（电路与系统专业论文）复数参考独立分量分析算法及其fmri应用研究.pdf

大连理丁大学硕士学位论文 摘要 独立分量分析( i n d e p e n d e n tc o m p o n e n ta n a l y s i s i c a ) 是二十世纪九十年代兴起的一 种高效信号处理方法。它在不知道源信号和混合矩阵的情况下，仅利用混合信号就能实 现源信号分离，因此在通信和生物医学信号处理等领域得到了广泛应用。尤其是近年来 引入源信号先验信息的半盲i c a 研究，将分离性能又提高了一个台阶。 然而，目前对i c a 和半盲i c a 算法的研究大都局限于实数域，无法满足实际复数信 号的分离问题。例如，功能磁共振成像( f u n c t i o n a lm a g n e t i cr e s o n a n c ei m a g i n g ，f m r i ) 信号就是典型的复数混合信号，其幅值和相位均含有独立的信息。但鉴于实数i c a 的成 熟性和简单性，多数人仅对f m r i 信号的幅值数据进行了分析，造成了一定的性能损失。 为此，本文研究了复数i c a 算法以及复数源信号先验信息的引入方式，在约束优化框架 下开展了复数域半盲算法一参考独立分量分析( i c a w i t hr e f e r e n c e ，i c a r ) 研究。 本文主要工作如下：( 1 ) 对复数i n f o m a x 、j a d e 、c f a s t i c a 、k m 和s u t 等算法进 行了深入研究和编程实现。( 2 ) 基于约束优化理论探索了向全盲算法中嵌入先验信息 的方法，研究了f m r i 数据特点、先验信息类型及其利用方法。( 3 ) 根据对不同复数算 法的理论研究结果，采用复数k m 算法的复变量峭度作为代价函数，将复数信号的幅度 信息以不等式约束形式引入，推导了基于峭度最大化的复数i c a r 梯度算法。计算机仿 真和性能分析结果表明，该算法性能明显优于全盲复数i c a 算法。( 4 ) 针对梯度算法 对步长敏感的问题，推导了基于峭度最大化的复数i c a r 定点算法。该算法能达到像实 数f a s t l c a 算法一样的立方收敛速度，同时不需考虑峭度正负和步长调节。( 5 ) 利用 f m r i 的幅度信息构建了参考信号，应用本文算法从视觉运动刺激下全脑复数f m r i 数 据中有效抽取了与任务相关的左右脑信号及d m ( d e f a u l tm o d e ) 信号。实验结果验证了 本文算法的有效性。 关键词：独立分量分析；参考独立分量分析；半盲分离算法；复数信号；功能磁共振成 像 大连理t 大学硕十学位论文 c o m p l e xi c a ra l g o r i t h m sa n di t sa p p l i c a t i o nt of m r i a b s t r a c t i n d e p e n d e n tc o m p o n e n ta n a l y s i s ( i c a ) i sah i g hp e r f o r m a n c es i g n a lp r o c e s s i n gm e t h o d r i s e di n19 9 0 s i c ac a na c h i e v es o u r c es e p a r a t i o nb yo n l yu s i n gm i x i n gs i g n a l s ，w i t h o u t k n o w l e d g eo fs o u r c es i g n a l sa n dm i x i n gm a t r i x t h e r e f o r e ，i c ah a sb e e nw i d e l yu s e di n c o m m u n i c a t i o n s ，b i o m e d i c a ls i g n a lp r o c e s s i n ga n do t h e rf i e l d s 。e s p e c i a l l y , s e m i - b l i n di c a w h i c hi n c o r p o r a t e ss o m ep r i o ri n f o r m a t i o ni sw e l ld e v e l o p e di nr e c e n ty e a r sa n df u r t h e r i m p r o v e si c ap e r f o r m a n c et oah i g h e rl e v e l h o w e v e r m o s to ft h ep r e v i o u sw o r k sr e s t r i c ti c aa n ds e m i b l i n di c at oa n a l y s i so f r e a l v a l u e dd a t a ，w h i c hc a nn o tm e e tt h en e e df o rs e p a r a t i n gc o m p l e x - v a l u e ds i g n a l s f o r e x a m p l e ，f u n c t i o n a lm a g n e t i cr e s o n a n c ei m a g i n g ( f m r i ) s i g n a li sat y p i c a lc o m p l e x - v a l u e d m i x e ds i g n a l ，a n dt h em a g n i t u d ea n dp h a s eo fw h i c hc o n t a i ni n d e p e n d e n ti n f o r m a t i o n h o w e v e r , m o s tw o r k so n l ya p p l yi c at oa n a l y z et h em a g n i t u d eo ff m r id u et om a t u r i t ya n d s i m p l i c i t yo fr e a l v a l u e di c a ，w h i c ha c c o r d i n g l yc a u s e dl o s so fp e r f o r m a n c e a ss u c h ，t h e t h e s i sf o c u s e so nh o wt oi n c o r p o r a t ep r i o ri n f o r m a t i o ni n t oc o m p l e xi c a a l g o r i t h m s ，a n do n d e v e l o p m e n to fc o m p l e x - v a l u e di c aw i t hr e f e r e n c e ( i c a r ) u n d e rt h ef r a m e w o r ko f c o n s t r a i n e do p t i m i z a t i o n t h em a i nw o r k sa r ea sf o l l o w s ( 1 ) w ee x a m i n ea n di m p l e m e n ts e v e r a lc o m p l e xi c a a l g o r i t h m ss u c ha si n f o m a x ，j a d e ，c f a s t i c a , k ma n ds u t ( 2 ) w ee x p l o r em e t h o d st o i n c o r p o r a t ep r i o ri n f o r m a t i o ni n t ot h eb l i n da l g o r i t h m sb a s e do nc o n s t r a i n e do p t i m i z a t i o n t h e o r y ( 3 ) w i t h i nt h ef r a m e w o r ko fc o n s t r a i n e di c a ，w ep r o p o s eac o m p l e x v a l u e d g r a d i e n t b a s e dk m ra l g o r i t h m s i m u l a t i o n sr e s u l t ss h o wt h a tt h ep r o p o s e da l g o r i t h mh a s m u c hi m p r o v e dp e r f o r m a n c ec o m p a r e dt ot h eb l i n dc o m p l e xi c aa l g o r i t h m s ( 4 ) w ep r o p o s e ac o m p l e x - v a l u e df i x e d p o i n tk m ra l g o r i t h m ，w h i c hr e t a i n st h ed e s i r a b l ep r o p e r t i e so f f a s t l c as u c ha sc u b i cc o n v e r g e n c ew i t h o u te s t i m a t i o no ft h es i g no fk u r t o s i sa n da d j u s t m e n t o fs t e p s i z e ( 5 ) u t i l i z i n gt h em a g n i t u d ei n f o r m a t i o na b o u tt h ed e s i r e df m r is i g n a la s r e f e r e n c e ，w ea p p l yt h ep r o p o s e da l g o r i t h mt o e x t r a c tt h r e et y p i c a l s p a t i a lc o m p o n e n t s a s s o c i a t e dw i t ht h et a s ko fv i s u a l m o t o rs t i m u l if r o mt h ew h o l eb r a i ni m a g e sd a t a r e s u l t sf o r i c a a n a l y s e so fr e a lf m r id a t as h o wt h ee f f e c a c yo ft h ep r o p o s e da l g o r i t h m k e yw o r d s ：i n d e p e n d e n tc o m p o n e n ta n a l y s i s ；i c aw i t hr e f e r e n c e ；s e m i - b l i n di c a ； c o m p l e x v a l u e ds i g n a l ；f u n c t i o n a lm a g n e t i cr e s o n a n c ei m a g i n g 大连理工大学学位论文独创性声明 作者郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究 工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用内容和致谢的地方外， 本论文不包含其他个人或集体已经发表的研究成果，也不包含其他已申请 学位或其他用途使用过的成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献 均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。 学位论文题目：复数叁耋独童佥量佥盘簋洼区基丛壁! 廑周堡窒 作者筝名：艇啕一 吼丛年卫月卑日 大连理1 二大学硕士研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关学位论文知识产权的规定，在校攻读学位期间 论文工作的知识产权属于大连理工大学，允许论文被查阅和借阅。学校有 权保留论文并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，可以将 本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印、或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 学位论文题 作者签名： 导师签名： 大连理工大学硕士学位论文 1 绪论 1 1 研究背景与意义 独立分量分析( i n d e p e n d e n tc o m p o n e n ta n a l y s i s ，i c a ) 是2 0 世纪9 0 年代后期发展起 来的一种新的信号处理和数据分析方法，是解决盲源分离( b l i n ds o u r c e ss e p a r a t i o n ，b s s ) 问题的一种有效途径。现在i c a 已经成为数据分析领域的有力工具，广泛应用于语音分 离、生物医学信号处理、金融数据分析、图像消噪、人脸识别等众多领域。 1 9 8 6 年4 月h e r a u l t 和j u t t e n 首次提出t b s s 的概念【1 】，并被认为是盲信号研究的开始， 自此盲分离问题引起了广泛的关注。盲源分离是指仅利用源信号的多个观测( 混合) 信号 去恢复源信号的各个独立成分。所谓“盲”是指信号的信源信息和信道信息都是未知的。 1 9 9 4 年c o m o n 提出了i c a 的概念，给出了i c a 的数学模型，并使用i c a 很好地解决了b s s 问题i2 1 。随后d e l f o s s e 币i l o u b a t o n 证明了可以用最大化输出信号的峭度来解决i c a 问题【3 j ， 这实际上将统计学中的投影追踪( p r o j e c tp u r s u i t ) 和i c a 问题联系起来，为i c a 的研究 开创了一条新的道路，从而使得最大化非高斯性成为解决i c a 的一个重要方法。迄今为 止，i c a 己形成基于信息论、统计学、神经网络等理论的几大类算法。例如，a m a r i 等人 的最小互信息法和自然梯度算法【4 】；b e l l 等人的信息最大化法【5 1 ；p e a r l m u t t e r 等人的最大 似然估计法【6 】；c a r d o s o 的高阶矩法( 7 】；k a r h u n e n 等人的非线性主分量分析法【8 】；g i r o l a m i 等人的负熵最大化法【9 】等等。 根据所分离信号的类型不同，i c a 算法可分为两类，即分离实值信号的实数i c a 和 分离复值信号的复数i c a 。迄今为止，实数i c a 得到了极为全面而深入的研究，现有i c a 算法几乎都是在实数域率先提出。相比之下，由于复数信号处理的复杂性，复数i c a 的 研究不够全面，算法数量有限。目前典型的复数i c a 算法有复数信息最大化( i n f o m a x ) 算法【1 0 - 】、特征矩阵联合近似对角化( j o i n ta p p r o x i m a t i v ed i a g o n a l i z a t i o no f e i g e n m a t r i x ， j a d e ) 算法【1 2 】、复数f a s t i c a 算法( c f a s t i c a ) 【13 1 、s u t ( s t r o n g l yu n c o r r e l a t i o nt r a n s f o r m ) 算法 1 4 】、峭度最大化算法( k u r t o s i sm a x i m a t i o n ，k m ) 【1 5 】、复数最大似然算法( c o m p l e x m a x i m u ml i k e l i h o o d ，c m l ) 1 6 】、复数负熵最大化算法( c o m p l e xi c ab yn e g e n t r o p y m a x i m i z a t i o n ，c m n ) 1 7 1 等。由于实际应用中存在一些复数混合信号，如功能磁共振成 像( f u n c t i o n a lm a g n e t i cr e s o n a n c ei m a g i n g ，f m r i ) 信号【l 引、雷达和通信信号，需要用独 立分量分析的方法对其进行分离，复数i c a 研究正在得到人们越来越多的关注，复数i c a 理论逐渐成熟，复数新算法研究正在成为i c a 研究的新热点。 复数独立分量分析算法及其t m r i 应用研究 另外，按照分离过程中是否明显地利用关于源信号或混合过程的先验信息，i c a 算 法可以分为全盲算法和半盲算法。顾名思义，不利用源信号或混合过程先验信息的传统 i c a 算法属于全盲算法，而在i c a 分离过程中直接利用先验信息，而不是在盲分离后处 理中间接利用先验信息的i c a 算法称为半盲算法。由于利用了先验信息，半盲算法能够 取得比全盲算法更好的分离效果【i9 1 。先验信息大致可以分为三类：概率先验信息类、空 间先验信息类和波形先验信息类。由于先验信息的多样性以及先验信息利用方法的多样 性，不同的半盲算法之间也存在较大差异，性能改善的方面也各不相同。以典型半盲算 法一参考独立分量分析算法( i c a w i t hr e f e r e n c e ，i c a r ) 1 9 - 2 0 为例，i c a r 基于约束优 化思想，将期望源信号的波形先验信息以参考信号形式直接引入i c a 学习过程，只抽取 期望的源信号。与全盲分离算法相比，i c a r 不但消除了输出信号的顺序不确定性，提 高了算法的估计效率，而且估计性能得到了显著提高，在f m r i 的幅值数据分析中得到了 良好验证。文献 2 1 在c f a s t l c a 算法基础上推导出一种一单元定点c f a s t l c a r 算法，消 除复数全盲i c a 输出信号的顺序不确定性，显著提高期望信号的估计效率。但由于 c f a s t l c a 算法自身局限性一即要求所分离的复数源信号椭圆协方差为零【l3 1 ，造成 c f a s t l c a r 算法对椭圆协方差不为零的复数信号分离效果不理想。 f m r i 是一种在被试完成某种刺激( 如听觉、视觉、运动等) 任务时，由m r i 扫描 仪器获取的复数脑图像信号。f m r i 不但能显示脑功能激活区的部位( 解剖位置) 、大 小和范围，而且具有空间分辨率极高、非侵入性和实用性等优点，已成为脑功能研究和 临床诊断的重要信号之一【2 2 1 。f m r i 的传统分析方法主要有g l m ( g e n e r a ll i n e a rm o d e l ) 、 相关分析、方差分析、时间序列分析等。这些方法简单实用，但需要预先假设数据混合 的先验模型。由于人们对脑功能机制缺乏准确了解，对先验信息要求较低的i c a 算法显 然比传统方法更具优势。1 9 9 8 年m c k e o w n 等人首次用盲分离方法分析f m r i 幅值信号 【2 3 1 ，便验证了这一优势。目前，盲分离已成为f m r l 分析的一种热门方澍2 4 1 。 然而，目前基于i c a 的f m r l 分析在信息利用方面存在明显不足。首先，原始的f m r i 数据是复数数据。但由于构成时域上的相位模型比较困难，大部分的i c a 算法仅对f m r i 幅度信号进行处理，放弃了复数信号的相位信息。然而，当前这种功能成像技术所使用 的信号大都是基于血氧水平依赖性( b l o o do x y g e n a t i o nl e v e ld e p e n d e n t ，b o l d ) 的对比度 信号【2 5 】，其相位包含了可供进一步分析数据的信息，所以用复数i c a 算法直接处理f m r i 复数数据十分必要。 另外，在实际f m r i 处理中，通过前人所作的大量工作，现在已经能够获取期望源信 号的一些先验知识，例如视觉、运动刺激下的脑激活区信息，以及任务刺激的时域信息 等。如果将部分先验知识引入到复数i c a 中，则可以进一步提高全盲复数i c a 方法的性 大连理t 大学硕十学位论文 能，更高效地获取期望f m r i 信号。为此，本文主要研究复数信号的特点，采用约束优化 的半盲算法思想，将源信号的某些先验信息引入复数全盲算法，从而提出新的复数半盲 算法，并将复数半盲算法应用于实际f m r i 数据分析。 本课题研究来源于国家自然科学基金( 6 0 4 0 2 0 1 3 ) 。主要研究意义在于，在理论上丰 富复数半盲分离算法，在应用上提高f m r l 分析性能。 1 2 主要研究工作 在上述背景下，本文主要做了以下工作： ( 1 ) 对几种典型的全盲复数i c a 算法进行了深入研究和编程实现。主要研究了 i n f o m a x 【1 0 1 1 1 、j a d e 12 1 、c f a s t i c a 13 1 、s u t 1 4 1 、k m 15 1 、c m l 1 6 1 和+ c m n 1 7 等算法，在 m a t l a b 平台上编程实现了复数i n f o m a x 、j a d e 、c f a s t i c a 、k m 和s u t 算法。 ( 2 ) 基于约束优化理论探索了向这些全盲算法中嵌入先验信息的方法，研究了f m r i 数据特点、先验信息类型及其利用方法。 ( 3 ) 根据对不同复数算法的理论研究结果，采用复数k m 算法的复变量峭度代价函 数推导出基于峭度最大化的复数i c a r 梯度算法。将复数信号幅度信息的不等式约束引 入峭度代价函数建立了复数i c a r 模型，然后采用增广拉格朗日函数和k - t 条件推导 出基于峭度最大化的复数i c a r 梯度算法。计算机仿真和性能分析结果表明，由于利用 了幅度信息，不论对于分离圆形信号还是非圆信号，该复数i c a r 算法估计性能明显优 于己编程实现的几种典型全盲复数i c a 算法。然而，算法的收敛很大程度上取决于步长 的选取。小步长可以保证收敛但收敛速度慢，大步长不能保证收敛，合适的步长对于该 算法至关重要。 ( 4 ) 推导出基于峭度最大化的复数i c a r 定点算法。针对以上梯度算法对于步长敏 感的问题，我们采用定点优化技术来提高算法收敛速度。该算法仍采用含有幅度约束不 等式的复数i c a r 数学模型，再利用乘子法将不等式约束转化为等式约束，并得到增广 拉格朗同函数，最后得到参考独立分量分析的定点算法。该算法能达到像实数f a s t l c a 算法一样的立方收敛速度，同时不需考虑峭度正负和步长调节。 ( 5 ) 通过适当构建f m r i 感兴趣信号的参考信号，应用基于峭度最大化的参考独立分 量分析算法从视觉运动刺激下全脑复数f m r i 数据中有效抽取与任务相关的左右脑信号 及d m ( d e f a u l t m o d e ) 信号。其中利用了这些信号的幅度信息构建了参考信号。实验结 果验证了基于峭度最大化i c a r 算法的有效性。 复数独立分量分析算法及其f m r i 应用研究 2 独立分量分析方法概述 独立分量分析是一种解决盲源分离问题的方法。该方法是从多元统计数据中寻找其 内在因子或成分。i c a 有别于其它方法的地方是，它寻找的是统计独立且非高斯的成分 2 6 1 o 2 1ic a 模型与假设 对于通常以大量样本数据库形式给出的多元观测数据，i c a 定义了一个生成模型 ( g e n e r a t i v em o d e l ) 。此模型假设观测数据变量是某些未知内在变量的线性或非线性混 合，而且不仅内在变量是未知的，实现混合的系统也是未知的【2 6 1 。在基本i c a 模型中， 假设噪声为零或者是高斯的，其模型框图如下： s i f t ) x 1 ( t ) 。y l ( t ) 。 r rr s 2 ( t )x 2 ( t ) 。 v 2 f t )。 r 混合分离 r 矩阵矩阵 aw s 。( d 。 ( 力 肋( 力 r 图2 1i c a 方框图 f i g 2 1 b l o c kd i a g r a mo fi c a 如上图所示，假设有1 1 个统计上相互独立的随机变量s ( ，) = 墨( ，) ，( ，) t ，经历刀 维混合矩阵a 线性组合生成聊个随机信号x ( ，) = _ ( ，) ，( f ) t ，其中，t 表示矩阵转 置。i c a 基本混合数学模型为： 一( ，) = s ，( ，) ，i = 1 ，2 ，脚 ( 2 1 ) j = 1 对瞬时混合模型，为了简化写法略去时间变量t ，则混合模型可写为： x = a s ( 2 2 ) 一4 一 大连理工大学硕士学位论文 为了保证i c a 模型是可解的，必须做出一些假定和限制。 第一项假设是统计独立性。对于可估计的模型来讲，这项假设是最为重要的，也是 i c a 方法可用于许多不同应用领域的主要原因。 第二项假设是非高斯分布。如果所观测变量具有高斯分布，其高阶累积量为零，因 此，就无法根据高阶信息估计i c a 模型。 第三项假设为未知混合矩阵是方阵，即独立分量数等于观测混合信号数，以简化估 计。需要说明的是，当独立分量数小于观测混合信号数时，可利用主分量分析( p c a ) 降低数据维数，使混合矩阵化为方阵。 i c a 的主要目标是根据分量问独立性最大原则，估计出混合矩阵a 的逆矩阵w ， 从而使得： y = w x( 2 3 ) 其中y = m ，以】t ，这就是i c a 的分离数学模型( 见图2 1 ) 。若变换后的y 向量 之间相互统计独立，那么y 就是独立源信号的估计。 2 2 代价函数 虽然混合矩阵a 和源信号向量s 都是未知的，但只要设法使分离矩阵w 恢复的各个 输出之间相互统计独立，就可以实现信号源的盲分离。所以i c a 实际是在某一独立性判 据意义下进行的寻优计算，所以求解i c a 可归结为两步，先建立代价函数，再寻求求解 该代价函数的算法。下面我们讨论几类衡量信号之间独立性的代价函数。 ( 1 ) 非高斯性代价函数 根据中心极限定理，结合i c a 问题，可以得到这样一个结论，即混合信号的概率密 度函数比任何一个源信号的概率密度函数更接近( 或同样接近) 高斯分布。也就是说最 大化信号的非高斯性和独立性是一致的，这也就是所谓的“非高斯性意味着独立”。采 用最大非高斯原理还有个额外的优点，它可以一个一个地估计独立分量，只要在估计单 个独立成分的时候采用渐进正交化的方法。当源信号被假设为相互独立并且不具有时间 结构时，经常采用高阶统计量作为独立性、非高斯性的度量。在这种情况下，源信号中 最多只能有一个高斯信号。既然非高斯性可以作为独立性的度量，那么我们必须有度量 信号非高斯性的标准。两个常用的度量信号非高斯性的概念是：峭度( k u r t o s i s ) 和负熵， 本文算法是采用峭度作为代价函数，因此下面详细介绍一下峭度。 峭度( 或称四阶累积量) 是测量信号非高斯性的经典方法。零均值随机变量y 的峭 度定义如下【1 2 】： 复数独立分晕分析算法及其f m p d 应用研究 七( 少) 会c 甜肌( j ，j ，y ，y ) = e l j ，| 4 ) 一2 ( e i y l 2 ) ) 2 一l ev y 2 1 2 ( 2 4 ) 在实数i c a 或复数i c a 中，作为其非线性代价函数的峭度只存在自变量y 为实数或复 数的区别，峭度值都为实数。对大多数非高斯随机变量，它的峭度不为零，当k ( y ) 0 ， 称y 服从超高斯分布，当k ( y ) - j 惯于求代价函数的最小值，故一般将上式 写为： l ( b ) = 一e l o g p ( b x ) - l o g l d e t b l ( 2 1 3 ) 2 3 实数lc a 实数i c a 模型中各分量均为实数，可以有效的分离时域信号。发展至今，实数i c a 已被广泛运用在无线通信，地震勘探，图像及语音消噪等许多领域。实数i c a 分离模型 如下： 复数独立分量分析算法及其f m r i 应用研究 y = w x = w a s = p d s( 2 1 4 ) 其中，p 为玎，z 置换阵，d 为r 胛非奇异对角阵。则混合一分离全局矩阵g = w a = p d 为非混合阵，y 被称为s 的一个“拷贝”。p 表征j ，与s 之间的顺序变化，d 表征y 与j 之间的幅度变化。 应用较普遍的实数i c a 算法是j a d e 算法，i n f o m a x 算法和f a s t i c a 算法。本文算 法在后面的章节中也将与这三种算法比较分离性能。 2 4 复数lc a 在盲信号处理中，常涉及复数域独立分量分析。例如，f m r i 信号、雷达信号等均 是需要分离的复数混合信号。另外，在卷积混合的频域解法中，为了提高算法的计算效 率，常常通过傅里叶变换将时域卷积运算变换为频域相乘运算，使得实数源信号变换为 复数信号。在复数i c a 模型中，s 、x 、y 等都是复数；而混合阵a 、解混阵w 等也都 是复数，其余与实数i c a 模型类似f 2 8 】。 2 4 1 复数信号分类 复数随机信号的一个重要特征是圆形性2 9 1 ，按照这个特征可将复随机信号分为圆形 信号与非圆信号。一般情况下，主要使用信号的一阶和二阶统计特性来描述信号。对于 二阶圆形变量的定义非常简单。假设有一个复随机变量文，定义其均值为e f 文) ，协方差 为e 焱) ，椭圆协方差( e l l i p t i cc o v a r i a n c e ) 为e 效7 ) 。如果一个复随机变量的均值和椭 圆协方差都为零，则它被称为二阶圆形变量。此外，对于圆形信号，它的统计特征不随 旋转变换而改变，即对于任意的矽，文和娩有着相同的概率密度。本文中( ) ，( ) 7 ，( ) 爿 分别表示共轭、转置、共轭转置。 圆形性是窄带信号的一个普遍性的假设，但是在通信系统中经常会遇到椭圆协方差 不为零的复数信号，例如b p s k , a m ，a s k , p m 等调制的信号，通常将这些椭圆协方差 不为零的信号称为非圆信号【3 0 】。 2 4 2 复数lc a 算法分类 近年来发展了很多复数i c a 算法，算法主要分为两类3 1 】：( 1 ) 通过四阶累积量矩 阵生成分离矩阵，其算法形式与实数算法形式相似，差别在于向量和矩阵的转置运算变 为共轭转置运算，如j a d e 算法( 可分离圆形和非圆信号) ，及s u t ( s t r o n g l y u n c o r r e l a t i n g t r a n s f o r m ) 算法( 适合分离非圆信号) 。该类算法的缺点是没有体现复变量的性质；( 2 ) 主要是应用实值或者复值非线性函数作为代价函数来分离独立分量。在复数非线性函数 大连理工大学硕士学位论文 方法中，最主要的挑战是在复数域内的有界性和解析性的冲突，l i o u v i l l e 定理对此有比 较详细的阐述。解决这个问题主要有以下三种方法【3 1 1 ：第一种被定义为复拼合( c o m p l e x s p l i tn o n l i n e a rf u n c t i o n ，c s n f ) 非线性函数，该方法将复数的实部与虚部分开计算， 因为复数的实部与虚部是实数，所以计算仍然采用实值非线性函数，而不是复值非线性 函数。这种方法可以保证有界性，但是不能满足解析性；第二种对复变量的幅值进行运 算，当然也是采用实值非线性函数，例如c f a s t l c a 算法( 仅用来分离圆形信号) 。这 类算法解析性得到满足，但是没有体现复变量的性质。对一些特定的问题，以上这两种 方法尚能得到较好的结果。但是从提取复独立成分而计算高阶统计量的角度考虑，这两 种方法不如直接利用复非线性函数有效；所以第三种方法就是采取复非线性函数。如果 该函数满足b r a n d w o o d 解析条件【3 2 1 ，就能直接在复数域内优化来提取复独立成分，因此 在某些范围内可以满足解析与有界的要求【3 3 1 ，并且不要求源信号分布具有均衡性例和圆 形性【2 圳。以下要说明的k m 算法( 可分离圆形和非圆信号) 就属于该类算法。 2 5 基于峭度最大化的复数i c a 算法 2 5 1 复梯度算子 在复数i c a 算法中，对复值非线性代价函数进行优化，也就是对以z 和其共轭z 为 复自变量的标量函数g ( z ，z 1 求极值或条件极值。按照复变函数理论，求 ， g ( z , 2 + ) = m i n (m a x ) 的最优解，会遇到极大困难，因为偏导数冬不存在。 az d h b r a n d w o o d 在文章 3 2 中给出了这类问题在一定条件下的解法。下面将介绍 b r a n d w o o d 解析条件，满足这类条件的复变函数，其复梯度计算能被大大简化，并能得 到类似实值函数的求导过程。 假设g ：c xc 专c ，是以z 和z 为复自变量的函数，如果把z ( 或2 ) 看作常量， 且g 对于z ( 或2 ) 具有解析性，那么g 满足b r a n d w o o d 解析条件。这个定理可以很容 易扩展到自变量为向量或矩阵的情况。 下面考虑一类特殊情况下的复自变量代价函数g ( ) ，其中g ：c xc 专r ，b r a n d w o o d 给出如下结果： 假设存在f r xr r 为实自变量x 和y 的函数，使得g ( z ，z ) = 厂( x ，y ) ，其中， z ：x + f y ，f ：4 - ：- f 。有： 复数独立分量分析算法及其f m r i 应用研究 (1)警隆豺砉到，其中函数92 2 o y ) 对z ( 鲥导慌 。瑟 l 苏砂瑟木l 缸 。 ( 或z ) 看4 f - 常数。例如：对函数g ( z ，z ) = z 2 + = 盯= x 2 + y 2 = 厂( x ，y ) ，有 妊+ f 豺x + i y 而直接将z 看作徽求g 关玎的偏导数堡o z * 谎得到同 样结果。 ( 2 ) 厂有固定极值点的充分必要条件是譬：0 ，类似的，、o g ：o 也是一个充要条件。 所以在计算满足b r a n d w o o d 解析条件的复变函数梯度时，可以直接对复自变量z 求 导，而不用对实变量x 和y 分别求导。 下面给出一个可以作为判断函数是否满足b r a n d w o o d 解析条件的命题。 命题l ：假设g ( z ) 在h ，的条件下解析，且在i z i r 范围内能进行实系数泰勒级数 展开，那么k ( z ) 也满足b r a n d w o o d 解析条件。 证明：多项式，大部分三角函数及其双曲对应函数都满足命题1 假设，且有： l g ( z ) 1 2 = g ( z ) g + ( z ) = g ( z ) g ( z ) ( 2 1 5 ) 所以k ( z ) 满足b r a n d w o o d 解析条件。 下- - d , 结将介绍满足b r a n d w o o d 解析条件的峭度函数。 2 5 2 峭度代价函数 峭度公式( 2 4 ) 对于复自变量y 可以展开为： k ( y ) n _ c “聊( y ，y + ，y ，y + ) = e ( y y + ) 2 一2 ( e ) ) 2 - e y y e y y ( 2 1 6 ) 上式对于任何具有圆形或非圆属性的复高斯随机变量均为零。可以看出公式( 2 1 6 ) 每一 项都满足上- d , 节中命题1 条件，所以该式满足b r a n d w o o d 解析条件，那么可以通过求 函数对y 的偏导数来优化该代价函数。 由于复值盲分离问题中，源信号的真实幅度不可知，因此可以假设各个未知源信号 都是方差为1 的随机变量，而复数源信号；的各个分量相互统计独立，因此也是不相关 的，故有e 西) - 1 。在进行i c a 处理之前，需要对复数混和信号文进行白化预处理。 所谓随机信号文的白化，就是通过一定的线性变换v 做如下变换： x = v 2 ( 2 1 7 ) 大连理工大学硕士学位论文 使得变换后的x 相关矩阵满足e x x ) = i ，即x 的各个分量满足e x ，x ：) = 巧，其中磊为 k r o n e c k e rd e l t a 函数，即当江j 时，瓯= 1 ，其他条件下巧，= o 。对混合信号的预白化 实际上是去除信号各个分量之间的相关性，即使得白化信号的分量之间二阶统计独立。 复数i c a 是为了找到一个复值分离矩阵荫使得： 歹= f v x = f v v a j ( 2 1 8 ) 其中w v a = p d ，p 为代表顺序变化的实数置换矩阵，d 为代表幅度缩放的复数对角阵。 因此，复数i c a 的恢复信号和源信号相比，除了具有顺序、幅度的差异外，还存在一个 未知附加相移。 基于峭度最大化算法采用如下代价函数： 警地) = t = l ) l ( 2 1 9 ) w 。 一 f ，lu i s t e y , y j = 屯 其中y i = w t h x ，因为观测信号j 预先经过白化处理，有e 】l 。| 【 _ i ，且对源信号也有 e s s h ) = i ，所以具体运算中约束条件e 巧 - 屯可转化为w , - w j = 磊。这意味着需要 找一组正交分离向量w ，。根据咒仅与w ，有关，我们可以用以下两个步骤来解决该优化 问题：1 ) 利用j 1 w ，0 = 1 来约束最大化七( w 罗x ) ；2 ) 采用去相关法使w ，与之前的w ，正交。 2 5 3 基于峭度最大化的梯度算法( k m - g ) 为了最大化峭度的绝对值，我们可以从某个向量w 开始，依据可用的样本值 x ( 1 ) ，x ( 门) ，计算出使y = w x 的峭度绝对值增大最快的方向，然后将向量w 转到该 方向，这种思路可以用如下梯度法来实现。 因为公式( 2 1 6 ) 给出的峭度式满足b r a n d w o o d 解析条件，所以峭度绝对值i 七( y ) l 的梯 度可以计算为掣竺掣。由于要：x ，兰：o ，芸：o ，篓：x ，有： 掣= 2 ( e 少。x 一2 e ) e y + x ) - e y 。y o e ) i ( 2 2 。) 式( 2 2 0 ) 是对完整的峭度式求梯度，在此之前以峭度为代价函数的算法均采用其近 似形式。如文献 3 5 中将式( 2 1 6 ) 第二项2 ( e y y ) 2 看作常数，将峭度函数简化为 后( y ) = e ( + ) 2 一c - e y y e y y ，因而其梯度式( 2 1 9 ) 第二项2 ) e 少z ) 消失。 复数独立分量分析算法及其f l 4 r i 应用研究 显然，e 是w 的函数，而且在算法归一化步骤之前该项不为常数，所以将这项看 做常数将造成算法精度损失。另外，c f a s t l c a 算法假设源信号为圆形信号1 3 】，也使得式 ( 2 1 6 ) 第三项l e y 2 ) 1 2 = o ，虽然简化了数学运算，但不能分离非圆信号，使得算法具有 局限性。 由于j 尼( y ) l 是在单位球1 1 w 片i i = l 上进行优化，所以梯度法在每一步运算后要将w 归一 化，即除以其范数。 最终，得到一单元k m g 算法如下【1 5 】： w + = s g n k ( y ) 1 2 ( e y y y x 2 e y y e y x ) e ； y + y e i y x ) w + ( 2 2 1 ) w = 一 i | w + i | 上述过程仅仅估计了一个独立分量，如果要估计p 个独立分量则需要使用p 个分量 向量嵋，w 2 ，w 。为了防止不同的分离向量收敛到同一点，可以采用g r a m s c h m i d t 算 法进行去相关处理。一种简单的去相关方法是逐个估计独立信号，当估计出p 个列矢量 w 。，w ：，p 后，我们使用单个信号分离方法估计下一个矢量w 川。每步迭代后，从w 川 中减去前p 个矢量的投影_ w j h w 川，再对w 川进行归一化，即： ( 2 2 2 ) 梯度方法的优点是在非平稳条件下能够快速达到自适应。然而，相应的代价则是算 法收敛慢，且很大程度上依赖于步长五的选取。小步长可以保证收敛但收敛速度慢，大 步长不能保证收敛，合适的步长对于算法至关重要。下面的定点算法能较好地弥补这一 缺点。 2 5 4 基于峭度最大化的定点算法( k m - f ) 文献 3 6 首先提出基于四阶累积量的固定点算法，也就是实数f a s t l c a 算法。文献 3 7 证明了定点算法是梯度更新法则的一种特殊情况，是一种具有最优步长的梯度更新法 则。在复数情况下，基于峭度最大化的定点算法推导如下： w 一 “ 一 l 王川和际 火连理工大学硕士学位论文 根据拉格朗日条件，将约束1 1 w ，1 1 - - i 以五( 1 1 w ，- 1 ) = 0 的形式代入公式( 2