（基础数学专业论文）广义射影的道路连通性与正交射影线性组合的drazin可逆性.pdf

广义射影的道路连通性 与正交射影的线性组合的d r a z i n 可逆性 王文锋 摘要：设钾是复可分的希尔伯特空间，日( 咒) 表示h 上的所有有界线性算 子构成的b a n a c h 空间如果p 召( 爿) 满足条件p = p 2 = p ，我们称p 为咒 上的一个正交射影；如果p 8 ( h ) 仅满足条件p 2 = p ，我们称p 为爿上的 一个幂等算子；如果存在大于和等于2 的正整数k ，使得p 召( m ) 仅满足条件 p t = 尸，我们称p 为爿上的一个七次幂等算子；如果p 8 ) 仅满足条件 p 2 = p ，我们称p 为咒上的一个广义射影；如果存在大于和等于2 的正整数k ， 使得p b ( n ) 仅满足条件p = p + ，我们称尸为咒上的一个k 次广义射影 幂等算子相关问题的研究结果一般都可以推广到k 次幂等算子，广义射影相关问 题的研究结果一般都可以推广到k 次广义射影本文主要研究了两个方面的问 题，两个正交射影线性组合的d r a i n 逆，广义射影和k 次广义射影的道路连通性 正交射影与幂等算子的研究由来已久( 参见文献【1 1 6 】) ，杜鸿科和邓春源得 出了两个正交射影线性组合的逆与系数选取无关的重要结论( 参见文献f 1 3 】) ， 两个正交射影的积与差的的d r a i n 逆和广义逆也有了比较彻底的结论( 参见文献 【1 4 - 1 6 ) 在本文中，我们将研究两个正交射影线性组合的d r a z i n 逆和广义逆， 证明了这两种逆存在的等价性近十年来，广义射影的相关问题吸引了一大批学 者，如杜鸿科，李愿，刘晓冀，j g r o f l ，g t r e n k l e r ，0 m b a k s a l a r y , j k b a k s a l a r y , g w s t e w a r t ，j b e m t e z ，l l e b t a h i ，n t h o m e 等，他们广义射影 的相关问题进行了深入的研究( 参见文献【1 7 - 2 6 ) 广义射影的概念是杜鸿科教 授和李愿老师在文献【2 1 1 中首次提出的1 9 9 7 年j g r o b 和g t r e n k l e r 合作发 表了g e n e r a l i z e da n dh y p e r g e n e r a l i z e dp r o j e c t o r s 一文( 参见文献 2 2 】) 文中作者 在有限维的希尔伯特空间上引入了广义投子和超广义投子的概念杜鸿科教授和 李愿老师在文献 2 1 】中把广义投子的概念推广到了无限维的希尔伯特空间上，从 而引入了广义射影的概念文献 2 1 】的一个重要价值在于它给出了广义射影的谱 刻画这是研究广义投子与广义射影的一个很有力的工具在前人对于广义射影 的研究中，广义射影的道路连通问题一直未被涉猎在本文中，我们将利用广义 射影的谱刻画，彻底解决广义射影的道路连通问题 本文共分为三章，主要内容如下， 第一章主要介绍关于正交射影和广义射影的预备知识本章分为两节，第一 节介绍前人关于正交射影的研究成果；第二节介绍广义射影的概念，刻画( 包括 j g r o t ，g t r e n k l e r 的原始刻画，j k b a k s a l a r y ，刘晓冀的替换刻画与杜鸿 科教授和李愿老师的谱刻画) 和前人的研究成果( 包括前人对于有限维的希尔伯 特空间上广义投子的线性组合保持问题的研究结果) 第二章在研究和解决了两个正交射影的线性组合的d r a z i n 可逆性问题本 章分为两节，第一节简单回顾了前人关于两个正交射影的积与差的d r a z i n 可逆 性和m o o r e - p e n r o s e 可逆性的研究成果第二节给出了当系数之和非零时，两个 正交射影的线性组合的d r a z i n 可逆性与系数的关系 第三章主要介绍和探讨了广义射影的道路连通问题本章分为三节，第一节 利用广义射影的谱刻画，彻底的解决了广义射影的线段存在问题和道路连通问 题第二节把道路连通问题推广到k 次广义射影，着重解释了k 次广义射影的线 段存在问题和道路连通问题与广义射影的研究中所得到的结论细节上的区别第 三节探讨了广义射影相关的一些遗留的研究问题 关键词：算子矩阵广义射影道路连通正交射影 i i p a t hc o n n e c t i v i t yo fg e n e r a l i z e dp r o j e c t i o n s a n dd r a z i ni n v e r t i b i l i t yo ft h el i n e a rc o m b i n a t i o n so f o r t h o g o n a lp r o j e c t i o n s w a n gw e n - f e n g a b s t r a c t ：l e t “b eac o m p l e xa n ds e p a r a b l eh i l b e r ts p a c e ，8 ( 咒) d e n o t et h e s e to fa l lb o u n d e dl i n e a ro p e r a t o r so nh i fp b ( 咒) s a t i s f i e sp 2 = p = 尸+ ，w e c a l lpa l lo r t h o g o n a lp r o j e c t i o no n 咒；i fp 8 ( h ) o n l ys a t i s f i e sp 2 = p ，w ec a l l pa ni d e m p o t e n to p e r a t o ro i l “；i fp 日( 何) o n l ys a t i s f i e s 尸2 = p ，w ec a l lp i sag e n e r a l i z e dp r o j e c t i o no n7 - ；i ft h e r ee x i s t sa p o s i t i v ei n t e g e rk 2s u c ht h a t p 召( 咒) s a t i s f i e sp 2 = p ，w e c a l lpi sa k - i d e m p o t e n to p e r a t o ro n 爿i ft h e r e e x i s t sa p o s i t i v ei n t e g e rk 2s u c ht h a tp 8 ( 咒) s a t i s f i e sp 2 = p + ，w ec a l lp i sa k - g e n e r a l i z e dp r o j e c t i o no n 咒7 r h er e s u l t so b t a i n e df r o mt h er e s e a r c ho np r o b l e m s a b o u ti d e m p o t e n to p e r a t o r sa l w a y ss t i l lh o l df o rk - i d e m p o t e n to p e r a t o r s t h e 盼 s u l t so b t a i n e df r o mt h er e s e a r c ho np r o b l e m sa b o u tg e n e r a l i z e dp r o j e c t i o n sa l w a y s s t i l lh o l df o rk - g e n e r a l i z e dp r o j e c t i o n s w ew i l lm a i n l ys t u d yt w oa s p e c t so fp r o b - l e m si nt h i sp a p e r ：t h ed r a z i ni n v e r t i b i l i t yo ft h el i n e a rc o m b i n a t i o n so fo r t h o g o n a l p r o j e c t i o n s ，p a t hc o n n e c t i v i t yo fg e n e r a l i z e dp r o j e c t i o n sa n dk - g e n e r a l i z e dp r o j c a - t i o n s t h er e s e a r c ho no r t h o g o n a lp r o j e c t i o n sa n di d e m p o t e n to p e r a t o r sh a v eb e g u n a l o n gt i m ea g o ( s e e 【1 - 1 6 】) h o n g - k ed ua n dc h u n - y u a nd e n go b t a i n e da ni m p o r - r a n tc o n c l u s i o nt h a tt h ei n v e r t i b i l i t yo ft h el i n e a rc o m b i n a t i o n si 8i n d e p e n d e n to ft h e c o e f f i c i e n t s ( s e e 【1 3 】) ，s o m ef a i r l yc o m p l e t et h e r o e m sa b o u tt h ed r a z i ni n v e r s ea n d m o o r e - p e n r o s ei n v e r s eo ft h ep r o d u c t sa n dd i f f e r e n c eo fo r t h o g o n a lp r o j e c t i o n sw e r e e s t a b l i s h e d ( s e e 1 4 - 1 6 ) i nt h i sp a p e r ，w ew i l ls t u d yt h ed r a z i ni n v e r s ea n dm o o r e - p e n r o s ei n v e r s eo ft h el i n e a rc o m b i n a t i o n so fo r t h o g o n a lp r o j e c t i o n sa n ds h o wt h e e q u i v a l e n c eb e t w e e nt h ee x i s t e n c eo ft h ed r a z i ni n v e r s ea n dm o o r e - p e n r o s ei n v e r s e o f t h el i n e a rc o m b i n a t i o n so f o r t h o g o n a lp r o j e c t i o n s i nr e c e n tt e ny e a r s ，t h er e s e a r c h p r o b l e m so ng e n e r a l i z e dp r o j e c t i o n sh a v eo b s o r b e dm a n ys c h o l a r s ，s u c ha sh k d u ， y l i ，x j l i n ，j g r o f l ，g 田r e n k l e r ，o m b a k s a l 哪j k b a k s a l 吼g w ， s t e w a r t ，j b e n i t e z ，l l e b t a h i ，n t h o m ea n d s oo n t h e yh a v eaf u r t h e rr e s e a r c h o np r o b l e m sa b o u tg e n e r a l i z e dp r o j e c t i o n s ( s e e1 1 7 - 2 6 d t h ec o n c e p to fg e n e r a l i z e d i i i p r o j e c t i o n sw a si n t r o d u c e db yh k d ua n dy l ii n 【2 1 i n1 9 9 7j g r o ba n d g t r e n k l e rp u b l i s h e da na d j o i n tw o r k ，g e n e r a l i z e da n dh y p e r g e n e r a l i z e dp r o j e c - t o r s ( s e e 2 2 1 ) t h ea u t h o r si n t r o d u c e dg e n e r a l i z e da n dh y p e r g e n e r a l i z e dp r o j e c t o r s o nf i n i t ed i m e n s i o n a lh i l b e r ts p a c e s h k d ua n dy l ie x t e n d e dt h ec o n c e p to f g e n e r a l i z e dp r o j e c t o r st oi n f i n i t ed i m e n s i o n a lh i l b e r ts p a c e si n 2 1 】a n dh e n c ei n - t r o d u c e dt h ec o n c e p to fg e n e r a l i z e dp r o j e c t i o n s a ni m p o r t a n tr e s u l ti n 2 1 】i st h e s p e c t r a lc h a r a c t e r i z a t i o no fg e n e r a l i z e dp r o j e c t i o n s i nt h ep u b l i s h e dp a p e r s ，t h e r e s e a r c ho np a t hc o n n e c t i v i t yo fg e n e r a l i z e dp r o j e c t i o n sn e v e rw a si n v e s t i g a t e d i n t h i sp a p e r ，b yt h es p e c t r a lc h a r a c t e r i z a t i o no fg e n e r a f i z e dp r o j e c t i o n s ，w ee s t a b l i s h a c o m p l e t es o l u t i o nf o rt h ep r o b l e mo np a t hc o n n e c t i v i t yo fg e n e r a l i z e dp r o j e c t i o n s t h e r ea r et h r e ec h a p t e r si nt h i sa r t i c l e ，a n dt h em a i nc o n t e n ta sf o l l o w s ： i nt h ef i r s tc h a p e r ，w em a i n l yi n t r o d u c et h ep r e l i m i n a r i e so fo r t h o g o n a lp r o - j e c t i o n sa n dg e n e r a l i z e dp r o j e c t i o n s t h i sc h a p t e rc o n s i s t so ft w os e c t i o n s i nt h e f i r s ts e c t i o n ，p u b l i s h e dr e s u l t so no r h t g o n a lp r o j e c t i o n sa r ei n t r o d u c e d i nt h e8 e c - o n ds e c t i o n ，t h ec o n c e p to fg e n e r a l i z e dp r o j e c t i o n s ，c h a r a c t e r i z a t i o n so fg e n e r a l i z e d p r o j e c t i o n s ( i n c l u d i n gt h eo r i g i n a lc h a r a c t e r i z a t i o n sb yj g r o ba n dg t r e n k l e r ，t h e a l t e r n a t i v ec h a r a c t e r i z a t i o n sb yj k b a k s a l a r ya n dx j l i n ，t h es p e c t r a lc h a r a c - t e r i z a t i o n sb yh k d ua n dy l i ) a n dp u b l i s h e dr e s u l t so ng e n e r a l i z e dp r o j e c t i o n s a r ei n t r o d u c e d i nt h es e c o n dc h a p t e r ，a f t e rs t u d yt h ee x p l i c i tb l o c km a t r i xr e p r e s e n t a t i o nf o r o r t h o g o n a lp r o j e c t i o n s ，w ee s t a b l i s ha r e l a t i o nb e t w e e nt h ed r a z i ni n v e r t i b i l i t ya n d m o o r e * p e n r o s ei n v e r t i b i l i t yo ft h ef i n e a rc o m b i n a t i o n so fo r t h o g o n a lp r o j e c t i o n sa n d t h ec o e f f i c i e n t s t l l i sc h a p t e rc o n s i s t so ft w os e c t i o n s i nt h ef i r s ts e c t i o n w es i m p l y s t a t et h ep u b l i s h e dr e s u l t so nt h ed r a z i ni n v e r s ea n dm o o r e - p e n r o s ei n v e r s eo ft h e p r o d u c t sa n dd i f f e r e n c eo fo r t h o g o n a lp r o j e c t i o n s i nt h es e c o n ds e c t i o n ，w es t u d y t h ed r a z i ni n v e r t i b i l i t yo ft h el i n e a rc o m b i n a t i o n so fo r t h o g o n a lp r o j e c t i o n sa n dt h e c o e f f i c i e n t s ，w h e r et h ec o e f f i c i e n t sa r en o n z e r o a n di nt h ec h a p t e rt h r e e ，w ei n t r o d u c et h ep r o b l e mo np a t hc o n n e c t i v i t yo f g e n e r a l i z e dp r o j e c t i o n s t h i sc h a p t e rc o n s i s t so ft h r e es e c t i o n s i nt h ef i r s ts e c t i o n ， i v b yt h es p e c t r a lc h a r a c t e r i z a t i o no fg e n e r a l i z e dp r o j e c t i o n s ，w ee s t a b l i s hac o m p l e t e s o l u t i o nf o rt h ep r o b l e mo np a t hc o n n e c t i v i t yo fg e n e r a l i z e dp r o j e c t i o n s i nt h e s e c o n ds e c t i o n ，w ee x t e n dt h ep a t hc o n n e c t i v i t yp r o b l e mt ok - g e n e r a l i z e dp r o j e c - t i o n sa n dm a i n l ye x p l a i nt h a tt h e r ei sal i t t l ed i f f e r e n c eb e t w e e nt h e s t u d yo fp a t h c o n n e c t i v i t yo fk - g e n e r a l i z e dp r o j e c t i o n sa n dt h a to fg e n e r a l i z e dp r o j e c t i o n s i n t h et h i r ds e c t i o n ，w ei n v e s t i g a t es o m ep r o b l e m so ng e n e r a l i z e dp r o j e c t i o n sw h i c h r e m a i n e dn n k n o w n k e y w o r d s ：o p e r a t o rm a t r i x ，g e n e r a l i z e dp r o j e c t i o n s ，p a t hc o n n e c t i v i t y , o r - t h o g o n a lp r o j e c t i o n s v 主要符号表 复数域 实数域 n 维复向量空间 n 维实向量空间 复可分h i l b e r t 空间 咒上全体有界线性算子空间 从到咒全体有界线性算子空间 算子a 的核空间 。 表示算子a 的值域 表示算子a 核空间的维数 表示算子a 值域空问的余维数 表示算子a 的升标 表示算子a 的降标 算子a 的d r a z i n 指标 算子a 的d r a z i n 谱 拓扑直和 代数直和 算子a 的m o o r e 。p e n r o s e 逆 算子a 的d r a z i n 逆 空间正交补 谱测度 算子a 的自伴算子 n舭叭肛眦删孵删删删删删删础。肌肛-靴肌 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，论文中不包含其他个人 已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得陕西师范大学或其它教育机构 的学位或证书而使用过的材料。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均 已在文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名；j 蝉日期：兰逍 学位论文使用授权声明 本人同意研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属陕西师范大 学。本人保证毕业离校后，发表本论文或使用本论文成果时署名单位仍为陕西 师范大学。学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其它指定机构送交论文 的电子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进 入学校图书馆、院系资料室被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进 行检索；有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。 作者签名：盟日期：! ! ：【! ： 前言 算子理论发展到今天，已有近一百年的历史了这是泛函分析中一个极其重 要的研究领域自从2 0 世纪初v o nn e u m a n n ，h i l b e r t ，f r e d o l h m 等人建立算子理 论以来，算子理论已得到了迅速发展并渗透到数学的各个分支，形成了一批经久 不衰的研究课题，其研究内容涉及到基础数学与应用数学的许多分支，诸如代数 学、几何理论、算子扰动理论，矩阵理论、逼近论，优化理论与量子物理等等 长期以来，其在数学领域及其他学科中有着广泛的应用，不仅深入到了矩阵论， 微分方程，最优化理论，统计学等众多分支，而且是量子力学，物理学等许多领 域中一个不可缺少的重要工具其中幂等算子与正交射影的相关问题的研究是一 直是算子论中比较活跃的研究课题，通过对它们的研究可使算子结构的内在关系 变得更加清晰，同时也使得有关算子论课题的研究具有更坚实的理论基础广义 射影与超广义射影作为幂等算子与正交射影概念的推广，近十年来倍受数学家的 关注，已经成为算子论中比较活跃的一个研究课题 目前国际上对于幂等算子与正交射影的研究主要集中在研究射影的线性组合 及乘积在何种情况下仍然是射影，在何种情况下两个射影可交换，射影的线性组 合的非奇异性，投影的分解的性质以及投影的线性组合的性质，幂等算子的路径 连接问题等等。杜鸿科和邓春源文献【1 3 】中得出了两个正交射影线性组合的逆与 系数选取无关的重要结论，两个正交射影的积与差的的d r a z i n 逆和广义逆也有 了比较彻底的结论( 参见文献【1 垂1 6 】) 在本文中，我们将研究两个正交射影线性 组合的d r a z i n 逆和广义逆，证明了这两种逆存在的等价性 1 9 9 7 年，j g r o t 3 和g t r e n l d e r 提出了在有限维h i l b e r r 空间中广义投子和 超广义投子的概念这一新的概念激起了不少数学家的兴趣，并很快被推广产生 了有限维h i l b e r t 空间中k 次广义投子和k 次超广义投子的概念2 0 0 5 年，h k d u 和y l i 在h i l b e r t 空间中定义了广义射影的概念，并给出了广义射影的谱 刻画，其中考虑的h i l b e r t 空间不必是有限维的这就彻底推广了广义投子的概 念他们的工作引起一部分数学家的响应，如2 0 0 6 年g w s t e w a r t 给出了有限 1 维h i l b e r t 空间中k 次广义投子和k 次超广义投子的谱刻画，2 0 0 7 年l l e b t a h i 和n t h o m e 在无限维h i l b e r t 空间中定义了k 次广义射影的概念，这些工作也 激起了笔者浓厚的的研究兴趣本文研究了广义射影的相关问题，简述了近十年 来数学家的对于广义射影的研究成果( 包括一些没有彻底解决的相关问题) ，详 细介绍了笔者自2 0 0 5 年9 月至今对于广义射影的相关问题的研究结果( 包括一 些前人未曾涉猎的研究问题) 本文所取得的研究成果可分为以下两个方面： ( 1 ) 研究了定义在h i l b e r t 空间中广义射影的道路连通问题利用分块算子矩 阵的技巧，证明了两个广义射影之间不存在这样的线段，使得线段上每一点都是 广义射影以谱表示为工具，给出了两个广义射影同伦的定义，论证了两个广义 射影只有同伦的条件下才可以道路连通的重要结论最后把相关结论推广到k 次 广义射影探讨了无限维h i l b e r t 空间中的广义射影遗留的一些研究问题部分 地解决了一些与广义射影相关的未曾被前人涉猎的问题这些遗留的研究问题的 最终解决，需要我们共同的持续的努力 ( 2 ) 从杜鸿科和邓春源文献 1 3 中得出的两个正交射影线性组合的逆与系数 选取无关的重要结论受到启发，继续了文献 1 4 - 1 6 】两个正交射影的积与差的的 d r a z i n 逆和广义逆的研究把文献 1 4 - 1 6 】中的问题推广到研究两个正交射影线 性组合的d r a z i n 逆和广义逆，证明了这两种逆存在的等价性 算子理论作为泛函分析中的一个极其重要的分支，它的内容博大精深，对它 的研究必将进一步推动其它数学学科的发展；同时，在其它学科及科学技术发展 的刺激下它的研究内容也必然会越来越丰富 2 第一章预备知识 1 1 正交射影简介 设咒是复可分的希尔伯特空间，8 ( h ) 表示爿上的所有有界线性算子构成 的b a n a c h 空间如果p 召( 咒) 满足条件p = p 2 = p + ，我们称尸为咒上的 一个正交射影( 在有限维的希尔伯特空间中也叫正交投子) ；如果p 启( 爿) 仅 满足条件尸2 = p ，我们称p 为咒上的一个幂等算子( 在有限维的希尔伯特空间 中也叫投子) 正交射影与幂等算子的研究由来已久( 参见文献【1 1 6 ) ，杜鸿科和 邓春源得出了两个正交射影线性组合的逆与系数选取无关的重要结论( 参见文献 1 3 】) ，两个正交射影的积与差的的d r a z i n 逆和广义逆也有了比较彻底的结论( 参 见文献 1 4 - 1 6 ) 在下一章，我们将研究两个正交射影线性组合的d r a z i n 逆和广 义逆，证明了这两种逆存在的等价性 1 2 广义射影经典理论 设咒是复可分的希尔伯特空间，b ) 表示何上的所有有界线性算子构成 的b a n a c h 空间如果p 8 ( “) 仅满足条件p 2 = p 4 ，我们称p 为爿上的一个广 义射影；如果存在大于和等于2 的正整数k ，使得p b ) 仅满足条件p = p ， 我们称p 为7 l f 上的一个k 次广义射影 广义射影的概念可以追溯到1 9 9 7 年，j g r o f l 和g t r e n k l e r 合作发表了 g e n e r a l i z e da n dh y p e r g e n e r a l i z e dp r o j e c t o r s 一文( 参见文献 2 2 】) 文中作者在有 限维的希尔伯特空间上引入了广义投子和超广义投子的概念广义投子和超广义 投子的概念是投子概念的一个推广，这个推广是限制在一类特殊矩阵，即正规的 e p 矩阵内部的推广 3 定义1 ，2 1 一个满足a 2 = a + 的方阵a 被称为一个广义投子；一个满足 a 2 = a + 的方阵a 被称为一个超广义投子 显然如果方阵a 是一个广义投子，那么a 必然是一个正规矩阵且满足a 4 = a j g r o t 3 和g t r e n l d e r 在文献【2 2 】中也给出了广义投子的最初刻画 定理1 2 2 【2 2 】设一个n 阶方阵a 的秩为r ，则以下几个结论是等价的； ( a ) a 是一个满足a 4 = a 的正规的部分保距 ( b ) a 是一个满足a 4 = a 的正规矩阵 ( c ) 我们有 肚日 即， 其中日是一个酉矩阵，而是一个r 阶对角方阵，的对角线上的元素都属于 集合 0 ，1 ，一 + 孚，一 一 i i a 。z 。1 1 2 = = i a 。1 2 这是一个矛盾，故假设不成立，必须有a 2 1 = 0 用同样的方法考虑小，可以证明 a ；2 = 0 ，从而a 1 2 = 0 证毕 下面的这个引理是众所周知的 引理3 1 1 0 设p ，q b ( h ) 是幂等算子如果i lp qi l 1 ，则d i m t c ( p ) = d i m n ( q ) 引理3 1 1 1 设p ，q 8 ( 日) g p 如果j jp q1 1 j 1 ，则p 和q 是同伦的 证明一般地，盯( p ) 与盯( q ) 包含在集合 o ，1 ，e 拟；一) 中分别用f p ( a ) 和 f 口( n ) 来表示p q 关于谱点o t 仃( 尸) u 仃( q ) o ，1 ，e 士垮一) 的r i e s z 投影，则 f p ( q ) = 熹z ( a ，一p ) - 1 烈且f 口( a ) = 丽1 上( a ，一印q 氓 1 9 其中f 是围绕o o ( p ) u a ( q ) 1 0 ，1 ，e + z i ”) 的半径为 的正向曲线( 见文献 a 4 1 ) 由于p 和q 是正规算子且盯( p ) u 仃( q ) o ，1 ，e 血；”) ，则f f ( a i - p ) 一f 且| | ( a ，一q ) 一1 | | 壬，a f 此时， | | f p ( n ) 一f q ( a ) | | = i i 丽1 ，r q ，一p ) 一1 d a 一丽1 矗( a ，一q ) 1 d ai i = f | j 磊1 矗( a ，一p ) _ 1 ( p q ) ( a ，一q ) - 1 d ai | 1 i 正| | ( a ，一尸) 一1 i ( p q ) i ( a ，一q ) 一1i id a ，则根据引理2 3 5 知p 和n p + ( 1 一口) q 是同伦的，因此a ( a p + ( 1 一q ) q ) = 由a p + ( 1 一a ) q 是正规算子知 a p + ( 1 一o ) q = a i 所以q = a j = p ( i i ) 当l 仃( p ) s2 ( 4 ) j 咒为任意h i l b e r t 空间时，假设 a p + ( 1 一q ) q ：口 o ，1 】) b ( h ) a p 有p = q 我们将证明当u a ( p ) = f + 1 ( 4 ) ， a p 十( 1 一口) q ，口 【0 ，1 1 召( 日) “时也有p = q 成立 设# 盯( p ) = f + 1 如果咖( ：，1 ) ，则由引理2 3 5 知p 和n o p + ( 1 一q o ) q 是同伦的广义投影即就是对所有的a a ( a o p + ( 1 一a o ) q ) = 仃( 尸) ，有盯( p ) = a ( a o p + ( 1 一a o ) q ) 且d i m e p ( a ) = d i m e , , 。p + ( 1 一) o ( a ) 由假设# o ( p ) = f + 1 ，知# 盯( p ) 2 因此存在非零的a o , k p ) 且ia oi = 1 在这种情形下， a o a ( a o p + ( 1 一c l o ) c 2 ) = 盯( p ) 记g o = 正 咖p + ( 1 一n 0 ) o ( a o ) 日 z h o 是单位向量，则有 ( a o p + ( 1 一a o ) q ) z = a o x 即就是， a o p x + f 1 一c , o ) q x = a o x 由于0 p 圳1 ，0 q z 0 1a n di i a o x i = 1 ，根据引理2 3 7 我们有p z = a o x = q z 这表明凰是p 和q 公共的不变子空间，且a o 而是p 和q 在王如上的限制， 厶是日0 上的单位算子 所以，p 和q 关于空间分解h h o o 上酷有下列算子矩阵形式 p = ( a 2 ) 及q = ( 知0 而剐1 2 由引理2 3 9 知p 1 2 = 0 ，q 1 2 = 0 ，因此 尸= ( a 三。) 且q 一( a 尝。) 所以o t o p + ( 1 一o z 0 ) q 关于相同的空间分解h = h oo 王酷有下列算子矩阵形式： 口。p + ( 1 - o t o ) q = ( a 。易。+ ( ：一。) q 。) ， 其中凰是p ，q 的公共约化子空间且口o p + ( 1 一q o ) q ，盯( n b 2 + ( 1 一q ) q 2 2 ) = a ( e p + ( 1 一q ) q ) a o ) 显然，岛2 ，q z 。是驸上的广义投影，对所有a ( 0 ，1 ) ， 由于 a p + ( 1 一d ) q ：q 【o ，1 】，嚣( 日) g p 故q 岛2 + ( 1 一n ) q 2 2 b ( h k ) g p 又因 为1 o z 0 1 一x s i n 南， ，根据引理2 3 5 p 2 2 和a o p 2 2 + ( 1 一o o ) q 2 2 是同伦的 广义投影这隐含着口( 恳2 ) = 盯( q o 易2 + ( 1 一a o ) q 2 2 ) = a ( a o p + ( 1 一o o ) q ) a o ) = 盯( p ) a o ) 因此# a ( 马2 ) = 1 根据归纳假设岛2 = q 2 2 ，即尸= q 证毕 3 2k 次广义射影的道路连通性 类似地，把召( 日) 中k 次广义射影的全体记为召( 日) 一g p ，我们同样有如下定 义： 定义3 2 1 设算子p q b ( 日) 一g p 如果口 o ，鬻“：m = 0 ，1 ，2 ，”， 其中e k ( 口) 表示k 关于谱点a a ( k ) 的谱投影，则称p 和q 是同伦的当且 仅当盯( p ) = 盯( q ) 且d i m e p ( a ) t t = d i m e q ( q 由谱投影定义可知，如果 k 层( 日) 一7 p 且o z 隹o - ( k ) ，贝0e g ( o e ) = 0 定义3 2 2 ，如果p 和q 是i g ( h ) 中的k 次广义投影，则p 和q 之间的线 段可定义为【p ，酬：= ( 1 一t ) p + 蛔：t 【o ，l 】) 廖( 日) 一g p g w s t e w a r t 在文献 2 4 】中把杜鸿科教授和李愿在文献【2 1 】中对广义投影 的谱刻茴推广到了七次广义投影 2 2 引理3 2 3 令a 8 ( 日) 那么4 是一个k 次广义投影当且仅当a 是一个 正规算子，并且盯( a ) 0 ，e i 希”：m = 0 ，l ，2 ，耐这种情况下，a 有这样 的谱表示a = 0 e a ( 0 ) o 袅：oe 。罱”日( e 名等”) ，其中e ( 口) 表示a 关于一个谱点 o t a ( a ) 的谱射影，若o t 隹盯( a ) ，则e _ ( q ) = 0 在文献f 2 5 】中，我们用和第二节同样的方法证明了下列结论 定理3 2 4 设p q 8 ( 日) 一g p 如果p 和q 是同伦的，则尸1 q 是道路连 通的 定理3 2 5 集合8 ( 日) 。一g p 中没有线段 在文献 2 5 】中，我们还着重解释了k 次广义射影的线段存在问题和道路连通 问题与广义射影的研究中所得到的结论细节上的区别 定理3 2 6 设p ，q 8 ( 日) 扣g p 如果0p q1 1 n 曲 ，s i n i 备) ，则p 和 q 是同伦的 注2 对于定理1 3 4 证明中的m i n ，s i n 南 ，更确切地说， 酬扣南，= 基南，葚 设p 8 ( 日) 。一g 尸，py e = p i i 狸1 3 4 证明中的谱点o t o ，群 ”：m = 0 ，1 ，2 ，”的r i e s z 投影昂( o ) 与其相同谱点的谱投影点1 p ) 相等由引理 1 3 6 如果两个k 广义投影的距离足够小，它们必定是同伦的我们将证明a 是 k 广义投影并且a ( a ) 不是单点集，则仍然存在一个k 广义投影b a 使得算子 a 和b 之间的距离足够小因此我们有下面定理 定理3 2 7 如果p 召( 日) 一g p ，则p 不是日( 日) 一g p 中的孤立点当且仅当 谱点盯( 尸) 包含两个点以上 由定理1 3 5 ，很容易得到在8 ( 日) 一g p 中仅仅有k + 2 个孤立点，即0 和 e i 2 - m _ m ”，m ：0 ，l ，2 ，k 由上述定理可知，当k 2 时，在所有的k 广义投影集合中没有线段但是 2 3 如果p 和q 是不同的k 广义投影，有可能存在a o ( 0 ，1 ) 使得n o 尸+ ( 1 一a o ) q 也是k 广义投影比如k = 3 的情况下，设p = i ，q = 一，且q o = ；显然p 和 q 是k 广义投影且n o p + ( 1 一n o ) q = 0 也是k 广义投影 设p ，q 嚣( 日) “”且尸