（概率论与数理统计专业论文）两类风险模型的破产问题(2).pdf

中南大学博士学位论文摘要 摘要 周知，经典风险模型是一个时齐的具有平稳独立增量的随机过 程，对经典风险模型的研究已基本完善，各种保险精算量都得到了完 整精确的分析表达式。本论文致力于对几种不同的风险模型进行研 究，它们包括：连续时间复合二项模型，马氏环境下的连续时间复合 二项模型，复合二项- - p o i s s o n 模型以及带干扰的经典风险模型。主 要研究了连续时间复合二项模型破产概率的一些性质及其期望折扣 罚函数；马氏环境下的连续时间复合二项模型与复合二项- - p o i s s o n 模型破产概率的上、下界限和逼近；带干扰的经典风险模型破产严重 性的一些度量。 文章由六部分组成：( 1 ) 导论；( 2 ) 连续时间复合二项模型；( 3 ) 连 续时间复合二项模型的期望折扣罚函数；( 4 ) 马氏环境下的连续时间 复合二项模型；( 5 ) 复合二项- - p o i s s o n 模型；( 6 ) 带干扰的经典风险 模型破产严重性的度量。 导论部分主要介绍了风险理论方面的一些实际背景和数学描述， 论题的历史和现状以及论文的内容提要。导论之后是论文的主体部 分，包括以下内容： 我们首先建立了连续时间复合二项模型。连续时问复合二项模型 可以看作是复合二项模型的时间连续化，其骨架链与复合二项模型一 致，而其极限情形便是经典风险模型。据我们所知，这个模型首次将 相邻两次索赔到达之间的时间间隔为离散型的随机变量纳入到时间 连续的模型中研究。在连续时间复合二项模型中，相邻两次索赔到达 之间的时间间隔服从离散无后记忆分布一几何分布，因此该模型的盈 余过程是马氏过程，进而也是逐段决定马氏过程( p d m p ) 。在本论文 的第二章我们将该模型纳入到p d m p 框架中构造出鞅，借助测度变 换和更新定理等方法，首次得到了连续时间复合二项模型破产概率的 l u n d b e r g 界、c r a m e r - l u n d b e r g 逼近、破产概率的一般表达式以及当 初始资金为0 时破产前瞬间盈余与破产赤字的联合分布和破产概率 的精确表达式。 在本论文的第三章主要研究连续时间复合二项模型的期望折扣 罚函数。g e r b e r 和s h i u ( 1 9 9 8 ) 将风险模型中三个重要的精算量： 破产时问、破产前瞬间盈余和破产赤字嵌入到期望折扣罚函数中研 中南大学博士学位论文摘要 究，得出了经典风险模型的期望折扣罚函数满足的更新方程。我们首 次将这种思想引入到对连续时间复合二项模型的研究中，并且更进一 步的求出了破产前瞬间盈余与破产赤字的各阶矩满足的递归公式和 各阶矩的l a p l a c e 变换的精确表达式以及破产时刻的l a p l a c e 变换 的表达式。求出这些精算量的l a p l a c e 变换就可以通过一些数学软件 精确计算出这些量。 本文的第四章主要研究马氏环境下连续时间复合二项模型的破 产问题。受c o s s e t t ee ta 1 ( 2 0 0 4 ) 的启发，我们首先得到了有限时间和 无限时间的破产的条件生存概率满足的递归公式。由于该模型在前述 模型的基础上追加了环境因素，这使问题的研究变得更加困难。但仍 可以看出过程 ，x o ) 还是p d m p ，我们充分利用模型的这种特性， 同样推导出该模型破产概率的l u n d b e r g 界、c r a m e r - l u n d b e r g 逼近、 破产概率的一般表达式以及破产概率的有限界限。 论文的第五章首次建立复合二项- - p o i s s o n 模型，该模型扩展了 连续时间复合二项模型和经典风险模型，描述的是一种既有离散索赔 又有连续索赔的模型，。对于这种模型我们推广了测度变换理论，同 样对其破产的相关问题进行相应的计算。所有的结果都与经典风险模 型的结果相对应。 论文最后一章对保险公司破产后的情形进行了探讨。主要考虑带 干扰的经典风险模型破产严重性的度量。受p i c a r d ( 1 9 9 4 ) 的启发、借 助p a l m o w s k ia n dr o l s k i ( 2 0 0 2 ) 构造局部鞅的方法，我们首次计算出 带干扰的经典风险模型从破产到恢复的时间和损失等相关变量的数 字特征。 关键词p d m p ，连续时间复合二项模型，期望折扣罚函数，带干扰 的经典风险模型 中南大学博士学位论文 a b s t r a c t ni sw e l lk n o w nt h a tt h ec l a s s i c a lr i s km o d e li sa ni m p o r t a n t s t o c h a s t i c p r o c e s s w i t h p r o p e r t i e s o f t e m p o r a lh o m o g e n e i t y a n d i n d e p e n d e n ti n c r e m e n t t h es t u d yo nt h i sm o d e li sn e a r l yp e r f e c ta n d e x a c tc a l c u l a t e dr e s u l t sf o ra l la c t u a r i a ld i a g n o s t i c sa r ed e r i v e di n a l l a l y t i c a lf o r m i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w ec o n s i d e rs e v e r a ld i f f e r e n tr i s k m o d e l s ，i n c l u d i n g c o n t i n u o u s t i m e c o m p o u n d b i n o m i a lr i s k m o d e l ， c o n t i n u o u s t i m ec o m p o u n db i n o m i a lr i s km o d e li nam a r k o v i a n e n v i r o n m e n t ，c o m p o u n db i n o m i a l p o i s s o nm o d e la n dc l a s s i c a lr i s k m o d e lt h a ti sp e r t u r b e db yd i f f u s i o n w em a i n l yd i s c u s ss o m ep r o p e r t i e s o fr u i np r o b a b i l i t ya n de x p e c t e dd i s c o u n t e dp e n a l t yf u n c t i o nf o rt h e c o n t i n u o u s - t i m ec o m p o u n db i n o m i a lr i s km o d e l ；l u n d b e r gb o u n d sa n d c r a m e r - l u n d b e r ga p p r o x i m a t i o n s f o rt h ec o n t i n u o u s t i m e c o m p o u n d b i n o m i a lr i s km o d e li nam a r k o v i a ne n v i r o n m e n ta n dt h ec o m p o u n d b i n o m i a l p o i s s o nr o o d e l ：s o m em e a s u r e so ft h es e v e r i t yo fr u i ni nt h e c l a s s i c a lr i s km o d e l t h ed i s s e r t a t i o ni sc o n s i s to fs i x p a r t s ：( 1 ) i n t r o d u c t i o n ；( 2 ) c o n t i n u o u s t i m e c o m p o u n d b i n o m i a lr i s k m o d e l , ( 3 ) e x p e c t e d d i s c o u n t e dp e n a l t yf u n c t i o nf o rt h ec o n t i n u o u s t i m ec o m p o u n db i n o m i a l r i s km o d e l ；( 4 ) c o n t i n u o u s t i m ec o m p o u n db i n o m i a lr i s km o d e li na m a r k o v i a ne n v i r o n m e n t ；( 5 ) c o m p o u n db i n o m i a l p o i s s o nm o d e l ；( 6 ) s o m em e a s u r e so ft h es e r v e r i t yo fr u i ni nt h ec l a s s i c a lr i s km o d e l ab r i e fr e v i e wo ft h eb a c k g r o u n do fr i s kt h e o r ya n dt h er e l a t i o n a l h i s t o r yo ft h et h e s i sa sw e l la st h em a i nc o n t e n t so ft h ed i s s e r t a t i o na r e g i v e ni nt h ei n t r o d u c t i o n a f t e rt h a tt h em a i nb o d yo ft h ed i s s e r t a t i o n s t a r t s a tf i r s t ，w ec o n s t r u c tc o n t i n u o u s t i m ec o m p o u n db i n o m i a lr i s k m o d e l c o n t i n u o u s - t i m ec o m p o u n db i n o m i a lr i s km o d e li sa c o n t i n u o u s - t i m ev e r s i o n o ft h ec o m p o u n db i n o m i a lr i s km o d e li nd i s c r e t e t i m e i t ss k e l e t o nc h a i ni sc o i n c i d e dw i t ht h ec o m p o u n db i n o m i a lm o d e l a n di t sl i m i t i n gc a s ei sc o m p o u n dp o i s s o nm o d e l a sw ek n o w , i ti st h e f i r s tm o d e l 血a tc o n s i d e rt h ed i s c r e t ei n t e r - o c c u r a n c et i m er a n d o m i 中南大学博士学位论文 a b s 仃a c t v a r i a b l ei nt h em o d e lo fc o n t i n u o u s - t i m e i no u rm o d e l t h ed i s 仃i b u t i o n o ft h ei n t e r o c c u r r e n c et i m ei sg e o m e t r i c ，t h u st h er i s kr e s e r v ep r o c e s si s m a r k o vp r o c e s sa n dt h e ni sp d m pi ns e c o n dc h a p t e lw es e tt h er i s k m o d e li n t ot h ef r a m w o r ko fp d m pa n d c o n s t r u c tam a t t i n g a l e b y c h a n g i n gt h ep r o b a b i f i t ym e a s u r et o g e t h e rw i t ha p p l y i n gr e n e w a lt h e o r y , w eo b t a l nt h er u i np r o b a b i l i t yo fo n t i n u o u s - t i m ec o m p o u n db i n o m i a lr i s k m o d e lf o rt h ef i r s tt i m e ，s u c ha se x p r e s s i o no fr u i np r o b a b i l i t y , l u n d b e r g b o u n d sa n dc r a m e r - l u n d b e r ga p p r o x i m a t i o n f u r t h e r m o r e ，w h e nt h e i n i t i a lr e s e r v ei s0 ，a ne x p l i c i te x p r e s s i o no f j o i n td i s t r i b u t i o no ft h et i m e o fr u i n ，t h es u r p l u si m m e d i a t e l yb e f o r er u i na n dt h ed e f i c i ta tr u i nc a nb e o b t a i n e d i nc h a p t e r3 ，w ed i s c u s st h ee x p e c t e dd i s c o u n t e dp e n a l t yf u n c t i o n f o rt h ec o n t i n u o u s t i m ec o m p o u n db i n o m i a lr i s km o d e l g e r b e ra n ds h i u ( 1 9 9 8 ) e m b e d d e dt h es t u d yo ft h r e er a n d o mv a r i a b l e s ：t h et i m eo fr u i n ， t h es u r p l u sb e f o r er u i na n dt h ed e f i c i ta tr u i ni nt h es t u d yo fe x p e c t e d d i s c o u n t e dp e n a l t yf u n c t i o n t h e yh a ds h o wt h a ti nc l a s s i c a lr i s km o d e l ， m i se x p e c t e dd i s c o u n t e d p e n a l t y f u n c t i o ni ss o l u t i o nt oac e r t a i n r d e f e c t i v 曲r e n e w a le q u a t i o n w ei n t r o d u c et h ei d e ao fg e r b e ra n ds h i u ( 1 9 9 8 ) t ot h ec o n t i n u o u s t i m ec o m p o u n db i n o m i a lm o d e lf o rt h ef i r s t t i m e f u r t h e r m o r e ，b ya p p r o p r i a t ec h o i c e so ft h ep e n a l t yf u n c t i o na n dt h e p a r a m e t e r , t h el a p l a c et r a n s f o r m so ft h em o m e n t s o ft h es u r p l u sb e f o r e r u i n 、t h em o m e n t so fd e f i c i ta tr u i na n dt h er u i nt i m ea r eo b t a i n e d a p p l y i n g s o m em a t h e m a t i c a l s o f t w a r e ，w e c a n g e t t h e e x p l i c i t c a l c u l a t i o no nt h e s ev a r i a b l e s i n c h a p t e r4 ，a n e n v i r o n m e n tf a c t o ri si n t r o d u c e di n t oo u r c o n t i n u o u s - t i m ec o m p o u n db i n o m i a lr i s km o d e l m o t i v a t e db y c o s s e t t e ( 2 0 0 4 ) ，w ep r o v i d er e c u r s i v ef o r m u l a sa n dan u m e r i c a la l g o r i t h m t oc o m p u t er e s p e c t i v e l yt h ef i n i t e , t i m ea n di n f i n i t e t i m en o n - r u i n p r o b a b i l f f i e s b ya d d i n ge n v i r o n m e n t i n t oo u rm o d e l ，i ti sh a r dt od e d u c e t h ee x p l i c i te x p r e s s i o no fr u i np r o b a b i l i t y t h ep r o c e s s ，x ( f ) i sa p d m p ，b yt h i sp r o p e r t i e sa n da l s op u tt h em o d e li n t ot h ef r a m e w o r ko f p d m pt o g e tl u n d b e r gb o u n d s ，c r a m e r - l u n d b e r ga p p r o x i m a t i o n ， g e n e r a le x p r e s s i o n o fr u i n p r o b a b i l i t y a n df i n i t e - h o r i z o no fr u i n p r o b a b i l i t i e s 中南大学博士学位论文a b s 廿a c t i nc h a p t e r5 ，w ec o n s t r u c tac o m p o u n db i n o m i a l p o i s s o nm o d e lf o r t h e 缸s tt i m e i ti sa ne x t e n s i o no fb o t l lo ft h ec o n t i n u o u s t i m ec o m p o u n d b i n o m i a lr i s km o d e la n dt h ec o m p o u n dp o i s s o nr i s km o d e l i td i s c r i b ea m o d e lo f h a v i n gb o t hd i s c r e t e c l a i ma n dc o n t i n u o u s c l a i m w eg e n e r a l i z e t h e o r yo fc h a n g i n go fp r o b a b i l i t ym e a s u r ea n da g a i nc o n s i d e rt h er u i n p r o b l e m s o ft 1 1 i sm i x e dm o d e l a 1 1t h er e s u l t sa r ep a r a l l e lt ot h e c o r r e s p o n d i n go n e si nt h ec o m p o u dp o i s s o nr i s km o d e l i nt h el a s tc h a p t e r , w ec o n s i d e rs o m em e a s u r e so fs e v e r i t yo fr u i n i nt h e c o m p o u n dp o i s s o nr i s km o d e lt h a tp e r t u r b e db yd i f f u s i o n e n l i g h t e n e db yp i c a r d ( 1 9 9 4 ) a n db yw a yo fc o n s t r u c t i n gm a r t i n g a l ei n p a l m o w s l da n dr o l s k i ( 2 0 0 2 ) ，w eg e ts o m em e a s u r e so ft h ec o s to f r e c o v e r yi np e r t u r b e dr i s km o d e lf o rt h ef i r s tt i m e k e y w o r d s ：p d m p , c o n t i n u o u s t i m ec o m p o u n db i n o m i a lr i s km o d e l ， e x p e c t e dd i s c o u n t e dp e n a l t yf u n c t i o n ，t h ec o m p o u n dp o i s s o nm o d e l t h a tp e r t u r e db yd i f f u s i o n v 中南大学博士学位论文符号说明 符号说明 p d m p 逐段决定马尔可夫过程 ( 庐，f ，q ) 逐段决定马氏过程的三元特征 f f 正独立同分布 ( q ，fp ) 完备的概率空间 e 状态空间 u 初始资金( 初始准备金) c 保费收入率 n ( 力索赔到达的计数过程 u ，第f 次索赔的索赔额 u + 导致破产的索赔额 f 。 ，相邻两次索赔到达时间间隔 吒第n 个索赔到达时刻 t k = ( k 一皤) ) 占初始资金为蹦时二项过程可能发生跳时刻 丁保险公司的破产时问 t 破产之后盈余首次上穿0 点的时刻 x ( 卜) 破产前瞬问盈余 x ( t ) 破产赤字 f u 索赔额的分布函数 瑜。( s ) 索赔额的矩生成函数 v ( u ) 初始资金为u 时的破产概率 y ( “，f ) 初始资金为m 时有限时间破产概率 矿( “) 生存概率 p 概率测度 p ( 曲新的概率测度 e ( ) 测度p 下的数学期望 e ( ) 测度p c 5 ，下的数学期望 x i 不超过x 的最大整数 c x ) x 的小数部分 1 ( ) 示性函数 艿时间单位 1 3 ( r ) r 上的b o r e l 代数 朋状态空间e 上的可测函数空间 i x 中南大学博士学位论文符号说明 c ( d a d ) t j ( f ) 刀= l ，7 2 ，- 一，石。) 状态空间e 上的连续函数空间 广义生成元 广义生成元a 的定义域 盯一代数 齐次不可约遍历的马氏链 马氏链 j ( f ) 的平稳分布 马氏链 j ( f ) l 的转移概率矩阵 初始环境为f 的条件下盈余过程 初始环境为i 的条件下第k 个索赔额 初始环境为i 的条件下索赔计数过程 初始环境为i 的条件下索赔额分布函数 初始环境为i 时索赔额的矩生成函数 环境改变的时间 矩阵乘积算子 单位矩阵 元素为q l ，q ：，q 。的对角矩阵 初始资金为“的期望折现罚函数 罚函数 函数，的l a p l a c e 变换 b e r n o u l l i 数 漂移算子 标准w i e n e r 过程 r 上的二阶连续可微空间 定义为 z 和y 中最小的数 趋于，取极限 x !俐删一。，一州舳丑幺m圭斗 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢 的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不 包含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我 共同工作的同志对本研究所作的贡献均已在在论文中作了明确的说 明。 作者签名：至塑日期：垫! 年月互日 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留学位论文，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位 论文的全部或部分内容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论 文；学校可根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文。 中南大学博士学位论文第一章导论 第一章导论 本章分三部分来简单介绍风险理论的实际背景与模型的数学描述、发展历 史与现状以及本论文研究的模型和内容提要。 1 1 问题的实际背景和模型的数学描述 当今社会，人们已习惯于用“风险”这个词汇来描述各种可能发生的灾害 和不利事件。无论是自然环境还是社会环境中都充满着风险。在商品社会中， 处理风险的有效方法之一就是保险。于是保险公司应运而生。保险公司是经营 风险的特殊金融服务机构，它经过评估保险标的的风险大小，以收取合理的保 费为条件，一旦保险标的发生损失，公司即按保险合同规定的保险责任赔付被 保险人的损失。保险公司在考虑其实际资产与实际负债的差额是否超过了“破 产”临界点时，往往强调的是“破产”这个后果发生的概率，那么保单的定价、 利率的波动、分红以及通货膨胀等等这些因素都会对保险和理赔产生影响，这 些问题解决的好坏对公司能否顺利运营起着至关重要的作用。风险理论就是通 过建立和分析这些保险业务的随机风险模型来回答这些问题的。 一般来说，风险模型由三个过程组成： ( i ) 保费收入过程 z q ) ，t 0 ，z ( t ) 表示( o ，t 】内收到的总保费； ( i i ) 索赔到达的计数过程 ( f ) ，t 0 ，n ( t ) 表示( o ，t 】内发生索赔的总次数； n ( t ) ( i i i ) 累计索赔额过程 s ( f ) l ，这里s c 。= u i ，u i 表示第i 个索赔的索赔额。 i = 1 于是，保险公司的盈余过程为 x ( t ) = u + z ( o s ( r ) ， 。 h 表示初始资金。 这就从一个动态的角度，用数学模型描述出盈余随时间而变化的过程。相 关知识可参见盖 f l ( 1 9 9 7 ) ，r o l s k ie ta 1 ( 1 9 9 9 ) ，a s m u s s e n ( 2 0 0 0 ) 。 1 2 发展历史与现状 研究一个风险模型时，可以从多种角度考虑，而我们最关心的是模型的破 产问题，主要包括模型的破产概率，破产前瞬间盈余，破产赤字，破产严重性 中南大学博士学位论文第一章导论 等等。所采用的方法有补充变量使过程具有马氏性，对偶原理，更新方程，测 度变换等。 ( i ) 经典风险模型 风险理论发展到今天，经典风险模型( 即复合p o i s s o n 模型) 的理论已趋于 成熟。它是由瑞典精算师f i l i pl u n d b e r g 于1 9 0 3 年首次提出的。经典风险模型 是假设保险公司的初始资金为非负常数“，单位时间保费收入率为非负常数c ， 索赔的发生用强度为五的齐次p o i s s o n 过程来描述。每次索赔发生时保险公司要 支付款额，索赔额 u 。，u ：，l 是一列独立同分布的非负随机变量，有共同分布 ，期望e ( u ) = ，且f u ； 与 ( f ) 是相互独立的。 由此可以看出，经典风险模型中保费收入过程为 z ( t ) = c t ， 盈余过程为 f n x ( f ) = u + c t 一u i 。 i = l 盈余过程 x ( f ) ，f 0 ) 在某时刻小于0 的概率称为破产概率，即 妒) = p ( 3 t o ，x ( f ) 0 x ( o ，= “) = p ( t + 。；x ( o ) = “) ， 其中，t = i n f t 0 ：x ( t ) 0 1 ( 7 - - o o 若集合为空) 称为破产时刻。 对于经典风险模型的研究己几近完美。这方面的先驱工作可以追溯到 f i l i pl u n d b e r g 和h a r a l dc r a m e r 。他们给出了初始资金为0 时，经典风险模型 的破产概率、当索赔额分布为指数分布时的破产概率以及破产概率的l u n d b e r g 界和c r a m e r - l u n d b e r g 逼近。为了更精确的描述破产的严重程度，g e r b e re t a 1 ( 1 9 8 7 ) 7 入了破产时的盈余双乃，给出了破产发生时破产赤字瞰d 的分布函 数满足的一个积分方程，并且当索赔额分布为混合指数分布和混合g a m m a 分 布时分别得到了积分方程的解。之后：d u f r e s n e 和g e r b e r ( 1 9 8 8 ) 又在此基础上引 入破产前瞬间盈余涮p ) ，并对索赔额为指数分布和混合指数分布的情形明确 给出了破产前瞬间盈余的分布函数表达式。d i c k s o n ( 1 9 9 2 ) 继续考虑了破产前 瞬间盈余的分布利用破产时各事件之间的关系，将破产前瞬间盈余的分布函数 用破产赤字的分布函数和破产概率表示出来。d i c k s o na n dd o sr e i s ( 1 9 9 4 ) 进一 步将此方法推广，借助对偶原理导出了破产发生时破产前瞬间盈余、破产赤字 的联合分布表达式。g e r b e ra n ds b s u ( 1 9 9 7 ) 借助鞅方法，利用模型的马氏性和 对偶原理，得到了三个重要精算量：破产时间、破产前瞬间盈余和破产赤字的 联合分布满足的更新方程，从而推广了d i c k s o n ( 1 9 9 2 ) 的公式。更进一步的， 中南大学博士学位论文第一章导论 g c r b e r ( 1 9 9 8 ) 将这三个变量嵌入到期望折扣罚函数中研究。如果适当选择参数 就可以得到关于这三个重要变量的很多结果。文章证明了期望折扣罚函数满足 一个具有概率意义的更新方程，在一些特殊情况下可以得到它的精确解。相关 的更多文献参见d ev y l d e ra n dg o o v a e r t s ( 1 9 8 8 ，1 9 9 9 ) ，d i c k s o na n d w a t e r ( 1 9 9 2 ) ，d u f f e s n ea n dg e r b e r ( 1 9 8 9 ) ，s c h m i d l i ( 1 9 9 5 ) ，w i u m o ta n d l i n ( 1 9 9 4 ) 等。 以上的文献都是针对于模型的破产概率、破产前瞬间盈余以及破产赤字 的研究。g e r b e r ( 1 9 9 0 ) 用两种不同方法考虑了经典风险模型中盈余过程首次达 到某一给定水平z 的时刻、到达水平x 之前过程的索赔次数以及过程最终离开 x 的时间。d o s ( 1 9 9 3 ) 考虑到如果净收益条件成立，盈余将以概率1 趋近于无穷， 换言之，即使盈余到达0 点之下也是暂时的，过程会恢复正常。他将g e r b e r ( 1 9 9 0 ) 的思想方法运用到研究盈余过程在0 点之下停留的时间上，得到了盈余过程每 一 n 一 次从破产到恢复的时间段五的矩母函数以及在0 点之下停留的总时间f l 的 百 矩母函数。p i c a r d ( 1 9 9 4 ) 通过构造更一般的鞅，求解出经典风险模型破产严重 性的一些度量，从而给出了从破产到恢复的时间和损失等重要的结果。在经典 风险模型的基础上更是衍生出一些切合实际的模型，如马氏环境下的风险模 型、带随机干扰的风险模型、带利率或分红的风险模型、更新风险模型等等。 详见a s m u s s e n ( 1 9 8 9 ) ，d i c k s o na n dd r e k i c ( 2 0 0 4 ) ，d u f f e s n ea n dg e r b e r ( 1 9 9 1 ) ， j a s i u l e w i c z ( 2 0 0 1 ) ，n i c o l e ( 1 9 9 6 ) ，h e l e n a ( 2 0 0 1 ) ，s c h l e g e l ( 1 9 9 8 ) ，w a n g a n d w u ( 2 0 0 0 ) ，z h a n ga n dw u ( 2 0 0 2 ) 等。 ( i p 复合二项模型 ， 从上述的经典风险模型的定义中我们可以看出，相邻两次索赔到达的时间 间隔是服从连续型无后记忆分布一指数分布的，而与指数分布对应的离散型无 后记忆分布便是几何分布。鉴于此，g e r b e r ( 1 9 8 8 ) 首次提出了复合二项模型的 概念并得到了该模型破产概率、破产前瞬间盈余及破产赤字的联合分布。复合 二项模型其盈余过程为 其中，初始资金为“， ( f ) 】是二项过程，即每过一个单位时间，过程以概率q 发生索赔， u ， 为独立同分布的索赔额序列且与f ( f ) ) 独立。该模型可以看作 2lo = u m 一+“ = )o x 中南大学博士学位论文第一章导论 是经典风险模型的离散化。d i c k s o n ( 1 9 9 4 ) 证明了经典风险模型的破产概率可由 复合二项模型的破产概率逼近。c h e n ge ta 1 ( 2 0 0 0 ) 进一步讨论了复合二项模 型的折扣概率问题，从而得到了平行于g e r b e ra n ds h i u ( 1 9 9 7 ) 的各种结果。相 关文献还有s h i u ( 1 9 8 9 ) 等。 这些文章都表明经典风险模型的各种结果都可以由复合二项模型进行逼 近，并且复合二项模型的各种破产问题的计算要比经典风险模型计算更加简单 易行，这就极大的激发了我们研究复合二项模型的兴趣。基于此，我们首次提 出了连续时间复合二项模型的概念，它建立了经典风险模型与复合二项模型联 系的桥梁。 1 3 论文的模型与内容提要 本论文对几种不同的风险模型进行研究，它们包括：连续时间复合二项模 型，马氏环境下的连续时间复合二项模型，复合二项- - p o i s s o n 模型以及带干扰 的经典风险模型。主要研究了连续时间复合二项模型破产概率的一些性质及其 期望折扣罚函数；马氏环境下的连续时间复合二项模型与复合二项- - p o i s s o n 模 型破产概率的上、下界限和逼近；带干扰的经典风险模型破产严重性的一些度 量。 ( 1 ) 连续时间复合二项模型 本论文首先建立了连续时间复合二项模型，它类似于复合二项模型，可以 看作是复合二项模型的时间连续化，其骨架链与复合二项模型一致，而其极限 情形便是经典风险模型。在连续时间复合二项模型中，相邻两次索赔到达之间 的时间间隔服从修正后几何分布，从而保证了该模型的盈余过程是马氏过程， 进而也是逐段决定马氏过程o ，d m p ) 。我们将连续时间复合二项模型纳入到 p d m p 框架之中，借助h o ua n dl i u ( 2 0 0 5 ) 的方法得出了过程的广义生成算子， 由于广义生成算子中既有离散部分也有连续部分，这就使构造鞅的过程很困难 而且形式复杂，但其形式还是指数的。借助这个指数鞅就可以进行测度变换， 测度变换方法和更新方程都是处理风险模型中常用而且十分有效的方法。具体 参见r o l s k i ( 2 0 0 3 ) 。通过测度变换我们得到破产概率的一般表达式以及在新的 测度下，保费收入率、索赔到达率和索赔额的变化情况。需要指出的是，在新 的测度下破产是以概率1 发生的。接着我们还是利用测度变换得到了破产概率 的l u n d b e r g 界，之后再运用更新方程得到c r a m e r - l u n d b e r g 逼近。特别的，当 初始资金为0 时，可以借助g e r b e r ( 1 9 9 7 ) 的思想利用对偶原理计算出破产前瞬 4 ! 旦奎堂堕主堂垡笙苎 笙二童呈笙 间盈余与破产赤字的联合分布和破产概率的确切表达式。关于连续时间复合二 项模型主要的结果有： 定理2 2 若拂0 ) + 。对某些j o 成立，则 4 ( r ) = e x p 一s ( p x 丁( o j l 专上c 6 一口o ) o 一( 笋) 占+ ( 告) 占) ) 是初值为m ( 0 ) = 1 的鞅。 这里，豌。( 5 ) = 。es y ( d y ) ，l 划表示x 的整数部分，( 表示工的小数部分， 口( s ) = 一c s + 古l n ( 1 + q ( t h u 0 ) 一1 ) ) 。 通过测度变换只“( a ) = e ( m ( f ) ；a ) ，z 1 0 破产概率在新的概率测度p 下的表达式： 定理2 4 令j r 使得r h ，( s ) 0 存在，则对所有的“0 ， n e 一，b j c 5 y ) s8 。e r b j ”， e r k c g p ( j c s ) 。舯一2 韪压，铲。蛳s u p j k e r k c a p ( j c s ) z e j 6 p ( j c s i 兰初始资金趋于+ 时，就有破产概率的c r a m e r - l u n d b e r g 逼近： 定理2 1 0 假设调节系数y 0 存在，则 l i r ay ( “弘2 孺丽c 5 - q , u 。 另外，当初始资金为0 时，我们还得到了破产前瞬间盈余与破产赤字的联 合分布和破产概率的确切表达式： 引理2 9 假设索赔额序列 u 。l 是独立同分布的随机变量，有共同的分布 p ( u = j c 5 ) = p ( j c 占) ，j = 1 , 2 ， 则对任意正整数m ，k ， p ( t 0 ，y 0 的非负函数，对于口0 ，定义 矿( “) = e e 一”w ( x ( t - ) ，! x ( t ) ! ) 1 ( t 0 是臼0 ) = c s + l n ( 1 + q ( j 吕( s ) 一1 ) ) 的解。 如果适当的选取罚函数w ( x ，y ) 和参数口，还可以得到破产概率( “) 满足 的递归公式及破产时刻t 的l a p l a c e 变换的表达式；若进一步假设索赔额u 的 各阶矩存在，还可以得到破产前瞬间余额和破产赤字的各阶矩所满足的递归公 式以及各阶矩的l a p l a c e 变换。 现在我们假设索赔额u 的各阶矩都存在并且 ：氅( k c j ) ”12 p ( i c 占) = o 对某些m n 成立。记 p j = ( k c 5 ) p ( k c s ) ，j = 1 ，2 ，。 k = l 首先讨论破产前瞬间盈余x ( t 一) 的( 折扣) 矩，考虑w ( x ，y ) = 妒，m n 的 情形，令 口口。0 ) = e e 一9 7 ( x ( 丁一) ) ”1 ( r + 。) ；x ( o ) = “ ， 表示x ( t 一) 的m 阶( 折扣) 矩，则 定理3 3 对于“= n c 8 ，r l = 1 , 2 ， o r o , m ( n c g ) = e - 8 8 【( 1 一q ) e t 跏( 如+ 1 ) c 巧) + 目a 跏( ( n + t - k ) c s ) p ( k c