（基础数学专业论文）复格拉斯曼流形的自映射.pdf

摘要 摘要 在【1 】中，h o f f m a n 给出了复格拉斯曼流形g 的上同凋环的自同构的分类。本 文指出有些自同构可以由g 的自映射诱导，而有些则不能。 关键词复格拉斯曼，上同调坏，自映射 a b s t r a c t a b s t r a c t i n 【l 】，h o f f m a nc l a s s i f i e de n d o m o r p h i s m so ft h ec o h o m o l o g yr i n go fc o m p l e x g r a s s m a n nm a n i f o l dg w es h o ws o m ee n d o m o r p h i s m sc a nb ei n d u c e db yt h es e l f m a po fg w h i l es o m eo t h e rc a n n o t k e yw o r d se n d o m o r p h i s m s ，s e l fm a p ，g r a s s m a n n i a n s 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：料、垤名l 吃秀手争月2 多日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 解密时间：年 月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： r i 一j 内部5 年( 最长5 年，可少于5 年) 秘密l o 年( 最长1 0 年，可少于1 0 年) 机密2 0 年( 最长2 0 年，可少于2 0 年)| k。一。0 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行研究工作 所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含 任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的作品的内容。对本论文所涉 及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本学 位论文原创性声明的法律责任由本人承担。 学位论文作者签名：a 爿、哩钽 汐勺年e 月z 多日 第一章i n t r o d u c t i o n 第一章i n t r o d u c t i o n f o rat o p o l o g ys p a c ex ，t h es e l fm a pfo fxi n d u c e sa l le n d o r m o r p h i s mo f h + ( x ) ，t h ei n t e g r a lc o h o m o l o g yr i n go fx ，a n dh o m o t o p ye q u i v a l e n ts e l f - m a p s i n d u c e t h es a m ee n d o r m o r p h i s m s ot h ec l a s s i f i c a t i o no fe n d o r m o r p h i s mo fh ( x ) i st h ef i r s t s t e pt o w a r dah o m o t o p yc l a s s i f i c a t i o no fs e l f m a p so fx t h i sp r o b l e mh a s b e e ns t u d i e df o rm a n ys p e c i f i cx ，e gc o m p l e xg r a s s m a n n i a n si n 【1 】，s o m ec o m p a c tl i eg r o u p s m o d u l ei t sm a x i m a lt o r u si n 【2 】【3 】，a n dt h eg r a s s m a n n i a n so fc o m p l e xs t r u c t u r e si n 【4 】 b u te v e nw eg e tat o t a lc l a s s i f i c a t i o no fe n d o r m o r p h i s mo fh ( x ) ，t h eh o m o t o p y c l a s s i f i c a t i o no fs e l f - m a p so fxm a yb ef a ra w a yf r o mr e s o l v e d f o re x a m p l e ，c o n s i d e rt h eq u a t e r n i o n i cp r o j e c t i v es p a c eh p “，w ed e n o t eb ya ag e n e r a t o ro fh 4 ( r i p n ) a n ye n d o r m o r p h i s ms e n t sq t o ”q am u l t i p l eo fi t s e l f , a n df o ra n yi n t e g e r 仃l ，s u c h e n d o r m o r p h i s me x i g t sa n di su n i q u e w es a ys u c he n d o r m o r p h i s mi so fd e g r e e ，n d e f i n i t i o n1 0 1a ni n t e g e rhw i l lb ec a l l e dn r e a l i z a b l ei f t h e r ei sas e l f m a po fhp n w i t hd e g r e ehi n 4 ( p ) u s i n gc o m p l e xa n dq u a t e r n i o n i ck t h e o r y ，f e d e ra n dg i t l e ri n 【5 】s h o w e dt h a ta n n - r e a l i z a b l ei n t e g e rm u s ts a t i s f yt h ef o l l o w i n gi n t e g r a l i t yc o n d i t i o n s ： t h e o r e m1 0 2f o rk21 ，l e tqd e n o t et h ec o n g r u e n c e 七一1 n ( z i 2 ) 三0 i = 0 a n dd e f i n et h es e l so fi n t e g e r s i f 足i so d d i f 七i se v e n f g n = 七z i ki sac o i l t l l t o l ts u l o t i o uo fc t q ，g ) ( 1 2 ) t f hi s ，2 一r e a l i z a b l e ，t h e nhb e l o n g st of g n e x a m p l e1 0 3w h e n 咒一2t h ed e g r e e so f s e l f - m a p so l i p 2m u s ts a t i s f y m ( m 一1 ) 三0 r o o d ( 2 4 ) 2 ：、l，、l， 七 七 2 2 ，i，l，jil 第一章i n t r o d u c t i o n f e d e ra n dg i t l e rc o n j e c t u r e di n 【5 】t h a tt h e s ec o n d i t i o n sa r ea l s os u f f i c i e n t ( i e ， t h a ta n yc o m m o ns o l u t i o nt oc 1 ，q ，gi sn - r e a l i z a b l e ) t od a t et h i sc o n j e c t u r e h a sb e e nv e r i f i e do n l yi nt h es i xc a s e s ；n = l ，2 ，3 ，4 ，5a n d 【6 8 】t h el a s tc a s e i se s p e c i a l l yi n t e r e s t i n g i tw a ss h o w ni n 【5 】5t h a ti fhi sas o l u t i o nt ogf o ra l lk ， t h e nhe q u a l sz e r oo ra no d ds q u a r e s u l l i v a nh a ds h o w np r e v i o u s l yt h e s ei n t e g e r sa r e 。r e a l i z a b l e o nt h eo t h e rh a n d 。w ed o n ! tk n o wi ft w o s e l f - m a p so fh po ft h es a m ed e g r e ea r e h o m o t o p ye q u i v a l e n t t h ea n s w e ri sn e g a t i v ei nt h ec a s eo fd e g r e ez e r o 【9 】a n dp o s i t i v e i nt h ec a s en = o 。【1 0 s ot h i sp r o b l e mi sm u c hm o r ec o m p l i c a t e da n dd i f f i c u l tt h a nt h ec o m p l e xp r o j e t t i v es p a c e se v e nt h e yh a v ea n a l o g o u sc o h o m o l o g yr i n g s i nt h i sp a p e rw ef o c u so nt h es e l f - m a p so fc o m p l e xg r a s s m a n n i a n sg i nt h i sc a s e ， t h ee n d o r m o r p h i s m so fc o h o m o l o g yr i n go fgw h i c ha r en o n z e r oo nd i m e n s i o n2h a v e b e e nc l a s s i f i e db yh o f f m a ni n 【l 】l e tg k nd e n o t et h ec o m p l e xg r a s s m a n nm a n i f o l do f k d i m e n s i o n a ls u b s p a c e so fc 七t h e ng k ni sak n d i m e n s i o n a lc o m p l e xm a n i f o l d t h ef o l l o w i n gt h e o r e mg i v eac h a r a c t e r i z a t i o no fh 4 ( c k ，n ；q ) t h e o r e m1 0 4l e t7b et h ec a n o n i c a lk - p l a n eb u n d l eo v e rg k n t h e ni f c = 1 + c l + + c 七i st h et o t a lc h e r nc l a s so f 7 ， 日+ ( c k ，竹；q ) = q 【c f 一，c k l k ( 1 4 ) w h e r e 氕，ni st h ei d e a lg e n e r a t e db y ( c - 1 ) n 托l i k ( h e r e ( c - 1 ) 口，i st h ep a r to f t h e f o r m a li n v e r s eo f ti nd i m e n s i o n2 q ) r e m a r k1 0 5t h i sc h a r a c t e r i z a t i o no j ，r ( g k ，n ；q ) c a nb ed e d u c e d f r o mt h e j b l l o w i n gf i b r a t i o nv i as e r r es p e c t r a ls e q u e n c e g 七，n _ b u ( k ) b u ( n ) 一b u ( n + k ) f 1 5 ) s ot h ec o h o m o l o g yr i n gi i + ( g k ，n ：q ) i sg e n e r a t e db ye l e m e n t sc l ，c 2 ，c k s i n c e c li st h eo n l yg e n e r a t o ri nd i m e n s i o n2 ，a n ye n d o m o r p h i s mo fh + ( g k ，n ；q ) s e n d sc t o l l l c l ，am u l t i p l eo fi t s e l f a sa b o v e ，w es a ys u c he n d o r m o r p h i s mi so fd e g r e em i fa s e l fm a po fg k ，ni n d u c e sae n d o r m o r p h i s mo fd e g r e e em ，w es a yt h a tmi sr e a l i z a b l eb y 2 第一章i n t r o d u c t i o n g 七m i n 【1 】h o f f m a ng a v eap a r t i a lc l a s s i f i c a t i o no fe n d o m o r p h i s m so ft h ec o h o m o l o g y r i n g ，r ( o k ，n ；q ) a sf o l l o w t h e o r e m1 0 6l e thb ea ne n d o m o r p h i s m h + ( g k ，n ；q ) w i t h ， ( c f ) = 7 d , c i ，小0 t h e ni f k r ，pi sn o tr e a l i z a b l eb yg t l m w h e nn = 2 w e g e tas t r o n g e rr e s u l t t h e o r e m1 0 1 0 fp 2d o e sn o lb e l o n gl of g n ，t h e npi sn o lr e a l i z a b l eb yg 2 m ，f o r m 2 n w ep r o v et h e o r e m1 0 8i nc h a p t e r2 i nc h a p t e r3 ，w ep r o v et h e o r e m1 0 10 a n dg e n e r a l i z ei tt ot h e o r e m1 0 9i nc h a p t e r4 3 第：章c o n s t r u c t i o no fn o n t r i v i a ls e l f - m a p so fg k ，n _ - - _ _ _ - - _ _ 一_ _ _ _ _ 一 第二章c o n s t r u c t i o no fn o n t r i v i a ls e l f - m a p so fg k ，n t h i ss e c t i o ni sd e v o t e dt ot h ec o n s t r u c t i o no fs e l f - m a po fg k ，no fd e g r e ep ，w h e r e pi sap r i m ea n dp n + k f i r s t l yw eg i v es o m ed e f i n i t i o na n d n o t a t i o n d e f i n i t i o n2 0 1 1l e tgb ea n yc o m p a c tc o n n e c t e dl i eg r o u p , w ed e n o t eb yb gt h e c l a s s i f y i n gs p a c eo fg as e l f - m a pf ：b g _ b g i sc a l l e da nu n s t a b l ea d a m so p e r a t i o no f d e g r e ek 矿俨( ，；q ) 话m u l t i p l i c a t i o nb yk if o re a c hi 0 r e m a r k2 0 1 2t h i sd e f i n i t i o ni sm o t i v a t e db yt h ea d a m so p e r a t i o n so fd e g r e ek 跏 t h e s ea r er i n gh o m o m o r p h i s m s 移七：k ( x ) 一k ( x ) ，d e f i n e d f o ， a n ys p a c ex w h i c hs e n da n yl i n eb u n d l et oi t sk 琅t e n s o rp o w e r w ew i l lr e t u r nt o a d a m so p e r a t i o n s 切c o m p l e xk - t h e o r y 讥t h en e x ts e c t i o n u n s t a b l ea d a m so p e r a t i o n sw e r ef i r s tc o n s t r u c t e db ys u l l i v a n 【8 】( f o rg =u ( n ) o rs v ( n ) ，a n da n ykp r i m et o 佗! ) w i t ht h eh e l po fe t a l eh o m o t o p yt h e o r y h i sr e s u l t s w e r ee x t e n d e db yw i l k e r s o n 【12 1 ，w h of o u n ds u c hm a p sf o ra n yc o m p a c tc o n n e c t e d s i m p l el i eg r o u pa n da n yi n t e g e rkp r i m e t ot h eo r d e ro fi t sw e y lg r o u p i n 【13 】j a c k o w s k i ，m c c l u r e ，o l i v e rg o tt h ef o l l o w i n g i m p o r t a n tr e s u l t t h e o r e m2 0 1 3l e tgb ea n yc o m p a c tc o n n e c t e dl i eg r o u p t h e nf o re a c hk t h e r ei s u pt oh o m o t o p ya tm o s to n eu n s t a b l ea d a m so p e r a t i o nf ：b g b go f d e g r e ek i nt h ef i n a ls e c t i o n ，w en e e dar e s u l to fl s h i g u r o 【1 4 】a b o u tu n s t a b l ea d a m so p e 卜 a t i o n s b e c a u s ew eo n l yu s ei ti nt h ec a s eg = u ( n ) ，w es t a t ei ta sf o l l o w t h e o r e m2 0 1 4t h e r ee x i s tas e l f - m a po fb u ( n ) t h a ti n d u c em u l t i p l i c a t i o no fk 。o n h 2 ( b c ，( ”) ；z ) i f a n do n l yi f ki s p r i m et on ! n o ww eb e g i nc o n s t r u c t i o nt h eu n s t a b l ea d a m so p e r a t i o nb e t w e e nb v ( 7 ) ，f o l l o w i n g s u l l i v a n 【8 】f i r s tw eg i v et h ed e f i n i t i o no fr a t i o n a l i z a t i o ni nh o m o t o p yt h e o r y ，w er e s t r i c tt o ”t h es i m p l es p a c e ”，ac o n n e c t e ds p a c eh a v i n gt h eh o m o t o p yt y p eo fac w c o m p l e xa n da na b e l i a nf u n d a m e n t a lg r o u pw h i c ha c t st r i v i a l l yo nt h eh o m o t o p ya n d h o m o l o g yo f t h eu n i v e r s a lc o v e r i n g 4 第一二章c o n s t r u c t i o no fn o n t r i v i a ls e l f - m a p so fg 女n d e f i n i t i o n2 0 1 5w es a yt h a tx oi sar a t i o n a ls p a c ei f f7 r 。x oi saqm o d u l e w es a y t h a tam a po f s o m es p a c exi n t oar a t i o n a ls p a c ex oi sar a t i o n a l i z a t i o ni f i ti su n i v e r s a l f o rm a p so f xi n t or a t i o n a ls p a c e s , i 。e 。g i v e n f t h e r et sau n i q u ef om a k i n gt h ed i a g r a m r a t i o n a l s p a c e t h er a t i o n a l i z a t i o no fas i m p l es p a c ei sc o n s t r u c t e db ys u l l i v a nv i ap o s t n i k o vs y s t e m a n di su n i q u eu pt oh o m o t o p ye q u i v a l e n c e s e e 【8 】，c h 2 e x a m p l e2 0 1 6 砌t h ec a s ex = b u ( 礼) ，w eh a v e n ( b u ( 几) ) 。竺i ik ( q ，2 i ) i = 1 l n 如c tt h er a t i o n a lc h e r nc l a s s e s c f h 2 ( b u ( n ) ：q ) 1 i n i n d u c eai s o m o r p h i s m t os e et h i sr e c a l l h + ( 召( n ) ，q ) 竺q c l ， h + ( t c ( q ；2 i ) ，q ) 竺q 【c t 】 ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) w en e x tg i v et h ed e f i n i t i o no fc o m p l e t i o n si nh o m o t o p yt h e o r y , w h i c hi sm o r ec o m p l i c a t e dt h a nr a t i o n a l i z a t i o n ，f o rs i m p l i c i t yw er e s t r i c t e dt os i m p l es p a c eh a v i n gf i n i t e l y g e n e r a t e dh o m o t o p yg r o u p s d e f i n i t i o n2 0 1 7 3 。x 括s h n p l yc o n n e c t e da n di t sh o m o t o p yg r o u p sa r e f i n i t e l yg e n e r - a t e d , t h e na ( p r o f i n i t e jc o m p l e t i o no f xi sam a p x _ x ( 2 5 ) c h a r a c t e r i z e db yt h a ta n ym a p ( 蟮xi n t oas p a c ew i t hp r o f i n i t eh o m o t o p yg r o u p se x t e n d s u n i q u e l yt ox a n dt h ef a c tt h eh o m o t o p y g r o u p so fx a r ep r o f i n i t e 5 面a n yc 。仰e c t e dc wc 。m p l e xx ，s u l l i v a nc o n s t r u c t e d t h ec o m p l e t i 。n 。fxb y a b s t r a c tm e t h o do fc a t e g o r ya n df u n c t o r f o rt h ed e t a i l ss e e 【8 】，c h 3 i nf a c tf o ra n ys e to fp r i m e sew e c a nc o n t r u c ta ec o m p l e t i o no fx ，d e n o t e d b y 兄， a n dam a p x _ x t ( 2 6 ) w h i c hw h e nr e s 疵t e dt ot h es i m p l yc o n n e c t e dc a s ei sc h a r a c t e r i z e db y t h es a m ec o n 。 d i t i o ne x c e p tr e p l a c i n gp r o f i n i t eg r o u p sb yl - p r o f i n i t eg r o u p s ai n t e r e s t m gp o i n ti nt h es i m p l yc o n n e c t e d c a s ei sac a l l o n i c a ls p l i t t i n go fx t f 0 r ag r o u pgw ed e n o t eb y ( g ) 全t h ee - c o m p l e t i o no f g t h e o r e m2 0 1 8 驴( 7 r 1x ) 2 = 0 ，t h e r e 如口n a t u r a ls p l i t t i n g 览型n 墨 尥型i i 叉p p t 拥t h es e n s eo f h o m o t o p yf u n c t o r s f u r t h e r m o r ea n ym 印 f a c t o r s ，：兄_ k ，= 口 p ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) f o rp r o o fs e e 【8 】，c h 3 ，p r o p o s i t i o n3 16 n o ww ec a nc o n s t r u c tt h ea r i t h m e t i cs q u a r ei nh o m o t o p yt h e o r y c o n s i d e r as i m 。 p l yc o n n e c t e dc w c o m p l e xx ，f i r s t l yw ec o m p l e t ex f ：x x n e x tw eg e tt h er a t i o n a l i z a t i o no fxb y g ：x _ x o f 2 1 0 ) ( 2 11 ) a c c o r d i n gt ot h ea b o v e d e f i n i t i o no fr a t i o n a l i z a t i o ng ，f a c t o r st h r o u g ht h er a t i o - n a l i z a t i o no fx h ：x _ x o 6 ( 2 1 2 ) 第二章c o n s t r u c t i o no fn o n t r i v i a ls e l f - m a p so fg k n s ow eh a v et h ef o l l o w i n gc o m m u t a t i v ed i a g r a m ，c a l l e dt h ea r i t h m e t i cs q u a r ei nh o m o t o p yt h e o r y x 上文 jg i x o 一文o i ti st h eh o m o t o p ya n a l o g u eo ft h ea r i t h m e t i cs q u a r e s ， t h e o r e m2 0 1 9t h ea r i t h m e t i cs q u a r ei nh o m o t o p yt h e o r yi saf i b r es q u a r e f o rt h ep r o o fs e e 【8 】，c h 3 ，p r o p o s i t i o n3 2 0 s oam a pf r o mxt oyi se q u i v a l e n tt oam a po f t h e d i a g r a m t od i a g r a m x i x o 一文q y l 一露 w ek n o wt h a tt h er a t i o n a l i z a t i o no fb u ( r l ) i sp r o d u c to fe i l e n b e r gm a c l a n es p a c e s 1 - ir c ( q ：2 i ) ( 2 1 3 ) i = l s of r o mt h ea b o v ed i s c u s s i o nw es e et h a tc o n s t r u c t i o no fa nu n s t a b l ea d a m s o p e r a t i o n 移pb e t w e e n w ( n ) ，w h e r epi sap r i m ea n dp n i se q u i v a l e n tt ot h ec o n s t r u c t i o n 7 = z 露l 婚 p r 嘶 蚀 一 一 z i q 。fs e l fm a p s ，q 。fb u ( n ) qf o ra l lp r i m eqs u c ht h a t 凡i n d u c e sm u l t i p l i c a i 。n 。f 矿。n h 2 ( 面诵q ) w e d i v i d et h ec 。n s t r u c t i o ni n t ot w 。s t e p s t e pl ，c o n s t r u c t i o n so f 厶f o r 口2 p c o n s i d e rt h ed i a g r a mo fc l a s s i f y i n gs p a c e s 卅爆一弋一w b u ( n ) t h eh o r i z o n t a lf i b r a t i o ns h o w s h * ( b n ；z p ) 竺i n 聊i n n tc o h o m o l o g y 。，b s l 1 l l u sji s 距i s o m o r p h i s mo fc o h 。m 。1 。g ym o dp s i n c e7 h b n = s 住，t l l ep e 咖u 砒i o n g r 。u p 。fne l e m e n t s ，j b e c 。m e s a ni s o m 。r p h i s mu p o np c 。m p l e t i o n ( t h i sf o l l o w sf r o m a n o t h e rd e f i n i t i o no fc o m p l e t i o nf r o m 【15 】) ， j - p a ：( b ( ) ) 今，( b u ) 岔 n o wnh a san a t u r a le n d o r m o r p h i s mi n d u c e db yr a i s i n gt ot h ek 犰p o w e ro n t h e t o n l s t h u s ( b u ) 岔h a ss e l fm a p s 妒南f o ra l lk t h i sg i v e 矽七f o r a l lko n ( b v ( n ) ) 岔，1 n p a r t i c u l a rw e h a v ec o n s t r u c t e djp s t e p2 。c o n s t r u c t i o n so f q f o rt l j 1 1 i nt h i sc a s et h ec o n s t r u c t i o ni sm u c hm o r ec o m p l i c a t e d w eh a v et oa p p e a lt o t h e t h e o r yo fe t a l eh o m o t o p y i nf a c tw eh a v eo m i t t e dm a n yp r o o f sa n dd e f i n i t i o n s ，f o r t h e d e t a i ls e e 【16 1 f o rxai n t e g r a l c a r i e t yo v e rc c o n s i d e r t h es m a l le t a l es i t ec x ，i t so b j e c ti 8 a e t a l em o r p h i s m 圪一x ，a n dt h em o r p h i s m sa r et h ec o m m u t a t i v ed i a g r a m s 8 第二章c o n s t r u c t i o no fn o n t r i v i a ls e l f - m a p so fg k r i s ow ec a na l s oc o n s i d e rt h ec a t e g o r yo fs i m p l i c i a lo b j e c t sw i t hv a l u ei nc x ， d e n o t e ds t ( x ) ，a n dt h ec a t e g o r yo fs i m p l i c i a lo b j e c t st r u n c a t e da tl e v e lk ，w i t hv a l u e i nc x ，d e n o t e ds t 尼( x ) t h ef u n c t o rw h i c ht r u n c a t e sa tl e v e lk ， , k ：s t ( x ) _ s t k ( x ) ( 2 1 4 ) h a v ear i g h ta d j o i n tf u n c t o r , d e n o t e dc 0 8 w ea l s oc o n s i d e rt h ec o m p o s i t i o n s ，w h i c h w ea l ld e n o t eb yc o s k c o s k k ：s t ( x ) _ x t k ( x ) _ s t ( x ) w en o t et h a tt h ea d j o i n t n e s sp r o p e r t i e sg i v eu sf u n c t o r i a lm o r p h i s m s x _ c o s k k ( x ) ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) n o ww ec a ni n t r o d u c et h ec o n c e p to fh y p e r c o v e r i n gw h i c hi sn e c e s s a r yf o rt h e c o n s t r u c t i o no fe t a l eh o m o t o p yt y p eo fx d e f i n i t i o n2 0 2 0ah y p e r c o v e r i n gy 括as i m p l i c i a lo b j e c tw i t hv a l u e si nc xs a t i s l y i n gt h e f o l l o w i n gc o n d i t i o n s f o 厂a l ln ? , q l t l l j ot h em a py o _ x i sac o v e r i n g s u r j nt h ec a n o n i c a lm o r p h i s m i sac o v e r i n g k + 1 _ ( c o s k 。y ) ，l + 1( 2 1 7 ) e x a m p l e 2 0 。2 1f o ra n ye t a l ec o v e r i n gu _ x w ec a l la s s o c i a t eah y p e r c o v ，e r i n gy 。xs u c ht h a t i nf a c ty i s j u s tc o s k o u 9 ( 2 1 8 ) 第二章c o n s t r u c t i o no fn o n t r i v i a ls e l l - m a p so fg k n s ow es e et h a th y p e r c o v e r i n gi san a t u r a lg e n e r a l i z a t i o no fc o v e r i n gm a p l e th r ( x ) d e n o t et h ec a t e g o r