（基础数学专业论文）某些特殊子群对有限群结构的影响(2).pdf

某些特殊子群对有限群结构的影响 基础数学专业 研究生赵勇指导教师王坤仁 论文摘要：在有限群论中，人们常常利用子群的性质研究群的结构比如利用极 大子群的d 正规性得到有限群的可解性的充分条件本文首先主要利用极小子 群，s y l o w 予群的极大( 二次极大) 子群的弱d 正规性，得到有限群成为p - 幂零群的一 些充分条件；其次利用极大子群，s y l o w 子群的极大( 二次极大) 子群的量正规性，得 到有限群成为可解群和p 幂零群的一些充分条件；最后运用( 1 _ 可补子群以及庐超 中心，结合群系理论，得到有限群成为超可解群t r i p - 幂零群的一些充分条件摊广 了i t 5 定理和已知的相关结果 关键词：有限群渴b c 一正规子群；孓正规子群；c - 可补子群；可解群：超可解 群；p - 幂零群；极大( 小) 子群；s y l o w 子群；饱和群系 第i 页，共粥页 t i l ei n f l u e n c eo fs o m es p e c i a ls u b g r o u p so nt h es t r u c t u r e o ff i n i t eg r o u p s b a s i em a t h e m a t i e s p o s t g r a d u a t e ：z h a oy o n gs u p e r v i s o r ：w a n gk u n r e n a b s t r a c t ：i nt h et h e o r yo f f i n i t eg r o u p s ，p e o p l eu s u a l l yu s es o n l ep r o p e r t i e s o fs u b g r o u p st os t u d yt h es t r u c t u r eo ff i n i t eg r o u p s f o ri n s t a n c e ，o n em a y o b t a i nt h es u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o raf i n i t eg r o u pt ob es o l v a b l eb yu s i n gt h e c n o r m m i t yo fm a x i m a ls u b g r o u p i nt h i s p a p e r ，w ef i r s t l y u s et h ew e a k c - n o r m a l i t yo f m i n i m a l s u b g r o u p ，t h em a x i m a l ( s e c o n dm a x i m a l ) s u b g r o u p s o fs y l o ws u b g r o u pt os t u d yt h es u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o raf i n i t eg r o u pt ob e p - n i l p o t e n t ；s e c o n d l y , w e u s et h es - n o r m a l i t yo fm a x i m a ls u b g r o u p s ，t h e m a x i m a l ( s e c o n dm a x i m a l ) s u b g r o u p so fs y l o ws 1 l b g r o n pt os t u d yt h es u f f i c i e n t c o n d i t i o nf o raf i n i t eg r o u pt ob es o l v a b l eo r n i l p o t e n t ；a tl a s t ，o nt h eb a s i s o ft h et h e o r yo ff o r m a t i o n s ，w eu s et h ec s u p p l e m e n t yo fs o m es u b g r o u p sa n d 箩一s u p e r c e n t e r ，s o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so fa f i n i t ep - n i l p o t e n to rs u p e r s o l v a b l e g r o u pa n dg e n e r a l i z e dr e s u l t so fi t 6t h e o r e ma r ep r o v e d s o m er e s u l t si n t h i s p a p e ra l s og e n e r a l i z es o m ek n o w n o n e s k e yw o r d s ：f i n i t eg r o u p ；w e a k l yc n o r m a ls u b g r o u p ；s - n o r m a ls u b g r o u p ； c s u p p l e m e n t e ds u b g r o u p ；s o l v a b l eg r o u p ；s u p e r s o l v a b l eg r o u p ；p - n i l p o t e n t g r o u p ；s y l o ws u b g r o u p s ；s a t u r a t e df o r m a t i o n 四川师范大学学位论文独创性及 使用授权声明 本人声明：所呈交学位论文，是本人在导师芰邋j 三指导下，独立进行研 究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集 体已经发表或撰写过的作品或成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已 在文中以明确方式标明。 本人承诺：已提交的学位论文电子版与论文纸本的内容一致。如因不符而引起的 学术声誉上的损失由本人自负。 本人同意所撰写学位论文的使用授权遵照学校的管理规定： 学校作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者须授权所在大学拥有学位 论文的部分使用权，即：1 ) 已获学位的研究生必须按学校规定提交印刷版和电子版 学位论文，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索；2 ) 为教学 和科研目的，学校可以将公开的学位论文或解密后的学位论文作为资料在图书馆、资 料室等场所或在校园网上供校内师生阅读、浏览。 论文作者签名： 芝蓼 功年仁月纱日 v g 日n h a f g l i g ：m i m g 耳璺g n o ( h ) e t c h ) d p ( g ) n 畸qg s y l p c c ) mkn u t ( g ) t t c h a r g 垂( g ) 垒b 丌( g ) 互尹( g ) f ( g ) g 岁 部分符号说明 任意的 a 是g 的子群 日与的交 包含在日中g 的极大正规子群 g 的阶 m 在g 的指数 肘是g 的极大子群 k 是g 的正规子群 日在g 中的正规化子 日在g 中的中心化子 g 的正规p 子群的交 是g 的次正规子群 g 的s 讲o t l ，p - 子群集 被m 的半直积 g 的自同构群 日是g 的特征子群 g 的f r a t t i n i 子群 a 与b 是同构的 g 的阶素因子的集合 g 的y - 超中心 g 的f i t t i n g 子群 g 的y - 上根 第l 页，共粥页 刖菁 本文里讨论的群都是有限群特别地，群g 是指一个有限群g 在有限群的研究中，对群结构的研究占据着重要的地位而利用有限群的各 类子群描述群的特征是群结构研究的基本方法补子群在群结构中占有重要的 地位，通常我们说群g 的一个子群日在g 中可补的，当且仅当有g 的一个子群耳使 得g = 日k 且日n k = 1 利用补子群去研究群的结构已有丰富的结果，例如k e g e l 在文献【l l 、f 2 】中证得 了g 是可解的，如果g 的每一个极大子群在g 中有一个循环补子群，或者g 的某个幂零 子群在g 中有个幂零补子群，h a l l 在文【3 1 中证明了g 是可解的当且仅当g 的每个s y l o w - 子 群在中都是可补的，后来a r a d 与w 莉在【4 】将h a l l 的结果推广为：群g 是可解的当且 仅当固睁每个s y l o w2 - 子群与s y l o w3 - 子群在口中可补最近a b a l l e s t e s - b o l i n c h e s 和g u o ) 【i u y 在 5 】中证得了具有初等交换s y l o w 子群的所有有限超可解群类恰好就是每个极 小子群都可补的所有有限群所在的群类 关于补子群的概念，近年来有了一些新的推广，例如1 9 9 6 年王燕鸣在文【6 】中 引进了d 正规的概念，称群g 的一个子群日为d 正规的，如果存在g 的正规子群k ，使 得g = h k 且日n k h g ，其中日g 表示g 包含在日中的最大的正规子群并运用了 有限群的极大子群，s y l o w 子群的极大子群的d 正规性刻画了一些有限群的可解性，超 可解性证明了群g 是可解的，如果g 的s y l o w 子群均在g 中g 正规同时证明了群g 是 超可解群，如果g 的所有s y l o w 子群的极大子群均在g 中c - i f _ 规郭秀云和k p s h u m 在 文i l0 】中证明了群g 是p 幂零的，如果g ( p ) 是p 幂零的并f i g 所有s y l o w - 7 ：群的极大子 群均在g 中d 正规 随后，2 0 0 2 年朱路进等在文【7 】中将。正规的有关条件削弱，引进弱d 正规的概念，称 群g 的一个子群日为弱d 正规的，如果存在g 的次正规子群，使得g = h k j l h n ks 并运用了有限群的极大子群，s y l o w 子群的极大子群的d 正规性刻画了一些有限群 的可解性2 0 0 3 年张新建等在文8 1 中将d 正规的有关条件削弱，引进了g 正规的概念，称 群g 的一个子群h 为$ 正规的，如果存在g 的次正规子群k 使得g = h k i h n ks h s o ，其中h s c 表示g 包含在日中的最大的次正规子群s - 正规的概念，较d 正规，弱d 正 第2 页，共3 4 页 前言 规的概念更一般化2 0 0 4 年王燕鸣教授在文 9 1 中将c 正规的有关条件削弱，引进了d 可 补的概念，并且得到了一些新的重要结果称群g 的一个子群日在g 中d 可补，如果存 在g 的子群耳，使得g = 日k 且日n k z b 湿然群g 的c - 正规子群皆是g 的d 可补子 群，但反之则不然并且在文【6 】的基础上将有关结论推广 上述关于d 正规子群概念的推广，为人们研究群的结构提供了更多的素材在d 正 规条件下成立的有关结论，在更弱的条件下是否成立，比如在弱d 正规，曼正规或者c 可 补条件下是否成立等，诸如此类的问题，便是人们讨论的热点本文的工作是在睁1 0 1 的基 础上进行的，文中的术语和记号也是来自于这些文献 本文主要利用有限群的一些子群的弱d 正规性，g 正规性和d 可补性，进一步讨论 有限群可解性，超可解性扩幂零性和幂零性首先主要利用极小子群，s y l o w 子群的极 大( 二次极大) 子群的弱d 正规性，得到有限群成为p - 幂零群的一些充分条件；其次利用极 大子群，s y l a w 子群的极大( 二次极大) 子群的s 正规性，得到有限群成为可解群和p 幂零 群的一些充分条件；最后运用凸可补子群以及。乒超中心，结合群系理论，得到有限群成为 超可解群和p - 幂零群的一些充分条件，推广- j i t 6 定理和己知的相关结果 c o m e 8 8 - 2 0 0 6 1 6 3 c o r n 第3 页共 l 页毕业论文 第一章弱d 正规子群 1 1 极小子群的弱g 正规性与p 幂零群 称子群为群g 的二次极大子群，如果耳是g 的某个极大子群的极大子群一个群 类尹称为群系，如果它关于同态像和次直积都是封闭的一个函数，称为一个群系函数，如 果对于任意素数a ，( p ) 为一个群系一个群系箩称为局部的，如果存在一个群系函数，满 足g r = g i g c c ( h k ) ，( p ) ，对于g 的所有主因子z k d - p l i h k i ，此时称，局部定 义了群系罗，并记作莎= l f ( f ) 如果一个群系满足条件：由g 圣( g ) 穸总有g 莎，则 称穸为饱和群系据【10 】在局部定义群系莎的群系函数中存在满的群系函数，记为f 本节利用极小子群的弱凸正规性，在已有的结论的基础上对某些有限群的结构做 进一步的讨论，得到有限群成为p 幂零群的一些充分条件 嘲 定义1 1 1 一设日是g 的子群称日在g 中d 正规，如果存在g 的一个正规子群耳，使 得g = 日k 且日n ks 日g 其中h c 表示g 包含在日中的最大的正规子群 m 定义1 1 2 。设日是a 的子群称日在g 中弱凸正规，如果存在g 的一个次正规子 群k ，使得g = 日k 且日n k h a ，其 g i l a 表示g 包含在日中的最大的正规子群 忉 引理1 1 1 一设g 为有限群测： 1 ) 如果日在a 中弱d 正规，且日k g ，则h 在耳中弱d 正规； 2 ) 设k 璺g ，且耳sh ，则日在g 中弱d 正规当且仅当驯k 在g k 中弱d 正规； 3 ) 设日是g 的弱c - , f 规n 子群，是g 的正规口一予群，则h n i n 在g 中弱c - , v 规 1 1 1 引理l - 1 2 。设日是g 的h a l l 子群且日在g 中次正规，则h 在g 中正规 1 2 i 引理1 1 3 若g 是内p - 幂零群，则g 是内幂零群 f 1 翻 引理1 1 4 。设g 是内幂零群测： 1 ) i g i = p 4 矿护口； 第4 页，共3 4 页 第一章弱c - i e 规子群 2 ) g = p q ，其中p s ”l ，( g ) 且p 宴g ，口是g 的非正规的循环s y l a w 铲子群 3 ) 若p 2 ，则唧p = ：p ；若p = 2 ，则e 印p 4 ； 4 ) p = 2 时若p 为交换群，则e 卸p = 2 ；若p 是非交换的，则e 印p = 4 定理1 1 1 设g 是有限群i p 是l g l 的素因数且( i g i ，p - 1 ) = l ，g 有一个正规子群使 得g 是p 幂零的若| 的p 阶和2 2 阶( 当p ；2 时) 循环子群均在g 中弱d 正规，则g 是p l 幂 零群 证明 假设结论不真，g 是极小阶反例定理条件是子群遗传的事实上设hsg ，则日日n n 掣h n n g 由g 是p - 幂零的知j v 日n n 是p 幂零的由假 设日n 的i p 阶t 和4 阶循环子群均在g 中弱d 正规据引理1 1 1 知日n 的p 阶和4 阶循 环子群均在日中弱凸正规，故日满足定理条件于是由g 的极小性知g 是内p 幂零 群由引理1 1 3 知g 是内幂零群，再由引理1 1 4 知g = p q ，其中p s 暑，f p ( g ) 且p 司g ，q 为g 的非正规循环s y l a wq - 子群可以断言ps 事实上，因g i n 是p - 幂零 的，故q 为g n 的正规p 补若p ，则q g 由g 内幂零知口幂零，因 此 , q c h a r q n 司g ，故q 司g ，矛盾故psn 任取j 4 为的册子群，由题设知存在k 司 司g ，使! a k = g 且 nks 如若荫g ，则a a = x 因此a nk = i 且耳 g 于是耳为p 幂 零，可设硌是耳的正规日口“，子群则有j c h a r k 又司司g ，故k 司习g 明显印也 是：g 的h a l ! ，群，由引理1 1 2 知j 白司g ，因此g 是p - 幂零的，矛盾墩有a 习g ，因此a 0 g 若 q = g ，则qsa u r a ，由假设知( i c l ，p - 1 ) = l ，而i a u t a i = 妒1 ，故确 q = i 且g f a 是p 幂 零的，矛盾所以a q - 1 ) = 1 ”外的所有条 件。但g 不是3 幂零群 1 2 s y l o w 子群的极大( 二次极大) 子群的弱d 正规性与p 幂零群 本节利用s y l o w 子群的极大子群和二次极丈子群的弱凸正规性讨论p - 幂零群的一 些充分条件 引理1 2 1 n l 设g 是有限群，声s p 知( g ) 如果g ( p ) ：c a ( p ) ，则g 是p 幂零的 引理1 2 21 1 2 1 若萝被，所局部定义，则g 莎当且仅当： 1 ) f = 口，若ptl g i ； 2 ) r h 耳为g 的一个主因子，p l l h k i ，则g i c g ( h k ) ，( p ) 引理1 2 3 【13 l 设p 是a 昀s y l a wp 子群且( jg , p - 1 ) ：1 若p 的每个极大子群在g 中 弱凸正规，月n g o j ( 回是p 幂零的 引理1 2 4f 9 】设g 是有限群，礁i g i 的一个素因- y - , 且( i g i , p - 1 ) ：1 如果p 3 t i g i f l g 与 4 无关，则g 是p - 幂零的 ”m 引理1 2 5 。令( 1 ) 是有限群g 的可解正规子群如果g 的每个包含在中的极 小正规子群厶( i = 1 ，s ) 均不包含在垂( g ) 中那么的f i t t i n g 子群f ( ) = l l 岛 l i l 捌 引理1 2 6 。令舅= l f ( f i ) ，= 1 ，2 ，其中只是局部定义群系舷的满的群系函数，则 以下两条等价： 1 ) 舅c 易： 2 ) n ( p ) 恳( p ) 定理1 2 1 设g 是有限群，p 是i g i 的最小素因数，p s y l p ( g ) 若p 的每个极大子群 弱d 正规于g ，则g 是p 幂零群 c o m e 8 8 - 2 0 0 6 l $ 1 6 3 c o m 第6 页共：；页毕业论文 第一章骚c 正规子群 证明 假设定理结论不真，g 是极小阶反例则有： 1 ) o ；，( g ) = 1 若q ，( g ) l ，考虑商群a o p ，( g ) 由引理1 1 1 知a l o p ，( g ) 符合定理 条件，由g 的极小性知g d 分( g ) 是p 幂零的，因此g 是p 幂零的，矛盾所以o 分( g ) = 1 2 ) 0 p ( g ) 是g 唯一的极小正规子群事实上，由引理1 2 3 知g o i ( g ) 是p 幂零的再 由p 为i g l 的最小素因数以及f e i t - t h o m o p o s o n 定理可得g 是可解的设是g 的极小正 规子群，则m 1 ) 知n 0 ，( g ) 由引理1 1 i 知g 符合定理条件，由g 的极小性知g ， 是p 幂零群由于p 幂零群类形成饱和群系，若n 圣( g ) ，则c l 圣( a ) 是p 幂零的，从而g 是p 幂零的；若g 有两个极小正规子群含于0 p ( g ) 也可得g 是p 幂零的故不妨设是g 的 唯一含于o p ( g ) 的极小正规子群且圣( g ) 由引理1 2 5 知0 0 ( g ) = 3 ) p 岛( g ) 若p = 0 p ( g ) 司g ，任取p l p 因p l 弱d 正规于g ，则存在k 司司p ：使得g = p l k 且尸l n k ( p 1 ) g 0 _ ( g ) = 由的极小正规性知r n k = i 于 是i k i = i c ：p l i = i c ：b l i p ：r i = p m ，其中( p ，m ) = 1 因此k 的s y l o wp - 子群岛是册 的由n c 定理，n k ( 巧) ( 坞) sa u t ( k p ) 馓i n k ( 绵) ( 琊) l ii a u t ( 硌) l 印- 1 i 牧i n k ( ) 铅( 坼) | i ( i g i ，p - 1 ) = l ，从而坛( 晦) = ( ) 庙引理1 _ 2 1 知k 是p 幂 零的可设即是的正规日刎p ，一子群于是k p ，c h a r k 又k 司司g ，则k p ，司司g 明显巧也 是g 的日n f fp ，群由引理1 1 2 知j 0 司g ，故g 是p 幂零的，矛盾故p o i ( g ) 4 ) 最终的矛盾+ 因西( g ) ，则存在g 的一个极大子群厶使得g = l n 现 设p s 口f p ( l ) ，则v p s f p ( g ) ，不妨令p = n p 若p = 1 ，则p = ( g ) ，与3 ) 矛 盾故p 1 取岛( p 使，”岛于是n 盛岛( 事实上，如果n 岛，则p = p p 2 ，矛盾) 由定理条件有恳弱d 正规于g ，即存在t 司司g ，使得恳t = g 且恳n t ( p 2 ) g 由于d _ ( g ) = 菇恳，则明显有( 岛) g o ( g ) = ，从而由的极小性 知( p 2 ) g = 1 ，即b n t = i 于是由类似3 ) 的证明可得g 是p - 幂零群，矛盾此矛盾表明 极小阶反例不存在，结论成立 联系到群系理论戒们可以得到 定理1 2 2 设 r 是g 的一个正规子群，p 是i g 的毋小数因数，穸是包含p 幂零群 系的群系且g 穸若的s y l p - 子群p 的每个极大子群均在g 中弱c - , t 规，则g 莎 c o m e 8 8 - 2 0 0 6 1 6 3 ，c o r n第7 页共， i 页毕业论文 1 2s y l o w 子群的极大( 二次极大) 子群的弱c - 正规性与矿幂零群 证明 由定理1 2 1 知n 是p 幂零的取始是的正规日口f f 歹一子群，则 0 c h u r n 司 g ，即有 0 司g 考虑商群g ， r ，由引理1 1 1 知g 册满足定理条件若j 1 ，则g ，k ，箩设彤被满的群系函数f l 所局部定义，则彤z 二f ( n ) ；设箩被满的群 系函数兄所局部定义，则y = l f ( f 2 ) 由于，蛞穸，由引理1 2 6 知f l ( 口) 局( q ) ，口是 任意素数设硒扔是g 的任一主因y r q l l g d k 2 1 若也，分离配爿j ，剧由o n f 矿知g ( 尬k 2 ) 局( 口) 若吩覆盖施恐刚由唯是一一群知g 鲍) 只( g ) 足( q ) 所以由引理1 2 2 知g 矿 若 0 = 1 ，则= p 对任意i g i 的素因数q p ，令q s y k ( g ) ，则p q g 由定 理1 2 1 知p q 是p 幂零的，故p 口= p 口从而对于g 的每个主因子h , i h 2 ，其中l p ，有g 铅( 趣i h 2 ) 是p - 群再次运用引理1 2 2 有g 萝 j 注1 2 1 定理1 2 1 和定理1 2 2 中条件“p 是l g i 的最小数因数”是必要的比如 令g = 5 且p = 5 ，此时g 的s y l o w5 - 子群的每个极大子群是1 ，明显g 的s y l o w5 - 子群的每个 极大子群均在g 中弱d 正规，但是g 不是5 - 幂零群 定理1 2 1 和定理1 2 2 揭示了有限群s y l o w 子群的极大子群的弱d 正规性使有限群 成为p i 幂零群的充分条件，那么s y l o w 子群的二次极大子群呢? 我们先看下面引理： 引理1 2 7 设g 是与山无关的有限群, p 是1 0 l 的最小素因数，尸是g 的s y o wp - 子 群若p 的每个二次极大子群弱d 正规于g ，则g c 0 ( g ) 是p 幂零群且g 是可解的 证明 1 1 馁设定理结论不真，g 是极小阶反饲则有： i ) d p ( g ) - 1 若d p ( g ) 1 ，则1 o ( g ) p ，如果p = 岛( g ) ，则g q ( g ) 是一一群，从 而是p 幂零的矛盾如果1 o p ( g ) p ，考虑商群g 0 - ( g ) 明显g ，o _ ( g ) 满足定 理条件，由g 的极小性知g 0 - ( g ) 岂( g 0 - ( g ) ) 0 _ ( c l o ( g ) ) 是p - 幂零的，矛盾所 以d p ( g ) = 1 i i ) g 是p - 幂零的，导出最后矛盾令只是p 的二次极大子群，由题设只在g 中弱d 正 规，即存在k 司g 使马k = g 且p 1n k ( p 1 ) g o - ( g ) = 1 从i l i i l k l = l g ：马i = i c ： p i i p ：只i = f m ，其中m 与p 互素于是i k i ，= 矿且耳与月4 无关，由引理1 2 4 知k 是p 幂 零的可设吩是k 的正规日“一一子群于是j 0 c h a r k y k 司司g ，则k p ，司司g 明显 地，j 0 也是a 拘日口“p ，一群，由引理1 1 2 知j 勺司g ，故g 是p - 幂零的，矛盾因此极小阶反 倒不存在，定理结论成立 c o m e 8 $ - 2 0 0 6 莛1 6 3 c o r l l 第8 页，共：j 页毕业论文 第一章弱e 正规子群 2 ) a 是可解的事实上，若p 为奇数，则由p 是i g i 的极小素因数知g 为奇阶群，据f e l t - t h o r a o p o s o n 定理知g 是可解群老i p = 2 ，由款1 ) 知a 0 2 ( c ) 是二幂零的于是a 0 2 ( c ) 是 可解的，而d 2 ( g ) 是可解的，故g 是可解的 定理1 2 3 设g 是与山无关的有限群p 是1 6 1 的最小素因数，p s u t p ( a ) 若尸的每 个二次极大子群弱凸正规于g ，则g 是p 幂零群 证明假设定理结论不真，g 是极小阶反例则有： 1 ) d ，( g ) = 1 若d 一( g ) 1 ，考虑商群g 0 ，( g ) 由引理1 1 1 知g 0 分( g ) 符合定理 条件，故由g 的极小性知g 0 分( g ) 是p - 幂零的，因此g 是p 幂零的，矛盾 2 ) a = p q ，其中0 s y z 口( g ) ，口l r ( a ) 且口p 事实上，由引理1 2 7 知g 是可解 的故可设q s ”k ( g ) ，其中口 r ( g ) 且口p ，是g 的一个包含p 的s y l o w 系中任一不 同于尸的s y l o w 子群于是尸q 曼g 若尸q g ，由引理1 1 ，1 知p 的每个二次极大子群 在p q 中弱d 正规，由g 的极小性知p q 是p 幂零的于是p q = pk 口，p i r a ( q ) 由q 的 任意性知p 含于g 的h a l lp ，子群的正规化子当中：因此g 是p 幂零的，矛盾所以g = p 口 3 ) 推出最终矛盾设是g 的极小正规子群，则有1 ) 和2 ) 知n 岛( g ) 由引 理1 1 1 知g ，符合定理条件，由g 的极小性知a n 是p - 幂零的由于p 幂零群类形 成饱和群系，类似定理1 2 1 的证明不妨令是g 的唯一含于d ，( g ) 的极小正规子群 f 1 n 菇壬( g ) 由引理1 2 5 知n = f ( o p ( g ) ) = o p ( g ) 是初等a b e lp - 群下分两款讨论： i ) 若p 司g ，取只是p 的二次极大子群因只弱d 正规于g ，则存在k 司司g ，使 得g = p l k 且bn k ( 只) g p = d j ( g ) = ，由的极小正规性知( r ) g = 1 ，于 是i k l = l a ：1 1 i = l a ：| p i l p ：p l l = p 2 m ，其中( p ，m ) = 1 由引理1 2 4 知耳是p 幂零 的可设的是耳的正规日口c ! p ，一子群，于是j 0 c h a r k y k 司司g ，则j 0 司口g 明显印也 是g 的h a l l ，群，由引理1 1 2 知j 乙一司g ，故g 是p 幂零的，矛盾 i i ) 若p 扣g ，因n 童圣( g ) ，则存在g 的一个极大子群 f ，使得g = mkn 现设p s u l p ( m ) ，取p = p 由i ) 知p 1 若p p ，则i n i = i p ：p i = p 由于p 是i g i 的最小 素因数，故对v q p qe r ( g ) ，有p 口令q s f 0 ( g ) ，有口 g 由c 定理及p 的 极小性易知0 是p 幂零的故q = q ，于是q c c ( n ) = c c ( o l ( g ) ) o j ( g ) ，矛 盾故p + 非p 的极大子群，不妨取p 的= 次极大子群恳使得p 。恳于是n 菇恳( 事实 卜t ：如果n 恳，则p = n p + 岛，矛盾) 由定理条件有b 弱d 正规于g ，即存在t 司 t o m e 8 8 - 2 0 0 6 1 6 3第页共：页毕业论文com 9 ! ：! ! 塑! 竺堂箜垦盔f 三盗垫奎2 量壁箜塑堡至塑堡量芝墨墨壁 司g ，使得p 2 t = g i j 尼n t ( 恳) g o l ( g ) = 由的极小正规性知( b ) g = 1 由类似 于i ) 的证明可得g 是p _ 幂零的，矛盾此矛盾表明极小阶反倒不存在，结论成立 根据定理1 2 3 ，仿定理1 2 2 的证明方法可证下面的定理 定理1 2 4 设g 是与 4 无关的有限群，是g 的一个正规子群，碹i g l 的最夸数因 数，莎是包含p 幂零群系绵的群系且g 穸若的s y l o wp - 子群p 的每个二次极大子 群均在g 中弱d 正规，则g 穸 推论1 2 1 设g 是奇阶有限群, p 是i g i 的最小素因数，p s v 知( g ) i 若p 的每个二次极 大子群弱d 正规于g ，则g 是p - 幂零群 ， 注1 2 2 定理1 2 3 中条件。g 与也无关”不可少，因山满足除此条件之外的一切条 件，但山不是2 _ 幂零的再者令g = = 岛o r 3 ，则g 满足定理1 2 3 中除“p 是i g i 的最小素因 数”外的条件，但岛不是3 _ 幂零群这个反例表明定理定理1 2 3 中条件“p 是i g i 的最小 素因数”也是不可少的类似的注释对于定理1 2 4 和推论1 2 1 也是正确的 c o m e 8 8 - 2 0 0 6 1 6 3 t o m第1 0 页洪；i 页 毕韭论文 第二章g 正规子群 张新建等在文f s 】中将d 正规的有关条件削弱，引进了量正规的概念 本章将利用极大子群s y l o w 子群及s y l w 字群的极大子群和二次极大子群的舅正 规性得到有限群成为可解和p 幂零的一些充分条件 2 1 s 正规子群与可解群 矧 定义2 1 1 ”称群g 的一个子群甘为9 正规的，如果存在g 的次正规子群k 使 得g = h k r hnk 墨日，其中h s g 表示g 包含在h o e 的最大的次正规子群 s 正规子群是较d 正规，弱凸正规更一般的概念，它的引入为讨论有限群的结构提 供了新的素材有限群的某些子群，诸如s g o w ：子群极大子群的s _ 正规性，可以确定有限群 的结构下面我们就子群的s _ 正规性对有限群可解性的影响进行讨论，为此我们首先看 下面的引理： 埘 引理2 1 1 “设g 是有限群则： 1 ) 若日在g 中s 正规，且日k g ，则h 在k o s - 正规； 2 ) 设n 司g 且t t ，则日在g 中争正规当且仅当日在g ，中正规； 3 ) 设日是g 的f 子群，且是g 的正规口子群如果日在g 中$ 正规，那么h n n i f ： g n 中舅正规 f l7 i 引理2 1 2 若日为g 的7 1 - 子群r h 司q g ，日d 。( g ) 定理2 1 ，1 设g 是偶阶群若g 的任意奇阶s y l o w - 子群孓正规于g ，则g 为可解群 证明 若g 是2 群，则g 是可解的若g 不是2 - 群，不妨令i g i = 矿- 西2 力( p 2 ，m 是 奇素数，n l ，q 。是自然数) 任取p = n ( i = 2 ，s ) g p s y l p ( g ) 由定理条件存在kq 司g ，使得p k = g 目p nk p s c 下分两款讨论： 1 ) 若p s g l ，由引理2 1 2 知0 叠( g ) 1 若p = d p ( g ) ，则p 司g f a s c h u r - z a s s e n h a u s 定理知p 在g 中有补，设为m 于是m 是g 的h a l l 子群且g = mkp 令q 娃m 的任意奇 第l l 页，共； 页 2 1s - 正规子群与可解群 阶s y l o w 子群，则q 也是g 的奇阶s y l o w 子群由定理条件及引理2 1 1 的1 ) 知q 在m d e s - 正规，于是m 满足定理条件，由关于i g i 的归纳法知m 是可解的又o m 望p 是 可解的，从而g 为可解群若1 o - ( g ) 户，对任意的f p ( f 是l g l 的奇 素数) ，令l s l z ( g ) ，则l 0 _ ( g ) 0 ；( 回s f z z ( c 0 - ( g ) ) 由工在g 中s 正规及引 理2 1 1 的3 ) 可知o - ( g ) o - ( g ) 在g 中岛正规，于是由关于i g l 的归纳法知g o _ c o ) 是可 解的所以为g 可解群 2 ) 若p s o = l ，则p n k = i 于是耳是g 的h a u v 一子群，又耳司q g ，由引理1 1 2 知司g 明显是偶阶群，且耳的奇阶s y l o w 子群必为g 的奇阶s y l o w 子群由引理2 1 1 的1 ) 知的 奇阶s y l o w 予群口正规于k ，由关于i g i 的归纳法知耳是可解的于是由g k 皇p 得g 为可 解群 推论2 1 1 若有限群g 的任意s y l w 子群s - , t 规于g ，则g 为可解群 引理2 1 3f 1 玎设g 是有限群，h g ，n 璺g 若“g ：n i ，i n l ) = 1 ，受f j h n 定理2 l 2 设g 是有限群，m 是g 的一个指数为素数的可鳃极大子群若 f 在g 中s - 正规，则g 是可解群 证明假设定理结论不成立，g 是极小阶反例测有： 1 ) m o = i 设m c l ，若m c = m ，则m 司g 又m 是g 的可解极大子群，故g 是 可解的，矛盾若l m a m ，由引理2 1 1 知驯 如s - 正规于g m a ，且i o m o ： m m a i = i g ：m i 是素数，关- 于i g i 的归纳法可得c m a 是可解的，从而g 是可解群，矛 盾 2 ) 最终的矛盾因m a = l ，则g 是本原群于是由f 1 5 】中定理a 1 5 2 知下列三个命题 成立：i ) g 有唯一极小正规子群是a b e l 群且g = mkn ；i i ) g 有唯一极小正规子群为 非a b e l 群j j g = m n ；i i i ) g 恰好有两个极小正规子群都非a 6 e f 群且均为m 在g 中的补子 群明显地，若命题i ) 或n i ) 成立，则肘必在g 中d 正规于是由【6 】定理3 4 知g 是可解的，矛 盾 若命题川成立，则g 有唯一极小正规子群j 、r 是一些互相同构的非a b e l 单群的直积，并 有g = m n 因肘在g 中g 正规，故有日司口g ，使得日= g ，且 n 胃m s o 由于m o = 1 ，则m 中不包含g 的非平凡的可解正规子群，因而中不包含g 的非平凡的次正规子 c o m e 8 8 - 2 0 0 6 r 1 6 3 c o m 第1 2 页，共：；i 页毕业论文 第二章s 正规子群 群，从而m s g = 1 于是f g ：m i = i 驯考虑g 在m 上的置换表示，由于i c ：m i = p ( 素 数) ，则g = g m css p ，其中s 是p 次对称群于是i g i i p ! ，故l g k = p 从而g 的s y l o wp - 子 群是p 阶的且m 是g 的h a l l 一- 子群因此( i g ：n i ，1 日i ) = ( i m i i m n n i ，i h i ) = 1 ，由 引理2 1 3 知日n 于是由日芷g 中次正规知日是的一部分非a b e l 单群的直积因 此m n n = 1 或m n 是若干非舫e i 单群的直积由m 的可解性知后一种情况不可能出 现，故m n n = 1 这表明m 是g 的c 正规子群，再由f 6 】定理3 4 知g 是可解的，矛盾此矛盾 表明极小阶反例不存在故定理结论成立 问题：若去掉定理2 1 ，2 条件“m 在g 中的指数为素数”，定理结论是否成立? 若成 立，则推广了f 6 1 中定理3 4 1 计 引理2 1 4 若g 的s y l o w2 - 子群在g 中正规测g 为可解群 定理2 1 3 设g 是有限群，m g , p 是( 吖) 中最小素因数1 g ：m l = r ( 素 数) 且m 的s y l o wp - 子群p 在g 中舅正规，则g 为可解群 证明若 g l 为奇数，受nf f l f e i t - t h o m o p o s o n 定理知g 是可解群若l g l 为偶数，不妨 设i g i = 2 0 ，露2 4 学( 见，m 是奇素数，n i ，岫是自然数) 可分下面两种情况讨论： 1 ) 若r = 2 ，则肘司g 于是g m 是2 阶群，故而是可解的如果2 r ( m ) ，则p s y l 2 ( m ) ，由引理2 1 4 知盯是可解的，于是g 为可解群；如果2 芒i r ( m ) ，由f e i - t h o m o p o s o n 定理知m 是可解的从而g 为可解群 2 ) 若r 2 ，则p = 2 ，p s 1 2 ( a ) 由引理2 1 4 知g 为可解群，得证 注2 1 1 定理2 1 3 中的条件“i g ：m l = r ( 素数) ”不可削弱为“i g ：mr 是 素数幂”比如令g ：s 上2 ( 7 ) ，( ：f - 1 0 1 ，则( ( ) 是g 的中心且g ( ( ) ：p s 工2 ( 7 ) 是 0 _ 1 非a 6 e f 单群再令g 0 为g 的日n f f2 - 子群，则肘= g 2 ，k ( ( ) g ( 参见【1 6 】定理1 1 3 ) ，且 有i g ：m i - 2 3 ( 参见【1 8 i 定理9 3 的注记) 于是g 和m 满足定理2 1 2 中除 。i g ：m l = r ( 素数) ”外的条件且i g ：肘f 是素数幂，但g 不是可解群 定理2 ，1 4 设g 是有限群，m g ，p 是7 r ( ，) 中最小素因数若m 是幂零群并 h m 的s y l o wp 子群p 在g 中g 正规，则g 为可解群 c o m e 8 8 - 2 0 0 6 1 6 3 c o r n第1 3 页，共：顶毕业论文 2 2g 正规子群与p 幂零群 证明由于肘是幂零的，敏p 习m ，从而g ( p ) m 若p 舌勖f p ( g ) ，则肘 n o ( p ) a h m g 知心( p 净g ，即p 司g 易知m p 是g p 的奇阶极大幂零子群故 由t h o m o p o s o n 定理( 【19 】中定理1 0 4 2 ) 知g 是可解的做可设p 勖f p ( g ) 由定理条件 知存在k 司司g ，使得p k = g 且p n k p