（固体力学专业论文）含多个圆孔压电介质的动力反平面行为.pdf

哈尔滨工程大学硕士学位论文 摘要 由于压电材料本身的力电耦合特性，压电材料已被广泛应用于现代化科 学技术，如声纳传感器、力电耦合执行器、压电电源补给装置及位置调节器。 这些装置均是在力电耦合场菇同作用下进行工作，故材料本身的缺陷，如位 错、裂纹、孔洞和夹杂等对其工作特性及力电耦合特性产生很大影响。因此， 研究在力电耦合场共同作用下含有缺陷的压电材料的力学性能具有重要意 义。 本文是目前广为关注的研究含有缺陷的压电材料的力学特性的重要组成 部分。文中利用复变函数法和多极坐标法，考虑了在反平面机械荷载和平面 内电荷载共同作用下，含有多圆孔缺陷的压电材料的动力学特性。文中给出 了既符合该问题的模型同时又满足边界条件的入射波场及散射波场的复变函 数级数表达式，并利用正交函数展开技术，将问题简化为对一组无穷代数方 程组的求解。给出的数值结果表明孔洞几何位置变化，材料的压电参数变化， 入射波的频率变化等都将影响材料的动应力集中系数。由结果可以看出，在 力电耦合场共同作用下研究动应力集中问题具有重要的意义。 关键词：压电介质；多个圆孔；多极坐标；s h 波的散射；动应力集中 哈尔滨工程大学硕士学位论文 a b s t r a c t d u et ot h i si n t r i n s i cc o u p l i n gb e h a v i o r , p i e z o e l e c t r i cm a t e r i a l sa r ew i d e l y u s e di nm o d e m t e e h n o l o g y s u c ha s h i g hp o w e r s o n a r t r a n s d u c e r s ， e l e c t r o m e c h a n i c a la c t u a t o r , p i e z o e l e c t r i cp o w e rs u p p l i e sa n dm i c r o p o s i t i o n e r t h e s ed e v i c e sa r ed e s i g n e dt ow o r ku n d e rc o m b i n e de l e c t r o - m e c h a n i c a ll o a d s t h ep r e s e n c eo fv a r i o u sd e f e c t s ，s u c ha sd i s l o c a t i o n s ，c r a c k sc a v i t i e sa n d i n c l u s i o n s ，c a nm a k eg r e a ti n f l u e n c eo nt h e i rc h a r a c t e r i s t i c sa n dc o u p l e db e h a v i o r t h e r e f o r e ，i ti so fv e r yi m p o r t a n c et os t u d yt h ee l e c t r o e l a s t i cf i e l d sa sar e s u l to f t h ep r e s e n c eo f d e f e c t s t h i sp 印e rc o n s t i t u t e sac o n t i n u i n gs t u d yi nu n d e r s t a n d i n gt h em i c r o s c o p i c b e h a v i o ro f t h e s em a t e r i a l si nt h ep r e s e n c eo f d e f e c t ss u c ha sc r a c k s ，d i s l o c a t i o n s ， c a v i t i e sa n di n c l u s i o n ss u b j e c t e dt om e c h a n i c a la n de l e c t r i c a ll o a d s i nt h i sp 印e r ， t h ed y n a m i ci n t e r a c t i o nb e t w e e nh o l e si na ni n f i n i t ep i e z o e l e c t r i cm e d i u mu n d e r a n t i - p l a n em e c h a n i c a la n di n - p l a n ee l e c t r i cl o a d s 、v a si n v e s t i g a t e db yu s i n g c o m p l e xv a r i a b l ef u n c t i o na n dm u l t i - p o l a rc o o r d i n a t em e t h o d t h ec o m p l e x v a r i a b l ef u n c t i o ns e r i e sw h i c ha p p r o a c ht h es o l u t i o no ft h a tp r o b l e ma n dg e n e r a l e x p r e s s i o ns a t i s f y i n gb o u n d a r yc o n d i t i o n sa r eg i v e n n u m e r i c a le x a m p l e sa r e p r o v i d e dt os h o wt h ee f f e c to ft h eg e o m e t r yo ft h eh o l e s ，t h ep i e z o e l e c t r i c p a r a m e t e r so ft h em a t e r i a l sa n dt h ef r e q u e n c yo ft h ei n c i d e n tw a v eu p o nt h e d y n a m i cs t r e s sc o n c e n t r a t i o nf a c t o r t h ec a l c u l a t i n gr e s u l t sr e v e a lt h ei m p o r t a n c e o fe l e c t r o - m e c h a n i c a l c o u p l i n gt e r m su p o nt h ep r o b l e mo fd y n a m i c s t r e s s c o n c e n t r a t i o n s k e y w o r d s ：p i e z o e l e c t r i cm e d i u m ；m u l t i c i r c u l a rc a v i t y ；m u l t i p o l a rc o o r d i n a t e ； s c a t t e r i n go f s h w a v e ；d y n a m i cs t r e s sc o n c e n t r a t i o n i l 哈尔滨工程大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：本论文的所有工作，是在导师的指导下， 由作者本人独立完成的。有关观点、方法、数据和文献等的 引用已在文中指出，并与参考文献相对应。除文中已经注明 引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经公开 发表的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体， 均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律 结果由本人承担。 作者( 签字) ：1 3 ：塑塑 日期：讪6 年1 月“日 哈尔滨工程大学硕士学位论文 第1 章绪论 1 1 压电学的发展概况 压电学是晶体物理学的一个分支，它是研究压电材料在机械应力或电场 作用下所发生的弹性效应和电极化效应相互耦合原理及其应用的一门学科。 压电现象最早由j a c q u e s 和p i e r r ec u r i e 兄弟于1 8 8 0 年发现。“压电”，顾名 思义，就是通过外加机械场而产生电荷，这是直接压电效应；反之，当外加 一电压时，压电材料会产生应力和机械运动，这是逆压电效应。自然界中许 多材料都呈现压电效应，目前己知的压电材料逾百种 2 1 。发现压电效应的数 十年间，压电学并没有引起人们的足够重视。经过两次世界大战的刺激，对 压电晶体及其应用的研究才取得了重大进展。关于压电铁电材料的广泛应用， 是从四十年代中期开始的。三十多年来，随着近代科学技术的发展，这些应 用获得了飞跃的发展。较主要的应用是：利用正压电效应先后研究成功压电 引信、压电电源等多种压电发生器件以及振动加速度计、流体监控器等多种 压敏传感器件。利用逆压电效应研制成功各种各样用途的超声波发生器以及 压电扬声器。利用正逆压电效应研制成功压电陀螺、压电线性加速度表、压 电延迟线、声纳以及压电声表面波器件。利用压电振子的谐振特性和伸缩特 性，研制成功压电谐振器、压电振荡器、压电滤波器、压电继电器、压电泵、 压电阀门、位移发生器等器件。利用部分压电材料具有的线性和非线性热释 电效应，研制成功红外探测器、红外摄像管以及热释电发动机。利用压电铁 电晶体的光学效应和压电效应，研制成功电光调制器、电光偏转器、声光调 哈尔滨工程大学硕士学位论文 制器、声光偏转器、光信频器、光参量振荡器等激光技术必不可少的器件。 为了适应现代科学技术发展的需要，各种新老器件都对材料提出了更高 的要求，进一步促进人们研究和探索性能更优良的新型材料，目前已经研制 成功许多新型的压电铁电材料。在单晶方面，主要有类钛铁矿型结构的铌酸 锂：钙钛矿型结构的铌酸钾；钨青铜结构的铌酸钡钠、铌酸锶钡、铌酸钾锂； 层状结构的钛酸铋；以及锗酸铋、碘酸锂等重要晶体。六十年代研制成功同 时具有半导体特性和压电特性的压电半导体晶体，如硫化铬、氧化锌、砷化 钾等。此外，利用波模工艺制作的这类压电半导体波模材料已用于超高额换 能器，把压电应用扩大到微波领域。七十年代确立了统一的晶体生长理论， 晶体生长工艺不断改进，用气相法、提拉法、熔融法、溶液析出法、水热法 均获得了性能优良的晶体。 1 9 4 3 年发现了钛酸钡陶瓷，1 9 4 7 年利用其压电效应制成拾音器，开创了 压电陶瓷的应用。随着铁电理论的进展，于1 9 5 4 年颁布了锆钛酸铅( p z t ) 二元系压电陶瓷，它具有优良的压电性，使压电陶瓷的应用展开了新的一页。 1 9 6 5 年日本在钙钛矿型压电陶瓷的基础上，根据斯莫林基法则，研制成功含 铌镁酸铅的三元系压电陶瓷( p c m ) 。此后，各种性能优良的单元系、二元 系、三元系、四元系压电陶瓷以及非铅陶瓷、压电半导体陶瓷、铁电热释电 陶瓷不断问世，大大促进了压电陶瓷的广泛应用。 四十年代中期，发现生物的各种组织具有压电性，有机压电材料才引起 人们的注意。1 9 6 9 年发现聚偏氟乙烯薄膜具有优良的压电性以后，有机压电 材料及其应用的研究才迅速发展起来。目前压电性较强的聚合物薄膜主要有 乙烯( p v f ) 、聚偏氟乙烯( p v f 2 ) 等。此外，还研制成功由聚合物和铁电陶 2 哈尔滨工程大学硕士学位论文 瓷合成的复合材料，它具有压电陶瓷的强压电性，又具有高分子薄膜的柔软 性。 目前，压电铁电材料的机、电、声、光、热等能量转换效应在许多领域 都得到了长足的发展。由于其独特的力电耦合性质，压电介质广泛用于先进 智能结构设计中，如传感器，尤其在声纳发生器、脉冲发生器、压电声表面 波器等高新科技器件中，压电材料作为功能部件起着关键性作用。 3 - 6 1 1 2 课题的研究现状 1 2 1 缺陷对弹性波散射静态问题的研究状况 由于存在力电耦合作用，压电材料的电致疲劳和电致断裂情况时有发生。 在工作状态下，因机械或电荷载引起的应力集中会导致裂纹的发生和扩展。 此外，材料本身也存在孔洞、夹杂及分层等结构或缺陷，这些结构或缺陷日 起的应力集中问题都使得压电元件寿命受到很大影响。因而，从力电耦合的 角度上研究压电材料中各种缺陷有关性态的问题已引起材料及力学工作者的 高度重视。 7 1 ( 一) 裂纹对弹性波散射静态问题的研究现状 传统的含有微裂纹的压电材料中沿着裂缝表面的边界条件已经得到很好 的定义，弗且得到了比较成熟的结论：k a c h a n o v 在1 9 9 2 、1 9 9 3 年研究了最 简单的模型，即裂缝间有微弱影响的模型中的力电耦合关系，在这些研究中 裂缝间的相互影响被忽略；考虑多个裂缝间的相互影响，许多学者研究了单 位拉力及位移作用下的各向同性压电材料中的力电相互依赖关系，其中h o r i 3 哈尔滨工程大学硕士学位论文 和n e m a t - n a s s e r 、b u d i a n s k y 和o c o n n e l l 提出了自适应理论，n o m s 、h a s h i n 、 z i m m e r m a n 提出了微分理论；m o r i 和t a n a k a 、b e n v e n i s t e 、w e n g 提出了 m o i l t 锄a k a 理论；p a r k 和s u n 研究了力电荷载作用下含有多个绝缘裂缝的 无限大压电材料，通过采用s t r o t h 变换理论，得到了三种断裂形式的应力强 度因子、总的能量释放率和应变能释放率卜”1 。p a r t o n ( 1 9 9 6 ) 应用积分方程 的方法研究了压电材料的断裂问题i “1 ；s h i n d oe ta l ( 1 9 9 7 ) 采用积分变换方 法研究了反平面荷载作用下垂直方向含有线性裂缝的无限长条形压电材料， 获得了应力强度因子和能量释放率的解答m 1 。对于实际应用中经常存在的 三维裂缝问题( 例如：p e n n y 型裂缝和椭圆型裂缝) ，w a n g ( 1 9 9 2 ) 研究了电 不可渗透条件下的椭圆型裂缝，通过采用f o u r i e r 变换理论得到了含有该裂缝 的无限大压电介质的场强因子1 ；w a n g 和h u a n g ( 1 9 9 5 ) 、w a n g 和z h e n g ( 1 9 9 5 ) 得到了电不可渗透条件下的椭圆型裂缝场强因子的势能函数的表达 式1 15 j 6 ；k o g a n 和h u i ( 1 9 9 6 ) 采用势能理论场强因子的闭合解答，得到了 p e n n y 型裂缝的解答m 1 ；对于单位集中荷载和电位错作用下含有圆型裂缝的 三维压电材料，z h a oe ta 1 ( 1 9 9 7 ) 得到了该问题中应力强度因子的基本解答； c h e n 和s h i o y a ( 2 0 0 0 ) 通过采用f a b r i k a n t 于1 9 8 9 年得到的i i 、i i i 型裂缝应 力强度因子，研究了任意剪切荷载作用下的p e n n y 型裂缝问题”。 以上提到的问题都是针对无限大的压电介质进行研究，并且大多数问题 都是考虑的单位荷载作用，y a n g 和l e e ( 2 0 0 1 ) 研究了有限厚度的压电介质 在轴对称荷载作用下的问题，得到了三维裂缝的重要解答：p a k 和s o s a 2 町研 究了三维线性压电特性的压电材料中裂缝尖端的力电场；王自强 2 1 1 在线性压 电本构方程框架下，对裂纹尖端条状电饱和区模型进行了严格的数学分析， 4 哈尔滨工程大学硕士学位论文 完整考虑了各向异性力电耦合效应，证实了压电材料断裂应力与外加电场的 线性依赖关系。 ( 二) 夹杂( 孔洞) 对弹性波散射静态问题的研究现状 在实际应用中，由两种或两种以上不同的压电材料构成的压电元件可以 更好的发挥不同材料的特性，这样的压电元件比单一材料的压电元件有着更 好的力电耦合性。因而许多压电元件是由多种不同特性的夹杂镶嵌在聚合物 或者压电材料中。基体中的夹杂可以是光纤、孔洞，许多元件的设计也常常 采用层状结构。对于层状结构或含有不同介质、孔洞的压电介质的研究也成 了一个热点的问题。p a k ( 1 9 9 2 ) 分析了在无限大压电基体中含有一个圆型夹杂 的问题；z h a n g 和t o n g 【2 2 1 建立了在无穷远的反平面剪切波和平面内电场作用 下压电材料中椭圆型孔洞附近的力电场；k o g a l l ( 1 9 9 6 ) 研究了在无穷远空间各 向同性力电荷载的作用下含有球型夹杂的无限大压电材料，得到了力电场的 闭合形式解答；w a n g ，x u y u e t 1 和y u ，s h o u w e n 研究了圆柱型夹杂和压电 基体之间的弧型裂缝对s h 波散射的远场问题；c e j i a n g ，y k c h e u n 9 1 2 4 1 ( 2 0 0 1 ) 研究了反平面剪切情况下三层压电圆柱夹杂模型对s h 波的散射问题， 得到了精确解答；以上关于压电材料的断裂行为的研究都是静态的【2 5 2 ”。 1 2 2 缺陷对弹性波散射动态问题的研究现状 ( 一) 裂纹对弹性波散射动态问题的研究现状 h u a n g ，h a i m i n g ，s h i ，h u i j i 利用s c h m i d t 方法研究了在反平面剪切波 作用下，含有多个可渗透裂缝的压电条带的动力特性。文中利用f o u r i e r 变 换，通过s c h m i d t 方法求解了两组三重积分方程。结果得出，裂纹尖端的应 5 哈尔滨工程大学硕士学位论文 力强度因子和电位移强度因子不仅与裂纹长度和压电系数有关，同时和压电 条带的厚度、裂纹间距离及入射波频率有关1 2 8 】。s u n ，j l ，给出了反平面剪 切波作用下，在两种压电材料板接合处形成的两个不同的平行可渗透界面裂 缝的动力特性。通过f o u r i e r 变换，将问题转化为两组重积分方程。数值结 果表明，入射波的频率及两个裂缝问的相对位置对动应力强度因子和电位移 强度因子都有影响。与不可渗透裂缝相比，可渗透裂缝的电场强度因子要小 的多【。z h o u ，z h e n g o n g ，w a n g ，b i a o 利用非局域理论讨论了压电材料中两 个对称的平行可渗透裂缝间的动力特性。与以前结果不同的是，文中发现在 裂纹尖端不存在应力和电位移的奇异性”。c h e n ，j i a n 研究了功能梯度材料 中含有一组垂直于边界的周期排列的裂纹的动力反平面特性。积分变换法使 问题简化为一组积分方程，数值结果表明电弹性耦合因子以及材料的梯度参 数对构件的力学行为有很大影响) 。w a n g ，b l ，h a n ，j c 研究了含有多个裂 缝的非均匀压电介质的动力响应特性。文中假设所有材料参数均沿y 轴变化 ( 即沿厚度方向) 。通过f o u r i e r 变换和l a p l a c e 变换，将边值问题转化为 l a p l a c e 变换域中的一组广义奇异积分方程。文中给出了具有两个裂缝的三 层复合板的动应力强度因子 3 2 1 。l i ，x i a n f a n g 分析了含有两个表面裂缝的 横观各向同性压电陶瓷在反平面弹性场和平面内电场作用下的瞬态响应。通 过利用l p l a c e 变换和f o u r i e r 变换，将混合初始边值问题转化为第一类奇 异积分方程。应用l o b a t t o c h b y s h e y 配置法得出了奇异积分方程的数值解。 同时给出了可渗透裂缝和不可渗透裂缝两种情况下的应力强度因子和能量释 放率。作图表明了裂纹的几何参数及材料性质对能量释放率的影响【3 3 j 。 m a l i ：w u ，l i n z h i 研究了功能梯度材料中两个共线裂缝的动力行为。假设 6 哈尔滨工程大学硕士学位论文 f g p m 材料的弹性模量、压电常数、介电常数及质量密度均为不同的幂函数， 材料受反平面机械荷载和平面内电荷载作用。通过积分变换将问题转换为两 组奇异积分方程。在求解方程时，利用5 0 c o b i 多项式将通过裂缝表面的位移 和电位势展开。数值结果给出了材料的特性对应力强度因子及电位移强度因 子的影响】。z h e n z t 研究了反平面机械荷载和平面内电荷载作用下的含 有单个裂缝的半无限空间的动力特性。文中假设裂缝平行于半空间的自由边 界。利用l a p l a c e 变换和f o u r i e r 变换将混合边值问题转换为l a p l a c e 变换 域中的c a u c h y 型积分方程叫】。k w o n ，s m 研究了功能梯度压电条带中反平 面剪切裂缝的动力传播特性。假设条带处在反平面剪切荷载和平面内的电场 共同作用下，通过f o u r i e r 变换，将问题简化为第二类f r e d h o l m 积分方程。 数值计算给出了裂纹的应力强度因子和滑行位移对裂纹长度及裂纹扩展速度 的依赖关系m 】。z h o u ，z g 利用非局域理论研究了谐和的反平面剪切波作用 下的含有g r i f f i t h 裂缝的压电材料的动力行为。利用f o u r i e r 变换，问题转 换为二重积分方程，利用s c h i m i d t 方法求解该方程。结果表明在裂纹尖端处 不存在应力和电位移的奇异性。 ( 二) 夹杂( 孔洞) 对弹性波散射动态问题的研究现状 l i ，x - f 研究了在力电耦合冲击载荷作用下，嵌入在无限大压电基体中的 可导刚性夹杂问题。通过积分变换方法，混合的初始边值问题转换为两组重 积分方程。文中给出了p z t 一5 h 材料的数值解【3 8 】。n a r i t a ，f 利用动力反平面 压电理论研究了嵌入在无限大压电介质中的圆柱压电夹杂问题。数值解给出 了动应力集中系数和电场强度集中系数的基本解，作图表明了电弹性场间的 相互关系m 】。x u y u e ，w a n g 利用波函数展开法和奇异积分方程法研究了嵌入 7 哈尔滨工程大学硕士学位论文 在压电基体中的圆柱型压电夹杂对s h 波的散射。夹杂和基体的接合处存在 裂缝。文中得出了不可渗透情况下的动应力强度因子，数值结果给出了对于 不同的脱粘尺寸和入射角度情况下的低频响应特性 4 0 l 。b a r d z o k a s ，d i 研究 了含有一个很薄的刚性夹杂的无限大压电圆柱。利用解答的积分表示法，边 值问题简化为一组含有预解核的第二类奇异积分微分方程。结果给出了圆柱 边界和圆柱内部的力电场1 4 ”。g a o ，c u n f a 利用复变函数法研究了任意集中载 荷作用下，含有椭圆孔的压电材料的动力特性。通过基本解的叠加得出了任 意分布载荷作用下的孔洞表面的基本解。这些基本解对于求解压电材料中的 一些基本问题非常有用1 4 2 1 。李辉利用复变函数的保角映射法和波函数展开法 对s h 波在含非圆孔压电介质中的散射和动应力集中问题进行研究。获得了应 力场、电场与入射波强度、外加电场的依赖关系，得到了压电介质中孔边界 周边的动应力及电场强度的表达式 4 3 1 。宋天舒等研究了压电材料中圆形孔洞 对s h 波散射与动应力集中问题，获得了压电材料圆形孔洞缺陷对入射波强度 和外加电场的关系。对于压电材料中多孔洞结构的动力行为研究目前少有 报道。 1 3 本课题在弹- | 生材料中的研究结果 在弹性介质中，多圆孔问题曾得到广泛深入的讨论 “- 4 7 1 。1 9 8 9 年，刘殿 魁、王宁伟1 4 8 1 利用复变函数法求解了相临多圆孔各向异性介质中s h 波的散 射与动应力集中问题。构造了逼近这个问题解答的完备的函数序列和边界条 件表达式，将问题归结为对一组无穷代数方程组的求解。计算了双圆孔的应 哈尔滨工程大学硕士学位论文 力集中问题，给出了数值结果。这是本文弹性部分的基础。 1 4 波动问题的研究方法 近几十年来，一大批有识之士致力于弹性波散射问题的研究，已提出多 种分析方法用于弹性波散射的远近场分析【4 9 1 。其中主要有： ( 1 ) 波函数展开法：在曲线坐标中，通过对坐标量或矢量波动方程作变 量分离，利用一些曲线坐标和与之对应的特殊函数，如b e s s e l 、w e b e r 、m a t h i e u 函数来构造波动方程的解，并进一步满足边界条件，求解边值问题。由于曲 线坐标的种类有限，到目前为止有1 1 种( 直角坐标、圆柱坐标、椭圆坐标、 球坐标、圆锥坐标、抛物线坐标、扁长球面坐标、扁球面坐标、椭圆球面坐 标、抛物面坐标) ，而对于矢量波动方程，可分离坐标的数量仅限于前6 种， 因此，该方法在使用上受到很大限制。但是它所提供的原则和解答，对人 们以后求解弹性波散射和动应力集中问题起了非常重要的作用。 ( 2 ) 积分方程法：广泛应用于弹性波散射问题的研究，一般从弹性动力 互等定理出发导出积分方程。根据积分表达式定理，可以用一个面积分和一 个体积分来描述由任意形状的物体产生的散射波。对于材料性质不连续的夹 杂物，可以通过等价的体积力与周围介质g r e e n 函数的体积分，来描述由不 连续区域引起的散射波。由于体积分中的未知函数含有总波场，所以我们得 到的是关于散射波的积分方程，其类型主要为f r e d h o l m 型积分方程和具有 c a u e h y 型积分核的奇异积分方程。可用渐近方法和迭代方法进行求解。如果 用入射波场代替总波场，所得的解被称为b o r n 近似；如果用静态场代替未知 哈尔滨工程大学硕士学位论文 的总波场，所得的解被称为静态近似。积分方程对于二维定常波和瞬态波问 题有效。 ( 3 ) 积分变换法：利用已有的积分变换将偏微分方程化为变换空间的代 数方程式或常偏微分方程进行求解，再将得到的解答做逆变换到物理空间， 从而得到真实解答。该方法多被用于瞬态动力问题的分析，但逆变换一般需 要进行数值反演，由于反演具有内在的不稳定性而常常遇到困难。 ( 4 ) 传输矩阵法( t 矩阵法) ：适用于任意形状散射体的弹性体散射问 题。根据定常弹性波的不同表示定理，w a t e r m a n 和p a o 等几乎同时提出了弹 性波散射的t 矩阵法。这种方法来源于电磁波和声波的散射矩阵理论。它的 基础是弹性波散射的积分表达式和各种波函数，即把积分表达式中的已知或 未知函数用波函数表达，考虑边界条件得到求解未知系数的t 一矩阵方程。转 换矩阵的主要特点是如果散射体确定，则转换矩阵不变，与入射波无关，而 且转换矩阵具有某种正定性。 ( 5 ) 摄动法：对波动方程或其边界条件进行摄动，然后再进行求解的一 种近似方法。以摄动边界法居多。摄动法也常和其它方法相结合用于问题的 求解。近几十年来这一方法又发展为渐近匹配法，将原问题变为内问题和外 问题，内外问题用不同的级数求解，然后按一定的条件匹配起来。这种方法 用于声波和弹性波，研究任意形状物体的各种参数对散射的影响。 ( 6 ) 射线法；k e l l e r 和l a v y 根据声波理论提出的射线法在波动理论中得 到深入的发展。a c h e n b a c h 等详细阐述了射线法在弹性波散射理论中的应用。 弹性动力射线法的思想是把波动方程中的势函数取为级数形式，该级数具有 未知的振幅和相位函数，在高频意义下，获得的相应函数满足径向方程，振 1 n 哈尔滨工程大学硕士学位论文 幅满足传输方程，其结果与实验结果吻合。尽管射线理论在原理上仅仅对高 频波适用，但是实际上可以用于一定的低频范围。 ( 7 ) 复变函数法：刘殿魁f 5 1 1 提出的复变函数方法为求解二维散射问题提 供了一个新的有效方法。此法是弹性力学复变函数方法的推广，在保角变换 下，引入“域函数”的概念，使得变换后的波动方程的通解可以表示为以“域 函数”为项的波函数的级数形式，通过离散，满足边界条件的级数方程化为 线性代数方程组，可以数值求解。该方法对任意形状的夹杂以及任意形状的 带衬砌的孔洞的弹性波散射问题较为有效| 5 2 - 5 5 】。该方法已经应用于板壳开孔 ( 包括大开孔) 等问题的研究f 5 6 】。 ( 8 ) 数值方法：鉴于弹性波动问题本身的复杂性，人们采用理论分析和 数值计算两种方法来求解问题。在通常的情况下，解析解很难得到，它只限 于几种简单的情况。由于实际介质情况的复杂性和多变性，使得解析方法的 应用常常受到限制，而直接的数值方法也被用来分析稳态波入射问题，其中， 透射边界研究取得了重要进展，有限元法、有限差分法、边界元法、边界法 和混合法等数值法在工程应用中取得了大量有使用价值的研究成果。然而， 计算量大、高频波入射时误差不易控制以及不易实现对问题的深入分析等， 仍然是数值方法必须克服的困难。 1 5 论文的主要工作 本文采用复变函数法和多极坐标方法研究相邻多圆孔各向同性压电介质 中s h 波的散射问题。在求解该问题时一方面要构造一个能自动满足边界条件 哈尔滨工程大学硕士学位论文 的散射波，这个散射波可以利用s h 波散射的对称性质和使用多极坐标的方法 来构造；另一方面在边值问题中确定待定系数，最终可将问题归结为对一组 无穷代数方程组的求解，并可采用截断有限项的方法对其进行求解，得出了 相邻多圆孔各向同性压电介质中s h 波散射的动应力集中系数和电场集中系 数表达式。最后以两圆孑l 为例给出了具体算侧。针对压电介质分别具有不同 的弹性、压电、介电常数时的情况进行比较，并对结果进行分析，讨论力电 耦合效应对压电介质动力反平面行为的影响。 本文具体工作如下： 第一章介绍了压电学的历史和概况，压电介质中弹性波散射问题的研究 状况，阐明了有关的基本概念和基本方法。 第二章简单介绍了弹性动力学的基本理论和波动理论的基本概念，引入 压电方程。 第三章建立求解相邻多圆孔各向同性压电介质对s h 波散射与动应力集 中及电场集中问题的解析方法。利用s h 波散射的对称性和多极坐标的方法， 构造一个可以预先满足自由表面上应力自由边界条件的稳态s h 波的散射波 函数。利用边界条件，该问题的解答，最终又归结为对一组无穷代数方程组 的求解，并采用截断有限项的方法对其进行计算。 第四章以两个圆孔为例给出了动应力集中及电场集中的算例和数值结 果，并讨论了波数、剪切模量、压电系数、孔间距离对动应力集中系数及电 场集中系数的影响。 最后总结了本文的工作，并展望了本文的应用前景和发展方向。 哈尔滨工程大学硕士学位论文 第2 章基本理论 2 1 弹性动力学的基本理论 2 1 1 弹性动力学的控制方程 由动量平衡、角动量平衡和能量平衡三个原理可以推得体积为v ，表面 为s 的连续、均匀、各向同性的线弹性体中的动力学问题的控制方程“7 1 为： 运动方程： ，+ 蹦= 成 ( 2 1 ) 本构关系： 几何方程： 质量守恒式 动量矩守恒式： = 2 6 k k 8 j + 2 “r j ( 2 - 2 ) 旷精+ 静 p = 风 2 0 j i ( 2 - 3 ) ( 2 - 4 ) ( 2 5 ) 即应力张量是对称的二阶张量。磊称为k r o n e k e r - 占函数， 铲器曷 p e ， 哈尔滨工程大学硕士学位论文 考虑到应力和应变的对称性，上述应力张量、应变张量和位移矢量的分 量共计有1 5 个未知数，当体力、密度和弹性常数为已知时，( 2 1 ) 、( 2 2 ) 和( 2 3 ) 共计1 5 个方程，这组方程便成为一套完整的方程组，在适当的边界条件和初 始条件下就构成弹性动力学的定解方程。 对于均匀各向同性材料，把( 2 2 ) 和( 2 - 3 ) 代入( 2 1 ) 可得以位移矢量作标志 的运动方程： m 蕞+ 豢+ 硝呐“_ 1 ：，3 p ，) 2 1 2 波动方程的简化及波的分类 在不受体力作用的情况下，位移运动方程用矢量和张量符号表示为： ( 五+ ) v v u + ，刀2 i i = p u ( 2 - 8 ) 按照h c l m h o l t z 定理，任何一个矢量场都可以表示为一个标量场庐的梯度 与一个矢量场t 的旋度之和： u = v 西+ v t ， v - t = o ( 2 9 ) 西和t 称为标量和矢量位移势。将上式代入方程( 2 8 ) 得 v 【( 五+ 2 ) v 2 庐一p 】+ v 【v 2 甲一p 甲】= 0 ( 2 1 0 ) 如果： c ：v 2 庐= c ；= ( t + 2 1 a ) p c ；v 2 y = 圣 2 = t i p ( 2 1 1 ) 1 4 哈尔滨工程大学硕士学位论文 方程( 2 9 ) 便可以满足。这里可以看出，庐和甲分别满足一个标量波动方程 和一个矢量波动方程。 由于波动方程比原始运动方程简单了许多，所以，可以从方程( 2 - 9 ) 构造 出“的解，并使其势能满足波动方程( 2 11 ) 以及边值条件和初始条件。完备性 定理指出：( 2 8 ) 中的每一个解都能分解为式( 2 - 9 ) ，所含有的和甲均满足方 程( 2 1 1 ) ( v 甲= 0 并非唯一条件) 。完备性定理还肯定在弹性固体里仅存在 两种类型的波，其一是以速度c 。传播的声波，其二是以速度传播的t 波。 由于丑 0 和 0 ，故c 。恒大于。这两种波的波速之比仅仅是材料泊松比 v 的函数，用单独符号j r 来表示 r ：垒：( 生丝) z ：( 瓦2 - 2 v ，( 2 - 1 2 ) c s “ l z v 由v 产生的波的速度较快，称为初波( p 波) ，由v x 产生的波称为次 波( s 波) 。为了用别的物理性质来区别这两种波，考虑位移分解式 1 1 1 = u l + u 2 ( 2 - 1 3 ) 式中已记 u 1 = v u 2 = v v( 2 - 1 4 ) 由上式易知 v “u 12 v “( v 妒) 2 0 ( 2 - 1 5 ) v u 2 = v - ( v x 、i ，) = 0 这意味着，谚对应的波无转动变形，仅有体积变形和剪切变形；甲所对 应的波则仅有剪切变形和转动变形。前者由此又称为膨胀波、无旋波、压缩 波、纵波、p 波等：后者又称为旋转波、等体积波、剪切波、横波、s 波等。 哈尔滨工程大学硕士学位论文 图2 1 平面波在固体中的传播 f i g 2 1p r o p a g a t i o no f p l a n ew a v e si ns o l i d e 对于平面波( 波阵面为平面) 而言，p 波为沿传播方向n ( 波阵面的法 线方向) 振动的波，s 波为沿垂直1 1 方向振动的波。由此可见，p 波的振动 方向是唯一的，s 波的振动方向不能确定。我们称在水平面内偏振的s 波为 s h 波( h o r i z o n t a l l yp o l a r i z e dw a v e ) ，在垂直平面上的偏振的s 波称为s v 波( v e r t i c a l l y p o l a r i z e dw a v e ) “”，沿其它方向偏振的s 波都可以由s h 波和 s v 波来合成，如图2 1 所示。 本文研究出平面波动问题，即s h 波的散射问题。这时只有沿着x ，轴方 向的位移分最，即 相应的不为零的应力分量为 1 6 d 0 0 d 2 x 0 o 形 = = = l，-3 “ ” “ 哈尔滨工程大学硕士学位论文 程 根据( 2 1 6 ) ，可将( 2 8 ) 式所含的第三个运动方程简化为单一的标量波动方 v 2 w c x l , x 2 , t 却睾 p 2 2 波动理论中位移和应力的复变函数表示 在直角坐标系中坡动万裎表不为 v 2 = 罟+ 等= 专警 仁 其中： c 。= j 考为介质的剪切波速；p 、分别代表介质的质量密度和剪切 模量。位移函数形与时间的依赖关系为e 1 ”，则位移函数w 满足平面直角坐 标系中的h e l r n h o l t z 控制方程： 并0 2 w + 百0 2 w + 2 w ：0 ( 2 - 2 0 ) 苏2 o y 2 而对应的应力是 k = 百3 w ，r ，= 百o w ( 2 - 2 1 ) k 2 百7 f 。百 。厶“ 引入复变量z = x + i y ，三= x 一y ，在复平面( z ，；) 上，式( 2 2 0 ) 和式( 2 - 2 1 ) 可表 示如下： 0 2 一w + 1 k2 w：0(2-22) 忉p 盟钆里奶 p = = m 哈尔滨工程大学硕士学位论文 = ( 警+ 警) ，k = 弛( 警一警) ( 2 - 2 3 )7 ”2 ( i + i ) ，7 ”2 弛( i i ) 而在极坐标系中，应力表达式( 2 2 3 ) 有： = ( 警+ 詈e “) m = 枷( 罢一警e “) ( 2 - 2 4 ) 2 2 1 入射波和反射波的复变函数表示 根据文献【5 7 1 可知，当入射角为口时，在复平面( z ，艺) 上，入射波、反 射波可以分别写为 班睨芦孔“1 = 睨墨汽啪) 哥 ( 2 - 2 5 ) 矿嘶妒扁“= 呒塾耶) 御 ( 2 _ 2 6 ) 相应的应力可表示为 增= 譬羔n 【j - 1 功叱触) 】【一 ( 2 - 2 7 ) f ；| ) = 譬重儿“m d + 硼儿高】” ( 2 - 2 8 ) = 譬圭i n e t n o m 旷加】【一 ( 2 - 2 9 ) 彬= 孚奎尹批d l j n + l 帅id 】 静 ( 2 _ 3 。) 2 2 2 散射波的复变函数表示 根据文献m 1 可知，在入射角为口的入射波作用下，散射波在复平面 ( z ，艺) 上可以写为 日= 睨m - o 掣瓢比i 叭【青 自1 ( 2 - 3 1 ) i ll l 相应的应力为 = 譬塾畔船) 一黜m 眦【一+ 打”) ( 2 - 3 2 ) 彬= 华塾 爿h r 一( i ) 川卸+ 皑吲功 【一一【打”) ( 2 - 3 3 ) 2 2 3 驻波的复变函数表示 根据文献m 1 可知，s h 波入射时均匀、连续、各向同性的结构内产生的 驻波的复变函数形式可以写为以下任何一种形式 缈。= 妻 d j ( k l z i ) c 。sn p e x p ( _ f w ，) ( 2 - 3 4 ) 形。= 喜 见以g h 杠鬲 ”+ ( 鬲厂 e x p c m 。 c z - s s ， 相应的应力表示为 掣= 譬薹见卜郴恫”1 e 时”e ” 一- + g i ；j i 高 一”+ 1 e 日+ 高 ”+ 1e 1 8 c z s s ， = 半纠j _ l ( k l z 隔h e i e _ 阿z 卜“ 9 一r+。如i；1(高一”+1e目一(高”+1e f 8 c z - ， 2 3 压电学的基本方程 2 3 1 压电效应及压电模量 根据耦合原理的不同，压电效应可分为正压电效应和逆压电效应。某些 介电体在机械力作用下发生变形，使介电体内正负电荷中心相对位移而极化 以致两端表面出现符号相反的束缚电荷，其电荷密度与应力成比例，这种由 “压力”产生“电”的现象称为正压电效应。这种效应常用于测力的传感器 中。常用的力一电转换方式有三种( 图2 2 ) ，分别称为压电性的纵向效应( 力 作用方向和形成的电场方向一致) 、横向效应( 力作用方向和形成的电场方向 垂直) 、剪切效应( 力作用方向与剪切形成的电场方向垂直) 。相反，把具有 压电效应的介电体置于外电场中，电场使介质内部正负电荷中心位移，导致 介质产生变形，这种由“电”产生“机械应变”的现象称为逆压电效应。压 电陶瓷驱动器恰好应用了逆压电效应m “。 哈尔滨工程大学硕士学位论文 li ( a ) + i 一f + + + + + + + + = 卜+ 一一，二= 二一一一 ( c ) ( b ) 图2 2 力一电转换的三种效应 ( a ) 纵向效应( b ) 横向效应( c ) 剪切效应 电极化和介电常数是表征压电体的电行为的两个主要参量。电极化是记 录和传递电介质的电性能的，介电常数则是综合反映介质极化行为的个主 要的宏观物理量。介电常数是二阶张量，在恒定静电场中是对称张量。压电 系数是表征压电体的弹性效应和电极化效应相互耦合关系的宏观物理量。 哈尔滨工程大学硕士学位论文 2 3 2 压电方程 压电方程是关于压电体中电位移d ，电场强度e ，应力张量，和应变张 量之间关系的方程组。它是研究和应用压电体的基础。当压电体处于绝热过 程时，一块不受外力作用的压电材料，在外电场作用下，它的电行为可以用 电场强度e 和电位移d ( 或极化强度) 来描述，它的力行为可以用应力盯和 应变s 来描述。首先取应力盯和电场强度e 为自变量，这时就可以建立如下 形式的压电方程： o t = c i 8 。一e i t e i ( 2 3 8 ) 式中称为弹性刚度系数，= 气；勺称为压电常数，第一个下标表示电场 方向，第二个下标表示应变方向。上式的意义是压电材料的应力是由应变和 电场两部分影响组成。式中第一项氏是表示电场强度e 为零( 或常数) 时 初始应变对应力的影响；第二项弓是电场强度对应力的影响。式中代表 电场强度e 为零( 或常数) 时的弹性刚度系数，通常称为短路弹性常数。 同样的情况，电位移d 也由应变占和电场强度e 两部分影响组成，即 d | = e i u 。+ ；e i ( 2 3 9 ) 上式中的第一项毛是应变引起的电位移，的物理意义是应变恒定时，由 电场强度变化所产生的应力变化与电场强度变化之比，即铲 鼍 ；或是 在电场强度恒定时，由应变变化所产生的电位移变化与应变变化之比，即 哈尔滨工程大学硕士学位论文 气= ( 等) 。第二项e 是在应变为零的情况下，电场强度影响引起的电位 移，式中表示应变占为零