（车辆工程专业论文）基于遗传算法的主动悬架多目标h2h∞鲁棒控制.pdf

摘要 主动悬架作为未来汽车悬架系统的主要趋势，越来越受到关注与研究。然 而，要充分发挥主动悬架的减震性能，需要建立合适的控制策略和设计合适的 控制器，可以说控制技术是研究主动悬架的关键。论文针对主动悬架的关键控 制技术开展了研究工作。 对于解决主动悬架的控制问题，最难以处理的是平顺性与操纵稳定性的多 目标优化。作为汽车悬架系统设计最重要的评价指标，他们是相互之间是冲突 矛盾的。降低悬架系统弹簧的刚度会得到较好的舒适性，但是这时候悬架的动 行程会加大，车体的幅度较大，不利于车辆的操作稳定性。而加大弹簧刚度， 乘坐的舒适性又会降低。对于解决主动悬架多目标优化的问题，己经基于不同 的理论有大量方法，这些方法大多是把车身垂直加速度、悬架行程、动静载荷 比等性能一起作为优化的目标，选定权数，然后统一到一个目标函数中去优化。 然而，这样车身加速度就可能达不到理想的效果。 针对上面的问题，论文首先建立二自由度四分之一车主动悬架系统的数学 模型，然后进行了约束巩控制器的设计，并应用m a t l a b 中的l m i 工具箱求 解，并针对求解的结果进行了仿真与被动悬架对比。 接下来，论文结合了以控制以及b 控制各自的优点设计了致玩混合控 制器的主动悬架，使得车身加速度在时域内有很好的效果，而且系统具有一定 的鲁棒稳定性。利用l m i 进行求解，并将仿真结果与约束以控制器进行了对比。 最后，论文基于遗传算法对皿玩混合控制器进行了求解，仿真结果表明 l m i 的求解办法虽然有效快捷，但对于凰级混合控制器的多目标问题求解时， 有一定得保守性，而遗传算法对于处理难以解决的非线性多目标问题的时，有 极强的寻优能力。因此，基于遗传算法的皿以混合控制器对主动悬架能进行 有效控制，不仅仅大大改善了汽车的平顺性，保证了操作的稳定性，并且具有 较强的鲁棒性。 关键词：主动悬架，l m i ，也控制，4 巩混合控制，遗传算法 a b s t r a c t t h et e n d e n c yo fe m p l o y i n ga c t i v es u s p e n s i o n ss y s t e mi nt h ef u t u r ea u t o m o b i l e h a sb e e nd r a w i n gi n c r e a s i n g l ym o r ea t t e n t i o na n ds t u d y h o w e v e r , t h ed e s i g no fa n a p p r o p r i a t ec o n t r o l l i n gs t r a t e g ya n d ac o n t r o l l e ra r er e q u i r e dt og i v eaf u l lp l a yt o 廿l e v i b r a t i o nd e d u c t i o nf u n c t i o no ft h ea c t i v es u s p e n s i o n t h ec o n t r o l l i n gs t r a t e g yi st h e k e y t os t u d y i n gt h ea c t i v es u s p e n s i o na n dt h i sp a p e rs t u d i e dt h ec r i t i c a lc o n t r o l l i n g s t r a t e g yo fa c t i v es u s p e n s i o n a st ot h ec o n t r o l l i n gm a t t e ro ft h ea c t i v es u s p e n s i o n ，t h em o s td i f f i c u l tp a r ti st o a c h i e v eam u l t i - g o a lo p t i m i z a t i o no fs m o o t h n e s sa n do p e r a t i o ns t a b i l i t y a st h em o s t i m p o r t a n te v a l u a t i o ni n d e xo ft h ed e s i g no f a u t o m o b i l es u s p e n s i o ns y s t e m ，t h e ya r e c o n t r a d i c t o r y t h ed e d u c t i o no ft h es p r i n gs t i f f n e s so fs u s p e n s i o ns y s t e mw i l lb r i n g s a t i s f a c t o r yc o m f o r tb u tr e s u l ti nal a r g e rs u s p e n s i o nt r a v e la n db o d yr a n g ew h i c h w i l l d on og o o dt ot h eo p e r a t i o ns t a b i l i t yo ft h ea u t o m o b i l eb o d y o nt h ec o n t r a r y , h i g h e r s p r i n gs t i f f n e s sw i l ll o w e rd o w nc o m f o r ts a t i s f a c t o r y t h e r ea r eal o to fa p p r o a c h e s b a s e do nd i f f e r e n tt h e o r i e st ot h i sd i l e m m a , m a i n l yf o c u s i n go ni n t e g r a t i n gf u n c t i o n s o fv e r t i c a la c c e l e r a t i o n , s u s p e n s i o nt r a v e l ，s t a t i ca n dd y n a m i cl o a dr a t i oa n de t c a s t h eg o a lo fo p t i m i z a t i o n , d e c i d i n go naw e i g h ta n do p t i m i z i n gt h e mi n a no b j e c t f u n c t i o n b u t ，t h i sw i l le n du pw i t hu n s a t i s f a c t o r yb o d ya c c e l e r a t i o n t oa d d r e s st h ep r o b l e m sa b o v e ，t h i sp a p e rs e tu pam a t h e m a t i cm o d e lo f2d o f q u a r t e r c a ra c t i v es u s p e n s i o ns y s t e m s ，d e s i g n i n g ac o n s t r a i n e d h 。c o n t r o l l e r , e m p l o y i n g t h el m it o o l b o xo fm a t l a bt os e e kas o l u t i o n ，a n ds i m u l a t et h er e s u l tt o c o m p a r ew i t h p a s s i v es u s p e n s i o n n e x t ，b a s e do nt h es t r e n g t h so fh 。c o n t r o l l e r a n dh 2c o n t r o l l e r , a c t i v e s u s p e n s i o n so f 她h ! fh 。h y b r i d c o n t r o l l e rw e r ed e s i g n e ds o a st oa c h i e v e s a t i s f a c t o r ya c c e l e r a t i o ni nat i m ed o m a i na n d t h er o b u s ts t a b i l i t ya tt h es a m et i m e a s o l u t i o nw a sa l s od o n eb ym e a n so fl m ia n dac o m p a r i s o no ft h es t i m u l a t i o nr e s u l t a n dc o n s t r a i n th 。c o n t r o l l e rw a sm a d e a tl a s t ，t h i sp a p e rs o u g h tas o l u t i o nt o w a r d sh l | h 。h y b r i dc o n t r o l l e rb ym e a n s o fg e n e t i ca l g o r i t h m t h es t i m u l a t i o ns h o w e dt h a tt h o u g hl m ii se f f i c i e n ta n d e f f e c t i v ei ti sc o n s e r v a t i v et o w a r d st h es o l u t i o nf o rt h em u l t i g o a lh 2 h 。h y b r i d c o n t r o l l e r w h e r e a sg e n e t i ca l g o r i t h mh a se x t r a o r d i n a r yo p t i m i z a t i o nc a p a b i l i t yi n a d d r e s s i n gf o r m i d a b l en o n l i n e a rm u l t i g o a lp r o b l e m s t h e r e f o r e , h 2 旧。h y b r i d c o n t r o l l e rb a s e do ng e n e t i ca l g o r i t h mc a nh a v ea ne f f e c t i v ec o n t r o lo fa c t i v e s u s p e n s i o n s ，w h i c hc a nn o to n l yg r e a t l yi m p r o v et h ea u t o m o b i l es m o o t h n e s sa n d e n s u r eo p e r a t i o ns t a b i l i t y , b u tc a na l s oh a ss t r o n gr o b u s t k e yw o r d s ：a c t i v es u s p e n s i o n s ，l m i ，h 。c o n t r o l ，h 2ih 。h y b r i dc o n t r o l ， g e n e t i ca l g o r i t h m i l l 独创性声明 本人声明，所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作及 取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得 武汉理工大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一 同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说 明并表示了谢意。 签名：丝乏鲨j ， 日期：丝! 曲塑 学位论文使用授权书 本人完全了解武汉理工大学有关保留、使用学位论文的规定， 即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电 子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权武汉理工大学可以将本 学位论文的全部内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印或其他复制手段保存或汇编本学位论文。同时授权经武汉理 工大学认可的国家有关机构或论文数据库使用或收录本学位论 文，并向社会公众提供信息服务。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 研究生( 签名) ：豸p 叫 导师( 签名) 武汉理工大学硕士学位论文 1 1 悬架系统的概述 第1 章绪论 汽车在行驶的过程中会由于路面激励等因素而振动。当振动达到一定程度的 时候，就会影响乘坐的舒适性。同时，汽车的附着效果会受到车轮在行驶过程 中的动载荷影响，从而降低汽车的操作稳定性。所以，为了保证乘坐的舒适性 和操作的稳定性，必须将车辆的振动控制在一定范围内。 悬架系统通常由阻尼元件以及弹性元件组成，并且它位于车身和车轮之间。 具体说来，其主要功能表现在以下四个方面【l 】： 第一，连接车身与车轮，并承受他们之间的作用力。 第二，缓冲路面给车体的冲击，抑制车轮与车身的共振，提供良好的乘坐 舒适性； 第三，尽量使非悬挂质量随着地面运动，以此来减少车轮与地面问的附着 力损失，从而保证轮胎能有较好的接地性，最终达到保证汽车操作稳定性的目 的； 第四，在一定范围内减小由制动力、载荷、空气动力、转向力的变化而带 来的车身姿态的变化等； 从以上悬架系统的四个基本功能可以看出，悬架系统的好坏对车辆各个方 面的性能都发挥着举足轻重的作用。 悬架系统的设计通常是针对额定工况和额定参数进行的，但由于路况和环 境的不确定性，以及汽车工况和本身参数的变化，悬架系统的实际性能将会受 到一定程度的影响。所以，当对悬架系统进行分析时，就需要考虑平顺性、操 作稳定性以及乘坐舒适性等因素，此外还需要考虑到一个问题，如果存在不确 定的因素时，如何才能确保悬架系统的鲁棒性和稳定性等。 1 2 悬架系统的分类 以悬架是否能控的角度来看，悬架可以被分为主动悬架和被动悬架这两种类 型。而主动悬架从能否提供能量的观点来考量，又可以划分为全主动悬架( 这 里简称主动悬架) 和半主动悬架两判2 1 。以下分别对上述几类悬架做一个简单的 介绍。 武汉理工大学硕士学位论文 1 被动悬架 被动悬架也就是传统式的悬架，它是由导向机构、减振器( 减振筒) 、弹簧 等构成的。其主要功能是减弱路面传给车身的冲击力，衰减由冲击力而引起的 承载系统的振动。其中，减振器的主要功用是衰减振动，弹簧的主要作用是减 缓冲击力。其阻尼和刚度参数一般按经验设计或优化设计方法选择，而一旦选 定，车辆行驶过程中就不再改变。由于此悬架系统的价格优惠、设计简约，所 以在目前的路面车辆中，它仍然是应用最广泛的。但是，面对路况和环境以及 汽车本身参数的复杂变化，以及人们的高要求，它已经渐渐不再满足人们对于 悬架系统的需求。 2 主动悬架 主动悬架是将被动悬架系统中的弹簧和阻尼器用一个力发生器( 即作动器) 来替代了，它采用一种以力抑力的方式来抑制路面对车身的冲击力及车身的倾 斜力。主动悬架是一种受电脑控制的悬架，它必须以下具备三个条件： 第一，具备能够产生作用力的动力源( 液压泵，空气压缩机等) 以及力发生 器( 液压缸、气缸) 等； 第二，执行的元件( 即作动器) 能传递此作用力并且能够连续地运作； 第三，具备相应的各种传感器，而且能将相关的数据聚集到微电脑进行运 算，并决定其控制方式。因此，主动悬架是一种较为复杂的高技术装置，它囊 括了力学和电子学的技术知识。 主动悬架最为关键的就是控制律，也就是说，怎样选择控制律以使悬架系 统来保证车辆最佳的总体性能。近几十年来，国内外学者对车辆悬架的控制系 统做了大量相关的理论研究，研究方法几乎涵盖了控制理论的所有分支。随着 电、液控制、计算机的不断发展以及传感器、微处理器及液控和电控元件制造 技术的进一步提高，主动悬架在车辆上的应用将变得r 益普遍。此外，由于现 代社会对车辆的行驶速度以及各方面的性能要求也越来越高，相应地人们对悬 架系统的研究和设计业也上升到了一个新的高度，并表现出对车辆悬架可控性 更为迫切的要求，这一切都为控制理论的研究与应用提供了相应的平台。 3 半主动悬架 半主动悬架是介于主动悬架和被动悬架之间的。以是否消耗能量的角度来 衡量，除了驱动电磁阀要耗损能量以外，它基本上不再耗损任何能量。而从结 构上看，它不需要油泵、储油室、过滤器、输油管以及冷却器等附件，仅需要 将被动悬架中的减震器替换作可调阻尼器，由此可见，半主动悬架却要比主动 2 武汉理工大学硕士学位论文 悬架更为简单。 根据可调阻尼器阻尼系数可调的范围，半主动悬架可分为可切换半主动悬 架和连续可调半主动悬架。可切换半主动悬架是可控悬架中成本较低的一种， 但是其阻尼系数只具有几个离散的阻尼值。而连续可调半主动悬架中的可调阻 尼器的阻尼系数可以在一定范围内连续变化。从效果上看，连续可调半主动悬 架与主动悬架的效果相近。 在此，将汽车各类悬架的结构简图用图1 1 来表示。其中，g 为固定阻尼 器，c 为可调阻尼器，m 为簧载质量，m ，为非簧载质量，墨为等效轮胎的弹 簧，彳为主动悬架作动器。其中a 为被动悬架，b 为半主动悬架，c 为主动悬架 ( a )( b )( c ) 图1 1 汽车悬架分类及结构简图 随着汽车工业的发展，人们对汽车乘坐舒适性也得提出了更高的要求。主 动悬架因为在提高乘坐舒适性方面具有优越的性能，将会逐步取代被动悬架和 半主动悬架，是汽车悬架发展的方向。随着控制理论的不断完善以及其他软、 硬件技术的发展，主动悬架技术也会渐渐地走向成熟，从而可极大地提高汽车 使用性能，使得主动悬架具有广阔的应用前景。 1 。3 悬架系统的性能要求 车辆动力学模型是进行悬架系统设计和性能分析的根基。设计者必须能够 在规定的悬架操作空间内为驾驶员和乘客营造一个良好而舒适的乘坐环境，并 且还要考虑到其可接受的车身姿态，以及对车轮动载荷合理的控制。 汽车动力学研究需要保证汽车的平顺性与操纵稳定性。而悬架在协调这两 武汉理工大学硕士学位论文 大性能的过程中发挥着不可替代的作用。在对悬架的基本功能了解的基础上， 综合汽车行驶过程中的主要性能指标，我们可以大体得出对理想悬架设计的一 些期望，如下： 第一，车辆于不同的路面，以不同的车速直线行驶时，能够使车身及车轮 的振动降低到最低水平，从而可以为乘员提供最舒适的乘坐环境，也就是上文 所说的平顺性。 第二，为了保证行驶的安全性和操纵的稳定性，应该最大限度地减少轮胎 的动载荷，从而最大限度地确保良好的轮胎接地性。 第三，为了尽量避免限位块撞击所引起的对人或货物的冲击，悬架的动行 程要控制在允许的范围内。 第四，从稳定性和舒适性的角度考虑，能够保证良好的车身姿态。 第五，由于执行机构( 作动器) 存在输出饱和，所以控制力不能够超出域 值范围。 值得注意的是，上述各性能要求之间又存在相互制约和相互矛盾的一面。 比如，车辆舒适性的改善将导致悬架动行程的增加，而一旦悬架的动行程超出 其范围，悬架撞击限位块就会使得乘坐的舒适性下降。反之，乘坐的舒适性又 达不到理想的效果。因此，悬架系统设计的难点在于如何协调好各个矛盾因素， 从而使车辆系统的总体性能达到最佳。当然，这也是其追求的一个目标。 另外，4 8 h z 的垂直振动和1 - 2 h z 的水平振动是人体最难以忍受的频率带。 换言之，对于车身加速度不仅仅在时域范围内要求其幅值尽可能小，而且在频 域范围内也希望其在特定频段内的幅值越小越好。 综上所述，悬架系统是具有不确定性和复杂性的系统，它要求同时兼顾到 时域和频域响应，并具有一定的鲁棒稳定性。由于悬架系统各性能之间存在矛 盾和冲突，因此，在对其进行设计的过程中，要充分考虑到各因素并协调好各 性能之间的关系，以将其综合性能发挥到最好。 1 4 主动悬架的控制技术及研究现状 自从提出主动悬架的概念以来，对于主动悬架控制方法的研究有很多，主 要集中在最优控制、自适应控制，变结构控制，模糊控制和神经网络控制，也 和4 以混合控制等3 1 。 4 武汉理工大学硕士学位论文 1 4 1 最优控制 最优控制是通过建立系统的状态方程，提出控制目标和加权系数，再应用 控制理论求解所设目标下的最优控制规律。应用于悬架控制的最优控制方法有 两种：最优预见控制、随机线性最优控右i ( l q g ) 4 1 。 最优预见控制就是提前考虑了车轮处路面激励相关性的基础上达到的最优 化控制。它通过传感器将车辆前方的路面谱特性信息提前传给控制器，从而将 参数的调节与实际的需求同步化。然而，探测距离是一定的，车速却是时刻变 化的，所以探测的时间以及数据整理方面取决于车速，于是，整个系统就具备 了时变性。从目前已有的文献来看，最优预见控制大部分仍以线性时不变系统 为研究对象，而对于车辆参数的时变性和非线性对系统性能的影响等问题却未 见有文献进行详细的阐述。 随机线性最优控相j ( l q g ) 是基于线性二次高斯控制理论。该方法要求系统的 性能指标能够表达为二次型的形式，它在可控悬架控制策略的设计中已经被广 泛地使用。此外，该方法通过建立系统的状态方程来提出控制目标和加权系数， 来求解所设计的最优控制律。目前而言，随机线性最优控制是较为成熟，而且 运用广泛的一种控制理论，“天棚阻尼控制 就是其特例之一。 基于随机线性最优控制( l q g ) 的悬架系统中，权系数的调整决定悬架的 性能倾向。例如：假设悬架系统把车轮动载荷的权数设置大大超过其它项的权 数，那么，主动悬架就会将车辆的操作稳定性作为自己的首要任务。如此，一 旦系统及指标被确定，随机线性最优控制的结果就会仅仅取决于权系数相对值。 此外，随机线性最优控制还能够有效地解决路面激励和传感器测量噪声的不确 定性。但是，基于随机线性最优控制的主动悬架系统也具有自身的不足，表现 在以下几个方面： 第一，加权矩阵的选取缺乏明确的理论作指导。由于悬架系统各性能指标 之间存在冲突，且被控输出量之间具有耦合，因此，通过调整加权系数来获得 令人满意的控制性能是比较困难的。 第二，根据随机线性最优控制理论设计出来的反馈值是以固定的路面条件 为基础求得的，而一旦路面条件发生变化，该反馈值就不再是最优解。 第三，处理一个窄频段内的减振问题是比较困难的，并且在模型摄动情况 下基本不具备鲁棒性。 5 武汉理工大学硕士学位论文 1 4 2 自适应控制 自适应控制充分考虑到车辆系统参数以及路况和环境的不确定性，以自动 检测系统参数的变化来调节控制策略，从而使系统接近最优性能。该方法的两 类控制策略主要是自校正控制和模型参考自适应控制【5 6 】。前者表现在悬架的刚 度和阻尼能根据车况以及路况等各种变化而变化，从而使整车在行驶过程中达 到最佳的综合性能。而后者是在控制器中储存几种反馈矩阵，这几种反馈矩阵 是我们离线算出几种工况下的最优反馈阵。在行驶过程中，控制器根据车辆行 驶工况决定采用哪一个反馈阵。自适应控制理论的局限性在于其是以汽车本身 的参数不变为前提。 1 4 3 模糊控制和神经网络 模糊控制对非线性系统有较好的适应性，它属于智能控制的范畴。由于具 有超调小，鲁棒性强、能够克服非线性因素等特点，因而模糊控制对复杂系统 是一种有效的控制策略【7 】。模糊控制在控制过程中饱含了诸多人的控制经验，这 与人的智能行为相类似。因此主动悬架可以根据预定的目标及模糊控制策略来 改变悬架的特性，以达到在当前工况下的最佳性能。模糊控制器是主动悬架控 制的核心，它对输入扰动、系统参数变化及结构变化有很强的适应性【8 9 】。 神经网络控制是一种非线性控制方法【l0 1 。通过建立神经网络模型，可以逼 近任意性函数，并具有自适应学习，并行分布处理和较强的鲁棒性、容错性等 特点，因此适用于汽车悬架这样复杂的非线性系统的建模和控制【1 1 , 1 2 。 1 4 4h 。控制和h 2 h 。混合控制 目前，解决鲁棒问题较为成功，也较为完善的理论体系就是也控制，它的 设计原则是在确保闭坏系统各回路稳定的前提下，对系统闭环传递函数的以范 数进行优化，即干扰对系统期望输出影响最小，从而使系统即使在外界扰动输 入、参数变化以及建模误差的情况下，也能够确保闭环系统的稳定性，而且能 实现系统的鲁棒稳定性【1 3 , 1 4 , 1 5 】。 如果将所有性能指标作为以控制性能指标进行考虑，则有可能使车身加速 度达不到理想的控制效果。皿也混合控制是将日，控制性能指标( 车身加速度) 作为控制器的性能指标，将悬架动行程和轮胎动位移一起作为以控制性能指标 进行考虑，通过线性矩阵不等式( 1 i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y ，l m i ) - f 具箱进行求解的， 但是其算法存在一定的保守性【l 引。 6 武汉理工大学硕士学位论文 国内外有很多关于这方面的研究，文献 1 7 】是以二自由度四分之一车模型为 基础，设计了玩状态反馈控制器以及玩输出反馈控制器，通过仿真和实验， 对两者进行了全面的比较，验证了玩控制器的有效性。文献 1 8 是以二自由度 四分之一车模型为例，在鲁棒控制理论的统一框架下讨论凰和以主动悬架的 设计，并分别运用权最坏r m s 增益法以及结构奇异值法对悬架系统的鲁棒性进 行分析比较。文献 1 9 】建立了四自由度汽车主动悬架系统和被动悬架系统的数学 模型，首先，设计了干扰抑制指标的以控制器并分析了系统的鲁棒稳定性；然 后，充分考虑了未建模不确定性的信息，利用综合设计了鲁棒性能控制器， 在一定程度上，克服了玑控制理论的保守性；最后，结合以控制和以控制各 自的优点，设计了玩混合最优控制器，并基于线性矩阵不等式( l m i ) 进行求 解，在这种情况下，主动悬架系统既具有良好的时域l q r 性能又有较好的鲁棒 稳定性。文献 2 0 】提出以l q g 控制器与为主动悬架的结构参数优化的目标，以 车身垂直加速度、轮胎动位移、主动控制力和悬架动位移的单目标加权函数为 优化性能指标的优化方法。与此同时，还提出了一种混合优化算法，它是以遗 传算法的群体为基础，利用梯度算法每次迭代得到的结果来改进，再将遗传算 法的最佳个体与梯度算法的迭代解相比较，选择他们中间最优的个体作为梯度 算法下一步迭代的初始点。最后，仿真结果表明运用该混合遗传算法控制的主 动悬架系统提高汽车行驶安全性和平顺性。 1 5 本文研究的主要内容 参考目前有关主动悬架的控制方面的文献，再结合主动悬架的特点，发现 目前有关主动悬架的设计还存在一些问题。 首先，只考虑了乘坐的舒适性，没有结合实际考虑悬架系统的硬约束，导 致悬架动行程超出其范围，限位块的撞击反而影响了乘坐的舒适性，或者动静 载荷比不在适当范围，大大降低了车辆的操作稳定性。因此，这样的设计并不 具有实际应用的价值。 其次，虽然有的文献提及到了系统的硬约束，但是对于约束输出控制问题 的解决办法却没有提及。而对此，有的文献即使给出了明确的解决办法，但是 其设计的控制系统却太过保守。通常，为了保证悬架系统的鲁棒稳定性我们采 用巩控制器，但是亿范数体现的干扰输入与控制输出的总能量比，而h ，范数 在时域上给出了干扰输入与控制输出峰值的关系，所以以控制器鲁棒稳定性 好，但相对保守。 7 武汉理工大学硕士学位论文 再次，有的设计了合适的控制系统，其求解过程又导致结果的保守。鼠以 混合最优控制器即能让乘坐的舒适性达到最佳的效果，也能保证系统的鲁棒稳 定性。但是，在求解致以混合最优控制器时，往往采用线性不等式的方法， 运用m a t l a b 中l m i 工具箱，但是这种算法具有保守性。 针对以上问题，本文循序渐进地引导出运用遗传算法来求解皿以混合最 优控制器的方法。首先，给出了悬架系统的控制目标，介绍了路面干扰输入的 模型并描述了1 4 车悬架系统的模型。然后，给出了以控制的l m i 方法，应用 于主动悬架玩控制的控制器的求解，并且将求解的结果进行了仿真与被动悬架 对比。接下来，设计了主动悬架以玑控制的控制器，并基于l m i 方法求解， 并且将求解的结果进行了仿真与也控制的主动悬架对比。最后，简单的介绍了 遗传算法的基本知识，并运用遗传算法对主动悬架日，玩控制的控制器进行求 解，并且将求解的结果进行了仿真与基于l m i 的主动悬架日，风混合控制对 比。 8 武汉理工大学硕士学位论文 第2 章l 的理论基础 由于后面的章节中会运用l m i 方法对控制器进行求解，所以有必要在这里 对l m i 的一些理论基础进行简单的阐述。 本章主要介绍了线性矩阵不等式( l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t i e s ，简称l m i ) 的一 些基本概念，求解线性矩阵不等式的主要算法以及应用线性矩阵不等式来解决 系统与控制问题时要用到的一些基本结论。 2 1 线性矩阵不等式的表示式 定义2 1 1 f 2 1 】一个线性矩阵不等式就是具有形式 f ( x ) = f o + 玉曩 0 ( 2 1 1 ) 的一个表达式。其中： x = ( ，) r r ”是由决策变量构成的向量，称为决策向量； 鼻= 互r r “”，汪o ，l ，l 是一组给定的实对称矩阵； f ( x ) 是“正定 的，即对所有非零的向量y r ”满足v t f ( x ) v 0 。 如果把f ( x ) 看成是尺”到实对称矩s “= m ：m = m r r “”) 的一个映射，我 们可以发现f ( x ) 只是一个仿射函数，而并不是一个线性函数。所以，更确切地 说，不等式( 2 1 1 ) 我们应该理解为一个仿射矩阵不等式。但就目前而言，以 上情况称为线性矩阵不等式已被广泛接受，这里不做过多讨论。 大多数的控制问题，未知变量常常是以矩阵的形式出现的，但都可以转化 为一般表达式。例如l y a p u n o v 矩阵不等式： f ( x ) = a 。x + x a + q 0( 2 1 2 ) 其中：么，q r “是给定的常数矩阵，且q 是对称的，x r “是对称的未 知矩阵变量，因此该矩阵不等式中的变量是一个矩阵。 设巨，巨j _ ，厶是中 的一组基，则对任意对称矩阵x r ，存在 而，嘞，使得x = 互。因此， mm材 f - l f ( 彳) = f ( t e ) = 彳7 ( 巨) + ( 气互) a + q i = 1i = lf = i = q + 五( a 7 e + 巨彳) + + ( a 7 e 0 + e o a ) 0 ，( 功一g ( 功 0 。 线性矩阵不等式( 2 1 1 ) x 的全体解构成一个凸集，下面就是次问题的引理 以及证明。 引理2 1 1 t 2 2 1 矽= 如：f ( z ) 0 ) 是一个凸集。 证明： 对任意的五，x 2 和任意的口( o ，1 ) ，由于，( 五) 0 ，f ( x 2 ) 0 以及 ，( x ) 是一个仿射函数，故 f ( a x t + ( 1 一a ) x 2 ) = 口f ( 五) + ( 1 一c t ) f ( x 2 ) 0 所以a x , + ( 1 一a ) x 2 ，即矽是凸的。从而引理2 1 1 得证。 引理2 1 1 充分说明了线性矩阵不等式( 2 1 1 ) 定义了自变量空间中的一个凸 集。因此，线性矩阵不等式是自变量的一个凸约束。我们可以利用线性矩阵不 等式的这一性质，通过解决凸优化问题的方法来求解相关的线性矩阵不等式问 题。 2 2 三个标准的l mi 问题 本节介绍三类标准的线性矩阵不等式问题。假定f 、g 和h 是对称的矩阵 值仿射函数。 1 可行性问题( l m i p ) 2 3 , 2 4 】：对于给定的线性矩阵不等式f ( x ) 0 ，检验 是否存在x ，使得f ( 石) 0 成立的问题称为一个线性矩阵不等式的可行性问题。 如果存在，那么该线性矩阵不等式问题是可行的，反之这个线性矩阵不等式就 是不可行的。 2 特征值问题( e v p ) ：在一个线性矩阵不等式约束下，求矩阵g ( x ) 的最大 特征值的最小化问题或确定问题的约束是不可行的。它的一般形式是： r r f i n 允 s d g ( x ) 0 3 广义特征值问题( g e v p ) ：在一个线性矩阵不等式约束下，求两个仿射 矩阵函数的最大广义特征值的最小化问题。 对给定的阶数相同的两个对称矩阵g 和f ，对标量五，如果存在非零向量 y ，使得g y = 兄毋，则名称为矩阵g 和f 的广义特征值。矩阵g 和f 的最大广 义特征值的求解问题可以转化成关于一个具有线性矩阵不等式约束的优化问 题。 1 0 武汉理工大学硕士学位论文 实际上，若假定矩阵，是正定的，则对于充分大的标量力，有g 一2 f 0 。 随着名的减小，在某个适当的值时，g 一2 f 将变为奇异的。因此，存在非零向 量y 使得g y = 名毋。满足以上关系的名就是矩g 和，的广义特征值。根据以上 的分析，矩阵g 和f 的最大广义特征值可以通过求解以下的优化问题得到： 咖n 力 ( 2 2 2 ) 占j g 一兄f o ，q ( x ) 一s ( x ) r ( x ) 。1s ( x ) 7 o ( 2 3 2 ) 或者 o ( x ) o ，r ( x ) - s ( x ) 2q ( x ) 。1s ( x ) 0 ( 2 3 3 ) 由s c h u r 补公式，我们可以发现二次型不等式( 2 3 2 ) 或( 2 3 3 ) 可等价地转化 为l m i ( 2 3 1 ) 。这一等价关系也充分表明式( 2 3 2 ) 和式( 2 3 3 ) 中的变量x 与( 2 3 1 ) 中的变量x 具有相同特性，即都为凸集。 武汉理工大学硕士学位论文 2 3 2 矩阵变量的消去法 一个矩阵不等式通常都包含有多个变量，若能将这样的矩阵不等式转化成 包含较少变量的等价不等式，通常会使得矩阵不等式的求解变得更容易。矩阵 变量的消去法在控制系统输出反馈控制器的设计中起着很重要的作用。 定理2 4 1 设p ，q 和日是给定的适当维数矩阵，且日是对称的，p 和q 分别是由核空间k e r ( p ) 和k e r ( q ) 的任意一组基向量作为列向量构成的矩阵，则 存在一个矩阵x ，使得 h + p r x r q + q 7 艘 0 当且仅当 n p t h n p q ，n ；h n q - - o 。这是一个比较困难的问题。 而是营存在哝o ，使得对任意的y r ”，( j ，) 一吼纯( 少) o 七= l 存在咋0 ，使得对任意的y r “， r r 鲁：至耋霎r o + + 吼a k r k j 。 存在吒o ，使得， 导t r o 垮u 陷s ：扣 l - j 。台气j 因此，条件墨表示成了一个等价的线性矩阵不等式的可行性问题，可以应 用求解线性矩阵不等式的有效方法判断这个线性矩阵不等式问题是否是可行 的。s - p r o c e d u r e 告诉我们可以通过检验上面这个线性矩阵不等式问题的可行性 来检验条件s 是否成立。 条件墨和条件墨通常情况下是不等价的，当这两个条件不等价时，我们称 这个s - p r o c e d u r e 是有损的，反之称为无损的。 2 4 系统系能的l m1 分析 考虑线性时不变的连续时间系统： g 妒) = 叙( ) + b 以) ( 2 4 1 ) l z ( t ) = c x ( t ) + d 以f ) 其中：x ( t ) r “是系统的状态，w ( t ) r 9 是外部扰动输入，z ( t ) r 7 是系统优化 目标的输出。g ( j ) 表示从w 到z 的闭环传递函数。若对于外部扰动信号w ( f ) ， 系统优化目标的输出z ( f ) 总能保持最佳数值的，我们认为这样的系统具有很好的 性能。实际上，这就是说明了外部扰动对系统的影响很小。所以，体现了系统 抑制外部扰动的能力。 2 4 1h 。性能 对于系统( 2 4 1 ) ，其传递函数是g ( s ) = c ( s l - a ) b + d 。g ( s ) 的以范数 定义为： 1 3 武汉理工大学硕士学位论文 i l g | | 。s 垤u 删p1 2 1 1 2 = _ 其中w 厶表示w 是能量有界的信号，即 f w r ( t ) w ( t ) d t o 是一个给定的实数，则 一下条件是等价的： ( i ) 系统渐进稳定，且0 g k 0 ，使得 p 尸+ p a 咫c r l b 7 p 一d ri 0 使得 p x + x a x b c t l b r z 一 2 1 d rl 0 l c d 一，j ( 2 4 4 ) 由矩阵不等式( 2 4 2 ) 可推出a r x + x a 0 ，所以系统( 2 4 1 ) 是渐进稳定的，并且v ( x ) = ，段是系统的一个l y a p u n o v 函数。 根据矩阵的s c h u r 补性质，( 2 4 4 ) 进一步等价于 铆c 叶r 冀 。 4 剐 1 4 武汉理工大学硕士学位论文 一亿4 渤一乘嘲一鼢可得 ( q ( f ) + 肌( f ) ) 7 ( 白( f ) + 肌( f ) ) + x ( f ) x ( 出( f ) + 肌( f ) ) + ( 血( f ) + 肌( f ) ) r 溉( f ) 一厂2 ( o w o ) o 将戈= 血( f ) + 肌( f ) 和z ( f ) = c x ( t ) + d w ( t ) 带入上个公式，可得 z r ( f ) z ( f ) + ，( f ) 嫩( f ) + ，( t ) x x ( t ) - y 2 w r ( t ) w ( t ) 0 ( 2 4 6 ) 由于矿( x ) = ，凰，则望笋= ，( f ) 溉( f ) + 矿( f ) 妇( f ) 。带入( 2 4 6 ) ，可得 州扑厂2 ( 懒) + 掣 。 ( 2 4 7 ) 积分( 2 4 7 ) ，有 p ( f ) z ( f ) 出7 2 w r ( t ) w ( t ) d t + v ( t ) 一矿( o ) 0 + 由w 厶 o ，0 0 】及系统的渐进稳定性，在上式两边令丁专o o ，可得 i i z | l i 0 是一个给定的买 数，则可以得出以下条件一定是等价的： ( i ) 系统渐进稳定，且i i g i i g 0 ，使得 一p+pa弘(2410a)b p i l r l 瞄翱 。 他4 m ) 证明：( 甜) ( f ) 由矩阵不等式( 2 4 1 0 a ) n - 推出a r p + p a 0 ，因此系统( 2 4 1 ) 是 渐进稳定的，且y ( x ) = ，戥是系统的一个l y a p u n o v 函数。对矩阵不等式( 2 4 1 0 a ) 一乘嘲一鼢得 x ( oe ( a 石( f ) + 肌( f ) ) + ( 血( f ) + 刀w ( f ) ) rp x ( t ) - w r ( t ) w ( t ) 0 将j = 血( f ) + 艿w ( f ) 带入上个公式，可得 ，( f ) 既( f ) + ，( t ) p x ( t ) - w r ( t ) w ( t ) o 由于y ( 工) ：，( f ) 戥( f ) ，则望笋= ，( f ) 礅( t ) + ，( f ) 取( f ) 。于是上式有： dv(o一矿(f)w(f)odt 、7、7 对上式积分，可得 ，( f ) r ( f ) f w r ( t ) w ( t ) d t + x r ( o ) a ( o ) ( 2 4 1 1 ) 根据矩阵的s c h u r 补性质，线性矩阵不等式 三球 等价于 c t c ，2 p ( 2 4 1 2 ) 1 6 武汉理工大学硕士学位论文 利用( 2 4 1 1 ) 和( 2 4 1 2 ) ，n - - j 得 z , r ( f