（计算机应用技术专业论文）基于小波技术和arima模型的网络流量预测研究.pdf

、 q，；畦，1。，kl，。，；j 原创性声明和关于学位论文使用授权的声明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本 文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：瘪翌： 日 期：丝! 翌! 绘 关于学位论文使用授权的声明 本人同意学校保留或向国家有关部门或机构送交论文的印刷件 和电子版，允许论文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学 位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印或其他复制手段保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：缀番 导师签名：i 堕日期： 驰旦生。f 寸考 饵 f 峰fr 屯，0f芦 ， 山东大学硕士学位论文 目录 摘要i a b s t r a c t _ 第一章绪论1 1 1 背景介绍1 1 2 本文的主要工作2 1 3 本文的组织结构3 1 4 本章小结3 第二章小波理论基础4 2 1 小波定义5 2 2 小波变换6 2 2 1 连续小波变换( c o n t i n u o u sw a v e l e tt r a n s f o r m ) 7 2 2 2 离散小波变换( d i s c r e t ep a r a m e t e rw a v e l e tt r a n s f o r m ) 8 2 3 多分辨分析和m a l l a t 算法8 2 3 1 多分辨分析8 2 - 3 2m a l l a t 算法9 2 4 本章小结1 1 第三章常用网络流量模型介绍1 2 3 1 泊松模型1 2 3 2 马尔科夫模型1 3 3 3 平稳时间序列模型和非平稳时间序列模型1 3 3 3 1 平稳时间序列模型建立1 4 3 3 2 非平稳时间序列模型建立1 5 3 4 自回归模型：a r 模型，a r m a 模型，a r i m a 模型1 8 3 4 1a r 模型1 8 3 4 2a r m a 模型1 8 3 4 3a r i m a 模型1 8 3 4 4 模型类型的判别2 0 山东大学硕士学位论文 3 5 本章小结2 l 第四章小波分析与a r i m a 模型相结合建模与预测2 2 4 1 小波分析与a r i m a 模型相结合建模2 2 4 2 网络流量预测实验2 2 4 2 1 流量数据采集2 2 4 2 2 小波分解2 3 4 2 3 系数重构2 5 4 2 4 系数建模2 9 4 2 5 利用模型进行预测j 3 0 4 3 预测误差比较分析3 2 4 4 本章小结3 4 第五章结束语3 5 参考文献3 6 致谢3 9 攻读硕士学位期间的学术论文目录4 0 。t 馘 ? ， ， ，i；p ， 山东大学硕士学位论文 t a b l e0 fc o n t e n t s a b s t r a c ti nc h i n e s e i a b s t r a c ti ne n g l i s h i i c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n 】【 1 1b a c k g r o u n di n f o r m a t i o n 1 1 2m a i nw o r k 2 1 3o r g a n i z a t i o ns t r u c t u r e 3 1 4s u m m a r y 3 c h a p t e r2 f u n d a m e n t a l so f w a v e l e t st h e o r y 4 2 1w a v e l e td e f i n e d 5 2 2w a v e l e tt r a n s f o r m 6 2 2 1 c o n t i n u o u sw a v e l e tt r a n s f o r i t l 7 2 2 2d i s c r e t ep a r a m e t e r 、v e l e tt r a n s f o m l 8 2 3m u l t i - r e s o l u t i o na n a l y s i sa n dm a l l a ta l g o r i t h m 8 2 3 1m u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s 8 2 3 2m a l l a ta l g o r i t h m 9 2 4s u m m a r y 11 c h a p t e r3 n e t w o r kt r a f j c i cm o d e l 1 2 3 1p o i s s o nm o d d 1 2 3 2m a r k o vm o d e l ：1 3 3 3s t a t i o n a r yt i m es e r i e sm o d e l sa n dn o n - s t a t i o n a r yt i m es e r i e sm o d e l s 1 3 3 3 1s t a t i o n a r yt i m es e r i e sm o d e lb u i l d i n g 1 4 3 3 2n o n s t a t i o n a r yt i m es e r i e sm o d e lb u i l d i n g 1 5 3 4t h r e ec o n l r n o na u t o r e g r e s s i v em o d e l 1 8 3 4 1a rm o d e l 18 3 4 2a r m am o d e l 1 8 3 4 3a r n i am o d e l 1 8 3 4 4d i s c r i m i n a n tm o d e lt y p e 2 0 3 5s u m m a r y 2 1 c h a p t e r4a r i m am o d e l so fw a v e l e ta n a l y s i sc o m b i n e dw i mm o d e l i n ga n d f o r e c a s t i n g 2 2 4 1a r i m am o d e l so f w a v e l e ta n a l y s i sc o m b i n e dw i mm o d e l i n g 2 2 i i i 山东大学硕士学位论文 4 2n e t w o r kt r a f f i cp r e d i c t i o ne x p e r i m e n t 2 2 4 2 1t r a f ! f i cd a t ac o l l e c t i o n 2 2 4 2 2w a v e l e td e c o m p o s i t i o n 2 3 4 2 3c o e f f i c i e n tr e c o n s t r u c t i o n 2 5 4 2 4c o e f f i c i e n tm o d e l i n g 2 9 4 2 5u s i n gm o d e l st op r e d i c t 3 0 4 3c o m p a r i s o no f p r e d i c t i o ne r r o r 3 2 4 4s u m m a r y 3 4 c h a p t e r5 c o n c l u s i o n 3 5 r e f e r e n c e s ，3 6 a c k n o w l e d g m e n t s 3 9 p u b l i s h e dp a p e r s z l ( ) 气 1 1 锄； l，一 山东大学硕士学位论文 摘要 随着计算机网络的迅速发展，基于网络的应用急剧增长，目前的网络规模极 为庞大和复杂，网络互联环境越复杂，就意味着网络服务越容易出现问题，网络 的性能越容易受到影响。为了给用户提供优质的服务，网络的维护和管理显得 尤为重要。网络流量的准确预测在计算机网络的设计和管理、冲突控制和动态带 宽分配具有十分重要的作用。然而，成功的流量预测离不开精确的流量模型的支 持，高质量的流量模型对于设计高性能网络协议和高效的网络拓扑结构：对于设 计高性价比的网络设备与服务器：对于精确的网络性能分析与预测：对于拥塞管 理与流量均衡提高服务质量等都具有非常重要的意义。 本文首先介绍了小波理论基础，内容包括小波和小波变换，以及小波变换的 分类。详细阐述了多尺度分析和m a l l a t 算法。接着对网络流量模型算法分析，简 单介绍了泊松模型，马尔科夫模型，a r ，m a ，a r m a 模型，重点分析了a r i l v i a 模型算法。 本文结合小波变换技术和时间序列模型a r i m a ，建立一种网络流量预测模 型首先对流量时间序列进行小波分解，得到细节系数和逼近系数，对细节系数 应用平稳序列a r m a 模型，对于逼近系数，一般算法此时就将逼近系数作为平 稳序列进行处理，但多数情况下逼近系数此时依然为非平稳信号，因此本文在此 处作了改进，采用a r i m a ( p ，d ，q ) 的方法建模，利用差分方程使逼近系数平稳后 再建立a r m a 模型，实验结果表明本文方法最后得到的结果比逼近系数未进行平 稳化而直接使用平稳时间序列模型建模的预测效果好得多。 关键词：网络流量模型：小波分解；瞻i i a t 算法：a r i 姒模型； 山东大学硕士学位论文 a b s t r a c t w i t ht h er a p i dd e v e l o p m e n to fc o m p u t e rn e t w o r k s ，t h ec u r r e n tn e t w o r ks l z ei s e x t r e m e l yl a r g ea n dc o m p l e x ，w e b - b a s e da p p l i c a t i o n si sg r o w i n gr a p i d l y i tm e a n s t h a tn e t w o r ks e r v i c e sm o r ec o m p l e x ，w e bs e r v i c e sm o r ep r o n et op r o b l e m s ，t h e p e r f o r m a n c eo ft h en e t w o r km o r ev u l n e r a b l e i no r d e rt op r o v i d eq u a l i t ys e r v i c e s ， n e l w o r km a i n t e n a n c ea n dm a n a g e m e n ti sv e r yi m p o r t a n t t oa c c u r a t e l yp r e d i c t n e t w o r kt r a f f i co nac o m p u t e rn e t w o r kd e s i g na n dm a n a g e m e n t ，c o n f l i c tc o n t r o la n d d y n a m i cb a n d w i d t ha l l o c a t i o np l a y sa l li m p o r t a n tr o l e h o w e v e r , s u c c e s s f u lt r a f f i c p r e d i c 矗o nc a nn o td ow i t h o mt h es u p p o r to fa c c u r a t e ，h i g h - q u a l i t yt r a f f i cm o d e lf o r t h ed e s i g no fh i g h p e r f o r m a n c en e t w o r kp r o t o c o l sa n de f f i c i e n tn e t w o r kt o p o l o g y ，f o r t h ed e s i g no fc o s t e f f e c t i v en e t w o r ke q m p m e n ta n ds e r v e r s ，f o ra c c u r a t en e t w o r k p e r f o r m a n c ea n a l y s i sa n df o r e c a s t i n g ，f o rc o n g e s t i o nm a n a g e m e n ta n df l o wb a l a n c e a n di m p r o v es e r v i c eq u a l i t ya n ds oo nh a sv e r yi m p o r t a n ts i g n i f i c a n c e t h i sp a p e rd e s c r i b e st h et h e o r e t i c a lb a s i so fw a v d e li n d u i n gw a v e l e ta n d w a v e l e tt r a n s f o r m , a n dw a v e l e tt r a n s f o r mc a t e g o r y d e t a i l e dm u l t i s c a l ea n a l y s i sa n d m a l l a t a l g o r i t h m s t h e na l g o r i t h ma n a l y s i s o fn e t w o r kt r a f f i cm o d e l ，ab r i e f i n t r o d u c t i o no ft h ep o i s s o nm o d e l ，m a r k o vm o d e l ，a rm aa r m am o d e l ，f o c u s e d o na n a l y z i n ga r i m am o d e la l g o r i t h m t h i sp a p e r , w ec o m b i n e dw a v d e tt r a n s f c i r ma n d r i mt i m es e r i e sm o d e l ， e s t a b l i s h e dan e t w o r kt r a f f i cp r e d i c t i o nm o d e l o nt h ef l o wt i m es e r i e s ，u s i n gw a v e l e t d e c o m p o s i t i o n ，g e t sd e t a i lc o e f f i c i e n t sa n da p p r o x i m a t i o nc o e f f i c i e n t s o nt h ed e t a i l c o e f f i c i e n t s ，a p p l y i n gs t a t i o n a r ya r m am o d e l ，f o rt h ea p p r o x i m a t i o nc o e f f i c i e n t s ， t h eg e n e r a la l g o r i t h mt r e a t si ta sas m o o t hs e q u e n c e ，b u ti nm o s tc a s e si t i ss t i l la n o n s t a t i o n a r ys i g n a l s oim a d ea ni m p r o v e m e n th e r e ，u s i n g a r i m ao ，d ，q ) m o d e lt om a k ei ts m o o t h i n g ，t h e ne s t a b l i s ha r m am o d e l e x p e r i m e n t a lr e s u l t ss h o w t h a tt h ep r e d i c t i v eu s i n gt h i sm e t h o dt h a nt h el a t t e r k e y w o r d s ：n e t w o r kt r a f f i cm o d e i ： w e v e i e td e o o m p o s i t i o n ： m a ii e t a i g o r i t h i n ：a r i m am o d e i ： 一一一 i i t q ； 一 一 山东大学硕士学位论文 1 1 背景介绍 第一章绪论 目前，由于计算机网络的迅猛发展，网络的规模已经非常庞大和复杂，基于 网络的应用飞速增长，网络互联环境越来越复杂，意味着网络服务出现问题的可 能性越大，网络的性能就越容易受到影响。为了给用户提供优质的服务，网络的 维护和管理显得尤为重要。网络实时监测是网络管理基础的部分，网络监测目的 就是为收集关于网络状态和行为的信息，收集的信息包括静态与动态两类信息， 其中静态信息与配置相关，动态信息主要是与网络事件相关的信息，以及从动态 信息中总结出来的统计信息。 管理网络流量是网络监测的一个非常重要的方面，主要包括监测流量异常和 诊断流量异常问题的解决两个阶段。网络管理工作中，网络流量模型起着至关重 要的作用，因此建立恰当的网络流量模型非常必要，同是也是一件困难的工作， 建立什么样的模型是目前该领域研究的热点课题。在流量管理中，流量模型用于 预测网络性能和评价接入控制机制，准确的流量模型能获取实际网络流量的统计 特征，一个模型如果不能获取实际流量的统计特征，网络性能将变得很差并难以 控制，因为它们要么过高估计网络性能，要么低估了网络性能。 网络流量的准确预测在计算机网络的设计和管理、冲突控制和动态带宽分配 具有十分重要的作用。要完成这项工作，重要的一步是建立精确的流量模型，精 确的流量模型对于设计高性能网络协议和高效的网络拓扑结构，对于设计高性价 比的网络设备与服务器，对于精确的网络性能分析与预测，对于拥塞管理与流量 均衡，提高服务质量等都具有十分重要的价值。 网络流量预测方法一般可分为传统的基于m a r k o v 的方法、时间序列的分析 方法、神经网络的方法等。基于m a r k o v 的方法易于进行模型分析，但是它无法 获取真实数据的统计特性；神经网络的方法优点是适合描述流量的不稳定性，但 缺点是它的计算量比较大、实时建模有一定的难度；时间序列的方法主要有自回 归模型( a f t ) ，滑动平均模型( m ) ，自回归滑动平均模型( a r m a ) ，f a r m a l l 】 在文献【2 】中介绍了目前研究时间序列比较有效的方法自回归求和滑动平均模型 a r i m a 模型。 山东大学硕士学位论文 一段时间以来，国内外许多研究机构和研究人员对网络流量进行了众多的研 列3 ，4 5 1 ，提出了网络流量的一些理论，如长相关( l o n g 。r a n g ed e p e n d e n c e ) 年l 自相似 ( s e l f - s i m i l a r ) 特征理论，有研究人员还在此理论基础上建立了网络流量模型，如 f g n 模型( f r a c t i o n a lg a u s s i a nn o i s e ) 、m w m 模型( m u l t i f r a c t a lw a v e l e tm o d e l ) 和f a r i m a 模型( f r a c t i o n a la r i n t e g r a t e dm am o d e l ) 。在国内，对于网络流量 模型的研究时间不长，主要研究单位包括中科院软件所、天津大学、复旦大学等。 如丛锁等给出了基于小波技术的网络流量特性刻画【6 1 ，提出一种基于小波变换的 网络流量多重分形模型1 7 1 ，用于分析网络流量的自相似特征，但是，他的局限是 没有将小波变换引入到对网络流量的预测中：邹柏贤介绍了基于a r _ m a 模型的网 络流量预测【8 1 ，采用统计分析的方法对网络流量进行平稳化处理【9 】，并说明使用 该平稳方法可以有效地提高预测准确度。但是任何一种模型的单独使用都会有它 的局限性，所以近年来的热点研究集中于将两种模型结合，或者将一些技术如小 波技术等与网络流量模型结合起来。文献【l o 】根据网络流量的尺度本质和多尺度 小波分析，将网络流量进行小波分解得到信号的小波系数序列，通过把系数序列 送入a r m a 模型进行预测。文献【l1 1 提出形成小波神经网络的主要做法是将网络 流量的小波系数作为神经网络的输入。 小波变换在社会经济预测方面目前已经有了一定的研究，将其应用到网络流 量中来会有一种新的突破。小波是一种时频域变换方法，小波变换对具有长程 依赖性的流量起到了去相关作用，在时域不容易解决的问题一般可以转化到频域 中来。通过小波变换信号可以一层一层地分解到不同的频域上，分解后的信号在 频域上比原始信号单一，并且对信号作了平滑，因此分解后信号的平稳性比原始 信号好得多。一般小波算法此时就将逼近系数作为平稳序列进行处理( 参见文献 【1 2 】) 。但多数情况下逼近系数此时依然为非平稳信号，因此在此处采用 a r i m a ( p ，d ，q ) 的方法建模，利用差分方程使逼近系数平稳后再建立a r m a 模 型。这样就将小波分析与经典的平稳时间序列【1 3 1 建模结合起来，从而为非平稳时 间序列的建模与预测提供了一种新的方法，将提高预测精度。 1 2 本文的主要工作 ( 1 ) 搜索和阅读了大量国内外文献，对网络流量模型预测算法的国内外研究 2 一 ； 一 山东大学硕士学位论文 现状、研究背景、研究意义进行了深入分析。 ( 2 ) 本文结合小波变换技术和时间序列模型a r i m a ，建立一种网络流量预 测模型首先对流量时间序列进行小波分解，得到细节系数和逼近系数，对细节 系数应用平稳序列a r m a 模型。 ( 3 ) 本文的创新点：逼近系数表示趋势或走向，已被小波分解对其作了平滑， 因此平稳性比原始信号好得多，一般算法此时就将逼近系数作为平稳序列进行处 理，但多数情况下逼近系数此时依然为非平稳信号，因此本文在此处作了改进， 采用a n l m a c s , ，d ，q ) 的方法建模，利用差分方程使逼近系数平稳后再建立a r m a 模型。 ( 4 ) 通过反复的实验后得到较高的预测效果，通过和其他方法的比较和误差 分析，结果表明本文方法比逼近系数未进行平稳化而直接使用平稳时间序列模型 建模的预测效果好得多。 1 3 本文的组织结构 本文第一部分为绪论，介绍背景和提出问题。 本文第二部分为小波理论基础综述，详细介绍了小波及小波变换，以及小波 变换的分类。详细阐述了多尺度分析和m a l l a t 算法。 本文第三部分为网络流量模型算法分析，简单介绍了泊松模型，马尔科夫模 型，腿m a ，a r m a 模型，重点分析了a r i m a 模型算法。 本文第四部分描述了如何将小波技术与自回归模型a r i m a 模型相结合对实 际的网络流量进行预测，并与逼近系数未进行平稳化进行建模进行预测得到的结 果进行比较后，得出结论本文的方法预测效果更好。 最后对全文做了总结和展望。 1 4 本章小结 本章介绍了本文的研究背景，叙述了问题的来源，接着介绍了本文的工作内 容，最后说明本文的组织结构。 山东大学硕士学位论文 第二章小波理论基础 小波分析【14 ”】主要研究函数的表示，即将函数分解为“基本函数 之和，而 “基本函数 是由一个小波函数经伸缩和平移而得到的，这个小波函数具有很好 的局部性和光滑性，使得人们通过分解系数刻画函数时，可以分析函数的局部性 质和整体性质。小波分析属于时频分析的一种。传统的信号分析是建立在傅立叶 ( f o u r i e 0 变换的基础之上的，由于傅立叶分析使用的是一种全局的变换，要么完 全在时域，要么完全在频域，因此无法表达信号的时频局域性质，而这种性质恰 恰是非平稳信号最根本和最关键的性质，因为非平稳信号在时频域都是局部变化 的。针对网络流量在大时间尺度和小时间尺度下表现出来的不同特征，采用小波 技术对网络流量的全局特性和局部特性进行分析是非常有效的。小波变换具有多 分辨率分析( m u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s ) 的特点，而且在时域频域都具有表征信号局 部特征的能力。它在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高 频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，所以被誉为分析信号的显微 镜。已经被广泛的应用于信号和图像处理等领域，并取得了巨大的成功。 小波分析【1 6 】是当前应用数学和工程学科中一个迅速发展的新领域，经过近 1 0 年的探索研究，重要的数学形式化体系已经建立，理论基础更加扎实。与 f o u r i e r 变换相比，小波变换是空间( 时间) 和频率的局部变换，因而能有效地从信 号中提取信息。通过伸缩和平移等运算功能可对函数或信号进行多尺度的细化分 析，解决了f o u r i e r 变换不能解决的许多困难问题。小波变换联系了应用数学、 物理学、计算机科学、信号与信息处理、图像处理、地震勘探等多个学科。数学 家认为，小波分析是一个新的数学分支，它是泛函分析、f o u r i e r 分析、样调分 析、数值分析的完美结晶；信号和信息处理专家认为，小波分析是时间一尺度分 析和多分辨分析的一种新技术，它在信号分析、语音合成、图像识别、计算机视 觉、数据压缩、地震勘探、大气与海洋波分析等方面的研究都取得了有科学意义 和应用价值的成果。 小波分析的应用 1 5 , 1 6 1 是与小波分析的理论研究紧密地结合在一起的。现在， 它已经在科技资讯产业领域取得了令人瞩目的成就。电子资讯技术是六大高新技 术中重要的一个领域，它的重要方面是影像和信号处理。现今，信号处理已经成 4 * 嗡 山东大学硕士学位论文 为当代科学技术工作的重要部分，信号处理的目的就是：准确的分析、诊断、编 码压缩和量化、快速传递或存储、精确地重构( 或恢复) 。从数学地角度来看， 信号与影像处理可以统一看作是信号处理( 影像可以看作是二维信号) ，在小波 分析地许多分析的许多应用中，都可以归结为信号处理问题。现在，对于其性质 随实践是稳定不变的信号，处理的理想工具仍然是傅立叶分析。但是在实际应用 中的绝大多数信号是非稳定的，而特别适用于非稳定信号的工具就是小波分析。 事实上小波分析的应用领域十分广泛，它包括数学领域的许多学科；信号分析、 影像处理；量子力学、理论物理；军事电子对抗与武器的智能化：电脑分类与识 别；音乐与语言的人工合成；医学成像与诊断：地震勘探数据处理；大型机械的 故障诊断等方面；例如，在数学方面，它已用于数值分析、构造快速数值方法、 曲线曲面构造、微分方程求解、控制论等。在信号分析方面的滤波、去噪声、压 缩、传递等。在影像处理方面的影像压缩、分类、识别与诊断，去污等。在医学 成像方面的减少b 超、c t 、核磁共振成像的时间，提高解析度等。 ( 1 ) 小波分析用于信号与影像压缩是小波分析应用的一个重要方面。它的特 点是压缩比高，压缩速度快，压缩后能保持信号与影像的特征不变，且在传递中 可以抗干扰。基于小波分析的压缩方法很多，比较成功的有小波包最好基方法， 小波网域纹理模型方法，小波变换零树压缩，小波变换向量压缩等。 ( 2 ) 小波在信号分析中的应用也十分广泛。它可以用于边界的处理与滤波、 时频分析、信噪分离与提取弱信号、求分形指数、信号的识别与诊断以及多尺度 边缘侦测等。 ( 3 ) 在工程技术等方面的应用。包括电脑视觉、电脑图形学、曲线设计、湍 流、远端宇宙的研究与生物医学方面。 2 1 小波定义 顾名思义，“小波( w a v e l e t ) ”就是小的波形1 7 1 。所谓“小”是指它具有衰减性， 如局部非零；而称之为“波”则是指它的波动性，即其振幅呈震荡形式a 定义：设烈f ) 为一平方可积函数，也即缈( f ) l 2 ，若其傅里叶变换认缈) 满足条件 山东大学硕士学位论文 或者相应的等价条件： p i 烈f 砂= 0 一+ c o ( 2 1 ) ( 2 2 ) 的函数6 t ) 称为一个母小波或者叫做基小波( m o t h e rw a v e l e t ) ，对烈f ) 作平移和 伸缩得 纯朋= 肾i1 舛t - 口b ) ( 2 3 ) 式中b ra r 0 ) ，讫6 ( f ) 称为小波函数，简称小波。 2 2 小波变换 小波变换 1 8 , 1 9 , 冽的概念是由法国从事石油信号处理的工程师j m o r l e t 在1 9 7 4 年首先提出的，通过物理的直观和信号处理的实际需要经验的建立了反演公式， 当时未能得到数学家的认可。正如1 8 0 7 年法国的热学工程师j b j f o u r i e r 提出 任一函数都能展开成三角函数的无穷级数的创新概念未能得到数学家 j l l a g r a n g e ，p s l a p l a c e 以及a m l e g e n d r e 的认可一样。幸运的是，早在七十 年代，a c a l d e r o n 表示定理的发现、h a r d y 空间的原子分解和无条件基的深入研 究为小波变换的诞生做了理论上的准备，而且j o s t r o m b e r g 还构造了历史上非 常类似与现在的小波基；1 9 8 6 年数学家y m e y e r 偶然构造出一个真正的小波基， 并与s m a l l a t 合作建立了构造小波基的同意方法多尺度分析之后，小波分析才开 始蓬勃发展起来，其中比利时女数学家i d a u b e c h i e s 撰写的小波十讲( t e n l e c t u r e so nw a v e l e t s ) 对小波的普及起了重要的推动作用。它与f o u r i e r 变换、 视窗f o u r i e r 变换( g a b o r 变换) 相比，这是一个时间和频率的局网域变换，因 而能有效的从信号中提取资讯，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多 尺度细化分析( m u l f i s c a l ea n a l y s i s ) ，解决了f o u r i e r 变换不能解决的许多困难 问题，从而小波变化被誉为“数学显微镜”，它是调和分析发展史上里程碑式的进 展。 小波变换继承和发展了加博变换的局部化思想，同时克服了傅里叶变换和加 傅变换的一些缺陷。最重要的是小波变换给出了一个可以调节的时频窗口，宙口 的宽度随额率变化，频率增高时，时间窗口的宽度自动变窄，以提高分辨率正 如有的文献中的比喻“采用小波分析，就像使用一架带可变焦距镜头的照相机一 6 o 的整数) 的倍数。 使用这样的缩放因子和平移参数的小波变换叫做双尺度小波变换( d y a d i cw a v e l e t t r a n s f o r m ) ，它是离散小波变换( d i s c r e t ew a v e l e tt r a n s f o r m ，d w t ) 的一种形式。 从文献 2 2 ，2 3 看，离散小波变换通常指的就是双尺度小波变换。 竺 d p w t ( m ，n ) = a 孑if ( t ) q ，( a o t n b o ) d r ( 2 - 5j 上式中的参数a = a o ”，b - - n b o a o ”，其中m ，n z ，a o ，b o 为常数。先对一维小 波变换作一简单介绍，设f ( x ) 为一维输入信号，记妒沙( z ) = 2 叫坨( 2 吖茗一， = 2 一坨w ( 2 - j x - 舫，这里与y ( x ) 分别称为定标函数与子波函数， 缸( 砂) 与 ( x ) 为二个正交基函数的集合。 2 3 多分辨分析和m ai ia t 算法 2 3 1 多分辨分析 通过前面分析可以看出，所谓小波变换或小波分解 1 6 , 1 7 】，实际上就是寻求 l 2 ( 鼬的标准正交基，然后将信号在这组基上分解，以便进行分析与处理，最后 还可以通过这些分解系数重建原来的信号。仅就寻求空间l 2 ( r ) 的标准正交基来 说，已不是什么新的内容，但是此处问题的核心是这组标准正交基是由某一个特 殊的函数( 小的波) 经过离散膨胀和平移得到，因而也称作小波标准正交基。下边 我们给出多分辨率分析( m u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s ，简称m a ) 的概念，多分辨字 分析在构造l 2 ( r ) 的标准小波正交基方面起着非常重要的作用。多分辨分析是指 满足下列条件的一串嵌套子空间逼近序列 v j ，j z ： 1 ) 单调性：v j cv j + 1c cl 2 ( 砷， 且n v j = o ，u _ = l 2 ( r ) ， ，= 2 ) v j = s p a n 由j ，l 【( t ) = 2 j 彪由( 2 j r k ) ) ，k z 8 山东大学硕士学位论文 3 ) 由( t ) = h 。q b ( 2 t - n ) ， h 。) e 1 2 ，1 2 表示数空间 n 4 ) 由( t - k ) ) 是r i e s z 基 多分辨分析( m u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s ，m e a ) ，又称为多尺度分析是建立在函 数空间概念上的理论，但其思想来源于工程，m e y e r 在1 9 8 6 年创造性地构造出 具有一定衰减性的光滑函数，其二进制伸缩与平移构成l 2 ( r ) 的规范正交基，才 使小波得到真正的发展。1 9 8 8 年s m a l l a t 在构造正交小波基时，提出了多分辨 分析的概念，从空间的概念上形象地说明了小波的多分辨率特性，将此之前的所 有正交小波基的构造法统一起来，给出了正交小波的构造方法及正交小波的变换 的快速算法，即m a l l a t 算法。m a l l a t 算法在小波分析中的地位相当于快速傅立叶 变换算法在经典傅立叶分析中的地位。 采用多分辨分析的办法可以将原信号按层分解到相应的空间小波变换中经 常用到多分辨分析，关于多分辨分析的理解，我们在这里以一个三层的分解进行 说明，其小波分解树如图2 1 所示，从图中可以看出，多分辨分析只是对低频部 分进行进一步分解，而高频部分则不予考虑。分解具有关系： a = c 3 + d 3 + d 2 + d l ( 2 6 ) 多分辨分析的分解最终目的是力求构造一个频率上高度逼近l 2 ( r ) 空间的正 交小波基，这些频率分辨率不同的正交小波基相当于带宽各异的带通滤波器。 2 3 2 舱| l a t 算法 图2 - 1 多分辨分析的分解过程 m a l l a t 算法是多分辨分析的一种，利用构造的两个滤波器，对样本进行频带划 分。本文采用是基于m a l l a t 算法的多尺度小波分解与合成，这种方法可以得到不 同分解尺度下的细节系数和逼近系数。m a l l a t 算法的分解、重构公式如下 分解公式： 9 山东大学硕士学位论文 口_ f 州= 口( 红城( x ) ，办，舡) ) ( 2 7 ) l e z 以州= c ( 纺+ f ，。( x ) ，纺，以) ( 2 8 ) j z 重构公式： 口z = 口“ + “纺，七( x ) ，纺+ j ， ) ( 2 - 9 ) i e z j z m a l l a t 算法分解过程也可形象表示如图2 - 2 所示。设分解层数为j ，则原始序 列经过金字塔算法分解成d l ，d 2 d j 和a j ，a j 和d j 分别为在分辨率2 j 下的近似 部分和细节部分。容易看出，每进行一层分解，序列的长度缩为分解前的1 2 。 a o a 1d l a 2 图2 - 2m a l l a t 算法分解过程 那么原始数据x 经过金字塔算法被分解为d 1 ，d 2 ，d j 和a j ，j 为最大分解层数， 分解层数一般是由数据量和估计分解的层数可以达到满意结果的情况决定。通常 情况下，样本数据越多，那么允许分解的层数就越多，如果样本