（基础数学专业论文）幂零leibniz3代数的分类.pdf

摘要 摘要 1 9 9 3 年， z l l o d a y 首先提出了l e i b n i z 代数的概念，而后z l l o d a y 与 j m c a s a s ，t p i r a s ht i l l 又将其推广到l e i l m i zn 代数2 0 0 6 年，s a l b e t e r i o ：b a 0 m i r o v 及，s r a k h i m o v 将4 一维幂零复l e i b n i z 代数进行了分类本文主要研究3 维 二步幂零l e i b n i z3 代数的分类问题 第一节，给出了l e i t m i z3 一代数的基本概念，其中包括l e i b n i z3 - 代数的定义，中 心，幂零性，强幂零性，二步幂零等概念 第二节，证明了在3 - 维二步幂零l e i b n i z3 - 代数中，子空间【ll 1 ：翻不等于零当 且仅当 l ，l ，l 1 】不等于零，并给出了导代数维数为1 的3 一维二步幂零l e i b n i z3 代数 的完全分类 第三节，给出了导代数维数为2 的3 - 维二步幂零l e i b n i z3 一代数的分类 第四节，给出了3 维强幂零l e i b n i z3 - 代数的分类 关键词l e i b n i z3 一代数二步幂零分类同构 河北大学理学硕士学位论文 a b s tr a c t l e i b n i za l g e b r a sw e r ci n t r o d u c e db y3 一l l o d a yi n1 9 9 3 。t h e n3 一l l o d a y j m c a s a sa n dt p i r a s h v i l ig e n e r a l i z e di tt ol e i b n i z 扎一a l g e b r a s i n2 0 0 6 ，s a l b e t e r i e ， 8 a o m i r o va n d1 s r a k h i m o vc l a s s i f i e dt h e4 - d i m e n s i o n a ln i l p o t e n tc o m p l e xl e i b n i z a l g e b r a s i nt h i st h e s i s ：w em a i n l ys t u d yt h ec l a s s i f i c a t i o no f3 - d i m e n s i o n a lt w o s t e p n i l p o t e n tl e i b n i z3 一a l g e b r a s i ns e c t i o n1 ，w er e c a l ls o m ed e f i n i t i o n sa n dn o t a t i o n sf o rt h et h e o r yo fl e i b n i z3 一 a l g e b r a s ：s u c ha sd e f i n i t i o n so fl e i b n i z3 - a l g e b r a s ，c e n t e r ，n i l p o t e n t ，s t r o n g - n i l p o t e n t a n dt w o - s t e pn i l p o t e n t i ns e c t i o n2 ，w ep r o v et h es u b s p a e e 【l ，三1 ，l 】0i fa n do n l yi ff l ，l ，l 1 】0i n t h e3 - d i m e n s i o n a lt w o - s t e pn i l p o t e n tl e i b n i z3 - a l g e b r a s ，a n dg i v et h ec l a s s i f i c a t i o no f 3 一d i m e n s i o n a lt w o s t e pn i l p o t e n tl e i b n i z3 一a l g e b r a sw h i c ht h ed i m e n s i o no ft h ed e r i v e d a l g e b r ai so n e i ns e c ti o n3 w eg i v eth ec l a s s i f i c a ti o no f3 一d i m e n s i o n a lt w o - s t e pn i l p o t c n tl e i b n i z3 - a l g e b r a sw h i c ht h cd i m e n s i o no ft h ed e r i v e da l g e b r ai st w o i ns e c t i o n4 ，w eg i v et h ec l a r s i f i e a t i o no f3 - d i m e n s i o n a ls t r o n g - n i l p o t e n tl e i b n i z3 一 a l g e b r a s k e y w o r d sl e i b n i z3 - a l g e b r a s t w o - s t e pn i l p o t e n t c l a s s i f i c a t i o n i s o m o r p h i s m i i - 河北大学 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。尽我所知除了文中特别加以标注和致谢的地方外论文中不包含其他人已经发 表或撰写的研究成果也不包含为获得河北大学或其他教育机构的学位或证书所使用过 的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说明并 表示了致谢。 作者签名：猛) 2 圣日期： 学位论文使用授权声明 年二丘月正日 本人完全了解河北大学有关保留、使用学位论文的规定即：学校有权保留并向国家 有关部门或机构送交论文的复印件和电子版允许论文被查阅和借阅。学校可以公布论文 的全部或部分内容可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 本学位论文属于 1 、保密d 在年月日解密后适用本授权声明。 2 、不保密侈。 ( 请在以上相应方格内打“妒) 作者签名： 导师签名： 醐：哗年上月生日 日期：畔年上月正日 保护知识产权声明 本人为申请河北夸学学位所提交的题目为嘱莛么f 勘芝弓 的学位 论文，是我个人在导9 榔狳导并与导师合作下取得的研究成果，研究工作及取得 的研究成果是在河北大学所提供的研究经费及导师的研究经费资助下完成的。本人完全 了解并严格遵守中华人民共和国为保护知识产权所制定的各项法律、行政法规以及河北 大学的相关规定。 本人声明如下：本论文的成果归河北大学所有，未经征得指导教师和河北大学的书 面同意和授权，本人保证不以任何形式公开和传播科研成果和科研工作内容。如果违反 本声明，本人愿意承担相应法律责任。 声明人：二丞必蔓一日期：么丝1 年厶月4 日 作者签名： 导师签名： 毕绰 0 引言 0 引言 在h a m i l t o n i a n 力学结构中，公式象= 日， 是由h a m i l t o n i a n 算子给出的， 其中( 一，一) 表示典型泊松括号，对于一个定义在r 2 上的函数，定义 帆尼，= 誓篑一筹誓 1 9 7 3 年，n a m b u 将( 1 ) 式从二元括号运算自然推广到三元括号运算，由j a c o b i a n 函数 ，= ( f l 厶) ，将其推广到更一般地定义在r ”上的n 元括号运算n a m b u h a m i l i t a n 推广了包括7 z lh a m i l t o n i a n 运算和满足通常j a c o b i 等式的n 元括号运算公式此 时产生了一种新的n 元代数，我们称之为n a m b u l i e 代数1 9 8 5 年，f i l i p p o v 在 几何学中也提出了这个结构 9 0 年代，l o d a y 提出了李代数的非反对称形式，称为l e i b n i z 代数，即满足下列 等式： z ，【y ，。】= f 【r y 】，：】一 【z ，。】，y 】 由于l e i b n i z 代数与微分几何、同调代数、代数拓扑，代数k 理论、l o o p 空间及非交 换几何学等均存在联系，故此后这种代数结构在代数、几何，物理等诸多领域都有显著 发展在这些理论基础上，2 0 0 2 年，c a s a s 等人提出了l e i b n i z 代数的n 元形式，称 为l e i t mi zn 一代数，其反对称性对应于n a m b u l i e 或者f i l i p p o t ，代数l e i b n i zn - 代数非l i en 一代数的主要例子是李三系( j a c o b s o n ，1 9 4 9 ；l i s t e r ，1 9 5 2 ) 1 9 9 3 年，l o d a y 和p i r a s h v i l i 给出了l e i b n i z 代数9 的通用包络代数u l ( g ) 的结 构，证明了一个l e i b n i z 代数9 的表示分类等同于u l ( g ) 上的右模分类，同时给出了这 类代数的p o i n c a r d b i r k h o f f i i 衙理论i n 8 u a 和l a d r a 用g r s b n e rb a s e s 给出了 此理论的一种不同的证明1 9 7 8 年，b e r 9 7 n a n 给出了对于l i e 代数使用g r 5 b n e rb a s e s 的p b i t 7 定理的证明j a c o b s o n ( 1 9 4 9 ) ，h a r r i s ( 1 9 6 1 ) 、h o d g e 及p a r s h a l l ( 2 0 0 2 ) 都给 出了李三系的表示理论，并且对于李三系提出了通用包络代数的结构和p b l i ，r 理论 2 0 0 6 年，s a l b e t ，e r i o ，b a o m i r o v 及，s r a k h i m o v 将4 一维幂零复l e i b n i z 代数进 行了分类 河北大学理学硕_ ：学位论文 迄今为止，许多国内外学者对l e i b n i zt t - 代数都进行了大量的研究，但对于l e i b n i z t t 一代数的分类问题我们仍有很大的研究空间本文研究了3 维二步幂零l e i b n i z3 一代 数及3 维强幂零l e i b n i z3 代数的分类问题第二节，我们证明了在3 一维二步幂零 l e i b n i z3 代数中，子空间陋，l 1 ，纠不等于零当且仅当【厶厶l 1 】不等于零，并研究了 导代数维数为1 的3 维二步幂零l e i b n i z3 一代数的完全分类第三节，研究了导代数维 敦为2 的3 维二步幂零l e i b n i z3 代数的分类第四节，研究了3 一维强幂零l e i b n i z3 一 代数的分类 1 l v i b n i z3 代数的一些基本概念 1 l e i b n i z3 一代数的一些基本概念 我们在这一节给出了文章所用到的l e i b t l i z3 代数的一些基本概念 定义1 1l 是一个特征为0 的代数闭域f 上的向量空间，具有三元线性运算 【 】：l 9 3 一厶 对于任意的眠b ，c ，l r ，y l 满足j a c o b i 等式： 陋b ， c 丁，们】= 陋，b ，c 】x ，y 】一 n ，z ，y 】b ，c 】一 a ，【b ，z ，引：c 】， 则称l 是一个l e i b n i z3 - 代数 定义1 2 子集z ( l ) = x lk ，l ，l 】= 【l ，z ，l 】= 【l ，l ，z 】= 0 被称为l e i b n i z 3 代数l 的中心 定义1 3 l e i b n i z3 - 代数被称为幂零的，若存在7 - 0 ，使得l 7 = 0 其中 l o = l ，l 蚪1 = l 5 ，l 吼s 0 定义1 4 l e i b n i z3 代数被称为强幂零的，若存在r 0 ，使得l 7 = 0 ，其中 l o = l ，l 8 + 1 = 【l 5 ，l ，l 】+ 【l ，l 8 ，l 】+ l ，l ，l 8 】，s 0 定义1 5l 是一个幂零l e i t m i z3 代数，若l 2 = 0 ，则l 被称为二步幂零的 河北大学理学硕士学位论文 2 幂零l e i b n i z3 一代数的分类( d i ml 1 = 1 ) 在这一节中，我们主要研究导代数维数为1 的3 一维二步幂零l e i b n i z3 代数的分 定理2 1 设己是3 - 维幂零l e i l m i z3 一代数，d i ml 1 = 0 ，则l 是。4 b e l 的 证明设 e l ，e 2 ，e 3 ) 是l 的一组基，d i m l l = 0 ，即【e i ，e j ，e k = 0 j ，) ：，k = 1 2 ，3 ， 结论得证 引理2 1 设l 是3 维二步幂零l c i b n i z3 一代数，则【l ，l 1 ，l 1 0 当且仅当 【l ，l 1 】0 证明 设 e l ，e 2 ，e 3 ) 是l 的一组基，我们分两种情况进行讨论 ( 1 ) 当d i ml 1 = 1 时，设l 1 = f e l ，若【l ，l 1 ，纠0 ，则存在i ，j ，使得 e i ，e l ，勺】0 ， 其中i = 2 ，3 ，j = 1 ，2 ，3 令【g i ，e l ，e a 】= o y i l j e l 0 ，o q u f 。所以 由j a c o b i 等式 证得 【e i ，f e i ，e l ，勺】，e j 】= q 咖2e l 0 ， 【e i ，f 白，e 1 ，e j j ，e j 2i e i ，e i ，勺j ，e l ，勺一f q ，岛【勺，e l ，勺j rr1r 1rf1 1 因此阮己，l 1 】0 一，e l ，勺】，e i ，勺】= 一( e ，e i ，【e j ，e l ，e 】， 【e e i ，e l 】0 若【，l ，l 1 】0 ，则存在k ，l ，使得【e k ，e l ，e l 】0 ，其中k = 2 ，3 ，f = 1 ，2 ，3 ，令 ( e k ，e l ，e l 】= o t k l l e l 0 所以 由j a c o b i 等式 【e k ，e l ，【e ，e f ，e 1 】= n 2 m e l 0 f e 蠡，勖，f e 七，e l je 1 = f g k ，旬，e 量】，e l ，e l 】一f c k ，f e l ，e f ，e 】，e k 】 4 2 幂零l c i l m i ：3 代数的分类( d i m l l = 1 ) 证得 一【e 七，e l ，e 1 】，e l ，e k 】= - e k ，【e l ，e l ，e l 】，e 奄】， 【e k ，e l ，e k 】0 因此瓯l 1 ，l 】0 ( 2 ) 当d i ml 1 = 2 时，设l 1 = f e l + f e 2 因为l 2 = 【l 1 ，l ，l 】= 0 ，所以【e i ，e j ，e k = 0 ，当i = 1 ，2 ，j jk = 1 ，2 3 若陋，1 ，l 】0 ，则存在z ，使得 e 3 o t l e l + n 2 e 2 ，e l 】0 ，其 中d 1 ，q 2 只z = 1 ，2 ，3 所以 由j a c o b i 等式 则 设 则 i e 3 ，【e 3 ，c t l e l + o 2 e 2 国 ，e 1 0 f e 3 ， e 3 ，n l e l + c l 2 e 2 臼】，e l 】= 【 e 3 ，1 7 3 ，e z ，q 1 e 1 + 0 2 e 2 ， 2 1 】 - e 37e 3 ，【e l ：o l l e l + o t 2 e 2 ，e f 】一【 e 3 ，t y l e l + 0 2 e 2 ，e f 】，e 3 ，e l 】 因此 厶厶l 1 】0 = - e 3 ，e 3 ， e l ，o l e l + o r 2 e 2 e d l 【e 1 c e l e l + g 2 e 2 ，e l 】0 【e 1 n l e l + ( 1 , 2 e 2 e l 】= 3 e l + r e 2 p ，l y f e 3 ，e 3 ，3 e l 十 【e 3 ，e 3 ， 十 j 若陋，厶l 1 】0 ，则存在7 1 1 ，使得 e 3 ，e 。，( t l e l 十o , 2 e 2 】0 其中n l ，( 1 r 2 fm = 1 ，2 ，3 所以 由j a c o b i 等式 e 3 ，e 。，【e 3 ，e 。，q l e l + ( 1 2 e 2 】0 e 3 ，e 。，f e 3 ，e m ，o l e l + t 2 e 2 】= 【 e 3 ，e m e 3 】，e m ，n l e l + ( 1 1 2 e 2 】 - e a 【e m ，e m ，o l e l + c r 2 e 2 ，e 3 】一 e 3 ，e m ，o l e l + o r 2 e 2 ，e m ，? 3 】 5 河北大学理学硕士学位论文 则 设 则 = - e s ， e m ，e m ，d 1 1 e 1 + 0 1 2 e 2 ，e 3 】 e 竹l ，e 。，o r l e l + 0 r 2 e 2 0 【e 。，e m ，o r i e l + 0 1 2 c 2 】= e 1 + y e 2 0 ， 3 ：7 e 因此陋，三1 ，l 】0 证毕 e 3 j 虎1 + ”2 ，e 3 】0 定理2 2 设己是3 维二步幂零l e i b n i z3 - 代数，d i ml 1 = 1 ，设 e i ，e 2 ，e 3 是己 的一组基，l 1 = f e l ，则 ( 1 ) 若l 2 = 【l 1 ，l ，l 】= 【l ，l 1 ，l = 陋，己，l 1 = 0 ，其乘法表如下： ( a 1 ) 【e i ，勺，e k 】= 口o k e l ，o 巧k f 12 ，j ，k 3 ， 其中至少存在一个q 巧奄0 a = 对应于结构常数q 0 k f 的l e i b n i z3 - 代数同构的条件为：存在二阶可逆矩阵 a 2 2a 2 3 a 3 25 1 3 3 使得系数之间满足关系： f s ：2 3 a i l a j t a k s q 沁= 口0 屉，2 i ，j ，七3 ( 2 ) 若陋，1 ，l 】0 ，则在同构的意义下，具有如下乘法表： 其中o i j k 只2 i ，j ，k 3 a = ( a 2 ) r1 i e 2 ，e 1 ，e 2 j2e 1 ， r、 l e 2 ，e 2 ，e l j 。- e 1 ， e i ，e j ，钆】= o t i j k e l ， 对应于结构常数a i r y 七f 的l e i b n i z3 - 代数同构的条件为：存在二阶可逆矩阵 a 2 2t 2 3 a 3 2a 3 3 使得系数之间满足关系： 口2 2 = 1 ，6 1 3 2 = 0 ，f s ：2 3 a i l l l j t o k 5 0 t l t s = o ：j 七，2 i ，j ，k 3 2 幂零g c i l m i z3 代数的分类( d i m l l = 1 ) 证明 ( 1 ) 若l 2 = 【l 1 ，l ，l 1 = 【l ，l 1 ，l 1 = 【l ，l ，l 1 1 = 0 ，则b ，e 3 ，e k 】= 0 ，当 ( i 一1 ) ( 歹一1 ) ( 七一1 ) = 0 所以乘法表为： 【e i ，e j ，e k 】- o e i j k e l ，q 巧七f i ，j ，k 1 ， 其中至少存在一个n 巧七0 假设存在另外一组基 e j ，e ；，e ：) ，其中e j = e l ，e ；= 盯( e 2 ) e ：= 盯( e 3 ) ，为e 2 ，e 3 之间的线性变换，满足运算 ”弓，e 纠= q 0 七e l q 0 七fi j ，k 1 ， 与之同构，那么设仃( e 1 ) = e l ，丁( e r ) = ，；2 3 a ，l e l ，r = 2 ，3 ，有 则 e ： 弓e 纠= 盯( e i ) 仃( 勺) ，仃( e 七) 】：【扛2 3 ( 1 i l e l ，忙2 3 a j t p f ，s ：2 ，3 ( 1 k s e s 】 = “胆2 3 a i l a j l a k s i e f c ，e 小= “庐2 3 a i l a j a k 3 0 l t 6 e l = n ，j 七e 1 2 1 5 ：2 ，3 a i l a j t ( 1 k 5 0 q t s = q 知 因此，若两者同构，则存在二阶可逆矩阵_ = 1 a 2 2 a 眈3 3 3 ) 使得系数之间满足关系 z t s ：2 3 a i z a j t a k s 0i t s = 0 0 蠡，2 z j ，k 3 ( 2 ) 设二1 = f e l ，由于陋，l 1 ，纠0 ，则存在i ，j ，使得 e i ，e l ，勺1 0 其中 i 1 ，j = 1 ，2 ，3 记b ，e l ，e j 】= c q l j e l ，c y f l j f 当i = 2 时，若j = 1 ，不妨假设【c 2 ，e l ，e l 】= e l ，则 由j a c o b i 等式 i e 2 i e 2 ，e l ? e l j ，e lj = e l rr e 2 ， e 2 ，e l e 1 】，e l 】= e 2 ，e 2 ，e l 】，e l ，e l 】 一【e 2 e 2 ，【e l ，e l ，e 1 ”一 e 2 ，e l ，e 1 】，e 2 ，e l 】= 0 矛盾，所以j = 1 不成立 若j = 2 ，不妨假设【e 2 ，e l ，e 2 】：e l ，则 e 2 【e 2 ，e l ，e 2 ，e 2 】_ e 1 7 - 河北大学理学硕士学位论文 由j a c o b i 等式 得到 e 2 ， e 2 ，e 1 ，e 2 】，e 2 】= 【 e 2 ，e 2 砌 ，e l ，e 2 一【e 2 ，e 2 ，【c 2 ，e 1 ，e 2 】 一【e 2 ，e l ，】，e 2 ，e 2 】- - e 2e2el e 2 e 2 - e 2 ，c 1 】，一n e 2 ， ， j ， ，】5 ， j ， 假设 e 3 ，c 1 ，c 3 _ c t 3 1 3 c 1 ，则 由j a c o b i 等式 得到 由于 由j a c o b i 等式 得到 e 2 ，e 2 ，e l 】- 一e 1 【e 3 ，【e 3 ，e 1 ，c 3 】，e 3 】- q ；1 3 e 1 【e 3 ，【e 3 ，e l ，e 3 j ，c 3 j2 【i e 3 e 3 ，e 3 j ，e l ，e 3j 一【e 3 ，e 3 ，【e 3 ，e 1 ，e 3jj ，r，11 一【i e 3 ，e l ，e 3 ，e 3 ，e 3 】：- e 3 ，e 3 ，0 3 1 3 e 1 ， 【e 3 ，e 3 ，e l 】= - o 3 1 3 e 1 e 3 ， e 2 ，e 2 e 1 j ，e 3 】= 一0 3 1 3 e 1 【c 3 ， e 2 e 2 ，e 1 】，e 3 j ：( ( e 3 ，e 2 忍】，e 2 e 1 】- ( e 3 ，e 2 ，【e 3 ，e 2 忍” 一 e 3 ，e 2 ，e 1 】，e 2 ，c 3 】_ - e 3 ，c 2 ， e 3 ，c 2 ，e l 】 当 e 3 ，e 2 ，e l 】_ 丽e 1 时，则 由j a c o b i 等式 f e 3 ，e 2 ，e l 】：t = a x 5 丽e , f e 2 ，e 2 ，f c 3 ，e 2 e l ”= 一厮1 f e 2 ，e 2 【c 3 e 2 ，e l 】= 【e 2 ，e 2 ，e 3 】，c 2 e l 】一【e 2 ，【e 2 ，e 2 ，e 】e 3 】 一& 2 幂零l e i l m i z3 一代数的分类( d i m l l = 1 ) 得到 由于 由j a c o b i 等式 得到 由于 由j a c o b i 等式 得到 一( ( e 2 ，e 2 ，e 1 1 ，e 2 ，e 3 】= 一【e 2 ，一e l ，e 3 】， 【e 2 ：e l ，e 3 j = 一廊1 e 3 ，e 2 ， e 2 ，e 2 ，e l 】= 一廊1 e 3 ，e o e 2 e 2 e 1 】= e 3 ，e 2 ，e 2 】，e 2 ，e l 】一【e 3 ，【e 2 6 2 ，e 1 ，e 2 】 一( 【e 3 ，e 2 ，e l j ? e 2 ，c 2 】= - i e a ，一e 1 e 2 】， f e 3 e l ，e 2 j - 一厮1 【e 2 ，e 2 ，【e 3 ，e 3 ，e 1 】= q 3 1 3 e 1 【e 2 ，c 2 ，【e 3 ，e a ，e 1 】= 【 e 2 ，e 2 e 3 ，e 3 ，6 1 卜【e 2 ，【e 2 ，e 3 ，e 1 ，c 3 】 一f 【e 2 ，e 3 ，e l j ，e 2 e 3 j = 一【e 2 【e 2 ，e 3 e 1j ，e 3 j ， fr11rr11 ，。一 l q ，e 3 ：c 1 j2 、a a l a e l 经过j a c o b i 等式的验证，我们得到乘法表： 【e 2 e 1 ，e 2 】2e l ， 【e 2 je l ，e 3 】= 一厮e l e 2 ，e 2 ，p 1 】= 一e l ， e 2 ，c 3 e l 】= 瓜e 1 ， 【e 3 ，e l ，e 2 】_ 一瓜e 1 f e 3 ，c 1 ，p 3 】= & 3 1 3 c 1 ， 【e 3 e 2 e 1 】= 瓜c 1 ， e 3 e 3 ，e l 】_ 咄3 1 3 e l ， ( e i ，e j ，e 七1 = n i e l ， 一9 其中c t 3 1 3 ，a 巧自只2 i ，j ，k 3 在上述乘法表中，将0 1 3 1 3 记为q ，得到： 【e 2 ，e l ，e 2 】= e l ， e 2 e l ，c 3 】= 一面钆 f e 2 e 2 ，e l 】= 一e 1 e 2 ，e 3 ，c 1 】- 雁1 ， b ，e i ，c 2 】= 一疵i ， 【e 3 e l ，c 3 1 - q _ e 1 ， 陋3 ，e 2 ，e l j = v - a 户1 ， e 3 ，e 3 ，e 1 = 一q e l ， 【e t ，e j ，e 知 = q ，玎e l ， 其中q ，口巧鬼e2 f ，j ，ks3 当f e 3 ，e 2 ，c 1 】= 一厢e ，时，类似于上面的讨论，在同构的意义下，也得到乘法 表： 【e 2 ，e l ，9 2 】- e l ， e 2 e l ，e 3 1 ：一以- e 1 ， i e 2 ，e 2 ，e l 】= - e 1 ， f e 2 ，c 3 ，e 1 】= 压e 1 f e 3 崩，e 2 】= 一正 【e 3 ，e l ，e 3 j = a e l ， e 2 e 1 = 雁1 ， e 3 ，e 3 ，e 1j = 一n p 1 ， l 白，勺，v k j = o o u k e l ， 其中口，q 巧七f ，2 ，j ，k 3 若j = 3 ，不妨假设f e 2 ，e l ，e 3 】= e 1 ，则 由j a c o b i 等式 得到 【i f 2 ，【e 2 ，e l 舟】，e 3 1 一e 1 c 2 ， e 2 ，e l ，e a ，e 3 】- e 2 ，c 2 ，e 3 】，e l e 3 】_ 【e 2 ，e 2 ， e 3 ，e 1 ，e 3 】 一【f e 2 ，e l ，e 3 】，e 2 ，e 3 】_ - e 2 ，8 2 【e 3 e l e 3 】， f e 3 ，e 】，e 3 】= n 3 】3 e l ，f e 2 ，e 2 ，e l 】_ 一。未e i 1 0 2 幂零l e i t m i ：3 代数的分类( ( h m l l = 1 ) 则 由j a c o b i 等式 得到 由于 由j a c o b i 等式 得到 由于 由j a c o b i 等式 得到 由于 【e 3 ，【e 3 ，e 1 ，e a 】，e 3 】= r ￥；1 3 e 1 e 3 ， e 3 e 1 ，e 3 】，c 3 】= 【 e 37e a ，e 3 ，e l ，e 3 卜 e 3 ，c 3 ， e 3 e 1 e 3 一【e 3 ，e l ，e 3 】，e 3 ，e 3 】_ - c a ，e 3 ，0 3 1 3 c 1 ， 【e 3 ，e 3 c 1 】= - q 3 1 3 e 1 【e 2 ， e 3 ，e l ，e 3 】，c 3 】= 0 f 3 1 3 e l e 2 ，f e 3 ，e 1 e 3 ? e 3 】_ e 2 ，c 3 ，e 3 】，e l ，e 3 卜f c 2 ，e 3 ， e 3 ，c l ，c 3 】 - - k ，e l ，e 3 e 37e 3 】= - e 2 ，e 3 ，c 1 3 1 3 e 1 ， 【e 2 ，e 3 ，e 1 】= - - e 1 e 3 ，( e 2 ，( 2 1 ，e 3 ，c 3 】= 0 3 1 3 e 1 【e 3 ，【c 2 ，e l ，e 3 】，e 3 】_ e 3 ，c 2 ，e 3 1 ，e 1 e 3 卜 e 3 ，e 2 ， e 3 e l ，e 3 】 r r11r 、 一l 【e 3 ，e 1 ，e 3 j ，e 2 ，c 3 j2 一【e 3 ，e 2 ，( 0 3 1 3 e lj ， 【e 3 ，e 2 ，e 1 】- - e 1 【e 2 【e 2 ，e l 】- q 未e 1 1 1 河北大学理学硕士学位论文 由j a c o b i 等式 得到 由于 由j a c o b i 等式 得到 【e 2 ，e 2 ， e 2 ，e 2 ，e 1 】= 【 e 2 ，e 2 ，e 2 】，e 2 ，e l 】一 e 2 ，【c 2 ，e 2 ，e l i ，e 2 - e 2 ，e 2 ，e 1 ，e 2 ，e 2 】_一e 2 ，一口五j e l ，e 2 ， e 2 ，钆e 2 】= a 未e 1 【c 3 ，c 3 ， e 2 ，e 1 ，e 3 】= - 0 1 3 1 3 e 1 【c 3 ，c 3 ，f e 2 ，e 1 e 3 】=f e 3 ，e 3 ，e 2 】，e l ，e 3 j 一 e 3 ， e 3 ，e l ，e 3 】，c 2 】 一 【e 3 ，e a ，e 3 ，e 3 ，e 2 】：一h ( r 3 1 3 e l ，e 2 ， f e 3 e l e 2 】= e 1 经过j a c o b i 等式的验证，我们得到乘法表： 【e 2 ，e l ，e 2 】= a 矗3 e l ， e 2 ，e l ，e 3 】= e l ， 【e 2 ，c 2 。e l 】= 一a 未e i ， e 2 ，e 3 ，e 1 = 一e 1 ， 【e 3 ，e 1 ，e 2 】2e l ， 【e s ，e l ，e 3 】= o r 3 1 3 e l ， e 3 ，c 2 e l 】= - e l ， c 3 ，e 3 e 1 = - 口3 1 3 c 1 ， 【e i ，e j ，e k 】_ o i j k e l ， 其中0 3 1 3 ，口 j 只o 3 1 3 0 ，2 i ，j ，k 3 此类情形同构于i = 2 ，j = 2 情形中的口0 的类 当i = 3 时，类似于i = 2 ，j = 1 情形的讨论，可知 c 3 ，e 1 ，e 1 】= 0 若j = 2 ，不妨假设【e 3 ，e l ，c 2 】= e l ，给基做变换，令e 1 2 = e 3 ，e ：= e 2 ，在新的乘法表 k e ：，e 幻= e j 1 2 2 幂零e e i b n i z3 - 代数的分类( d i n 儿1 ：1 1 类似于上面的讨论，可以得到此类同构于i ：2 ，歹：3 的情形 若歹= 3 ，不妨假设【e 3 ，e - ，e 3 】= e ，给基做变换，令岛：e 。，在新的乘法表中。 瞄? e i ，e 甜= e i 类似于上面的讨论，可以得到此类同构于i ：2 ，j ：2 的情形 综上所述，其乘法表为： 其中口，o 巧七f 2 i ，歹，凫3 下面我们分情况进行讨论 当口= 0 时，得到： 【e 2 ，e l ，c 2 = e l ， r ，一 【e 2 ，e 1 ，e 3 j2 一 q p l ， e 2 ，e 2 ，e 1 = 一e 1 ， e 2 ，e 3 ，e l 】= 扛l ， 【e 3 ，e 】。e 2 】= 一而鼠 f e 3 ，e 1 e 3 】- 仃 f e 3 ，e 2 确j = 疵1 ， f e 3 ，e 3 ，e 1 】= 一qe 1 【e i ，e j ，e 奄】= 口i j 知e l ， ， e 2 , e l , e 2 1 = e l , 其中q 巧奄f2sf ，歹，七3 假设存在另外一组基 e ：，e ；，e ：) 其中e ：= e ，岛= 盯( e 2 ) ，e ：盯( p 。) ，仃为e 3 之间的线性变换，其乘法表为 f e ；，e 1 ，e 爿= p ( p z ) ：叮( p - ) ：口( c 。) 】= k z 。e ：+ 订2 。e 3 ，e 。：a 。e 2j r - a 2 3 e 3 ：a2 e 。：e 。， 1 3 ， e ，q 肚白一， i | = i | ，llj，ij 旬嘲 q 吗略 ，2，o-，fk 婚，ij、-一 3 2 = re r 0 3，-k i | 、l ， r忙 仃 q = 、l ，沁 盯 没 么那构同之与 3 一 奄 一 2e 七 u n 中 其有 砖；e i 4 1 = p ( e z ) ，口( e ，) ，叮( e 3 j j = 扛2 。e 2 + g 。3 铅，e 。，。e ：+ 理。3 e 3 j ：8 。2 口。2 e ：。， 则( 1 3 2 = 0 由于 则 f e ：，e ；，e ：j = 盯( e i ) ，盯( 勺) ，口( e 七) 】= - 1 = 2 , 3 a i l e l , 。：。吩。e 。，。：。口七。岛j = 马 s = 2 ，3 8 露吩c 8 b 妇，岛，岛j = 马, t s = 2 , 3 a i t 勺。垃幻。矗，e l ：q 氛q 。 1 t , s = 2 , 3 a i l c l j t k s q 【t s 。渺 因此若两者同构，则存在二阶可逆矩阵月= ( 篆芝) 使得系数之，可满足关系 口2 221 ，。3 22 o ，z s = 2 ，3 。i f n j 口后。q f 。= 0 七，2si ，歹，七3 当q 0 时，乘法表为： 【e 2 ，e l ，e 2 】= e l ， f e 2 ，e l ，e 3 j = 一面p i ， 陵，q ，e l j = 一e 】， i e 2 ，e 3 ，e l 】= 沿l ， 【e 3 ，e l ，e 2 】= 一何e 1 ， f e 3 ，e l ，e 3 j = o e i ， f e 3 ，e 2 ，e lj = 历】 f e 3 ，e 3 ，e lj 。一e 1 ， 归f ，勺，e k j = o i j k e l ， 其中口，o r i j k e2 i ，j ：七3 在上述乘法表中，用而已2 + e 3 代替e 3 ，得到： 偿e 2 , 黝e l , e 2 二- 2 嚣e l , ， 其中f 1 巧玉f2s i ，只七3 此种情形为情形缸2 ) 条件宝薯安1：竺篙竺啦厶耻m呲】=0础形(0。)的l 条件为1 ，q o ，显然两者不同构证毕 1 ”川刚p _ 川。 一l - 1 3 幂零l e i b n i z3 代数的分类( d i m l 1 = 2 ) 在这一节中，我们主要研究导代数维数为2 的3 - 维二步幂零l e i b n i z 3 - 代数的分 类 定理3 1 设是3 维二步幂零c i 6 躬i ：3 - 代数，d i m l 1 = 2 ，则存在的一组基 e l , e 2 ，e 3 ) ，在同构的意义下，具有如下乘法表。 其中n t 只i = 1 ，2 ，3 ，n l 0 其中a i 只i = i 。2 ( c 5 ) = 一e l ， = 一n l e 2 、 = e 1 = o l l e 2 = o 。2 e l 十0 3 e 2 ， = 一e l ， = 一e l e 2 ， = e 1 = e l + e 2 ， = o t l e l + o 2 e 2 ， 【e 3 ，e l ，e 3 【e 3 ，e 3 ，c 1 【e 3 ，e 3 ，e 3 【e 3 ，e 2 ，e 3 】 【e 3 ，e 3 ，e 2 】 【e 3 ，e 3 ，e 3 】 1 5 = e 2 = 一e 2 ， = e 1 = e 2 = 一e 2 = e l 。e 2 = e 2 = 一2 ， = e 1 、j 1 j 1 j 1 j 1 _ = u 纠钏印q 眇 眇 纷 纷 鼢b b b b ，iiiijllll【 p 1j 1 j 1j 1i，吐 圳。剐。以以 鲫 形 绑 彩 部 缈 出 b b b b ，iiiilli(1l-ll_一一 1j 1 j 1 j 3 2 3 e e e ， ， ， 2 3 3 e e e 3 3 3 k k k 河北大学理学硕士学位论文 证明设l 1 = f e i + f e 2 ，则 l 2 = l 1 ，l ，l 】： f e l + f e 2 ，l ，l 】- 0 ， 阮厶l 】= f e 3 ，l ，l 】_ f e l + f e 2 当陋1 ，厶l - l ，l 1 ，l 】= f l ，l ，l 1 】= 0 时，则 = 【l ，l ，l 】= 【f e 3 ，f e l + f e 2 十f e s ，f e t + f e 2 + f e 3 】 f e 3 ，e 3 ，e 3 】 因此，d i ml 1 1 ，与d i ml 1 = 2 矛盾所以阮l 1 ，l 】0 则存在i ，j ，使得 e 3 ，e ，e j 】 0 ，i = 1 ，2 ，j = 1 ，2 ，3 ( 1 ) 当i = 1 时，若j = 1 ，即 e 3 ，e l ，e 1 = 0 3 1 1 c 1 + q ：1 1 c 2 0 ，则0 3 1 1 ，a ：1 l 不同时 为0 那么 由j a c o b i 等式 得 【e 3 ，l e 3 ，e l ，c 1j ，c 1j 。 ， ( e 3 ，0 l 3 1 1 c 1 + q ；l l c 2 ，e 1 】 = a ；1 1 e 1 + q 3 1 1 ( 1 7 3 1 1 e 2 + q ：1 1 e 3 ，e 2 ，e l 】 e