（应用数学专业论文）具无穷延滞脉冲泛函微分系统的稳定性分析.pdf

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鼬 m a t h e m a t i c 址m o d e l so fp r a c t i c a 】q u e s t i o n sc a nb es u m i i l e du pa si m p u l s i v ef 1 1 n c t i o n 越 d i 骶r e n t i a ls v s t e m s 。s oi t i so fg r e a ts i g 芏1 i 丘c a n c et os t u d yi t a n di th a sb e c o m eah o t 穗r e c e 躐翳a r s 磊蠢p r e s e n t i lm 采琏l y 懿t l d i e st k 妇p u 弧i 张珏e t i o 琏砖矗i 融e 瓣l 采s y s i t e m s 讲t h 矗n d e l a v s ( p a p e r s 【9 h 1 6 】) - b l l tt h 吖h 搿坩小wr e 8 e a r c h e s 删t hi n 矗i l i 伯d e l a v s i n 1 9 。主2 。塌，t h em a j 傩r e s e 甜c hm e t h o d sa r el y a p u 芏l o 、，m e t h o d s e v 嚣越l y a p l l 王l o vf u n c t i o n s i l l c l t l 淑培p a 眈i a l m p o 王l e n t sa n d 戤惦u n l i m 觳t 如斑q u e t h e y 甜ee & c 专i v et o o k 。b u 奄 i ti sd i 嫩c u l tt oc o i l s t r u c ta p p r o p r i a t el y a p u n 吖f u i l c t i o n s i 工l 1 7 t h e yc o m b i i i ep 甜砌一 e 轭r 瑚i r i 戤i o n 蠢封t h o d 巍( 王l y a p 珏姒t 蠡l l l e t i 。髂毯e t h o d s 幻m 疵e8 芏王e w 瑾e t h o d 。t 圭l a t i sv 赫i a t i o n a ll y a p u n a 、 m e t h o d a tt h es a m et i m e t h e y 西v ean e wi d e at h a tc h o o s e as u i t a b l ec o n eo t h e rt h a n 黠t ow o r ki na 斟v e ns i t u a t i o nm 【2 9 ，w h e r ee v e r yc o n e - v a l 毽e 巷毛v a p 醯o 蠡毽e 专i o 建$ $ 毒a b 遗t l e s 精孵森rc o 藏d i 毫i o 糙a 觳d 主se 8 s i e r 毫。e o 芏毽毫r u e 专。b 8 s e d o nt h e s ei d e a s ，w ee m p l o yv a r i a t i o n a ll y 印u n o vf u l l c t i o n sm e t h o da n dc o n e - v a l u e dl y a _ p u n o vm n c t i o n sm e t h o dt os t u d yt h ep r o p e r t 汝o fi m p u l s i v e 乜c t i o n a ld i r e n t i a ls y s t e m w i t h 嫩珏琵ed e l a 黔t 越sp a p e ri s 惑v 主d i 珏屯。专e h a p t 黻s i 芏lc h a p t e ro n e w ec o l i s t r u c tv a r i a t i o n 出l y a p u n o vf u i l c t i o i l st oc o 瑚b i n et w ( ) s y s t e m s ( 王a l | d ( 2 ) ，姆撼e 越塔玉r e c 邋或l 玲d 勰dr 8 z 溅l i 池t e 如越( 1 珏e ，t 猫滚g 王珏i d d k 趱e a s 戳 3 如1 = 觚 彩 一 = 一 、， “印 。 | | = 归一邓 0 莎 妣h e nw eg e tt h ec o r r e s p o n d i n g ( 磊，庇) - s t a b i l j 锣o fs v s t 鼬( 1 ) b yt h e ( 硒，玉t ) 一s t a - b 滋每p p 彀蝣e s 蕊s y s t 8 毽( 2 ) 0 凇r 姆滋s8 豫鲑o 8 撼ye 基& t 粥b l 王ts l 王i t 幻廷奴珏1 8 靛v a p p h c a t i o n s 。f i n a l l yw e 酉v ea ne x a m p l et oi l l u s t r a t et h ea d v a n t a g e so fo u rr e s u l t s 。 1 1 1c h a p t e rt w o 。矗r 8 t l yw e 酉v et h ed 醣n a t i o 投o ft h ec o n ea n dt h eo r d e rr e l a t i o no n t h ec o n e a n dw ei n t r o d u c et h ec o n c e p t i o no fc o n e 州u e dl y a p u n o v 缸l c t i o n sa n di t s 矗e r 至v a t i v e 如n gt ks o 融沁n s y s t e i n 霉h e nw e 或u d yt ku n 渤潍b o 强如妇e s s 勰d 幽r 越l y 遗毫i 趣舔eb o 强d e 如e s sp r o p 鹱t 萤e s 薹nt e r m so f 细。糙e a 鞭r e so fs v s t e m lz 7 ( ) = ，( ，。) ： l o ，炙， z ( t ) = z ( 一) + 如( 。( t 一) ) ，t ；t 七，七= l ，2 。，( 3 ) lz ( 仃) ：庐 仃t 。， w h e r e 茹t ( s ) = z ( + s ) ，o 之o a 一o 。ac a nb e 一，s d ，o 】，b yu s i n gc o n e - v 啦u e dl y a p u n 淤纯n e t 妇1 s 珏p 】硝硝h 融珏瑚磷涵nt e e h 泌q 聃i ti s 珏o tn e c e s s 矗r vt o r 键心eo mr e s u 珏st os a t i s 黟q u 蔽m o n o t o 珏en 。耐e c r e 8 s i n gp r 叩e r 谚o ft h ec o m p 壮a t i o n s y s t e m 疵e r 出0 0 8 i n gas u i t a b l ec o n eo t h e rt h a n 姑s ow em a k et h em e t h o dm o r el l s f u l k e y w o r d s ：i m p u l s i v ef u n c t i o l l a ld i 歃r e n t 谢s y 8 t e m ：i n 矗i l i t ed e l a v ；v 斛i a t i o i l a l l y a p u n o 、tf u n c t i o n ；c o n e - v a l u e dv a r i a t i o n a ll y a p l l i l o vf u l l c t i o n ；r a z u 窳k b 妇t 融1 n i q u e ： s t a b 逡y ；b o 越矗e d 龇s s ；如静糙e 3 s 凇e s 4 c l a s s i 蠡c a 主i o 致：王7 5 2 1 山东师范大学硕士学位论文 第一章具无穷延滞脉冲泛函微分系统的稳定性定理 1 1引言 在现代科技诸多领域，如控制系统，物理学，化学，人口动力学，生物学， 工业技术，经济学中，许多实际问题的数学模型都可以归结为脉冲泛函微分系统， 因此对其研究具有重要的意义近年来，关于脉冲泛函微分系统的研究进展非常迅 速，逐渐成为非线性微分系统研究的热点，并出现一些研究结果f 1 - 4 】目前关于脉 冲泛函微分系统的研究大都为有界滞量的情形 9 1 6 ，而对无穷延滞的情形其基本 理论刚刚建立f 5 - 9 1 对此情形的稳定性的研究还较少，因而对具无穷延滞的脉冲泛 函微分系统解的稳定性研究具有重要意义 众所周知，在对非线性微分系统进行研究时，若其扰动项是线性的，或者虽为 非线性，且具有一定的光滑性，则常数变易法是有用的另一方面，l y 唰几0 t 第二 方法在非线性微分系统研究中也起非常重要的作用，它对非线性微分系统稳定性理 论的建立和发展起到了重要的推动作用 17 】为了进一步发挥两种方法的作用，自 然会使人们想到将其有机结合，从而形成了一种新的方法一变分l 可n 础n 伽方法，这 种方法用于不含时滞或具有界滞量的脉冲微分系统的研究已有一些结果【1 8 ，2 0 2 5 ， 而用于无穷延滞脉冲微分系统的研究结果尚未见到 本章，主要考虑具无穷延滞的脉冲泛函微分系统 f z ( t ) = f ( 亡? z t ) ? t2 幻。“ z ( t ) = z ( f 一) + “( z ( 一) ) ，f = 七，七= 1 。21 ， ( 1 ) 【z 口：妒， 口t 。 并考虑系统 竺 其中f ( t ，zr ) = ，( t z ) 兄( ，z r ) ，且z ( 矽) = z ( t + p ) ，f2 o2o2 口一。，n 可以是 一o 。，p f n ，0 1 研究系统( 1 ) 的稳定性我们将变分l y n 础n 鲫函数与r 口：乱m i 七危讯 技巧相结合，形成了一种讹z “m 派 i 扎型的变分l 口础扎铡方法利用这种方法， 给出了具无穷延滞脉冲泛函微分系统( 1 ) 关于两个测度的一致稳定性与一致渐近稳 定性定理通过与前面切印u n 们，函数结合鼢z “m i 七九伽技巧得到的结果相比较， 具有明显的优越性最后给出例子说明定理的应用性 5 出东瘳范大学硕士学位论文 1 2预备知识 考虑具无穷延滞的脉冲泛函微分系统 fz ，( ) ：f ( ，瓴) ， 坛f 如， ( ) = z ( t 一) + 矗 z ( t 一) ) ， o 萨。妒，盯t o ， 与微分系统 竺 其中f ( t ，z ) 一，( t z ) 十r ( t ，z ) ，且 ( 圭) 霉拶一露+ 参) ，奄o2 鑫一。c 。据可以是一。c 。参睁。o l 。 脉冲时刻t 女满足o o t 1 。单璞， 熙妒= ， n 1 = 妒e r f r + 只+ 】：妒( s ) 芝8 s o ) q 2 = 舅e 【囊二。五十】：嚣o ) = o ，嚣( s ) 9 ，s o ， q 3 = e 【r + ，r + 】：妒( s ) 8 s o ) ， 趸= s c f r + 。乙! ：聪o ) = o 。坟 o 。s o 且8 关于s 是非减的，： s ( 九，p ) = ( t ，z ) ：九( ，z ) o ，j 妒e k 使当( t ，z ) o ，及殛数6 噩使当悫纯茹) o 及磁数8 托使当鳓( t ，茹) o ，玎存在艿一艿( 曩) q ，使当焉( 玩国 o ， 存在z = t e ) o ，使当( 以汐) o ，使当池黝) 5 时， 磊。( ，黟( ) ) ，t 玎 当占与口无关时系统( 2 ) 被称为( ，矿) 一一致稳定的 其他楣应懿( ，矗t ) 稳定性定义可类似给如。 注： 当磊( 妒) = m ，7 0 ( ，z ) = ( ，z ) = 矧时，定义1 2 4 可转化为系统( 1 ) 的一般意义下的稳定性定义。当定义中的a o ，舻，晟适当选取，可以把文献中所见得 多种稳定性概念统一于两个测度的稳定性，妇： 平凡解的稳定性，轨道稳定性，部分稳定性及不变集的稳定性等 引理澜假设 ( a 1 ) ，：rx 一取，对所有的詹，在( 一l ，圳x 如上连续，并且在其上具有 连续偏导数荔； ( a 2 ) 对每个可，当( t ，z ) 一( 钆，可) 时，苗具有有限极限； ( 众2 ) 嚣：取州磊连续可微； 令材( t ，以z o ) 是系统( 2 ) 7 在【n ，+ o 。) 上的任意解，则 8 出东 蓐范大学硕士学位论文 ( 1 ) 毫辑敷。o ) 存在且是初值问题 f ：7 = 矗( 枷( 加渤) ) “ ：= 毪掣： t = 沁奄= l _ 2 ， ( 2 ，) 【：p ) = j 。 的解，虽蒜纸巧，。o ) 是单位矩阵。 ( 2 ) 磐他口。o ) 存在并满足雾( ，盯，z o ) = 一老( t ，以z o ) ，( 口，釉) ，乏口。 从而蒜( t 点z ( s ) ) 寡( t s 善( s ) ) 存在连续 下面简要介绍变分l 秽n 础n 洲函数方法的基本思想： 令烈s ) = 秒辑s ，z ) ，$ t 。对所有蠢z + ，警s 酝十1 ) 时，p ( s ) 右连续， 此时 加) 一筹s 州) + 急( 1 蛐) 即也) 圭 巩 2 1 1 ) 由( 1 ) ，( 2 ) 知赛( 盯一z o ) 十蒜( 以以跏) ，( 口，茁o ) 三o ， 在一定条件下有 鼢戚。) + 罴豫彬觏翔) 弧独 从而再由f ( s j ) = ，( s ，。) 十r ( s ：) ? 剿可得g 限s ，z ) = 老( t ，葶。z ) 霞( s z s ) 。 对( 王。2 。1 ) 式嚣逸从拶裂 积分，有 p 7 s ) d s = g ( t ，s 搿( s ) ) d s 。 瑟另一方蘑， ( s ) d s = 1 爹( s ) d s + 譬( s ) d 8 + + 点是，p ( s ) d s + 疋p ( 嚣) d s = p ( t r ) 一p ( 盯) + p ( i ) 一p ( 1 ) + + p ( t i ) 一p ( t 膏一1 ) 十p ( t ) 一j ，( t 七) = p ( t ) 一p 一却 口七 因此有 p ( ) = p ( 矿) + 7g ( 。s ，髫) 泰p ( 奄) 。 一一 疗 k 由p ( s ) 得取法知 ( t 净影( t ) + fg ( s 茹) 泰+ 卸( t k ) j 幻 仃 o 有 争塑! 兰立竺 。墨竺坠：型：型! m ： _ aa ( 刎对系统( 1 ) 的任意解z ( ) 当y ( s 7 。掣( ，s 7 ，z ( s ，) ) ) 冬y ( s ，爹( ，s z ( 3 ) ) ) ，口s s s f 时， d y ( s ，蓼辑s ，z ( s ) ) 0 ； ( 掣) 罩；在鳓( o ，妒) 。鸯芝当磊( i ，。； 0 ，娩蕊使得 硒( ，z ) s 如( 办。( t ，。) ) ，( ，。) s 矗。5 1 ) ，( 1 。3 2 ) j & o ，o k ，使得 y ( ，z ) 墨n ( ( t ，z ) ) ，( ，z ) s ( 如) ，( 1 3 3 ) 郅鬣使 6 ( 五0 ，。( t ) ) y ( t ，z ) ，( t ，z ) s ( ，妒) ( 1 3 4 ) 对帙( o ，内) ，由如口k 。可取叼= 田( e ) o ( 6 _ ，7 ) ，满足西1 ( 6 ) e ， 使当b ( 文o o ) 艿时， 酽( t ，爹( 亡，矿，茁o ) ) 帮，矿： 其中可( t ) = 剪( ，以z o ) 是系统( 2 ) 的解。 假设z 渤= 茁( 毛盯，) 是系统主) 的任意解，满足磊门妒) 蠡鲻由( 1 。3 。1 ) 式知， ，l ( 盯+ 口，z ( 仃+ 秽) ) 西1 ( ( 仃+ p ，z ( + p ) ) ) s 驴l ( o ( 仃，妒) ) 西l ( 占) e jn p 竖0 ， 嚣雾九( t ，z ( t ) ) ，口ts ， 下证h ( ，z ( ) ) e ，t ， 否则，存在系统( 1 ) 的满怒磊( 仃，) 占的菜个解。和扩矾使得毳( 矿。) ) ，危( t ，z ( t ) ) ，口 r ，“一ls 矿t 知( 对某个i l 。z + ) 劂毳( i ，z ( ) 内，蠢得巍溆，。蟊江) ) 妒鼷 f 危( ，z ( f ) ) p ，忍( t z ( ) ) p ，f f 盯，。】 令? 嚣( t $ ) = 矿( s ，秽( s ，善( s ) ) ) ，s 【拶，+ 3 下证m ( s ) = v ( s ，分( 一s z ( s ) ) ) 6 ( e ) ，s p ，雌 盍3 。2 ) - ( 王3 5 ) 式易絮， m ( + 口) = y ( 盯+ 口，y ( ，盯+ 口，z ( 盯+ p ) ) ) n ( o ( 矿+ 秽，可( t ，+ 口，z ( 盯+ 疗) ) ) ) 8 ( 焉( 盯。擎( ，盯，2 0 ) ； 露( 锄f 矗t ( 拶，影( 矿，移，。o ) ) ) ) n ( 晚( ( r ，材( 矿，盯，z o ) ) ) ) o ( 观( 卵) ) 每笋，n 曼口o ， 邸 吣) 等，n 8 如 ( 1 - 3 6 ) 先涯 m ( s ) = m 洲 s 州s ) ) ) ， 因为m ( ) 簪，则善( 矿，1 ) 且m ( 善) = 铬，m ( 8 ) o 。 又壶( 王。3 。s ) 式知璐s 等= m ( 客) ，s 江，簧， 则由条件( 叫知d m ( ) o 矛盾，所以( 1 3 7 ) 式成立 又塞条停陋i ) 得m ( i ) 锄陋( ) ) 移l ( 辫) 。 山东师范大学硕士学位论文 再证 m 一w 鲫矗如) ) ) 州等) 艇阮渤) 3 固 否则，存在某一s f t l ，t 2 ) 使仇( 8 ) 2 掣1 ( 铬) 定义蓉= i n f s 琶【t 1 t 2 ) f m ( s ) 够l ( 努) ) 因为m ( t 1 ) 妒1 ( 警) 爱l 蚕( f 1 2 ) 且m ( 动= 移1 ( 箐) ! m ( s ) g 由( 1 。3 。彝( 王。3 。7 ) 式稚滋( $ ) 移l ( 等：争) 。s 8 。嗣 由条件洳) 得p 一撒( 享) o 矛盾，所以( 1 ，3 8 ) 式成立。 同时可得m ( 2 ) s 秽2 弧( 匿) ) 娩( 咎l ( 等) ) 。 一般可得 吣) 蚺和1 ( 等) ) ) 艇陬 川? m 溉+ 1 ) 识+ ，( 蛾( ( 移l ( 等) ) ) ) 。 根据数学l 胄纳法得 ，随剪s 。z ) ) 啵( 冁一l ( ( 移l ( 等) ) ) ) ) 墨矗( ) ，s 【巧。雌 特别的取s = 得y ( r ，善 ) ) o ，使当 y 01 努( 。s ，茹( s ) ) ) 2 ，s l 王py s 书拶，爹( t ，冀，拶，舅s + 黟) ) ) 尚。 牡台o y ( s 7 ，剪( t ，s 7 ，z ( s ) ) ) m y ( s 堇，( t ，s ，z ( 占) ) ) 卞五n p o 时，有 d v ( s ( ，s ，z ( s ) ) ) 一( y ( s 可( ，s z ( s ) ) ) ) + 入： ( t t ) 存在细( o ，办使当磊 i ，。) 内时，磊溆。髫+ 磊” 尹： 则由系统( 2 ) 是( 扩) 一一致稳定的可得系统( 1 ) 是( o ) 一一致稳定的 证明类戗定理l 的涯臻知3 。l 3 。莲) 式成立。 对v 芒：o e 舶，满足6 ( e ) 竖阮，可取o 叩= 叩( ) o ( 6 叩) 且 多l ，使姿鳓溉韵) 5 时， ( ，( t ：盯，z o ) ) 町，盯( 1 3 1 0 ) 其中爹( ) 一爹辑瓯翔) 是系统( 2 j 酶解。 设z ( t ) = z ( ，盯，妒) 是系统( 1 ) 满足 o ( 盯，妒) 占的任意解 良皿3 。1 ) 式知 h ( 盯+ p z ( 扩+ 口) ) s 口1 ( o ( 盯+ 疗z ( 口+ p ) ) 篓口1 ( ( 盯妒) ) 西l ( 6 ) e ，n 竖p o ， 嚣矗，( ) ) ，8g 函 下证 ( ，z ( t ) ) ，t 盯 类戗定理l 。3 。l 的讨论知，存在矿，t 缸+ 1 ) 使褥 e 曼h ( r ，z ( t 。) ) p ，h ( t ，z ) ) p ，t f 盯，t + 】 令m ( s ) 一y ( s ，萝汐，$ ，z ( s ) ) ) ，s 防护j 下证m ( s ) = y ( s ，( t ，s ，z ( s ) ) ) 舀( e ) ，s p ，芒】 易知， m p + 8 ) 一y ( d + 8 ，掣( r ，口+ 8 ，茹( 口+ 秽) ) ) o ( 矗o ( 萨十口，箩( 矿，拶十8 ，2 ( 十一) ) ) ) 1 4 壅东掰范大学硬士学位论文 n ( 磊( 删一训) ) n ( 晚( 州六绯一训) ) ) 咖2 ( 训等n 6 is o l 。3 ，1 1 ) 先证 悱似六们( s ) ) ) 等艇h ( 1 3 1 2 ) m ( s ) = y ( s ，剪( ，s z ( s ) ) ) 二 ，s 【，0 1 ) ( 1 3 1 2 ) 否则，存在某一s h t l ) 使m ( s ) 2 斜定义季一埘 s 陬t 1 ) m ( s ) 铬) ， 因为m ( 拶) 警，则 m ( 剪= 等m ( s ) m ( ) ，s f 玩司，乃一m ( 季) o + ( 王3 1 3 ) 再出( 1 。3 1 1 ) 式得m ) 5m ( g ) = 等，口gs 委 由上可得，口( 口2 ( 叼) ) m ( ；) s6 ( e ) 男一方面，取。 a 蛙纯箍。鲻。) 丑( s ) 。n = 8 n 。嚣呈。v ( 十6 ，y ( t ，香+ p ? z ( 童+ 扩) ) ) s 等竖阮，且n 一 o 。有v ( s 7 ，箩 r ，s ，嚣( s 7 ) ) ) a f y ( 量爹( ，羹掌( 季) ) ) + 占，8ss 7 否 从而由条件f 舾) 得m ( 季) = d v ( 可( r ，z ( ；) ) ) 竖一日( 矿( 蚕( p ，否，z ( 器) ) ) ) + a o 与( 1 3 1 1 ) 式矛盾，从丽( 1 3 1 2 ) 式成立 再由条件懈有y ( l ，彭( r 。t l ，茹( t l 泐妒l ( m ( f ) ) v ，1 ( 等) + 羁证 m ( s ) = y s ，爹f 矿。$ + 髫( 5 ) ) ) 移l ( 笋) ：$ 肇，。1 2 。 ( 王3 1 4 ) 否则，令西= i n f s p l j t 2 ) ：m ( s ) 2u 1 ( 等) ) 因为m ( t 1 ) l ( 等) 研得 m ( 苔) = 咖1 ( 等笋) ，m ( 8 ) 茎m ( 吾) ，s c l ：司d m ( 否) ) 麓o ( 1 3 1 5 ) 蒜由( 1 。3 1 1 ) ( 1 。3 1 2 ) 式知，m ( s 茎饿( 鳓一移l ( 等) ，s 江，霹。 凼上可得n ( 沈( 7 7 ) ) sm ( 动s6 ( e ) 类 鼓上述讨论可得 d y ( 季，y ( f ，吾，茹( 善) ) ) 0 与( 王3 。1 5 ) 式矛盾，剃阻3 ，l ) 式成立。 由数学归纳法，得 婚颢汽则胡) 姒移蠹“泓等妒) ) 昧) 1 5 啦东师范大学颈士学位论文 特别地，取s 一得 y ，z ) ) m s ， 则由系统( 2 ) 是( o ，矿) 一一致稳定的可得系统( 1 ) 是( ， ) 一一致稳定的。 证明对予v 0 ：，移：。 o ，熙当y ( s ：毫( t ，s ，z ( s ) ) ) 2a s u py ( s 十护，鲈( ，s + 毋，茁( s + 9 ) ) ) 廖， 矿( s + 矾蓦，( 8 + 8 ，。( 8 + 移) ) ) m y ( s ，笋( s ，z ( s ) ) ) 十正n 学竖。时，有 y ( s + 口，耋，( t 。8 十口，z ( s 十口) ) ) m i ( 5 f ( ：s 。z ( s ) ) ) + p ( 1 7 ( s ：耋，( t ，s ：( s ) ) ) ) 一磊z 矿( $ 箩( ，s ，譬( s ) ) ) = p ( y ( s ，秒( t z ( s ) ) ) ) 蠹泌) 褥 d 一矿( s ，( ，s ，z ( s ) ) ) 一何( y ( s ，可( t ，s ，z ( s ) ) ) ) 鬟一日( v ( s ，( ，s ，z ( s ) ) ) ) + 入： 由定理l ，3 。2 知绪论成立。 推论1 3 2 在定理1 3 2 中，将条件( 锄) 变为( t 口) 主其他条件不变， ( 叫存在连续函数g ：冀+ r + 一强满是g ( v 掰y ) = 一露( y ) ，使得对系统 ( 1 ) 的任意解z ( t ) 有 d y ( s ，爹( ，s ，善( s ) ) ) g ( 矿( s ，爹，s ，z ( s ) ；，s 毯py s 移，薹，( t ，善参，茹( s + 拶) ) ) ) ， 8 s 考s o 则由系统( 2 ) 是( o ， + ) 一一致稳定的可得系统( 1 ) 是( o ， ) 一一致稳定的 证甓对于魄，黟：e o ，对帆， q ，捌满足i 缸一m 训j 时，有 l g ( 移，毫毒) 一( 移，疆t ，) | 鬟天。 1 6 出东薅蔻大学硕士学经论文 设 ，( s ，箩( ，s ，z ( s ) ) ) a 。s u p1 7 ( s + 秽影( ，s + 毋，z ( s + 8 ) ) ) s3 及s u py ( s 一拶。萝( 。$ + 秽，譬( 菩+ 鳓) ) s 厨孓7 ( s 箩( 。s 善( s ) ) ) + 善。n 9so 时，有 n s 学s o is u py 如+ 毋，萝( 。s + 秽，z ( s + 秽) ) ) 一m y ( 3 ，剪( t ，s ，z ( s ) ) ) ! s6 8 移o 从而由条件( 叫；得 d v ( s ，可( t ，s z ( 8 ) ) ) g ( y ( s j 箩( t ，s ，z ( s ) ) ) s u py ( 8 + p 耖( t ，s + 秽z ( s 十口) ) ) ) d s 乎o = g ( 7 ( s ( t ，s z ( s ) ) ) a ，1 7 ( s ，y ( s ，z ( s ) ) ) ) + g f ( s 箩( 。葶z ( s ) ) ) ，s u py s 。疹f ( t 葶移。z s + 移) j ) ) 口s 8 曼0 一g ( ；7 ( s 爹( ：s z ( s ) ) ) ，鑫乒y ( s ，爹( ，s ，z ( s ) ) ) ) 一日( 1 7 ( s 。秽( ，s o ( s ) ) ) + l g ( i ( 8 ，芗( t ，8 ，z ( s ) ) ) s u py ( _ s + 伊可( t ，s + p z ( s + 秽) ) ) ) 口s 护s o g ( 、，( s 箩( ，s z ( s ) ) ) m v ( s ，y ( t ，s ，z ( s ) ) ) ) l 一嚣( 7 ( s 。f ( ，s jo ( s ) ) ) 大， 由定理1 3 ，2 知结论成立 定理1 3 3 假设幻：轰，扩r 。y 殇圾q 3 。显q 2 ，妒( s ) - 嚣( s ) 关予s 是非减 的且满足 ( i ) 比 一致好， t 比瓦一致好，扩关于f 是非减的； ( 蟊) y 限茹) 是确一渐小的，在s ( 态力上是蠡一正定的； 溅) 对于系统( 1 j 的任意解髫) 。黧f ( s 7 。爹( 。s 。善( s ，) ) ) 秽 ，弛爹泼s 。鬈( s ) ) ) ) 。鑫 s 7 o ，8 时， d 1 7 ( 5 ，蓦，( f 5 z ( s ) ) ) s 一9 ( s ) 日( v ( s y ( 。s ，z ( s ) ) ) ) 其中g ：【n + o c ) 一r 十是局部可积的函数，并且对每一个詹，有 y ( 七，y ( t ，蠡，z + 厶( z ) ) ) 移( 1 7 ( t i ，剪( i ，。( t i ) ) ) ： 洳) 赢廖 0 1 r = 斟一- - o c 有甜竹加妣曰骝z 则斋 男： 存在内( 0 ，妒) 。使当a ( ，z ) d 0 时，九( 蜓z + 矗( z ) ) p ； 则由系统( 2 ) 是( ，扩) 一致稳定的可得系统( 1 ) 是( 磊，h ) 一致稳定的 1 7 糠东瘘葱大学硕学缀论文 证明由条件( i ) ( 娩) 得( 1 3 1 ) 一( 1 3 4 ) 式成立 黠￥( g ，硒，可取零= 零 辩钕 众岛，6 l ，如 使褥 。l i m 矿( n ( 西2 ( 叼) ) ) o ( 6 蛾满足 妒1 ( 6 ) e ，使当 o ( ，。o ) 6 时，有 是，爹( ，拶，茹o ) ； 箨，函 ( 1 ，3 1 7 ) 其中( t ) = 剪( ，盯，z o ) 是系统( 2 ) 的解 假设茹= 善泼霰四是系统( i 的任意解，满是( 拶，妒) 最 则由( 1 3 1 ) 式知， 毳( 曩+ 移，。( f 一参) ) 露l ( ( 扩+ 参：z 拶+ 疹) ) ) 玲l ( 确文妒) ) 舀l 5 ) 。8 孝0 ， 即 ( t ，z ( t ) ) e ，n 篓t 盯 下证毳( t ，z ； ， 类似定理1 3 1 的讨论知，存在矿+ 1 ) 使得 磊，茹( ) ) 磊t ，。( ) ) 尹。【扩。+ l 。 令m ( s ) = y ( s ，( r 。s ，z ( s ) ) ) ，s f 口，扩】 下诞矿( s 。爹( 矿，s ，。( s ) 够( 务( f ) ) ，s 巧，矿j 。 易知， m ( 萨+ 拶) = y ( 拶+ 疹，爹秘，+ 妒，霉( 拶一移) ) ) 接( 鳓( 巧+ 雾，拶( ，巧参，z ( 玎疹) ) ) n ( 磊( 哪“训) ) n ( 晚( 叩) ) ) ，因为m ( 盯) 口( 口2 ( 叩) ) ，则s 7 ( 以t 1 ) ：m ( s 7 ) = n ( 如( 叼) ) ，m ( s ) 墨口( 赴( 7 7 ) ) ，s ( 莎，s ) ，d 一，羚( s ) 0 。 又由( 1 3 1 8 ) 式知 糯( s 7 + 鳓，跨( s 7 ) = 鑫( 菠( 露) ) 移( 8 函2 ( 露) ) ) 则定义善= i n f s 【亡l ，t 2 ) ，i m ( s ) 妒( n ( 如( t 7 ) ) ) ) ，因为仇( t 1 ) t f ，( n ( 沈( 叩) ) ) 则毫( l ，t 2 ) m ( ) = 妒( 口( 砚( 叼) ) ) m ( s ) m ( 魏s 瑟l 。窭。 又融( 1 3 1 8 ) ( 1 3 1 9 ) 式知m ( s ) 篓m ( 童) 一妒( n ( p 2 ( 叼) ) ) ：s 琶 n 外 另一方面，m ( ) = 妒( 口( 娩) ) 口( 如( 彩) ，定义吾* s u p s ( 口翻| 删 貔( 现( ，7 ) ) ) 因为m ( 矿) 冬o ( 9 2 ( 叩) ) ，贝4 誉( 口，d 且m ( 季) = 8