是唯一产生尺度空间的抛物线方程，指出满足极大值原理 的演化方程也能定义尺度空间，而极大值原理可以视为因果性的数学解释。 p e r o n a 和m a l i k t r l 弓l 入的异向扩散方程是这个领域最有影响力的工作。 他们提出用保边界的具有方向性( 各向异性) 的热扩散方程来代替高斯平 滑滤波器，其基本思想是在滤波过程中引入边缘检测并允许尺度的交互。 p m 扩散通过引入一个扩散系数函数叫力改进了热扩散方程 掣：d i v c ( 五只f ) w ( 葺，) 】， ( 1 4 ) 纠 其中d i v 为散度算子，v 为梯度算子，他们在文献 7 l q b 用i i v i ( x , y , o i i 实现了对 边缘的检测，扩散系数函数c 力成为i i v z ( x , y , 0 i i 为变量的单调下降函数， 这样它就能控制图像各点的扩散强度，使得扩散主要发生在图像的区域内 部，而在各区域的交界处即边缘处减弱扩散甚至不扩散，所以p m 扩散能在 4 c u r v e l e t 变换与偏微分方程在图像去噪中的应用研究 实现平滑噪声的同时保留甚至增强图像的边缘特征，达到平滑和锐化的平 衡。但是p m 扩散对孤立噪点和纹理的处理还不够理想嗍。 1 9 9 2 年r u d i n ，o s h e r , f a t e m i l 2 6 1 等人将，( t o t a lv a r i a t i o n ) 去噪模型引入图 像去噪领域，它是有界变差函数( b v ) 空间理论应用于图像处理的经典案 例，图像”的t v 定义为 ( 甜) = iv “i d q ， ( 1 5 ) q 为图像的定义域，他们发现含噪图像的t v 值比原图像的t v 值总是要 大，这样图像去噪就演变成了最小化问题，甜。为含噪图像 m 。i n e ( ) = r v ( “) + 鲁l l 甜- - u 01 2 d q ， ( 1 - 6 ) o z 1 9 8 9 年m u m f o r d 和s h a h t l 翻提出了用偏微分方程处理图像分割的方法， 他们的工作统一了很多图像分割方法，并提出了很多理论和实际问题。2 0 0 1 年c h a n 和v e s e 又提出了基于水平集的方法图像分割方法。 经过这些年的发展，基于偏微分的图像处理方法已经从最初的图像去 噪扩展到图像分割、图像修复、图像压缩等多个数字图像处理领域。 本文对偏微分方程在去噪领域的应用进行了研究，详细的介绍了p - m 扩散及t v 扩散两种各向异性扩散模型。并针对各向异性扩散模型出现的 阶梯效应和过度平滑纹理和细节等缺点，提出了结合c u r v e l e t 变换的各向 异性扩散模型。新模型有效的克服了单独使用c u r v e l e t 去噪和各向异性扩 散两种去噪模型的缺点和局限。 1 4 论文的结构 本文结构如下： 第一章介绍论文选题背景和意义，对c u r v e l e t 变换和偏微分方程在数字 硕士学位论文 图像中的应用历史做了简要介绍。 第二章本章对c u r v e l e t 变换的原理和其在图像去噪领域的应用的原理进 行详细介绍，并对基于c u r v e l e t 变换去噪的优缺点进行了分析。 第三章本章介绍了偏微分方程在图像去噪领域的应用，详细介绍了各向 同性热扩散方程，各向异性的p m 扩散方程，各向异性的，r v 扩 散方程的三类经典偏微分去噪方法的原理，并对它们的优缺进行 了探讨。 第四章本章为本文的核心章节，提出了结合c u r v e l e t 变换的p m 扩散模 型和t v 扩散模型，并通过多组实验证明了这两个新模型的有效 性。 第五章总结与展望。对论文所做工作进行了总结，并展望了今后研究的 两个方向。 6 c u r v e l e t 变换与偏微分方程在图像去噪中的应用研究 第二章c u r v e ie t 变换及其在图像去噪中的应用 e j c a n d e s 和d l d o n o h o 于19 9 9 年提出了c u r v e l e t 变换( c u r v e l e t t r a n s f o r m ) 理论【9 】。c u r v e l e t 变换不仅是多尺度的，而且引入了一个方向参 量，因此它具有高度的各向异性特征，更加适合分析二维图像中的曲线或 直线状边缘特征。它对图像的边缘有着优越的表达能力，能以较少的非零 系数精确的表示出图像的边缘信息，因此它对图像具有更高的逼近精度和 更好的稀疏表达能力。在c u n r e l e t 理论的起始阶段，它是建立在r i d g e l e t 的 框架之上的，它实现起来不仅复杂而且有较高的冗余度。e j c a n d e s ，l d e m a n e t ，d l d o n o h o 1 5 1 等人对这些缺陷进行了改进，于2 0 0 5 年提出了一 种新的c u r v e l e t 变换实现，使c u r v e l e t 变换摆脱了与m d e g e l e t 理论的联系， 其实现过程也不再需要r i d e g e l e t 的参与，更加的简单快速，冗余度也被大 大减少。本章介绍的c u r v e l e t 变换是基于新一代的c u r v e l e t 变换理论。本章 将对的c u r v e l e t 变换原理及其在去噪应用做详细介绍，并给出实验结果及分 析。 2 1c u r v e i e t 变换理论 2 1 1 连续c u r el e t 变换 以下讨论及定义均基于二维空间r 2 ，其中x 为空间参量，为频率域 参量，和口为频率域下的极坐标。 我们首先定义“半径窗( 力和“角窗 v ( 幻，它们是平滑、非 负、实值的，并且满足以下容许性条件： 7 硕士学位论文 w 2 ( 2 j ，) = 1 ， r ( 3 4 ，3 2 ) ， ， v 2 ( t - 1 ) = 1 ，t e ( 一1 2 ，1 2 ) ， ，= ( 2 1 ) ( 2 2 ) 对于所有，我们引入定义于傅里叶频域的频率窗珂 她胪2 训4 w ( 2 嘲y ( 丑铲) ，( 2 - 3 ) 2 表示2 的整数部分。由以上定义可知，妫聊晰定义的位 于极坐标的“楔形 窗e l ，如图2 1 所示。 一翳 一椤 ( a ) 曲波频域 ( b ) 曲波时域 图2 1 曲玻的时域和颓域，阴影部分录示一个楔形窗，为曲波的支撵区间 在以上基础上我们定义“母”曲波纺( x ) ，其傅里叶变换参_ ， ) = 劬 ) ， 这样我们就可以通过旋转和平移伊，得到尺度2 一，的所有曲波。引入 相同间隔的旋转角度序列q = 2 x 2 - - i j 2 1 ，= 0 ，1 ，0 岛 = 丘：厂( x ) 瓦习习玉， ( 2 5 ) 频率域的曲波变换为 酊 7 ，咖由膨厩西国= 击j ( 啪( 国) e i 帕) 批( 2 - 6 ) 和小波理论一样，曲波也有粗尺度成分，引入低通窗口厮，满足 i w o ( r ) 1 2 + 1 形( 2 - 7 r ) 1 2 = 1 ，( 2 - 7 ) 对于k l ，k 2 z ，定义粗尺度下的c u r v e l e t 为 ，七( x ) = ( x 一2 一向七) ，魂( a 0 = 2 - j 。w o ( 2 i c 0 1 ) ， ( 2 - 8 ) 因此，粗尺度下的曲波不具有方向性。这样，完整的曲波变换是由精细 尺度下的方向成分( 吩，t ) ，。舭和粗尺度下的各向同性的小波( 中而，t ) i 组成。 图2 1 描沭了这种结构。 2 1 2 离散c u r v e le t 变换 在连续曲波变换中，窗口q 将频率域光滑的分成不同角度的环形，但是 这种方式并不适合二维笛卡儿坐标系。因此，我们用基于同心方块区域的 笛卡儿环( c a n e s i a nc o r o n a e ) 来实现离散曲波频率域空间划分，如图2 2 所示。 9 硕士学位论文 图2 2 高散曲波频率空间区域分块图，阴影部分为一个楔形窗 基于以上讨论，类似于连续曲波变换中的频率窗q ，我们定义离散曲 波中的“笛卡) l , ( c a r t e s i a n ) 窗口移j j u s ( 国) ：= 矿_ ，( 国) 巧( 国) ， ( 2 - 9 ) 其中， 既( 脚) = 何丽丽，o ，v s ( c o ) = v ( 2 2 1 a j 2 a ) ， ( 2 - 1 0 ) 被定义为一维低通窗口的内积： 巾_ ，( c o l ，吃) = ( 2 一，q ) ( 2 7 哆) ， ( 2 1 1 ) 函数值域为 0 ，1 ，在区间 一1 2 ，1 2 中值为l ，在区间 一2 ，2 之 外值为零。 引入相同间隔的斜率序列率t 锄岛 - - - - l - 2 - 0 7 2 1 ，= 一2 叫2 1 ，2 u ，2 】一l ， 定义： 移( 缈) ；( 缈) 巧( s 匆缈) ， ( 2 - 1 2 ) 品为剪切矩阵( s h e a r m a t r i x ) ：品# ( 一。二臼? ) 综上所述，某位置的离散曲波为： c u r v e l e t 变换与偏微分方程在图像去噪中的应用研究 磅舢( 神= 2 3 州磅【蹯。一两r b ) lb 取离散值( 毛2 一，恕2 - 们) 。 这样我们就得到位于二维笛卡儿坐标下的离散曲波变换： c c ，z ，后) = 伊 炀( 1 c o ) e 辨四d 国， ( 2 1 3 ) 2 1 3 离散c u r v e l o t ：变换的数字实现 现在一般是采用u s f f t ( u n e q u a l l y s p a c ef a s tf o u r i e rt r a n s f o r m ) 实现 快速离散c u r v e l e t 变换( f d t c ) t 1 5 】： 1 ) 对l 2 ( r 2 ) 中的苁r l ，如) 进行2 df f t 变换得到f ( h ，n 2 ) ，一i n ，n 2 k t r t r a ) ，通过m o n t e c 砌。分析方法估计噪声 方差，在最细的尺度上取k = 2 8 ，其他各个尺度上j = 2 2 ，然后 对曲波系数c d ( ，七) 进行硬阈值处理，阈值后的曲波系数为 u ，1 ，七) ； 4 ) 对u ，1 ，七) 进行曲波逆变换。 5 ) 进行逆循环平移，并求平均，得到求得信号北) 的估计值庀) ( 即 去噪后的信号) 。 2 3 实验结果及分析 本节采用5 1 2 x 5 1 2 大小的l e n a 图片对传统c u r v e l e t 去噪模型的有效 性进行实验，所加噪声为均值为零的高斯白噪声，结果入图2 5 所示意 1 4 硕士学位论文 可以看到，去噪后的l e n a 图片具有良好的视觉效果，l e n a 帽子的边 缘及帽子上羽毛纹理都比较清晰，既有效的去除图像噪声的同时也良好的 保留了图像的纹理信息。 但是也可以发现在帽子项部边缘和羽毛尾部纹理出现了一些模糊，究 其原因，主要是阀值法的固有缺陷引起的。选取某一阀值只能保证被置零 的c u r v e l e t 系数为噪声形成的几率很大，但它并不能保证所有低于阀值的 c u r v e l e t 系数为噪声带来的j 这样就会产生了两个后果：一，部分噪声 c u r v e l e 吐系数因为大于阀值而被保留下来，没被有效去除；二，一部分由 边缘，细节形成的c u r v e l e t 系数因为小于阀值被误判而被去除，这样就造 成了图像信息的丢失。如果我们把阀值设小，虽然能保留更多的图像特征， 但是噪声不能得到有效去除，阀值设大虽噪声能被去除但是图像信息也会 严重损失。虽然出现了很多阀值的估计算法，但是它们也只能在去噪和保 留图像特征之间得到一个更好的平衡点，而不能解决阀值法由于本身性质 所带来的缺陷。 除了一些边缘和纹理模糊外，还可以从图片观察到“环绕效应2 8 1 即 图像上出现许多交错的划痕。这主要是因为c u r v e l e t 变换具有线状局域相 关性，也就是说，图像在c u r v e l e t 域中的某个c u r v e l e t 系数改变会引起图 像在空间域一条直线上的值都发生改变，这种线状局域相关性所表现出来 的就是“环绕效应。c u r v e l e t 变换的这种“环绕 效应尤其在图像去噪、 融合等应用领域体现得比较明显。如何克服“环绕 效应在c u r v e l e t 变换 理论中是个非常值得研究的课题。 本文在第四章所提出的结合c u r v e l e t 变换的偏微分去噪模型将会有效 1 6 c u r v e l e t 变换与偏微分方程在图像去噪中的应用研究 的克服传统c u r v e l e t 去噪模型所带来的边缘，纹理和细节被过度模糊的现 象和“环绕 效应。 、 2 4 小结 c u r v e l e t 变换是近年出现的一种多尺度分析方法，它对图像中的线性 特征有着良好的表达，在数字图像处理领域有着很大的应用潜力。 本章对c u r v e l e t 变换原理，数字实现方式及它在图像中的去噪应用方 法进行了详细的介绍。并在实验的基础上对传统c u r v e l e t 阀值去噪所存在 的一些问题进行了分析。 1 7 硕士学位论文 第三章图像去噪中的偏微分方法 k o e n d e r i n k t 5 1 和w t i k i n 6 三ji尺度空间的概念，指出由高斯迭代滤波得 到的多尺度图像等价于用经典的热扩散方程对图像进行各向同行扩散。在 将偏微分方法引入图像处理领域的早期阶段，人们主要集中于用各向同性 的线性扩散方法对图像进行处理。虽然取得了一些成效，但是它们本质上 是各向同性的，对所有图像成分的扩散强度是一样的，噪声和图像的重要 特征都会被一视同仁的平滑。所以它们在去除图像噪声的同时也会模糊图 像的特征，特别是图像的边缘信息，而图像的这些信息恰恰是引起人们视 觉敏感的信息。因此在早期阶段，偏微分方法并未在图像去噪领域引起足 够重视和发挥重要的作用。p e r o n a 和m a l i k t j 于1 9 8 9 年提出的各向异性的 p m 扩散方程，使得偏微分方法在图像领域的应用研究进入了一个新的阶 段。1 9 9 2 年r u d i 玛o s h e r ，f a t e m i 【2 6 1 等人又提出了图像去噪的t v ( t o t a l v a r i a t i o n ) 模型又进一步拓展了偏微分方程在图像处理领域中的应用。作 为偏微分在图像去噪领域的两种最主要模型，它们在图像去噪方面有着优 异的表现。本章将对热扩散方程，p m 扩散方程及t v ( t o t a lv a r i a t i o n ) 扩 散方程三种去噪模型做详细介绍，并且对它们所存在的问题进行分析。 3 1 各向同性的热扩散方程 3 1 1 各向同性的热扩散方程原理 k o e n d e r i n k 和w t i k i n 将尺度空间的理论引入图像处理领域，尺度空间 理论如今已成为对偏微分方程在图像处理领域研究的基础。 1 r c u r v e l e t 变换与偏微分方程在图像去噪中的应用研究 所谓图像的尺度空间就是通过用某滤波器对图像进行迭代处理产生的 一系列图象，其中下一尺度的图像为上一尺度图像经过滤波器处理的结果。 经过每级迭代滤波处理所形成的多幅图像就构成了图像的尺度空间，其中 大尺度下的图像平滑程度较大，而小尺度下的图像平滑程度较小。从算法 上来说，尺度空间可以看做是滤波器的迭代的过程；从集合角度而言，它 是同一图像所有的不同平滑结果的集合。k o e n d e r i n k 和w t i k i n 通过对图像 进行高斯滤波得到了图像的多尺度表达，并指出这个过程等价于用热方程 对图像进行扩散。 尺度空间主要分为线性尺度空间和非线形尺度空间。它是由滤波器的 线形与非线形的性质所决定的。 尺度空间有许多重要性质，其中最重要的一条就是因果性：当尺度由 小变大时，不产生新的细节特征，所以并不是所有的图像算子都能形成图 像的尺度空间。热扩散方程满足因果性，随着尺度t ( 即迭代次数) 的增 加，图像的平滑效果就越强，图像的细节特征逐渐被模糊掉，它能形成尺 度空间。2 0 世纪8 0 年代后期，h u m m e l 1 8 1 指出热扩散方程并不是产生尺度 空间的唯一抛物线方程，满足极大值原理的方程也能定义一类尺度空间。 这可以看成是因果性的数学解释。 热扩散方程最初出现于物理界，它有着明确的物理学意义，在空间里 温度高的点会将热量均匀传到周围，而温度低的点则会吸收热量，直到空 间温度达到一致。当把热扩散方程用于图像去噪中时，图像中的噪点就相 当于温度的突变点，热扩散会使整个图像的灰度值趋于一致，这样就达到 了去噪的目的。 1 9 硕士学位论文 设初始图像为i ( 础d ) ，i ( 础f ) 为时间r 时的平滑图像，则图像的 热扩散偏微分方程为 了o i ( x , y , t ) ：a i ( x , y , t ) ， ( 3 一1 ) 讲 其中a t ( x , 只o 为图像的拉普拉斯算子，其初始条件为， 只o ) ，其解为 j ( 础r ) = g i ，“五弗o ) g t ( x ，y ) = c t 一1e x p - - ( x 2 + y 2 ) 4 t ， ( 3 - 2 ) 这里的木为卷积，由以上我们可知：初始图像与不同尺度的高斯滤波器 的卷积等价于热扩散方程的解，此方程是各性同向的，对图像所有区域具 有相同的扩散强度。随着平滑效果的加强，初始图像的边缘等细节也会渐 渐消失。 方程( 3 - 1 ) 离散形式为 蚝a ，t + l = + 南荟v ， ( 3 - 3 ) 其中为抽样离散图像，s 为像素坐标，t 为迭代次数， 五为分布系数权 值，反映平滑程度，表示像素s 的所有相邻点，l 吃i 代表相邻点个数( 常 取与象素直接相邻上下左右4 个点，边界除外) 。其中 v u = 扰，一翻：，p e t i s ， ( 3 - 4 ) j ， ， 。一 即图像沿( s ，p ) 方向的梯度值，我们将式( 3 - 4 ) 代入式( 3 3 ) 即可得到方 程( 3 1 ) 作用于图像的模板： 卜五 ，二 协5 ， 作用于像素s 的各方向权值都是一样为旯，而不管像素s 位于何位置，它 对所有像素有着相同的平滑强度，当旯为1 时它即为均值去噪滤波器。这 样它在去噪的同时也模糊了图像的特征。 硕士学位论文 它除了满足图像平滑中多尺度描述的因果性外，还满足： 1 ) 即刻定位：图像区域边界在任意尺度下都必须明显，并且与 相应尺度下的图像的真实边界要一致。 2 )分片平滑：所有尺度上的图像的区域内部都要优先于区域之 间进行平滑。 他们通过引入一个扩散系数函数c 锄力满足了上面所提出的几个性 质，实现了对热扩散方程的改进： o l ( i x , y 一, t ) ：d i v c ( x , y , t ) v i ( x , y , ，) 】， ( 3 6 ) 似 其初始条件为i ( x , y , o ) ，其中d i v 为散度算子，v 为梯度算子。理想状态下， 在图像区域内部应c 蛳d 值为1 ，方程( 3 6 ) 退化为各向同性的热扩散方程 ( 3 1 ) ，对图像内部区域进行各向同性扩散；在边缘即图像区域边界上 c ( 础f ) 值为0 ，不执行扩散。其方程的扩散系数是由图像的空间位置，即 图像的灰度变化所决定的，具有各向异性特征，这样在扩散的同时，图像 的边缘特征等也就得到了保留。 但在图像处理的实际应用中，图像区域边界，即边缘是无法事先得知 的，所以引入函数e d 作为对边缘点的估计，它是一向量函数，本文采 用文献 7 中的梯度算子对边缘点进行估计，即 c 只f ) = g ( 0e ( x , y , t ) i i ) = g ( i iv i ( x , y , t ) i i ) ，( 3 - 7 ) 根据前面所提到的平滑策略，g ( ) 应为非负的单调递减的函数，并且 有g ( o ) = 1 ，其函数图像由下图所示 c u r v e l e t 变换与偏微分方程在图像去噪中的应用研究 图3 - 2 非负单调递减函数g ( ) 这样就使得扩散系数函数c 锄幻就成为i i v i ( x , y , t ) 0 为变量的单调下降函 数。综上可得 o i ( x f , y , t ) = d i v g ( 1 1v j ( 薯只r ) o ) w ( 五) ，) 】， ( 3 - o 、o l l 讲 ，j ，“只o ) = i o ( x , y ) 此方程就是传统的p - m 扩散模型方程。两个扩散系数函数为， g ( v ，) = p ( 一( 1 1 v j 膳) 2 ) ( a ) g ( 叨= 城1 翊i w l i q 2 ) ( b )( 3 - 9 ) 其中k 是控制整个扩散过程的梯度阀值参数，其值越大，平滑效果就越强， 较小的k 值能起到增强边缘的效果。这两个扩散系数函数对图像扩散所产 生的效果是不同的：前一个函数会增强图像高对比度边缘而弱化图像的低 对比度边缘，而后一个函数能保留图像中的大的区域而去除图像中的小的 区域。 p m 方程的离散形式为： 蚝t + l = + 南荟c ( v u 。, p 帆p ， ( 3 - 1 0 ) 这样p m 方程作用于图像的模板为： 硕士学位论文 c ( 嘞一蚝) c ( ：一) 4 一c ( v 炉) p p ( “朋一蚝) 一心) l 4 ， ( 3 1 1 ) 这里像素j 的权值不再是个固定值，而是跟像素5 的空间位置有关，如果 像素s 位于梯度大的位置，由于c 氐男是以l l v i ( x , y , o i i 为变量的单调下降函 数，所以其相应的权值就会小，平滑力度就弱；反之，如果像素s 位于梯 度小的位置，其平滑力度就强。而图像的边缘通常是梯度较大的，而其他 区域梯度较小，所以p m 方程能在保留甚至加强边缘的情况下实现对图像 噪声的去除。 3 2 2 实验结果及分析 这里采用5 1 2 5 1 2 大小的l e n a 图片对各向异性热扩散方程去噪模型 的有效性进行实验，所加噪声为均值为零的高斯白噪声，采用的扩散系数 函数为( 3 - 9 a ) ，结果如图3 3 所示意： c u r v e l e t 变换与偏微分方程在图像去噪中的应用研究 可以看到采用各向异性p - m 扩散方程对l e n a 图像去噪的效果明显要 好于采用各向同性热扩散方程的效果，尽管使用p m 扩散方程对含噪l e n a 图像迭代了2 5 次，l e n a 还是良好的保持了脸部，帽檐及手臂等部分的边 缘而没有被平滑掉。 同样也可以发现l e n a 的帽子上的羽毛纹理，嘴唇等一些细节出现了模 糊。这是因为p m 扩散方程能够良好捕捉图像梯度比较大的变化，但无法 捕捉由于小变化所产生的纹理和细小的边缘，于是出现了这些图像信息的 丢失。 在噪点减少的同时，