河北省衡水中学2017届高三（上）期中考试数学文试卷（解析版）

2016-2017学年河北省衡水中学高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1复数z=+i3（i为虚数单位）的共轭复数为（）A12iB1+2iCi1D1i2已知集合A=0，1，B=z|z=x+y，xA，yA，则B的子集个数为（）A3B4C7D83已知平面直角坐标系内的两个向量=（1，2），=（m，3m2），且平面内的任一向量都可以唯一的表示成=+（，为实数），则m的取值范围是（）A（，2）B（2，+）C（，+）D（，2）（2，+）4将函数f（x）=sinxcosx的图象向左平移m个单位（m0），若所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值是（）ABCD5已知等比数列an中，a3=2，a4a6=16，则的值为（）A2B4C8D166已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A27B18C273D1837如图，偶函数f（x）的图象如字母M，奇函数g（x）的图象如字母N，若方程f（g（x）=0，g（f（x）=0的实根个数分别为m、n，则m+n=（）A12B18C16D148函数f（x）=ax12（a0，a1）的图象恒过定点A，若点A在直线mxny1=0上，其中m0，n0，则的最小值为（）A4B5C6D9三棱锥PABC中，PA平面ABC，ACBC，AC=BC=1，PA=，则该三棱锥外接球的表面积为（）A5BC20D410某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是（）A3024B1007C2015D201611已知函数f（x）=x33x2+x的极大值为m，极小值为n，则m+n=（）A0B2C4D212某实验室至少需要某种化学药品10kg，现在市场上出售的该药品有两种包装，一种是每袋3kg，价格为12元；另一种是每袋2kg，价格为10元但由于保质期的限制，每一种包装购买的数量都不能超过5袋，则在满足需要的条件下，花费最少（）A56B42C44D54二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13与直线x+y1=0垂直的直线的倾斜角为14若函数f（x）=x+1为奇函数，则a=15已知p：|x1|2，q：x22x+1a20，（a0），若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是16如图，在三棱锥ABCD中，BC=DC=AB=AD=，BD=2，平面ABD平面BCD，O为BD中点，点P，Q分别为线段AO，BC上的动点（不含端点），且AP=CQ，则三棱锥PQCO体积的最大值为三、解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（12分）如图，在ABC中，B=30，AC=2，D是边AB上一点（1）求ABC的面积的最大值；（2）若CD=2，ACD的面积为4，ACD为锐角，求BC的长18（12分）已知数列an中，a1=1，anan+1=（）n，记T2n为an的前2n项的和，bn=a2n+a2n1，nN*（）判断数列bn是否为等比数列，并求出bn；（）求T2n19（12分）如图所示，在多面体EFABC中，ABC是边长为2的等边三角形，O为BC的中点，EFAO，EA=EC=EF=（1）若平面ABC平面BEF=l，证明：EFl；（2）求证：ACBE；（3）若BE=，EO=，求点B到平面AFO的距离20（12分）如图，四棱锥PABCD的底面ABCD为矩形，AB=2，BC=2，点P在底面上的射影在AC上，E，F分别是AB，BC的中点（）证明：DE平面PAC；（）在PC边上是否存在点M，使得FM平面PDE？若存在，求出的值；不存在，请说明理由21（12分）设函数f（x）=ax（1）若函数f（x）在（1，+）上为减函数，求实数a的最小值；（2）若存在x1，x2e，e2，使f（x1）f（x2）+a成立，求实数a的取值范围请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时请写清题号请在答题卡上将所做的题号后面的方框涂黑.选修44：坐标系与参数方程22（10分）在直角坐标系xOy中，已知点P（1，2），直线l：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极坐标建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为sin2=2cos，直线l和曲线C的交点为A，B（1）求直线l和曲线C的普通方程；（2）求|PA|+|PB|选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）=|x|，g（x）=|x4|+m（）解关于x的不等式gf（x）+2m0；（）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求实数m的取值范围2016-2017学年河北省衡水中学高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1（2016秋衡水期中）复数z=+i3（i为虚数单位）的共轭复数为（）A12iB1+2iCi1D1i【考点】复数代数形式的乘除运算【专题】转化思想；数系的扩充和复数【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出【解答】解：原式=i=（i1）i=12i，复数z=+i3（i为虚数单位）的共轭复数为1+2i故选：B【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2（2016惠州模拟）已知集合A=0，1，B=z|z=x+y，xA，yA，则B的子集个数为（）A3B4C7D8【考点】集合的表示法【专题】集合思想；综合法；集合【分析】先求出集合B中的元素，从而求出其子集的个数【解答】解：由题意可知，集合B=z|z=x+y，xA，yA=0，1，2，则B的子集个数为：23=8个，故选：D【点评】本题考察了集合的子集个数问题，若集合有n个元素，其子集有2n个3（2015嘉定区二模）已知平面直角坐标系内的两个向量=（1，2），=（m，3m2），且平面内的任一向量都可以唯一的表示成=+（，为实数），则m的取值范围是（）A（，2）B（2，+）C（，+）D（，2）（2，+）【考点】平面向量坐标表示的应用【专题】常规题型【分析】平面向量基本定理：若平面内两个向量、不共线，则平面内的任一向量都可以用向量、来线性表示，即存在唯一的实数对、，使=+成立根据此理论，结合已知条件，只需向量、不共线即可，因此不难求出实数m的取值范围【解答】解：根据题意，向量、是不共线的向量=（1，2），=（m，3m2）由向量、不共线解之得m2所以实数m的取值范围是m|mR且m2故选D【点评】本题考查了平面向量坐标表示的应用，着重考查了平面向量基本定理、向量共线的充要条件等知识点，属于基础题4（2014齐齐哈尔一模）将函数f（x）=sinxcosx的图象向左平移m个单位（m0），若所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值是（）ABCD【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换；正弦函数的奇偶性【专题】计算题；三角函数的图像与性质【分析】先根据左加右减的原则进行平移得到平移后的解析式，再由其关于y轴对称得到2sin（x+m）=2sin（x+m），再由两角和与差的正弦公式展开后由三角函数的性质可求得m的值，从而得到最小值【解答】解：y=sinxcosx=2sin（x）然后向左平移m（m0）个单位后得到y=2sin（x+m）的图象为偶函数，关于y轴对称2sin（x+m）=2sin（x+m）sinxcos（m）+cosxsin（m）=sinxcos（m）+cosxsin（m）sinxcos（m）=0cos（m）=0m=2k+，m=m的最小值为故选A【点评】本题主要考查三角函数的平移和两角和与差的正弦公式注意平移时要根据左加右减上加下减的原则进行平移5（2016湖南校级模拟）已知等比数列an中，a3=2，a4a6=16，则的值为（）A2B4C8D16【考点】等比数列的性质【专题】计算题；等差数列与等比数列【分析】由题意和等比数列的通项得a1q2=2，a1q3a1q5=16，求出q2，即可得出结论【解答】解：设等比数列an的公比是q，由a3=2，a4a6=16得，a1q2=2，a1q3a1q5=16，则a1=1，q2=2，=4，故选：B【点评】本题考查等比数列的性质、通项公式，属于基础题6（2016武汉校级模拟）已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A27B18C273D183【考点】由三视图求面积、体积【专题】空间位置关系与距离【分析】由三视图知几何体为直四棱柱且中间挖去半个圆柱，根据三视图的数据求四棱柱和圆柱的高、以及底面上的几何元素对应的数据，代入体积公式计算即可【解答】解：由三视图可知，该几何体为放到的直四棱柱，且中间挖去半个圆柱，由三视图中的数据可得：四棱柱的高为3，底面为等腰梯形，梯形的上、下底边分别为2、4，高为2，圆柱的高为3，圆柱底面的半径都是1，几何体的体积V=，故选：B【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及相关数据所对应的几何量，考查空间想象能力7（2016秋衡水期中）如图，偶函数f（x）的图象如字母M，奇函数g（x）的图象如字母N，若方程f（g（x）=0，g（f（x）=0的实根个数分别为m、n，则m+n=（）A12B18C16D14【考点】函数奇偶性的性质【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用【分析】若方程f（g（x）=0，则g（x）=，或g（x）=0，或g（x）=，进而可得m值；不妨仅g（x）的三个零点分别为a，0，a（0a1），若g（f（x）=0，则f（x）=a，或f（x）=0，或f（x）=a，进而得到n值【解答】解：若方程f（g（x）=0，则g（x）=，或g（x）=0，或g（x）=，此时方程有9个解；不妨仅g（x）的三个零点分别为a，0，a（0a1）若g（f（x）=0，则f（x）=a，或f（x）=0，或f（x）=a，此时方程有9个解；即m=n=9，m+n=18，故选：B【点评】本题考查的知识点是数形结合思想，方程的根与函数零点之间的关系，难度中档8（2016潍坊校级二模）函数f（x）=ax12（a0，a1）的图象恒过定点A，若点A在直线mxny1=0上，其中m0，n0，则的最小值为（）A4B5C6D【考点】基本不等式；指数函数的图象变换【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；不等式【分析】由指数函数可得A坐标，可得m+n=1，整体代入可得=（）（m+n）=3+，由基本不等式可得【解答】解：当x1=0即x=1时，ax12恒等于1，故函数f（x）=ax12（a0，a1）的图象恒过定点A（1，1），由点A在直线mxny1=0上可得m+n=1，由m0，n0可得=（）（m+n）=3+3+2=3+2当且仅当=即m=1且n=2时取等号，故选：D【点评】本题考查基本不等式求最值，涉及指数函数的性质，属基础题9（2015佳木斯一模）三棱锥PABC中，PA平面ABC，ACBC，AC=BC=1，PA=，则该三棱锥外接球的表面积为（）A5BC20D4【考点】球的体积和表面积【专题】空间位置关系与距离；球【分析】根据题意，证出BC平面PAC，PB是三棱锥PABC的外接球直径利用勾股定理结合题中数据算出PB=，得外接球半径R=，从而得到所求外接球的表面积【解答】解：PA平面ABC，ACBC，BC平面PAC，PB是三棱锥PABC的外接球直径；RtPBA中，AB=，PA=PB=，可得外接球半径R=PB=外接球的表面积S=4R2=5故选A【点评】本题在特殊三棱锥中求外接球的表面积，着重考查了线面垂直的判定与性质、勾股定理和球的表面积公式等知识，属于中档题10（2016秋衡水期中）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是（）A3024B1007C2015D2016【考点】程序框图【专题】计算题；数形结合；数形结合法；算法和程序框图【分析】模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的算式S是求数列的和，且数列的每4项的和是定值，由此求出S的值【解答】解：模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的算式：S=a1+a2+a3+a4+a2013+a2014+a2015+a2016=（0+1）+（2+1）+（0+1）+（4+1）+（0+1）+（2014+1）+（0+1）+（2016+1）=6+6=6=3024；所以该程序运行后输出的S值是3024故选：A【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题的关键是模拟程序运行的过程，得出程序运行后输出的算式的特征，是基础题目11（2016唐山一模）已知函数f（x）=x33x2+x的极大值为m，极小值为n，则m+n=（）A0B2C4D2【考点】利用导数研究函数的极值【专题】函数思想；综合法；导数的概念及应用【分析】利用导数工具去解决该函数极值的求解问题，关键要利用导数将原函数的单调区间找出来，即可确定出在哪个点处取得极值，进而得到答案【解答】解：由题意可得：f（x）=3x26x+1，令f（x）=0，即3x26x+1=0，解得：x1=，x2=，f（x）在（，）递增，在（，）递减，在（，+）递增，x1=是极大值点，x2=是极小值点，m+n=f（x1）+f（x2）=（2+）（2）=2，故选：D【点评】利用导数工具求该函数的极值是解决该题的关键，要先确定出导函数大于0时的实数x的范围，再讨论出函数的单调区间，根据极值的判断方法求出该函数的极值，体现了导数的工具作用12（2016秋衡水期中）某实验室至少需要某种化学药品10kg，现在市场上出售的该药品有两种包装，一种是每袋3kg，价格为12元；另一种是每袋2kg，价格为10元但由于保质期的限制，每一种包装购买的数量都不能超过5袋，则在满足需要的条件下，花费最少（）A56B42C44D54【考点】简单线性规划的应用；简单线性规划【专题】计算题；数形结合；转化思想；不等式【分析】设价格为12元的x袋，价格为10元y袋，花费为Z百万元，先分析题意，找出相关量之间的不等关系，即x，y满足的约束条件，由约束条件画出可行域；要求应作怎样的组合投资，可使花费最少，即求可行域中的最优解，在线性规划的解答题中建议使用直线平移法求出最优解，即将目标函数看成是一条直线，分析目标函数Z与直线截距的关系，进而求出最优解【解答】解：设价格为12元的x袋，价格为10元y袋，花费为Z百万元，则约束条件为：，目标函数为z=12x+10y，作出可行域，使目标函数为z=12x+10y取最小值的点（x，y）是A（2，2），此时z=44，答：应价格为12元的2袋，价格为10元2袋，花费最少为44元故选：C【点评】本题考查线性规划的应用，在解决线性规划的应用题时，其步骤为：分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件由约束条件画出可行域分析目标函数Z与直线截距之间的关系使用平移直线法求出最优解还原到现实问题中二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13（2016秋衡水期中）与直线x+y1=0垂直的直线的倾斜角为【考点】直线的倾斜角【专题】直线与圆【分析】利用垂直关系求出斜率，利用斜率求出倾斜角【解答】解：直线x+y1=0的斜率为k1=，与直线x+y1=0垂直的直线的斜率为k2=，又k2=tan=，且0，），它的倾斜角为=；故答案为：【点评】本题考查了直线的垂直以及由斜率求倾斜角的问题，是基础题14（2016河南一模）若函数f（x）=x+1为奇函数，则a=1【考点】函数奇偶性的性质【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用【分析】根据函数奇偶性的性质得到f（x）=f（x），从而得到关于a的方程，解出即可【解答】解：若函数为奇函数，则f（x）=x+2a+1+1=f（x）=x（2a+1）1，2（2a+1）+2=0，则a=1，故答案为：1【点评】本题考查了函数奇偶性的性质，熟练掌握函数的性质是解题的关键，本题是一道基础题15（2016衡水校级一模）已知p：|x1|2，q：x22x+1a20，（a0），若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是0，2【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】简易逻辑【分析】利用已知条件求出p，q，然后通过p是q的充分不必要条件，列出不等式组，求出a的范围即可【解答】解：p：|x1|2，得1x3，p：x3或x1，记A=x|x3或x1，q：x22x+1a20，x（1a）x（1+a）0，a0，1a1+a解得x1+a或x1a记B=x|x1+a或x1ap是q的充分不必要条件，AB，即，解得，解得0a2故答案为：（0，2【点评】本题考查命题的真假判断，充要条件的判定，考查基本知识的应用求出命题的等价条件是解决本题的关键16（2014东城区一模）如图，在三棱锥ABCD中，BC=DC=AB=AD=，BD=2，平面ABD平面BCD，O为BD中点，点P，Q分别为线段AO，BC上的动点（不含端点），且AP=CQ，则三棱锥PQCO体积的最大值为【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【专题】空间位置关系与距离【分析】利用等腰三角形的性质可得AOBD，再利用面面垂直的性质可得AO平面BCD，利用三角形的面积计算公式可得SOCQ=，利用V三棱锥POCQ=，及其基本不等式的性质即可得出【解答】解：设AP=x，O为BD中点，AD=AB=，AOBD，平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCD=BD，AO平面BCDPO是三棱锥PQCO的高AO=1OP=1x，（0x1）在BCO中，BC=，OB=1，OC=1，OCB=45SOCQ=V三棱锥POCQ=当且仅当x=时取等号三棱锥PQCO体积的最大值为故答案为：【点评】本题考查了等腰三角形的性质、面面垂直的性质、三角形的面积计算公式、三棱锥的体积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（12分）（2016邯郸校级模拟）如图，在ABC中，B=30，AC=2，D是边AB上一点（1）求ABC的面积的最大值；（2）若CD=2，ACD的面积为4，ACD为锐角，求BC的长【考点】三角形中的几何计算【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形【分析】（1）由余弦定理得ABBC=20（2+），由此能求出ABC的面积的最大值（2）设ACD=，由三角形面积得到sin=，cos，由余弦定理，得AD=4，由正弦定理，得，由此能求出BC的长【解答】解：（1）在ABC中，B=30，AC=2，D是边AB上一点，由余弦定理得：AC2=20=AB2+BC22ABBCcosABC=（2）ABBC，ABBC=20（2+），ABC的面积的最大值为（2）设ACD=，在ACD中，CD=2，ACD的面积为4，ACD为锐角，=4，sin=，cos，由余弦定理，得AD2=AC2+CD22ACCDcos=20+48=16，AD=4，由正弦定理，得，此时，BC=BC的长为4【点评】本题考查三角形面积的最大值的求法，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正弦定理、余弦定理的合理运用18（12分）（2014青岛二模）已知数列an中，a1=1，anan+1=（）n，记T2n为an的前2n项的和，bn=a2n+a2n1，nN*（）判断数列bn是否为等比数列，并求出bn；（）求T2n【考点】数列的求和；等比关系的确定；数列递推式【专题】等差数列与等比数列【分析】（1）利用等比数列的定义证明即可；（2）利用分组求和由等比数列的前n项和公式求和即可【解答】解：（），即（2分）bn=a2n+a2n1，所以bn是公比为的等比数列a1=1，（6分）（）由（）可知，所以a1，a3，a5，是以a1=1为首项，以为公比的等比数列；a2，a4，a6，是以为首项，以为公比的等比数列 （10分）T2n=（a1+a3+a2n1）+（a2+a4+a2n）=（12分）【点评】本题考查利用定义证明数列是等比数列及等比数列前n项和公式，考查数列分组求和的方法以及运算能力，属中档题19（12分）（2016秋衡水期中）如图所示，在多面体EFABC中，ABC是边长为2的等边三角形，O为BC的中点，EFAO，EA=EC=EF=（1）若平面ABC平面BEF=l，证明：EFl；（2）求证：ACBE；（3）若BE=，EO=，求点B到平面AFO的距离【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的性质【专题】数形结合；综合法；空间位置关系与距离【分析】（1）利用直线和平面平行的判定证得EF平面ABC，再利用直线和平面平行的性质定理，证得EFl（2）利用直线和平面垂直的判定定理证得AC平面BEH，再利用直线和平面垂直的性质定理，证得ACBE（3）先求得FBCA的体积，再根据等体积法求得点B到平面AFO的距离【解答】解：（1）EFAO，EF平面ABC，AO平面ABC，EF平面ABC，又因为平面ABC平面BEF=l，所以EFl（2）取AC的中点H，连接EH，BH，EA=EC，EHAC，因为ABC为等边三角形，所以BA=BC，BHAC，因为BHEH=H，所以AC平面BEH，BE平面BEH，ACBE（3）在EAC中，所以，因为ABC为等边三角形，所以，因为，所以EH2+HB2=BE2，所以EHHB，因为ACHB=H，所以EH平面ABC，又因为，所以，EFAO，四边形AOFE为平行四边形，设点B到平面AFO的距离为d，由，得，解得【点评】本题主要考查直线和平面平行的判定和性质，直线和平面垂直的判定和性质，用等体积法求点到平面的距离，属于中档题20（12分）（2016秋衡水期中）如图，四棱锥PABCD的底面ABCD为矩形，AB=2，BC=2，点P在底面上的射影在AC上，E，F分别是AB，BC的中点（）证明：DE平面PAC；（）在PC边上是否存在点M，使得FM平面PDE？若存在，求出的值；不存在，请说明理由【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离【分析】（）由题意和向量法可证ACDE，再由题意和线面垂直的性质可得DE平面PAC；（）当点M在PC边上且满足=3时，FM平面PDE，作MNPD交CD与N，连接NF，可证平面MNF平面PDE，由面面平行的性质可得【解答】（）证明：由题意可得|=2，|=2，且，=+，=，=（+）（）=804=0，即ACDE，又点P在底面上的射影在AC上，平面PAC平面ABCD，又AC为平面PAC与平面ABCD的交线，DE平面ABCD，DE平面PAC；（）当点M在PC边上且满足=3时，FM平面PDE，下面证明：作MNPD交CD与N，连接NF，在底面矩形中可证NFDE，由MNPD可得MN平面PDE，由NFDE可得NF平面PDE，再由MN和NF相交可得平面MNF平面PDE，又MF平面MNF，FM平面PDE【点评】本题考查直线和平面平行和垂直的判定，作辅助线是解决问题的关键，属中档题21（12分）（2015潮南区模拟）设函数f（x）=ax（1）若函数f（x）在（1，+）上为减函数，求实数a的最小值；（2）若存在x1，x2e，e2，使f（x1）f（x2）+a成立，求实数a的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用【分析】（1）由已知得f（x）的定义域为（0，1）（1，+），f（x）=a+在（1，+）上恒成立，由此利用导数性质能求出a的最大值；（2）命题“若存在x1，x2e，e2，使f（x1）f（x2）+a成立”，等价于“当xe，e2时，有f（x）minf（x）max+a”，由此利用导数性质结合分类讨论思想，能求出实数a的取值范围【解答】解：（）由已知得f（x）的定义域为（0，1）（1，+），f（x）在（1，+）上为减函数，f（x）=a+0在（1，+）上恒成立，a=（）2，令g（x）=（）2，故当=，即x=e2时，g（x）的最小值为，a，即aa的最小值为（）命题“若存在x1，x2e，e2，使f（x1）f（x2）+a成立”，等价于“当xe，e2时，有f（x）minf（x）max+a”，由（）知，当xe，e2时，lnx1，2，1，f（x）=a+=（）2+a，f（x）max+a=，问题等价于：“当xe，e2时，有f（x）min”，当a，即a时，由（），f（x）在e，e2上为减函数，则f（x）min=f（e2）=ae2+，a，a当a0，即0a时，xe，e2，lnx，1，f（x）=a+，由复合函数的单调性知f（x）在e，e2上为增函数，存在唯一x0（e，e2），使f（x0）=0且满足：f（x）min=f（x0）=ax0+，要使f（x）min，a=，与a0矛盾，a0不合题意综上，实数a的取值范围为，+）【点评】本题主要考查函数、导数等基本知识考查运算求解能力及化归思想、函数方程