（光学工程专业论文）基于第二代小波变换的变速箱故障诊断.pdf

哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 摘要 变速箱是汽车及机械设备的重要组成部分。由 于各种原因变速箱经常发 生故障，因而对其实施故障诊断尤其重要。本文致力于开发变速箱振动检测 系统和变速箱的故障分析系统. 首先分析了变速箱的故障特点和利用小波变换提取变速箱故障特征的有 效性.深入研究了 第二代小波变换的算法和分析方法。第二代小波变换不仅 可以实现现有的小波变换，而且有运算速度上的优势。利用仿真信号分析了 第二代小波变换与传统小波变换在信号分解上的异同，分析了各自 的优缺 点。 基于虚拟仪器完成了变速箱振动检测和分析系统的总体设计。选型设计 了传感器、信号调理板、数据采集卡等硬件系统，利用 l a b v i e w软件和 d a q硬件搭建了 变速箱振动检测系统。同时， 基于 l a b v i e w和模块 化思想 开发了 数据采集与信号分析软件。模块中包括引导界面、采集模块和数据处 理模块，它们既相互独立，又可以互相调用。 提出了一种变速箱故障诊断方法。用第二代小波变换来获取振动信号的 故障特征域，再计算特征域上绝对值信号的频谱， 将此频谱与变速箱的特征 频率相比较以诊断变速箱的故障。实际应用表明该方法效果明显。 关键词变速箱;振动;故障诊断;第二代小波变换 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 ab s t r a c t t r a n s m i s s i o n i s a n i m p o rt a n t p a r t o f a n a u t o m o b i l e a n d m e c h a n i s m . f a u l t s o f a t r a n s m i s s i o n o c c u r o f t e n b e c a u s e o f a v a r i e t y o f r e a s o n s . s o i t i s i m p o rt a n t t o d i a g n o s e t h e t r a n s m i s s i o n f a u l t s . t h i s t h e s i s a i m s a t d e s i g n i n g a s y s t e m o f v i b r a t i o n m e a s u r e m e n t a n d a n a l y s i s a n d f a u l t d i a g n o s i s f o r t r a n s m i s s i o n s . f i r s t ly , t h e f e a t u r e o f t r a n s m i s s i o n f a u l t s a n d t h e e ff e c t i v e n e s s o f f a u l t c h a r a c t e r e x t r a c t i n g b a s e d o n w a v e l e t t r a n s f o r m f o r t r a n s m i s s i o n s a r e s t u d i e d . t h e a l g o r i t h m a n d t h e a n a l y t i c m e t h o d o f t h e s e c o n d g e n e r a t i o n w a v e l e t t r a n s f o r m a r e a l s o d e e p s t u d i e d . t h e s e c o n d g e n e r a t i o n w a v e l e t t r a n s f o r m n o t o n l y c a n a c h i e v e a l l k i n d s o f w a v e l e t , b u t a l s o h a s a n a d v a n t a g e o f f a s t e r c a l c u l a t i n g s p e e d . u s i n g s i m u l a t i n g s i g n a l s , t h e s i m i l a r i t i e s a n d d i ff e r e n c e s b e t w e e n t h e s e c o n d g e n e r a t i o n w a v e l e t t r a n s f o r m a n d t h e c o m m o n w a v e l e t t r a n s f o r m a r e c o m p a r e d , a n d t h e a d v a n t a g e s a n d d i s a d v a n t a g e s h a v e b e e n g i v e n . b a s e d o n t h e c o n c e p t o f v i rt u a l i n s t r u m e n t , a n a c q u i s i t i o n a n d a n a l y s i s s y s t e m f o r t r a n s m i s s i o n i s a c h i e v e d . s e n s o r s , s i g n a l c o n d i t i o n i n g b o a r d a n d t h e d a t a a c q u i s i t i o n d e v i c e h a v e b e e n s e l e c t e d t o m e e t t h e r e q u e s t o f d a t a a c q u i s i t i o n f o r v i b r a t i o n s i g n a l b a s e d o n l a b v i e w a n d d a q . me a n w h i l e , b a s e d o n l a b v i e w a n d t h e i d e a o f m o d u l a r i z a t i o n , a s e t o f s o f t w a r e f o r d a t a a c q u i s i t i o n a n d s i g n a l a n a l y s i s h a v e b e e n p r o g r a m m e d . e v e r y s u b - m o d u l e , s u c h a s l e a d i n t e r f a c e , d a t a a c q u i s i t i o n m o d u l e a n d d a t a p r o c e s s i n g m o d u l e , e t c , i s i n d e p e n d e n t b u t c a n b e c a l l e d b y e a c h o t h e r . a n e w m e t h o d o f f a u l t d i a g n o s i s f o r t r a n s m i s s i o n s i s p r e s e n t e d . f a u l t f e a t u r e s i g n a l s a r e e x t r a c t e d t h r o u g h t h e s e c o n d g e n e r a t i o n w a v e l e t t r a n s f o r m , t h e s p e c t r a o f t h e a b s o l u t e v a l u e s o f t h e f e a t u r e s i g n a l s a r e c o n t r a s t e d w i t h t h e c h a r a c t e r i s t i c f r e q u e n c i e s o f a t r a n s m i s s i o n t o d i s t i n g u i s h i t s d e f e c t s . p r a c t i c a l a p p l i c a t i o n h a s s h o w n t h a t t h e p r e s e n t e d m e t h o d i s e f f e c t i v e . k e y w o r d s t r a n s m i s s i o n , v i b r a t io n , f a u l t d i a g n o s i s , s e c o n d g e n e r a t i o n wa v e l e t t r a n s f o r m 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 第1 章 绪论 1 . 1课题研究的目的和意义 在机械工业快速发展的今天，汽车作为人类代步和创造财富必不可少的 工具，在现代化进程中有着不可代替的作用。 变速箱是用于改变转速及传递 动力的最为常用的传动部件，作为汽车及机械设备的重要组成部分，需要在 各种复杂工况下运行，因此也是故障易于发生的部件。国内国外的很多事故 表明变速箱一旦出现故障，将直接影响设备的安全可靠运行，轻则降低工作 效率，重则造成人民生命财产的重大损失。因此运用机械故障诊断学对变速 箱进行状态监测和故障诊断是保证其安全运行的重要手段，其目的就是为了 及时排除机械故障，从而保障我国工业自 动化的快速发展。 机械故障诊断学是根据机械设备在运行中产生的各种状态变化的信息来 判断设备是否正常运转，并研究设备故障的原因和机理的学科。故障诊断包 括信号采集、特征提取、状态识别和诊断决策这一系列的步骤。故障诊断的 前提是对故障信号的提取。对于变速箱来说，齿轮工作时产生的振动是造成 变速箱动态性能恶化的最主要因素，振动是反映齿轮传动质量的重要指标， 其发生故障的早期冲击能量较小，但振动信号却包含了冲击故障源的冲击时 间强度 和系 统固 有特征信息 r i 。 因 此 现代工业 对齿 轮系 统动 态性能 方面的 要 求就更为突出，我们可以 采集发生故障时的箱体振动信号，通过分析箱体振 动信号就可以有效地的提取变速箱中的故障特征。 对振动和噪声信号的故障特征提取方法包括较早的时域分析和频域分 析，现在比较流行的是时频分析方法。因为时频分析不仅能记录变速箱在高 速旋转的过程中产生一系列冲击信号的全部信息，而且还能够提取在时间和 频率范围内任意局部信号变化的激烈程度，即可同时提供时域和频域的局部 化信息冈 。 这是因为变速箱系统正常运转时的振动信号是具有固有频率特征 的周期振动信号。而发生故障时产生的冲击信号常常被淹没在旋转部件的常 规振动信号和噪声之中，为检测带来了困难。时频分析技术利用故障冲击信 号的特有频带将其分离出来，并通过故障信号频率大小、幅值及其周期就可 以诊断出故障的原因、部位和严重程度。因此，深入研究时频分析方法应用 于产生非平稳冲击信号的机械故障诊断中，在工程应用上具有共性。 哈尔滨工业大学工学硕士 学位论文 时频分析中小波变换是当今比较流行的方法，对非平稳冲击信号的信息 提取比较有效。小波变换可以通过正交分频特性将变速箱箱体振动信号处理 到不同的频带上分析，从而有效的提取故障信息。但小波变换的实时性不 好，很难应用于工程实际。 第二代小波变换是 w i m s w e l d e n s 于 9 0年代中 期提出的一种基于提升过程的小波构造方法。 其有一些传统小波不具备的优 点，例如它可以 在时域直接实现;计算是运用本位运算，节省内 存;可进行 整数变换，各层变换无损压缩;编程方便灵活， 速度快。 将第二代小波变换 应用于变速箱故障诊断，不仅可以丰富时频分析方法，同时也为将第二代小 波变换应用于机械故障诊断奠定了坚实的基础。 .2 国内外研究发展现状 1 . 2 . 1故障诊断技术的国内外研究现状 故障诊断技术是现代化生产发展的必然产物。早在 6 0年代末，美国国 家宇航局( n a s a ) 就组织了 名为机械故障预防小组来进行初步的故障检测与 诊断。美国机械工程师协会也为锅炉管道和大型飞行器的状态检测作了大量 的工作。美国的阿波罗计划建立了基于故障监测及处理的安全保障系统，即 飞行异常分析及评价系统。由于设计、实验人员与先进的故障诊断手段有机 结合，阿波罗圆满地完成了飞行任务。在旋转机械故障诊断方面，美国西屋 公司研制的网络化的汽轮发电机组智能化故障诊断专家系统，已在生产实践 中发挥了巨大的作用，保障了生产效能。在 6 0年代末 7 0年代初，以 c o l l a c o t t 为首的英国机器保健检测中心开始了故障诊断方面的研究，逐渐发 展为英国的故障数据中心，为核电系统可靠运行和高压力管道的监测提供了 技术支持。在这种背景下，c a r n e g i e me l l o n大学推了汽轮发电机监测与诊 断系统，芬兰开发出新型自 动磨粒检测与诊断系统，都有效地推动了故障诊 断技术的发展。前苏联自 7 0年代开始对载人航天器故障诊断技术进行了卓 有成效的研究。目 前，俄罗斯开始积极地研制排除故障的综合诊断系统、飞 行状态下的故障分析和监测系统，以 通过地面模拟试验来有效地发现并消除 故障，最可靠地保障航天员的安全。 在国内，从 8 0年代起， 在国家有关部门的大力支持下，以国内高校和 研究所为依托，将故障诊断技术应用于石化、电力和冶金等行业，取得了不 错的效果。1 9 8 3年，宝钢和太钢被作为故障诊断技术研究的试点单位，开 哈尔滨工业大学工学硕士学 位论文 始大规模推动机械故障诊断技术在关乎国民经济命脉的重要部门中的应用。 进入 9 0年代后，故障诊断技术迅速渗透到国民经济的各个领域中，在电力 系统稳定检测等方面取得较大进展。在大型机械设备变工况非平稳动态分析 方面，西安交通大学在这方面取得了较多的成果，主要有利用小波包分解技 术和相应频带里能量比 例的变化，成功的检测出一台 5 0 m w 汽轮发电机低 压缸振动故障仪3 1 。 在重庆大学，以 秦树人为 首的 课 题组， 在国内 首 先研制 成功智能小波变换 信号 分 析仪4 1 。 这表明 故障 诊断技 术在实际 应用乃 至相关 仪器的开发己取得了很好的成果。 目 前变速箱故障诊断领域的重点在于变速箱状态监测和实时分析系统的 开发。这就需要建立相关的变速箱动力学模型，着重提取各类故障的典型特 征，加强信号处理的理论和实践，并充分利用现有的软硬件来构建新的、更 为有效的故障诊断机制。为了 研究变速箱故障产生的机理及各种典型故障发 生时变速箱所表现出来的状态，从 2 0年代开始，人们加大了对变速箱动态 模型的研究，尤其是齿轮故障的建模，得到了很大的重视。文献 5 1 中对变 速箱的各种模型作了较为全面地介绍，并针对齿轮扭转振动模型作了仿真。 文献 6 1 中考虑了一个变速箱系统的模型，并且对齿裂故障进行了 模拟仿 真。文献 2 1 建立了 变速箱故障振动信号的模型， 而且对齿裂和轴承故障进 行了仿真研究。 1 .2 . 2 时频分析方法的研究现状及发展趋势 在仿真的基础上对实测变速箱振动故障信号进行诊断的方法不外乎传统 诊断方法、数学诊断方法和智能诊断方法。对振动信号的处理和分析方法 中，传统方法如时域波形分析、转速同步分析、功率谱分析、高阶谱分析、 相关分析、最大嫡谱法、自 回归谱分析法、倒频谱分析、解调分析 7 1 等。文 献 8 中利用倒频谱方法对变速箱齿轮齿面剥落故障进行了分析:文献 9 利 用解调分析技术分析了变速箱齿轮齿裂故障的特征信息。天津大学在这方面 也作了大量的工作，取得了较好的效果。 1 8 2 2年法国数学家傅里叶( j . f o u r i e r 1 7 6 8 - 1 8 3 0 ) 发表的研究热传导理论 的 “ 热的力学分析” ，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，奠 定了傅里叶级数理论的基础。在上世纪 6 0年代中期，i b m 研究中心的 c o o le y 和b e l l 实 验室的t u k e y 在 权威的“ m a th e m a t i c s o f c o m p u t a t i o n ” 杂 志上提出了著名的快速傅立叶变换( f a s t f o u r i e r t r a n s f o r m ) 算法。 f f t 算法的 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 问世大大提高了傅立叶变换的计算速度，使这个极具工程性却在工程领域身 边徘徊了长达 1 4 0多年的数学方法从此走进了工程应用。 7 0年代中期以 来，以 美国惠普( h p ) 公司为首的一批工业发达国家的高科技公司，如雨后 春 笋般的推出了各种 f f t动态信号分析仪，使得以f f t为理论基础的动态信 号测试分析技术在工程测试领域中得以广泛应用，使整个机械动态测试领域 产生了飞跃的进步。但是，定义在黎曼积分下的傅立叶变换存在一些先天的 不足，虽然在平稳信号的分析中可以大显身手，但对于同样大量存在于工程 测试中的非平稳信号和奇异信号的识别和处理，傅立叶变换便显得无能为力 了。简单来说就是其只适合于分析平稳的信号，在处理含瞬态冲击成分和变 频信号时就失去了 灵敏性【 “ 。 要解决这个问题，科学家们将时频分析引入 了故障诊断。常用的时频分析方法有短时傅立叶变换、魏格纳分布和小波分 析等。 1 9 4 6 年，d . g a b o r 对以往的时频分析方法进行了总结，给出了短时傅立 叶 变换 ( s h o r t t im e f o u r i e r t r a n s f o r m ) 的 全面 解释， 从 而使时 频分析得以 实 用 化。1 9 7 7 年a l c e n 给出了离散s t f t的重叠f f t技术， 使短时傅立叶变换具 有了时间和频域的局部化能力， 兼顾了时间和频率的分析( i i i 。但这种又被称 为加窗傅立叶变换的分析方法其时间分辨率和频率分辨率不能同时提高，且 其时频窗口的大小固定不变，不能很好地适用于分析多尺度信号和突变信 号。 魏格纳一威尔分布( w i g n e r - v i l l e d i s t r i b u t i o n ) 是一种最基本，也是应用最 多的时频分布，和小波分布一样，都是时频分析不断发展的产物，有其先进 性和广阔的前景。 这里只简介一下魏格纳一威尔分布的简单知识。 w i g n e r - v i l l e 分 布是e . w ig n e r 于1 9 3 2 年 提出 的。 在8 0 年代后引 入信号 分析， 它 具 有对准平稳及非平稳信号的分析能力，对于调频、调幅信号以及随机噪声在 时频平面上有直观的表示。其局限性表现在:必须使用解析信号进行分析， 现在还没有有效的算法;分析含有多种频率成分的信号时候存在严重的交叉 干涉 现 象 (1 2 .1 3 1 . 1 9 8 0 年， c l a s e n 从 信 号 处 理的 角 度 来 研 究t w i g n e r - v i l l e 分 布连续和离散时的特性。1 9 8 9 年，c o h e n 对各种变形的w i g n e r - v i l l e 分布进 行了统一，定义为c o h e n 分布。当前人们对w i g n e r - v i l l e 分布的研究集中在 抑制混频、交叉项干扰等方面。 小波变换( w a v e l e t t r a n s f o r m ) 是当今比较流行的方法。作为近年来发展 起来的一个崭新的数学工具，它首先是于上世纪 8 0年代中期，由法国物理 学家 mo r l e t 和 g r o s s m a n n在处理地震信号的数据时提出的一个称之为 “ 小 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 波 ( w a v e l e t ) 的新概念。1 9 8 7年，ma l l a t 利用多分辨分析的概念，统一了 这之前的各种具体小波的构造，并提出了现今广泛应用的 m a l l a t快速小波 分解和重构算法。 m a l l a t 算法是小波变换的快速算法，它在小波分析中的作 用相当于快速傅立叶变换在傅立叶分析中的作用，它的出现促使小波变换走 向工程应用。1 9 8 8年，d a u b e c h i e s 构造出了具有正交性和紧支集的an小 波，使得小波的研究由理论转到可行。美国耶鲁大学以r . c o i f m a n 教授为代 表的小波研究组利用小波分析对美国联邦调查存储的三亿个指纹进行数据压 缩，使指纹传输时间缩短为原来的二十分之一，单单因为节省存储光盘而获 得的效益就达三千万美元。由于小波变换用于信号的分解与重构，有如下的 特点:小波变换既可以用于分析平稳信号也可以 用于分析非平稳信号;信号 的小波分解与重构有二进分辨的快速算法，即 m a l l a t 算法;信号的小波分 解与重构可目的的选择有关频带信息:小波变换特别适合于同时包含有高频 短周期冲击信号成分和低频长周期信号成分的信号。 所以越来越多的应用于 变速箱的故障诊断【 14 ,1 5 1 ， 用其对箱体振动信号 进行分析从而有效的 提取故 障信息比较有效。 随着小波理论的发展， 在许多问 题中人们只是对某些特定时间段( 点 ) 或 频率段( 点) 的信号感兴趣，只需要提取这些特定时间 及频率上的信息而己。 因此，人们自 然希望在感兴趣的时间段( 点) 上最大可能地提高时间分辨率， 而小波变换所提供的时频相平面在高频处的频率分辨率较低，难以捕捉到这 些有用的信息。c o i f m a n 及 wi c k e r h a u s e r 在多分辨分析的基础上提出了小波 包的概念，可以实现对信号任意频段的聚焦。小波包分解实际上是通过一组 低、高通组合的共扼正交滤波器不断将信号分割到不同的频带上，滤波器组 每作用一次， 信号长度减少一半1 1 6 1 。 但小波变换和小 波包的实时 性不好， 很难应用于工程实际。 第二代小波变换( s e c o n d g e n e r a t i o n w a v e l e t t r a n s f o r m ) ，又称提升小波 变换 ( l i ft in g w a v e le t t r a n s f o r m ) 是w im s w e l d e n s 于9 0 年代中 期 提出 的一 种 基于 提升方案 ( l i f t i n g s c h e m e ) 的 小 波构 造方 法 f i l l 。 它容许 我 们用一 种极其 简单的方法去解释小波的基本理论，传统小波变换都可以找到其等效的提升 方案。利用提升方案可以把现存的所有紧支撑小波分解成更为基本的步骤。 其突出优点有构造时不依赖傅立叶变换，不作卷积运算就可在时域直接实 现，速度比 传统小波至少快至少一倍;提升时可选择整数变换，对数据和图 像实现最优压缩;运算时为本位运算，节省内存:灵活多变，编程方便。传 统小波变换和第二代小波变换各有自己的优势与劣势，需要不断的研究和比 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 较，才能更为有效的应用于工程实际当中。就目 前国内的研究状况来说，西 安交通大学的何正嘉和段晨东等人将第二代小波变换引入了机械故障诊断领 域，在旋转机械故障诊断和信号消噪中取得了较为有效的结果;还有扬州大 学的胡学龙提出了一种基于第二代小波变换的图像压缩方案，实现了对于医 学图像的无损压缩。因此深入研究第二代小波变换的原理及其应用，是非常 有意义的。 1 .3 本文的主要研究内容 本文研究的内容主要有以下几个方面: ( i )深入研究第二代小波变换的原理和分析方法，并与传统小波变换比 较，研究其优缺点。 ( 2 ) 变速箱振动检测硬件系统设计。 ( 3 ) 变速箱振动检测软件系统设计。 ( 4 ) 变速箱故障诊断方法及其应用研究。 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 第2 章 变速箱振动信号的小波分析方法 2 . 1 引言 随着科技的不断进步，大型旋转设备向 着高效率、高可靠性和高自 动化 方向发展。变速箱作为广泛应用的部件，其故障诊断技术研究得到了广泛的 关注和重视。传统的信号时域、频域分析方法为变速箱故障诊断己 经打下了 坚实的基础，解决了很多的实际问题。但是为了进一步提高故障诊断的准确 性和快速性，针对变速箱的故障诊断技术也有了新的发展，时频分析发展到 当今小波变换较为广泛的应用于工程实际之中，之前分别经历了经典的傅立 叶变换，短时傅立叶变换和魏格纳魏格纳一威尔分布的研究阶段，而之前的 方法或者不能灵敏的处理非平稳信号，或者不能同时保证体现时域和频域的 分辨率，或者存在严重的混频现象。只有小波变换不仅继承和发展了短时傅 立叶变换局部化的思想，而且克服了短时傅立叶变换时频窗口固定不变、缺 乏离散正交基的缺点。自上世纪八十处代中期以来小波变换得到了迅猛的发 展，并衍生出小波包变换等信号处理方法，在图像处理信、信号处理、计算 机视觉、语音分析与合成等众多的领域得到应用。然而，没有一种分析方法 是十全十美的，小波变换也有其自身的缺点。于是第二代小波变换应运而 生，它具有传统小波变换所不具备的优势，因此备受关注。 2 .2 变速箱振动信号的特点 变速箱结构复杂，主要包括齿轮、轴承、轴系等部件，可以将它们看作 一个质量弹簧组成的振动系统。由于存在制造装配误差、传动误差或是扭矩 的变动导致激振力产生，齿轮产生的振动通过轴、轴承传给变速箱体，同时 轴承、轴等的振动也会传给变速箱。 变速箱的振动信号一般都较为复杂，大部分由以下成份构成:各轴的转 动频率及其高次谐波;齿轮啮合频率及其高次谐波;以齿轮固有频率为载波 频率，齿轮所在轴的转频及其高次谐波为调制频率的共振调制波;以滚动轴 承固有频率为载波频率，外圈的通过频率为调制频率的调制波。在变速箱上 测得的信号为上述信号中的一种或几种综合作用的结果，所以实际情况是比 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 较复杂的，可能还包含了各种千扰信号。 在这复杂的振动信号中以齿轮的各类振动成分为主，因此需要计算齿轮 和轴的转速。齿轮及轴的转动频率为: ( 2 - 1 ) 式中 f 齿 轮及轴的 转动 频率 ( h z ) n齿轮及轴的转速( r l m i n ) o 对于定轴转动的齿轮，其啮合频率为 、 一 乙 n ;z 6 0 ( 2 - 2 ) 式中 几 齿轮的啮 合 频率 ( h z ) ; z ; 第i 个齿轮的齿数; n ; 第i 个齿轮的转速( r l m i n ) o 由上式可知一对啮合齿轮的啮合频率是相同的。而且由于振动频率非线 性的影响，往往有啮合频率的高阶谐频振动。要分析信号中的频率成分，就 要用到故障分析方法。故障分析方法发展到今天，呈多元化、多样化的发 展，其中尤以小波变换的时频分析方法较为有效。 2 . 3 传统小波变换理论与算法 小波分析方法的出现在上世纪8 0 年代，迄今为止也只有2 0 多年，但小 波变换已成为在信号处理、图像压缩、故障诊断、语音分析、模式识别和量 子物理等众多领域中被广泛应用的学科。 2 .3 . 1小波变换的引入 众所周知， 傅立叶( f o u r i e r ) 级数的实质是将信号分解为一系列不同频率的 正弦波之和，傅立叶变换的实质则是将信号分解为一系列连续频率的正弦波 对连续频率之和。傅立叶变换是从时域到频域相互转化的工具。从傅立叶变 换中可以看出，它的标准基是由正弦波及其高次谐波组成的，因此在频域内 是局部化的，如频谱分析仪能清楚地显示信号的频率特性。但是傅立叶分析 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 是局部化的，如频谱分析仪能清楚地显示信号的频率特性。但是傅立叶分析 是纯频域分析，从其定义中可以看出，它是整个时间域内的积分，完全不具 备时域局部信息，也就是说， 对于傅立叶谱中的某一频率，不知道这个频率 是在什么时候产生的。这样在信号分析中就面临一对最基本的矛盾，即时域 和频域的局部化矛盾。 众所周知 ， 傅立叶 ( f o u r i e r ) 级数的 实质是 将信号 分解为 一系列不同 频率的 正弦波之和，傅立叶变换的实质则是将信号分解为一系列连续频率的正弦波 对连续频率之和。傅立叶变换是从时域到频域相互转化的工具。从傅立叶变 换中可以看出，它的标准基是由正弦波及其高次谐波组成的，因此在频域内 是局部化的，如频谱分析仪能清楚地显示信号的频率特性。但是傅立叶分析 是纯频域分析，从其定义中可以看出，它是整个时间域内的积分，完全不具 备时域局部信息，也就是说，对于傅立叶谱中的某一频率，不知道这个频率 是在什么时候产生的。这样在信号分析中就面临一对最基本的矛盾，即时域 和频域的局部化矛盾。 为了解决信号的时频域局部化问题，1 9 4 6 年d e n n i s . g a b o r 首先引入了 窗函数的概念。取g a u s s 函数作为窗口函数，用与待分析函数相乘之后再进 行傅立叶变换，称为短时傅立叶变换( s t f t ) 。 这就给出了信号时域表示与频 域表示之间的一种折衷，提供了在某一时刻某一频率的信息，这正是很多应 用场合所要求的特性。对于平稳信号来说，傅立叶变换及各种基于傅立叶变 换的信号分析方法是有效的;对于非平稳信号，小波变换则是一种有效的信 号处理方法，它是信号的时频率分析方法，具有多分辨率分析的特点，且在 时频域都具有表征信号局部特征的能力，是一种窗口面积大小固定不变但其 形状可改变的时频局部化分析方法。 2 . 3 . 2 小波变换的定义 定义:设y r ( r ) 为一平方可积函数，即w ( t ) = l ( r ) ， 若其傅立叶变换 v f ( co ) 满足允许性条件: ，。一， 向 一 c 一 h 为 矿 d o) i , b , 。 r , k , j( 2 - 6 ) 为整数，则.f ( t ) 的离散小波变换为: 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 w , i o .k) 一 a -j2o工 .f (t) +v (a o t 一 k b , ) d t ( 2 - 7 ) 当a , = 2 . 3 . 3 2 , b , = 1 时，式( 2 - 7 ) 变为离散二进小波变换: w , f 6 , k) 一 2 -j 2 1r f (t) v (2 - “ 一 k) d t ( 2 - 8 ) 多分辨率分析和ma l l a t 算法 多分辨率分析( m u lt i - r e s o lu t i o n a n a l y s i s ) 又 称为多尺度分析，是建立在 函数空间概念上的理论。但其思想的形成来源于工程，是其创建者s . ma l l a t 在研究图 象处理问 题时 建立的。 m e y e ; 正 交小 波基的提出， 使得m a l l a t 想到 是否可按正交小波基的多尺度特性将图象展开，以得到图象不同尺度间的 “ 信息增量” ，从而导致了多分辨率分析理论的诞生。多分辨率分析不仅为 正交小波基的构造提供了一种简单的方法，而且为正交小波变换的快速算法 提供了理论依据，其思想又同多采样率滤波器组不谋而合，可将小波变换同 数字滤波器的理论结合起来，因此多分辨率分析在正交小波变换理论中具有 非常重要的地位 这里引入尺度函数和尺度空间的概念，尺度函数在不同尺度下其平移系 列张成了一系列的尺度空间。定义多分辨率分析是指满足下述性质的一系列 闭 子空间 v i : 一 致 单调 性， 渐 近完 全性， 伸 缩 规 则 性， 平移不 变 性， 正 交 基 存在性。由 多 分 辨 率分 析 定 义可知， 所 有的闭 子空间 v i 都 是由 同 一 尺度函数伸缩后的平移系列张成的尺度空间，它们具有包含关系，但是不具 有正交性，因此它们的基在不同尺度间不具有正交性。对于任意函数，可以 将其分解为细节部分和大尺度逼近部分，然后将大尺度逼近部分进一步分 解。如此重复就可得到任意尺度( 或分辨率) 上的逼近部分和细节部分，这就 是多分辨率分析的框架。多尺度分析大大提高了小波分析的效率，我们可以 从尺度函数和两尺度关系来推导出小波系数，甚至不需要知道小波函数的解 析表达式也可得到分析结果。尺度函数相当于低通滤波器，小波函数相当于 带通滤波器。将信号用低通和带通滤波器进行分解，显然比用频率点分解要 快得多。频带分析从表面上看比频率分析粗糙，然而分析信号的目的，很多 情况下只是需要提取信号的特征或对信号局部点进行特殊分析，并不需要知 道信号每一个点的信息。 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 信号的小波分解与重构有二进分辨的快速算法，即 m a l l a t算法，是 m a l l a t 在b u r t a n d a d e l s o n ( 1 9 8 3 ) 图 像分解和重构的金字塔式算法( p y r a m i d a l a l g o r i t h m ) 的启发下，基于多分辨率分析框架，提出了塔式多分辨率分解与 重构算法。m a l l a t 算法在小波分析中的地位颇似 f f t在经典傅里叶分析中 的地位这时更多的是把小波变换当作滤波器组来看待。可以将尺度空间不断 分解下去，可到任意尺度空间，而且大大的缩短了运算时间。其原理如图 2 - 1 。从图中可以看出小波分析实际上是将信号s分解为低频近似部分a l 的 小波系数al 和高频细节部分 d l的小波系数d 1 ，然后只对 a l 再做小波分 解，得出a l 中的高频小波系数和低频部分小波系数d 2 和a 2 ，依此类推可 实现分离各个频带( 子带) ，并得到它们的小波系数。 图2 - 1 ma l l a t 算法 f i g . 2 - 1 ma l l a t a r i t h m e t i c 2 . 3 .4 小波包算法 小波变换这种时频分布特性在许多情况下是非常有用的，但是在有些场 合下小波变换的这种时频窗口的固定分布却不是一种最优的选择。于是小波 包变换产生了。小波包的基本思想是对多分辨分析中的小波子空间也进行分 解，其具体做法是令: j 任2( 2 - 9 ) 定 义 子 空 间 u j 是 函 数w 0 的 闭 包 空 间 ， 而 川 ” 是 函 数， 2， (t ) 的 闭 包 空 间，并令w满足如下双尺度方程: 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 w 2n ( t ) 一 打 艺 h ( k *( 2 t - k ) w 2 n + d t ) 一 打艺g ( k ) w ( 2 t - k ) ( 2 - 1 0 ) 式中 g ( k ) = ( - 1 ) k h ( 1 一 劝 即 两 系 数 也 具 有 正 交 关 系 。 其 等 价 表 示 是 : u 二 ， = u 1 . u 了 ” ， ， j e z , n e z + ( 2 - 1 1 ) 小 波 包 定 义 为 : 由 式 ( 2 - 1 0 ) , ( 2 - 1 1 ) 构 造 的 序 列从爪 z 称为 由 基 函 数 w o (t ) = 0 ( t ) 确 定 的 小 波 包 。 叽空间 分 解的 子 空 间 列 可以 写 成 u 2, .- m ， m = 0 ,1 , . . ,2 一 1 ;， 一 1,2 , . ., j ; j 一 1 ,2 , . . . ( 2 - 1 2 ) 若n 是一个倍频程细划分的参数，即令 n = 2 + m， ( 2 - 1 3 ) 则有小波包的简略记号 w ,.k . (t) 一 2 - 2 v n (2 -i t - k ) of n ( t ) 一 2 2 w 2 + n ( 2 t ) ( 2 - 1 4 ) 小波包由于增加了一个频率参数n ，使得小波包克服了小波时间分辨率 高时频率分辨率差的缺点。其分解方法如图2 - 2 所示， 图2 - 2小波包算法 f i g . 2 - 2 w a v e l e t p a c k a g e a r i t h m e t i c 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 图中很明显的表示出小波包和小波变换的不同之处，即在高频部分也进 行分解，频带划分更为细致，对高频瞬态信号的信息敏感性大为提升。小波 包对提取振动 信号中的 瞬态冲击特征十分有效1 8 -2 0 1 ， 因 此在变速箱故障诊 断方