（基础数学专业论文）有限阿贝尔覆盖及其应用.pdf

有限阿贝尔覆盖及其应用 摘要 本文的主要目的是建立a b e l 覆盖的一般方法，并给出几个有趣的应用 覆盖理论是代数几何研究的重要工具要建立覆盖理论关键是要解决以下几个 基本问题：o ) 定义覆盖的简单数据的确定；0 i ) 正规化的计算；( i ) 分歧轨迹的确定； ，) 找出奇点解消的有效方法；不变量的计算等 二次覆盖，三次覆盖，循环覆盖都有了成熟的理论，从它们简单的定义方程出发， 其相应的基本问题都得到了解决为了代数曲面的分类和构造新雎面的需要，从上世 纪9 0 年代开始，很多代数几何学家如p a r d i n i 都希望建立a b e l 覆盖的基本理论但 是到目前为止，这些基本问题还未解决a b e l 覆盖也没有象二次覆盖、三次覆盖和循 环覆盖那佯得到了有效地应用 本文首先证明a b e l 覆盖有一组标准的定义方程由此出发，计算出了a b e l 覆盖 的正规化因此，确定出a b e l 覆盖的分歧轨迹及其分歧指数；找到了奇点解消的标 准方法；给出了不变量的计算公式因此解决了a b e l 覆盖的上述基本问题 利用本文所建立的a b e l 覆盖的方法，我们解决了下面几个有趣的问题 第一我们构造了8 2 个般型代数曲面，他们的不变量满足鼋= 3 c 2 构造这种 类型的曲面是个具有挑战性的问题有很多知名的数学家都曾考虑过这个问题，比 如：m u m f o r d ，h i r z e b r u c h ，m o s t o w , 萧荫堂和h o r i k a w a 等值得注意的是h i r z e b r u c h 构造的4 个曲面的不规则性q 的计算也是非平凡的i s h i d a 和h i r o n a k a 还专门写文 章来计算它而利用本文的结果，我们得到了任意a b e l 覆盖曲面的q 的计算公式 第二，我们对典范映射是俨上的次数至少为4 的a b e l 覆盖的曲面进行了分类 特别地，我们发现了4 个典范次数是1 6 的新曲面，这是目前所知道的典范映射次数 最高的曲面的例子 典范映射性态的研究是代数曲面理论中的一个困难问题从上世纪5 0 年代开 始，很多代数几何学家研究过它，如k o d a i r a , b o m b i e r i ，b e a u v i u e ，肖刚和p e r s s o n 等 但具有高次数典范映射的曲面的存在和分类问题还仍然是一个未解决的问题1 9 7 8 年，p e r s s o n 构造了第一个典范映射次数为1 6 的曲面他的构造基于一类c a m p a d e l l i 曲面，而后者的构造也是非平凡的 第三 我们给出了一个经典不等式l g l 4 9 + 4 的新证明，这里，g 是一条亏 格9 2 的曲线的a b e l 自同构群特别是，我们还给出了满足i g l 4 9 一4 的曲线 的完整分类 关键词a b e l 覆盖，正规化，奇点解消，典范映自屯不正规性，球商曲面，自同构群 f i n i t ea b e l i a nc o v e r sa n da p p l i c a t i o n s a b s t r a c t t h em a i np u r p o s eo f t h i st h e s i si st od e v e l o pag e n e r a lm e t h o do f a b e l i a nc o v e r sa n d t og i v es o m ei n t e r e s t i n ga p p l i c a t i o n s t h et h e o r yo ff i n i t ec o v e r si sa ni m p o r t a n tt o o li na l g e b r a i cg e o m e t r y i no r d e rt o e s t a b l i s ht h et h e o r yo ff i n i t ec o v 3 ，t h ec r u c i a lp o i n t sa r et os o l v et h ef o l l o w i n gb a s i c p r o b l e m s ：( i ) f i n do u tt h ed e f i n i n gd a t ao f t h ec o v e l 一3 ；o i ) c o m p u t et h en o r m a l i z a t i o no f t h ec o v e r s ；d e t e r m i n et h eb r a n c hl o c u s ；0 v ) g i v ea ne f f e c t i v em e t h o dt or e s o l v et h e s i n g u l a r i t i e s ；( v ) c o m p u mt h eb a s i ci n v a r i a n t sa n ds oo n d o u b l ec o v e r 8 t r i p l ec o v e r 8a n dc y c l i cc o v e r s 撇w e l lu n d e r s t o o d , a n dt h eb a s i c p r o b l e m sh a v eb e e ns o l v e ds t a r t i n gf r o mt h es i m p l ed e f i n i n ge q u a t i o n s i no r d e rt oc o n - s t r a c ta n dc l a s s i 母a l g e b r a i cs u r f a c e s ，s o f t i ea l g e b r a i cg e o m e t e r s ，s u c ha sr p a r d i n i ，h a v e 舡i e dt oe s t a b l i s ht h eb a s i ct h e o r yo fa b e l i a nc o v e r ss i n c e1 9 9 0 s h o w e v e r , 印t on o w , t h eb a s i cp r o b l e m sh a v e n tb e e ns o l v e dy e t , a n da b e l i a nc o v e t sh a v en o tb e e nu s e da s e f f e c t i v e l ya sd o u b l ec o v c r $ ，t r i p l ec o v e r sa n dc y c l i cc o v e s i nt h i st h e s i s ，w ep r o v ef i r s tt h a ta n ya b e l i a nc o v e rc a nb ed e f i n e db ys o l v es t a n d a r d e q u a t i o n s t h e nw ef i n do u tt h en o r m a l i z a t i o ns t a r t i n gf r o mt h ed e f i n i n ge q u a t i o n s a sa c o u s e q u e n c e ，w ed e t e r m i n et h eb r a n c hl o c u sa n di t sr a m i f i c a t i o ni n d e x , w eg i v eas t a n d a r d m e t h o dt or e s o l et h es i n g u l a r i t i e s ，a n dw eg e tt h ef o r m u l a sf o rt h ec o m p u t a t i o no ft h e b a s i ci n v a r i a n t s t h e r e f o r e ，t h ep r o b l e m sf r o m t om a 托s o l v e d a sa p p l i c a t i o n so f o u rm e t h o d , w es o l v e ds e v e r a li n t e r e s t i n gp r o b l e m sa sf o l l o w s f i r s t l y , w ec o n s t r u c t8 2a l g e b r a i cs u r f a o fg e n e r a lt y p ew i t h 鼋= 3 c 2 t oc o n - s t r u c ts u c hs u r f a c e si sac h a l l e n g i n gp r o b l e m , w h i c ha t t r a c t e dt h ea t t e n t i o no fm a n yd i s t i n g u i s h e dm a t h e m a t i c i a n s ，e g ，m u m f o r d , h i r z e b r u c h , m o s t o w , y t s i n ，h o r i k a w aa n d 8 0o n n o t et h a tt h ec o m p u t a t i o no f t h e 硒则a r i 哆qo f h i r z e b r u c h 84s u r f a c e si sh i g h l y n o n - t r i v i a i a c t u a l l y , i s h i d aa n dh i r o n a k ap u b l i s h e dp a p e r so l lt h i sc o m p u t a t i o n a sa n a p p l i c a t i o no f o u rr e s u l t s ，w eo b t a i naf o r m u l af o r t h ec o m p u t a t i o no f t h ei r r e g u l a r i t yq s e c o n d l y , w ec l a s s i f y 吼缸e sw h o s ec a n o n i c a lm a p sa a b e l i a nc o 、惯s0 n 舻w i t h d e g r e ea tl e a s t4 e s p e c i a l l y , w ef o u n d 4s u r f a c e sw h o s ec a n o m c a im a p sa r co f d e g r e e1 6 ， w h i c ha 糟t h es u r f a c e sw i t hh i g h e a tc a n o n i c a ld e g r e ew ek n o wu pt on o w i nt h et h e o r yo fa l g e b r a i cs u r f a c e s ，ad i f f i c u l tp r o b l e mi st ou n d e r s t a n dt h eb e h a v - i o ro f t h ec a n o n i c a lm a p s i n c e1 9 5 0 s ，t h i sp r o b l e mh a sb e e ns t u d i e db ym a n ya l g e b r a i c n l g e o m e t e r s ：k o d a i 瑚，b o m b i e d ，b e a u v i l l e ，g a n gx i a o ，p s o n , e r e i ti ss t i l l a l lo p e n p r o b l e mw h e t h e r t h e r ee x i s ts u r f a c e sw i t hh i g hc a n o n i c a ld e g r e e i n1 9 8 0 p e r s s o nc o n - s t r u e t e dt h ef i r s ts u r f a c ew h o s ec a n o n i c a lm a pi so fd e g r e e1 6 ，h i sc o n s t i u e t i o ni sb a s e d o nak i n do f c a m p a d e l l is u r f a c e sw h o s ec o n s t r u c t i o ni sn o n - t r i v i a l t h i r d l y , w ef o u n dan 朋p r o o fo ft h ec l a s s i c a li n e q u i t yl g i 幻+ 4f o rt h e a u t o m o r p h i s mg r o u pg o fac i l r v eo fg e n u sg 2 f u r t h e r m o r e , w eg i v eac o m p l e t e c l a s s i f i c a t i o no f t h ec u r v e sw i t hi g i 4 9 一4 k e yw o r d s ：a b e l i a nc o v e r ,n o r m a l i z a t i o n 。r e s o l u t i o no f s i n g u l a r i t i e s ， j l o n - i c a lm a p ，i r r e g u l a r i t y , b a l lq u o t i e n ts u r f a c e s ，a u t o m o r p h i s mg r o u p 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是在我导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成 果据我所知，除文中已经引用的内容夕卜本论文不包含其他个人已经发表或撰写的 研究成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在本文中作了明确的说 明并表示谢意 作者签名日期 学位论文使用授权声明 本人完全了解华东师范大学有关保留使用学位论文的规定，学校有权保留学 位论文并向国家主管部门或指定机构送交论文的电子版和纸质版有权将学位论文 用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅有权将学位论文的 内容编入有关数据库进行检索有权将学位论文的标题和摘要出版保密的学位论文 在解密后适用本规定 学位论文作者签名： 亳叁 导师签名 日期：迦i ：。7 日期毋钾 迎红抛弛 第一章引言 1 1 研究背景 代数簇y 到x 的有限映射7 r ：y x 称为x 上的有限覆盖，它诱导了x 和y 的函数域之间的有限扩张k ( y ) k ( x ) 函数域扩张的扩张次数称为覆盖的次 数不失一般性，我们可假设x 光滑按域扩张的性质，有限覆盖可分为g a l o i s 覆 盖和非g a l o i s 覆盖按g a l o i s 群的性质，g a l o i s 覆盖又可分为a b e l 覆盖，循环覆盖， 非a b e l 覆盖有限覆盖是代数几何中的重要工具要建立覆盖理论，关键是要解决以 下的基本问题：( i ) 定义覆盖的数据的确定；( ) 正规化的计算；o n ) 分歧轨迹的确定； ( ) 找出奇点解消的有效方法；( v ) 不变量的计算 有限覆盖用于代数几何的研究已有很长的历吏r i e r n a n n 通过将代数曲线( 即 紧r i e m m a n 面) 表示成平面的有限覆盖来研究代数曲线事实上，有限覆盖是整个1 9 世纪研究代数曲线的基本工具之一代数曲面的经典研究方法也是通过将代数曲面 表示为复射影平面的一般有限覆盖来研究著名的n o e t h e r 公式1 2 ) = 砰+ 0 2 就是 这样发现的 在2 0 世纪初，意大利学派成功地将二次覆盖应用于代数曲面的分类，当时二次 覆盖益面y 定义为域扩张k ) ( 仃) 所对应的曲面上世纪8 0 年代，h o r i k a w a , 肖 刚等人发展和完善了二次覆盖理论事实上，曲面地理学问题的解决归功于二次覆 盖几乎同时，e s n a u l t 和v i e h w e g 1 5 】建立了任意次数的循环覆盖的理论他们从循 环覆盖的定义方程z n = f ( x ，y ) 出发解决了循环覆盖的所有基本问题循环覆盖理 论在k a w a m a t a - v i e h w e g 消失定理的证明中起了关键作用 m i r a n d a ( 4 0 1 ) 在1 9 8 6 年就开始研究一般的三次覆盖他通过描述三次扩张的 环的结构来确定三次覆盖的定义数据但是，这个数据涉及到秩二向量丛，不便用于 实际问题的研究，且无法解决正规化和奇点解消等问题因此，一直无法有效地应用 于代数曲面的分类所以，谈胜利【5 2 】直接从三次覆盖的定义方程+ s ( ，y ) z + f ( z ，口) = 0 出发来研究三次覆盖这种方法研究三次覆盖的优点是定义数据简单；分 歧轨迹可以从方程的系数中直接得到；并且他计算出了正规化；发现了和二次覆盖一 样的奇点的典范解消，从而使得三次覆盖可以有效地应用于代数曲面的研究 在8 0 年代初，人们开始注意到k u m m e r 覆盖的应用h i r z b r u c h 利用z 5 0 o z 5 覆盖构造了4 个满足砰= 3 c 2 的一般型曲面c a t a n e s e 从定义方程出发将g a l o i s 群 为z 2oz 2 的覆盖成功地应用于构造新的代数曲面 到了上世纪9 0 年他人们开始关注一般的a b e l 覆盖例如，p a r d i n i 【4 4 】试图建 立a b e l 覆盖的一般理论她模仿m i r a n d a 的方法 通过描述a b e l 扩张的环结构来确 华东师范大学博士论文有限阿贝尔覆盖及其应用 定a b e l 覆盖的定义数据和m i r a n d a 的方法一样，这种方法很难解决正规化计算和 奇点解消等问题特别地，即使是z 2oz 2 这种简单的覆盖，她的定义数据也很复杂， 不如c a t a n e s e 的方法方便 从意大利学派对二次覆盖的研究，e s n a u l t 和v i e h w e g 对循环覆盖的研究和谈 胜利对三次覆盖的研究可看出，从定义方程出发研究覆盖有以下明显的优势：( 1 ) 描 述覆盖的定义数据简与t 自然；( 2 ) 有可能解决正规化的计算；( 3 ) 分歧轨迹有可能从 定义数据中得到整体的描述；( 4 ) 有可能用标准的方法来化简奇点，从而解消奇点；( 5 ) 有可能从定义数据中得到不变量的计算公式 本文的目的就是要从a b e l 覆盖的定义方程出发来解决a b e l 覆盖的相关基本问 题 从域的a b e l 扩张的性质可知，群为g = z n ，o o z 。，的a b e l 扩张一定可用 ( x ) ( 狐i ，叫田 来定义，其中，凸 k ( x ) 是x 上的有理函数( 参见【3 5 9 这个结论可翻译成覆盖的 语言任何群为g = ，o oz f 。的a b e l 覆盖7 r ：y x 可由下面的一组方程 定义 式l = h ，譬= | k y 是这组方程定义的代数簇的正规化( 详细构造见第二章第一节) 将这个结论翻译 成除子的语言，我们有下面的定理： 定理i ：任意群为g = ，e o 。的a b e l 覆盖7 r ：y x 都由下列关系 式 d 1 in i l l ，d i “以( 1 2 ) 来确定，其中，d 。为x 上的有效除子，厶是x 上的除予 因此，( 2 4 ) 就是覆盖的定义数据，( 1 1 ) 是覆盖的定义方程与方程( 1 1 ) 对应，这 里d 。= d i v ( f 1 ) 在覆盖的定义数据确定后，正规化的计算可以化为唯一分解整环r 的有限a b e l 扩张的整闭包的计算 为了叙述方便，我们引进一个新的记号，若，= r i 谬，o z q 是索分解则【，】：= p 下面的定理编号分别对应着覆盖的5 个基本问题的编号 定理：设兄是唯一分解整环，包含”1 ，n 次单位棍且r 的特征e h a r r 不整除n 1 一n k k 是a 的分式域环a = r a l ，n k 】是r 的a b e l 扩张，n n = 2 华东师范大学博士论文有限阿贝尔覆盖及其应用 厶i = 1 ，岛即 a 垒r 【盈，】( 2 1 一 ，一，。一 ) 设b , c a 在其分式域k a l ，一，o l k 】土的整闭包，那么，环b 是自由r 橇基为 卜尚 1 g = ( 9 1 ，g k ) g j 在我们的应用中，兄为c 上的代数，所以定理的条件自然满足定理翻译 成覆盖的语言，我们得到下面的推论 推论v ( o x 摸的结构) 设7 r ：y x 是由方程( 1 1 ) 定义的覆盖，更i i =璺ox(一圭gill+lroy gilliml睦老。； ) = o( 一l 嫠d d ) g g l t = l 。 j 特别地，当k = 1 时，此时为循环覆盖我们得到的结论与v i e h w e g 和e s n a u l t 的结 论相同 根据覆盖的定义方程和正规化的计算( 定理) ，我们可以得到分歧轨迹的整体 描述 定理h i ：设p 是x 中既约且不可约的超曲面用p = f f - 1 ( p ) 表示p 在y 上 的既约原像，设a i 是p 在d i = d i v ( ) 中的重数则 霄尸：早户， 其中 d ，= g c d ( i c 川g l 詈，朋i 薏) 是p 上的一般点原像的个耗 我们知道 ，的奇点都是口的分歧轨迹的奇点的原象通常我们对覆盖定义的 奇点可做如下的典范解消 y = oko 山k 山矿 卜mi z - l n” x = x o _ 。h 一p 墨一x 其中，以是对丌l l 的分歧轨迹的奇点的爆发k 是k 一1 和x 的纤维积的正规化， 即磁= k 一1 咒经过有限步后，可以使得丌r 的分歧轨迹只有通常二重点 3 华东师范大学博士论文有限阿贝尔覆盖及其应用 当丌。是二次覆盖时，经过有限步后，可使得丌r 的分歧轨迹光滑，因此k 光滑 k 就是y 的一个奇点解消，称为h o r i k a w a 解消或者典范解消事实上，在意大利学 派的文章中也见到这种解消方法 谈胜利( 4 9 】) 证明了当丌0 是三次覆盖时，经过有限步后，也可使得“的分歧轨 迹光滑，因此k 光滑所以，三次覆盖也存在这种典范解消 当仰的次数至少是4 时，通常这种典范解消一般不存在，即任意步后，珥的分 歧轨迹都不光滑，最后不能保证k 光滑但是可以保证分歧轨迹正常相交 理论上，当珥的分歧轨迹只有通常二重点时，k 上只有h i r z e b r u c h - j u n g 奇点( 参 见【4 】) 故上图中的r 是h i r z e b r u e h - j t m g 奇点解消 但是，确定k 上h i r z e b m c h - j u n g 奇点的类型是一个困难的问题 当丌。是循环覆盖时，h i r z e b r u c h - j u n g 奇点的类型的确定参见 4 】口8 2 - 8 4 ) ，【5 3 ， 5 3 或者本文第三章第四节 当丌0 是a b e l 覆盖时，设其定义方程为( 1 1 ) 不失一般性，我们假设m l 啦_ 1 我 们将判断奇点类型的过程归结为以下四种初等变换： ( 1 ) 当g e d ( s i ，n ) = 1 时，方程( 1 1 ) 中的第i 个方程z 7 = 五等价为= ( 2 ) 方程( 1 _ 1 ) 中的第i 个方程z = 五等价为矿= ( 3 ) 设 i 五，且 = ，p 片，若n , l a 。n l ，则第i 个方程等价于。= 爿 ( 4 ) 设覆盖在p = ( 0 ，0 ) 点的局部定义方程为 。 1 = x a t y h ，2 = x a k y h 其中，g c d ( n i ，a ；，b i ) = 1 当d d = g o d ( n 1 ，a 1 ) 1 或d 。= g c d ( n l ，0 , 1 ) 1 时， 设n l = d a d b ，a l = d a a i ，6 1 = d b h ，覆盖局部定义方程等价于 。 = x 。i y e x ，露= z 如“屯6 通过上面四种变化，我们得到定理3 5 用这个定理我们可以直接判断出奇点的 类型 然后，我们可利用h i r z e b r u e h - j u n g 奇点解消，得到光滑曲面y ，y 就是y 的奇 点解消 下面我们来计算矿上的基本不变量x ( p 矿) 和k 善 k 上只有h i r z e b r u c h j u n g 型奇点，因为它是有理奇点，所以x ( o r , ) = x ( o v ) 而由推论v 我们可得到x ( a k ) 的计算公式 4 华东师范大学博士论文有限阿贝尔覆盖及其应用 因为知道分歧轨迹及其分歧情况( 定理i n ) ，我们可以利用h u r w i z e 公式 k = 矿丌；( + 孵，) + j 岛 来计算k ；，其中是h i i z e b r u c h - j u n g 奇点解消的不变量，有现成的计算公式( 参 见 5 3 1 5 4 】或者参见第三章第四节) 所以，最终可计算出砩为r 的计算公式参见 第三章第五节 因此，我们解决了a b e l 覆盖基本问题0 3 - ( v ) 利用所建立的a b e l 覆盖的方法，我们得到了下面几个有趣的应用，这也佐证了 我们方法的有效性 第，我们构造了8 2 个新的一般型代数蓝面，他们的不变量满足砰= 3 c 2 对于一般型极小曲面x ，有m i y a o k a - y a u 不等式，日3 c 2 根据丘成桐的著名 结果( 【6 1 ) 当日= 3 c 2 时曲面是二维球的商，即x = b 2 r ，rca u t ( b ) ，p 在b 2 上有自由作用因此，我们的瞳面都是球商曲面球商曲面的构造在代数监面的发展 史中起了重要作甩在上世纪8 0 年仡这个问题吸引了大批代数几何学家的注意 在1 9 8 0 年，m o s t o w 和萧荫堂( e 4 2 】) 构造了一族不变量满足2 c 2 碍2 9 4 2 c o 的曲面，这些曲面是c 2 上对称区域的商，它不同构于单位球怎么用代数几何的方 法构造球商曲面是一个具有挑战性的问题事实上，在1 9 世纪，球商曲面的存在性已 经隐含在p i c a “i ( 【4 6 】， 4 7 】) 的超几何函数的论文中根据d e l i g n e 和m o s t o w 【1 3 】的 计算结果，这些超几何函数对应了1 0 2 类球商曲面这些曲面理论上都可表示为射 影平面俨的有限覆盖，其分歧轨迹为下图构型 i 遗岛够 1 9 8 3 年，h i r z e b r u c h 找到了4 个这样的有限覆盖的例子，它们都是k u m m e r 覆盖 曲面，它们分歧在上图的6 条线上利用a b e l 覆盖，我们发现俨上的8 2 个a b e l 覆 盖曲面也是球商曲面，部分曲面的不变量和已知的曲面的不变量不同所以，这些曲 面不同构与已知的曲面g 塞8 2 个曲面之间是否有同构暂时还不知道) 对于h i r z e b r u c h 的球商曲面的例二j 气其不变量的计算也是很复杂的，特别是其不 5 华东师范大学博士论文有限阿贝尔覆盖及其应用 规则性q 的计算很多人都是通过计算其分歧轨迹的补集的基本群等方法来计算比 如，i s h i d a ( 3 4 9 ，l i b g o b e r ( 3 6 】) ，左康( 6 2 】) 和h i r o n a k a ( 2 4 9 但是基本群计算十 分困难i s h i d a 的文章 3 4 】和h i r o n a k a 的书【2 4 】的主要内容都是计算这4 个曲面的 不正规性q 谈胜利的文章 5 0 】的主要部分也是计算a b e l 覆盖曲面的不正规性q 利用本文的结果，我们有一般的公式可直接用来计算a b e l 覆盖曲面的不正规 性q 第二，用所建立的a b l e 覆盖的方法，我们对典范映射是到俨且次数至少为4 的a b e l 覆盖的曲面进行了分类特别地，我们发现了4 个典范次数是1 6 的新曲匝， 这是目前所知道的典范映射次数最高的曲面的例子 由于k o d a i r a 和b o m b i e r i 等的工作，一般型曲面x 的多重典范映射k ：x 一+ p “( n 2 ) 性态已经很清楚然而，典范映射p k 反映了曲面x 更多的特性，但也更 难研究一般型曲面的典范映射的次数可取到哪些正整数，一直以来，这都是很一个 有意思的问题 1 9 7 9 年，b e a u v i l l e 2 】利用m i y a o k a - y a u 不等式，证明了典范映射的次数最多不 超过3 6 典范映射次数为3 6 ，当且仅当p g = 3 ，k 2 = 3 6 ，q = 0 ，l 取l 没有基点，典范 映射的像为俨当3 0 对典范映射的次数最多是9 1 9 8 6 年 肖刚更进一步证明 了当p g ( x ) 1 8 7 时 典范映射的次数不超过8 典范映射次数为2 ，4 ，6 ，8 例子的构 造是容易的，有无限个这种曲面1 9 9 2 年，谈胜利构造了典范映射次数为3 ，5 ，9 的曲 面1 9 9 6 年，c a s n a t i 【1 0 】 勾造了典范映射次数是5 ，7 的曲面p a r d i n i ( 4 5 9 也用不同 的方法构造了典范映射次数为3 ，5 的曲面，其中，典范映射次数为5 的例子和谈胜 利的例子相同目前所知道的曲面的典范映射次数最高为1 6 最早的例子是p e r s s o n 于1 9 7 8 年发现的，它依赖于特殊的c a m p a d e l l i 曲面的存在 因为当典范映射次数高的时候，其像为舻所以在本文中，我们考虑舻上的 典范映射是a b e l 覆盖且次数至少为4 的益面，我们证明，此时典范映射的次数只能 为4 ，6 ，8 ，9 ，1 6 ，且典范次数为1 6 的曲面共有4 个 第三，亏格g 2 的曲线x 的a b e l 自同构群g 有精确上界i g l 4 9 + 4 ，这个 结果是经典的在本文中，我们发现了经典不等式i g i 4 9 + 4 的新证明我们的证 明还给出了1 g l 4 9 一4 时曲线的完整分类 研究自同构的界一个重要原因是因为它与模空间和t e i c h m u l l e r 空间有关系我 们知道对于任意的有限群g 存在一个亏格g 2 的紧黎曼匝x ，使得g 是x 的自 同构群( 【5 】，【2 1 9 在1 9 世纪柬h u r w i t z 证明了亏格g 2 的紧黎曼面的自同构群的阶是有限的， 不超过8 4 ( g 一1 ) ，而且这个界是可以达到的几乎同时w t m a n 证明了衄线的循环自 同构群的阶的上界为2 ( 2 9 + 1 ) ，这个界也是最好的1 9 8 1 年，m a c l a c h l a n 证明了曲线 6 华东师范大学博士论文有限阿贝尔覆盖及其应用 的a b e l 自同构群阶的上界为幻+ 4 且对于几个给定的a b e l 群他给出了以这个群 为a b e l 自同构群的曲线的最小亏格 曲线的自同构群的阶数，在多大程度上决定了这个曲线是个很有意思的闻题一 般的情形，这个问题是没有办法解决的当l g i 4 9 一4 s t , 我们给出了曲线x 的完 整分类 很多人试图把h u r w i t z 的关于曲线自同构群阶的上界这个经典结果推广到更高 的维觌肖刚在【5 6 中找到了曲面自同构群阶的上界为4 2 2 2 当k 2 1 4 0s t , 曲 面a b e l 自同构群的上界为5 2 k 2 + 3 2 但这个界离精确的界还很远这也是我们希 望研究的问题 1 2 主要结果 本文主要包含的八方面的结果： 1 ) 有限a b e l 覆盖的定义数据的确定， 2 ) 有限a b e l 扩张的整闭包的计算， 3 ) 有限a b e l 覆盖的分歧轨迹的确定， 4 ) 有限a b e l 覆盖的奇点解消， 5 ) 有限a b e l 覆盖的不变量的计算， 6 ) 新球商曲面的构造， 7 ) 典范映射是胪上的a b e l 覆盖的曲面的分类， 8 ) 具有高阶a b e l 自同构群的曲线的分类 本文主要研究a b e l 群g = ，o o z n 。对应的a b e l 覆盖7 r ：y x ，其 中。x 是光滑代数簇，y 是正规的 首先，我们证明了任意的a b e l 覆盖都可用一组标准数据来定义 定理i i 任意a b e l 覆盖，r ：y x 都由关系式 d ii n l l i ，d ki m l 7 ( 1 3 ) 华东师范大学博士论文有限阿贝尔覆盖及其应用 来定义其中，l ；是x 上的除于，d 。是有效除子具体的，如果d 。由整体截面 h o ( 啦厶) 定义则y 由下面一组方程定义 露1 = ，= a 即y 是方程( 1 4 ) 定义的代数簇的正规化 ( 1 4 ) 给出了a b e l 覆盖的定义数据后，a b e l 覆盖的正规化计算可归结为唯一分解整 环的a b e l 扩张的整闭包的计算 定理1 2 设r 是唯一分解整环，包含“1 ，n 女次单位棍且r 的特征e h a r r 不整 除n l 一n k 环a = 剐0 1 ，一，d d 是r 的a b e l 扩镌q = 厶i = 1 ，岛即 a 兰r z l ，一，z 】( 。? 1 一 ，一，瑶。一 ) 设b 是a 在其分式域k b l ，n 1 1 上的整闭包，那么，环b 是自由r 橇生成元为 卜尚卜一洲g ) 方程( 1 4 ) 定义的分歧轨迹由下面的定理确定 定理1 3 设p 是x 中既约的，不可约的超曲面用卢= i t - 1 ( p ) 记作p 在y 上的 既约原像，设a i 是p 在d 。= d i v ( ) 中的重数则 矿p ：掣户， ( 1 5 ) d p - g c d ( i c l 邝i 罢，朋l 詈) ( 1 6 ) 为了后面的叙述方便，我们引进两个记号：d 。= 基ld ，其中b 为覆盖的定 义数据，d ”= p d p p ，p 取遍以的所有索除子 下面的定理给出任意点上的分歧情况事实上，我们可以假设分歧轨迹上只有 通常二重点 8 华东师范大学博士论文有限阿贝尔覆盖及其应用 定理1 4 设7 r ：y x 是曲面的a b e l 覆盖，不妨假设，r 在p = ( 0 ，0 ) 点的局部定 义方程为 则p 点的原像的个数为 留= 扩1 y h ，一，露= x a k y b l , ( 1 7 ) d = p ( 蚓，罢，掣) 旧辟，) n s ， 我们知道y 的奇点都是7 r 的分歧轨迹上奇点的原象通常我们对覆盖定义的 奇点可做如下的典范解消 y = om 上上k 上矿 卜ml - - i “卜 x = 一墨一一墨一贾 口l以o - r 其中，以是对死一l 的分歧轨迹的奇点鼽一1 做的爆发毋是p 一1 产生的例外曲线，最 是e 在墨中的完全原象k 是k l 和五的纤维积的正规化，即m = k 一1 咒 经过有限步后，可以使得丌r 的分歧轨迹只有通常二重点 理论上，当“的分歧轨迹只有通常二重点时，k 上只有h i r z e b r u c h - j t m g 奇点( 参 见【4 】) 上图中的q 是h i r z e b m c h - j u n g 奇点解消 根据下面的定理，我们可以直接确定k 上h i r z e b n m h - j t m g 奇点的类型 定理1 5 假设h 一1 ，1 i 岛d 如( 1 8 ) 式定二已g c d ( n t ，啦) = g c d ( n i ，屯) = 1 ，覆 盖由方程( 1 7 ) 定义则 n ) 当g c d ( n l 坐j 皿) = n 1 时，曲面在p = ( o ，o ) 上光滑 6 ) 当g e d ( n 17 虫- j 业) = 堡l 二孑丑时，奇点同构于d 个相同的奇点，它们都同构 于下面方程定义的奇点? m ：扩1 y t a 笠产 定理1 6 假设n i l m 一1 ，n = i - i j 妒是素分解， g c d ( n i ，吼) = 叱= 1 - i 劣“， j 9 g c d ( n l ，兢) = 氐= 一 ， 华东师范大学博士论文有限阿贝尔覆盖及其应用 由方程( 1 7 ) 定义的奇点同构与d 个相同的奇点，它们都同构干下面方程定义的奇点 w “= x y ”一口 其中，d 如( 1 8 ) 式定兕n = i 忐= h j g ，q 满足下式 矛b l + 万a l q ；。m o d = 堙。舻1 “ 根据正规化的计算和分歧轨迹的计算，我们有 定理1 7 ( o x - 模的结构j 设7 r ：y x 是由方程( 1 4 ) 定义的覆毛则 以。v = g 。e g 。x ( 一圭吼厶+ 圭爱。； j ) t = l l l = l 利用r i e m a n n - r o c h 定理，我们得到下面的推论 推论- 工假设x 是光滑曲氲- l 9 = - ；。g i l l + z = l 皿r t t 。t 则 x ( o y ) = l g l x ( o x ) + ：( ；+ l 。k x ) g e g 因为分歧轨迹已知，利用h u r w i t z 公式，我们得到基本不变量f 的计算公式 定理1 8 令盯孙c r r盯1 ，7 = r r 7 1 ， 庐= 卵l 则 其中， t l2m u l t i m d q ，r e d ，民= m u l t i a d “，也= m u l t i e , d m 嘶叫”一k x + d 。, r e d - - 同1 。”) + 杨 =矿f ，警， 目是h i r z e b r u c h - j u n g 奇点的解消 ( 卜。一小卅) 毛) + 作为a b e l 覆盖的应用，在第四章中，我们构造8 2 个一般型曲面，他们满足碍= 3 c 2 且我们给出了曲面的不正规性的计算方浅 以其中一个为例如果假设曲面k 是俨上的z 5o z 5oz 5 覆盖，分歧在下图 的构型上 1 0 华东师范大学博士论文有限阿贝尔覆盖及其应用 i 遗b够 曲面由下面的方程定义： z = 1 1 1 4 l s l 4 z ：f 6 ，露= 枣2 f 3 瑶f 5 坫，露= f l f 2 f 3 4 5 6 2 x 一俨为爆发俨上4 个三重点曲面y ：y o x 芦x ，由定理1 5 可知，y 光滑 k y l zi 一 胪卜_ x 由推论3 8 和定理3 9 ，我们得到曲面y 的不变量为： x ( o y ) = 2 5 ，碹= 2 2 5 ，研= 9 x ( o y ) ， x t ( o y ) = 7 5 ，q ( y ) = 6 因此，曲面y 是新的球商曲面 同日寸，我们给出一种曲面的不正规性的一般计算方法由推论3 8 ， 因此。 口( 矿) = g ( k ) = h 1 ( - l 。) i = 1 又因为矿( 一岛) = 0 ，( g o ) ，由r i e m a n n r o c h 定理，h 1 ( - l 9 ) 的计算等价于计 算h 2 ( - l g ) = 胪( k o + 岛) 而实际情况下，这很容易计算 第五章是a b e l 覆盖在典范映射方面的应用，对典范映射是到俨的次数至少4 的a b e l 覆盖的曲面进行完整分类；且给出了具有奇数次典范映射的曲面的定义方 程，简化了谈胜利先前的工作 本章的主要结果是： 0 l b p ，o ：l = ypn 堡壅堡垄奎堂堡圭篁塞童堡堕里玺壅差丝苎鏖里 定理1 9 设x 满足p g ( x ) = 3 ，醍；d 毛1 k x | 没有基戌 妒= 妒蹑：x _ 舻， 毛4 b e l 覆盖则d 只可能取4 6 ，8 9 ，1 6 中的一个 ( o ) 当d = 1 6 时，曲面x 可分4 类，它们的定义方程如下，其中啦是1 次弃次多项 式 ( 1 ) 霜= o 1 0 2 n 3 a 7 ，考= a 4 a 5 a 6 a $ ，z l = 0 2 a 5