（电路与系统专业论文）基于视觉特性的多方向小波构造及其应用研究[电路与系统专业优秀论文].pdf

摘耍 摘要 图像表示是图像处理领域的基本问题。小波是表示具有点奇异性函数的最优基， 它由于具有时一频局部化特点和多尺度特性，在图像处理领域得到了广泛应用。但由 于常规的可分离小波是各向同性并且方向选择性差，它只能反映奇异点的位置和特 性，难以表达二维图像中的边缘和纹理等高维几何特性，它不是表示图像的最优基。 针对这一问题，本文对多尺度几何分析方法进行了深入分析和研究，并且基于 人眼视觉特性构造出一种新的具有多方向选择性的小波变换。该变换的方向子带在 频域具有扇形支撑区，因此称之为扇形方向小波( f a l l l e t ) 变换。f a n l e t 变换的基函数 克服了可分离二维离散小波方向变换选择性差的局限性，它符合大脑视皮层中v l 区简单细胞感受野的基本特性，具有多分辨率、局部性、各向异性、对称性和多方 向选择性等性质。f a n i e t 变换由圆周对称多分辨率分解和方向滤波器组( d f b ) 两部分 实现。圆对称滤波器组将图像分解为多个不同分辨率的细节子带和一个低频子带， 方向滤波器组再将各细节子带分解为方向子带。文中利用遗传算法设计满足重构要 求的圆对称滤波器组，应用伯恩斯坦多项式设计的映射函数将9 7 双正交滤波器组 映射为扇形滤波器组。 平移不变性在图像处理和模式识别等应用中具有十分重要的意义。虽然f a n l e t 变换中的塔式分解具有平移不变性，但由于d f b 中的每一级分解均有下抽样操作， 因此f a n l e t 变换不具备平移不变性。为解决这一问题，本文利用具有平移不变性的 塔式分解结合非抽样方向滤波器组( u d f b ) 构造了四种具有平移不变性f a n l e t 变换 ( 即t i f a n l e t 变换) ，并给出了它们的具体实现方法，证明了t i f a n l e t 的标架特性。文 中以一维分数阶样条正交滤波器组为原型滤波器，利用映射技术设计u d f b 中的扇 形滤波器组，滤波器组的幅频特性可通过改变原型滤波器的阶次灵活调整。 文中从定性和定量两方面研究了f a n l e t 和t i f a n l e t 变换系数的非高斯性和非独 立性。利用z2 统计假设检验方法验证了两种变换系数的边缘分布符合广义高斯分 布，提出了描述两种变换系数的联合分布的广义二元变量模型，利用矩法和最大似 然法解决了统计模型的参数估计问题。 提出了基于f a n l e t 和t i f m l l e t 变换系数统计模型结合最大后验概率法的图像去 噪算法。利用该算法对图像去噪后能有效保持原始图像的边缘和纹理等几何特征， 燕山大学工学博士学位论文 去噪后的图像具有较高的峰值信噪比。将提出的去噪算法与维纳滤波相结合实现了 一种高效的图像复原算法，图像复原后的s n r 和i s n r 值明显高于f o r w a r d 算法。 提出了一种融合子带统计特征和局部二进制模式特征的纹理图像检索算法。由 于视觉感受明显不同的纹理图像可能具有相同的子带统计特性，而子带统计特性和 局部二进制模式特征具有一定的互补性，将两种特征融合能更好地刻画纹理图像的 本质。实验结果表明该算法比利用单一特征进行图像检索的检索率有显著提高。 关键词小波；多尺度几何分析：塔式分解；方向滤波器组；感受野；平移不变性 统计模型；图像处理 i i a b s t r a c t a b s t r a c t i m a g er e p r e s e n t a t i o ni st h eb a s i cp r o b l e mi ni m a g ep r o c e s s i n g w a v e l e ti st h eb e s t b a s eo ff u n c t i o n sw i t hp o i n ts i n g u l a r i t y , a n di th a sw i d ea p p l i c a t i o ni ni m a g ep r o c e s s i n g b e c a u s eo fi t st i m e f r e q u e n c yl o c a l i z a t i o na n dm u l t i s c a l ef e a t u r e s o nt h eo t h e rh a n d ， s i n c et h es e p a r a b l ew a v e l e ti si s o t r o p i ca n dh a sp o o rd i r e c t i o n a ls e l e c t i v e t y , i tc a no n l y c h a r a c t e r i z et h el o c a t i o na n dt r a i to fp o i n ts i n g u l a r i t y , a n dc a nh a r d l yc h a r a c t e r i z et h e h i 曲一d i m e n s i o n a lg e o m e t r i c a ls t r u c t u r e ss u c ha se d g e sa n dt e x t u r e si ni m a g e s ，s ow a v e l e t i s n tt h eb e s tb a s ef o ri m a g e s t oo v e r c o m et h ec h a l l e n g i n gp r o b l e m ，w em a k ed e e p l ys t u d yf o rt h em e t h o d so f m u t i l s c a lg e o m e t r ya n a l y s i s ，a n dp r o p o s ean o v e ld i r e c t i o n a lw a v e l e tt r a n s f o r mb a s e do n w a i to fh u m a nv i s u a ls y s t e m t h i st r a n s f o r mi sn a m e df a n l e tt r a n s f o r ms i n c et h e f r e q u e n c ys p e c t r u ms u p p o r to fd i r e c t i o n a ls u b b a n d si sf a n - s h a p e d t h eb a s e so f t h ef a n l e t t r a n s f o r mo v e r c o m et h ep o o rd i r e c t i o n a ls e l e c t i v e t yl i m i t a t i o no ft h e2 ds e p a r a b l e w a v e l e t ，a n di tp o s s e s st h ec h a r a c t e r i s t i c so f t h es i m p l ec e l lr e c e p t i v ef i e l di nv i s u a lc o r t e x v 1 a r e a , s u c h a s m u l t i r e s o l u t i o n ，l o c a l i z a t i o n ，a n i s o t r o p y a n dm u l t i d i r e c t i o n a l s e l e c t i v i t y e t c t h ef a n l e tt r a n s f o r mi s i m p l e m e n t e db y t h ec i r c u l a r s y m m e t r i c m u l t i r e s o l u t i o nd e c o m p o s i t i o na n dd i r e c t i o n a lf i l t e rb a n k s ，t h ec i r c u l a rs y m m e t r i cf i l t e r b a n kd e c o m p o s e si m a g ei n t om u l t i - r e s o l u t i o nd e t a i ls u b b a n d sa n do n el o w - f r e q u e n c y s u b b a n d ，a n dt h ed e t a i ls u b b a n d sa r ef u r t h e rd e c o m p o s e di n t od i r e c t i o n a ls u b b a n d sb y d i r e c t i o n a lf i l t e rb a n k s t h ec k c u l a rs y m m e t r i cf i l t e rb a n ks a r i s f y i n gr e c o n s t r u c t i o n c o n d i t i o n si sd e s i g n e db yg e n e t i ca l g o r i t h m t h e9 7b i o f l h o g o n a lf i l t e rb a n ki sm a p p e dt o f a nf i l t e rb a n kb yt h em a p p i n gf u n c t i o nw h i c hd e r i v e df r o mt h eb e r n s t e i np o l y n o m i a l t r a n s l a t i o ni n v a r i a n tl i e sa tt h eh e a r to fm a n yi m a g ep r o c e s s i n ga n dp a a e r n r e c o g n i t i o n a l t h o u g ht h ep y r a m i d a ld e c o m p o s i t i o ni nt h ef a n l e tt r a n s f o r mi st r a n s l a t i o n i n v a t i a n t ，s i n c et h es u b - s a m p l i n gs t r u c t u r e si nd i r e c t i o n a lf i l t e rb a n k ，t h ef a n l e tt r a n s f o r m i s n tt r a n s l a t i o ni n v a r i a n t t oo v e r c o m et h ep r o b l e m ，f o u rt r a n s l a t i o ni n v a r i a n tf a n l e t t r a n s f o r m s ( t i f a n l e t ) w h i c hc o m b i n et r a n s l a t i o ni n v a r i a n tp y r a m i d a ld e c o m p o s i t i o na n d u n d e c i m a t e dd i r e c t i o n a lf i l t e rb a n k ( u d f b ) a r ep r o p o s e d ，a n dt h ei m p l e m e n t a t i o n m e t h o d so ft h et i f a n l e ta r eg i v e nd e t a i l l y w eh a v ep r o v e nt h a tt h et i f a n l e tt r a n s f o r m i i i 燕山大学工学博士学位论文 s a t i s f i e st h et i g h tf r a m ec o n d i t i o n t h eu n d e c i m a t e df a nf i l t e rb a n k si nu d f ba r e d e s i g n e db ym a p p i n gm e t h o du s i n go n e d i m e n s i o n a lf r a c t i o n a ls p l i n e so r t h o g o n a lf i l t e r b a n ka sp r o t o t y p ef i l t e r , a n dt h em a g n i t u d ef r e q u e n c yr e s p o n s e so ft h ef i l t e rb a n k sc a nb e a d j u s t e df l e x i b l yb ya d j u r i n gt h eo r d e ro f t h ep r o t o t y p ef i l t e r t h en o n g a u s s i a na n dn o n i n d e p e n d e n c ec h a r a c t e r i s t i c so ft h ef a n l e ta n dt i f a n l e t c o e f f i c i e n t sa r es t u d i e db yq u a l i t a t i v ea n d q u a n t i t a t i v em e a s u r e s w eh a v ev e r i f i e dt h a tt h e m a r g i n a ld i s t r i b u t i o no ft h ef a n l e ta n dt i f a i l l e tc o e f f i c i e n t ss a t i s f yg e n e r a l i z e dg a u s s i a n d i s t r i b u t i o nb yz 2 h y p o t h e s i s t h eg e n e r a l i z e db i v a r i a t em o d e li sp r o p o s e dt oc h a r a c t e r t h ej o i n t - d i s t r i b u t i o no ft h ef a n l e ta n dn f a n l e tc o e f f i c i e n t s t 1 l es t a t i s t i c a lm o d e l p a r a m e t e r sa r ee s t i m a t e db ym o m e n tm e t h o da n dm a x i m u m l i k e l i h o o de s t i m a t o r n l ei m a g ed e n o s i n ga l g o r i t h mw h i c hc o m b i n e st h es t a t i s t i c a lm o d e lo ft h ef a n l e t a n dt i f a l l l e tc o e f f i c i e n t sw i t l lm a pe s t i m a t o ri sp r o p o s e d t h ei m a g ew h i c hi sd e n o i s e d b yu s i n gt h ep r o p o s e da l g o r i t h mh a sh i g hp s n rv a l u ew h i l ep r e s e r v i n gt h ee d g e sa n d t e x t u r e so ft h e i m a g e se f f e c t i v e l y t h e e f f e c t i v ei m a g er e s t o r a t i o n a l g o r i t h m i s i m p l e m a n t db yc o m b i n i n gt h ep r o p o s e dd e n o i s i n ga l g o r i t h mw i mt h ew i e n e rf i l t e r , a n d t h es n ra n di s n rv a l u e so ft h er e s t o r e di m a g eo u t p e r f o r mt h ef o r w a r da l g o r i t h m s i g n i f i c a n t l y t h et e x t u r ei m a g er e t r i e v a la l g o r i t h mw h i c hf u s e st h el o c a lb i n a r yp a t t e r n sa n dt h e s u b b a n d ss t a t i s t i c a lm o d e li s p r o p o s e d s i n c ev i s u a l l yd i s t i n c tp a t t e r n sm a yh a v e m a t c h i n gs u b b a n ds t a t i s t i c s ，a n dt h es u b b a n d ss t a t i s t i c a lf e a t u r e sa n dt h el o c a lb i n a r y p a t t e r n sa r ec o m p l e m e n t a r y f e a t u r e si nac e r t a i ns e n s e ，t h ec o m b i n e df e a t u r e sc a n c h a r a c t e rt h ei n t r i n s i ct r a i to f t h et e x t u r ei m a g e n l ee x p e r i m e n t ss h o wt h a tr e t r i e v a lr a t i o o b t a i n e df r o mc o m b i n e df e a t u r e si sh i g h e rt h a ns i n g l ef e a t u r e s k e y w o r d sw a v e l e t ；m u t i l s c a lg e o m e t r ya n a l y s i s ；p y r a m i d a ld e c o m p o s i t i o n ；d i r e c t i o n a l f i l t e rb a n k ；r e c e p t i v ef i e l d ；t r a n s l a t i o ni n v a r i a n t ；s t a t i s t i c a lm o d d ；i m a g e p r o c e s s i n g 燕山大学博士学位论文原创性声明 本人郑重声明：此处所提交的博士学位论文基于视觉特性的多方向小波构造及其 应用研究，是本人在导师指导下，在燕山大学攻读博士学位期间独立进行研究工作 所取得的成果。据本人所知，论文中除已注明部分外不包含他人已发表或撰写过的 研究成果。对本文的研究工作做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式 注明。本声明的法律结果将完全由本人承担。 作者签字：瑙j 牵：锤 日期：汐多年2a b 曰 燕山大学博士学位论文使用授权书 基于视觉特性的多方向小波构造及其应用研究系本人在燕山大学攻读博士 学位期间在导师指导下完成的博士学位论文。本论文的研究成果归燕山大学所有， 本人如需发表将署名燕山大学为第一完成单位及相关人员。本人完全了解燕山大学 关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门送交论文的复印件和 电子版本，允许论文被查阅和借阅。本人授权燕山大学，可以采用影印、缩印或其 他复制手段保存论文，可以公布论文的全部或部分内容。 保密口，在年解密后适用本授权书。 本学位论文属于 不保密曰。 ( 请在以上相应方框内打“”) 作者签名 导师签名 编 日期：d j 年牛月巧日 瞧衫年妒罗日 第1 章绪论 1 1引言 第1 章绪论 随着社会的进步和科学技术的飞速发展，多媒体技术成为信息社会中人们关注 的重大热点之一，它已经融入到人们的日常生活中。人们通过语言、音乐、文字、 图像和视频等多种媒体进行信息交流、处理、传输和存储。由于图像和视频数据量 极大，如何高效地表示图像和视频信息已经成为多媒体技术的关键。图像表示是图 像处理领域的基本问题，它在图像压缩、特征提取、图像检索、图像去噪和图像复 原等应用中起着非常关键的作用。本章将介绍图像表示理论的发展历史和研究现状， 并对现有的研究成果进行较为详尽的分析和评述。 1 2 从傅立叶变换到小波变换 1 2 1 傅立叶变换的局限 自从法国著名学者f o u r i e r 提出傅立叶变换以来，它一直是各种平稳信号处理的 主要工具。在信号分析中，描述信号一般采用时( 空) 域和频域两种形式。傅立叶变 换能准确刻画平稳信号在整个时( 空) 域的频域特性，但它不能反映出非平稳信号在 局部区域的频域特征及其对应关系，即傅立叶变换在时( 空) 域没有任何分辨率，它 无法确定信号奇异性的位置，传统傅立叶变换存在时域与频域局部化的基本矛盾【1 1 。 在许多实际问题中，获得的信号往往是非平稳的，而人们关心的恰恰是这类信号的 局部或瞬时特征。如对于地震信号，人们关心的是什么位置出现什么样的反射波； 对于音乐信号，人们关心的是什么时候发出什么音符；对于图像边缘检测和特征提 取而言，人们关心的是信号在什么位置有突变。信号的突变( 奇异) 部分包含大量的 有用信息，由于这些突变成分和任何一个傅立叶基函数都不相似，因此它们的傅立 叶变换不是稀疏分布。从傅立叶变换的基本理论可知，完美重构阶跃信号需要无穷 多个傅立叶基函数加权叠加。换言之，傅立叶基不是非平稳信号的最优表示。 为克服傅立叶变换的局限，g a b o r 在1 9 4 6 年提出了一种能够分析信号局部频域 特征的傅立叶变换，即短时傅立叶变换【2 1 ( s t f t , s h o r t - t i m ef o u r i e r - t r a n s f o r m ) 。s t f t 燕山大学工学i 尊士学位论文 的基本思想是对信号进行加窗，再对加窗后的信号进行傅立叶变换，从而得到信号 在局部区域的频谱。但由于在s t f t 中时间窗的宽度与频率无关，它仍然是一种恒 分辩率分析。由于信号的频率与周期成反比，因此在实际应用中一般要求高频信号 的时域分辨率应比低频信号的时域分辨率高，也就是说窗口大小应该随频率而变化， 频率越高窗口应越小。由于s t f t 的这些缺点，它没有在实际中得到广泛应用和进 一步发展。 1 2 2 小波变换的发展历史 小波变换是短时傅立叶变换的发展，是纯数学理论和工程实际相结合的完美典 范l “。小波变换与短时傅立叶变换的根本区别在于其窗口宽度是变化的，它随频率 增大而减小，是一种多分辨率时( 空) 频变换。近年来，小波变换一直是众多领域的 研究热点，并在数据压缩、特征提取、模式识别、图像处理、地震勘探以及许多非 线性科学领域中得到广泛应用。小波变换之所以在多个学科得到广泛应用在于它同 时具有良好的时( 空) 域分辨率和频域分辨率，它能够不断地聚焦到所研究对象的任 意微小细节，具有卓越的突变( 奇异) 点检测能力。由于这些特点，小波变换被人们 誉为数学显微镜。 小波变换的发展历史一直可以追溯到上个世纪初。1 9 1 0 年，h a a r 提出了l 2 f r l 中的第一个小波规范正交基，它就是人们熟知的h a a r 正交基【”。h a a r 正交基是以一 个简单的二值函数作为母小波经平移和伸缩而形成的。h a r r 小波变换具有最优的时 ( 空) 域分辨率，但由于h a r t 小波基是非连续函数，h a i r 小波变换的频域分辨率非常 差。也正是由于这个原因，h a r r 小波并没有在实际中得到重视和应用。1 9 3 6 年， l i t t l e w o o d 和p a l e y 对傅立叶级数建立了二进制频率分量分组理论( 简称为l p 理 论1 【3 ：即按二进制频率成分分组，其傅立叶变换的相位并不影响函数的大小和形状， 这是多尺度分析思想的最早起源。此后由于第二次世界大战的影响，没有出现什么 突破性的工作。1 9 5 2 年后的十年间，c a l d e r o n 等人将l p 理论推广到高维，并且建 立了奇异积分算子理论 4 1 。1 9 6 5 年g a l d e m n 发现了著名的再生公式，后来他利用再 生公式给出了抛物空间铲的原子分解嶂j ，这个公式后来成为许多函数分解的出发点， 它的离散形式已经和小波展开非常接近。1 9 7 4 年c o i f m a n 实现了对一维空间和高维 空间的原子分解【6 】。此后许多数学家从不同的目的出发给出了各类函数空间的原予 分解、拟正交展开、弱正交展开和标架展开。1 9 7 6 年p e e t r e 在用l p 理论对b e s o v 第1 章绪论 空间进行统一描述的同时，给出了b e s o v 空间的一组基【7 1 。1 9 8 1 年s t o r m b e r g 对h a r r 正交基进行了改正，引入了s o b o l e v 空间h 3 的正交基，证明了小波函数的存在性【8 1 。 小波作为正式概念提出是在1 9 8 1 年。法国地球物理学家m o l e t 在分析地震数据 时提出地震波按一个母函数的伸缩、平移系 w ( x b ) l b d ；d ，b r ，口0 ) 展开。随 后他与g r o s s m a n 共同构建了连续小波变换的理论体系【9 j 。1 9 8 5 年法国数学家m e y e r 提出了连续小波的容许性条件及其重构公式，后又与d a u b e c h i e s 和g r o s s m a n 共同 研究，选取连续小波空间的一个离散子集作为研究对象，得到了一组离散的小波基 ( 又被称为小波标架) 。随后他们试图寻找一组离散的正交小波基，但没有成功。1 9 8 6 年m e y e r 在证明不可能存在同时在时频域都具有一定正则性( 即光滑性) 的正交小波 基时，意外地发现具有一定衰减性的光滑性函数1 f ，使得 2 - # 2 妒( 2 。x k ) i ，k 芒z 构 造l 2 ( r ) 的规范正交基，从而证明了正交小波系的存在。后来l e m a r i e 将这一结果推 广到高维情况，同时m e y e r 和b a t t l e 又分别独立地构造出具有指数衰减的小波函数， 它的平移伸缩系构成l 2 ( r ) 的规范基，从尺度函数出发构造出小波正交基，这些研究 成果在m e y e r 和g r o s s m a n 合著的小波与算子( 共三卷) 这套早期最系统最权威的 小波理论著作中有详细论述【l0 】。1 9 8 7 年m a l l a t 将计算机视觉领域中的多尺度分析思 想引入到小波分析中，提出了多分辨率概念，统一了在此前的所有具体正交小波的 构造，给出了构造正交小波基的一般方法，提出了快速小波变换：m a l l a t 算、法【1 1 , 1 2 , 1 3 。 m a l l a t 算法在小波分析中的地位相当于f f t 在经典傅立叶分析中的地位。和f o u r i e r 分析中的f f t 类似，由于m a l l a t 算法的出现，使得小波分析从纯理论走向实际应用。 几乎与此同时d a u b e c i e s 基于多项式方式构造出具有有限支集的光滑正交小波基： d a u b e c h i e s 基4 1 ，c h u i 和中国学者王建忠基于样条函数构造出单正交小波函数， 并提出了具有最优局部化性能的尺度函数和小波函数的一般性构造方法【l ”。1 9 8 8 年 d a u b e c i e s 在美国n s f c b m s 主办的小波专题研讨会上进行了1 0 次演讲，这次演讲 引起了广大数学家、物理学家、工程师甚至是企业家的重视，由此将小波理论发展 与实际应用推向一个高潮。1 9 9 2 年，d a u b e c i e s 对这些演讲内容进行了总结和扩展 形成了小波领域的经典著作：t c nl e c t u r e so nw a v e l e t ) ) 。1 9 9 2 年3 月，国际权威 杂志( ( i e e et r a n s a c t i o n0 1 1i n f o r m a t i o nt h e o r y ) ) 专门出版了“小波分析及其应用”专 刊，全面介绍了在此之前的小波分析理论和应用及其在不同学科领域的发展，从此 小波分析开始进入了全面应用阶段。 九十年代初期，小波理论的另外两项突出成就是双正交小波和小波包理论。 燕山大学工学博士学位论文 k o v a c e v i c 和v e t t e r l i 在1 9 9 2 年提出了双正交小波的概念【阍。c o h e n 、d a u b e c h i e s 和 f e a u v e a u 于1 9 9 2 年构造出具有对称性、紧支撑、消失矩、f 则性等性质的双正交小 波【1 7 j ，而这些性质是正交小波无法同时满足的。和正交小波不同，双正交小波利用 两组互为对偶的尺度函数和小波函数实现函数的分解与重构。从泛函的观点来看， 双f 交小波基给出了l 2 ( r ) 的两组互为对偶的r i e z s 基。c o i f m a n 和w i c k e r h a u s e r 提 出的小波包分析突破了小波分析对信号频带进行等q 划分的局限性【18 1 ，它不仅对低 通子带进行分解，而且也对高通分量分解，从而聚焦到感兴趣的任意频段，对信号 的分析更灵活方便。 在小波理论的发展过程中，一个值得注意有趣现象是一些工程上已经解决的貌 似与小波无关问题却与小波密切相关。这些问题主要包括：b u r r 和a d e l s o n 在1 9 8 3 年提出的塔式图象编码算法1 1 9 1 ，语音压缩中的子带编码和数字信号处理中的多抽样 率滤波器组【2 0 1 ，计算机视觉中的多分辨率分析【2 1 】等。后来人们发现它们都可以用小 波变换作为理论基础，看成是从不同角度应用小波的特例。它们在解决工程问题的 同时促进了小波理论的发展，特别是对紧支撑正交小波的构造有很大启发。反过来， 小波理论的发展又进一步促进和完善了这些工程应用。 由于小波分析在九十年代初在许多应用领域获得的巨大成功，极大地促进了人 们继续探索和发展小波分析新理论的热情。九十年代中期出现的两个比较引人注目 的成果是多小波理论及小波提升算法。 在实数域中，紧支撑、对称正交的非平凡小波( h a r r 小波是平凡小波) 是不存在 的，人们必须在正交性和对称性之间进行折衷选择。为克服单小波的缺陷，g o o d m a n 等基于，阶多分辨率分析建立了多小波理论框架 2 2 , 2 3 1 。其基本思想就是将单小波中 由多个尺度函数生成的多分辨率空间扩展为由多个尺度函数生成，以此来获得更大 的自由度。a l p e r t 用多项式构造了第一个多小波阱】，g e r o n i m o 等利用分形插值函数 构造了正交、对称、紧支撑、逼近阶为2 的g h m 多小波【2 5 】，它将在实际应用中十 分重要的光滑性、对称性、紧支性和正交性完美地结合在一起。正是由于多小波具 有这么多优良特性，近年来多小波在理论和应用中发展都很迅速。 1 9 9 5 年，s w e l d e n s 等提出了一种新的小波构造算法一提升方案( l i f t i n g s c h e m e ) 2 6 , 2 7 ，利用提升方案构造的小波又被人们称为第二代小波。在第二代小波中， 小波不一定非由母小波经伸缩和平移得到，它可以定义在某一特定区间，也可以定 义在某一不规则的网格中。第二代小波能够包容所有的第一代小波，即所有的第一 第1 章绪论 代小波都可以用提升方案构造出来。另外第二代小波还具有运算速度快、对内存需 求量小、能实现整一整变换等优点。正是由于这些优点，第二代小波己被新的静态图 像压缩国际标准j p e g 2 0 0 0 所采用【2 8 】。 1 2 3 小波变换的局限性 小波是表示具有点奇异性目标函数的最优基，它能有效表示信号的零维奇异特 征，即反映奇异点的位置和特性，但难以表示更高维的几何特征。在二维图像中， 由于边缘、轮廓和纹理等具有高维奇异性的几何特征包含了大部分信息，小波不再 是表示图像的最优基【2 9 。常用的二维小波是由两个一维正交小波的张量积形成，其 基函数只有水平、垂直、对角线三个方向( 如图1 1 所示) 。其中对角线方向的基函数 包括4 5 。两个方向，也就是说对图像进行二维小波变换时，对角线子带同时4 5 。 两个方向的信息，因此严格来说，二维小波变换只有2 5 个方向选择性。二维小波 变换的另外一个缺陷是它们的基函数都是各向同性，即基函数的支撑是方形的。从 图1 2 中可以清楚地看出，在描述图像边缘时，具有各向异性的基函数比各向同性 的基函数具有更稀疏的表示方式，即它们能以更少的系数表示图像的边缘，因此多 方向选择性和各向异性是获得图像稀疏表示的必要条件。由于具有这两种特性的变 换能更有效地表示图像的边缘和纹理等几何特征，在文献中通常把具有这两种特性 的图像分析方法统称为多尺度几何分析【3 0 i ( m g a ：m u l t i s c a l eg e o m e t r i ca n a l y s i s ) 。 m g a 发展的目的和动力是致力于为具有高维奇异性函数提供最优的表示方法。 图1 - 1 二维小波基及其频谱 f i g 1 - 1t h et w o - d i m e n s i o n a lw a v e l e tb a s e sa n di t sf r e q u e n c y s p e c t r u m s 燕山大学工学博士学位论文 图1 - 2 图象边缘的两种表不方法 f i g 1 - 2t h et w oi m a g er e p r e s e n t a t i o nf o ri m a g ee d g e s 1 3 多尺度几何分析 多尺度几何分析是近几年在国际上兴起的“第二次小波浪潮”，虽然现在还难以 预料它是否会像小波变换一样在许多领域遍地开花，但它在图像去噪和图像压缩中 实际应用效果已充分体现了其在图像处理中的发展潜力。由于国内对多尺度几何分 柝的研究才刚刚开始，并且大多停留在应用层面，因此后面主要介绍国外在这方面 的研究成果。 1 3 1自适应多尺度几何分析 所谓自适应多尺度几何分析是指图像变换的基函数随图象内容变化而变化。它 主要包括近年来提出的b r u s h l e t 3 1 】、边缘自适应多尺度变换( e d g e a d a p t e dm u l t i s c a l e t r a n s f o r m ) | 3 2 l 、w e d g e l e t p 3 1 、w e d g e p r i n t 3 4 1 、b a n d e l e t 3 5 3 6 1 和d i r e c f i o n l e t s | 3 7 】等。 m e y e r 和c o i f m a n 在1 9 9 7 提出了一种自适应频带分割方法_ b m s h l e t 变换。 b m s h l c t 变换非常适合描述周期纹理图像，但对于分片光滑图像的边缘不能提供稀疏 表示。d o n o h o 在1 9 9 9 年提出的w e d g e l e t 变换是一种简单有效的图像表示方法。所 谓w e d g e l e t 是定义在正方形区域上的分片二值函数，该区域被一条直线分成两部分， 直线的方向可以根据边缘的方向调节，用一系列不同尺寸不同方向的w e d g e l e t 可以 逼近图像的边缘轮廓。2 0 0 1 年c o h e n 和m a t e i 提出了基于边缘方向检测的非线性多 尺度变换：边缘自适应多尺度变换，将其用于图像压缩，重构图像边缘处的视觉效 果明显优于小波变换。2 0 0 3 年，w a k i n 等利用w e d g e l e t 字典( w e d g e l e td i c t i o n a r y ) 来 描述图像边缘产生的小波系数，从而得到一种比小波和w e d g e l e t 更为稀疏的图像表 示方法，w a k i n 等人将这种表示方法命名为w e d g e p r i n t 。 6 第1 章绪论 p e n n e c 和m a l l a t 在文献 3 5 】提出了第一代b a n d e l e t 变换。b a n d e l e t 变换是一种基于 边缘的自适应图象表示方法，它能白适应地跟踪图像的几何正则方向。其主要思想 是根据图像内容将图像分割成大小不一的矩形块，变化剧烈的区域用多一些的小矩 形块分割，而变化缓慢的区域用少一些的大矩形块分割。对每一个矩形块应用和边 缘同向的几何流对其进行描述。把分割方式和几何流模型作为参数，去优化一个给 定的目标函数，从而得到该图像的最优表示。这种技术能够对图像的不同变化区域 给以不同的处理，并抛弃“边缘”这一不易于从数学上界定的概念，转而采用“几何流” 这样一个反映图像连续区域变化的概念。b a n d e l e t 变换适合在图象压缩领域应用，在 相同码率的情况下，其重构图象质量明显优于j p e g 2 0 0 0 。借助于b a n d e l e t 的概念， p e y r e 与m a l l a t 提出了第二代b a n d e l e t 变换1 3 ，它通过普通的二维小波变换结合几何正 交投影实现。与第一代b a n d e l e t 变换相比，第二代b a n d e l e t 变换不需要计算几何流， 算法更加简洁快速。同年，v e l i s a v l j e v i c 等基于整数格点理论提出了一种可分离多方 向多尺度图像表示方法- - - d i r e c f i o n l e t s 。该方法利用拉格朗日优化算法对图像进行最 优分块操作，每块图像采用不同方向的d i r e c t i o n l e t s 来表示。 1 3 2 非自适应多尺度几何分析 所谓非自适应多尺度几何分析是指图像变换的基函数与图象内容无关。它主要 包括最近提出的r i d g e l e t 、c u r v e l e t 和c o n t o u r l e t 。 脊波( 鼬d g e l e t ) 变换是由c a n d e s 和d o n o h o 在1 9 9 8 年提出的。c a n d e s 在其博士 论文1 3 8 1 及文献 3 9 中给出了连续r i d g e l e t 变换的理论框架。同年d o n o h o 提出了正交 脊波变换的构造方法。1 9 9 9 年c a n d e s 提出的单尺度脊波变换实现了含曲线奇异的 多变量函数的稀疏表示【4 0 1 。2 0 0 0 年d o 和v e t t e r l i 提出了一种离散脊波变换1 4 1 1 ，2 0 0 3 年我国学者侯彪等提出了一种基于脊波变换的直线检测算法【4 2 】。脊波变换的核心思 想是利用r a d o n 变换将一维奇异特征( 线奇异) 映射为零维奇异特征( 点奇异) ，然后再 进行小波变换。脊波变换是表示具有线奇异多变量函数的最优基，但对于具有曲线 奇异的多变量函数，其非线性逼近性能与小波变换相当。 1 9 9 9 年，c a n d e s 和d o n o h o 在脊波变换的基础上提出了连续曲波( c u r v e l e t ) 变换 ( 简称为c u r v e l e t 9 9 ) 2 9 1 。c u r v e l e 9 9 变换是由子带滤波结合多尺度局部脊波变换实现 的。2 0 0 2 年，s t a r c k ，c a n d e s 和d o n o h o 提出了基于频域子带滤波和离散局部r i d g e l e t 变换实现的c u r v e l e t 变换( 简称为c u r v e l e t 0 2 ) m ，并将其用于图像去噪取得了令人满 7 燕山大学工学| 尊士学位论文 意的效果。在c u r v e l e t 0 2 中，离散局部r i d g e l e t 变换由伪极坐标f f t 变换俾s e u d o - p o l a r f f tt r a n s f o r m ) 实现，其突出优点是算法简单。c u r v e l e t 9 9 和c u r v e l e t 0 2 通称为第一 代c u r v e l e t 变换，它们的共同特点是在实现时都需要对子带进行分块操作，再对每 个分块进行脊波变换。为了避免产生分块效应，块与块之间必须有重叠，因此第一 代c u r v e l e t 变换的冗余度高。当分解尺度为j 时，其冗余度高达1 6 j + 1 。为降低第一 代c u r v e l e t