（光学工程专业论文）激光干涉粒子成像测量中的散射光分析.pdf

摘要 激光干涉粒子成像测量技术( i p i ) 是一种新的粒子测量技术，它是利用透明 粒子散射光的干涉条纹图测量粒子尺寸大小，具有速度快、非接触、测量精度高 等优点。其中粒子散射光特性分析是i p i 测量研究中的重要内容，本文围绕这一 主要内容进行了研究，所做的主要工作如下： 1 对激光干涉粒子成像测量的基本理论进行了研究，给出了0 阶反射光与任意 阶数的散射光的干涉测量表达式。 2 研究了m i e 理论的基本理论和计算方法，利用改进的d a v e 算法进行了m i e 散射光强的计算，给出了不同粒径以及不同折射率的散射光强分布。 3 基于几何光学散射模型( g o m ) 进行了分析，针对散射角的多值问题，采用一 种基于m a t l a b 的遍历取值的求解方法进行了求解。利用g o m 对单一阶 数和多阶数散射光强进行了计算，并与m i e 理论进行了比较，g o m 适用于 大粒子。分析了各阶散射光对干涉成像的影响。 4 采用l e n z 连分式算法得到d e b y e 级数散射光强分布，其结果与m i e 理论、 g o m 的解进行了比较。m i e 理论与d e b y e 级数展开计算的散射光强分布相 同，g o m 与d e b y e 级数展开计算的散射光强分布在对大粒径的散射光强计 算时基本相符。利用d e b y e 级数展开计算了各阶散射光的强度分布，分析了 单阶以及多阶散射强度分布对总散射光强的影响。 5 利用m a t l a b 语言和v i s u a lc + + 6 0 语言混合编程，完成了激光干涉粒子成像 测量的软件界面设计。 关键词：干涉粒子测量，m i e 散射，d e b y e 级数，几何光学 a b s t r a c t am e t h o do fi n t e r f e r o m e t e rp a r t i c l ei m a g i n g ( i p l ) f o rm e a s u r e m e n to ft h es i z eo f p a r t i c l e sb yu s i n gi n t e r f e r e n c ei m a g i n go ft h et r a n s p a r e n tp a r t i c l e s s c a t t e r i n gl i g h ti s p r o p o s e d ，w h i c hh a sv i r t u eo ff a s t ，n o n c o n t a c ta n dh i g hp r e c i s i o nm e a s u r e m e n t a s t h ei m p o r t a n tp a r to fi p i ，a n a l y s i so f p a r t i c l es c a t t e r i n gc h a r a c t e r i s t i ci sp r e s e n t e d t h e m a i n w o r ka sf o l l o w sh a sb e e nd o n ei nt h i sp a p e r ： 1 t h eb a s i c t h e o r y o ft h el a s e ri n t e r f e r o m e t r i cm e a s u r e m e n tf o r p a r t i c l e m e a s u r e m e n ti ss t u d i e d t h ef o r m u l ao fi n t e r f e r o m e t r i cm e a s u r e m e n to f0 o r d e r r e f l e c t i o nl i g h ta n da n yo r d e rs c a t t e r i n gl i g h ti sd e d u c e d 2 。t h eb a s i ct h e o r ya n dc o m p u t i n gm e t h o do fm i es c a t t e r i n gi ss t u d i e d c a l c u l a t e s c a t t e r i n gl i g h ti n t e n s i t yb yu s i n gi m p r o v e dd a v ea l g o r i t h m g i v et h es c a t t e r i n g l i g h ti n t e n s i t yd i s t r i b u t i o no fd i f f e r e n ts i z ea n dd i f f e r e n tr e f r a c t i v ei n d e x 3 i na n a l y z i n go ft h eg e o m e t r i c a lo p t i c ss c a t t e r i n gm o d e l ( g o m ) ，t h ep r o b l e mo f s c a t t e r i n ga n g l em u l t i - v a l u e di sr e s o l v e db ya d o p t i n gt h em e t h o do fa n t i s o l u t i o n o ft h es c a t t e r i n ga n g l eb a s e do nm a t l a b d e m o n s t r a t eg o mi so n l ya p p l i c a b l e t ol a r g ep a r t i c l e sf o rl i g h ti n t e n s i t ) ，c a l c u l a t i o nb yc o m p a r i n gt h em e t h o do fm i e s c a t t e r i n gw i t hg o m a n a l y s i st h ei m p a c to fi n t e r f e r o m e t r i ci m a g i n gb yt h e d i f f e r e n to r d e rs c a t t e r i n gl i g h t 4 c a l c u l a t el i g h ti n t e n s i t yd i s t r i b u t i o no fd e b y es e r i e sb yu s i n gl e n zc o n t i n u e d f r a c t i o na l g o r i t h m c o m p a r et h er e s u l t so fm i et h e o r ya n dg o m t h es c a t t e r i n g l i g h ti n t e n s i t yd i s t r i b u t i o nc a l c u l a t e db yt h et w om e t h o d sa b o v ei si d e n t i c a l t h e s c a t t e r i n gl i g h ti n t e n s i t yd i s t r i b u t i o no fl a r g ep a r t i c l e sc a l c u l a t e db yt h em e t h o d s o fg o ma n dt h ed e b y es e r i e s e x p a n s i o ni s s i m i l a r c a l c u l a t ee a c ho r d e r s c a t t e r i n gl i g h to fd e b y es e r i e se x p a n s i o n a n a l y s i st h ee f f e c t so fs i n g l e s t a g ea n d m u l t i - o r d e rs c a t t e r i n gi n t e n s i t yd i s t r i b u t i o nt ot h et o t a ls c a t t e r i n gl i g h ti n t e n s i t y 5 t h ea u t o m a t i ca n a l y s i ss o f t w a r eo fi n t e r f e r o m e t f i cl a s e ri m a g i n gh a sb e e n c o m p l e t e di nm a t l a ba n dv i s u a lc + + 6 0 k e yw o r d s ：i n t e r f e r i n gp a r t i c l em e a s u r e m e n t ，m i e ，d e b y es e r i e s ，g o m 独创性声明 本人声明j ；j 斤旱交的学位论文是本人在导师指导下进行的讲究工作和取得的 研冗成果陈丫文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包酋戈他人已经发衰 或撰写过的研究成果，也不包含为获得叁盗盘堂或其他教育机构的。f 或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在沦文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：4 d , - 签字同期：1 矽罗年9 月争同 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解墨鲞盘堂 有关保留、使用学位论文的规定。 特授权叁注盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查i 斯1 ：1 借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：乏互象 签字i 二1 期：力卯毋：f 罗月午同 导师签名：昌区屯艮 签字闩期：御 穸月乒f 第一章绪论 1 1 粒子测量的意义 第一章绪论 粒子是指尺寸在毫米以下及至微米量级的微小颗粒，其尺寸范围通常在 1 0 “1 m 1 0 。m 之间。粒子广泛存在于喷雾、流体、化工、石油、冶金、消防、环 保、材料、医药、水利、航天航空、燃料燃烧等领域。粒子的尺寸和速度等相关 参数不仅直接影响材料和产品的性能和质量，同时与优化工艺过程，降低能源消 耗，减小环境污染等有着直接或间接的关系。如在粉末冶金行业，粉体材料的特 性是由粉体颗粒的平均直径、粒度分布等重要参数决定的，金属颗粒的生产及其 烧结质量，与金属颗粒尺寸有关。在化学工业及医药行业中，大多数产品都呈粉 末状或颗粒状，这些粒子的特性影响到化学催化剂的活性、颜料的着色能力和药 物的效力等。在瞬时雾场分析中，不仅要求得到粒子的平均尺寸和速度信息，而 且要求得到单个雾滴粒子的瞬时特征，才能了解粒子的不稳定行为和流体结构， 评价热和物质传递过程。在二相流体研究中，常需测量悬浮在液体或气体中的微 粒或气泡的尺寸、浓度、流场速度、表面变形、温度分布等各种参数。这些参数 的精确测量为正确理解流场特性、二相或多相相互作用机理、及进一步研究复杂 流场提供了有效手段。在航空航天领域，火箭发动机喷嘴雾场及燃烧场中的微粒 大小、速度、密度等参数的分布规律，是发动机设计、性能预测和推进剂成分含 量研究的重要依据。随着科学技术、特别是国防、空间技术、微流技术的日益发 展，对粒子的测量提出更高的要求。因此，研究粒子测量技术具有重要的意义。 1 2 激光干涉粒子成像测量技术 粒子测量根据其基本工作原理，可分为非光学法( 如筛选法、沉降法、过滤 法、离心法、库尔特法等) 和光学法( 如照相法、显微法、全息法、光散射法等) 。 这些方法各有自己的特点和应用范围，但光学测量方法具有测量范围广，精度高、 不接触样品、快速、可自动化实时等优点，因此已被确认为是一种先进的、具有 广泛发展前景的测量方法。光学测量方法概括起来有基于衍射的环靶法、光透射 法、基于m i e 散射的响应谱法、激光全息法、图像法、动态光子相关法等，这 些方法中的一些已被商用仪器所采用。 激光干涉粒子成像技术( i p i ) 【l 】是一种相对较新的光学粒子测量技术。它是利 用散射光的干涉图，从中提取粒子信息。其测量原理是激光照射粒子场，来自于 粒子反射和折射的散射光，在粒子的聚焦像面上产生两点像，在粒子离焦像面上 第一章绪论 产生干涉条纹图。粒子的直径与干涉条纹图的条纹数或条纹频率有关。通过测量 条纹数或条纹频率可得到粒子尺寸大小。另外，由于条纹数与照明光束强度无关， 因此，干涉测量是依靠频谱信息。这就表明基于干涉方法的测量精度要高于基于 强度方法的测量精度。 1 3 激光干涉粒子成像测量的光散射理论分析方法 激光照射粒子，粒子发生散射，散射光特性分析是i p i 测量中的重要内容。 研究粒子光散射常用的方法有m i e 散射理论、几何光学模型法、d e b y e 级数展开 模型等。其中m i e 散射理论的计算结果最为精确，但不能给出散射场各种物理 过程的具体解释；几何光学模型法基于几何光学理论，具有原理简单，运算速度 快等优点，但它不适用于小粒子的散射研究。d e b y e 级数将散射光展开成衍射光、 粒子表面直接反射光以及经若干次内表面反射折射光的总和。相对m i e 散射理 论和几何光学近似方法，d e b y e 级数中的每一项都有明确的物理意义，可以对散 射物理过程给予解释，这对理解粒子对电磁波散射的物理过程以及研究粒子的散 射特性有重要意义。 。 在激光干涉粒子成像测量中，通常将待测粒子简化为球形、柱形、椭球等简 单模型。对于小粒径粒子，一般采用m i e 散射或d e b y e 级数方法进行研究。对 于大粒径的粒子，一般采用几何光学方法进行研究。通过对散射光的性质、强度 分布、偏振特性等的研究，分析各阶散射光对干涉成像的影响。目前球形粒子的 散射研究己经较为完善，研究成果被广泛应用于测量中；非球形和非均匀粒子由 于其本身性质的不确定性，散射特性的研究相对复杂，尚处于理论研究阶段。 1 4 光散射理论分析的国内外研究发展状况 粒子散射的基本理论是m i e 散射理论。l o r e n z 和m i e 两人分别于l8 9 0 年和 1 9 0 8 年求解了均匀介质球形粒子对平面电磁波的散射，称为l o r e n z m i e 理论。 但m i e 散射计算非常复杂，并且对m i e 理论直接编程将会导致严重的计算错误， 这尤其表现在对复变量b e s s e l 函数的计算上。 1 9 6 8 年d a v e 2 】针对m i e 散射计算中的复变量b e s s e l 函数无法计算的问题， 发表了m i e 散射的完整的算法，由迭代因式推导出了d a v e 算子，可以对l o o p m 以下的粒子进行精确计算，但采用迭代的方法对大粒径粒子计算仍会产生溢出。 l e n t z 3 】和w i s c o m b e 4 分别针对d a v e 算法提出了改进。w i s c o m b e 详细讨论了 d a v e 算法的迭代次数与粒径的关系对计算结果的影响，对迭代次数进行了预判， 2 第一章绪论 得到了准确的结果，但对复折射率较大的粒子计算仍然会产生溢出。l e n t z 对 m i e 散射迭代式中的每一项d a v e 算子均采用l e n t z 连分式进行计算，从而避免 了迭代计算时产生的计算溢出，但是对每一项d a v e 算子单独进行计算，将会增 大计算的时间。 h a n s e n 5 将m i e 散射计算应用于水中气泡的散射研究，分析了粒径与光强的 分布关系。h o n gd u 6 1 将三角函数的变换性质引入到m i e 散射的研究中，提高了 计算速度。 m i e 散射是对光强的总体计算，而实际分析时，有时需要利用分阶的离散的 散射光来研究散射特性。d e b y e 展开模型将散射波展开成散射波的衍射、粒子表 面直接反射以及经过多次内表面反射后透射出来的散射波的总和。d e b y e 级数中 的每一项都有明确的物理意义，它可以获得电磁散射中各种过程的物理解释，是 对m i e 散射的离散化。 l o c k 7 将d e b y e 级数分析用于m i e 散射光强的计算中，并给出了部分散射角 与散射光强的分布图。h o v e n a c 【8 】对m i e 氏散射与d e b y e 级数散射法进行了比较， 说明了低阶的散射光占据大部分的散射光强。 m i e 散射和d e b y e 级数法在计算粒径较大的粒子光强时，其计算速度较慢， 且粒子折射率虚部较大时会产生计算溢出。几何光学模型方法对散射过程做了几 何近似，计算较快，适用于研究大粒子的散射。 w e m e rj g l a n t s c l m i g 9 】等人提出了几何光学散射模型，并利用几何近似方法 研究了水滴中的光散射，给出了初步的计算结果。x i a o b i n gz h o u 1 0 】等编写了计 算大导体球粒子光散射的几何光学程序，并与d e b y e 级数散射法进行了比较， 论证了几何光学方法的合理性和适用性。x uf e n g 1 1 】等人利用几何近似方法研究 了双层球粒子前向散射问题，所得结果与m i e 氏散射理论吻合很好。h a i t a oy u 1 2 】 等对相对折射率m 1 s c a l l l n r 目 - i o 图2 4 反射光和l 阶折射光的光强分布( 聊 i ) 第二章激光干涉粒子成像技术 图2 - 50 阶和1 阶散射光光路图( 朋 1 ) 根据干涉理论，当两相干光的振幅越接近时，条纹的可见度越好。图2 4 所 示为m = 1 3 3 ，粒子半径为d = 1 0 0 0 m ，波长为五= 0 6 5 9 m 的p = - o 和p = i 阶光的 强度分布，p 表示散射光的阶数，实线表示平行偏振光，虚线表示水平偏振光。 从图2 4 中可以看出，两阶光线的垂直偏振光和水平偏振光光强都有交点，即在 交点处光强大小相同，且垂直偏振光交点处的光强数量级大于1 0 6 ，略小于最大 光强的数量级，说明此时的光强很大。因此可以利用这两阶的光线，在曲线交点 附近的散射角度来观测干涉成像。 对m 1 ，0 阶反射光和1 阶折射光的散射光的光程如图2 5 所示，其中曰是 散射角；q 。是0 阶光线的入射角，是其补角；岛，是1 阶光线的入射角，f 门是 其补角；只，是1 阶光线的折射角，f ，是其补角。根据几何光学，0 阶和1 阶散 射光之间的相位差为【2 1 】 q 一= 掣( 肼f ，l + z i 0 - - s i nr，oo s i ns i n1 - is mr i i ) ( 2 6 )仃l 一 2 = - 一【，竹f r l +i ) 【= z 。o ) 几 式中q 为折射光相位，c r n 为反射光相位，d 为粒子直径，五为入射光波长。 在a d o c 中，只o + 0 l + e l = 7 ，则有 o = r l 一l ( 2 - 7 ) 其中，f ，。= = ，即有 曰 s l n j 2 s l n 。2s l n f ，ic 。s f ，l c 。8 。r r ls l n q l ( 2 8 ) 根据折射定律，s i n # 。i = r o s i nt ，, l ，得 c o s t l2m c o s 0 1 因此，式( 2 6 ) 中的因式m s i n 0 。一s i n r , i 可表示为 ( 2 - 9 ) 第二章激光干涉粒子成像技术 m s i n f ，一s i nr i 。= ( s i n i 。一竺丑) 朋：( s i nr ，。一 ，n 由式( 2 7 ) ，有， 将式 则， = ( s i nt r lc o st i l c o sr ，ls i n0 1 ) m c o s ( i l o + f 订) = c o s q i s mr l c o s t i l c o s t r l l m 0 ( 2 - 1 0 ) zs l n c o s t i lc o s t i l mc o st i oc o s0 l m s i nt t os i nt i l2c o st i l ( m c o s f f o 一1 ) c o s f i l = ms i n t l o ( m 2 2 m c o sz - 加+ 1 ) c o s r ：= m 2s i n r ： 目 肌s 1 n c o sf= = = = = = = = = = 三兰= = = = = = ， ”m 2 - 2 m c o s r f o + l ( 2 - 11 ) 代入式( 2 一l o ) d p ，得 m s i n 。一虹n = 朋2 2 研c 。s 詈+ 式( 2 6 ) 可表示为 印c r 0 = 掣( s i n 詈+ m 2 - - 2 m c o s - p + 1 i t 仃l c r 02 - - 【s m = + z 对式( 2 - 13 ) 两边求差分，相邻干涉条纹之间的相位差为2 7 r ，可得， 。飞，= 等阳+ 粒子直径d 为 ms i n ( o 2 ) 肚丝a 0 障2 + l ms i n ( o 2 ) ( 2 - 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 - 1 3 ) a 0 = 2 x ( 2 - 1 4 ) _ l ( 2 - 1 5 ) 粒子干涉图像条纹数与收集角口、相邻干涉条纹之间的散射角差值a 0 之 间有如下关系式：n = 口a o ，代入式( 2 1 5 ) ，得【2 l 】 。= 半k + 口iz ms i n o 2 - l ( 2 - 1 6 ) 式( 2 1 6 ) 给出了粒子的直径d 的计算表达式，粒子的直径d 正比条纹数n ， 反比干涉条纹的角问距口。通过测量或a a ，即可得到粒子的直径d 。 9 第二章激光干涉粒子成像技术 2 2 2 2m l 图2 - 6 给出了m = o 7 5 ，粒子半径d = 1 0 0 0 “m ，波长a = 0 6 5 9 m 时反射光与1 阶折射光的强度分布图，其中p 表示散射光的阶数，实线表示平行偏振光，虚线 表示水平偏振光。 图2 - 6 反射光和1 阶折射光的光强分布( m 1 ) 从图2 - 6 中可以看出，两阶光线的水平偏振光光强有交点，即在交点处光强 大小一致，且交点处的光强数量级大于1 0 6 ，略小于最大光强的数量级，说明此 时的光强很大。因此可以利用这两阶的光线，在曲线交点附近的散射角度来观测 干涉成像。 图2 70 阶和1 阶散射光光路图( m 1 ) 对m 1 ，反射光和l 阶折射光的散射光的光程如图2 7 所示，其中0 是散射 角；只。是0 阶光线的入射角，是其补角；1 9 f 是1 阶光线的入射角，g i 。是其补 角；o r ，是l 阶光线的折射角，f ，是其补角。根据几何光学，0 阶和l 阶光之间 的相位差为 仃1 一口。= 2 z r d - n l 一n t i o - ( 埘n t r l - - $ s i n s i n s i n f f l ) 】( 2 1 7 一)仃1 一口o2 _ 埘 f f l ) 】【2 。 l o 第二章激光干涉粒子成像技术 田瞄。i z j ，伺 旰c r 0 = 华詈一m 2 - 2 m c o s 口- - + ( s i n m 2mcosit 1 )( 2 1 8 )q c r 02 _ 。 ：一 1 )( 2 1 8 ) z 对式( 2 1 7 ) 两边求差分，相邻干涉条纹之间的相位差为2 z t ，有， ( 0 1 - - 咿半【c o s 詈t n 詈( m - 2 m c o s 知 m 砌( 2 - 1 9 ) 对式( 2 1 9 ) 变换后得到 秒：旦【c o s8 _ _ ms i n8 ( m - 2 m c o s 旦+ 1 ) 一寸i - ( 2 - 2 0 ) d n 。 222 。 将n = 口a o 代入式( 2 2 0 ) 得2 1 1 d ：2 五_ l n c 。s 一8 一聊s i n 旦( m 2 2 m c 。s 旦+ 1 ) 一i i 】一1 ( 2 - 2 1 ) t ；t n222 i 、，j 2 2 30 阶反射光和2 阶散射光干涉成像的测量公式 2 2 3 1m 对，l ，0 阶反射光和p 阶折射光的相位差为 中咿等( m m ，“。“n f ，1 ) ；孕n ；+ 卜：知ml = 等蛳n 争f = 可m 毕乒巧+ 嚣薯 对式( 2 2 4 ) 两边求差分得 第二章激光干涉粒子成像技术 ( o p - - ( 7 0 ，= 争c o s 鲁0 - - 2 ( m 2 - 2 t a c o s 知 + = 2 万 相邻干涉条纹之间的散射角差值为 m 2 2 m c o s 旦+ l 2 目=马c。s旦+msin昙(m22mc。s旦+1)一j1d2 2 2 、 + 】a 0 粒子直径d 为 一2 m c o s 旦+ l 2 d = 半 c o s _ + r o s i n - - 8 7 ( m 2 _ 2 m c o s 22 一；口 2 + 2 2 4 2m 1 m 2 2 mc o s 旦+ 1 2 对m 1 ，0 阶反射光和p 阶折射光的相位差为 o p 0 0 1 = 2 n d n l( p m s i n f ，l + s i n f f o s i n r ，1 ) = 半俩1 1 1 = r 一一 九 z 2 r t d n 2 ，r d n l ，0 ( s m j 一 + ( p 一1 ) ms i n f ，1 ) n 争乒巧+ 茸军0 对式( 2 - 2 6 ) 两边求差分得 1 4 】一 】_ l ( 2 2 5 ) 1 ( 2 2 6 ) 第二章激光干涉粒子成像技术 ( 仃，一仃。) = z r d 五n , | c 。s 詈- r o s i n8 - 2 ( m 2 - 2 m c o s 詈+ 1 ) 一； +二三二!三兰竺三叁仨二二三二掣：二：兰!：二!：墨二!二】口 m 一2 m c o s 二- j 1 2 相邻干涉条纹之间的散射角差值为 a 0 ：2 7 c 。s 旦一m s i n 旦( m ：一2 m c o s 旦+ 1 ) 弓dn 22 、 2 7 + ( p - 1 ) 2 s i n 2 ：m - 2 m c o so - - ：+ l - m ：s i n ：= ) ( m 2 二三：墨：! ! 一 肌2 2 m c o s 旦+ 1 1 粒子粒径d 为 。= 等阳s 詈- r o s i n2 0 - - ( m ：- 2 m c o s 知 + ! ! 二! ! 兰：竺墨= ! ：二：兰：! 二：竺墨! ：二：墨三! ：二：兰：! ! 二一2 - 2 6 m 2 2 m c o s 旦+ 1 。 由式( 2 - 5 ) 可知，p 3 的折射光与1 阶折射光的光强数量级相差远大于1 0 0 倍，且由第四章、第五章分析得知，散射角的多值性会导致光强的剧烈震荡，不 利于干涉成像，因此可以忽略高阶散射光的影响。 2 3 小结 本章介绍了激光干涉粒子成像技术的光路系统和测量原理。对该技术的基本 理论，高阶散射光对干涉成像的影响进行了研究，并给出了0 阶反射光与任意阶 数的散射光的干涉测量表达式。 第三章m i e 散射理论及其计算 第三章m i e 散射理论及其计算 本章从m i e 散射的几种基本算法出发，详细分析了m i e 散射的计算方法，根 据散射系数和消光系数的计算数据判断算法的准确性，给出了的计算实例。 3 1m i e 散射的基本理论 严格的光散射电磁场理论是基于光的电磁波性质，利用m a x w e l l 方程组对散 射颗粒形成的边界条件求解，可以得到各个光散射物理量。但严格解法受到许多 限制，对于一些复杂问题，如相关散射、复散射、非球形颗粒等，至今尚难于给 出精确的结果。m i e 理论是对均匀球体在平面单色光照射下求得的严格数学解， 适用于任何粒子尺寸。在m i e 理论的完整公式中，严格地给出了不同尺度、不 同折射率的粒子的散射特性。 在研究球形颗粒的散射问题时，通常引入无因次参量口= 2 z d 2 ，其中a 是 入射光在真空中的波长，d 是球形颗粒的半径。 x z 图3 - 1m i e 散射示意图 y 在图3 - 1 中，设入射光为沿z 轴正向射入的完伞偏振光，电矢量沿x 轴方向， ，为散射光观察点与散射颗粒的距离，散射角为护，观察点与z 轴组成的平面记 为散射面，妒为入射光振动面与散射面之间的夹角，则垂直于散射面的散射光强 ，上和平行于散射面的散射光强，以及总散射光强。的表达式分别为【2 2 1 l = 等l 蹦口) 1 2 埘n 2 缈= 番堋) 小i n 2 伊 ( 3 - 1 ) 耳= 番l 跚) 1 2 1 0c o s 2 a = m 4 笔：咿) 小伊 l = 粤 w ) s i n 2 伊州口) c o s 州 对球形颗粒，强度函数( 口) 和不( 口) 以及振幅函数s l ( o ) s n 墨( 臼) 与散射角口、 1 6 第三章m i e 散射理论及其计算 颗粒相对周围介质的折射率m 及表征粒径大小的粒径系数口有关，与方位角p 无 关。强度函数( p ) 和岛( p ) 为 i ( 口) = l s l ( p ) 1 2 ( 3 2 ) 【毛( 目) = i 是( 口) 1 2 式中振幅函数墨( 口) 和是( 口) 是由b e s s e l 函数和l e g e n d r e 函数组成的无穷级数， 其表达式为陶 喜糟口” p 3 ， 删郴2 n + 十l 弘f 。+ 饥死 一 其中口。、以称为m i e 系数，是m 和口的函数；丌。和f 。与散射角口有关，分别由 下列表达式表示【2 2 】 口：丝! 竺! 竺：! ! 竺竺! 二竺竺：! ! 竺! 翌。! 竺竺! h “一篇嬲：二黜鬈； ：p 4 ， 6 ：竺丝! 竺2 竺：! ! 竺竺! 二竺! ! 竺2 丝! 竺竺! 、。 “ m 点( a ) 缈。( m o t ) 一善。( 口) ( m 口) 以：幽：d & ( c o s o ) ” s i np dc o s 口 f ：型垫! 塑 ” d 目 ( 3 5 ) 其中，吼( z ) 和彘( z ) 是关于半整数阶b e s s e l 函数和第二类h a n k e l 函数的函数， 伊。( z ) 和孝。( z ) 分别是纯( z ) 和己( z ) 的一阶导，其分别可表示为2 刁 ( z ) = ( 等) i + 三( z ) 六( z ) = ( 竿) i 日? ( z ) ( z ) = ( 等) j ，( z ) 】 ，月+ 一 彰( z ) = ( 等) i 日2 1 ) ( z ) 】 ( 3 - 6 ) ( 3 7 ) 式中，z = m 口或z = 口，m 是一个复数，虚部表示颗粒对光的吸收。 ( c o s 0 ) 和 p ( c o s o ) 是关于c o s 秒的l e g e n d r e 和一阶缔合l e g e i l d r e 函数和h 是半整数阶b e s s e l 函数和第二类h a n k e l 函数。m i e 散射计算的关键是振幅函数 1 7 = i | 、j ) & s ，j、，【 第三章m i e 散射理论及其计算 墨( 臼) 和s 4 0 ) 。由式( 3 _ 4 ) 知，振幅函数是一个无穷求和的过程，理论上无法计算。 但是当叠加次数n 增大到一定数值时，振幅函数收敛于某一个值，把这一收敛值 定为振幅函数的数值。求解振幅函数的关键是计算巳和乞，所以m i e 散射的计 算难点是求解q 和屯。 3 2m i e 散射的计算方法 目前，m i e 散射计算的主要方法分为基本迭代法，d a v e 算法【7 1 和l e n t z 5 1 连分 式算法。基本迭代法原理简单，但会产生计算溢出。d a v e 算法和l e n t z 连分式 算法较为复杂，但计算结果比较准确。 3 2 1 基本迭代计算法 基本迭代计算法是分析m i e 散射计算的基础。根据b e s s e l 函数和h a n k e l 函 数的性质，m i e 散射系数中的相关参数可以由以下的递推公式给出f 2 2 】 织( z ) = 丝型织一。( z ) 一吼一：( z )( 3 8 ) z 色( z ) = 三竺兰邑一，( z ) 一六一：( z ) ( 3 9 ) 初始条件为 伊。( z ) = 纯一。( z ) 一兰纯( z ) z 孝- 。( z ) = 一。( z ) 一n - - 孝t z ) z 【z ) = s i l l z 仍( z ) ：三s i n z c 。s z 彘( z ) = s i n z + c o s z 孝。( z ) ：三( s i n z + f c 。s z ) 一( c 。s z f s i i l z ) 和2 n 的递推公式和初值条件如下 死_ c 0 8 i 了1 死一t 一忑死一： 2 刀一 刀 气= 万nc o s 0 一( 刀+ 1 ) t r 月一。 万l = 17 l 2 = 3 c o s 0 ( 3 一l o ) ( 3 - 1 1 ) ( 3 1 2 ) ( 3 - 1 3 ) ( 3 1 4 ) ( 3 - 1 5 ) ( 3 - 1 6 ) ( 3 - 1 7 1 ( 3 1 8 ) 第三章m i e 散射理论及其计算 z i = c o s 0乞= 3 c o s ( 2 0 ) ( 3 1 9 ) 根据递推公式和初值，由式( 3 3 ) ( 3 18 ) 可以计算m i e 散射光强。对于迭代的 截止次数刀，由经验公式可得1 卅 刀，娜= 口+ c 口3 + b( 3 - 2 0 ) 其中，c 在4 和4 5 之间取值，b 在1 和2 之间取值。 基本迭代法有潜在的缺陷：对于散射颗粒，折射率m 为复数时，朋口含有虚 部，当其虚部较大时，计算m i e 散射系数将会产生溢出。这是因为在m a t l a b 或v c + + 编译器当中，数据的表示范围均在1 0 - 3 0 s 1 0 3 0 8 之间。在计算 ( 聊口) = s i n ( t u r f ) 时，若m 为复数，则 +kel(a+bi)_e-i(a+b1)：eiae-b_e-iaeb(3-21)sin(a b i+ l ：= 2 彳2 ， 其中b = i m 忉皿，i m ( m ) 为m 的虚部。当粒径系数口很大，使b = 7 1 0 时， e 7 1 0 2 2 3 & 1 d 叭已经超出编译器的数据范围，计算会溢出。所以对于大粒径的 粒子，采用基本迭代法计算散射光强会产生溢出，同时迭代次数增加也会产生迭 代的累积误差。因此基本迭代计算法的适用范围十分有限。 3 2 2 改进的d a v e 算法 d a v e 提出了改进的递推算法，并对离子半径小于l o o g m 的粒子实现了精确 的m i e 氏散射计算。但是对于大粒径的粒子没有进行讨论。本文采用后项递推 的方式【l o 】，并单独考虑了迭代因式的截止次数，使m i e 氏散射的计算更加准确， 计算的范围更广。 在式( 3 4 ) 中，分子分母均有因式纯( 聊口) 和伊。( 聊口) ，该因式会产生计算溢出。 因此若将这两个因式用其他表达式替换后进行计算，则可避免计算溢出。将式 ( 3 _ 4 ) 可改写为【列 设以( m 口) ：掣，称为迭代因式，则由式( 3 9 ) 可得到 【朋口， 弛一似 似一似 棼墓端 第三章m i e 散射理论及其计算 由式( 3 7 ) - ( 3 - l o ) ，迭代因式a 。( m 口) 可表示为 彳。( 删口) = 一旦+ ，舸口 1 旦一州( 肌口) ，竹口 ( 3 - 2 4 ) 选取初值4 ( 聊口) 后，可由式( 3 2 3 ) 进行递推计算。由文献川可知，这种前项 递推是不稳定的，后项递推总是稳定的。将式( 3 2 3 ) 改为后项递推的形式，为 钆( 懈) 2 去一丽南( 3 - 2 5 ) 以一( m 口) 2 磊一再面i 丽丽 ) 其初值为彳。( m x ) = 0 。式( 3 1 9 ) 取值改写为 刀。= 口+ 4 口“+ 2 ( 3 - 2 6 ) 利用式( 3 2 4 ) 递推计算可求出给定次数甩的迭代因式的值。再将其代入( 3 - 2 3 ) 便可以计算出m i e 散射系数。 迭代次数的经验公式( 3 1 9 ) 增加大粒子的迭代次数，保证m i e 散射系数的收 敛性。对于较大折射率的粒子，即使考虑了口对迭代因式收敛性的影响，式( 3 2 6 ) 给出的迭代次数仍无法保证结果的准确性，过大的收敛次数又会带来无效的收敛 计算。因此对于大粒子，本文将其迭代因式的截止计算次数的经验公式记为 m 。= m a x ( n , , o p ，r e ( m a ) ) + 7 0 ( 3 2 7 ) 由式( 3 2 6 ) ，对于较大折射率的粒子考虑m r 2 的影响，适当增加计算迭代次数， 这里选取m 口的实部。而对于较小粒径的粒子，截至次数仍使用刀。这样将迭 代因式的截止次数l 泖单独进行考虑，避免了使用单一的截止次数，l 卿时，m i e 散射系数与迭代因式收敛速度不一致所导致的计算误差，并避免了无效的迭代计 算。 3 2 3l e n t z 连分式算法【3 l 对于d a v e 算法，无论是采用前项递推还是后项递推，都将有舍入误差的积 累，这使得d a v e 算法只能对粒径约为1 0 0 1 t m 以下的粒子进行m i e 散射的准确计 算。针对这一问题，l e n t z 提出了计算a ( m o t ) 的连分式算法，这也是最准确的一 种算法。由式( 3 6 ) 有 坐水竺似 玉坠缸 似一位们一 一一一一 、i 栅坐川 兰小n 一小 一一一一 第三章m i e 散射理论及其计算 纵嬲) ：- 去+ 描一老+ 寿j ( 丽m e t ) ( 3 - 2 8 ) ，、 1 m 口 妒。【m 口) m 口， 1 【m a ) 为讨论方便，给出连分式算法的简写表达式如下【5 】 f = a l + a 2 + 口4 十 a + 1l11 = a - i a 2 + a 34 - a 44 - a 5 + 为了书写方便，记为 厂：a i , 0 2 ，- - 】- 口1 + 一1 1 1 1 口24 - t 3 + a 44 - a 54 - 则有 ( 3 - 2 9 ) ( 3 3 0 ) 2 c a