（机械电子工程专业论文）非对称渐开线齿轮传动系统动力学仿真分析与研究.pdf

本文 对称渐开 a d a m s 线齿轮传 论。 摘要 作为一种新型齿轮传动方式，双压力角非对称渐开线齿轮传动系统是对现行 渐开线齿轮传动系统设计技术的革新和突破。它能提高齿轮的承载能力，改善齿 面润滑状况，降低齿轮的振动和噪声，对改善高速和重载齿轮的传动性能具有重 要的作用。 本文首先基于非对称渐丌线齿轮的啮合理论，对非对称渐开线齿轮传动的啮 合特性进行了分析，推导出有关非对称渐开线齿轮传动的基本设计参数的计算公 式和齿廓曲线方程。其次，利用三维建模软件s o l i d w o r k s 建立了非对称渐丌线 齿轮的三维模型，进行了齿轮传动系统的拟实装配；并基于a d a m s 软件的分析 原理及其动力学分析方法，建立了完整的非对称渐丌线齿轮传动系统动力学模 型。最后，应用a d a m s 分析软件，通过改变齿轮传动的主要几何参数及其工作 状况，分析了不同几何参数和工况对非对称渐丌线齿轮传动的影响。为双压力角 非对称渐丌线齿轮传动系统的设计提供了重要参考。 关键词：非对称渐开线齿轮传动动力学s o l i d w o r k sa d a m s a b s t r a c t a san e wt y p eo fg e a r i n g ，a s y m m e t r i ci n v o l u t eg e a r i n gw i t hd o u b l ep r e s s u r e a n g l e i sai n n o v a t i o n sa n db r e a k t h r o u g h si nt h ee x i s t i n gi n v o l u t eg e a rd e s i g n t e c h n o l o g y i t c a ni n c r e a s et h el o a d c a r r y i n g c a p a c i t y , i m p r o v e t o o t hs u r f a c e l u b r i c a t i o nc o n d i t i o n s ，a n dr e d u c ei n t e n s i t yo fv i b r a t i o na n dn o i s eo fg e a r s ，w h i c hh a s ag r e a ts i g n i f i c a n c ei ni m p r o v i n gt h et r a n s m i s s i o nc h a r a c t e r i s t i c so ft h eh i g h - s p e e d a n dh e a v y - l o a dg e a r s i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，f i r s t l y , b a s e do nm e s h i n gp r i n c i p l eo fg e a r i n g ，t h em e s h i n g c h a r a c t e r i s t i c so fa s y m m e t r i ci n v o l u t eg e a r i n gw a sa n a l y z e d ，t h ec a l c u l a t i n gf o r m u l a s a b o u tg e a r s m a i ng e o m e t r yp a r a m e t e r sa n de q u a t i o no ft o o t hp r o f i l ec u r v ew a s d e r i v e d s e c o n d l y , u s i n g3 dm o d e l i n gs o f t w a r es o l i d w o r k s ，a3 dg e o m e t r ym o d e lo f t h eg e a rw a se s t a b l i s h e d ，a n das i m u l a t i n ga s s e m b l ya b o u tt h eg e a r sw a sc a r r i e do u t ； b a s e do nt h ea n a l y z i n gp r i n c i p l ea n dd y n a m i cm e t h o do ft h es o f t w a r ea d a m s ，t h e 3 dd y n a m i cm o d e lo ft h ea s y m m e t r i ci n v o l u t eg e a r i n gw a se s t a b l i s h e d f i n a l l y , b y c h a n g i n gt h em a i ng e o m e t r yp a r a m e t e r so ft h eg e a r sa sw e l la st h ew o r k i n gc o n d i t i o n t h ee f f e c t so ft h em a i nf a c t o r so nt r a n s m i s s i o nc h a r a c t e r i s t i c so fa s y m m e t r i ci n v o l u t e g e a r i n gw a ss t u d i e d t h ew o r k sa b o v em e n t i o n e dl a yaf o u n d a t i o nf o rt h ed e s i g no f a s y m m e t r i ci n v o l u t eg e a r i n gw i t hd o u b l ep r e s s u r ea n g l e k e y w o r d s ：a s y m m e t r i ci n v o l u t eg e a r sd y n a m i c s s o l i d w o r k sa d a m s 目录 第一章绪论1 1 1 论文的研究背景1 1 2 国内外非对称渐开线齿轮传动研究现状2 1 3 齿轮传动系统动力学的研究概况2 1 3 1 齿轮系统动力学研究目标及内容4 1 3 2 分析模型5 1 3 3 求解方法6 1 4 论文的研究目的、内容7 第二章非对称渐开线齿轮传动的动力学特性和几何建模9 2 1 引一言9 2 2 非对称渐丌线齿轮传动特性及基本参数计算9 2 2 1 非对称渐丌线齿轮基圆、齿顶圆与齿根圆1 0 2 2 2 非对称渐开线齿轮的非对称系数1 0 2 2 3 非对称渐开线齿轮的弧齿厚的计算1 1 2 3 非对称渐开线齿轮的正确啮合条件1 2 2 4 无变位时非对称渐丌线齿轮无侧隙啮合传动方程式1 4 2 4 1 一对轮齿的啮合过程1 5 2 4 2 非对称渐丌线齿轮连续传动的条件1 6 2 5 非对称渐开线齿轮的齿廓曲线方程1 7 2 6 本章小结2 0 第三章基于s o l i d w o r k s 的齿轮传动模型的建立2 1 3 1s o l i d w o r k s 软件简介2 1 3 2 基于s o l i d w o r k s 的非对称渐开线齿轮三维模型的建立2 1 3 2 1 建立三维实体模型2 1 3 2 2 齿轮实体模型的建立2 3 3 2 3 基于s o l i d w o r k s 软件的齿轮传动模型的建立2 4 3 3 非对称渐开线齿轮传动系统动力学建模2 5 3 4 动力学仿真模型的建立2 7 3 4 1a d a m s 和s 0 1 i d w b r k s 问数据转换2 7 3 4 2 齿轮传动系统动力学分析三维模型的建立一2 8 3 4 3 齿轮啮合过程中碰撞参数的选取3 0 3 5 本章小结3 6 第四章基于a d a m s 的齿轮传动系统动力学仿真分析3 7 4 2 2 a d a m s 动力学微分方程求解算法4 l 4 2 3 a d a m s 系统初始条件设置4 2 4 2 4 齿轮系统动力学模型相类参数设置4 3 4 3 非对称渐开线直齿齿轮动力学仿真分析4 4 4 3 1 角加速度与角速度随压力角变化仿真分析4 4 4 3 2 齿轮啮合力仿真分析一4 7 4 3 3 阻尼对啮合力的影响5 0 4 4 本章小结5 2 第五章总结与展望5 5 参考文献5 7 致谢6 3 7 0 o 3 4 4 第一章绪论 1 1 论文的研究背景 第一章绪论帚一旱三百t 匕 齿轮是机械产品的重要基础零件，齿轮传动是传递机器动力和运动的一种 主要形式。它与皮带、液压等传动方式相比，具有功率范围大、传动效率高、 使用寿命长、安全可靠性高等特点。由于齿轮在工业、农业、国防、科学技术 及国民经济各部门都得到了广泛的应用，尤其在机械装置中，其性能和质量将 直接影响到整机产品的技术经济指标。而动力学特性对齿轮传动具有非常重要 的影响，它是齿轮研究的重要内容。 常规的渐开线直齿圆柱齿轮左右两侧的齿廓都是相同的，但是由于其两侧 的工作齿面与非工作齿面的承载能力和啮合状况不相同，往往不能充分发挥材 料的性能。本文研究的对象为非对称渐开线齿轮。非对称渐开线齿轮是一种新 型渐丌线齿轮，具有左右渐开线齿廓不对称，左右压力角不等，两侧重合度不 同的特点。这种齿轮具有承载能力高、体积小、噪声低等优点，应用非对称渐 丌线齿轮可以提高齿轮的承载能力并延长工作齿面的使用寿命h 1 。因此，有必 要对非对称渐开线齿轮作进一步的研究。 齿轮的性能和质量直接影响了整机产品性能的提高比1 。由于轮齿形状对齿 轮传动性能起着决定性的作用，而现行渐开线齿轮设计技术只能选择对称齿廓 形式。众所周知，其两侧的应力状况是不同的，不能充分发挥材料的力学性能， 这限制了齿轮传动性能的进一步提高。在渐丌线直齿轮中，非对称齿轮分为双 压力角非对称齿轮和双模数非对称齿轮。本课题研究的是双压力角非对称齿轮， 若齿轮的工作齿面采用大压力角而非工作齿面采用小压力角，这样可以防止齿 顶变尖，这种传动是非常有利的。如果齿轮两侧的压力角同时增大，虽然赫兹 接触应力降低，但轮齿齿顶变薄，加载时容易断齿。在实际应用中，并不总是 需要齿轮系统频繁地正、反旋转，大多数情况是一个方向旋转居多。因而在工 作齿面使用一个大压力角，在非工作齿面使用一个小压力角，既可以降低赫兹 接触应力，又可以避免轮齿齿项变薄引起断齿，并且增大了齿面的中心油膜厚 度，是一种能有效提高轮齿齿面接触强度的方法。这与航空齿轮通常选择大压 力角的设计趋势是相吻合的o ”。 因此，进行双压力角非对称渐丌线齿轮的传动设计是对现行渐丌线齿轮设 计技术的革新和突破，它能提高齿轮的承载能力，改善齿面润滑状况，降低齿 天津i 厂业人。硕十学何论文 轮的振动和噪声，这对高速和重载齿轮以及有特殊要求的齿轮设计具有十分重 要的理论意义和现实意义。本文主要通过对非对称渐开线齿轮动力学特性的综 合分析，提出改善和提高非对称渐开线齿轮的传动性能方面的一些措施。 1 2 国内外非对称渐开线齿轮传动研究现状 非对称渐开线齿轮的研究开始于2 0 世纪8 0 年代。1 9 8 4 年，c h a r l e s a y o e r k i e 提出了非对称齿形的概念。1 9 8 5 年，鲁明山在科学报告中介绍了非对称齿轮， 给出了非对称渐开线的基本齿形及齿根应力的计算方法，在理论上论述了非对 称渐开线齿轮与对称渐开线齿轮相比，可以提高齿轮的承载能力。1 9 8 9 年，吴 继泽对非对称渐开线齿轮刀具齿廓的计算方法进行了讨论。1 9 9 4 年，褚世华在 一种新型非对称齿形的齿轮泵研究中，分析了非对称渐开线齿廓的特点，对非 对称齿廓渐开线齿轮泵的排量等相关参数进行了计算，指出了采用非对称齿轮 来提高齿轮泵工作效率的途径h 1 。1 9 9 7 年，g d if r a n c e s c o 和s m a r i n i 通过非对 称渐开线齿形结构的研究，给出了采用非对称齿形降低齿根弯曲应力及减少齿 轮的尺寸和重量的结论瞄1 。1 9 9 7 年，夏立中对采用非对称渐开线齿轮的齿轮泵 进行了理论分析。1 9 9 8 年刘元伟在齿轮加工工艺研究的基础上，提出了利用电 化学加工非对称齿轮的方法。2 0 0 0 年，a l e x a n d e rl k a p e l e v i c h 提出了齿轮设计 的新方法，并把非对称齿轮应用于直齿轮设计，采用新的设计方法可以增加承 载能力、减少重量、体积和降低振动水平，并且用数值例子加以说明婶1 。2 0 0 0 年，陈天旗、刘元伟等就非对称齿轮的测量问题进行了探讨，给出了公法线长 度的测量方法，并推导出计算公式和跨齿数 刮。2 0 0 0 年，徐克圣采用计算机仿 真技术仿真滚刀齿形与被加工的非对称齿轮的啮合过程，定量修改滚刀设计参 数直至满足设计要求。2 0 0 4 年，吴忠提出了非对称渐开线齿轮应力的解析计算 方法，并与常规的渐开线齿轮进行了对比。2 0 0 5 年，k a d i rc a v d a r 对非对称渐 开线齿轮进行了计算机辅助分析，利用有限元法分析了非对称渐开线齿轮的弯 曲应力，给出了计算非对称齿轮齿根弯曲应力的平截面法公式及应力修正系数 曲线。 一 ；：f _ 1 3 齿轮传动系统动力学的研究概况 1 9 4 9 年，e b u c k i n g h a m 首先对齿轮系统进行全面的动力学研究，他以冲击 理论作为齿轮动态激励和动态响应的基础，用冲击作用下的单自由度系统动态 响应来近似描绘齿轮系统的动力学行为。1 9 6 2 年，w t u p l i n 以振动理论为基础， 第一章绪论 将齿轮系统作为弹性机械振动系统，分析其动力学特性；在该文中提出的等效 轮齿啮合刚度的概念奠定了齿轮系统动力学研究的理论基础。 在分析系统方面，齿轮动力学经历了从一对齿轮副或单轴的转予系统向同 时包含齿轮、传动轴、轴承和箱体结构的复杂系统的过渡。将整个齿轮系统作 为分析对象，可以全面研究齿轮系统其他零件对啮合过程动态激励的响应。 齿轮动力学的分析方法，也随着理论方法的发展而得到进步。从最初的时 域、频域方法，发展到利用解析法、数值方法和实验方法，从多方面综合研究 齿轮系统的瞬态特性、稳态特性和混沌特性。1 9 9 6 年和1 9 9 8 年，h v i n a y a k 等 人用r a y l e i h g r i t z 法和有限元法计算了受刚性和弹性约束时的直齿轮系统自由 和受迫振动特性，得出的系统模态参数与试验结果相吻合。1 9 9 6 年，s e w a n g 等人建立了三维斜齿轮副振动模型，模型中考虑了齿轮的横向弯曲振动、扭转 振动、轴向振动、扭摆振动的耦合作用，并采用试验模态方法识别出轴承刚度、 阻尼及啮合齿对的刚度和阻尼，然后又用计算机对理论模型进行仿真计算，为 预测齿轮系统的振动提供了理论依据。1 9 9 6 年，k u m e z a w a 等人对弹性轴上斜 齿轮副进行了振动分析，利用试验结果识别系统的动力学模型参数，并利用传 递矩阵法对轮齿啮合刚度的变化、啮合面阻尼及轴承阻尼对斜齿轮动态特性的 影响进行了研究，得到必须采用试验方法识别系统的刚度及阻尼的结论。1 9 9 6 年，p v e l e x 等人、c b a r d 等人用数值方法和试验方法分析了圆柱齿轮基节误差 及齿向误差对动态性能的影响。随着非线性动力学理论的发展，以及计算机运 算速度及容量的提高，非线性动力学理论研究迅速发展。1 9 9 0 年，汤和对理想 齿轮噪声与振动谱计算机仿真等进行了研究。1 9 9 0 年，r s i n g h 等人对直齿轮 对的非线性动力学进行了探讨，对直齿啮合中的间隙非线性动态特性及由传递 误差引起的内部激励的影响进行了研究，比较了内部激励和外部激励的差别。 1 9 9 1 年，s h o n d a 研究了齿轮齿面修形的斜齿轮振动特性。1 9 9 6 年，李润方等 人介绍了齿轮系统转子耦合型振动的基本概念和分析模型，说明了由于齿轮副 存在质量偏心，使齿轮传动轴系统中会出现三种耦合了横向振动和扭转振 动的惯性力，讨论了耦合惯性力对齿轮系统振动的影响。1 9 9 6 年，沈允文等人 在“齿轮系统减振设计的结构灵敏度分析”一文采用现代矩阵摄动理论研究了 齿轮系统特征值灵敏度分析方法，对齿轮系统的动态特性、减振设计等进行了 全面的分析研究。2 0 0 0 年，李润方等人利用机械振动理论、动力分析有限元法， 结合齿轮啮合理论，研究斜齿轮系统耦合振动的动力学建模问题，对齿轮 传动轴一箱体系统在耦合振动条件下的动力学特性进行全面分析。2 0 0 3 年， 李润方等人用有限元法建立了包含齿轮副、传动轴、轴承和箱体的齿轮系统完 整的动力学模型，反映了传动系统和结构系统的耦合效应，得到了齿轮箱表面 天津j l j 业人学硕十学位论文 法向振动速度，并与有限元计算结果进行了比较，为低振动高速重载齿轮系统 的设计奠定了良好的基础。2 0 0 4 年，沈允文等人基于含有间隙的单自由度齿轮 系统非线性动力学模型，运用伪不动点追踪法探讨了系统状态空间中同日、j 存在 的多重周期解，研究了阻尼参数和激励频率变化时系统周期解结构的变化，从而 可以更加细致地研究通向混沌的途径。2 0 0 4 年，g b o n o r i 等人通过有限元法对 非线性多自由度齿轮啮合过程的刚度特性和振动做了理论推导。2 0 0 6 年， a s p r a m o n o 通过理论和实验分析了直齿轮轮齿齿廓修形对动态变形和振动的 影响。2 0 0 7 年，a p a r e y 等人对有缺陷尺寸的直齿轮的冲击速度和动力学模型 进行分析旧叫6 i 。 1 3 1 齿轮系统动力学研究目标及内容 齿轮系统动力学研究的目标是确定和评价齿轮系统的动态特性，从而为 设计高质量的齿轮系统提供理论指导。齿轮系统的动态特性研究一般包括以下 四个方面的内容n7 i ： ( 1 ) 固有特性 固有特性指系统的固有频率和振型，是齿轮系统的基本动态特性之一。目 前，齿轮系统固有特性分析主要包括：利用集中参数方法研究齿轮传动系统的 固有频率和振型；利用有限元方法计算齿轮轮体和箱体结构的固有频率和振型； 利用灵敏度分析和动态优化设计方法研究系统结构参数、几何参数与固有频率 振型的关系，进行结构修改，提高和改善系统的固有特性。 ( 2 ) 动态响应 在动态激励作用下，齿轮系统的响应是齿轮系统动力学研究的重要内容， 主要包括轮齿动态啮合力和轮齿激励在系统中的传递以及传动系统中各零件和 箱体结构的动态响应等。研究轮齿的动态啮合力，可以了解系统动态激励产生 的机理、大小和性质。确定轮齿的动载荷和动载荷系数，对轮齿强度和可靠性 设计具有重要意义。研究系统中动态激励的传递及各零件的动态响应，目的在 于通过系统的设计修改，减小动态激励的传递，降低系统各零件的振动，减小 支承轴承的受载，提高寿命，降低振动和噪声。 ( 3 ) 动力稳定性 齿轮系统是一种参数激励系统，与一般的机械振动系统的区别在于它存在 动力稳定性问题。通过齿轮系统动力稳定性分析，评价影响稳定性的因素，确 定稳定区与非稳定区，为齿轮系统的设计提供指导。 ( 4 ) 系统参数对齿轮系统动态特性的影响 在研究系统的各种动态性能时，重要的任务是研究齿轮系统的结构形式、 第一章绪论 几何参数等对动态性能的影响，特别是以研究系统动力学模型为基础，通过灵 敏度分析定量了解各类参数的灵敏程度，在此基础上进行齿轮系统的动态优化 设计。 1 3 2 分析模型 齿轮系统动力学中所建立的力学模型均是离散化的单自由度或多自由度模 型，虽然将齿轮系统动力学分析模型进行分类相当困难，但按照研究对象的复 杂程度的不同，可归类如下n 舻2 3 | ： ( 1 ) 动载荷系数模型 这类模型主要包括早期用于建立齿根应力公式的动载荷系数的确定，以及 仅仅确定动载荷系数的模型。 ( 2 ) 齿轮副扭转振动模型 这种模型以一对齿轮副为分析对象，假设支撑是刚性的，不考虑齿轮的横 向位移，模型的广义自由度是齿轮副的扭转振动。这种模型主要用来研究齿轮 副的动态啮合问题。由于轮齿啮合动态激励的最直接结果是齿轮副的扭转振动。 因此扭转振动模型也是齿轮系统动力学模型的最基本形式。 ( 3 ) 传动系统模型 这种模型是以齿轮的传动系统作为建模对象，模型中包含齿轮副、传动轴， 有时又可以包含支承轴承、原动机和负载的惯性。这类模型根据所考虑的振动 形式( 即广义自由度的性质) 又分为纯扭模型，弯扭或弯、扭、轴、摆等多 自由度相互耦合的耦合模型，且耦合模型中根据耦合性质的不同又可分为啮合 耦合型、转子耦合型和全耦合型等多种形式。利用传动系统模型，不仅可以分 析啮合轮齿的动载荷，而且可以确定系统中所有零件的动态特性及相互作用。 ( 4 ) 完整齿轮系统模型 这种模型同时以齿轮系统中的传动系统和结构系统作为建模对象。因此， 这种模型是耦合型模型，可以在分析中同时考虑传动和结构的相互作用，全面 确定齿轮系统的动态特性，尤其适用于分析齿轮系统噪声的产生与传递。 在上述四种模型中，除动载系数模型外，其余三类均是目前常用的。其中 齿轮副扭转振动模型最简单，常用于传动轴和支承系统刚度较大的齿轮系统的 建模，以研究轮齿啮合的动态特性。第四类齿轮系统模型最复杂，当需要全面 研究系统动态特性时采用。利用这种模型不仅可以全面了解系统中各零件的动 态特性，而且还可以研究动态啮合力的振动特性和噪声辐射特性。 在振动理论的范畴内，齿轮系统的动力学模型又经历了由线性振动到非线 天津i ：业人学硕士学位论文 性振动、由定常系统向参变系统的发展，可归类为瞳p 2 7 1 ： ( 1 ) 线性时不变模型 这类模型采用线性振动理论，以平均刚度替代时变啮合刚度，并由此计 算齿轮副的固有频率和振型，不考虑由时变啮合刚度引起的参数激励和由啮合 间隙引入的非线性对系统的动态特性的影响。 ( 2 ) 线性时变模型 在齿轮传动过程中，由于参与啮合轮齿个数和啮合位置的变化，齿轮的啮 合刚度是随时间周期变化的。线性时变模型就是因考虑了啮合刚度的时变效应 而将问题转化为线性参变问题。这类模型依然不考虑啮合问隙的影响。 ( 3 ) 非线性时不变模型 无论从设计的角度还是从齿轮传动的实际运转来看，齿轮传动中的间隙是 必然存在的。特别是当间隙较大、高速回转时，轮齿的啮合、脱离再啮合现象 尤为突出。由于非线性动力学行为远比线性动力学行为复杂，所以此类模型往 往会涉及系统的分俞和混沌等问题的研究。因为仅考虑间隙就会使得系统的微 分方程的分析和求解难度大大增加，所以在大部分的非线性模型中，都忽略啮 合刚度的时变效应，而采用定刚度模型。 ( 4 ) 非线性时变模型 这类模型最为复杂，在考虑问隙非线性的同时，计入啮合刚度的时变性， 把齿轮系统作为一种非线性的参数振动系统加以研究。 1 3 3 求解方法 齿轮系统动力学数学模型的求解方法主要有解析法和数值法两类。关于解 析法，根据分析模型的不同，应采用不同的求解方法。其中关键的问题之一是 分析模型中时变参数( 啮合刚度) 和非线性参数( 齿侧i 日j 隙) 的简化、描述问题。 常用的近似解析法有心8 。3 0 l ： ( 1 ) 摄动法。其基本思想是由一个已知的基本解出发，研究它在小摄动下 如何变化。 ( 2 ) 平均法。它的基本思想是将非线性系统的解的振幅和相位看作是随时 问缓慢变化的。 ( 3 ) a 算符法。a 算符法是自8 0 年代发展起来的由g a d o m i a n 提出的分 解算法，国内外许多学者将其用到非线性动力学的求解中。但它只是在含有时 问f 的有限区间上收敛。 ( 4 ) 谐波平衡法。它是将非线性方程的解假设为各次谐波叠加的形式，然 后将方程的解代入非线性方程中，消去方程中的讵弦与余弦项，即可得到能求 第一章绪论 出含有未知系数的相应多个代数方程式，进而可求得方程的解。但由于受到所 假设的激励和h 向应形式的限制，谐波平衡法的计算精度不太理想，特别是在只 取一次谐波时，人为地遗失了响应中的超谐、次谐响应或者是可能的混沌响应。 此外，谐波平衡法对于系统的瞬态响应无能为力。为提高精度，对谐波平衡法 进行改进，l a u 和c h e u n g 在1 9 8 1 年提出了增量谐波平衡法。增量谐波平衡法 是通过对非线性微分方程进行t a y l o r 级数展丌，忽略高阶导数，得到关于增量 形式的微分方程，然后利用f o u r i e r 级数和g a l e r k i n 方法，得到非线性代数方程 后再求解。增量谐波平衡法具有容易推导公式，迭代过程中能自如地控制算法 收敛精度等优点，是求解强非线性问题的有效方法。 关于数值法，则主要是各种数值积分方法，可分为单步法和多步法口卜3 引。 单步法是从一个已知点求得下一点的数值解的方法。单步法有e u l e r 法、 r u n g e k u t 法、g i l l 法等。多步法是根据若干个已知点的近似解推算一个新点的 近似解。多步法有a d m a s b a s h f o r t h 预测法、a d m a s m o u l t o n 校j 下法、g e a r 法 等。 不同的数值积分方法选择如下：如果微分方程向量场具有不光滑甚至间断 切换面，如含有间隙，则采用低阶单步法比较好。如果向量场的表达式非常复 杂，采用多步法的效率优于单步法。对于刚性微分方程，只有用g e a r 法。按求 解方法的性质，又可分为时域法和频域法。时域法可得到系统响应在时域的描 述，用以研究系统动态特性随时l 日j 的变化规律，通过求解系统的稳定周期响应 求解啮合力、啮合冲击、齿轮的浮动等；频域法则研究系统响应在频率域中的 描述，用以阐明系统动态性能与各频率成分f b j 的关系。此外，利用实验方法研 究齿轮系统的动态特性也是极为重要的，目的主要在于：利用实验结果验证理 论分析的j 下确性；利用实验数据修正和简化理论分析模型，以便更有效地利用 计算机进行齿轮系统的动态设计。 1 4 论文的研究目的、内容 本文对非对称渐开线齿轮的啮合原理、设计参数以及动力学特性等方面进 行分析，并实现基于s o l i d w o r k s 和a d a m s 软件的非对称渐开线齿轮三维参数 化建模、动力学特性的自动分析。主要研究内容有以下几方面： ( 1 ) 根据对称渐开线齿轮的啮合原理和啮合条件，利用齿形法线法推导了 非对称渐丌线齿轮齿廓通用方程，其中包括齿根过渡曲线。并以圆弧齿根过渡 圆角为例，计算了非对称渐开线齿轮的齿廓方程。 ( 2 ) 研究了非对称渐_ 丌线齿轮的设计方法。研究了其摹本参数之间的关系 l ：业人学硕+ 学位论文 了非对称渐开线齿轮的啮合特性。 齿轮传动系统的三维装配模型，为进一步的动 基础上，用a d a m s 进行了非对称渐开线齿轮 与相应的对称齿轮传动进行了比较，得出了一 考的结论。 第二章1 卜对称渐开线齿轮的动力学特性和儿何建模 第二章非对称渐开线齿轮传动的动力学特性和几何建模 2 1 引言 随着生产力的发展，对齿轮的传动性能要求也r 益提高，因而对称齿形也暴 露出许多不足之处，如尺寸大，抗弯强度低等。双压力角非对称渐开线齿轮作为 一种新兴的齿轮传动方式，其工作齿侧和非工作齿侧具有不同的压力角，且工作 齿侧的压力角大于非工作齿侧的压力角，具有承载能力高、体积小、质量轻、使 用寿命长、磨损均匀、噪声小以及齿面i b j 易形成油膜等优点，因此，与对称渐开线 齿轮相比，非对称渐开线齿轮具有齿顶圆齿厚较厚、两侧重合度不同等特点。本 章通过对非对称渐开线齿轮及啮合原理的研究，推导出非对称渐开线齿轮的基本 设计参数的计算公式。 2 2 非对称渐开线齿轮传动特性及基本参数计算 非对称渐开线齿轮两侧采用不等的压力角，即工作齿侧和非工作齿侧由不同 的渐丌线组成。由于齿轮工作齿侧和非工作齿侧采用不同的压力角，主动齿侧渐 开线和从动齿侧渐开线由不同的基圆展开，但工作齿侧与非工作齿侧渐开线齿形 分度圆半径相同。如图2 1 所示3 。 譬列静新开 工杯翻摹匮 。 图2 - 11 卜对称齿轮的基圆与分皮嘲 封t 荐t t ：搿1 1 l 碍, 援t t t 塘豫 一对正确啮合的非对称渐丌线齿轮，其主动齿侧和从动齿侧渐开线具有相同 天津t 业大学硕十学位论文 的基圆，主动齿侧和从动齿侧渐开线的切线分别相切于各自的基圆，并且通过节 点p ，主动轮与从动轮基圆的内公切线即为相应的齿廓曲线在节点的压力角。即 非对称齿廓由两侧不同半径的基圆展开，基圆的切线与对应的节圆的切线所形成 的角度为相应齿形压力角。非对称渐开线左右齿形为渐开线，所以可以在常规渐 开线齿轮的基础上推导计算非对称齿轮的主要参数。 2 2 1 非对称渐开线齿轮基圆、齿顶圆与齿根圆 非对称渐开线齿轮工作侧基圆直径奶为 d m = m z c o s ad( 2 一1 ) 式中，m 为齿轮模数；z 为齿数；口d 为非对称渐开线齿轮工作侧压力角。 非对称渐开线齿轮非工作侧基圆直径以。为 九= m z c o s c r e ( 2 2 ) 式中，口。为非对称渐开线齿轮非工作侧压力角。 非对称渐开线齿轮齿顶圆以大压力角一侧计算结果为准。选择大压力角侧为 工作侧，工作侧的参数计算齿顶圆直径为 畋= m z + 2 m ( 2 3 ) 非对称齿轮的齿根圆亦选取工作侧计算，齿根圆直径d ，为 d r = ( z 一2 h 。d 一2 c a ) m ( 2 - 4 ) 式中，为工作侧齿顶高，白为工作侧径向间隙。 取非工作侧的齿根圆与工作侧的齿根圆半径大小相等，形成完整非对称齿轮 齿形及连续的齿廓方程m ：。 2 2 2 非对称渐开线齿轮的非对称系数 非对称齿轮的齿廓是由不同直径的基圆展成的两条不同的渐开线所形成的。 假设由较大压力角一侧展成的齿廓是工作齿面，而由较小压力角一侧展成的齿廓 是非工作齿面。非工作齿侧和工作齿侧基圆直径之比称为非对称系数k ，其计算 公式如下： k = d b c 豫| ) ( 1q 一勘 根据式( 2 一1 ) 和( 2 - 2 ) ，非对称渐开线齿轮的非对称系数又可以表示 第二章1 卜对称渐开线齿轮的动力学特性和儿何建模 尼：生：坐 d b d c o s d 2 2 3 非对称渐开线齿轮的弧齿厚的计算 ( 2 - 6 ) 在进行齿轮的啮合分析时，需要知道轮齿在任意齿厚的大小阳引。如图2 2 所 示，取非对称渐丌线齿轮的单个轮齿，设s 为非对称渐开线齿轮在任意圆周上的 弧齿厚，其对应的中心角为妒。= z f o f ，对应的任意圆周的直径为反。利用渐 开线齿轮的特点推导非对称齿轮的弧齿厚。由图2 2 可知： s 。：生盟( 2 7 ) 4 2 织= z f o c + z f o c ( 2 - 8 ) 对于其工作侧 z f o c = 么a o c - 么a0 _ f( 2 9 ) 图2 2 非对称渐开线齿轮齿廓示意图 式中：z a o c 为非对称渐开线齿轮在齿顶变尖点处的展角；z a o f 为非对 称渐开线齿轮工作侧渐开线在任意直径圆周上f 点处的展角。由图2 2 可知 z ao c = i n v a a a o f = i n v a 。d 式中：口m 为非对称渐丌线齿轮工作侧在齿顶变尖处的齿形角；口州为非对 称齿轮工作侧在任意圆周上f 点的齿形角。所以式( 2 - 9 ) 可写为 天津一i ：业人学硕十学位论文 z f o c = i n v c t 划一i n vc t 订 同理，对于其非工作侧 f o c = a 1 0 c - a t o f 且 z a o c = i n v a 。 ( 2 一1 0 ) ( 2 一1 1 ) z a o f = i n v c t 。 式中：z a o c 为非对称渐开线齿轮非工作侧渐开线齿顶变尖点d 处的展角； z a o f 7 为非对称齿轮非工作侧在任意圆周尸点处的展角；口血为齿轮非工作齿 侧在d 点的齿形角；为非对称齿轮非工作侧在，点的齿形角。所以式( 2 1 1 ) 可写为 z f o c = i n v c t c - i n vt z x c ( 2 12 ) 则非对称渐开线齿轮在任意圆周上的弧齿厚所对应的中心角 吼= z f o c + z f o c = i n v a 削+ i n v a c - i n v t z 划一f 咒v ( 2 1 3 ) 非对称渐开线齿轮任意圆周上的弧齿厚 & = 鲁织= 堑坠出等产型 ( 2 - 1 4 ) 2 3 非对称渐开线齿轮的正确啮合条件 一对渐开线齿轮在传动时，它们的齿廓啮合点都应在啮合线上。要使处于接 触状态的各对齿轮都能正确地进行啮合，两齿轮的相邻两齿同侧齿廓问的法线距 离应相等，即两齿轮的法向齿距应相等。这样，如图2 3 所示，当前一对齿轮在 啮合线上的b l ( 啮合线的其中一个端点) 啮合时，后一对轮齿就能正确地在啮 合线上的点b 2 ( 啮合线的另一个端点) 进入啮合。 第二章非对称渐丌线齿轮的动力学特性l lj ) t , 何建模 图2 - 3非对称齿轮啮合示意图 一对非对称渐开线齿轮啮合时，为了满足连续传动，必须有一对齿轮在啮合 退出后，另一对齿轮要进入啮合状态，这样才能保证在每一时刻至少有一对轮齿 进行啮合接触。由此可以得出结论：要使两齿轮正确啮合，则它们的法向齿距 p h i 和p b 2 必须相等。又因为： p 6 l = p lc o s o r l = 册c o s 口1 ( 2 1 5 ) 式中：r l 为齿轮l 的法向齿距；p l 为齿轮l 的齿距；为齿轮1 的齿形角； m 。为齿轮1 的模数。同样对于齿轮2 有： p b 22p 2c o s 口2 = 7 i m 2c o s o 2 ( 2 1 6 ) 式中：尸6 2 为齿轮2 的法向齿距；尸2 为齿轮2 的齿距；口，为齿轮2 的齿形角； 朋2 为齿轮2 的模数。 从而可以得到两齿轮j 下确啮合的条件为 m lc o sl = m 2c o s t 2 2 ( 2 1 7 ) 非对称渐丌线齿轮分为工作侧和非工作侧，根据式( 2 - 1 7 ) ，对于工作侧，其 工e 确啮合的条件为 m 1c o s o r l d = ，z 2c o s o 2 d ( 2 1 8 ) 式中：q d 为非对称渐开线齿轮1f 拘- 1 - 作侧压力角；口：。非对称渐开线齿轮2 的工作侧压力角。同理对于非工作侧其j 下确啮合的条件为 m lc o s o r l 。= r n 2c o s 6 t 2 f ( 2 1 9 ) 式中：。为非对称渐丌线齿轮l 的非工作侧压力角；t 2 ：。- t t z x 寸* 撕线齿轮 2 的非工作侧压力角。 天津工业火学硕+ 学位论文 2 4 无变位时非对称渐开线齿轮无侧隙啮合传动方程式 图2 - 4 双压力角1 f 对称齿轮无侧隙啮合传动计算示意图 当一对齿轮啮合传动时，为了便于在相互啮合的齿廓间进行润滑，及避免由 于制造和装配误差，以及轮齿受力变形和因摩擦发热而膨胀所引起的挤压现象， 在两轮的非工作侧侧间总要留有一定的空间。而在计算齿轮的工称尺寸时，都按 侧隙为零来考虑，也就是所谓的无侧隙啮合传动4 。3 。一对非对称渐开线齿轮啮 合时，两轮的节圆作无滑动的纯滚动，两轮的节圆齿距应相等，即p l = p 2 ，为了 保证两轮工作无侧隙啮合，齿轮1 分度圆上的齿槽宽e 。应等于齿轮2 分度圆上的 弧齿厚鼢即p 。= s 。图2 - 4 为双压力角非对称渐开线齿轮1 的一个轮齿，b 点为 两侧渐开线的交点。由图可知，双压力角非对称渐开线齿轮1 分度圆上的齿槽宽 所对应的中心角为，对于齿轮齿槽靠近齿轮1 非工作侧，有 + 鸯 z c o b = z a 一翻7 0 c i n v c t i c 一觑， ( 2 2 0 ) 式中k 为非工作侧b 点的压力角，口。为非工作侧分度圆压力角。同理对 于齿轮齿槽靠近齿轮l 工作侧处 z d o e = i n v a 删- i n v o t i f ， ( 2 2 1 ) 式中为工作侧点的压力角，为工作侧分度网压力角。计算出的中心角为 第二：章l f x , t 称渐开线齿轮的动力学特性和儿何建模 办+ 欢：z b o d z c ，o 曰：兰兰+ f 甩1 ，口d + f 刀1 ，口。一i 甩1 ，口l j f ，z 1 ，a l 。 z l 所以双压力角非对称齿轮1 分度圆上的齿槽宽e 为 q ：_ ( 三三+ f ，z ，口d + i n v o t c - 砌v 口l 。一砌，口l d ) z l 根据式( 2 2 3 ) 可以得到齿轮2 分度圆上的弧齿厚s 。为 s 2 = r 2 ( 0 2 ( i n v o t 2 d i n v a d + i n v o t 2 c i n v o t c ) 式中：d 为非对称渐开线齿轮2 的工作侧齿顶变尖处的压力角，：。为非工 作侧齿顶变尖处的压力角。经整理和简化，可得到双压力角非对称渐开线齿轮无 侧隙啮合传动方程 i n v a t a 锄v 吒：塑堑立坚竺竺重型 ( 2 2 5 ) l 十u 2 4 1 一对轮齿的啮合过程 如图2 - 5 所示，为一对满足正确啮合条件的双压力角非对称渐开线齿轮的啮 合情况。设轮1 为主动轮，以角速度以顺时针方向回转：轮2 为从动轮，以角速 度，逆时针回转。两轮轮齿在啮合起始点& ( & 为啮合线l 2 ，与从动轮齿顶圆 的交点) 开始啮合。这时主动轮的齿根与从动轮的齿顶接触。随着传动的进行， 两齿廓的啮合点将沿着啮合线2 移动。当啮合进行到主动轮的齿顶圆与啮合 线的交点处时，两轮齿即将脱离接触，故点b 。为两轮轮齿的啮合终止点。从一 对轮齿的啮合过程来看，啮合点实际所走过的轨迹只是啮合线l m 上的一段 e b ，故特把e 曰，称为实际啮合线段。若将两齿轮的齿顶圆加大，则点b 。、& 将分别趋近于啮合线与两基圆的切点l 、鹏，因而实际啮合线段将加长。但因基 圆以内没有渐开线，所以两轮的齿顶圆与啮合线l m 的交点不得超过点l 及2 。 因此，啮合线是理论上可能的最长啮合线段，特称为理论啮合线段，而点 l ，m 则称为啮合极限点。 根据上面的分析可知，在两轮轮齿啮合的过程中，轮齿的齿廓并非全部参加 工作，而是只限于从齿顶到齿根的一段齿廓参加接触。实际上参加接触的这一段 齿廓称为齿廓的实际工作段。 2 3 4o 厶。厶。厶 一 一 2 2 2 天津t 业人学硕十学位论文 图2 - 5 非对称渐开线齿轮啮合示意图 2 4 2 非对称渐开线齿轮连续传动的条件 一对齿轮满足j 下确啮合条件就能正确地进行啮合传动，但一对齿轮的传动还 必须是连续的。为了两轮能够连续地传动，必须保证在前一对轮齿尚未脱离啮合 时，后一对轮齿能及时地进入啮合。为了达到这一目的，就要求实际啮合线币， 应大于或至少等于齿轮的法向齿距m 。若实际啮合线等于法向齿距，则当前一对 齿在分离时，后一对齿j 下好在& 点开始进入啮合，传动过程除在b ，& 点的两个 接触瞬时外，始终只有一对齿处于啮合状态：若实际啮合线大于法向齿距，则当 前一对齿在b 。点分离时，后一对齿已经进入啮合，传动过程中有时为一对齿啮 合，有时多对齿啮合：若实际啮合线小于法向齿距，则当前一对齿在院分离时， 后一对齿还没有开始进入啮合，这将使传动中断，从而引起轮齿问的冲击，影响 传动平稳。即重合度应大于等于1 。如图2 - 5 所示