（电路与系统专业论文）有损均匀传输线的时域有限差分法研究.pdf

重庆大学硕士学位论文 中文摘要 摘要 随着超大规模集成电路的快速发展及电力输电系统规模的不断扩大，用于传 输信号和能量的传输线的暂态过程对于分析高速集成电路的运行状况和在传统的 电力工业中如何准确、高效地进行故障定位起着至关重要的作用。国内外期刊上 发表了大量有关传输线研究的文章。这些文章从不同的侧面，用不同的方法研究 了传输线的暂态过程。其中数值求解方法是主要研究方向。本文借助电路理论、 计算数学、程序设计等知识推导出一种简单、快速、有效的时域数值解法。 传输线可以看作集中参数二端口网络的级联，其数学模型一电报方程是一阶 双曲型偏微分方程组。有损、散射传输线往往在频域中建模分析，而非线性设备 或者时变参数元件只能在时域中描述。本文利用偏微分方程数值解理论对偏微分 方程组进行离散，得到一全新的差分计算格式，并根据电压、电流在始端、终端 上的约束关系，运用传输线集中参数的等效模型确定边界条件；最后仿真计算得 到响应波形。本文对传输线在不同边界条件、传输线耦合等情况下的暂态过程进 行编程计算得到仿真波形。通过其它理论的印证，所有的计算结果都正确反映了 实际波形。 关键字：传输线，时域分析，数值解，差分法 重庆大学硕士学位论文英文摘要 w i t ht h er a p i dd e v e l o p m e n to fv l s i ( v e r yl a r g es c a l ei n t e g r a t i o n ) c i r c u i t sa n d c o n t i n u a ls p r e a do fe l e c t r i cp o w e rs y s t e ms c a l e , t r a n s i e n tp r o c e s si nt r a n s m i s s i o nl i n e s t r a n s m i t t i n gs i g n a la n dp o w e ri sv i t a lt oa n a l y z eb o t ht h eo p e r a t i o no fm a n yh i g h - s p e e d i n t e g r a t e dc i r c u i t s 锄dt h ea c c u r a t ea n de f f i c i e n tf a u l tl o c a t i o ni nt r a d i t i o n a le l e c t r i c p o w e ri n d u s t r y t h e r e a r el a r g er m m b c r so fl i t e r a t u r e sa b o u tt h er e s e a r c ho n t r a n s m i s s i o nl i n e si ni n t e m a la n do v e i - $ e a sp e r i o d i c a l s t h e s el i t e r a t u r e sh a v es t u d i e d t r a n s i e n tr e s p o n s eo ft r a n s m i s s i o nl i n e sf r o md i f f e r e n ts i d ew i t hd i f f e r e n tm e t h o d i n t h e mn u m e r i c a ls o l u t i o ni sp r i m a r yw a y i nt h i st h e s i s ，as i m p l ea n dq u i c ka n de f f e c t i v e n u m e r i c a ls o l u t i o ni nt i m ed o m a i nh a sb e e nd e d u c e db yt h ea i do fc i r c u i tt h e o r ya n d c o m p u t a t i o n a lm a t h e m a t i c sa n dp r o g r a md e s i g n t e l e g r a p he q u a t i o n s c a l lb el o o k e d 硒c a s c a d ec o n n e c t i o no ft w o - p o r tn e t w o r ko f l u m p e dc i r c u i to ft r a n s m i s s i o nl i n e ，i sah y p e r b o l i cp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t r a n s m i s s i o nl i n ew i t hl o s sa n dd i s p e r s i o na r ct r a d i t i o n a l l ym o d e l e da n da n a l y z e di nt h e f r e q u e n c yd o m a i n ，w h i l en o n l i n e a rd e v i c e so rt i m e - v a r i e dc o m p o n e n t sm u s tb e c h a r a c t e r i z e di nt h et i m ed o m a i n i nt h i st h e s i s , t h ep a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o ng r o u p h a sb e e nd i s p e r s e dw i t ht h et h e o r yo fp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o nn u m e r i c a ls o l u t i o n , a b r a n n e wd i f f e r e n t i a lf o r m a t i o nh a sb e e nm a d e f u r t h e r m o r eb o u n d a r yc o n d i t i o n sh a v e b e e nf o u n dt ob a s i sl u m p e z te q u i v a l e n tc i r c u i tm o d ea tb o u n d a r ya n dc o n s l a - a i n t s b e t w e e nv o l t a g ea n de t t r r e n t f i n a l l yv o l t a g ea n dc u l t c l l tw a v e f o r m sh a sb e e ns i m u l a t e d p a s tc a l c u l a t i o n c o m p u t i n g a n dp r o g r a m m i n gt ot r a n s m i s s i o nl i n et r a n s i e n tw i t hd i f f e r e n t c o n d i t i o n so fb o u n d , 越 ya n dt w ol i n ec o u p l i n g0 1 e v 饥m o c o m p l i c a t e dl o a d i n g 撇 c a r r i e do u t , s i m u l a t i o nw a v e f o r m s 粥g o t t e n a l lr e s u l t sa 北a c c o r dw i t hp r a c t i c a l w a y e f o r m s ，w h i c hc a l lb ep r o v e nb yo t h e rt h e o r y t r a n s m i s s i o nl i n e , t i m ed o m a i n 孤a l y z e ，n u m e r i c a ls o l u t i o n , d i f f e r e n t i a l m e t h o d 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得重麽太堂 或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本 研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：关1 1 寸乌签字日期：j 。7 年j 月芗。日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解重麽太堂有关保留、使用学位论文的 规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许 论文被查阅和借阅。本人授权重麽太堂可以将学位论文的全部或部 分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段 保存、汇编学位论文。 保密() ，在年解密后适用本授权书。 本学位论文属于 不保密( ) 。 ( 请只在上述一个括号内打“4 ”) 学位论文作者签名：暑j 1 寸专导师签名：安11 j 芜叫 签字日期：) 一o7 年歹月弓日签字日期：。) 7 年j 月罗口日 重庆大学硕士学位论文l 绪论 1 绪论 1 1 传输线研究的目的和意义 传输线是用以引导能量( 电磁能、光能、热能甚至是语音、图像、数据信息) 从一处传递到另一处的一种装置。它包括两线传输线、多导体传输线、同轴电缆、 微带线、波导、光纤及神经元。传输线的应用十分广泛，从电力输送、数据、视 频信号的传输及信号的延时线到微电子领域的p c b 布线、高速v i s l 的连接装置 等等传输线在其中都发挥了十分重要的作用。 随着电气电子设备的发展，各种电力与通信线路越来越密集，印刷线路板越 做越小，信号时钟频率越来越高，在长距离输电线路、远距离通信线路、高频测 量线路、计算机信号传输以及高速数控系统中均应该考虑线路参数的分布性。传 输线是一种分布参数电路，信号在传送过程中可能会出现延时、畸变、回波、串 音及散射等现象，这些现象称为传输线效应i l 毛。 输电线路传送的电能虽然其频率很低( 只有5 0 赫兹) ，波长已达到6 x 1 0 6 米， 如果电能输送的距离超过几千公里，就必须把输电线作为传输线来考虑。随着电 能输送技术的不断完善和改进，为了保证电能传送的质量，就必须应用分布参数 电路理论对输电线上电压、电流的变化规律进行分析；另一方面，电力系统的规 模不断扩大，高压远距离输电线路分布范围广，穿越地区地理条件复杂，气候条 件多变，精确的故障定位对保证电网的安全运行具有重要的作用，要想在成百上 千公里的输电线路中对故障点进行准确的定位，也离不开分布参数电路理论的指 导。另一方面，电力工业飞速发展，电网输送容量逐步增大，电压等级不断提高， 电网结构日趋复杂，变电站内一、二次设备的结构和布局正向小型紧凑化、集成 组合化的方向发展 1 5 - 1 7 3 。尤其是变电站二次设备下放以后，开关场内电磁环境 较为恶劣，电气和电子设备在正常和异常运行状态下均可能受到电磁干扰。例如 变电站内投、切空载变压器以及用隔离开关切、合高压空载母线等操作在母线和 输电线路上产生的操作过电压和电流，雷击线路、构架和控制楼时线路上感应的 过电压和过电流等都会对附近的二次设备产生电磁干扰。为了较为准确地预测所 产生的电磁干扰，电力系统许多平行的线状结构，如高压架空输电线路、高压电 缆线路、变电站母线等，均可看作多导体传输线结构，建立多导体传输线模型进 行分析n 5 ，1 8 1 粥。 在高速大规模集成电路( v l s l - v e r yl a r g es c a l ei n t e g r a t i o n ) 和多芯片组件 ( m c m - m u l t i c h i pm o d u l e ) 中，多导体传输线常被用作信号连接线，在直流或低 频情况下，信号连接线可以看作是简单的金属导体，仅仅起着电连通的作用。但 重庆大学硕士学位论文 l 绪论 是，随着现代集成电路技术的发展，系统工作信号脉冲的上升时间和宽度已达p s 量级，对应的频谱已延伸至微波、毫米波波段，高频分量的波长和传输线的尺寸 处于同一量级，这样，脉冲信号通过时，会产生延迟、畸变和串扰现象。为了较 为准确地分析信号连接线上各点的电压、电流，必须把信号连接线看作是具有分 布参数的传输线结构，应用传输线理论进行分析啪- 2 1 1 。 1 2 传输线的国内外应用研究现状综述 近二十年来高速v l s i 电路的快速发展和输电线路的规模不断扩大，传输线 的研究方向和领域也在不断的深入，目前国内外的文献上对传输线的研究主要包 括分析和综合两个方面。传输线的分析即求解给定传输线参数和给定激励下的响 应，以对信号在传递过程的各种现象提出合理的解释；传输线的综合是传输线分 析的逆过程，要求按给定传输线的时域响应，求出其分布电路参数。另一方面， 随着高速大规模集成电路的发展，近几年来国内外已着手传输线的灵敏度分析 i 珏堋，在设计高速数字电路中，为了减少互连效应对集成芯片性能的影响，需要 对电路的各种参数进行优化设计，因此在传输线综合的同时还需要对电路参数进 行灵敏度分析。传输线的参数测试也是传输线的一个研究内容，如果能够找到高 精度的测试方法对参数进行准确测试，不管对传输线的分析还是综合研究都有较 大的推动作用，目前国内出现了少量关于耦合传输线参数测试【4 冽的研究文献。 综上所述，不管是对传输线的分析还是综合，都离不开传输线暂态过程的精确 分析，因此传输线方程的求解也成为了传输线的研究内容。目前国内外关于求解 传输线方程的文献，对解析解的研究较少，由于现有数学工具和计算机技术等条 件限制，不管是用时域法或复频域法求解传输线方程都有相当的难度，不易获得 一个通用的分析结果伫9 l 。因此为了解决某些实际问题，应用数值求解方法去分析 传输线成为了学者们的一个研究方向。传输线数值分析的具体形式多种多样，一 部分是直接应用已经成熟的偏微分方程的数值分析方法【3 】，另一部分是学者们在不 断探索过程中提出的一些改进的方法或新的数值分析方法。一般来说，数值方法 可分为时域法和频域法这两大类。时域法是直接离散时间或空间，将偏微分方程 变为常微分方程或差分方程，以迭代求解。1 9 6 6 年由k s y 提出的时域有限差 分( f d l d ) 法例是一种主要的电磁场时域计算方法，时域有限差分法的主要思想是 把m a x w e u 方程在空间、时间上离散化，用差分方程代替一阶偏微分方程，求解 差分方程组，从而得出各网格单元的场值。经过三十多年的发展，这种方法已经 广泛应用到各种电磁问题的分析之中，成为了当今流行的一种数值算法。由于 册算法简单，精度较高，计算量较小，不管是在高压输电线路过电压电流的 计算还是在高速集成电路中互连效应的分析中，应用舯算法较多，还有进一 2 重庆大学硕士学位论文1 绪论 步提高计算精度和效率的多种改进算法。传输线方程的时域数值解法还有传输线 矩阵( t l m ) 方法、传输线模型法、波形松弛算法、精细积分法、状态空间分析法以 及其它差分格式的应用。这些不同的方法有的是理论上的研究，有的是为了解决 某些具体问题而选用了不同的差分格式。传输线矩阵( t l m ) 方法1 3 1 - 3 2 是由 p e t e r b j o h n s 和i l l b c u r l e 于七十年代初提出的，并由多数研究者逐步加以完善 而形成的一种分析电磁场问题的方法。t l m 方法基于h u y g e n s 关于波的传播原 理，将连续的波按时间离散，通过研究离散的波在不同的导波结构( 按空间离散) 中的传播情况来获得导波结构的种种传输特性。t l m 方法是一种时域的数值方 法，由于波的离散是在时域中进行的，它可以克服一般的频域分析所难以克服的 缺点，比如带有非线性负载或非均匀传输线等。t l m 方法避免了求解复杂的方程 组，因而不存在收敛与否、稳定与否和有无奇异解的问题，该方法物理概念清晰， 非常便于程序实现，通用性很强。传输线模型法【3 3 】的基本原理是根据被研究的数 学模型，通过对偶原理建立相应的传输线模型。由传输线基本理论可知，一个集 总元件( l 或c ) 可用一个离散的无耗传输线模型代替，那么一段有损传输线可以分 解为多节传输线模型，然后应用编程求解，该方法同样可用于求解线性电路的动 态过程及其它电磁问题，尤其对于高频电磁场的问题，用传输线模型来分析比用 集中参数模型来分析更为方便，且具有概念上的优势和计算快速稳定的优点。波 形松弛算法 3 4 - 3 5 也是一种常用的时间离散算法，它具有迭代收敛稳定性高、迭代 解精确的优点，但同时又存在计算速度不高、存储量大的缺点，因此一些改进的 波形松弛算法被用于对非均匀耦合传输线的分析，或者结合其它算法一起使用。 精细积分法 6 - 9 1 最初是用于计算力学中的一种数值算法，它是一种半解析的数值算 法，西安交通大学的赵进全、马西奎等将其用于对传输线方程的数值计算，该方 法的基本思想是对传输线方程按空间离散形成一阶常微分方程组( 即状态方程) ， 这相当于将传输线用r l c g 元件的级联等效，然后利用精细计算法对矩阵指数进 行精细计算，以得到空间上各个点的电压电流响应。该方法便于处理非线性负载 及非零初始值问题，并具有计算简单、精确、效率高等优点。对传输线方程通过 空间离散而形成的状态方程也可以采用常微分方程的其它数值算法以获得数值解 郾l 。有些文献中也提出了对传输线方程采用其它差分格式的算法，比如文献 t o l 提 出的变量分离法是利用c h c b y s h c v 展开式将传输线电压及电流的时间、空间变量 分离，从而化偏微分方程为常微分方程，得到分析传输线的模型，该方法所给出 的模型简便实用，能适用于任意耦合线与非均匀传输线。文献【l ”提出的时一空离 散的有效方法是利用传输线上电压电流的波动传播特性，导出了有效的传输线瞬 态分析模型，该方法是用l a x f r i e d r i c h s 差分格式将时间和空间同时离散，可以 消除因空间坐标离散化导致的解的寄生振荡，具有概念简单、数值稳定的优点。 3 重庆大学硕士学位论文1 绪论 文献1 3 ”提出了时域散射参数的分析方法，其基本原理是将电报方程用无穷级数来 近似表示，由于这些无穷级数都是由基本函数表示的，因此很易于编程求解。文 献m 1 提出了电报方程半离散化的思想。文献 3 9 - 4 0 给出了专门用于耦合传输线的时 间离散数值算法。文献【i2 i 将传输线方程转化为拟线性方程进行数值求解。文献 4 t j 应用有限元方法对传输线进行数值计算。虽然由传输线的复频域模型可获得其复 频域通解，然而由于现有数学工具的限制，找不到反映行波传播规律的拉氏变换 对。只要不是非线性负载，或者传输线具有频变参数或谐元件负载的情况，都可 以应用频域数值解法来获得传输线的时域响应。快速傅立叶逆变换( i f 丌) 4 2 1 是一种 基本的数值解法，然而当时域响应持续时间很长时，使用f t 方法的效率很低， 或者根本无法进行。另一种频域解法就是数值拉氏逆变换( n i i 册u ”，其主要思想 是从传输线的频域描述出发，通过对复指数的有理逼近如a w e 、p v l 、p r i m a 等 算法以获得其时域响应。由于n i l t 法的计算精度和效率都要强于m f t ，因此 n i l t 法目前已成为了常用的频域算法。文献l 4 4 1 中还提出了可用于非线性负载的改 进n i l t 法。实际上在传输线的求解过程中，时域法和频域法也不是完全独立的， 而是相互联系，尤其是对多导体耦合传输线或非均匀传输线，几乎都是同时应用 几种方法【4 5 蜘。例如文献巧3 1 对耦合传输线采用的递推卷积方法；文献5 4 1 对多导体 传输线采用后向欧拉积分进行仿真；文献i l4 】结合傅立叶变换和拉氏变换，给出了 具有任意初始状态的多导体传输线的等效时域线性网络模型，可处理非线性终端 模型。文献m 1 根据传输线分布参数理论和传输线节点导纳矩阵，推导了故障电力 传输线的复频域节点导纳矩阵，并应用数值拉普拉斯反变换对故障电力传输线终 端电压的时域响应进行了分析；文献【5 5 】提出联合时频分析方法对传输进行瞬态分 析。另外，小波技术【5 目的引入，对精确分析高速v l s i 电路中的传输线效应也 很有帮助。目前对传输线的综合也是应用数值求解的方法进行研究 5 9 - 6 5 。特征法 6 6 - 7 0 是用于传输线综合和灵敏度分析的方法之一，它是求解双曲型偏微分方程的 有效方法，在分析时域响应时，无须将电压、电流信号分解为入射波和反射波也 可以清楚地描绘它们在线上的传播过程，并且在一条主特征线上电压、电流、特 性阻抗三者之间存在非常简单的关系式。用特征法设计一段非均匀传输线时，首 先计算出给定非均匀传输线的时域响应，利用响应及特征法进行传输线综合，对 所得传输线进行时域响应分析，通过对两组时域响应的结果进行比较以检验综合 所得的传输线是否满足要求。 1 3 本文研究的内容 传输线的暂态过程的理论研究对于分析高速集成数字电路的运行状况起着至 关重要的作用。传输线的电路模型一电报方程( 一阶双曲型方程组) 是分析传输 4 重庆大学硕士学位论文 1 绪论 线暂态过程的出发点。当分析无损线时，仅需作少量的变换就能得出该方程的解 析解。在此基础上利用行波多次折反射理论分析其暂态过程是行之有效的方法1 。 但是实际问题往往为有损线。有损、散射传输线一般采用数值分析方法。现有的 数值分析方法无论是推导方法还是计算公式都较繁琐，本文应用计算数学的知识， 从偏微分方程数值解角度出发给出了一种简单、快速、有效的差分格式，从时域 响应角度讨论了两线传输线在各种情况下的暂态过程问题，分析了传输线的传输 特性。利用电压，电流在始端、终端上的约束关系，运用传输线集中参数的等效 模型确定边界条件；最后利用m a i 几a b 编程计算，仿真得到响应波形。 本文给出的算法对传输线在开路、短路、终端接电阻负载情况下的暂态过程进 行仿真。得到了正确的结果。利用动态元件的时域离散模型对传输线终端接电感、 电容的暂态过程进行分析，文章还对传输线内部的换路，线路内部接电阻、动态 元件以及两条线耦合等更为复杂的情况进行了讨论。 5 重庆大学硕士学位论文 2 传输线的数学模型及微分方程数值解概述 2 传输线的数学模型及微分方程数值解概述 2 1 均匀传输线的分布参数电路及其电报方程 如果传输线由两根平行导线组成，每一导线沿线各处具有相同材料、相同截面， 并且导线周围介质沿线均匀分布，则称之为二线均匀传输线或简称均匀线。一般 二线架空输电线及同轴电缆均可近似地视为二线均匀传输线。本文就是以均匀传 输线为对象，利用数值计算方法对其暂态过程进行仿真。 当组成实际电路的部件和联接导线的最大线性尺寸( l ) 可以和沿电路周围空 间传播的电磁波长( r ) 相比较时，则必须考虑电路参数的分布性。大体上可以认 为，当l = 入1 0 0 时，应当用分布参数电路作为实际电路的模型。而均匀传输线就是 典型的分布参数电路。在分布参数电路理论中，均匀传输线的原始参数是以每单 位长度的电路参数来表示的。用线间分布电容来反映沿传输线周围空间分布的电 场的储能特性( 单位长度线段的两导线间的电容c 0 ) ；用沿线的分布电感来反映 沿传输线周围空间分布的磁场的储能特性( 单位长度线段上的电感k 包括来回) ； 由于电流流过金属导体而引发热损耗的现象存在于传输线的整个长度上，用以反 映这一过程的电路参数是沿线的分布电阻( 单位长度线段上的电阻& 包括来回) ； 因绝缘不完善而引起的线间泄漏电流也是沿线分布的，用以反映这一过程的电路 参数是线间的分布漏电导( 单位长度线段的两导线间的漏电导g o ) 。在相当宽的频 率范围内四个参数内都是恒定的，即认为它们均为常量。 图2 1 为二线均匀传输线的集中参数电路，选择传输线始端( 激励源端) 作为计算距离的起点。x 轴的正方向由始端指向终端。传输线上的电压u及电 流i 的参考方向如图所示。 d x 图2 i 均匀传输线的集中参数电路 f i 9 2 il u m p e d c i r c u i t o f u n i f o r m t r a n s m i s s i o n l i n e 由于均匀传输线的各电路参数均匀地分布于传输线的全线上，因而传输线上的 6 重庆大学硕士学位论文 2 传输线的数学模型及微分方程数值解概述 电压和电流，不仅是时间t 的函数，而且是空间坐标x 的函数，即 u 2 u ( x ，t ) i = i ( x ，0 故传输线的方程将是含有变量t 和x 的偏微分方程。在距传输线始端x 处 取一微分长度dx 。由于这一微分段极短可以忽略该段上电路参数的分布性，因 而可用图2 1 所示集中参数电路来等效代替。这样，整个均匀传输线可以视为由无 限多个这种微分段级联而成。 对一定的时间来说，沿x 正向电压的增加率为娑，电流的增加率为罢，故 设图2 1 中始端的电压和电流分别为u 和i ，则在a b 点的电压和a 电 流分别为u + 宴d 】【和i + 堕d x 。 a xa x 对图2 i 的回路aa b ba应用克希霍夫电压定律得 ( 肛厶衾) 血+ ( + 安司一。 对节点a 应用克希霍夫电流定律 一j + ( j + 罢曲+ g ( u + 塞曲d x + g 毫( + 塑0 x 妫d ) 【= o 将式中含有二阶无穷小( d ) 【) 2 的各项省略，得到的方程组： f 一塞叫+ 厶蓑 i 一塞= q u + g 襄 这就是描述均匀传输线的电压与电流关系的数学模型简称电报方程o o l 。 式( 2 3 ) 表明：均匀传输线上连续分布的电阻和电感分别引起相应的电位降 致使线间电压沿线变化：均匀传输线导线间连续分布的漏电导和电容分别在线间 引起相应的泄漏电流和位移电流，致使电流沿线变化。 传输线方程是偏微分双曲型方程组，在给定的初始条件边晃条件下，可以唯一 地确定u ( x ，t ) 和i ( x ，t ) 。这是本文研究均匀传输线的暂态过程的基本依据。在第三、 四章，本文将详细讨论电报方程的数值解法，并对各种负载( 包括线路内部换路) 情况进行数值仿真。 2 2 微分方程数值解概述 数学问题的数值解法现在已经成功地应用于各个领域。现代科学与工程问题往 往都与微分方程密切相关。数学家们感兴趣的问题和其他科学家、工程技术人员 所关注的问题是不同的。数学家往往对问题的解析解和解的存在性的严格证明感 兴趣，而工程技术人员一般对如何求出微分方程问题的解更关心，换句话说，能 7 重庆大学硕士学位论文 2 传输线的数学模型及微分方程数值解概述 用某种方法获得问题的解则是工程技术人员更关心的问题。而获得这样的最直接 方法就是通过数值解法技术，在实际应用中，有几种情况需要数值解法：首先， 在实际问题中我们所能获取的或感兴趣的，往往只是一个个特定点上的数据。这 些离散点上的函数值对于解决实际问题来讲，一般已经足够了，寻找解析解的一 般形式未必很有必要。其次，在很多情况下寻找解析解相当困难。由现实问题中 归结出的微分方程不满足解析解的存在性条件的比比皆是，方程中出现的有些函 数连连续性都无法保证，所以它们并不存在严格意义下的解析解。于是，求它的 数值解便成了在这种情况下解决问题的重要手段了。第三，即使微分方程的解析 解存在，也并不意味着可以将它表示为初等函数，以多项式、对数函数、指数函 数、三角函数和反三角函数及它们的不定积分的有限组合形式称为显式解。事实 上，有显式解的微分方程只占解析解存在的微分方程中的非常小的部分。对于 不存在显式解的那一部分问题，常用的两种解析处理方法是级数方法和p i c a r d 的 逐次逼近法。但是可以用简单的级数求解的微分方程是十分有限的。同时即便级 数解存在从实际计算来说，它对于自变量的大多数取值来讲收敛极其缓慢以至未 必真正实用，更不用说在非线性情况下了。除了开头的几项外，要决定解析解的 待定系数也是相当困难的。 既然数值求解方法是求一个个离散点处的未知函数值，那么首先就要把整个定 义域分成若干小块，以便对每小块上的点或片求出近似值，这样按一定规律对定 义域分切的过程称为区域剖分并构成网格图。区域剖分完毕后，依据微分方程的 表达式形成关于这些离散点或片的函数值的递推公式或方程。这时它们的未知量 已不再是一个连续函数，而成了若干个离散的未知值的某种函数组合了，这个步 骤称为微分方程离散。 离散后的系统若是一个递推式，那它需要若干个初值才能启动；若是一个方程 组，那它所含的方程个数一般少于未知量的个数，要想求解还需要补充若干个方 程，这些需要补充的初值和方程往往可以通过微分方程的初始条件和边界条件来 得到，这就是初始和边界条件处理过程。 重要的问题顺理成章地提到了我们面前： 在得到了这个离散系统之后，一个极其 这样得到的解在多大程度上反映出了实 际情况? 换句话说，它是否确实可以充当现实问题的近似的答案而能付诸实用， 否则所做的一切对于解决实际问题而言只是建造了一座海市蜃楼而已。所以，我 们需要进行离散系统的性态研究。我们主要研究：这个系统是否可解，即解的存 在性、唯一性问题；它与精确解的差距有多大，这个差距当区域剖分的尺寸趋于 零时是否也会趋于零，趋于零的速度有多快，即解的收敛性和收敛速度问题；当 外界对数据有所干扰时，所获得的解是否会严重背离离散系统的固有的解即解的 稳定性问题。 8 重庆大学硕士学位论文2 传输线的数学模型及微分方程数值解概述 区域剖分 上 微分方程离散 上 初始和边界条件处理 上 离散系统的性态研究 上 递推计算或解线性代数方程组 上 得到数字解 图2 2 数值求解微分方程试意图 f i g2 2p r o c e d u r eo fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sn u m e r i c a ls o l u t i o n 根据图2 2 所示过程，最终求得的解的误差来自四个方面：在将实际问题归 结为数学模型时需要对问题作一定的简化和假设，由此产生的误差叫模型误差； 数学模型中需要用到的一些系数、初值等常数来自于测量仪器或统计资料，由于 客观条件和仪器精度的限制不可避免地会有误差，这被称为观测误差：将数学模 型离散化时由于舍弃一些次要的项而导致模型问题真解与离散问题真解的误差称 为截断误差；最后，在上机实际计算中，由于计算机对所运算的对象按计算机字 长四舍五入而产生的误差是舍入误差( 图2 3 ) 。本文主要研究截断误差。一般说 来，一个可用的方法的截断误差不应该超过模型误差和观测误差。 图2 3 求解过程中产生的误差 f i g2 3e r r o r sp r o d u c e dd u r i n gn u m e r i c a ls o l u t i o np r o c e s s 9 重庆大学硕士学位论文 2 传输线的数学模型及微分方程数值解概述 最后，将离散系统送到计算机上去实际计算。这里所涉及的一些问题包括递推 公式和线性代数方程的性态分析( 主要是对系数矩阵的分析) 、算法的选择、时间 复杂性和空间杂性的估计、舍入误差的估计与控制等属于数值逼近和数值线性代 数理论。最后对这个大型计算问题编制程序得到数值解。本文选择m a t l a b 进 行编程计算。 2 3 小结 本章主要介绍了传输线的分布参数电路及其数学模型，这是后面章节将要研究 和讨论的对象。随后介绍了微分方程数值解的整个过程，从而为三、四章分析打 下基础。 重庆大学硕士学位论文3 传输线暂态过程的偏微分数值解法 3 传输线暂态过程的偏微分数值解法 3 1 引言 传输线的电路模型一电报方程( 一阶双曲型偏微分方程组) 是分析传输线暂态 过程的出发点。分析无损线时，根据该方程的解析解并利用行波多次折反射法【3 0 】 分析其暂态过程是行之有效的方法。但是当行波多次反射之后，由行波多次折反 射理论得到的解析式将变得复杂，尤其对于既有反射又有折射的情况。而对于有 损线，由于现有数学工具的限制，还不能求出一般情况下的解析解。于是，采用 数值计算方法，对传输线暂态问题进行数值仿真便是解决这类问题的有效方法。 在偏微分方程数值解领域里，时域问题常采用有限差分法求解。有限差分法的基 本思路为：将连续分布的时间空间坐标离散得到时间空间网格，在网格点上用差 商代替方程中的微商形成某种差分格式，再利用初值和边界条件，迭代求出所有 格点的数值。其中差分格式的建立是整个过程的关键，一个好的差分格式应当具 有算法稳定、收敛速度快、精度高、计算量小等特点。但这些要求往往不能兼顾， 只能针对具体问题有所侧重。对于传输线方程，由于没有现成的差分格式可利用， 只能利用偏微分方程数值解理论建立新的差分格式。考虑到数字电路中经常出现 脉冲跃变电压，对变量x 的离散常常引起寄生振荡，而l a x 差分格式在平滑脉冲 跃变，消出寄生振荡方面效果显著。因此可参考l a x 差分格式来建立传输线方程 的差分格式。 3 2 差分格式的建立 当采用有限差分法【3 5 】求解偏微分方程数值时，首先将连续分布的时间、空间 坐标离散得到时间、空间网格。在x t 上半平面上画出两族平行于坐标轴的直线， 把上半平面分成矩形网格。这样的直线称作网格线，其交点称为网格点或节点。 一般来说，平行于t 轴的直线是等距的，可设距离为x 0 记为h ，我们称其为 空间步长。平行于x 轴的直线也假定是等距的，设距离为a t 0 记为k ，称其为时 间步长。这样两族网格线可以写作 x 2 x m 2 m a x 2 m l l m = 0 ，l ，2 ，m t = t = n a t = n k , n = o ，1 ，2 ，n 网格节点( x m ，u 有时简记为( m ，n ) 。网格图3 1 所示 重庆大学硕士学位论文3 传输线暂态过程的偏微分数值解法 n k n k 2 k l k t 0l h2 h3 h m hi v l h 图3 1 网格图 f i g3 1m e s hg r a p h 对于均匀传输线方程 以中心差商代替挲和学，即 d xd x ： 以如右形式的前向差商代替害和衾， 即 a u 二m - i 一1 a + 吧) o tk 御j 二1 1 4 1 一1 a + 0 1 ) 一目= - - - - - - - 二= 二- - - - - - - - - - - - - 一 o t七 x 夏o u 2 ：夏a i t 。， a xd、 筹x = g 。一c 。等tdd 以三( 略。+ u - ) 和三( 。+ 。) 代替u 二和五 得如下差分格式 ( 3 2 ) ( 3 3 ) 一警：主编删+ 厶半 一簪：知+ g 掣 。m 整理后得： 1 2 篓舶 加一孤引一孤 ，f，l 重庆大学硕士学位论文 3 传输线暂态过程的偏微分数值解法 摹竺溪1 g o k 豢4 - a + l二善 5 ， l k 一壶( u ：r 吐) 一言( 等- 1 ) ( 。 一 俘倒t 6 ， 三( u ：+ 。+ 吐。) 和尹1j 肼- a + 。) 代替u ：和j ：相当于附加适当的s ( 国万a 2 1 z ，使格式变成 在一定条件下的稳定格式，用流体力学的术语来讲，占( 脚窑就是粘性项，因此在 m + lmm + 1 图3 2 计算节点分布图 f i g3 2g r a p ho fn o d e sd i s t r i b u t i o n n + l n 当己知1 1 层n 卜l 、m + l 两点的值时，则可以求出n + 1 层1 1 1 点的值。由于式( 3 5 ) 为二元方程，一个节点为2 个值( 该点的电压、电流) ，所以每一次计算时，实际 有4 个数据参与运算，并得出2 个结果。在式( 3 5 ) 投入运算前必须确定初值条件 ( 式3 6 ) ，将它作为第1 层的值，使整个计算可以起动。而当要计算( 2 ，n + 1 ) 或( m 1 ， n + 1 ) 节点时，需要用到( 1 ，n ) ，0 讧，1 ) 的节点值。这就涉及到边界条件的确定问题， 因而求出具体模型的边界条件是整个问题的关键所。本文将在后面章节对如何求 出具体问题的边界条件作尽可能详尽的阐述。下面对该差分格式进行误差分析及 收敛性和稳定性分析。 3 3 误差分析 将一阶双曲型方程组( 式( 3 1 ) ) 差分变为( 式( 3 4 ) ) 后，由于舍弃一些次 重庆大学硕士学位论文 3 传输线暂态过程的偏微分数值解法 要的项而导致微分方程的真解与差分方程的真解的误差称为截断误差u “。本节将 对截断误差的来源及大小作讨论，而对其它误差从略。 u ( x ，t ) 在( m h , n k ) 点关于时间的泰勒二阶展开式为 ( t oo = u 二+ ( f n 妁( 害) ：+ 竺二j 芋( 雾) ：其中n l 为t 和n l 【之间的某个值 当t - ( n + 1 ) k 时得 u 二a + l = 时m 畴：，+ i k 2 育 2 u j “。 整理得华= ( 舡+ 喜( = = ( 缉a t = + d ( 萄 u ( x ，t ) 在( m h ，n k ) 点关于空间的泰勒三阶展开式为 嘎五n ) = ：小一蛐( 磬：+ 壁笋( 万a 2 u ”i t 坚竽( ：i 其中m l 为x 和m h 之间的某个值 当x = ( m + 1 ) h 时得 u n 咐i t 厦菪：+ 等瞬a 2 1 褂ai h 3 ( ：- 当x = ( m - 1 ) h 时得 吐。= ：一垣嚣：+ 等( 雾) ：一詈( 2 訾= ( 蚤：+ 西h 2 。万a 3 t ，。+ 丽a 3 1 1 脚a = ( 蚤：州扔 鱼笋= u ：+ 譬( ：+ 伊1 ，丽o s u ，。o 一( 扯u ：+ d ( 酽) ! 掣：。衾，：+ 。固+ 肋。丘、a f 一 、 同理可得 华= c 驾o t 。= + 孝c ：= 睇：+ d ( 硒 ( 3 7 ) ( 3 8 ) ( 3 9 ) ( 3 1 0 ) ( 3 1 1 ) 其中，：拿( 3 1 2 ) 譬 气产= ( 蚤：+ 伊h 2 丽0 3 j a ( 黟护( 爱如) 学= i ：+ 等器肛蔷【岛小c 拉扣( 1 1 2 ) 竿：。雾二+ 。妁+ t o ( 。国 = 一= f l + o i 船+ m 丘、a f “ 。、 1 4 r 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) 其中f ：_ h( 3 1 6 ) j c 重庆大学硕士学位论文3 传输线暂态过程的偏微分数值解法 令偏微分方程l ( u ) = o 的精确解为i , i ，l ( u ) = 0 为逼进该偏微分方程的差分方程，精 确解为u ，则在网格节点( m ，i i ) 处的截断误差定义为 瑶= m ：i ) - l ( u ：) ( 3 1 7 ) 故用式( 3 4 ) 逼进式( 3 1 ) 的截断误差为 瑶= d ( 五+ 硒 ( 3 1 8 ) 这说明差分格式( 3 5 ) 是一个一阶精度的差分格式 若h 哪加时，磁加，则称0 是l 的一个相容逼进，显然式( 3 4 ) 是式( 3 5 ) 的一个相容逼进。 3 4 收敛性和稳定性分析 收敛性是讨论当h o k 一0 时，l 二一u ：l 是否一致趋于零的问题【3 7 】( 设u 二为 偏微分方程在( x 。，t n ) 处的解，u ：为差分方程的准确解，u ：为差分方程的近似解。) 稳定性是指当n 增大时，准确解与近似解之差l u ：一u ：l 是否能得到控制或趋于零 ii 的问题口”。差分方程的稳定性实际上就是差分方程的解能得否连续依赖初始条件 u ( x ，o ) = f ( x ) 的问题。通常f ( x ) 是通过测量、资料统计或某种运算后得到的，因而不 可避免地带有误差。如果差分方程的解不能连续地依赖初始条件，则以带有误差 的初始条件所得到的解与不带误差的初始条件所得到的解之间的差别就可能非常 大，从而导致计算出来的解根本不能作为方程的近似解。即使f ( x ) 没有误差，由 于计算中舍入误差的产生和传播也出会导致计算解与真实解大相径庭。所以一个 不稳定的差分格式，即便它的精度再高，也是没有任何实用价值的。 l a x 等价定理：对于一个适定的线性初值问题，若逼近它的差分格式是相容 的则差分格式收敛的充要条件为该格式稳定 3 6 1 。 该定理可将收敛性的讨论转化为稳定性的讨论，而对稳定性的讨论却容易得 多因此，借助l a x 等价定理，可以不再专门讨论收敛性，而只讨论稳定性即可。 下面利用f o u r i e r 方法讨论其稳定性。 设节点( m n ) 处电压和电流的误差分别为磙和w ： 重庆大学硕士学位论文 3 传输线暂态过程的偏微分数值解法 得 仁二毒2 r i g = 二= 乏2 蓑q 1 = 二= 一【w “护一壶( 矿“) 一犷“) 一互( 警一1 ) ( 酽圳+ 妒“) 一 i 旷1 一志妒( 一) 一j 1 百 o k - 1 ) 矿( 矿+ 产) 卜一壶犷( 矿- e 。) - i 1 ( 警_ 1 ) 驴( “产) r 一嵩矶一( 争她 加，d 【w 州一h v , s i n a _ ( i 略k k - l 妙c o s 口 一 吲= 槲 其中 g =o 一警o o s 口 一c 志咖州 称为增