（固体力学专业论文）近裂尖夹杂对Ⅰ型和Ⅱ型裂纹应力强度因子的影响.pdf

摘要 近裂尖夹杂对i 型和i i 型裂纹 应力强度因子的影晌 摘要 复合材料或金属材料中夹杂对裂纹应力强度因子的影响是一个具有 重要理论意义和工程应用价值的研究课题。 基于夹杂和基体之间的非协调应变的一阶精度近似计算，首先发展了 一些简单的预测公式来计算夹杂对i 型裂纹应力强度因子的影响。结果 表明当夹杂处在酬控制区域，即，夹杂的尺寸与裂纹或其他尺寸相比是 很小的时，如果夹杂和基体弹性模量之比不太大时，由一阶近似结果所 得到非约束应变有较高的精度。数值算例表明范围大概在e e 。* 0 5 5 左右，推导的公式具有比较满意的精度，而这个应用范围已可满足一般 工程复合材料的需要。这些简化公式可对处于近裂尖端不同形状，位置， 大小的夹杂产生的影响作出快速的估计。 第二，以相变增韧理论和e s h e l b y 等效夹杂理论为基础，推导出i ， i i 型裂纹和夹杂相互作用的基本方程并由数值分析结果证明有足够精 度。基本方程及其对几种特殊的夹杂形状的简化公式提供了一个估计夹 杂的形状、大小、位置以及模量对i ，i i 型裂尖应力强度因子的影响的 方法。 l、 v 。 关键宇：夹杂，应力强度因子，e s h e l b y 等效夹杂理论，i 型裂纹，i i 型 裂纹，相变增韧。 蔼磊磊丙i 面磊磊磊一 1 蟑要 t h el n f l u e n c eo ft h en e a rc r a c k - t i pi n c l u s l o n o nt h es t r e s si n t e n s i t yf a c t o r s o fm o d eia n di ic r a c k a b s t r a c t t h ei s s u eo ft h ev a r i a t i o no fs t r e s si n t e n s i t yf a c t o r si n d u c e db yn e a rc r a c k - t i p i n c l u s i o ni nc o m p o s i t eo rm e t a im a t e r i a | sa nj m p o r t a n tr e s e a r c hf i e l dw h i c hh a sa g r e a tt h e o r e t i c a ls i g n i f i c a n c ea n de n g i n e e r i n gp r a c t i c a lv a l u e a tf i r s t 。b a s e do nt h el o w e s to r d e ra n d a p p r o x i m a t ec a l c u l a t i o no f t h em i s m a t c h s t r a i nb e t w e e nm a t f i xa n di n c l u s i o n ，w ed e v e l o ps o m e s i m p l ef o r m u l a st op r e d i c t t h ev a r i a t i o n so fs t r e s si n t e n s i t yf a c t o r sf o rm o d eic r a c ki n d u c e db yt h ei n c l u s i o n w i t h i n c r a c k t i p f i e l d t h eu n c o n s t r a i n e dm i s m a t c hs t r a i n sb e t w e e nm a t r i xa n d i n c l u s i o n 。w h i c hi n d u c et h ev a r i a t i o no ft h en e a rc r a c k - t i pf i e l d 。a r ee s t i m a t e df r o m t h er e m o t ea p p l i e ds t r e s s i n t e n s i t yf a c t o r 民a sc o m p a r e dw i t h n u m e r i c a l e x a m p l e s ，t h el o w e s to r d e r s o l u t i o nh a sg o o da c c u r a c yw h e nt h ed i m e n s i o no ft h e i n c l u s i o ni ss m a l l e rt h a nt h ec r a c kl e n g t ha n dt h em o d u l u sr a t i ob e t w e e nt h e i n c l u s i o na n dt h em a t r i xm a t e r i a lw i t h i nt h e r a n g eo f 巨e 。0 5 5 t h i s a p p l i c a b l er a n g es h o u l db e s u f f i c i e n tf o rc o m m o n e n g i n e e r i n gc o m p o s i t e m a t e r i a l s t h ef u n d a m e n t a if o r m u l aa n di t s s i m p l i f i e d f o n t l sf o rs e v e r a is p e c i a ii n c l u s i o n s h a p e sp r o v i d eaq u i c ke s t i m a t ef o rt h ee f f e c t so fi n c l u s i o ns h a p e ，s i z e 1 0 c a t i o n a n ds t i f f n e s so fa ni n c l u s i o na h e a do fc r a c k - t i po nt h en e a r c r a c k - t i pf i e l d s e c o n d l y ，w e u s et h et r a n s f o r m a t i o nt o u g h e n i n g t h e o r y a n de s h e l b y e q u i v a l e n t i n c l u s i o nt h e o r yt of o r m u l a t et h ev a r i a t i o n so fs t r e s si n t e n s i t yf a c t o r sf o rm o d eio r m o d ei ic r a c ki n d u c e d b y t h es t i f f n e s sa n d g e o m e t r y o ft h en e a r c r a c k - t i pi n c l u s i o n t h ef u n d a m e n t a if o r m u l a sa n dt h e i rs i m p l i f i e df o r m sf o rs e v e r a is p e c i a li n c l u s i o n s h a p e sa r ea c c u r a t ea sp r o v e db yn u m e r i c a le x a m p l e s t h e yp r o v i d eaq u i c k e s t i m a t ef o rt h ee f f e c t so fi n c l u s i o n s h a p e s i z e 。i o c a t i o n a n ds t i f f n e s so fa n i n c l u s i o na h e a do fm o d eio rm o d ei ic r a c k - t i po nt h en e a rc r a c k - t i pf i e l d 擅要 t i pf i e l d k e yw o r d s ：i n c l u s i o n ，s t r e s si n t e n s i t yf a c t o r e s h e l b ye q u i v a l e n ti n c l u s i o nt h e o r y m o d eic r a c k ，m o d ei ic r a c k ，t r a n s f o r m a t i o nt h o u g h e n i n g 蔼函聂泛i 丽磊二蔷夏一 “1 上海交通大学 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权上海交通大学可以将本学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 保密口，在一年解密后适用本授权书。 本学位论文属于 不保密酬 ( 请在以上方框内打“4 ”) 学位论文作者签名：谅强 日期：2 0 0 2 年6 月2 3 日 指导教师签名：柳竿 日期：珈年z 月2 舻日 上海交通大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外， 本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式 标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：砾；云 日期：2 d 晓年占月2 8 日 第一章绪论 第一章绪论 1 1 工程背景 在复合材料和金属材料中，常用短纤维或二相粒子作为增强剂。在研究这些材 料的力学行为时，常须处理基体和夹杂之间的相互作用，特别是当基体中含有裂纹 时，裂纹尖端的应力一应变场会受到近裂尖夹杂的弹性模量和几何尺寸的强烈影响。 裂端的应力强度因子是加强或减弱主要取决于基体和夹杂的弹性模量之比和夹杂的 形状及其相对裂纹尖端的位置。由于裂尖区应力强度因子对材料断裂行为有重要影 响，有关裂纹和夹杂相互作用的研究受到了广泛的重视 1 - 8 1 。由于问题的复杂性， 目前尚无解析解来精确处理裂纹和夹杂之间的相互作用。研究主要是集中在数值方 法上，例如有限元方法【1 - - 3 】，边界元方法 2 ，4 】，和奇异积分方程方法 5 ，6 】。大 量的数值分析揭示了夹杂的形状，大小，位置和弹性模量对裂尖应力强度因子的影 响。尽管这些数值研究对认识裂纹和夹杂相互作用的情况提出了有益帮助，但是这 些分析难于应用于工程实际，而且数值结果只对固定的计算参数才适用。所以，发 展于应用于工程实际应用的解析方法具有重要意义。 1 2 课题的主要研究内容 本文的研究旨在发展一些近似的计算公式来预测在近裂尖处不同形状和弹性常 数的夹杂对裂尖应力强度因子的影响，并且由数值结果来验证这些计算公式的应用 范围和精度。在本文中，首先发展了一种简单的计算方法( 第三章) 对i 型裂纹和 夹杂的相互作用作了定量分析，然后应用e s h e l b y 理论，进一步对i 型裂纹( 第四 章) 和i i 型裂纹( 第五章) 与夹杂的相互作用作了较严密的推导。由于在第四和第 五章中的基本原理是e s h e l b y 理论，所以在第二章中阐述有关理论。其他一些比较 复杂的相关公式推导和程序放在附录中。 密上海冀鼍大摹2 0 0 2 磺士攀位静文 寡二章e s h e l b y ：藏夹杂曩论 第二章e s h e | b y 等效夹杂理论 1 4 ，1 5 本章简述e s h e l b y 等效夹杂理论，为第四、五章的推导提供严格的理论基础。 如图2 - i ，无限基体含一椭圆夹杂，c 、c 。分别是基体及夹杂的弹性常数，当 c 。= c ；，称均匀夹杂问题，c 。c i 为非均匀夹杂问题。 圈2 1 2 1 均匀夹杂问题 若夹杂在无应力状态下( 即无约束时) ，产生一个固有应变e ( 例如相变或热膨 胀等) ，周围弹性基体对其施加约束应变为e 。，这时夹杂中的应变为( e 。一e ) ，则 夹杂中的应力为： 叮；c i ( e 。一e t ) = c 。( e 。一e t ) ( 2 一1 ) 若夹杂为椭圆的，则夹杂内应力均匀，且有： e 。= s e l( 2 - 2 ) 其中s 为e s h e l b y 张量，仅取决于夹杂的形状及基体的泊松比。 2 2 非均匀夹杂问题 当非均匀夹杂有一固有应变e ”时，则夹杂内应力为： o i = c i ( e 6 一e ”) ( 2 - 3 ) 在保持基体约束应变e 6 及夹杂中应力不变条件下，可将非均匀夹杂问题转化为均匀 夹杂问题。由( 2 - 2 ) 、( 2 - 3 ) 式可得： c i ( e 。一e t * ) = c ( e 。一e ) ( 2 4 ) 簿上海冀曩大掌2 0 0 2 磺士学位论文 2 第= e s h e l b y 等效夹杂葺l 论 由此可求得等效均匀夹杂的固有应变e 1 为： e = 【( c 一c 。) s + c 。l c i e ” ( 2 5 ) 则等效夹杂中的应力为： a l = c 。( s i ) 【( c i - c 。) s + c 。1 - l c e ” ( 2 6 ) 2 3 有外力作用的均匀夹杂问题 图2 - i 所示的物体受到外加力场a 作用时，对均匀夹杂问题，夹杂和基体中应 相应叠加上外加应力场： 一+ a = c 蕾( e c e t ) + c n e = c m ( e c + e 一e t ) ( 2 7 ) 2 4 有外力作用的非均匀夹杂问题 在有外应力场作用时，同样依据保持基体约束应变( e 。+ e ) 及夹杂中应力不变前 提下，可将非均匀夹杂问题转化为等效的均匀夹杂问题： a j + o = c ；( e 。+ e 一e t * )非均匀夹杂( a ) o ，+ a = c 。( e 。+ e 一e t )均匀夹杂( b ) ( 2 8 ) 由( 2 - 8 ) 可求出等效均匀夹杂的固有应变e ： e t = 【( c i c 。) s + c _ r 1 【( c 蕾一c j ) e + c i e p 】 ( 2 9 ) 由方程( 2 9 ) 可知，即使夹杂的固有应变e ”为零，当有外加应力场作用时，夹杂中将 产生“固有”应变e ，显然e 7 是外加应力场的函数。在e t * = 0 时，e 7 是由外加应 力场引起。 2 5e s h e i b y 张量 本文研究二维裂纹与夹杂的相互作用，因此仅涉及圆柱形各向同性夹杂的 e s h e l b y 张量。 对圆柱各向同性夹杂，e s h e l b y 张量为： 癣上海冀鼍大学2 0 0 2 壤士掌位论文 第= 幸e s h e l b y 等效失杂曩论 s = 5 4 v 8 ( 1 一们 4 v 一1 8 ( 1 一y ) o o 4 v 一1 8 ( 1 一们 5 4 v 8 ( 1 一y ) o 0 o0 oo l ， 2 ( 1 一y ) v 2 ( 1 一y ) o 0 o o 其中y 为泊松比。 2 6 弹性矩阵各分量 对各向同性材料，其弹性矩阵为： c = 旯+ 2 9 a o 0 o a a + 2 1 z a o o o aooo ao o o a 4 - 2 0 00 0 0 0 0 00 00 0 卢 其中，是剪切模量，五为拉密常数且 名：丝! ( 1 2 v ) 00 oo 00 oo 三0 2 o 三 2 ( 2 - 1 0 ) ( 2 1 1 ) r 2 1 2 ) 簿上膏襄鼍夫尊2 0 0 2 _ 番l 位论文 4 o o。尚。o 三“ 第三t 夹杂对i 型裂蚊矗【力舅l 度目子的影响的，l 低阶精度肄法 第三章夹杂对i 型裂纹应力强度因子的影响 的最低阶精度解法 3 1 模型和公式推导 在本文中，假设裂纹和夹杂之间的距离及夹杂的尺寸大小相对裂纹长度来说是 很小的。夹杂可具有任意形状，但是假设它们相对裂纹平面是几何对称的。夹杂和 基体的弹性模量分别是e 和玩。为了简化，假设基体和夹杂的泊松比是相同的，用 y 来表示。并且假设基体和夹杂粘合非常好。裂纹受一个远场应力作用，用应力强 度因子叫表示。裂尖区由于夹杂的作用，应力强度因子发生改变，用足二表示。用 似：。= k ：。一础来表示两者之差，是夹杂的弹性模量、位置和形状的函数。若 世：。 0 ，则表示夹杂对 裂尖场有放大作用，加速断裂的发生。 在相变增韧理论中f 9 ，1 0 ，由两个相同的相变微元幽( 如图3 一1 ) 所引起的平 面应变i 型裂纹的应力强度因子的变化为： 援品= 而1 两e r 一q ，( e 品，) 幽 ( 3 一1 ) 其中 州e 品棚= ( e ：+ e 乏) c o s 警+ 3 e 二c 。s 警s i n + i 3 ( e 三一e i ) s i n p s i n 等 在上式中，e ：，e ：t ：，e 五是( ，) 处应力自由时的相变应变，由于对称， 处于( r ，- p ) 处的相变应变。 对平面应变i 型裂纹问题，近裂尖的非零应变为【2 8 】 = i 去叶咖。s 知咖一协争予 = 言岳咖。s 知功旧争争 = 蔫c t 州c o s 争扣等 ( 3 - 2 ) e j ，e 乏，- e 五是 ( 3 - 3 ) 若以基体和夹杂的弹性模量e m 和置代入上式，作为一阶近似，也即最低阶精度近似， 在夹杂中的无约束弹性非匹配应变可以表达为： 癣埘吏曩 尊2 0 0 2 _ 陆啦薷丈 第三章夹杂对i 型曩蚊应力强度园子的影响的l 诋阶精度解法 伽r 击一旁嘉似眈。咖也巾加争学 秘r 击一专岳似咖知砌巾加争学 e 墨= r 击一亡，去仆矿) c o s 譬s 加譬删警 物理本质上，公式( 3 4 ) 所示的应变即为( 3 2 ) 中无约束时相变应变。 约束非匹配应变略所引起的应力强度因子增量可由( 3 1 ) 式计算： 援品= 而l 啬，q - 棚以 这里 ( 3 4 ) 这样，由无 ( 3 5 ) q 以三删= 噎一去丽2 k ar l + y 朋一2 咖笪2 湖望2 + 三c 。s s 加2 用 ( 3 - 6 ) 如果夹杂的形状已知，那么越。可以由下式计算： 丛旷i 铡”c o s 警c o s - - p 2d a + 4 ( 1 l - 2 v ) s i n 2 p c o s p ) a , 4 ( 3 - 7 ) 这里c 是一个常数： c = 端睁 p s ， 由于对称，式( 3 7 ) 的积分只需在裂纹面上半平面进行。 如果一个小夹杂处于裂纹延伸线上，角度通常是很小的。这样，式( 3 7 ) 右边 中的第二项对a 的贡献很小( 例如，当p = l o ，p = 0 3 时，第二项的值仅为第 一项值的6 ) 。这时，夹杂中的膨胀应变( 式( 3 7 ) 的右边第一项) 对斌品有主要 的影响。这样，我们得到： 斌品z 倒【，_ 2 c 。s 等c 。s 生2 刎( 3 - 9 ) 对于几个特殊的夹杂形状，可以得到一些近似的简化公式： ( a ) 从( 3 9 ) 可知，当一个半径为r 的圆形夹杂，其中心位于( r 0 ，0 ) ，i 型应力强度因 露上海吏l 大拳2 0 0 2 _ 膺- 鲢静支 6 第三章夹杂对i 型覃纹应力舅i 度因子的影响的| l 诋阶精度算法 f o r r 矿j 的窄长矩形夹杂垂直于裂纹面并且它的中心位于 ( r o ，0 ) ，如图3 - 2 ( a ) 所示。在式( 3 7 ) 中使用d a z w r d , 8 c o s p ，那么 这里 峨= c 麟：r 三万等c o s p 2 + 而3 s 妒c o s p ) d p c ，0 w k ( j o = 。2 c o s 3 a c o s 础+ r 而3 西s i n 2 c 。s 脚】 = i c w m t 确3 s i i l ”杀丽s i i l 3 风) ( 3 _ 1 1 ) 口。；j i 风= j i 甜咏i i ( 3 一1 2 ) 当i r o 1 ，我们得到 斌。* 群 ( 3 _ 1 3 ) ( c ) 当长为2 1 ，宽为w ( 1 j 的窄长矩形平躺在裂纹延伸线上( 如图3 - 2 ( b ) ) 。在 式( 3 9 ) 中使用幽“1 2w d r 和c 。s 呈2 星c 。s 詈* 1 ，我们得到： 峨“罾尉 t o r l r o ( 3 - 1 4 ) ( 3 一1 5 ) ( d ) 平行对称于裂纹面的两条矩形窄长夹杂( 如图3 2 ( c ) ) 。式( 3 7 ) 使用 簿 鼍囊曩夫簟2 0 0 2 一士事位论文 7 楚增 kc = ： 印 哟 必 变的子 第三夹杂对i 型| e 戟矗力强度因子的影响的，低阶翻度 法 d az r w d f l s i n , f l ，得到 斌o = c 麟玎：南( c 。s 警c 。s 譬+ 而3 s ；n 2 c 。s ) 彬 = 旦【2 ( c o s 如峨s 崛) + 杀1 丽v ( s 洒3 岛“嘲) 】 疗州一zl f 3 1 6 ) 这里 f l l = 2 0 t l = a c c o s 赤，f 1 2 = 2 口t 2 = a l c c o s 赫( 3 _ 1 7 ) z 是夹杂的长度，h 是夹杂到裂纹的距离，是裂尖到夹杂最远端的距离。当 1 h 和r o = ，2 ，可得足乙“0 。这表示，当裂纹处于两平行连续夹杂的中央 时，夹杂对裂尖应力强度因子的影响可以忽略。 3 2 数值算例 上面导出的基本公式( 3 - 7 ) 的精度和设用范围由下面的三个数值算例进行验证。 第一个数值算例是对一个三点弯曲试件进行有限元分析。如图3 - 3 所示，一个 圆形夹杂处于裂纹延伸线的前方。为了计算x 品，选择处于裂尖和夹杂之间的三条 ，积分路径，取其平均值，计算，通过硌= 如以( i - v 2 ) 计算码。如图3 - 3 所示，当e 1 e 0 5 ，有限元计算得到的j 咯扁与公式( 3 7 ) 得到的结果吻合地非 常好。在图3 - 3 中，k j 是没有夹杂时试件受相同载荷时的应力强度因子。 当我们知道夹杂的几何形状时，可由( 3 7 ) 式简单的数值积分来计算k 二。对于 图3 - 3 中具有圆形截面的柱状夹杂，式( 3 - 7 ) 可以写成： 峰三删篡出p c 筹严+ 两3 南协 ( 3 1 8 ) 对图3 - 4 所示的矩形截面夹杂。式( 3 7 ) 可以写成： 觚品畦删麟出f o e 气苦产+ 而3 苫磊协 ( 3 1 9 ) 图3 4 表示一个硬夹杂r e e m = 2 到和一个软夹杂r e e 。= n 影逐渐逼近裂 纹尖端时所引起的裂尖应力强度因子的变化，并将由式( 3 1 9 ) 及其简化算式( 3 一1 1 ) 的 癣上海吏l 夫拳2 0 0 2 一士事位论支 第三章夹杂对i 型| t 纹应力3 j 度园子的量；响的，l 低阶审t 度跨 计算结果和有限元的结果进行比较。上面的三个结果都吻合地很好。如图3 4 所示， 当( r n 一1 2 ) 1 1 o 5 时，式( 3 7 ) 有满意 的精度。 3 3 讨论和结论 本章研究工作的局限在于：( 1 ) 由于应用远场应力强度因子础来计算基体和夹杂 之间的非匹配应变，所以，夹杂必须处在磷控制区域，即，夹杂的尺寸与裂纹或其 他尺寸相比是很小的。( 2 ) 当夹杂和基体弹性模量之比不太大时，由一阶近似结果所 得到非约束应变有较高的精度。数值算例表明，大概在e e 。* 0 5 5 范围内，式( 3 7 ) 具有比较满意的精度，而这个应用范围已可满足一般工程复合材料的需要。式( 3 - 7 ) 以及它的简化公式可对处于近裂尖端不同形状，位置，大小的夹杂产生的影响作出 快速的估计。 y 哆 ，。三，。五 r 久 图3 - i 裂纹平面上对称的两个相变粒子 密上海麦曩犬簟2 0 0 2 曩士攀位论文 9 第- - t 夹杂对i 型鬟纹应力，舅l 度因子的影响的，l 蘸阶精度解法 图3 - 2 三个特殊情况：a ) 长2 ，宽为( ， 形) 的狭长夹杂垂直于裂纹，其中心位于 ( 0 ) ；b ) 长为，宽为矽的狭长夹杂躺在裂纹延伸线上ic ) 两个长为，宽为 狭长的夹杂对称平行于裂纹线。 09 012345 e ，e m 图3 - 3 对于不同弹性模量比e 。e ，( i ，= y ，= o 3 ) ，由公式( 3 7 ) 和有限元分析得到的无 量纲化应力强度因子k 0 础相比较 癣 謦冀毫 尊2 0 0 2 疆士拳位论文 1 0 0 i 鲁 o 、r y 第置章夹杂对i 型j e 纹应力舅l 度园子的影响的，l 低阶精度e 法 ! ：二? 一 ! 了旺j ；r 五一- - ；墓e q 磊( 3 - 7 ) 一 02345 o i w ，2 ) f l 4 图3 4 当一个矩形软夹杂( e ，e ，= o 5 ) 和矩形硬夹杂( e ，e ，= 2 5 ) 逐渐逼近裂纹尖端 时，由式( 3 7 ) 及其简化公式( 3 - 1 1 ) 和有限元计算的无量纲化应力强度因子 j 匕i k j 的变化( 1 ，= y ，= o 3 ) 楚。 、导 娩、 e ，e 图3 - 5 对于半无限裂纹前含一个圆夹杂，由式( 3 - 7 ) 和文献 9 ( 引用文献 3 图6 ) 所得到的 无量纲化应力强度因子x 品尉相比较( _ = y ，= o 3 ) 上 吏l 大掌2 0 0 2 习i 士攀位论文 o 5 0 5 o 5 0 5 o 2 1 1 0 o 9 9 8 8 1 1 1 1 1 o 0 0 0 口 号 ) l z 第四章用e s h e l b y 等敲夹杂j 置饨来讲算i 型裂纹和夹杂的相互作用 第四章用e s h e i b y 等效夹杂理论来计算i 型 裂纹和夹杂的相互作用 4 1 模型和公式推导 e s h e l b y 等效夹杂理论为本章 1 4 ，1 5 的分析提供了坚实的理论基础并且为数值 计算所验证。 在二维模型中，夹杂是棱柱体，它的形状由柱体的截面决定。 根据e s h e l b y 等效夹杂方法( 详细内容见第二章) ，在各向同性基体中椭圆夹杂 的等效相变应变e 、夹杂中的应变e 7 和应力o 由下列各式计算 1 4 ，1 5 1 ： e 1 = l ( c 。一c 。) s + c 。1 - 1 ( c 。一c ，) e ( 4 - 1 ) e 1 = e + e 一e ( 4 - 2 ) o i = c 。e 。 这里 e 。= s e l ( 4 - 3 ) ( 4 4 ) e 是均匀基体的弹性外加应变。c ，和c 。分别是夹杂和基体的弹性模量，s 是e s h e l b y 张量，仅取决于夹杂的几何形状和基体的泊松比。它们是四阶张量但对各向同性材 料来说能够被减少到6 x 6 矩阵( 不再是严格意义上的张量) 。e s h e l b y 理论仅对于无 限大的基体中的含一椭圆夹杂可由严密数学方法推出。当夹杂承受一个应力自由的 均匀相变应变时，夹杂中的应力和应变是均匀的。然而，为了把这个理论用于更多 的实际工程情况，e s h e l b y 理论已被扩展来处理不同的实际问题，例如两椭圆间夹 杂的相互作用 1 9 1 ，混杂复合材料行为【2 0 】和短纤维增强复合材料【1 4 】，以及对在非 椭圆夹杂中的非均匀应力场计算，这里只举了几个例子。在本文的研究中，我们把 e s h e l b y 理论扩展应用到在裂尖区任意形状夹杂的计算。无论非椭圆形状的夹杂或 是裂尖奇异场都会在夹杂中产生不均匀的应力应变场。但是，我们假设e s h e l b y 理 论能被用来处理夹杂中的每个微元，微元所受的相变应变是由式( 4 - 1 ) 决定，由此得 到的应力也是均匀的。在夹杂中的非均匀相变应变可由在夹杂范围内积分得到。 为了简化，假设夹杂和基体是各向同性并且泊松比是相同的。这样，我们可以 得到： 癣上寿冀曩夫拳2 0 0 2 壕簟位静麦 第四l | 闸e s h e l b y q 文夹杂毫鼬来计算i 型鬟妓和巍杂的相王作月r c 。= a c ( 4 - 5 ) 这里 娃= e t e 。t 4 - 6 怒式( 4 5 ) 代入 一1 ) 和( 4 2 ) 褥； e = l e e = t e 4 7 ) 这里 l = 【( 口一i ) s + i r ( 1 - a ) ( 4 8 ) t = ( s 1 ) l + i( 4 - 9 ) i 是单位张量。这样，张量l 和t 就将夹杂中等效相变应变e 1 和夹杂中的总应力a l 与井赭应交联系超来，丽不用考虑c ，察c ，静爨体形式。 在圈3 - 1 赝示的力学模型中，对夹杂的外加应变场就是i 型裂纹阅题的应变场： 击甜y ) c o s o ( ，功胭争争 务鑫m 岫争2 咖s 呼加争 e 墨= 瓦杀r y j 删呈嘲旦2 删丝2 平面应变 对手圜藏强翻柱夹杂，e s h e l b y 张爨的分攫可以写成【2 2 1 ( 4 一1 0 ) 露埔黼梯2 0 0 2 第四章用e s h e l b y 等效夹索理饨来计算i 盈u 奠纹和夹杂的相王作用 s - - t - = s z ：= 而5 - 4 v s ”：z = s ：- - = 而4 v - 1 s - ”= s ：，= 丽v ，s ：t ：= 而3 - 4 v 。 一。一三o 1 3 1 3 0 2 3 2 3 2 ( 4 - 1 1 ) 其他的分量都是零。正如上面提到的，四阶e s h e l b y 张量可以被减少到6 6 矩阵， 所以我们有墨2 1 2 = 2 s 1 2 1 2 ，s 1 3 1 3 = 2 s 1 3 1 3 ，岛3 2 3 = 2 s 2 3 2 3 ，这里s 州是四阶e s h e l b y 张量的分量。把式( 4 一1 1 ) 代入( 4 8 ) 和( 4 9 ) ： l i i i = l 一等装器篱 厶。= 上：。= 一再( i i - a 面) 2 ( 面1 - v 五) ( 1 - j 4 v 面) = = 丽( 1 - a ) 2 v ，= ( 1 一口) r=裟，l1313-1q212 13z q 3 1 3 r 2 3 2 3 = 等1一( + 口一4 m ) 一 + 口 = = 酉a ( 1 - i v ) ( 3 丽- 4 甬v + 5 丽a - 4 v a ) t 1 1 2 2 = 瓦2 1 1 = 一矸a i ( 1 - 面a ) ( 面1 - v 忑) ( 1 j - 4 v 面) = s ，= i l a + ( 1 i - a 2 ) v y l ，= 口 ，一兰竺( ! 二! !，一，一兰生1 1 2 1 2 一( 1 + 3 口一4 m ) 1 1 3 1 3 12 3 2 3 1 + 口 l 和t 张量的其他部分都是零。 存式f 4 一】1 中的等神相蛮商蛮南下式给h ： ( 4 1 2 ) ( 4 1 3 ) 癣上膏寞囊大学2 0 0 2 磺蠹- 憎潸冀 1 4 一一 ! ! ! 苎坠! ! ! 堕! 苎查苎兰竺查竺苎! 竺兰竺! 查苎竺竺苎塑 。c l n l l + 三1 1 2 2 扣拉等篙警挚c o s 罢 e 乏一e i = ( l n - l , m ) ( e 丢一e i ) = i i ：4 ：( ；1 ：- i ：a ：；) ( ：1 ：- ；i v 孺2 ) k o s i n o s i n 詈 e t = l i 2 1 2 e 曼= 再2 ( 1 i - a 丽) ( 1 - i v 2 ) k 瓦o s i n 觚詈 夹杂中的应力可以由式( 4 3 ) 可得： 矗= 筹俨岫甄赤一丽2 , = 石2 a k ：卜y ，删詈( 志+ 而而2 盯羔= 吖卅，+ 盯羔j l4 a k ： 1 一y 0 03 0 盯i 2 2 。 l + 3 a - 4 v c t ) 3 c t 4 v a 8 2 5 加一2 5 2 - 拈j 21 ；l 惫鸶丽2 吃2 箍卜一c 。s 氧是鸶+ 丽2 伽急e 篙3 a4 v a ) 碰2 稚2 跏丝2 “ 。2 刀r l + 一 。 把式( 4 1 4 ) 和( 3 2 ) 代入( 3 1 ) ，我们得到： 州，= 拿c t c o s c o s3 8 2 + c 2s i n 2 0 c o s e ) d a c 一= 鬻 ( 4 1 4 ) ( 4 1 5 ) ( 4 1 6 ) ( 4 一1 7 ) ( 4 一1 8 ) 飞面品品五而鬲磊_ ” 、l、叫 始一：始一： 咖 咖 口一2 口一2 咖 咖 、l、 始一：始一： 咖 蓦 口一2 口一2 渤 薹 第四幸用e s h e l b y 警藏夹杂班论泰计算i 型鬟蚊和夹杂的相互捷墨 c 。 整! 二垡2 。 2 ，1 + 3 c t 一4 v o t ) 在e ，e ，为无穷大或者零这两种极端的情况下，我们得到： c ，。2 v 一1 ，c 2 5 互石两1 t 当口= 。 翔 c l 。1 ，c 2 = 詈， 当掰= 0 如果夹杂的形状是知道的，那么砘可以这样得到： 斌品= 等”c lc o s 扣i 3 0 + q s i n z o c o s o 础 警一l 霹 ( 4 2 0 ) ( 4 - 2 1 ) ( 4 - 2 2 ) 式( 4 2 2 ) 的积分在上半平面的夹杂内展开。 如果一个小夹杂处于裂纹延伸线上，角度通常是很小的。这样，式( 4 2 2 ) 右 边孛憨第二瑗对a k 乏煞贾麸缎小( 铡热t 当0 = 1 0 。，矿= 0 3 戳及g = e 1 一l o 时，第 二项的值对予第一项来说小于1 0 ) 。夹杂中膨胀应变的交化( 式( 4 2 2 ) 右边第一项) 对足：。有主要的影响。这样，我们可以得到： 峨* 等肛。8 i 3 0cos02,u(4-23) 对于一螋特殊形状的夹杂，可得一些近似的简化公式： ( a ) 飙式( 4 2 3 ) 可知，当一个半径为r 的圆形粒子中心位于( ，o ) 时，i 型应力强度 嚣子鲍变纯艘该是： 峨= 警当r 矽，的窄长矩形夹杂垂直予袈绞丽并盥它的中心位子 ( 屹，o ) ，如黧3 - 2 ( a ) 骶。在式4 2 2 中使趣烈* w r d f l c o s f l ，那么： 斌品= 譬毫矗眩c o s 警c o s 罢+ q 盘2 秽c o s 秽 a o = c , j ：o = 。2 c o s 3 a c o = 翻d 掰十c ：。s i n 2 0 c o s 日，口) 簿上海_ 褒曩 攀2 0 0 2 豫拳饿传式 1 6 第四幸用e s h e l b y 等，夹杂毫饨来计算i 型，l 蚊和夹杂的相王作用 ：堕( 2 c c o s 3 口o $ i n + 拿s i l l ，0 0 ) ( 4 - 2 5 ) 这里 铲圭吼= 三1 们留i l ( 4 - 2 6 ) 当，o 1 ，我们得到 丛品“警( 扣弘1 ) ( 4 - 2 7 ) ( c ) 当长为，宽为w ( 1 形，的窄长矩形平躺在裂纹延伸线上( 如图3 - 2 ( b ) ) 。近 尖端夹杂的端部到裂尖的距离是，0 在式( 4 2 3 ) 中运用刎* 圭肋和 c o s 警c o s 譬乩驯 得到： 斌j ；口= 丽c , w k ：i ( 4 2 8 ) 以及 舣品。罂鹾当协，0 ( 4 - 2 9 ) + z 刃二 ( d ) 平行对称于裂纹面的两条矩形窄长夹杂( 如图3 - 2 ( c ) ) 。式( 4 2 2 ) 年i j 用 d a r w d f l s i n 口，得至0 ： 丛品= 监l r 志( c 印s 罢+ c 2 s i n 2o c o s o 瑚 = 筚【2 c 1 ( c 。s ，口2s m 口2 - - c o s 3 ( z is i i l q ) + ；c 2 ( s i | 1 3 0 2 一s i n 3 岛) 】 nj ( 4 - 3 0 ) 这里 弘z 铲一o s 赤一观铲a r c c o s 赫汁s ， ，是夹杂的长度，h 是夹杂到裂纹的距离，r o 是裂尖到夹杂最远端的距离。当 蛰上海交皿大掌2 0 0 2 硪士壮位论文 第四章用e s h e l b y 等效夹杂理论来计算i 型鬟纹和夫杂的相互作用 ， h 和= ，2 ，可得足：。* 0 。这表示，当裂纹处于两平行连续夹杂的中央时， 夹杂对裂尖应力强度因子的影响可以忽略。 4 2 数值算例 在上面的推导过程中的一个基本假设前提是e s h e l h y 理论对夹杂中的任一微元 可近似适用。现在，我们用有限元来计算图4 - i 中圆截面夹杂中两点a ( r = 2 ，0 = 0 0 ) 和b p = 2 0 2 9 ，0 = 1 1 6 8 0 ) 的应变与式( 4 1 6 ) 计算结果相比较( 图4 - 1 ) 。方程( 4 1 6 ) 是 从e s h e l b y 等效夹杂理论得到的，所计算的夹杂中应变和有限元结果非常接近。值 得指出的是式( 4 - 1 6 ) 不仅仅局限于圆截面夹杂，对于有任何截面形状并且边界光滑 ( 不包括角点) 的夹杂，与有限元分析( 这里没有给出) 相比较式( 4 1 6 ) 给出了非 常好的预测。因此可以断定，夹杂中等效相变应变可以由e s h e l b y 等效夹杂方法很 好地预测。因此，基本方程式( 4 - 2 2 ) 应当有很好的精度，下面就由数值算例来证明。 图4 - 2 是一个三点弯曲的试件。一个圆截面的柱形夹杂位于裂纹线上。如图4 2 所示，从式( 4 2 2 ) 和有限元计算得到的无量纲化应力强度因子k 品足：非常地吻合。 在图4 2 中，叫是相同试件在相同加载下没有夹杂的应力强度因子。 在分析中心裂纹前端有一个圆形夹杂的试件形状和大小对应力强度因子的影响 时，我们发现，当试件尺寸是裂纹长度2 到3 倍，夹杂的半径r 与裂纹的长度a 相 比小于o 1 5 ，那么试件的形状和大小对k 乞础几乎没有什么任何影响，这一结论 与 2 3 1 吻合。在以下的数值计算中，所构造的有限元模型均满足上述条件，因而 k ：。刚和裂纹的几何尺寸无关。 对于给定形状尺寸的夹杂，需对式( 4 2 2 ) 进行简单的数值积分来计算足品。对于 图4 - 2 中的具有圆截面的柱形夹杂，式( 4 - 2 2 ) 可进行以下形式的数值计算： 战。= 嘉篡出p 眩哥产崛赤酬蝴， 对于在图4 - 3 中的矩形夹杂，式( 4 2 2 ) 可以写成 丛品= 烈k l o e 。+ w i ：2 d x j ：【c 1 气铲+ c ：著舞协 ( 4 _ s s ) 图4 3 比较了一个软性矩形夹杂( e ，e 。= o 1 ，o 5 ) 逐渐逼近裂尖时，由式( 4 3 3 ) 及其简化算式( 4 - 2 5 ) 和有限元的计算结果，三者都吻合良好。如图4 _ 3 所示，当 ( ，n w 2 ) h l 时夹杂才产生很大的影响。 1 1 1 提供了半无限裂纹和圆形夹杂相互作用的近似分析结果，和式( 4 2 2 ) 的预测 结果表明( 图4 4 ) ，公式( 4 - 2 2 ) 有良好精确性。 簿上海囊曩夫掌屹0 0 2 釉尊位悖文 ，f 四l 用e s h e l b y 等效夹蔫晴l 论来计算i 墨z 裂纹和夹杂的相互作用 为得到显式解析表达式，我们假设夹杂和基体的泊松比是相同的。但e s h e l b y 理论对于泊松比不同情况也是适用的。利用图4 2 中的模型，用有限元分析基体的 泊松比保持不变( v ，= 0 _ 3 ) ，但是夹杂的泊松比变化，分别为y = 0 2 ，0 3 ，0 4 。和 = = o 3 相比较，当互e = o 5 ，砧剧的最大误差出现在= 0 2 为1 4 ， 在咋= 0 4 为_ 2 5 。尽管如，x ：在不同的u 和下差别不大，但应在进一步的 研究中考虑其影响。 4 3 本章的讨论和结论 尽管e s h e l b y 理论在本文的研究中只是近似地被应用，但是对具有不同形状和 模量的夹杂的数值算例表明，由相变增韧理论和e s h e l b y 等效夹杂理论得到的基本 方程是精确的。公式( 4 - 2 2 ) 及其对几种特殊的夹杂形状的简化公式提供了一个近似 估计夹杂的形状、大小、位置以及模量对裂尖应力强度因子的影响的方法。 基本方程的局限性在于由于用耐场是用来计算基体和夹杂之间的非匹配应变， 所以夹杂必须处在k ：控制区，也就说夹杂的尺寸和裂纹长度以及其裂纹体其他尺寸 相比必须是很小的，在此条件下，基本式( 4 2 2 ) 与i 型裂纹的尺寸是无关的。 静上海冀鼍觯。2 0 0 2 _