（计算机应用技术专业论文）基于小波变换的嵌入式零树编码压缩技术研究.pdf

摘要 随着信息时代的发展，多媒体技术作为计算机通信、信息存储、 i n t e r a c t 网络传输等信息技术的最活跃的研究领域之一，引起了业界 人士的广泛关注。其中，图像数据因为能给人们以直观、形象的感觉， 是人类认识世界最容易接受的、重要的信息来源，因而成为多媒体技 术中最为重要的信息表示形式。然而，信息量大是图像数据的特点， 在现有的传输、储存条件下，图像压缩成为解决这一问题的必然手段。 通过小波变换进行图像压缩是一种常用的、高效的图像压缩方法，本 文主要在基于小波变换的嵌入式零树编码算法基础上对图像压缩算 法的优化进行了研究，主要包括以下几个方面的工作： 首先，论述了图像数据压缩的必要性和可行性，对传统的经典的 图像编码技术进行了综述。 然后，探讨t d , 波分析理论同传统的傅立叶变换的联系与区别。 鉴于小波分析理论是建立在严格的数学证明之上，论文中给出了它正 式的数学定义，并且详细分析了小波变换的多分辨率分析理论以及在 该领域内最重要的一个小波分解算法一快速m a l l a t 分解算法。 接着，论文研究了对图像进行二维小波变换的常规方法，并在 l e n a 标准测试图像三级分解的基础上，统计了经过小波变换后图像 像素的能量分布特性。然后，结合实例详细地分析了基于小波变换的 嵌入式零树编码算法( e z w ) ，模拟了该算法编码解码的全部过程。 在深入分析了e z w 算法后，介绍了其著名的改进算法一多级 树分裂集合算法s p i h t ，并分析了它较e z w 的优势与不足。最后， 针对e z w 算法中小波分解后图像的低频与高频子带的不同特性，提 出了改进的策略，即分别对低频子带进行d p c m 无损编码，各方向 高频子带采取不同阂值，对高频子带运用改进的零树编码算法，并且 给出了测试结果，证实了这种方法的有效性。 关键字小波变换，m a l l a t 算法，多分辨率分析，图像压缩，嵌入式 零树编码，差分脉冲编码调制 a b s t r a c t w i t l ld e v e l o p m e n to fi n f o r m a t i o nt e c h n o l o g y ，t h er e s e a r c hf o r m u l t i m e d i ah a sb e c o m eo n eo ft h em o s ta c t i v ef i e l d so fc o m p u t e r c o m m u n i c a t i o n ，d a t as t o r a g e ，i n t e r a c tc o m m u n i c a t i o na n ds oo n i m a g e h a sb e c o m et h em o s ti m p o r t a n tc o m p o n e n to fm u l t i m e d i a b u tt h e q u a n t i t yo fi m a g ed a t ai s s oh u g et h a ti m a g ec o m p r e s s i o ni s v e r y n e c e s s a r y w a v e l e tt r a n s f o r mi so n eo ft h em o s te f f i c i e n tm e t h o d sf o r i m a g ec o m p r e s s i o n i nt h i st h e s i s ，s o m ew o r ka b o u to p t i m i z a t i o no f e m b e d d e dz e r o 。t r e ec o d i n gb a s e do nw a v e l e tt r a n s f o r mi sd o n e f i r s t l y , t h i st h e s i sd i s c u s s e st h en e c e s s i t ya n df e a s i b i l 姆o fi m a g e c o m p r e s s i o n , a n ds u m m a r i z e ss e v e r a lc l a s s i c a li m a g ec o d i n gt e c h n o l o g y s e c o n d l y ，t h et h e s i si n t r o d u c e st h et h e o r yo fw a v e l e ta n a l y s i sa n d d i s c u s s e st h er e l a t i o nw i t h , a n dd i f f e r e n c ef r o m ，t r a d i t i o n a lf o u r i e r t r a n s f o r r n t h e nt h et h e s i sg i v e st h ed e f i n i t i o no fw a v e l e ta n da n a l y z e s t h et h e o r yo f m u l t i r e s o l u t i o na n dm a l l a tf a s ta l g o r i t h mi nd e t a i l t h i r d l v t h et h e s i sd e s c r i b e st h em e t h o dt h a tp e r f o r m s2 。dd i s c r e t e w a v e l e tt r a n s f o r mo ni m a g e t h e nt h et h e s i sc o l l e c t ss t a t i s t i c so n c o e f f i c i e n t sv i a2 一dd i s c r e t ew a v e l e tt r a n s f o r m a n dt h e nt h et h e s i s a n a l y z e s t h ee z wa l g o r i t h mi n d e t a i l b yg i v i n g a l l e x a m p l e a n d s i m u l a t e st h ew h o l ep r o c e d u r eo f e n c o d i n ga n dd e c o d i n g a f t e rd e 印l ya n a l y z i n ge z w , a i m i n ga ti t ss h o r t a g e ，t h et h e s i s i n t r o d u c e si t sf a m o u si m p r o v e da l g o r i t h m s p i h t t h et h e s i sc o m p a r e s b o t ha l g o r i t h m sa n dp o i n t so u tt h ea d v a n t a g ea n ds h o r t a g eo fs p i h t f i n a l l y , a c c o r d i n gt oa n a l y s i st ot h es h o r t a g ea n da d v a n t a g eo fe z w a l g o r i t h m , b a s e do nt h ef a c tt h a td i f f e r e n ts u b b a n d sh a v ed i f f e r e n t c h a r a c t e r i s t i c ，t h et h e s i sb r i n g sf o r w a r da na p p r o a c ht oi m p r o v et h e a l g o r i t h m t h em e t h o di st oa d o p td p c m ( d i f f e r e n c ep u l s ec o d e m o d u l a t i o n ) f o rt h el o w e s tf r e q u e n c ys u b b a n da n dt o u s ed i f f e r e n t t h r e s h o l d sf o rt h eo t h e rf r e q u e n c ys u b b a n d s t e s t i n gr e s u l tp r o v e st h i s a l g o r i t h mm o r ee f f e c t i v et h a nt r a d i t i 0 1 1 a le z wa l g o r i t h m k e y w o r d s w a v e l e tt r a n s f o r m ，m a l l a t ，m r a ，i m a g ec o m p r e s s i o n ， e z w ，d p c m n 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。尽我所知，除论文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为 获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我共同工 作的同志对本研究工作所做的贡献均已在论文中作了明确的说明。 作者签名： 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留学位论文，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论 文的全部或部分内容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文； 学校可根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文。 作者签名：互一旦逸导师签名：弛日期：三丛咀月日 硕士学位论文 第一章绪论 1 1 引言 第一章绪论 随着现代信息社会对通信业务要求的不断增长，图像数据量的巨大与通信网 带宽和存储容量的矛盾日益突出，特别是具有庞大数据量的数字图像通信，更是 难以传输与存储。这样就对我们获取和利用图像信息造成了很大的困难，成为了 图像通信发展中的瓶颈问题，而图像压缩技术整是解决这一问题的关键途径，因 此图像压缩领域已经成为越来越多的科研工作者选择的研究方向。 从九十年代至今，图像压缩技术日臻完善，产生出了很多优秀的算法，如离 散余弦变换、霍夫曼编码、运动估计与补偿等。在小波变换理论出现后，它作为 信号处理的一种手段，逐渐被越来越多领域的理论工作者和工程技术人员所重视 和应用，尤其是在图像压缩技术的应用中取得了显著的效果，同传统的图像压缩 技术相比，其产生了质的飞跃，具有十分巨大的生命力和广阔的前景。与此同时， 嵌入式编码技术是新一代静态图像压缩技术标准j p e g2 0 0 0 的核心技术之一，在 当今的网络信息时代它具有很大的研究价值和应用空间。在这其中，嵌入式零树 编码算法z w ) 以其简洁的算法思想，优秀的压缩成果奠定了它在静态图像压缩 领域卓越的基础性地位，本文就针对该算法进行了比较深入的研究，并在此基础 上，针对传统e z w 算法存在的缺点进行了一定的改进。 1 2 图像压缩的必要性和可行性 计算机网络和通信的高速发展，已经深入到了世界的每一个角落。这样使得 人们对多媒体信息如声音、图像等的需求正在以指数级速度增长。而我们知道数 字化了的图像、音频等的数据量是非常大的。例如：一幅具有中等分辨率( 6 4 0x 4 8 0 ) 的真彩图像( 2 4 位，像素) ，它的数据量约为7 3 7 m b 帧。若要达到每秒2 5 帧的全动态显示要求，每秒所需的数据量为1 8 4 m b ，而且要求系统的数据传输 率必须达到1 8 4 m b s ，对于声音也是如此，若采用1 6 位，样值的p c m 编码，采 样速率选为4 4 1 k h z ，则双声道立体声声音将有1 7 6 k b s 的数据量，如此巨大的 数据传输要求，这在目前是无法做到的。 这样大的数据量，无疑给存储器的存储容量、通信干线的信道传输率以及计 算机的速度都增加了极大的压力。单纯用扩大存储器容量和增加通信干线的传输 率的办法是不现实的。通过压缩手段把信息数据量降下来，以压缩的形式存储和 硕士学位论文第一章绪论 传输。这样既节约了存储空间，又提高了通信干线的传输效率。 另一方面，图像压缩编码得以实现的两个依据是图像的统计特性和人类视觉 系统特性。以目前常用的位图格式的图像存储方式为例，在这种形式的图像数据 中，像素与像素之间无论是在行方向还是在列方向都具有很大的相关性，因而整 体上数据的冗余度很大。在允许一定限度失真的前提下，能够对图像数据进行很 大程度的压缩。 从信息论的观点来看，图像作为一个信源，描述信源的数据由信息量( 信源 熵) 和信息冗余量之和构成。所以在图像数据的表示中存在着大量的冗余，通过 去除冗余数据可以使原始图像数据量极大的减少，从而解决图像数据量巨大的问 题。一般的，冗余数据分为以下几种乜1 ： ( 1 ) 空间冗余 在同一幅图像中，规则物体和规则背景的表面物理特性具有相关性，这些相 关性的光成像结果在数字化图像中就表现为数据冗余。 ( 2 ) 时间冗余 时间冗余反映在图像序列中就是相邻帧图像之间有较大的相关性，一帧图像 中的某物体或场景可以由其他帧图像中的物体或场景重构出来。音频的前后样值 之间也同样有时间冗余。 ( 3 ) 信息熵冗余 信源编码时，当分配给第i 个码元类的比特数6 ) = 一l g p ，才能使编码后 单位数据量等于其信源熵。但实际中各码元类的先验概率很难预知，比特分配不 能达到最佳，实际单位数据量d h ( s ) ，即存在信息冗余熵。 ( 4 ) 视觉冗余 人眼具有以下的视觉特性： 亮度特性：根据w e b e r 定律，人眼的亮度感觉依赖于目标与背景的亮度 比，而不是绝对亮度。只要保持目标与背景亮度比，就能给人以真实感觉。 视觉带通特性与图像边缘敏感度：人眼具有低通特性，即人眼对图像高 频部分不如对低频部分敏感，因此对高频分量可以用较少的位数表示；对于图像 边缘，人眼对水平和垂宜方向的边缘和线条较灵敏而对斜向不灵敏，即视觉敏感 度有方向性。 然而人们在记录原始的图像数据时，通常假定视觉系统是线性的和均匀的， 因此造成了视觉冗余。由以上可知，只要我们充分利用人眼的视觉系统特性和图 像本身固有的统计特性，就可以达到图像压缩的目的。 这其中，静态图像压缩主要集中在如何降低图像的空间冗余度和视觉冗余度 上，时间冗余一般是视频压缩领域需要解决的问题瓯埘。 2 硕十学位论文第一章绪论 1 3 图像压缩编码技术的基本原理和方法 1 3 1 图像压缩编码的基本原理 图像编码的研究重点是在允许图像有一定的失真的条件下( 包括主观视觉效 果在内) ，如何实现图像信息的数据压缩，简称为图像的压缩编码。 系统将来自信号源的图像信号经过p c m 编码器进行线性p c m 编码后，由 压缩编码器对图像数据进行压缩，然后得到消除了图像数据冗余的码字。图像压 缩编码的基本原理如图1 1 所示。 堰熏h 斟 压缩编码器 图1 - 1图像压缩编码基本原理框图 由此可见，图像编码就是要利用图像固有的统计特性以及视觉特性，从原始 图像信息中经过压缩编码而提取出有效信息，尽量去掉那些无用的冗余信息，以 便高效率的进行图像的数字传输或数字存储：而在复原时仍能获得与原始图像相 差不多的复原图像，保持图像信息中的有效信息瞻”。 1 3 2 图像和视频压缩编码的基本方法 针对数据冗余类型的不同，相应地就有不同的压缩方法。根据解码后数据与 原始数据是否完全一致进行分类，图像和视频压缩编码的方法大体上分为两类： 有失真压缩编码和无失真压缩编码“，如图l - 2 所示。 1 无失真编码 无失真编码又叫做熵编码( e n u o p yc o d i n g ) 。它是根据信息出现概率的分布 特性而进行的压缩编码技术，解码后能无失真地恢复原图像。其方法是：识别一 个给定的流中出现概率最高的比特或者字节模式，并用比原始比特更少的比特数 来对其编码，也就是说，出现概率越低的模式，其编码的位数就越多，出现概率 越高的模式编码位数就越少。如果码流中所有模式出现的概率相等，则平均信息 量最大，信源没有冗余。但由于无失真压缩技术在原理上大多采用概率统计编码， 因而一般对在内容上重复较多的数据压缩倍数比较大，而对没有重复或重复较小 3 硕士学位论文 第一章绪论 的数据，则压缩倍数就较低。一般平均压缩比在2 ：1 5 ：1 之间。常见的无失真编 码方法有： ( 1 ) 行程编码( r u n l e n g t h c o d i n g ) 行程编码主要用于量化后出现大量连续重复出现的相同数据的情形，利用行 程来表示连续相同的数据，可以降低表示连续相同数据的数据量。 图 像 和 视 频 数 据 压 缩 算 法 一编码- e 辫码 有失真 图l - 2 图像和视频压缩算法 ( 2 ) h u f f m a n 编码 霍夫曼于1 9 5 2 年提出了对统计独立信源能达到最小平均码长的编码方法， 也即最佳码，它完全依据字符出现概率来构造，各码字长度严格按照所对应符号 出现概率的大小逆序排列。最佳性可从理论上证明。这种码具有即时性和惟一可 译性。但霍夫曼编码很少能达到8 ：1 的压缩比，这主要是因为霍夫曼编码依赖于 信源的统计特性，必须先统计得到信源的概率特性才能编码，这就限制了他的实 际应用。 ( 3 ) 算术编码“3 1 算术编码是由j r i s s a n e n 在1 9 7 6 年提出的一种二元码的熵编码方法。它是 把一个信源集合表示为实数线上的0 到l 之间的一个区间。该区间的位置与输入 数据的概率分布有关。可以根据信源的统计特性来设计具体的编解码器，也可以 针对未知概率分布的信源设计能够自适应其概率分布的算术编解码器。由于算术 编码能够自适应的逼近信源的概率分布特性，因此在对未知的概率分布的信源编 解码时，算术编码要优于h u f f m a n 编码，所以在实际中得到了广泛的应用。 4 硕士学位论文 第一章绪论 2 有失真编码 有失真压缩法主要是利用人的视觉特性使解压缩后的图像看起来与原始图 像一样，但实际上它们之间是存在一定误差的。有失真编码是对熵进行了压缩， 从而减少了信息量，但这些损失的信息是不能再恢复的。因而这类编码技术往往 可以获得较大的压缩比。 ( 1 ) 预测编码 预测编码是根据图像在帧内和帧间的相关性以及人眼的视觉特性，利用前面 一个或多个的像素值来预测当前值，然后对当前值与预测值之差进行编码的方 法。预测编码分为有失真预测编码和无失真预测编码。无失真预测编码是指不对 预测误差进行量化，不丢失任何有效信息：而有失真预测编码需对预测误差进行 量化处理。差分脉冲编码调制法d p c m ( d i f f e r e n c e p c m ) 是有失真预测编码的 典型代表。 ( 2 ) 变换编码 变换编码是有失真编码的一种重要的编码类型。在变换编码中，原始数据从 初始空间或者时间域进行数学变换，使得信号中最重要的部分( 例如包含最大能 量的最重要的系数) 在变换域中易于识别，并且集中出现，可以重点处理；相反 使能量较少的部分较分散，可以进行粗处理。其中较为常用的是d c t 变换和小 波变换。 基于小波变换的压缩方法本质是用多尺度或多分辨率方法对图像进行分解。 分解后图像被分成了低频分量、水平方向的高频分量、垂直方向以及对角方向的 高频分量，需要注意的是，单纯的小波分解，并没有对数据进行压缩，压缩算法 都是利用小波分解后的系数特征来对它进行取舍以达到压缩的目的。进行多级分 辨率分解后，数据量的取舍可以逐渐增大，因此获得的压缩比会相应增大。 ( 3 ) 量化法 量化法是一种基于语义的编码方法，是一种很有前景的方法。其基本思想是 采用非线性量化器，即对空间频率及能量分布较大的系数分配较多比特数，也就 是采用较小的量化步长；反之则分配较少的比特数，即采用较大的量化步长，从 而达到压缩的目的。 1 4 图像压缩的评价 评价一种图像压缩技术的性能好坏主要有三个关键的指标：压缩比，图像质 量、压缩和解压的速度。除此之外还要考虑压缩算法所需要的软件和硬件。 压缩性能常常用压缩比来定义，也就是压缩过程中输入数据和输出数据之 5 硕士学位论文第一章绪论 比，希望压缩比尽量地大。值得注意的是，这种度量方法必须指明输入输出的显 示形式，否则就将是不可靠的。 第二个指标是图像质量，压缩方法可以分为无损压缩和有损压缩。无损压缩 是指压缩以及解压过程中没有损失原始图像信息，所以对无损系统不必担心图像 的质量。有损压缩则要对原始图像做一些改变，这样重建后的图像与压缩i ； 的图 像并不完全相同，对有损压缩结果的评价分为主观评分和客观尺度两种。主观评 分是建立在人眼对图像的视觉感受观上，一般的其分值在1 5 之间，分别对应 着不同级别的妨碍尺度和质量尺度评价，具体如表1 1 所示。 表1 一l 尺度评分法项目 评分值妨碍尺度 ， 质量尺度 5 丝毫看不出图像质茸变坏优 4 能看出图像质量变化，但不妨碍观看 良 3 清楚地看出图像质量变坏，对观看稍有妨碍 由 2 对观看有妨碍差 l非常严重地妨碍观看劣 而客观尺度通常有以下3 种： ( 1 ) 均方误差 ( 2 ) 信噪比 m s e = 击m 委- i 丢n - i 力一；- 6 螂 m ， m i n - 1 z a 2 ( f ，) s n r ( d b ) = l o l g 而蔷尘l 一( 1 - 2 ) e i a ( 】f ，) 一锨硝 t = oj = o ( 3 ) 峰值信噪比 e s n r ( d b ) ：l o l g 而# 型：l 一( 1 - 3 ) k ( f ，) 一a ( f ，硝 l - 3 = 0 其中，口( f ，_ ，) 为原始图像信号，占( f ，) 为重建图像信号，a r e , 。为口( f ，) 的峰值。 第三个指标是压缩解压速度，希望压缩解压速度耍快。在许多应用中，压缩 硕士学位论文 第一章绪论 和解压将在不同的时间、不同有地点、不同的系统中进行，因而必须分别评价压 缩和解压速度。在静态图像中，压缩速度没有解压速度要求严格，处理速度只需 比用户能够忍受的等待时间快一些即可。 此外还要考虑软件和硬件的开销。有些数据的压缩和解压可以在标准p c 硬 件上用软件实现，有些则因为算法太复杂或者质量要求太高而必须采用专门的硬 件。这就需要在占用p c 上的计算资源或者另外使用专门硬件的问题上做出选择。 1 5 论文内容安排 论文共由五章组成，其内容安排如下所示： 第一章，图像编码技术综述，首先介绍了重要的基本概念，主要包括：图像 及其表示、数字图像的输入和输出方法、图像信息冗余的表现形式；图像信息的 接受与质量测度；接着介绍了图像编码技术概况，主要包括：图像压缩编码系统 的基本构成、图像编码方法的评价标准；图像编码技术的分类、熵编码和几个重 要的图像编码国际标准。 第二章，介绍了小波变换的基本知识，主要包括：相关的数学背景知识、小 波编码的流程、关键的技术分析以及它的代表算法m a l l a t 算法等，简要介绍 了二维多分辨理论和二维小波变换以及它在图像处理中的应用，给出了对图像进 行小波变换的算法流程。 第三章，较详细介绍了嵌入式零树编码算法的思想和实现算法，并结合一个 实际的例子进行了全部编码解码过程的模拟。 第四章，重点章节，分析了e z w 算法的优缺点，并针对缺点，介绍了优秀 的改进算法s p i h t 算法，然后根据对算法的分析与理解，从其他方面提出了 对e z w 算法的改进策略，并给出了算法流程和描述，分析了改进算法较传统算 法的优势与不足，最后针对仿真程序中的难点，给出了关键代码作为参考。 第五章，对论文工作进行了全面的总结，对以后的研究工作提出了展望，明 确了今后的研究方向在视频压缩和小波包分析领域。 7 硕士学位论文 第二章小波分析的理论草础 第二章小波分析的理论基础 小波分析作为一种数学理论和方法在科学技术界正在迅速地发展起来。在数 学家们看来，基于小波变换的小波分析技术是泛函分析、调和分析、数值分析等 半个多世纪以来发展最完美的结晶，是正在发展中的新的数学分支。在工程应用 领域，特别是在信号处理、图像处理、分形、数值计算等领域，它被认为是近年 来在工具及方法上的重大突破。小波分析对分析工具起着承前启后、继往开来的 重要作用，并取得了许多传统分析方法难以实现的显著应用效果。可以预料，在 今后数年中，它将更广泛地成为科技工作者的又一锐利的数学工具，会极大的促 进科技及工程应用的各个领域的新发展。 2 1 小波分析的引入 小波分析是傅立叶分析理论发表1 7 0 多年来对其最辉煌的继承、总结和发 展，是傅立叶分析的重大突破。它自产生以来，就一直与傅立叶分析密切相关， 它的存在性证明、小波基的构造以及结果分析都依赖于傅立叶分析，两者是相辅 相成、密不可分的。要深刻理解小波分析，我们必须了解一下傅立叶分析。 2 1 1 傅立叶变换 1 8 2 2 年，法国数学家f o u r i e r 正式出版了推动世界科学研究进展的巨著热 的解析理论( t h ea n a l y t i ct h e o r yo f h e a t ) 。由于这一理论成功的求解了困扰科 学家1 5 0 年之久的牛顿二体问题微分方程( 此方程由牛顿在1 7 世纪建立) ，因此 傅立叶分析成为几乎每个研究领域中，科学工作者乐于使用的最完美、应用最广 泛、效果最好的一种数学工具。目前，傅立叶的思想和方法被广泛的用于信号处 理、图像处理、无线通信，是基础科学和应用科学研究开发的基础理论。 傅立叶变换定义了“频率”的概念，用它可以分析信号的能量在各个频率成 分中的分布情况。 定义2 1 函数厂( f ) r ) 的连续傅立叶变换定义为瓯”： f p ) = 夕0 ) = = 陟o k l “d t ( 2 - 1 ) 其傅立叶逆变换为： 厂( f ) = 多0 ) = 去陟o k w d r o ( 2 - 2 ) 8 硕士学位论文 第二章小波分析的理论基础 夕0 ) 称为几) 的傅立叶变换。当信号函数几) 足周期函数时，夕0 ) 称为，( f ) 的傅立叶级数，信号函数o ) 和它的f o u r i e r 变换厂白) 是同一能量信号的两种 不同的表现形式。厂( f ) 显示了时间信息而隐藏了频率信息，夕0 ) 显示了频率信 息而隐藏了时间信息。 傅立叶分析理论是十分完善的，但不易于实现。由s h a n n o n 提出的采样定理 ( s a m p l i n gt h 0 0 r e m ) 打开了数字技术研究的大门。 实际应用中为了在计算机上实现信号的频谱分析及其他方面处理，对信号的 要求是：在时域和频域是离散的，且都是有限长。这就要作离散傅立叶变换( d f t ) 。 离散傅立叶变换的定义为嘲； - l2 麻 工g ) = ，眈) = 六p 1 百1 k = o ，l 2 ，n - i ( 2 3 ) 卸 离散傅立叶逆变换的定义为： t 一l 2 硅 以= 吉z k 可” n = 0 ，l ，2 ，一l ( 2 - 4 ) j k = 0 尽管傅立叶分析对自然和社会产生了深远的影响，但它依然存在着自身的局 限性。即传统的傅立叶分析有如下五点不足： ( 1 ) 傅立叶分析擅长处理线性问题，对非线性问题力不从心； ( 2 ) 公式( 2 1 ) 没有反映出随时间变换的频率。而我们实际需要的是能够 确定时间间隔，使在任何希望的频率范围上产生频谱信息； ( 3 ) 为用公式( 2 一1 ) 从信号函数厂o ) 提取频谱信息f p ) ，就要取无限的量； ( 4 ) 因为一个信号的频率与它的周期长度成反比由此得到，对于高频谱信 息，时间间隔要相对的小，以给出较好的精度；而对于低频谱信息，时间间隔要 相对的宽，以给出完全的信息。亦即需要一个灵活可变的时间一频率窗，使在高 “中心频率”时自动变窄，而在低“中心频率”时自动变宽。也就是说，傅立叶 变换无法做到时一频局部化分析。 2 i 2 加窗傅立叶变换 为了研究信号在局部时间范围内的频域特征，1 9 4 6 年g a b o r 提出了加窗傅立 叶变换，亦叫短时傅立叶变换( s t f t ) 。其本思想是：把信号划分成许多小的时 间间隔，用傅立叶变换分析每一个时间间隔，以便确定该时间间隔存在的频率。 定义2 2 信号，( f ) 的窗i i 傅立叶变换定义为： m g s 0 ，f ) = 陟( f k ( ，一f 1 “出 ( 2 5 ) 9 硕士学位论文 第二章小波分析的理论基础 其中函数g 是给定的，称之为窗函数。 另外，还有重建公式为： 厂( f ) = 圭阻g ，0 ，f 龇一f 沙d r 、 ，( 2 - 6 ) 、， z 月二二 虽然加窗傅立叶变换对弥补傅立叶变换的四点不足起到了一定的作用，但依 然没有彻底解决时一频局部化的问题。因为它是一种窗口大小及形状均固定的时 一频局部化分析。即当窗函数g ( f ) 确定后，矩形窗口的大小和形状就确定了，而 f 和珊只能改变窗口在相平面上的位置，而不能改变窗口的大小和形状。这与信 号处理中高频成分需窄的时间窗；低频成分需宽的时间窗的实际需要不符合。此 外，在进行数值计算时，人们希望将基函数离散化，以节约计算时间及存储量。 傅立叶分析由于以上的不足，大大限制了它的应用范围。因此，寻求一种新 的时间窗满足在窗口移动的同时，窗口的大小和形状也能随之而变化的研究成为 了新的研究热点。小波分析的思想正是在这一需求的基础上逐渐产生的。 2 2 小波与小波变换 上一节我们讨论了傅立叶变换、加窗傅立叶变换，由于他们没有彻底解决 时一频局部化的问题，所以小波分析应运而生。小波分析是一种窗口大小( 即窗 面积) 固定但其形状可改变，时间窗和频率窗都可改变的时一频局部化分析方法， 也就是它实现了对低频分量采用大时窗，对高频分量采用小时窗的分析方法，所 以它被誉为“数学显微镜”。正是这种特性，使小波变换具有对信号具有自适应 性。另外，当小波变换适当的离散化后能构成标准正交系，无论在理论上还是在 实用上，都具有很重要的意义。 2 2 1 小波的本质 小波分析的主要思想是将信号，分解为一系列基函数帆的和，即： f = 口，( 2 - 7 ) ， 如果基函数虻能够良好的匹配所表示的信号，的特性，那么就可以用较少 的系数q 有效的表示出信号厂，因而基函数的选择非常重要，这个基函数就 是小波有限区间上的波。小波的优良的相关特性，表现为以下几点呻1 ： ( 1 ) 小波在时域和频域都具有局部化特性，因而可以很容易地检测信号的 局部特点。 ( 2 ) 小波具有多分辨率的特性，所以小波可以在不同的分辨率下对信号进 女f t j k # ， 0 f，。w：#m t ， 硕士学位论文 第二章小波分析的理论基础 行分辨处理。 ( 3 ) 小波的光滑度可以由它的消失矩来决定，小波的消失矩定义如下； 如果在闭区间k ，6 】上，j 厂g b 出= o i = 0 ，l ，2 ，万一l 则称小波具有门阶消失矩。小波的消失矩越高，其近似光滑连续信号 的程度就越好。 2 2 2 连续小波与小波变换 定义2 3 小 波( w a v e l e t ) ，即小区域的波。其确切的定义为：设函数y ( f ) f n r ， 若其f o u r i e r 变换) 满足条件咖： 岛= 咩如 ( 2 8 ) 则称o ) 为一个允许小波或小波母函数，公式( 2 8 ) 被称为允许条件( a d m i s s i b l e c o n d i t i o n )。 由小波的定义知：小波函数一般具有以下的特点： ( 1 ) 小由0 r ，| o j 出 0 0 ，即妒o ) 具有衰减性特别地，( f ) 是 矗 局部非零的紧支函数，在这个意义下称它是“小”的。 ( 2 ) 波动性由于眵t 协= o ，即直流分量为零，因此小波具有正负交替的 三 波动性。 ( 3 ) 带通性由p o l 删= p ( r 协= o ，知( f ) 还具有带通性。 且 定义2 4 将母函数矿( r ) 经过伸缩和平移后得到的函数族饥j ： ，舻| 口l 邮( 字) 6 氓口足一 o ) c h ， 叫分析小波( a n a l y z i n gw a v e l e t ) 或连续小波。 公式( 2 - 9 ) 中的变量a 反映函数的尺度( 或者称为宽度) ，变量b 检测沿f 轴 的平移位置。一般情况下，母小波函数妒( f ) 能量集中在原点，连续小波函数妙。j j 能量集中在6 点。 定义2 5 设5 f ，( r ) 是母小波， 5 f ，础 是由其按照公式式( 2 9 ) 给出的连续小波，对 信号厂( ，) ，其连续的小波变换定义为； r 硕士学位论文第二章小波分析的理论基础 町( 口，6 ) ，。一弦1 d 。1 儿l ，o 砂( 专勺面 对于由y c c f 4 , 波产生的信号的连续小波变换，我们有如下关系式： f ：野( 口，6 ) 丽窘彩= q 另外，对任意f r 及f r ，若，在t 处连续，则： 朋= 寿l 巧( 删哪) 竽 ( 2 - 1 2 ) r 。 上式说明信号丸) 的小波变换并没有损失任何信息，变换是守恒的。 连续小波变换还有如下性质： ( 1 ) 线性 连续小波变换是线性变换，即一个函数的小波交换等价于该函数各分量的 连续小波变换。其定义的内积形式( 口，6 ) = 就说明这一性质。 ( 2 ) 平移和伸缩不变性 连续小波变换在任何平移钆下是共变( c o v a r i a n t ) 的，如厂( f ) d 阡，g ，6 ) ， 则有厂o 一) 町q ，b 一) ；小波变换通过的任何伸缩也是共变的，即若 丸) 钟q ，6 ) ，那么厂瓴力付 瓴码嘞6 ) 。 4 a o 2 2 2 离散小波变换 在实际应用中，我们不能用计算机来实现连续小波变换。因此，需要将其离 散化。实际中，我们采用对数函数来量化尺度参数，而时间参数则依赖于尺度参 数，对于不同的应用，对数的底可以取不同的数，最常用的是取2 。1 。如果采用 2 为底的对数变化，在时间轴上的采样速率也以2 为因子进行变化。在公式( 2 - 9 ) 中，假定尺度参数取a = 2 ，平移参数取b = c a = k x 2 j ，其中，k z ，则： ( t ) = 2 - y 2 妒( 2 t k ) ( 2 1 3 ) 由此可以定义离散小波变换： c j ，= 肌耖肚m ( 2 - 1 4 ) 根据公式( 2 一1 3 ) ，可知，当我们调节尺度函数参数时，随着- ，变小，尺度a 随之变小。相应的频率变高，可以观察到更多的函数局部细节；若我们调节平移 参数，随着七变化，可以分析函数不同定义域内的信息。 1 2 d h 。 h ( ( 硕士学位论文第二章小波分析的理论摹础 2 2 3 傅立叶变换与小波变换的比较 小波分析是傅立叶分析思想方法的发展与延拓。它自产生以来，就一直与傅 立叶分析密切相关。它的存在性证明，小波基的构造以及结果分析都依赖于傅立 叶分析，二者是相辅相成的。二者相比较主要有以下不同“一1 ： ( 1 ) 傅立叶变换的实质是把能量有限信号厂( f ) 分解到以韬“ 为正交基的空间上 去；小波变换的实质是把能量有限信号厂( f ) 分解到形，和矿，所构成的空间上去。 ( 2 ) 傅立叶变换用到的基本函数只有s i n ( 研) ，c o s 耐) ，e x p ( f 研) ，具有唯一性； 小波分析用到的函数( 即小波函数) 则具有不唯一性，同一个工程问题用不同的 小波函数进行分析有时结果相差甚远。小波函数的选择是实际应用的一个难点问 题，也是小波分析研究中的一个热点问题。 2 3 多分辨率分析与m a ii a t 算法 多分辨率分析( m u l t i - r e s o l u t i o n a n a l y s i sm r a ) ，又称为多尺度分析。其创 始者s m a l l a t 是在研究图像处理问题时建立这套理论的。当时人们研究图像的一 种很普遍的方法是将图像在不同尺度下分解，并将结果进行比较，以取得有用信 息。m e y e r 正交小波基的提出，使得m a l l a t 想到是否能用正交小波基的多尺度特 性将图像展开，以得到图像不同尺度问的“信息增量”。这种想法导致了多分辨 率分析理论的建立。m r a 不仅为正交小波基的构造提供了一种简单的方法，而 且为正交小波变换的快速算法提供了理论依据。因此多分辨率分析在正交小波变 换理论中具有非常重要的地位。本节，我们就介绍多分辨率分析理论。 2 3 1 多分辨率分析与双尺度方程 若我们把尺度理解为照相机的镜头的话，当尺度由大到小变化时，就相当于 将照相机镜头由远及近地接近目标。在大尺度空间里，对应远镜头下观察到的目 标，只能看到目标大致的概貌。在小尺度空间里，对应近镜头下观察目标，可观 测到目标的细微部分。所以，随着尺度由大到小的变化，在各尺度上可以由粗及 细地观察目标，这就是多分辨率分析的思想。 不同分辨率下对函数，( f ) 的逼近构造了r 伍) 的一个子空间序列，称为r ( r ) 的多分辨率逼近。多分辨率的数学定义如下”： 定义2 6 空间上2 轵) 中的一系列闭子空间妒f j e z j 称为l 2 伽) 的一个多分 辨分析或者直观说是逼近，如果杪，l ，z ；满足下面各条件： ( 1 ) 单调性：一c 一。，对任意的_ ，z ； ( 2 ) 逼近性：n 矿，= o n 矿，= r ( 足) ； 硕士学位论文第二章小波分析的理论基础 ( 3 ) 伸缩性：，o ) 巧厂伍) 巧+ w z ； ( 4 ) 平移不变性：巾) ( ，一后) ，讹e z ； ( 5 ) r i e s z 基：存在一个函数妒e v o ，它的平移系函数族 如一k ) l k z 形 成v o 的r i e s z 基。我们称函数妒为此多分辨率分析( m r a ， m u l t i - r e s o l u t i o na n a l y s i s ) 的生成元或尺度函数。 定义2 7 伤，i ( f ) = 2 - j ：伊( 2 吖t 一后) ，j , k e z 则函数族妨 ( r ) ikez 构成闭子空间_ 的规范正交基。 引入闭子空间，z ，且是巧在巧，空间中的正交补，即： 一o = 巧一- ， ，z 显然，r 空间可以表示为正交补子空间序列眠，z 的直和，即： 三2 伍) = 虽 将，( f ) l 2 仁) 按照以下空间展开： 厂( f ) = o _ 其中t ，为任意实际需要的尺度，则： ， 确) = 嘭 妒， o ) + c 肚仍。o ) 当，专o 。，上式成为： “ ，( f ) = d 础y 础d 从 e ，3 v o3 巧3 的包容关系，我们很容易得到尺度函数妒和) 的一个 极为重要的性质，因为p o ) v oc ，所以伊o ) = 。o ) 可以用k 。子空间的基 函数纯。( f ) = 2 ) 2 妒协一后) 展开，令展开系数为h ，则： ( p j , k o ) = 2 - ：2 矿( 2 f j i ) = 2 - j 2 压h ，妒( 2 吖“f 一2 后一疗) = k 纺吐：胁t ) = m f o q g ) t m z艉z 这就是尺度函数的双尺度方程。另一方面，由于f 。= v 0 0 ，所以 缈o ) ；。( f ) 睨。，这意味这小波函数o ) 可以用子空间的正交基 纯。j ( ，) = 2 啦伊一后) 展开，令展开系数为g ，即有： 缈 ( f ) = 2 一，2 ( 2 一i t 一i ) = 2 一，2 乏g 。妒( 2 一卅f 一2 k 一即) 月e z = 岛f o j 邯胁t ) = g 一仍吐。t ) 艇z月e z 1 4 硕上学位论文 第二章小波分析的理论基础 这就是小波函数的双尺度方程。特别的当_ ，= o ，k = 0 时： 以) = 压伊伍一打) ( f ) = 压g 。妒伍一以) 其中吃= g 。= 艺：压 n - 0 g 。= ( - 0 h ( - - + 1 ) 下面我们给一个简单的例子来说明怎样由尺度函数推导出对应的小波函数： 最简单的正交小波函数是h a a r 函数： y o ) = 一1 已知h a a r 小波的尺度函数系数为： = 万1啊= 万1 可以求得它的小波函数系数为： ll 9 02 疆 9 1 一疆 小波函数的表达式为； 0 t 1 2 1 2 t 1 o t h e r o ) = 压g 。舡一丹) = 压q 2 t ) + g 。舡一1 ) ) = 拯舡) 一万i 妒伍一- ) 嘲沪舡- 1 ) 2 3 2 _ a i i a t 塔式分解算法 信号与图像专家m a l l a t 通过潜心研究，在多分辩率分析的基础上提出了著名 的塔式分析算法，该算法也是被称为快速小波变换算法。该算法的提出，使得小 硕士学位论文 第二章小波分析的理论摹础 波分解从理论研究真正走向了实用。 从上面的分析我们得到，双尺度差分方程表示为： 仍j o ) = 峨。矿j - l , n o )o ) = g 。乃，o ) - 月e z 肫z - 有了双尺度关系就可以对给定的信号作小波变换，设，( f ) r