（物理电子学专业论文）量子隐形传态的研究.pdf

摘要 近年来，随着量子信息学的蓬勃发展，量子隐形传态理论被广泛地应用在量子通 信中的各个领域。人们为了表征输入态与输出态的接近程度，引入了保真度这样一个 物理概念。在现阶段相干态量子隐形传态实验中，通常以双模压缩真空态作为量子通 道，由于其压缩度达不到无穷大，人们始终也无法获得保真度等于1 的完美传送。而在 本文中，将把双模光场压缩态作为量子隐形传态的量子通道，以任意相干态作为未知 输入态，通过适当调节输出端的位移参量，从理论上给出了一种保真度f = i 的不失真的 量子隐形传态实验改进方案，经过一系列的数学推导与证明，最终得到了与之相对应的 输出端最佳位移参量的函数表达式，并且本文对改进方案中所论述的理论公式进行编 程，程序运行的仿真结果更加形象地说明了本方案的合理性与可行性。 关键词：量子隐形传态光场压缩态保真度量子纠缠量子通信 a b s t r a c t l a t e l y , w i t ht h ev i g o r o u sd e v e l o p m e n to fq u a n t u mi n f o r m a t i c s ，t h et h e o r yo fq u a n t u m t e l e p o r t a t i o nh a sb e e nw i d e l ya p p l i e di ne a c hf i e l do fq u a n t u mc o m m u n i c a t i o n i no r d e rt o m e a s u r et h ep e r f o r m a n c eo fq u a n t u mt e l e p o r t a t i o na n dd e s c r i b et h es i m i l a f i t yb e t w e e nt h e i n p u ts t a t ea n dt h eo u t p u ts t a t e , t h ep h y s i c a lc o n c e p to ff i d e l i t yi si n t r o d u c e di n t ot h e q u a n t u mc o m m u n i c a t i o nt h e o r y n o w a d a y s , s c i e n t i s t sl l e v e rg e tap e r f e c tp r o c e s so f q u a n t u mt e l e p o r t a t i o nb e c a u s es q u e e z i n gd e g r e eo fe n t a n g l e ds t a t ec a nn o tb ei n f i n i t ew h i l e a p p l y i n gt w o - m o d es q u e e z e dv a c u t i ms t a t ef o rq u a n t u mc h a n n e l i nt h i sp a p e r , b ye m p l o y i n g t w o - m o d es q u e e z e ds t a t ef o rq u a n t u mc h a n n e la n de n t a n g l e dc o h e r e n ts t a t ef o ri n p u ts t a t e a n db ya d j u s t i n gd i s p l a c e m e n tp a r a m e t e ra n dt h eo u t p u te n d ，an e w i m p r o v e de x p e r i m e n t a l p r o j e c ti so b t a i n e di nt h e o r yt h a tt h ef i d e l i t yo fq u a n t u mt e l e p o r t a t i o ni s1 a f t e ras e r i e so f m a t h e m a t i c a ld e d u c t i o na n dc a l c u l a t i o n , t h ec o r r e s p o n d i n gf u n c t i o ne x p r e s s i o no ft h ep e r f e c t o u t p u td i s p l a c e m e n tp a r a m e t e ri so b t a i n e d , a n dt h et h e o r e t i c a lf o r m u l ao ft h ei m p r o v e d e x p e r i m e n t a lp r o j e c ti s a l s op r o g r a m m e d ，t h er e s u l t so fr u n n i n gp r o g r a md e m o n s t r a t e v i a b i l i t ya n dr a t i o n a l i t yo ft h ei m p r o v e de x p e r i m e n t a lp r o j e c t k e y w o r d s ：q u a n t u mt e l e p o r t a t i o no p t i c a lf i e l ds q u e e z e ds t a t ef i d e l i t y q u a n t u me n t a n g l e ds t a t eq u a n t u mc o m m u n i c a t i o n 长春理工大学硕士学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的硕士学位论文，量子隐形传态的研究是本人在 指导教师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内 容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识 到本声明的法律结果由本人承担。 作者签名： 也尘年上月丑日 长春理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“长春理工大学硕士学位论文版权使用 规定”，同意长春理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件 和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权长春理工大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手 段保存和汇编学位论文。 垃年1 月珲r 迎年土月掣同 名竺 盛眸始靼 名 名 签 签 者 师 作 导 第一章绪论 1 1 引言 量子信息理论是信息科学与量子力学相结合的一门新兴学科，开拓了量子力学应 用的新天地，经过近二十年的研究与发展，它已成为一个重要而又富有活力的研究领 域，并为2 1 世纪信息科学的发展提供了新的原理和方法。在量子信息科学理论中，量 子通信是量子信息学的一个重要分支，其相关理论主要包括：量子隐形传态理论，量 子密码术理论，量子计算与量子测量等相关理论。其中，量子隐形传态理论是量子信 息科学领域中的一个非常重要的理论基础，特别是在量子通信中的重要应用。由于量 子隐形传态能够以量子态作为信息的载体，通过量子态的传送来完成大量信息的传输， 这样就能够节省大量通信资源，又能够降低经典通信的复杂度，从而实现原则上不可 破译的量子保密通信，以及以此为基础实现一些量子信息学中的逻辑门操作等所以， 如果量子隐形传态理论与技术得以实现，它将会在量子信息和量子计算等方面获得重 要应用与发展。 1 2 量子隐形传态的发展历程 1 9 9 3 年，本纳特( b e n n e t t ) 等6 位科学家在p h y s r e v l e t t 上发表了一篇名 为“由e p r 纠缠通道和经典通道来传送未知量子态”的论文l i l ，奠基了人们研究量子 隐形传态的基础。下面从理论和实验及国内外等几个方面分别来介绍量子隐形传态的 发展历程： 在理论方面： 一：同一种粒子问的量子隐形传态理论：自本纳特( b e n n e t t ) 提出分离变量量子 隐形传态的理论方案以来，该理论得到了很大完善与发展，1 9 9 4 年，v a i d m a n l 在 p h y s r e v l e t t 上首次提出了连续变量的量子隐形传态理论。1 9 9 8 年，k i m b l e j 和 b r a u n s t e i n s 利用双模压缩真空态光场的正交分量作为量子隐形传态理论的量子通道又 再一次扩展了v a i d m a n 的连续变量量子隐形传态的理论分析。同年，物理学家z u b a i r y s 在文献i 2 l q u a n t u mt e l e p o r t a t i o no f a f i e l do fs m t e 中首次介绍了把n 个f o r k 态相互 叠加的量子态作为量子纠缠源的场的量子隐形传态，与此同时，b a r d r o f f p 等人在文 献t e l e p o r t a t i o no f nd i m e n t i o n a ls t a t e s ) ) 中分析并总结了多维量子态系统中量子隐形 传态的理论方案。 二：不同粒子间的量子隐形传态理论，l i d a r d 等人在文献h o wt ot e l e p o r t s u p e r p o s i t i o no f c h i m la m p l i t u d e s 中首次阐述了不同种粒子问的量子隐形传态方案， 其主体思想是将分子叠加念的信息传递给一个光子。c r o s i g n a n i b 与p o r t o p 等人分析 了不同粒子问量子态的隐形传态和与其对应的可行性实验。c l e v e r 等人在文献 ( t e l e p o r t a t i o na s a q u a n t u mc o m p u t a t i o n 中【3 1 论述了量子隐形传态理论是实现量子 计算的基本要素，并指出了一些简单而又实际的例子。 在实验方面：与此同时，随着量子隐形传态理论的不断完善，量子隐形传态在实 验方面也进展的很快，1 9 9 7 年，b o u w m e e s t e r d 小组在奥地利首次实现了统计意义上 的量子隐形传态实验案。因其该小组的创造性工作，引起了科学界的广泛关注。在实 验室进程中，b o u w m e e s t e r d 采用的脉冲激光器是2 0 0 f s 的激光泵浦源，把非线性光学 回复反射过程中产生的单光子偏振态当作要传送的未知量子态。量子通道是使用的非 线性光学转换过程自发辐射光子对。 1 9 9 8 年初，b r a n c a s 实验室小组在意大利也报道了另一个成功的量子隐形传态实 验方案，与b o u w m e e s t e r d 小组不同的是：b r a n c a s 实验室小组采用的泵浦源是连续氢 离子激光器。同年，美国f u r o s a w a a 实验小组在实验上首次实现了连续变量量子隐形 传态，该小组利用5 0 5 0 分束器把单模光场两个相位正交的压缩光耦合构成了一对连续 变量的e p r 对作为量子通道。与此同时，美国另一个由n i e l s o n 领导的实验小组和美 国马里兰大学的k u l i k s p 小组也成功的实现量子隐形传态，前者采用的方法是核磁共 振，后者是利用光学晶体中的非线性过程识别量子隐形传态的b e l l 基。 在国内，近年来，国内的学者提出了基于腔量子电动力学的一系列量子隐形传态 方案，运用了光腔与原子的相互作用来实现量子隐形传态实验方案。在量子隐形传态 实验方案中，为了实现保真度f = i 的量子态的传送就得必须利用最大纠缠态作为量子 通道。可是，在实际实验中，量子态和实验仪器的耦合而产生的噪声是无法避免的， 所以，如何使用非最大纠缠态作为量子通道来实现量子隐形传态就变得具有非常重要 的实际意义。我国科学家李万里1 4 等人在理论上利用非最大纠缠态作为量子通道，论 述了一种途径来实现单粒子量子态的概率量子隐形传送：该理论指出在量子传送过程 中，实验中的发送者只要做一个满足量子纠缠匹配的测量，就能以最高的成功概率完 成量子隐形传态实验方案；我国学者李野等人成功实现了两粒子和三粒子量子纠缠态 概率隐形传送，不过该方法是在理论上运用量子纠缠交换的方法，但是，该方案的成 功概率只取决于e p r 纠缠态作为量子通道的较小迭加系数，随后我国学者也大量的， 不断地提出来一些关于量子隐形传态的实验方案。在这里，就不一一列举了。 1 3 连续变量量子隐形传态的提出 要想了解连续变量量子隐形传态的理论起源，不得不先提一下量子纠缠态的概念。 1 9 3 5 年，e i n s t e i nr o s e np o d o l s k y 提出了著名的e p r 佯谬，量子纠缠态的概念由此而 产生。1 9 6 4 年，b e l l 定理的提出验证了量子信息理论与局域性隐变量理论预言的差别， 即在复合量子信息系统中，对一个子系统的实验测量无法独立于其他子系统。之后科 学家们纷纷在计算机科学和通信科学中引入了纠缠态这一非局域特性。例如：1 9 9 1 年 科学们提出的量子加密协议到陔协议在实验上实现，都是基于量子纠缠态的概念。还 有1 9 8 5 年量子图灵机模型和1 9 9 4 年s h o r 算法理论的提出以及g r o v e r 算法的提出 ( 1 9 9 6 年) 并到它的核磁共振实验演示。 2 由于量子纠缠态理论的不断完善与发展，这为量子隐形传态理论提供了坚实的理 论基础。从9 3 年量子隐形传态方案的提出到9 7 年首次实验实现，量子纠缠态理论早 已被广泛用到量子计算和量子信息科学中的各个领域。例如：v a i d m a n 于1 9 9 4 年借助 于纠缠态这一非局域特性，推广了本纳特提出的分离变量量子隐形传态理论，从理论 上最早提出了用坐标和动量来表示的连续变量量子隐形传态理论，四年后，经过科研工 作者的不断努力，美国f u r o s a w & a 与k i m b l e j 实验小组在实验上首次实现了连续变量 量子隐形传态，该小组采用的是把单模光场的两个正交相位压缩光，利用5 0 5 0 分束 器耦合构成一对连续变量的e p r 纠缠态作为量子通道。其实验的主要步骤是：首先量 子纠缠态的制备：第二步是通过零拍探测系统和5 0 5 0 分束器对四个b e l l 基进行测量。 最后一步是根据对四个b e l1 基的测量结果，对e p r 纠缠对中一个量子态过行么正变换。 因为量子纠缠源在连续变量量子信息系统中有多种数学表示方式以及纠缠方式，所以， 科学们提出了十分丰富的连续变量量子隐形传态实验方案。 量子隐形传态理论所指的信息传递是量子态信息，所以，它是实现量子通信最基 本的过程。科学们完全可以根据量子隐形传态理论来实现量子因特网远程通信的梦想。 目前我国科学家潘建伟教授1 5 1 正在努力于研究量子因特网远程通信网络的关键技术， 同时也取得了大量科学研究进展。相信在不远的未来，一种新颖、超快速的通信方式 将会惠及每一位老百姓的家中，并发挥出其奇特、不可思议的作用。 1 4 本文的主要工作 在以往的量子隐形传态实验中，人们常常是以双模真空态作为量子隐形传态的量 子通道，以相干态作为未知输入态来完成量子态的传送过程。而在实验过程中，制备 压缩真空态的仪器的纠缠度往往是有限的，不可能在实验过程中始终处于最大压缩态， 所以，往往使量子隐形传态的保真度不能达到最大值，为了获得最佳量子隐形传态的 保真度，现在人们通常使用的实验方案就是：以真空压缩作为量子通道，通过调节相 位因子束提高量子隐形传态的保真度。但这种实验方案中，人们得到的保真度通常在 0 4 5 左右，且很难在继续提高。 本文的创新点在于把双模压缩态( 它与双模真空态不同) 作为量子隐形传态的量 子通道，同样以相干态作为输入态，通过调节输出端的位移参量来对提高量子隐形传 态的保真度问题加以研究与说明，最终从理论上提出了一种保真度可以等于l 的量子 隐形传态实验优化方案。从而克服了现在通常使用的以双模压缩真空态作为量子通道， 相干态量子隐形传态实验中由于压缩度达不到无穷大而保真度不能够等于1 的缺陷。 最终得到了量子隐形传态保真度f ：i 时所对应的输出端最佳位移因子的解析式，并且 本文根据优化方案中所论述的公式编写了图像仿真程序，程序运行的结果更加形象的 说明了本文所提出的实验方案的合理性与优越性。在此需要说明的一点是：本文在如 下章节所说的量子隐形传态理论均足指连续变量的。 第二章量子隐形传态理论基础 2 1 引言 量子隐形传态理论是量子力学理论与信息科学理论相结合的智慧结晶。当初，科 学家们为了解决经典通信中存在的物理难题，从而引入了量子力学的思想，但是随着 不断地深入研究发现，利用量子力学的基本特性原理，例如，量子力学的五大基本原 理、不确定性、叠加性等等，可以突破现代信息技术的物理极限，开拓全新的信息功 能，其中量子隐形传态理论就是全新通信功能的一种，所以在本章节中，我们有必要 简要地介绍一下对量子隐形传态理论的发展起着重要作用的几个理论基础6 1 。 2 1 1 量子力学的五大基本原理 量子力学理论没有直接的实验定律，只有推理发现的微观物理世界有两条基本运 动规律，就是量子化的力学量取值和波粒二象性共存的运动，这是构造理论的主旋律， 也是其主要研究内容。围绕这两条主旋律，同样用思维推理方法提出五条物理原理， 原理就是不加证明的前提条件，也称为假设或假定。原理也可以解释为“出师表”，量 子力学理论以五条原理构成理论框架，是这个理论体系的特色，也是物理理论中，特 别是这种基础性很强的物理学科，前无仅有，不是从实验定律出发，也很难做实验直 接验证，后来的实验检证也只有一两个。下面本节简要介绍一下这五条基本原理： 1 德布罗意物质波原理 1 9 2 4 年德布罗意提出，有重粒子自由运动存在波动性，并可以表示为电动力学的 平面波，称自由粒子波函数原理，也称量子力学第一原理。提出自由粒子具有波动性， 并且波动性和粒子性共存，后来的研究表明，这个原理第一次揭示了微观物质运动的 波粒二象性规律，并且首次用波函数表示这种运动姿态，被爱因斯坦称为“巨大帷幕 的一角”，揭开了创立量子力学理论的帷幕，也首次把旧量子论中形成的量子概念融合 他的波动性设想之中，用一个经过修正了的波函数表示，后来把波动性称德布罗意物 质波并可以用e = 壳1 ，p = h k 的关系计算物质波波长。这个原理属于灵感型的原理。 2 玻恩波函数统计解释原理 1 9 2 6 年，玻恩的波函数统计解释原理平息了关于( ，) 物理解释的争论。首次定 义矿( ，) 是描述微观粒子体系波粒二象性运动状态的函数，称为波函数，i c ，( 厂，) 不可以 直接实验测量，而是bi ：可以实验测量，并且具有几率波的特性，后来把这种实验上可 以测到，粒子按力学量变化量呈现的几率波动性，称为几率波，并得到波函数的归一 化条件： l y ( ，) 5 f ，( ，t ) d r = l ( 2 1 ) ， 这是量子力学关于状态与波函数表示的第二条原理，是理性思考型的原理，是德 布罗意梦幻进入理性的第一个原理。 4 3 薛定谔波动方程原理 1 9 2 6 年薛定谔创立的波函数运动方程原理，即； 访鲁州，= 卜嘉旷卜， 旺2 ， i h 少( 厂，) = e y ( 厂，) ( 2 3 ) 前者是普通性的运动方程，称薛定谔方程，后者是数学中的特征方程，后来称本 征方程，外场函数矿( ，) 称为势阱函数。这个原理首次提出了能量算符f 旦，在方程还有 哈密顿算符存：一旦v ：+ y ( ，) ，动量算符；：一i h v 的概念。 并且首次提出物理学中的力学量可以用算子来表示，建立了力学量和状态的关联 特征。进而从理论上预言微观体系的量子化规律，并且从波动方程的连续性启发量子力 学波函数的有限性、连续性、单值性的物理性质。可见薛定谔方程原理蕴藏的物理内 容很丰富，并且都是用数学公式与方程作出了严格的表示，基本回答了量子力学所要 解决的理论原则问题。虽然数学公式演证很多，但主要是物理思考在前，不是按数学 逻辑推导出来的，而是按物量思考的需要选择恰当的数学表示。因此称为原理。我们 知道物理学中的运动方程，特别是基本运动方程来源于两个方面：一是实验定律的总 结分析有数学表示，二是来源于理性思考的原则，按思考方案的需要选择数学表示。 薛定谔方程的建立属于后面种。如果是从概念定义按数学推导的方程或公式称为定 理。我们发现物理学中的定理是很少的。 薛定谔方程原理具有深入的理性思考和数学推理的严密性，因此这个原理是量子 力学中描述波粒二象性运动规律的基本方程，涵盖的物理内容很多很全面，有时成为 量子力学的代名词。 以上的三个原理都是关于量子力学运动状态的原理。 4 力学量算符表示与取值几率原理 力学量算符表示原理包括： 第一：量子力学的力学量可以用算符表示，写为声，算符声尊守数学算子的运算的 运算法则，并且必须是线性厄米算子，才可以选为力学量算符，通过解算符本征方程 声缈：五y ，n = l ，2 ，3 ，4 ，本征值乃预言力学量的量子化取值规律。 第二：本征函数归一化阿：5 f ，。d r = l ，揭示本征态是力学量取确定值的量子态，即量子 力学的最基本状态，称为基元态。 第三：力学量f 在任意态v ( r ，) 中出现，那么，的可能值 全部都有在( 厂，) 出现的 “权力”只是每个五所占几率不同，这个几率由丸的傅罩叶展开系数c 。决定： l f ，( ，) = g 九 ( 2 4 ) e = 似沙( ， f ) d r ( 2 5 ) 蚓2 是 在y ( ，) 的几率密度，并且几率是波动性的，称为几率波。因此f 在状态y ( 厂，t ) 中的粒子性，即量子性由本征值以表示，几率波动性由l d 2 表示。 5 电子存在自旋运动原理 在初等量子力学中电子存在自旋运动。是根据1 9 2 1 年斯特恩与盖拉赫实验和原子 光谱精细结构两个实验，1 9 2 5 年乌伦贝克和哥德斯密脱提出原子中的电子存在自旋运 动假设，称为电子自旋存在的原理。并且建立了电子自旋运动算符表示： 珏躬三) 泣6 ) y = 躬j 】 眨7 ， 建= 靴三) 眨8 ， 这个原理揭示了原子中电子具有一种新的自旋运动，并且在量子力学理论中唯一 一个力学量算符只用矩阵表示的算符，不用函数形式表示的算符。 量子力学的这些原理都是经过一些数学逻辑推理和演绎的最终结果去跟实验做比 较，如力学量的本征值和实验测量值的关系，所以丌始接触量子力学理论时总是有一 种莫名其妙的感觉。重要原因是理性思维程度短期内很难接近创始人的状态，必须反 复思考理解这些原理和概念。 2 1 2 纯态与混合态的密度算符 现在我们所晚的量子系统的态，都可以用希尔伯特空问的一个矢量描写的。这种 态我们称为纯态。两个纯态l y 。) 和l y ：) ，通过叠加可以得到加一个状态f 少) ： i 少) = l 缈。+ l 缈：) c ： ( 2 9 ) 这个状态也是纯态。总之，凡是能用希尔伯特空间的一个矢量描写的状态，都是一个 纯态。 有时有更为复杂的情况，量子系统所处的状态，由于统计物理的原因无法用个 态矢量来描写。系统并不是处在一个确定的态中，而是有可能处于i5 c ，) ，i 缈：) ，等 各个态中，分别有概率p ，p ：，。这种状态无法用一个态矢量表示，称为混合态。 现在我们取一个简单的例子， 兑明混合态和纯态的区别。例如一个系统处于l 。) 的 概率为p ，处于f ：) 的概率为p ：( p 。+ p 2 - - - 1 ) ，系统的这个念目前还无法作简单的描写， 我们只能下面的写法去表示这个态： 6 f m ) ：p 。 1 l 沙：) ：p ： ( 2 1 0 ) 纯态和混合态是完全不同的两种状态，即使在( 2 9 ) 式和( 2 1 0 ) 椭- i c 。1 2 = p ，i c 2 1 2 = p ：， 它们仍是两种完全不同的状态。 现在我们看一看一个物理量a 在这两种态中的取值概率。设a 的本征矢量为i 口，) ， 相应的本征值是口，。那么物理量a 在纯态中取口。值的概率是 l ( 口jl i ；c ，) | 2 - - i a 。i j c ，) c l + ( 口，i j c ，：声：1 2 ( 2 1 1 ) 而在混合态中，若系统处于l 少。) ，则a 取q 的概率幅( 口，1 5 f ，。) ，若系统处于i 少：) 态，则 为( 口，i y ：) ，系统既然以概率p 。处于l 缈。) 态，以概率p ：处于i 少：) 态，i 因l l l ，a 取值的概 率应为 la l 1 2 p + l ( 口，l y ：) 1 2 p ：i ( 2 1 2 ) 这与( 2 1 1 ) 式不同。 以上的说法若在x 表象中说的话，纯态的态函数为： | 缈( x ) ) = i y 。( x 珍，+ l 缈：( 科c ： ( 2 。1 3 ) 而混合态的态函数可写成 ”嗡a ( 2 “) 慨( x ) ) ：p ： “ 粒子处于扎点的概率在纯态中为 i 沙( x ) ) 1 2 = j 1 5 f ，。( x 。) 。+ i y ：( x 。) 弦：1 2 ( 2 1 5 ) 而在混合态中为 m ( ) 1 2 p ，+ l y ：( k ) | 2 p ： ( 2 1 6 ) 由此看出，在纯态中两个态i y 。) 和l 沙：) 发生干涉现象，而混合态则不发生，各自 表现出自己的位置概率。所以，两态形成纯态是相干叠加，而形成混合态是不相干叠 加。前者是概率幅的相加而后者则是概率本身的相加。我们说微观粒子表现出波动性， j 下是指相干叠加而言的。 在混合态中，系统有一定概率处于i f ，。) 态，当它处于此念时，它具有i ) 态所有 的全部性质，对于i c ，：) 念也是一样的。而在纯念中，i 缈。) 与i i f ，：) 两态叠加，已经形成 个新的念，这个新态原则上已不再具有原来两个态的性质了。 有时会看到一种解释，说在( 2 9 ) 式所表现的纯态中，“| c l | 2 是系统处于i y 。) 念的概率， 7 p ：1 2 是系统处于i 吵：) 态的概率。”这种说法是不对的，如果把川2 与i c ：1 2 换成p 。和p ：， 这倒是对于混合态的正确解释，我们知道，纯态是一个全新的态，处于纯态的系统， 不再有可能处于l y 。) 与i y ：) 态。 如果在纯态( 2 9 ) 中，l 矿。) 与i 少：) 态都是某一算符a 的本征矢量，本征值分别为 口ia 2 ，则在纯态中，物理a 取值为口l 和口：的概率确是p 。1 2 与p ：1 2 ，但是物理量取口。 和口：的概率并不等于系统处于i ) 与i j f ，：) 态的概率。对于纯态而言，系统处于i 缈) 态， 不存在“系统处于某态的概率这一概念。 那么，。我们怎么样能用一个单一的数学量去描写混合态昵，这时，我们便引入了 密度算符。我们先从纯态说起。 以前，一直用希尔伯特空间的一个矢量1 5 c ，) 去描写状态吵。现在，从求一个物理量 a 的平均值开始，设法找出一个纯态的量。a 在缈态中的平均值可以写成 ( a ) = ( 少h 少) ( 2 1 7 ) 取一组基矢 刀) ，利用其完全性关系h ) ( 刀i = l ，有 ( a ) = ( 少i 刀) ( ，i 彳i l ；c ，) = ( 刀p i 沙) ( i ，) = ，叫p ( 2 1 8 ) 式中 p = l y ) ( 沙l ( 2 1 9 ) p 称为密度算符，它由吵态的态矢量所完全决定。注意构造密度算符时必须使用归一 化的态矢量。我们再来看看物理量a 在少态中取值a ，的概率彬 彬= i ( qi 沙) 1 2 = ( 口，i ) ( f ，i 口，) = ( 口，i d q ) ( 2 2 0 ) 这个概率是密度算符在本征态口，中的取值。 由( 2 1 8 ) 和( 2 2 0 ) 两式可知，对一个纯态缈，凡是能用念矢量沙给出的信息， 都可以用同样的密度算符p 给出，因此，密度算符p 是可以完全代替矢量来描写纯态 的另一种数学量。 下面看混合念，取一个比( 2 1 0 ) 更一般的混合态如下： 舷： 胪- ) ：p ， 厶n 1( 2 2 1 ) 先求物理量a 在这个混合态中的平均值。在混合念中，一个物理量求平均值通过两次 平均手续：第一次是量子力学的平均，求出a 在每一个i ”) 中的平均值缈，h 沙，) ，第 一次是统计物理的平均，示出各量子平均以不同概率p ，出现的平均，即 8 ( ( 彳) ) = 只( h ) 同样利用一组基的完全性关系，有 ( ( 彳) ) = p ，缈，愀疗h ) 2 f 妒 ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) p = 净。缈，l ( 2 2 4 ) ( 2 2 4 ) 式中p 称为混合态的密度算符。 可以说，纯态或者是混合态都能表示量子隐形传态的输入态，而用密度算符则可 以表示量子隐形传态的保真度等相关概念。 2 1 3 海森伯的不确定性原理 设彳和b 为两个不对易的线性厄米算符。在a 的本征态中测量力学量a ，有确定值， 即该本征态的本征值，在数值上也等于a 在这个态的平均值。现在，如果有人问，在彳 的本征态中测量另一力学量b ，会出现什么结果呢? 进一步，如果在任一个既非彳又 非b 的本征态中测量a 与曰，又会出现什么样的结果呢。 不确定性原理( u n c e r t a i n t yp r i n c i p l e ，曾称测不准关系) 回答了这个问题，我们先对 这个原理作一般证明is l ：构造积分 i1 2 蟛) = 肛川刮d r _ o ( 2 2 5 ) il 式中，亏是实参数，缈是任意波函数，g ) 之所以大于或等于零是因为被积函数不 小于零，将( 2 2 5 ) 式的平方项展开，得： ，( ) = i ( 孝彳q o * + i b 缈) ( 孝彳妙一f b 缈) 咖 ，、 = 孝2l ( 么缈) ( 么缈) 办一 f fi 【彳缈( b e p ) 一( b 妒+ ) ( 彳缈) 】咖+ i ( b 驴+ ) ( b 缈) 毋 ( 2 2 6 ) 由于a 与b 具有厄米性，上式可写成 ，( f ) = 孝2p + 仝缈一f 手p ( 匀会一会刍) 缈+ p + i 2 渺 9 a = 孝2 + 孝 + 0 ( 2 2 7 ) 上式中算符会满足【二，会】i 会，( 2 2 7 ) 式是关于f 的二次式，不等式( 2 2 7 ) 成立的条 件是 三三： “a ii 】2 l 一= l i ( 2 2 9 ) 式对任两线性厄米算符a 与b 均成立，令 显然，a a ，a b 也是线性厄米算符，它们的对易子满足 ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) ( 2 3 0 ) a a ，a b i = a ，b 】 ( 2 3 1 ) 由( 2 3 1 ) 与( 2 2 9 ) 得 【 】如三，会】 i 2 3 2 ) 取算符彳= x 与占= ，由 x ，致 = h 及( 2 3 2 ) 式得 生4 ( 2 - 3 3 ) ( 2 3 3 ) 式表明， 与 不能同时为零，而且坐标x 的方向均偏差越小， 动量只的方均差越大，反之亦然。 同理，取多= 会= 访昙，会= ，由【会，】= 【疏昙，】= 坊及( 2 3 2 ) 式得c，l(，i 譬 ( 2 3 4 ) 经过以上的推导，( 2 3 3 ) 与( 2 3 4 ) 式称为不确定性原理。通常，( 2 3 2 ) 、( 2 3 3 ) 还有( 2 3 4 ) 式也常常简记为 i a a a b ( 2 3 5 ) a x 只鱼 ( 2 3 6 ) ，e ! ( 2 3 7 ) 式中鲋、凹、敏、皿、& 、丝均表示这些量的方均根值。 下面，我们对不确定性原理作一些说明： ( 1 ) 不确定性原理是微观粒子运动的基本规律。严格浼束，它不是一个独立的原理， l o 而是波粒二象性和波函数统计解释导致的必然结果。特别要强调指出，在( 2 3 2 ) 式的 证明过程中，根本不涉及测量。只要有波函数统计解释和力学量的平均值公式，就可 以严格导出不确定性原理。过去，常常容易产生一种误解，似乎粒子本身具有确定的 坐标和动量，只不过我们不能同时准确测量它们罢了。特别由于过去将u n c e r t a i n t y p r i n c i p l e 译成“测不准关系”，更易引起这种误解。实际情况是，由于波粒二象性及波 函数统计解释，粒子在客观上不能同时具有确定的坐标和相应的确定的动量。正因为 客观上不同时具有确定的坐标和动量，当然也不可能同时准确地测量它们。 ( 2 ) 就本质而言，不确定性原理无非是两个力学量同时具有确定值的定理的一个推 论。因为工与p ，两个算符不对易，它们没有共同的本怔函数系。不仅如此，事实上， 它们没有共同的本征态。因此不可能同时准确测量工与p ，。以一维情况为例。具有确 定动量p = p o 的波函数是平面波尹，( 工) p “ ，而它在空间各点的概率密度， k 洲= l ，是个与空间位置无关的常数，因此粒子的位置完全不确定，有卸：0 ，a x _ 。 f ，1 2i 同样，具有确定坐标x _ 的波函数f ( x - x o ) ，其动量空间相应的波函数是 c 加赤, ，( x - x o j e 兰b = ! ，一妒h ( 2 3 8 ) t ( 2 砌) 2 概率是l c 。( p ) 1 2 ：土：c ，c 为常数，因此粒子的动量完全不确定，有缸= 0 ，pj 0 0 。 o o 2 砌 这正是不确定性原理。算符e 与t 也是这样。 ( 3 ) 从量子力学诞生之同起，测量问题一直是国内外物理学家和哲学家争论的焦 点。测量仪器与客体的关系，观测者的作用，粒子和测量仪器之问是否存在着不可控 制的相互作用，甚至有入由此出发引申为主体和客体不可区分，从则否定物质的客观 存在等等。 几乎在与海森伯提出不确定性原理的同时，玻尔提出了互补原理。玻尔认为，既 然微观客体既有波动性，又有粒子性，而波动性和粒子性又不会在同一个测量中出现， 因此波和粒子这两种经典概念在描述微观现象时是互斥的，它们不在同个实验中同 时存在，互相冲突。但另一个方面，在解释微观世界时，这个两个概念又是互补的、 并协的、缺一不可的。他所丌创的哥本哈根学派还提出：测量仪器分为两类。一类用 来确定粒子运动的时空属性，另一类用来确定能量与动量属性，这两类仪器不能同时 使用，是互斥的，但又是互补的，因为只有将这两类仪器的结果与这两类描述联合起 来，才能给出完全的描述。总而言之，在微观世界罩，一些经典概念的应用不可避免 地将排除另一些经典概念的应用，而这另一些经典概念在另一些条件下又是描述现象 所不呵缺少的，必须而且只须将所有这些既互斥、又互补的概念汇集在一起，才能而 且一定能形成现象的详尽无遗的描述。玻尔甚至把互补原理作为解释量子力学的出发 点。 2 2 量子隐形传态的实现过程 量子隐形传态( q u a n t u mt e l e p o r t a t i o n ) ，在国内文献中有各种不同的译法，例如量 子远程通迅，量子离物传态等等。在科幻电影中，常有隐形人，他在某地消失，又可 以莫名其秒地在另一个地方重现，t e l e p o r t a t i o n 一字起源于此。从物理学看，它企图表 现一种信息的无须直接通过一个通道的隐形传送过程：先提取原物的所有信息，然后 “传送”到接收地点，接收者根据这些信息，复制出原物的复制品。当然，这在经典 力学中是无法实现的。即使在量子力学，由于不确定性原理，也不允许人们精确提出 全部信息，但是，是否可以将实物的信息分成经典信息和量子信息两部分，经典信息 通过经典通道发送，然后再利用纠缠的性质，来实现量子信息的远距离的“隐形”发 送呢? 1 9 9 3 年，本纳特( b e n n e t ) 的工作提供了一个实现量子信息隐形传输的方案。 其基本原理如图2 1 所示。 粒了2 粒了1 i 妒) 。 经典通道 e p r 对 ( i y 一) 。) 图2 1 量子隐形传态的基本原理 粒子3 1 目的 发送员j a c k 要把自旋为l 2 粒子的自旋态 l 力= d 个) + 叫d = ( 习 ( 2 3 9 ) 盯+ 盯= i ( 2 4 0 ) 发送给远处的接收员b o r n 。j a c k 和b o r n 之i 日j 有一个经典信息通道，例如有一部 连接j a c k 和b o r n 的电话，可交接测最过程中经典的技术上的信息，但j a c k 对量子态i ) 一无所知。 2 传送步骤 ( 1 ) 如图2 1 ，先制备自旋为l 2 的粒子1 ，使它处于协态， 阮= 叫个) 。+ 6 f 上) 。 ( 2 4 1 ) i a l 2 + 纠2 = l ( 2 4 2 ) 将粒子l 放在j a c k 处。 ( 2 ) 制备由自旋为l 2 的粒子2 和粒子3 所组成的e p r 对，让它们处在纠缠态 i y 一) 。；去t l t ) ：l 工) ，一i 上) ：i t ) ，】( 2 4 3 ) 并同时将粒子2 和粒子3 分送给j a c k 和b o r n ( 3 ) j a c k 采用可以识别贝尔基的装置对粒子1 和粒子2 联合进行测量，而同时b o r n 也对 粒子3 的自旋态进行测量。粒子1 和e p r 对粒子2 、粒子3 构成的量子态显然应为l 矽) 。 和l y 一) 的直积 m ：，= 旷) b 峨 ( 2 4 4 ) 在由四个贝尔基知构成的表象中，m ：j 态可分解为： l ) 。b = 圭【| 缈一) 。：( 一口1 个) ，6 i 土) ，) + l l c ，+ ) ，：( 一口1 个) ，+ 6 i 上) ，( 2 4 5 ) + i 一) 。：口i 、l ) ，+ 6 l t ) ，) + i + ) 。：( 口i 上) ，一b i t ) ，) 1 j a c k 用贝尔基测量装置测出的结果只能是四个贝尔基中的一个，概率为1 4 。而 同时b o m 测出的一定是( 2 4 5 ) 式是与该贝尔基对应的系数。例如，如果j a c k 测出j 纠。：， b o r n 将测出粒子3 所处的自旋态是 一口i t ) ，+ 6 i 上) = ( ：) ， 2 4 6 ) 将这个态与要传输的态i ) = ( ：) 比较，它们之间可以通过一个幺正变换u z 联系起来， 即 ( 2 4 7 ) 其中 吣( - 0 10 。 ( 2 4 8 ) ( 4 ) j a c k 立即通过经典通道，将她用贝尔基的测量结果告诉b o r n ，例如她将告诉 b o r n ，她测得的是纠缠念f 纠。：。于是b o r n 就对他所测的量子态f 刃，作一个幺正变换 u ：，从而使得粒子3 所处的量子态 ，= 亿4 9 ， 这诈是j a c k 想传送给b o r n 的粒子1 酐 白旅态。于是就实现了将( 2 3 9 ) 所示最子 态，从j a c k 传送给b o r n 的方案。所不同的只是，原来由粒子1 扮演的角色，粒子1 所 处的量子态，改由粒子3 扮演，变成了粒子3 所处的量子态。注意在传送过程中，粒 子l 的自旋态已被破坏，粒子1 和粒子2 发生了纠缠。粒子1 的量子态，并未通过量 子通道，而是借助纠缠的性质，“隐形”地传给了b o r n 当然，j a c k b 也可能测出，粒子1 和粒子2 的e p r 对处在其它的贝尔基。为完全其 见，我们将所有可能的态及相应的幺正变换列于表2 1 中 表2 一l 测量态与相应的幺正变换 j a c k 测量得到 的粒子l 和粒子b o m 测量粒子3 所处的自旋态记为 2 的纠缠态 旷) ，： 一口f 个) 。+ 6 f 上) ，= ( 二；) ，洲，u = ( 二1 三) 矿) 。： 训3 + b 山) ，= 跏) ，峥( 1 1 ：) 。： 6 1 个) ：+ 叫上) ，= ( 三) ，讪) ，” 。： 一6 1 个) ，+ 口i 山) ，= ( ：) ，讪) ，以= ( ? i 1 ) 自本纳特的开创性工作以来，又提出了多种实现量子隐形传态的方案，例如用非 局域测量方法，用量子态交换等等。可以预期，未来除了会提出各种各样的新的量子 隐形传输方案之外，还会有更多的实验以验证这种方案的正确性。因为它开辟了个 信息传输的全新的领域。 2 3 量子隐形传态的保真度 在量子隐形传态实验方案中，人们为了说明量子信息态传送的好与坏，也是为了 衡量量子隐形传态的性能，引入了保真度( 表征输入态与输出态的接近程度) 这样一 个非常重要的物理量。我们举例来说，对于一个输入量子态p m = l y ，) 似。i 和相应的密 度算符为p 。，的输出态，我们定义输入态与输出态的保真度【1o 】为 ，= ( y 。i p 。，i y 。) = 护p 。p 。，j ( 2 5 0 ) 此外，我们也可以用输入态和输出态w i g n e r 函数的交叠形式来表示保真度： 1 4 f = 万l d 2 ( 口) ( 口) ( 2 5 1 ) 在现阶段，量子隐形传态实验方案所需要的量子纠缠源( e p r 对) 通常都是双模压 缩真空态，而双模压缩真空态又不可能处于理想中的最大纠缠态，所以，在量子隐形传 态实验中保真度也不可能达到最大值，为了增大保真度，科学们也尝试各种各样的途 径。比如纠缠态纯化或对所分享的双模压缩真空态实施条件测