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轿车白车身模态分析及其优化 摘要 车身是轿车的关键总成，它的构造决定了整车的力学特性。对白车身进行 低阶模态分析能对车身结构的整体刚度进行考察，而且可以指导人们对车身结 构进行优化分析。本文针对某轿车白车身建立了有限元模型，对该模型进行了 低阶模态分析。同时对实际样车进行了模态试验测试，得到了白车身的动态参 数，并在试验的基础上验证了有限元模型的可靠性。在分析白车身模型的同时 也分析了带玻璃车身模型的低阶模态频率，将其与白车身模态频率进行对比， 初步探讨了玻璃对车身刚度的影响。 在考虑到白车身覆盖件板厚对其低阶模态频率的影响时对主要部件的板厚 进行了频率灵敏度分析，以确定各部件板厚对白车身低阶频率的影响大小。从 而为后面的优化设计中设计变量参数的选取提供理论依据。 在灵敏度分析的基础上，提取对低阶模态频率影响较大的部件进行了优化 分析。以板厚为设计变量，在优化设计中可根据不同的优化目的确定不同的目 标函数。在了解相关研究的情况下，文中主要考虑车身的轻量化问题和低阶模 态频率的提高两方面的优化问题。 该课题研究较为系统的完成了白车身的动态分析，所建立的“模态分析一 灵敏度分析一优化分析 过程能应用于其它车型的相关研究，为其它相关研究 积累了一定的可借鉴的经验。该课题对车身结构的进一步优化具有一定的参考 价值。 关键词：白车身有限元模型模态分析灵敏度分析优化分析 m o d a la n a l y s i sa n do p t i m i z a t i o no nb o d y - - i n - w h i t eo fc a r a b s t r a c t a u t o m o t i v eb o d yi sav e r yi m p o r t a n ta s s e m b l yo fa na u t o m o b i l e ，w h o s e m e c h a n i c a lc h a r a c t e r i s t i c sa r el a r g e l yd e p e n d e n to nt h es t r u c t u r eo fi t sb o d y c o n d u c t i n g t h el o w o r d e rm o d a l a n a l y s i s o ft h eb o d y i n - w h i t ec a nn o to n l y i n v e s t i g a t ei t ss t i f f n e s s ，b u ta l s oh e l p so p t i m i z et h es t r u c t u r eo ff r a m eb o d y t h e f i n i t ee l e m e n tm o d e lw a sb u i l da c c o r d i n gt os o m ec a r sb o d y - i n w h i t e t h em o d a l a n a l y s i sw a sp e r f o r m e db a s eo nt h ef i n i t ee l e m e n tm o d e l a tt h es a m et i m et h e m o d a lt e s to fr e a lc a rb o d yw a sf i n i s h e d ，a c c o r d i n gt o t h et e s tt h ed y n a m i c p a r a m e t e r so ft h eb o d y i n - w h i t ew e r eg e t t h er e l i a b i l i t yo ft h ef i n i t e e l e m e n t m o d e lw a sv a l i d a t e db a s eo nt h em o d a lt e s t f u r t h e rm o r e ，t h el o w o r d e rm o d a lo f t h em o d e lw i t hg l a s sw a sp e r f o r m e d c o m p a r e dw i t ht h e f e ar e s u l t so f b o d y i n w h i t e ，t h ei n f l u e n c eo ft h eg l a s st ot h es t i f f n e s sw a s t h er e s e a r c hp r o je c t t oa s c e r t a i nt h ec h a n g eo ft h ec o v e rp a n e lt h i c k n e s so ft h ec a rb o d yt ot h e i n f l u e n c eo ft h ef i r s tc l a s sf r e q u e n c i e s ，t h es e n s i t i v i t ya n a l y s i sw a sp e r f o r m e d b a s e o nt h es e n s i t i v i t ya n a l y s i sw ec a ng e tm o r er a t i o n a ld e s i g np a r a m e t e r si n t h e f o l l o w i n go p t i m i z a t i o na n a l y s i s s oi nt h ep a p e rt h ec o n c e p ta n ds i g n i f i c a n c eo f s e n s i t i v i t ya n a l y s i si st h em a i nm o t i v e i nt h ef o l l o w e do p t i m i z a t i o na n a l y s i s ，t h ep a r t sw h i c hh a v em o r ei n f l u e n c et ot h e 1 0 w o r d e rm o d a lw e r es e l e c t e d a n dt h et h i c k n e s so ft h e s ep a r t sw e r es e ta sd e s i g n p a r a m e t e r s i nt h eo p t i m i z a t i o nd e s i g n ，d i f f e r e n to b j e c tf u n c t i o n sc a nb ed e s i g n e d a c c o r d i n gt od i f f e r e n tp u r p o s e r e f e rt ot h es i m i l a rr e s e a r c h e s ，i nt h i sp a p e rt w o o b j e c tf u n c t i o n sw e r ed e s i g n e d ，w h i c hw e r et h ew e i g h to fb o d y - i n w h i t ea n dt h e f r e q u e n c y v a l u e so ft h el o w - o r d e rm o d a l t h es y s t e m i cf l o ww a se s t a b l i s h e df o rt h ed y n a m i ca n a l y s i so fb o d y - i n - w h i t e ， w h i c hi s “m o d a la n a l y s i s s e n s i t i v i t ya n a l y s i s o p t i m i z a t i o na n a l y s i s ”t h ef l o wc a n a p p l yt oa n yo t h e rs i m i l a rr e s e a r c h t h ei t e ma c c u m u l a t e ds o m ee x p e r i e n c ef o r s o m ec o r r e l a t i v er e s e a r c h t h er e s u l tp r o v i d e dav a l u a b l ec o n s u l tf o rt h ef u r t h e r o p t i m i z a t i o no ft h ew h o l eb o d y k e y w o r d s ：b o d y i n w h i t e f i n i t ee l e m e n tm o d e lm o d a la n a l y s i s s e n s i t i v i t ya n a l y s i so p t i m i z a t i o na n a l y s i s 插图清单 图1 1 轿车自车身及其各部件对整车两度的贡献2 图1 - 2 车身结构分析系统集成框图3 图2 一 应力方向图9 图2 2 矩形壳单元示意图1 3 图2 3 有限元分析流程1 6 图3 1 理论模态分析2 0 图3 2 结果误差分类”2 3 图3 3s h e l l 6 3 单元的几何描述2 4 图3 4 自车身有限元模型2 7 图3 5 第一阶前部扭转2 9 图3 6 第一阶扭转2 9 图3 7 第一阶侧向弯曲一一”2 9 图3 8 第一阶弯曲( 主前) 2 9 图3 9 第一阶纵向弯曲2 9 图3 1 0 顶盖、行李箱振动2 9 图3 一 带风窗玻璃的有限元模型3 0 图3 - 1 2 第一阶前部扭转3 0 图3 。1 3 第二阶一阶扭转3 0 图3 。i4 第三阶一阶弯曲3 1 图3 15 第四阶一阶弯扭3 1 图3 。1 6 第五阶顶盖、客舱涨缩3 1 图4 1 模态试验原理图3 3 图4 2 白车身悬挂点位置图3 3 图4 - 3 自车身悬挂效果图”一”3 3 图4 - 4 双激振点位置示意图3 4 图4 5 车身测点位置布置图3 5 图4 6 模态测试系统3 5 图4 7 白车身轮廓线3 6 图4 8 试验模型图3 6 图4 9 输入e x c e l 表格式3 7 图4 - 10 某通道频响函数曲线图3 7 图4 1 1 所有测点通道的频响函数叠加图3 7 图4 12 某通道相干函数曲线3 8 图4 - 13 试验模型第一阶振型图3 9 图4 1 4 试验模型第二阶振型图3 9 图4 1 5 试验模型第三阶振型图3 9 图4 - 16 试验模型第四阶振型图3 9 图4 - 1 7 试验模型第五阶振型图3 9 图4 - 1 8 试验模型第六阶振型图3 9 图4 1 9 试验模型第七阶振型图3 9 图4 2 0 试验模型第八阶振型图3 9 图4 2 1 试验模型第九阶振型图3 9 图4 2 2 试验模型第十阶振型图3 9 图4 2 3 前2 5 阶模态矢量一致性图4 0 图5 1 设计优化过程4 6 图5 2 设计数据流向图4 7 图5 - 3 部分板件抗扭灵敏度分析曲线5 0 图5 - 4 部分板件抗弯灵敏度分析曲线5 0 图5 5 侧围外板图5 2 图5 - 6 地板总称上部分零件名一5 2 图5 7 后围总成上部分零件名5 2 图5 8 目标函数w e i g h t 的迭代收敛示意图5 4 图5 9o b 2 随迭代的收敛情况5 5 图5 10f r e 2 随迭代的收敛情况5 5 图5 11o b 5 随迭代的收敛情况5 6 图5 12f r e 5 随迭代的收敛情况5 6 表格清单 表3 1 单元划分时设定准则2 3 表3 2 白车身主要零部件初始板厚及材料性能参数2 5 表3 3 多种模拟焊点的方法对比2 6 表3 4a n s y s 中常用的模态提取方法2 8 表3 5 有限元模态分析值2 8 表3 - 6 白车身模型与带风窗玻璃模型频率值对比3 0 表4 1 试验仪器列表3 2 表4 2 前16 阶试验模态频率值3 8 表4 3 理论计算与试验误差4 0 表5 1 一阶灵敏度分析结果5 1 表5 2 以轻量化为目的的优化结果5 3 表5 3 优化前后白车身质量及模态频率对比5 4 表5 4 以o b 2 为目标函数的优化结果5 5 表5 5 以o b 5 为目标函数的优化结果5 5 表5 6 优化后各板件厚度取值5 6 表5 7 优化前后白车身质量及模态频率对比5 6 独创性声明 本人声睨所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得 金壁王些太堂 或其他教育机构的学 位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文 中作了明确的说明并表示谢意。 一虢砷卅，期：沙月确 本学位论文作者完全了解佥月垦王些杰堂有关保留、使用学位论文的规定，有 权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。 本人授权金艘王些太堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行 检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：厂矽p ) c 力 签字日期俨，谓埔 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 导师签名： 签字嘲。7 引确加 电话： 邮编： 万 致谢 在论文完成之际，首先感谢我尊敬的导师一一石琴教授，衷心的感谢她在 我的研究生阶段所给予的学习上的指导和生活上的关心，石老师对我的小论文 和学位论文都提出了宝贵的意见，石琴教授严谨求实的科学态度、渊博的专业 知识、忘我的工作热情以及丰富的实践经验使我受益匪浅，终身难忘。在此， 谨向我尊敬的老师表示最诚挚的谢意! 感谢张代胜教授在整个研究生学习过程中所给予的帮助和指导，张老师宽 于待人严于律己的作风、严谨求实的科学态度和深厚的专业理论、豁达的胸襟， 使我在学习和做人方面都受益匪浅，是我今后工作和学习的榜样。 感谢谭继锦老师在我做课题和做论文期间给予的大力帮助，谭老师深厚的 专业知识和敬业的科研态度为我今后的学习和工作树立了很好的榜样! 感谢徐建中、王荣贵、尹安东等教研室的老师在课题学习和试验测试期间 给予的热心帮助! 感谢李进、初长宝、张林涛、仇彬、夏国林、王华、田旭旺及张锐、邓超、 刘钊、卢丽平等同学对我学习、研究工作和生活上的帮助! 最后，深深感谢我最敬爱的父母和我的挚友谷叶水、孟锐、方济兵，正是 由于他们坚定的支持和鼓励，才让我能够顺利地完成学业! 汪成明 2 0 0 7 年11 月 第一章绪论 1 1 汽车行业结构分析回顾 在汽车发展的早期，人们对汽车结构的分析主要依靠经验判断和试验模拟。 当时已有的分析工具仅限于各个零件材料强度的计算。而对于汽车车身这个大 型连续弹性体，人们只能得到边界条件极为复杂的微分方程，车身的整体力学 特性只能在制作出样车并进行一系列复杂的试验后才能得到【1 】。在全球经济和 科技领域竞争日益激烈的情况下，随着人们对汽车性能和外观的要求越来越高， 现代轿车更侧重时代潮流和舒适性，汽车行业原来的设计理论和制造方法已经 无法满足人们的要求，汽车业的产品设计和制造领域需要发展新的设计理论和 制造方法，以有限元法为代表的计算力学正是在这种需求下得到广泛的应用和 不断的完善发展。 随着计算机技术和数字计算方法的迅速发展，大型复杂工程问题可以采用 适当的数值计算方法并借助计算机技术求得满足工程需要的数值解。有限元方 法( f i n i t ee l e m e n ta n a l y s i s ) 作为工程分析的一个重要的数字分析方法，从二 十世纪四十年代至今，经过六十多年的发展和完善，其理论已经相当成熟i j 。 它的主要思想是将复杂的结构离散为有限多个单元，而这些单元的几何形状、 力学特性都已被人们研究熟悉且已有适当的数学模型，这些单元通过节点的联 结，构成一个对被研究结构进行描述的力学模型。 一九七零年，美国国家宇航局的结构分析程序n a s t r a n 引入汽车领域， 标志着以分析验证为基础的车身结构设计革命的开始p j 。它是一个面向用户的 通用的结构分析程序，使之适用于非专家的一般设计工程师使用。目前有限元 法在机械结构分析方面因具有较高的计算精度而得到普遍采用，特别是在材料 应力应变在线性范围内更是如此，其中结构分析包括结构刚度、强度分析和结 构优化分析。同时当考虑到机械应力与热应力的耦合时，像a n s y s 、n a s t r a n 等大型软件都提供了极为方便的分析手段。 现在有限元法已被广泛应用于汽车结构的静动态分析、声场分析、碰撞分 析等各个方面，同时在航空航天、船舶工程、微机电系统和纳米器件等工程领 域也被广泛应用。通用化、商业化的软件也日趋完善，其中较为著名的有： a n s y s ，n a s t r a n ，a d i n d a a d i n t ，a s k a t ，a b a q u s ，p a m c r a s h 等， 这些都构成了计算机辅助工程( c o m p u t e ra i d e de n g i n e e r i n g ，c a e ) 的重要组 成部分。 1 2 研究背景 汽车是重要的交通运输工具之一。随着社会经济的发展，轿车越来越多的 成为家庭的私有财产，人们对汽车的安全性、舒适性、经济性和环保性能提出 了越来越高的要求，从而促使车辆的设计水平不断地趋于科学化和人性化。现 代人们更侧重于轿车的时代流行潮流和舒适性，因此轿车的市场生命周期越来 越短，而一般变型车设计变化最大的就是车身，所以车身是轿车开发的重点， 是车辆设计的主要内容之一，在车辆设计工作中占有很大的比重。车身结构设 计的主要目的就是确保车身强度、刚度的前提下，减轻车身的重量，同时能满 足人们对汽车舒适性安全性的要求。 在汽车制造市场竞争日益激烈的今天，轿车制造技术越来越先进，现代汽 车车身大多数采用全承载式结构，其覆盖件的质量布置直接影响汽车的寿命和 整车力学性能。车身结构承载了行驶过程中的大部分载荷，其结构刚度特性具 有举足轻重的作用，据分析白车身对整车的刚度贡献达到6 0 以上1 4 j ，大致分 配情况如图1 1 所示。 整车 1 0 0 白车身二二二 毋 t 央通道粱 8 前门 8 前风宙 6 霄后支撑杆 4 5 i 悬架横粱 3 背掀门 3 其他 3 5 - 5 水平尾蔓 - 5 0o 5 0 l 整车 t 0 0 白车身二二二 6 4 前悬架横粱二 篮 前风亩 1 5 背掀门 1 2 中央通道粱 7 前门 7 前后支撑杆 3 其他 5 - 3 5 水平尾冀 雩曲刚度扭转刚度 图1 1 轿车白车身及其各部件对整车刚度的贡献 车身刚度设计是否合理会直接或间接地影响轿车的整车性能。车身刚度不 足，会引起门窗、发动机罩及行李箱等处开口变形过大，从而导致车门卡死、 玻璃破碎、密封不严以致渗风、漏雨和内饰脱落等等，同时还会影响安装在车 身上的各总成的相对位置。车身结构的低阶弹性模态参数不仅反映了车身的整 体动态刚度性能，而且是控制汽车振动特性的关键指标。为了避免汽车行驶过 程中在路面载荷激励下车身结构发生低价模态共振，在结构设计过程中应该有 效地控制车身结构的低价模态参数【5 j 。 一般白车身低阶模态频率值反映车身的刚度特性，同时固有频率和振型是 结构的重要动态特性。根据一定的方法研究车身结构刚度的提高对汽车安全性 和舒适性具有一定的意义。为此本文进行了为满足汽车经济性的白车身轻量化 研究和为提高汽车安全性、舒适性而进行的提高低阶模态频率值的分析。 1 3 国内外研究现状 经过几十年的积累和发展，国外许多大汽车公司建立了高性能的车身计算 2 机辅助工程( c a e ) 系统，形成了完整的设计、分析方法与试验程序，图1 2 为i 垂i # l - 普遍采用的车身结构设计系统和流程【6 】： 图1 - 2 车身结构分析系统集成框图 目前，运用了计算机辅助工程分析技术后，国外新车型开发周期已经缩短 到2 4 到3 6 个月。现代车身结构设计由原来的经验、类比、静态设计向建模、 静动态分析、动态优化及虚拟现实设计转变，现代车身结构设计方法有以下几 个明显的特点h 1 ： ( 1 ) 设计与分析平行 从早期以满足一定性能要求为目标的机构选型、机构设计，到具体设计方 案的比较及确定、设计方案的模拟试验，车身结构设计的各个阶段均有结构分 析的参与。车身结构分析贯穿了整个设计过程，这样确定的车身结构设计方案 基本上就是定型方案，由此方案设计出的样车只需要一定的验证使用即可定型， 大大缩短了车身开发及研制的周期； ( 2 ) 结构优化的思想被应用在设计的各个阶段 轻量化要求和舒适性安全性要求的不断提高，使车身设计的难度越来越大。 为了满足这些要求，必须在设计的开始阶段就引入优化设计的思想，并将其贯 穿整个设计阶段； ( 3 ) 大量的虚拟试验代替实物试验 虚拟试验不仅可以在没有实物的条件下进行，而且实施迅速，信息量大。 利用虚拟试验，一方面可以及早发现设计中的问题，从而进一步减少设计成本， 缩短设计周期。 我国对汽车结构的研究已经积累了一些经验，包括有静态、模态等多方面 的计算以及对结构的优化【7 叫1 1 ，如九十年代初吉林大学对汽车车架计算方法和 结构优化变量方面的研究；上海大众与外方合作开发了桑塔纳2 0 0 0 型轿车， 并由同济大学对它的白车身进行了刚度研究，成功地进行了修改方案的比较并 3 选择出最佳方案。当前汽车结构的分析研究一般借助于c a e ( 计算机辅助工程) 技术，c a e 技术在中国汽车业的应用经历了入门、推广、普及等阶段，目前已 经到了取得实质效益的阶段，具体表现在： ( 1 ) c a e 技术被普遍认可，其分析方法的准确性和精确性已得到普遍认可； ( 2 ) c a e 分析和工程设计紧密结合，实现了分析与设计的同步： ( 3 ) c a e 分析范围扩大，分析对象从以前的单个零件发展到现在的总成系 统、整车系统；从线弹性分析发展到非线性分析和多物理场耦合分析； ( 4 ) c a e 软件向专业应用方向发展，简化了分析方法，提高了c a e 应用效 益，这对汽车企业开发能力的建立和提升具有重要意义。 c a e 仿真技术的应用改变了传统的设计方法和流程，使汽车产品的大多数 问题都可以在设计阶段通过仿真得到解决，从而提高了设计质量和效率，大大 降低了开发时间和费用。但是与国外的车身结构分析相比还存在着许多的不足， 主要表现在列： ( 1 ) 车身结构开发工作主要还是依赖于经验和解剖进口结构进行参照性设 计的，多用来解决样车试验以后出现的设计问题，设计与分析未能真正 做到并行； ( 2 ) 有限元分析主要应用在结构的强度和刚度和动态分析方面，在碰撞、振 动、噪声、外流方面模拟计算还没有全面的发展起来。 只有真正认识到与发达国家的差距，而在产品开发早期阶段采用现代设计 分析工具，预测轿车静动态特性，并进行结构优化决策，从而多方面研究完善 并积累自己的经验，才能真正提高技术水平和自主开发能力。 1 4 研究意义 车身是轿车的关键总成，是驾驶员的工作场所，也是容纳乘客和货物的场 所。车身应对驾驶员提供便利的工作环境，对乘客提供舒适的乘坐条件，保护 他们免受汽车行驶时的振动、噪声、废气的侵袭以及外界恶劣气候的影响，并 能保证完好无损地运载货物且装载方便。从结构上讲，其构造决定了整车的造 型、总布置及各种附件的安装和固定。更为重要的是，它的力学特性能直接决 定着整车的力学特性，尤其是承载式车身，没有独立完整的车架，发动机、底 盘完全安装在车身上，因此，车身承受着全部的载荷。白车身因为没有加载各 种附件，非线性较小，试验测试得到的数据能较为精确的反应车身的各种固有 性能，对车身开发具有指导意义。 据分析白车身对整车的刚度贡献达到6 0 ，而且现在因为人们对轿车的时 尚潮流和舒适性的要求越来越高，轿车的市场生命周期越来越短，设计开发中 变化最大的就是车身，因此车身结构设计更为广大汽车厂商所重视，进一步对 白车身进行低阶模态分析则不仅能从另一个角度考察其整体刚度特性，并且可 4 以优化车身结构，使其模态频率避开来自多方面的激振频率，另外通过模态分 析获得的车身固有频率使进行响应分析的基础。从目前发表的论文资料来看 1 3 1 4 】对轿车白车身低阶模态进行的试验分析及有限元分析方面的探讨，由于早 期软件及计算机性能等原因，所建立的有限元模型建立较为粗糙，从而使计算 精度较差；模态试验中所建立的试验模型太粗糙，从而使测点的选择受到一定 的限制，因此试验结果不一定能很好的反映白车身的模态振动性能。 在本研究课题中，对带天窗的某轿车白车身进行了模态试验分析，在几何 模型的基础上采用一定的标准对其进行了有限元划分，有限元模型相对所做的 简化较少，能很好的反映白车身的实际结构，因此，结合以往的研究成果和生 产的实际需要，确定本文的主要研究内容如下： ( 1 ) 对白车身进行模态试验。利用h y p e r m e s h 软件，建立较为精确的试 验模型。说明了试验模型的建立原则、测试方案的确定、对模态试验所测得的 数据进行分析以使测试系统能满足精度要求； ( 2 ) 对建立的白车身有限元和带玻璃有限元模型进行理论模态计算，并对两 者进行对比以说明玻璃对车身刚度的影响。同时在试验的基础上对有限元模型 进行验证以确保有限元模型能较好的反映白车身的静动态性能； ( 3 ) 分析了白车身主要覆盖件厚度对白车身低阶模态频率的影响程度，为有 目的性地移动模态频率提供了重要依据，同时探讨了利用灵敏度法移动模型某 一阶模态频率地有效性； ( 4 ) 基于灵敏度分析，取对低阶模态频率灵敏度较大部件的板厚为设计变 量，以车身轻量化和提高车身刚度为目标进行优化分析。 本文计算分析过程的论述为汽车行业内的相关研究积累了一定经验；对模 型进行模态分析，提取低阶模态频率值，并以低阶模态频率值为目标函数进行 灵敏度分析，然后以灵敏度分析得到对低阶模态频率影响较大的部件的板厚为 设计变量进行优化分析。该分析流程适合所有模型，从而建立了白车身优化分 析的一般方法。该分析为同类分析积累了一定的经验和技术资料，且该分析数 据对同类车型具有一定的参考价值，对车身的结构设计具有一定的指导意义。 5 第二章有限元法基本理论及软件介绍 2 1 有限元法发展概述 以有限元法为代表的c a e 技术是分析各种结构问题的强有力的工具，它是 伴随着电子计算机技术的进步而发展起来的一种新兴数值分析方法。有限元法 是一种工程数值计算方法，其适应性很强，可以解决各种各样的复杂工程问题。 对复杂的结构进行动力学性能的研究及优化设计，有限元方法被证明是一种最 为成功，应用最广泛的近似分析方法。 早期的有限元法是建立在虚功原理的基础上的。一九六零至一九七零年间， 基于各种变分原理的有限元法得到了迅速发展，r j m e l o s h 等人应用位能原理 建立了有限元位移模型；p i a n 应用余能原理建立了有限元平衡模型；r e j o n e s 、 y y a m a m o t o 等人应用修正位能原理建立了混合有限元模型；z m e l i a s 等人应 用余能原理建立了有限元平衡模型；l r h e r m a n n 应用h e l l i n g e r r e i s s n e r 原理 建立薄板弯曲的混合型有限元法；o c z i e n k i e w i c z 、张佑启等人做了进一步发 展与应用川。这样有限元法便有了坚实的理论基础。 进入8 0 年代以来，随着计算机软硬件技术的飞速发展及计算方法的创新， 有限元模型建立的技术和方法日趋丰富和完善，模型的规模也从最初的几十、 几百个简单单元发展到如今的几万甚至几十万个混合单元，分析对象已经由静 态应力发展到动态响应、噪声、碰撞和优化设计。应用大型有限元软件，建立 汽车的有限元模型，进行汽车的动静态分析，完成汽车的优化设计，己是各大 汽车公司普遍采用的一种手段。对汽车的零部件和整体结构进行动力学仿真和 分析，是研究其可靠性、寻求最佳设计方案的主要手段。 2 2 有限单元法的基本理论 在有限元法中，变分原理是有限元法的理论基础，而分片插值法则是有限 元法的思想核心1 6 。在变分问题的解法中可以采用里兹法和加权余量法。对 于一个泛函要求其变分，首先取试探函数 y 珂= a inf ( x )( 2 1 ) f = l 式中口；一里兹参数； ；( z ) 一里兹函数。 当njo o 时，通过代入泛函取极值求出的y 。将收敛到精确解。这种选取试 探函数对泛函进行变分的直接解法称为里兹法。在有限元中里兹参数是待求的 节点函数值；里兹函数是一组线性无关的坐标函数，在有限元中是插值函数或 称为型函数，需要预先构造。里兹法的根本性缺点是在给定泛函的前提下在全 区域选择试探函数，这在实际工程应用中很难做到。而有限单元法则是在单元 6 上选取试探函数，使这种变分问题的直接解法得以在工程计算中实现，所以说 有限元法继承了里兹法的优点，开创了数值计算一个全新的领域。 加权余量法是从微分方程出发建立积分形式。假设微分方程用算子表示为 三( y ) - - - f ( 2 2 ) 加权余量法的基本思想是：为求微分方程( 2 - 2 ) 的解y ，首先假设有一个 满足边界条件和具有一定连续程度的试探函数夕，将此近似函数代入原方程式 ( 2 2 ) ，若代入后与原函数的差值不等于零，则得到一余量r 即： 4 y ) 一f = r ( 2 3 ) 此余量随试探函数的变化而变化，通过余量r 与加权函数彬正交化的途 径，化为代数方程组而获得近似解即 = ，r w , d x = 0 ， 这种在加权平均意义下迫使误差为零的方法称为加权余量法， 数可以根据里兹法选取即 ( 2 4 ) 其中试探函 y = a ，m ( x ) ( 2 - 5 ) i = 1 在加权余量法中若取里兹基函数为权函数时，此时的加权余量法则称为伽 辽金法即 p n ，d xj e l ( ；) - i n ，( x ) d x = 0 ( 2 - 6 ) ll 变分问题的里兹法和伽辽金法都有相应的力学背景。里兹法对应于弹性力 学中的最小势能原理，伽辽金法对应于虚功原理，一般固体力学有限元法都采 用虚功原理。 2 2 1 线弹性体有限元分析 线弹性体的有限元分析是结构有限元分析的重要组成部分，其分析过程概 括起来可以分为以下六步1 6 】： ( 1 ) 结构的离散化 所谓离散化是指将待分析的结构用选定的单元形式划分为有限个单元体， 把单元的一些指定点设为连接相邻单元的节点，以单元的集合体来代替原结构。 单元划分后，对节点和单元进行编号，为以下的有限元法具体分析准备必要的 信息： 7 ( 2 ) 确定位移模式 完成离散化工作后，为对典型单元进行特性分析，必须对单元中的位移分 布做出合理的假设，也就是假设单元中任一点的位移可用节点待定位移的一个 合理、简单的坐标函数来表示，这一坐标函数称为位移模式或位移函数。位移 模式的确定是有限单元法分析的关键。比较常用的做法是以多项式作为位移模 式，因为其微积分运算比较简单。从泰勒级数展开的意义上来说，任意光滑函 数的局部均可用多项式来逼近，可建立如下的矩阵方程： u=n o - ( 2 - 7 ) 式中u 一单元中任一点的位移列阵； n 一型函数矩阵，其元素是坐标的函数； 统一单元的节点位移列阵。 ( 3 ) 单元特性分析确定了单元位移模式后，要对单元做以下三个方面的工 作即 a 利用应变一位移关系将单元中任一点的应变用待定节点位移来表示， 即建立方程： = b 万p( 2 8 ) 式中一单元中任一点的应变列阵 b 一型变函数，其元素是坐标的函数 b 利用应力一应变关系导出用单元节点位移表示的单元应力矩阵方程 仃= d e = 伽皖= s 皖( 2 - 9 ) 式中仃一单元中任一点的应力列阵 d 一与单元材料有关的弹性矩阵 s 一应力矩阵，其元素是坐标的函数 c 利用虚功方程建立作用于单元上的节点力和节点位移之间的关系式，即 单元的刚度方程，从而导出单元的刚度矩阵为： p e = k 已皖 ( 2 1o ) 式中k e - - - i b ld b d v 一为单元刚度矩阵 v ( 4 ) 集成所有单元的特性，建立整个结构的节点平衡方程 在有限元中单元之间仅在节点处连接，单元之间的力只通过节点传递，外 载荷只作用在节点上。但是对于实际的连续体，力是从公共边界传递到另外一 个单元的，因此作用在单元上的集中力、体积力以及作用在单元边界上的表面 力都必须等效的移到节点上去，形成等效节点载荷。某节点的位移对于共有该 节点的相临单元来说是相同的，节点的平衡条件是外界作用在各节点上的力和 力矩等于各单元在这些节点上的力和力矩之和，即 8 k = 印 ( 2 11 ) 式中k 一结构整体刚度矩阵； 6 一结构整体位移列阵； p 一结构综合等效节点载荷列阵。 ( 5 ) 应用位移边界条件 应用位移边界条件，消除总体刚度矩阵的奇异性，使得式( 2 11 ) 可解； ( 6 ) 解方程和计算结果输出 对线性问题，整体刚度方程式是一个线性代数方程组，对这个方程进行求 解，能得到未知节点的位移。求出位移后可以进一步求得单元的应力。 2 2 2 弹性问题基本力学方程 弹性体在载荷作用下，体内任意一点的应力状态可由6 个应力分量o x ，o - y ， 吒，来表示，其中吒，o y ，仃z 为正应力，为剪应力。 应力分量及其正方向见图2 - 1 所示 图2 一l 席力方向图 应力分析的矩阵表示称为应力列阵或应力向量： 仃= k c r yo z 吃r ( 2 - 1 2 ) 弹性体在载荷作用下，还将产生位移和变形，即弹性体位置的移动和形状 的改变。弹性体内任一点的位移可由沿直角坐标轴方向的3 个分量u ，v ，w ， 来表示。其矩阵形式为 “) = u1 ，w 。( 2 13 ) 式( 2 1 3 ) 称作位移阵列或位移向量 弹性体内任意一点的应变，可由6 个应变分量工，g y ，：，如，如，坛 来表示。其中。，y ，g ：为正应变，坛为剪切应变。 9 应变的矩阵形式为 r1 7 = 蛾y 乞心j 。( 2 14 ) 式( 2 1 4 ) 称作应变列阵或应变向量 对于线弹性问题，弹性力学基本方程的建立有三个前提条件即 ( 1 ) 连续介质假设。即假设弹性体所占据的空间区域由连续分布的物资充 满，不留空隙； ( 2 ) 小位移，小变形假设。即假定弹性体在任一点处的位移和应变都很小， 以至应变和位移之间的关系是线性的； ( 3 ) 线性弹性假设。即假定弹性体的应力一应变关系服从广义胡克定律。 鉴于上述假设，三维空间问题，其弹性力学基本方程可写成如下三种形式： 1 ) 几何方程( 应变一位移关系) 根据小位移，小应变假设，弹性体的应变和位移之间的关系即几何方程为 几何方程的矩阵形式是 其中l 为微分算子 l 】= e = 面，= 面，乞= i 5 1 ，a “ = = 瓦+ 面 1 ，一，一c w d v ( 2 - 1 5 ) = = 面+ 面 、 a 乙a w 坛= 如= i + i r ，zr ，y p ) = l 缸) a - u d x ，、a u _ 云少 oo a u ：一 妙 n a u o x a - - - - - u a z a 0 = 一 a z 旦。 芘 aa 砂 舐 2 ) 平衡方程 弹性体v 域内任一点沿坐标轴方向x ，y ，z 的平衡方程为 1 0 ( 2 1 6 ) ( 2 - 17 ) = 0 = 0 = 0 平衡方程的矩阵形式为 三 1 仃+ q = 0 式中q = q 工gvq z 7 ； 其中q ，g ，g ：一单元体积的体积力在各方向的分量。 3 ) 物理方程( 应力一应变关系) 对于线性弹性介质，应力与应变之间的关系服从广义胡克定律， 的矩阵形式为 仃= d 式中d 为弹性矩阵 且。= 瓦丽e 丽 1 一 h o o o 1 一 h o o o 对称 1 - l z 0 ( 卜2 ，厶 oo ( 1 2 oo o ( 2 - 1 8 ) ( 2 - 1 9 ) 即物理方程 ( 2 - 2 0 ) 0 - 2 , ) _ 2 其中e 一材料的弹性模量； u 一材料的泊松比。 本文中所讨论的白车身结构绝大部分是由薄板冲压件组装而成。其板厚在 0 4 - - - - , 3 m m 之间，远小于平面尺寸，其受力方式可以认为是薄板弯曲问题。为此 将弹性力学方程中应力应变函数关系通过挠度表示，挠度为薄板弹性曲面中面内 各点在垂直于中面方向的位移w 。弹性力学中，对薄板弯曲情况做出如下假设： ( 1 ) 垂直于中面的正应变：极其微小，可以忽略不计，即 t = 娑= ( 2 - 2 1 ) 0 t = i = ( 2 ) 应力分量，和吒远小于其他三个应力分量，他们所引起的应变可 以忽略不计，即 + + + 峨i 峨i 魄i 峨可峨可峨可 堕h堕孤堕赢 心= = 0 ，乞= 0 ( 3 ) 薄板中面内的各点都没有平行于中面的位移； ( 4 ) 挤压应力引起的变形可以忽略不计。 根据式( 2 2 2 ) 知： 坛= 。= 警+ 芸，= 。= 警+ 警 o z0 xdzc 沁 由式( 2 2 3 ) 得到 ( 2 - 2 2 ) ( 2 - 2 3 ) 西一面云一面 ( 2 - 2 4 ) a z孤 a z a 1 ， 。叶7 因为挠度w 只是x ，y 的函数，将式( 2 - 2 4 ) 对z 进行积分可得 “= 一罢z + z ( 训) ( 2 2 5 ) “= 一一= z + l 【x ，少)( 2 ) d 7 1 ，= 一祟z + 厶( 训) ( 2 2 6 ，) 1 ，= 一- = z + 2 ( x ，少)( 0 v 、 根据上面的薄板弯曲假设( 3 ) 可知 z = 六三0 ( 2 2 7 ) 根据公式( 2 1 5 ) 、( 2 - 2 5 ) 、 ( 2 - 2 6 ) 、( 2 - 2 7 ) 得到结构的应变可用挠 度表示为 a u = _ = a x a v = 面= a v a u 几= + 7 砂 赢。a 1 ， a 2 w 一面z a 2 w 一哥2 = 乏器z0 x o v 同理薄板弯曲中的应力可用挠度表示为 吒= 南c 叫= 一寺c 窘+ 等， 一 e ，、 一 a 2 wa 2 w 、 q = 可l