（基础数学专业论文）一种螺形映照高阶零点的增长和掩盖定理.pdf

河南大学硕士学位论文 摘要 本文讨论多复变数的一类具有高阶零点的全纯映照族，给出了相对于a 的螺 形映照高阶零点的增长与掩盖定理 全文共分两章：第一章简要介绍本文用到的一些符号和定义，以及本文所使用 的主要引理和本文的主要结果；第二章在单位球上研究了相对于a 的螺形映照高 阶零点的增长与掩盖定理 关键词：螺形映照，增长定理和正规矩阵 河南大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h j sp a p e r ，w es t u d yac 1 8 s so fh o l o m o r p h i cw h i c hh 龋z e r oo fh i g h e ro r d e ri n s e v e r a lc o m p l e xv a r i a b l e s t h ew h o l ep a p e rc o i l s i s t so ft w oc l l a p t e r s i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w ei n t m d u c es o m ed e f i n i t i o i l s ，n o t a t i o 璐，a n dt h em a i r 船u l t so f t h i sp 印e r b r i e a y ii nt h e8 e c o n dc 1 1 印t e r ，w ee s t a b l i s ht h eg r o w t ha n dc 0 劬gt h e o p 娜 f o r8 p i r a l i i k em a p p i n 萨w i t hz e r o0 fh i g h e ro r d e r k e yw b r d s ： s p i r a l l i k em 印p i n g s ，g r o w t ht h e o r e m s ，n o r m a lm a t r i ) 【 i i 关于学位论文独立完成和内容创新的声明 y 9 1 本人向河南大学提出硕士学位团博士学位口中请。本人郑重 声明：所呈交的学位论文是本人独立完成的，对所研究的课题有 新的见解曰创造性奇勺见解口。据我所知，除文中加以说明、标注 和致谢奇勺地方外，论文中不包括其他人已经发表或撰写过的研究 成果，也不包括其他b 懑谈搏任精裁瞥穗研机构的学位或证书 而使用过的材料。鸡我一饲重傣酌网事对本研究所做的任何贡献 均已在论文中催了明确的说明并表示了谢意。 。 o 奠：j 一、。，、i ：= - j 。 。褡黾簇j ? 鬻鬻鬻黼篱蒙薰瓣 。，二一j；j“i 鬻鬻，t ：j ? 。鼍 麓，誊鼍鹫羹。一：? 7 勘誉薯麟，z 爨日 i 。 j 奠。 + 、誉溪篓 ：、 。 l | 糖。j 露；蠢薯 j 丧干警罐瓣辨臻骧囊攀霸溆爷、爹。 。= | 。 。嫩、j 曩曩磐赣。“ 誊 本人绦诃确大学串馥虢穰糍擎疆攀禁锰囝博士攀住口。作为 擘住的作者，本人完全了解并廊意溺南大学有关保蟹、使用学位 论文的要求，即河南大学有积向：癣察曝书馆、科研信息机构、数 据收集机构和本橙吼书馆等提供攀位论走矮戴质文本和电子文 本) 皑供公众检索、奎。阅i 。本太撩撅释谪大学出于宣扬、展览学 校学术发展和进行学术交流等目奇勺，可以采取影印、缩印、扫描 和拷贝等复制手段保存、汇编学住论文( 纸质文本和电子文本) 。 ( 涉及保密内容的学位论文在解密后适用本授权书) 学位获得者( 学位论文作者) 签名：关率群 删年歹月纱曰 洼童：请在相应的t 口，内划t ”。 河南大学硕士学位论文 引言 单复变数的几何函数论是复分析中的一个重要组成部分，其历史源远流长，它 的根源可追溯到著名的r i e m n n n 映照定理在上个世纪相当长的一段时间内，有 不少数学家，如：p k b e ，c l o e w n e r ，g m g o i u z i n ，p l d u r e n ，c h p o m m e r e n k e ，h g r u n sk y l m s c 圳王e r ，l d e b r a n g e s 等，为复变数几何函数论的发展作出了重要的贡 献，从而使得它的内容非常丰富和完善，获得的结论也十分优美和深刻人们自 然会问：如何将单复变数几何函数论中众多的成果推广到多复变数中去? 最早考虑 这件事情的数学家也许是h g n r 口n 1 9 3 3 年，他指出：即使像“在单位圆上全纯单 叶函数的展开式的系数的模是有界的”，这样的结果，在多复变函数中也是不成立 的他还指出，相应的增长和掩盖定理等，若只要求映照是双全纯的，这在多复变 中也是不成立的但他还指望多复变数的双全纯映照的偏差定理有可能成立其实 很早以前就有人知道，这也是不可能的那么应该加上哪些限制来获得一些正面的 结果呢? h g 。r o n 建议考虑双全纯映照的子族，如凸映照和星形映照等人们经过 近5 0 年的努力，直到1 9 8 8 年，才由龚升教授、c 日n 扫0 e r 酬d 教授和r 彤b n r n n r d 教授三人率先在多复变几何函数论的研究上取得重大突破而后，国内外的不少学 者，如7 上s u ，r 咖e ，王世坤，余其煌，郑学安，刘太顺，g r 口危口m ，日日o m o d 和g k o 胁等，在龚升教授的直接带领或指导下，做了大量的后续研究工作，获得了 一批可喜的成果，从而极大地丰富了多复变几何函数论的内容为了总结成果，继 续前进，并为后来者铺路，龚升教授几次将一些重要的成果撰写成下面的专著陆续 出版，如：【g o 伽1 】 g 帆9 2 儿g o n 9 3 】 g o n 9 4 g o n g y u z e n 引等，现在这些专著 己成为该方向的基本文献 在单复变函数中，如果考虑零点的阶数，g r 口 n m 和d 讹r d 托n 【g r 口一矿n r 】两 人在1 9 9 6 年首先建立了单位圆盘d 上的正规化双全纯凸函数，( 其中z = o 是，( z ) 一 ：的+ 1 阶零点) 的精确的增长和掩盖定理，同时利用著名的a f e z 口礼d e r 定理得到 了单位圆盘d 上的正规化双全纯星形函数，( 其中：= o 是，( 。) 一。的七十1 阶零点) 精 确的增长和掩盖定理在多复变中，c 且f i t z g e r a l d 、龚升和r w b a r n a r d b a r - f i t 1 河南大学硕士学位论文 g o n 鲥则最先给出c n 中单位球觋上正规化双全纯七次对称星形映照精确的增长、掩 盖定理2 0 0 2 年，t 日o n 如 h 0 n 】又在复口n n c 空间的单位球上得到了正规化双全 纯七次对称凸映照精细( 但不精确) 的增长和掩盖定理，如果在多复变数中引入七阶零 点的概念，那么易知：若，是正规化鼬欠对称映照，则z = o 是，( z ) 一：的七+ 1 阶零 点反之，却不一定成立，一个十分自然的想法是：在多复变数中若考虑零点的阶 数( 即。= 0 是映照，( z ) 一妇女+ l 阶零点) ，是否有类似单复变情形的结论? 多复变 中林运泳和洪毅【l i n h o n 翻引入七阶零点的概念，刘小松 l i u 在他的博士论文中给出 了复b a n a c l l 空问p 型螺形映照、n 次殆星形映照、q 次星形映照和凸映照的精确的增 长、掩盖定理，并得出了这些映照齐次展开式的第+ 1 项到第2 项的估计而本文 作者证明了= = o 为映照，( z ) 一。的女+ 1 阶零点时，相对于a 是螺形映照的增长和 掩盖定理，以及偏差上界 2 第一章内容概要 1 1 通用的记号与定义 为了后面叙述方便，本章给出最常用的一些符号、基本概念和基本知识 在本文中，我们用c 表示复数域，c ”表示复数域上的线性空间： c ”= ( ( = l ，沈，) ：勺c ，j = 1 2 ，n ) 设。= ( 。”一，z n ) ，= ( 叫1 ，叫。) 是c ”中的两点，定义它们的内积如下 ( z ，叫) 刁马 j = l 由此产生的樱为 i “ i = ( 那) = ( i 计) j = 1 记c “中的单位球是觋= z c n ：i o ，j = l ，2 ，n ，如果v so ，z b 。，e ，( ) c ，( b 。) ，此处e t ：登簧小，则称，是相对于a 的螺彤映照 k = 1 七次对称函数的定义是t h o n d a 【h o n 】给出的 定义1 1 5设n 是x 中包含原点的圆形域( 圆形的连通开集) ，日( q ) 若e z p ( 一譬) ，( e 等z ) = ，( z ) ，z q ，其中七= 1 ，2 ，i = 玎，则称，在q 上是次对 称的 1 2 本文使用的主要引理 1 9 7 5 年，g u r g a n u s g u r 】首先给出了如下结论 引理1 2 1设，为b 。中正规化双全纯映照，则，为相对于a 的螺形映照甘危( 。) 垒 ( d ，( 。) ) - 1 a ，( z ) 由引理1 2 1 易得， ( o ) = o ，d ( o ) = a 以下的引理是推广s c h w a r z 的引理，见文 g r a k oh 引理1 2 2 若，日( d ，d ) ，d 是c 中的单位圆盘，且：= o 是，( z ) 的( n ) 阶零点，则 l ，( ：) l h 。， ：d 下面的引理见文刘小松【l i u 博士论文 5 河南大学硕士学位论文 引理1 2 3设，日( d ) ，兄e ，( ：) o ，( o ) = 1 ，。= o 为，( z ) 一1 的阶零点， 其中d 为c 中的单位圃盘，则 群鲰m ，洋，。叫 引理1 2 4 见文 r o p _ s u f 】 引理1 2 4若妒h ( b 。，) ，且妒( o ) = o ，则 妒( 。) | ls1 1 ：l i ， ：b 。 引理1 2 5 可参见文【d u r 】 引理1 2 5 设p h ( d ) ，p ( o ) = 1 若| r e p ( = ) 0 ，z d ，刘 竣掣2 ，。：1 ，2 n 【 1 3本文的主要结果 本文着重研究了多复变数的几何函数论中一类相对于a 的螺形映照的高阶零点 的增长和掩盖定理，得到了以下的重要结果： 引理2 2 1 ：设，为b 。中正规化双全纯映照，为相对于a 的螺形映照，矩 阵a 满足r e 九= r 以， o ( i ，j = l ，n ) ，而a 。为a 的特征值，如果。= o 为，( z ) 一 ：的女+ 1 ( 七n ) 阶零点，则 融。警鲰 志( ( 洲) _ l 洲脚叭赞 引理2 2 2 ：设，为觋中正规化双全纯映照，是相对于a 的嫘形映照，矩 阵a 满足尺e 九= r e o ( i ，j = 1 ，n ) ，其中凡为a 的特征值，z 风 o ) ，z ( t ) = ，_ 1 ( e m ，( = ) ) ( 一o o o ( i ，j = l ，礼) ，其中a 。为a 的特征值，并且z = o 为，( z ) 一z 的七+ 1 阶零点，则对v 。峨，有 群躲刚圳l 热 推论2 2 4 ：设，为b 。中正规化双全纯映照，如果，为关于a 的螺形映照， 矩阵a 满足r e 凡= r e o ( i ，j = l ，m ) ，其中 为a 的特征值，并且z = o 为，( z ) 一z 的+ 1 阶零点，则 ，( ) ( ) i b 。 推论2 2 5 ： 若，是取上的_ 8 ( 一j o ( ，j = l ，n ) ，其中九为a 的特征值，并且。= o 为，( z ) 一 z 的七+ l 阶零点若9 一，则对v 。，f c 。，有 班忪f 删丽瑚，一n 引理2 2 9 ：设a 为正规矩阵，并且a 的特征值a t 满足兄e 九= 兄e 0 ( i ，j = 1 ，礼) ，如果 ，贝u l ( ! 学，。) i 2 r e a | | ：l i ”+ l ，：b 。，”n = 2 ，3 ， 定理2 2 1 0 ：设，为b 。中正规化双全纯映照，如果，为关于a 的螺形映照， 矩阵a 满足只e 凡= 风 0 ( i j = 1 ，n ) ，其中凡为a 的特征值，并且z = 0 为，( 。) 一z 的七十1 阶零点则 i ( a 三学一兰! ! j ；学，。) i 2 月e a i i ：| | ”+ l ，。b 。，m = 七+ 1 ，2 七 8 第二章单位球b 。上相对于a 的螺形映照 2 1 引言 1 9 9 6 年，g r 口危o m 和d v o r o f 溉g r n v n r l 建立了单位圆盘d 上的正规化双全 纯凸函数，( 其中o = 0 是，( z ) 一z 的七+ 1 阶零点) 的精确的增长和掩盖定理，同时利 用著名的a f e z n d e r 定理得到了单位圆盘d 上的正规化双全纯星形函数，( 其中o = 0 是，( o ) 一：的后+ 1 阶零点) 精确的增长和掩盖定理而在多复变中，c h f i t z g e r a l d 、 龚升和r w b a r n 盯d 【b 盯一f i t g o n 翻则最先给出c ”中单位球觋上正规化双全纯七次 对称星形映照精确的增长、掩盖定理2 0 0 2 年，f h o n d o f 日1 又在复b o 礼o c 危空间 的单位球上得到了正规化双全纯七次对称凸映照的增长和掩盖定理 定理2 1 1 若，是复b o n n c 危空间x 中的单位球上的正规化双全纯七次对称 凸映照，则 删蒜圳圳i 茎黼 值得注意的是，上面的定理结果只是精细的，但不精确由第一章七次对称映照的 定义( 定义1 1 5 ) 和阶零点的定义( 定义1 1 1 ) 知：若，是正规化次对称映照，则z = o 是，( 。) 一z 的+ l 阶零点反之，却不一定成立 多复变螺形映照的概念最先是由t j s u f f r i d g e 于1 9 7 4 年提出螺形映照作为非 常广泛的映照类，它包括了星形映照，也包括了凸映照，因此对螺形映照的研究具有 很大的意义 下面我们举例来看相对于a 的螺形映照与其它映照类间的关系 侄i2 1 2 b 2 上，( z ) = ( 。l + 。= 2 ) ，i l 。，a = ( 1 ) ，是凸映照的充要条件是l 。i ； ( 2 ) ，是星彤映照的充要条件是i 。1s 筚； 9 4 、 o 1 2 l o ， 河南大学硕士学位论文 ( 3 ) ，为相对于a 的螺形映照，且( d ，( ：) ) 一1 4 ，( ：) = ( ：1 ，；沈) j v 的充分妊要条件 是l 口l 。o 由上例可见若，为正规化星形映照，则，为相对于，的螺形映照，但相对于j 4 的螺 形映照不一定是星形映照因此，相对于a 的螺形映照是星形映照的扩展 在1 9 9 9 年，刘浩【l i u 给出了c 。中单位球b 。上一般螺形映照的增长和掩盖定理 定理2 1 3设a 为正规矩阵，且a 吖+ 若，( ：) ：b 。一c ”为相对于a 的螺形 映照，则 龋洲圳兰龋，。最 以后h h a m a d a 和g k o h r 【h a m - k 0 h 又用不同的方法重新证明了这些结果 2 0 0 4 年，刘小松 l i u 】在博士论文中证明了如下定理 定理2 1 4 若，是b 。上的p ( 一j o 由引理1 2 3 得 滞鲰瞰，= 帮雠 令( = l ，则有 错兰志酬扣n 胚搿， 即 m 。锴蛐【南( ( 洲) _ l 删脚咖警 口 引理2 2 2设，为耽中正规化双全纯映照，是相对于a 的螺彤映照，其中矩 阵a 满足r e 九= r e o ( i ，j = 1 ，n ) ，其中九为4 的特征值，：b 。 o ) ，。( ) = 厂1 ( e m ，( z ) ) ( 一o 。 o ) ，则 倒i l 。( 圳在( 一o o ，o 】上严格递增； 俐掣= ( d 北( ) ) ) 一1 a 他( ) ) ，t ( 一。，o 】，r 啭鼎= 1 ； 俐业掣= r e 圳，( 。( ) ) ( 一。o ，o ； 1 2 河南大学硕士学位论文 f 矽若z = o 是，( z ) 一z 的七+ 1 阶零点，则 m - 嶝紫掣蛐a 掣警 证明：( a ) 设一 l 2 茎o ，( 。( 2 ) ) a 川l 。( 2 ) | | ) ，因为a 为正规矩阵故 存在酉矩阵u ，使得a = u d i 叼盼一，kj u ，而 i l ，( z ( - ) ) | | = | j e h a ，( = ) i l = | | e ( 1 一。2 ) a e 2 a ，( ：) f | = 憎“_ 。：) “，( ：( 屯) ) | | = | | e ( 1 嘞) u 咖 j 盯，( = ( 圳l i = i f e ( 一。2 ) 4 。q 陋“，hj 矿，0 ( 2 ) 川 = e ( 卜。2 ) 如1 1f | ，( z ( 2 ) ) j i = e 【卜2 ) m 1 忧：( 2 ) ) j j l i ，( ：( 2 ) ) | | 故，( z ( t t ) ) 川l 。( 幻) i l b 。) 因此：( t ) 川i ：( 幻) i i 皿。) 即 忙( 。) l | 0 ( i ，j = l ，n ) ，其中a 。为4 的特征值，并且。= o 为，( 。) 一z 的七+ 1 阶零点，则对v ：b 。，有 群圳刮l 掣躲( 1 + l i 。0 七) 善一”。、川。一( 1 一l l ：i | ) 考 证明：由引理2 2 2 ( c ) 得 掣：m w ( 删 出 “ 1 4 河南大学硕士学位论文 进而 m = 志警掣 由引理2 2 2 ( d ) 得 1 训，( z ( ) ) 川。( ) l l ( 1 一盼( ) 旷) ，d z ( ) | | l i ，( z ( t ) ) 0 出 1 + ( ) 俨 一 班 进而 亦即 ， 1 圳，( 。( 洲| 。( ) l | ( 1 + 盼( 圳。) 。二l i ，( z ( ) ) | | 出 1 一盼( 洲 ( 1 一似圳)d 。( 圳， l 刮，( z ( t ) ) l l z ( 驯l ( 1 + 忙( 刚) 出 一l i ，( 。( t ) ) | | 出 ，( 1 + 忪( 圳1 8 )训：( 圳i 。二肛( 驯l ( 1 一懈圳l ) 班 对t 0 ( i ，= l ，n ) ，其中九为a 的特征值，并且。= o 为，( z ) 一z 的后+ 1 阶零点，则，( b 。) ) ( ；) b 。 证明：由定理2 2 3 知：，( z ) 满足 丁掣丽s ) 玑 ( 1 + ) ；一“” 又因为z b 。，故恻l 1 - 设 “砷2 高舞，o o ，故g ( ) 单调递增，故，( b 。) ( ) b 。 口 推论2 2 5 若，是觋上的p ( 一； o ( z ，j = l ，礼) ，其中九为a 的特征值，并且z = o 为，0 ) 一。的+ 1 阶零点，若9 ，则 怕忙掣蔫艇眦 证明： 由于9 o ( t ，j = 1 ，n ) ，其中九为a 的特征值，并且。= o 为，( z ) 一z 的七+ 1 阶零点，则对v 。皿。，c 。，有 i | d ，( 班忙f 揣瓣，一n 证明： 固定c n o ) ，记f 0 = 南， 定义 ( a ) = ，( 。+ a 岛) ，j a l 1 一j i 。j 1 记d r = a ：= 1 一r 0 ( i ，j = 1 ，礼) ，其中九为a 的特征值，并且2 = o 为，( z ) 一 z 的七+ 1 阶零点，若g _ ，则对比b 。，f c 。，有 水恪f 篇丽，一n 证明： 固定f c n o ，记岛= 南， 由于g ，故存在妒h ( b 。，b 。) 妒( o ) = o ， 使得g ( z ) = ，( ：) ) 定义 ( a ) = ，( 妒( 。+ a 岛) ) ，l a 1 一l l 。 河南大学硕士学位论文 记d r = a ：= 1 一r 1 一m 则危( a ) h ( 耳) ， 由c a u c h y 积分公式，有 坝o ) - 熹疋掣烈 由定理2 2 3 和引理1 2 4 得 i i d 夕( z ) 岛| | = | i d ，( 妒( 。) ) d 妒( 。) 岛i l 令r = 半 则 即 = l 熹厂等掣村锄i 三广嵝坐鲨剑 一2 7 r o r 土 2 ” 型! ! 盥j 一枷 一2 7 r o r ( 1 一i l 妒( ：+ r e 坩岛) i i 。) ； 土广坚! 塑l 了。枷 一2 7 r o r ( 1 一| l 。+ r e z 。岛i l “) ； 。 由弓i 理125 得 ! 旦竺：! ! 1 2 j ：! ! 里二垒! 12 f 塑! ：垫2 j ：! 1 2 ：垒( 1 2 ( ! ：! ! ! ! j o ( i ，j = l ，凡) ，其中为a 的特征值，并且z = 0 为，0 ) 一z 的七+ 1 阶零点，则 似学一型铲 ：) i 2 r e a | 1 2 l l “+ 1 ，2 b 。，m = 自+ 1 ，一，2 七 证明： 令危( z ) = ( d ，( 。) ) 。a ，( ：) ，则a ，( ：) = d ，( 。) ( 2 ) 由定理2 2 1 0 的条 件得： a 。+ 三! 筹+ + = ( ，+ 里三掣+ + d ，( o ) ( z ”) 而一十 d ”，( o ) ( z ”，) 百i 矿+ ( 。 ( o ) 。+ 学+ + 墨筹+ + 比较上面两边的齐次展开式得： 由( 2 2 2 ) 得 a d “，( 0 ) ( o ”) 丽广_ 5 即 a 2 二塑! ( ! ：2 m1 2 ：塑! f 型+ m ! d 危( o ) 。= a 。，d ( o ) ( ：) = o j = 1 ，女( 2 2 2 ) d ( o ) ( 。”) d _ 厂( o ) ( ：“，) a ： m !f m 一1 11 m = 女+ 1 ，一，2 七 一里二粤娶学：里掣，m ：+ l ，一，2 ( 2 2 3 ) f m 1 1 1m ! r 因，( z ) 是( 玩) 上相对于a 的螺形映照，由引理1 2 1 可知 ( ：) 满足引理2 2 9 的条 件，根据引理2 2 9 和( 2 2 3 ) 得 ，d ，( o ) ( z i a 而一 m )d m ，( 0 ) ( o m 1 ，) a ： f m 1 ) 2 1 ：) l = l ( 皇学，；) is 2 r e a i | ”+ 1 m = 七+ 1 ，2 口 参考文献 l 】【b a r _ f i t _ g o n g 】r w b a r n a r d ，c h f i t z g e r a l d ，s g o n g ，z h eg m 叫执n n d 执佗m s ，0 r5 t 口r 腓e m 叩p 拥卵讯c ”，p a c m cj o u r o fm 8 恤，1 9 9 1 ，1 5 0 ：1 3 2 2 【2 】【c a r t 】h c 砒蛆， t ea d d e dt op m o c e l l e c o n ss u r l e sf o n c t l o nu n i v a l e n t e s 0 “ m u l t i v a k n t e s g a u t h 珏v i l l 酆，p a r i s ，1 9 3 3 ，1 2 9 - 1 5 5 3 】【d l l r lp l d u e n ，曲n z e m 血n c t i o 瑚，n e wy o r k ，s p r i n g e r - v e r l a g ，1 9 8 3 【4 】【f e n 鲥冯淑霞t 中国科学技术大学博士论文 【5 | f i qc h f i t z g e r 枷，g e o m e t r i cf l l n c t i o nt h e o r yi no n ea 1 1 ds e v e r a jc o m p l e xv a r i 8 b l e s ：p 8 r a l k d l s 帆dp r o b l e 鹏，c o m p l e xa i i a l y s i sa n di t sa p p l i c a t i o n si nm a t h ，l o n g m a i ls c i e n 七m c 蚰d 吼h - i i i c a l t ( 3 0 5 ) 1 9 9 4 ，1 4 - 2 5 6 】 g o n 9 1 l s g o n g tc o i n ，e xa n ds t a r l i k em a p p i n g si ns e v e r a lc o m p l e xv a r i a b l e - k l u w e ra c a d e m i c p u b l i s h e r s 1 9 9 8 7 】【g o n 9 2 】g o n gs 丁b i e 拒r 6 c c b 可即t u 他p r o v i d e n c e ：a m s i n t e r n a t b n a lp r 鹧s ，1 9 9 9 ，1 2 6 - 1 7 6 【8 】0 g o n 9 3 】龚升，多复变数的凸映照和星形映照( 第一版) 科学出版社，北京，1 9 9 5 【9 】 g o n 9 4 】龚升，多复变数的凸映照和星形映照( 第二版) ，科学出版社，北京，2 0 0 3 1 0 j 【g o n g - w h 争1 1 龚升，王世坤余其煌，有界星形圆型域上全纯映照成为星形映照的判别 准则，数学学报，4 2 ，l ( 1 9 9 1 ) ，1 3 - 1 6 l l 】【g 陆k o h li g r a h 唧，g k o l l r ，g e d m e n c 胁c “o nt 呵伽o n e n d m e r 戚m e 蝴。她n 唧 y o r k ，m a r c e ld e k k e r 2 0 0 3 12 】【g 脚v 酬 i g r a l l a m ，d v o r a l i n ，b l 。c 后 c o 邶n n 如概d n eo n d s e e m f 口。而曲胁， p i j o u r m a t h 1 7 4 ( 1 9 9 6 ) ，3 4 7 - 3 5 7 1 3 】【g l l r lk r g i l r g 眦u s ，壬- 胁e d l o m d r p i c n c 。o 瑚讥g ”o n db n 8 c 印口胛s ，n a 璐a m e r m a t h s 0 c ，1 9 7 5 ，2 0 5 ：3 8 9 4 0 6 河南大学硕士学位论文 1 4 】 h a m - k o h lt h a m a d a ，g k o h r ，s 6 d 州z n t z 。nc 口z n s n d eg 彻地地他m sd ，5 p i m i 仍印p i n 妒o 印弹b r 饥讹地e m n 钯oo 姆 1 5 】 h o n 】t h o n d 8 ，丁h e 口m 加执t o e 代仇，0 r 七一加f ds 妒z m e 九cc 。n 凹m 印p 伽口5 ，b u l l l o 孙 m a 池s o c ，2 0 0 2 3 4 ：7 17 - 7 2 4 1 6 】【h u a i l 鲥黄应平，多复变数函数中的双全纯映照中国科学技术大学学报，1 9 9 8 ，2 8 ( 3 ) ：2 5 7 _ ： - 7 l 【l 司x 沁s h e nl i ，a n 。把。，s p i m f 眦e m 。p p z n 9 5 z nc ”c h i n 朗eq u a r t e r l yj o u r n a