（计算机应用技术专业论文）小波分析及遗传算法在图像去噪中的应用研究.pdf

湖北工业大学硕士学位论文 摘要 图像在采集、获取以及传输的过程中，往往要受到噪声的污染，被噪声污染 了的图像叫做含噪图像。噪声是影响图像质量的主要因素，极大影响了人们从图 像中提取信息，因此，非常有必要在分析和利用图像之前消除噪声。 小波分析是局部化时频分析，它用时域和频域的联合表示信号的特征，是分 析非平稳信号的有力工具，它通过伸缩、平移等运算功能对信号进行多尺度细化 分析，能有效地从信号中提取信息。不仅能满足各种去噪要求，如低通、高通、 陷波、随机噪音的去除等，而且与传统的去噪方法相比较，有着无可比拟的其他 优点，成为信号分析的一个强有力的工具，被誉为分析信号的“数学显微镜”。小 波分析是目前国际公认的信号与信息处理领域的高新技术，是信号处理的前沿课 题和研究热点，在信号滤波、图像去噪等领域的应用愈来愈受到人们的重视i 遗传算法是模拟生物在自然环境中的遗传和进化过程而形成的一种自适应全 局优化概率搜索算法。利用遗传算法的全局最优性在大范围内进行搜索，最终进 行快速的局部寻优，从而达到了全局寻优与快速搜索的有机结合，求得最优解或 近似最优解。 本文对小波分析和遗传算法的图像去嗓方法进行了较深入地研究。主要工作 如下： 1 综合阐述了小波去噪和遗传算法的研究历史及现状，以及开展小波去噪和 遗传算法研究的意义。 2 详细介绍了小波分析的基础理论，阐述了连续小波变换、离散小波变换、 二进小波变换、多分辨率分析和多小波变换以及图像小波变换的基础理论知识。 3 介绍了遗传算法的基础理论，阐述了遗传算法的基本概念，目的、原理、 基本步骤和特点等基础理论知识。 4 在分析空域滤波和频域低通滤波两种图像去噪基本方法的基础上，详细阐 明了小波变换的模型和流程等机理，综合对比了不同门限的去噪性能，对小波分 析去噪的不同方法进行了分析和论述，比较了其优缺点。 5 开展小波变换去噪的算法改进的研究。在分析小波系数相关性的基础上， 提出了改进的阀值函数；对多尺度阀值去噪方法的阀值进行了研究，最后结合遗 传算法提出了改进的去噪方法，并进行了仿真实验的验证。 关键词：小波分析，图像去噪，遗传算法，小波收缩 湖北工业大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h ei m a g ei so f t e nc o r r u p t e db yt h en o i s ei ni t sc o l l e c t i o n , a c q u i s i t i o no r t r a n s m i s s i o n ，t h ec o r r u p t e di m a g ei sc a l l e dt h en o i s yi m a g e b e c a u s et h en o i s ei st h e m a i nf a c t o rt h a ti n f l u e n c e dt h ei m a g eq u a l i t ya n dg r e a t l ya f f e c t e dt oe x t r a c tt h e i n f o r m a t i o nf r o mi t ，i tm u s tb er e m o v e db e f o r ei tc a nb ea n a l y z e da n du t i l i z e d 。 w a v e l e ta n a l y s i si st h el o c a la n a l y s i si nt h et i m ed o m a i na n df i e q u e n c yd o m a i n ， a n dw h i c hr e p r e s e n t st h es i g n a lp r o p e r t yu s i n gc o m b i n a t i o no ft h et i m ed o m a i na n d f r e q u e n c yd o m a i n i ti sau s e f u lt o o lt oa n a l y z et h eu n s t a t i o n a r ys i g n a lt h a ti m p l e m e n t s m u l t i s c a l ea n a l y s i st ot h es i g n a lb yt h et r a n s l a t i o na n dd i l a t i o no ft h em o t h e rw a v e l e t s oi tc a ne f f e c t i v e l ye x t r a c tt h ei n f o r m a t i o nf r o mt h es i g n a l i tc a nf u l f i l ld i f f e r e n tk i n d s o ft h ef i l t e r i n gn e e ds u c ha sl o w p a s s ，h i g h p a s s ，s i n kw a v e ，r a n d o mn o i s ed e n o i s i n g c o m p a r e dw i t h t h et r a d i t i o n a ld e n o i s i n gm e t h o d s ，w a v e l e th a st h ei n c o m p a r a b l e a d v a n t a g e i th a sb e c o m et h ee f f e c t i v ea n a l y s i s t o o la n di sk n o w na st h em a t h m i c r o s c o p e o ft h es i g n a la n a l y s i s a tp r e s e n t ，w a v e l e ta n a l y s i si sa ni n t e r n a t i o n a l a c k n o w l e d g e da d v a n c e dt e c h n o l o g yi n t h ed o m a i no ft h ei n f o r m a t i o na n ds i g n a l p r o c e s s i n g m e a n w h i l ei t i st h ef r o n tq u e s t i o nf o rt h ed i s c u s s i o na n ds t u d yh o t s p o t a t t a c h e dt h em o r ea n dm o r ei m p o r t a n c et op e o p l ei nt h ed o m a i ns u c ha ss i g n a lf i l t e r i n g , i m a g ed e n o i s i n g ，e t c t h eg e n e t i ca l g o r i t h mi ss i m u l a t i n gt h eb i o l o g yt og e to n ek i n do ft h ea u t o a d a p t e d g l o b a lo p t i m i z a t i o np r o b a b i l i t y t os e a r c h a l g o r i t h mw h i c hf o r m si n t h en a t u r a l e n v i r o n m e n th e r e d i t ya n dt h ee v o l u t i o np r o c e s s u s i n gt h eg e n e t i ca l g o r i t h mo v e r a l l s i t u a t i o no p t i m a l i t yc a r r i e so nt h es e a r c hi nt h ew i d er a n g e ，f i n a l l yc a r r i e so nt h ef a s t p a r t i a lo p t i m i z a t i o n ，t h u sh a da c h i e v e dt h eo v e r a l ls i t u a t i o no p t i m i z a t i o na n dt h ef a s t s e a r c ho r g a n i cs y n t h e s i s , o b t a i n st h eo p t i m a ls o l u t i o no rt h ea p p r o x i m a t eo p t i m a l s o l u t i o n t h j sa r t i c l et a k e st h ew a v e l e ta n a l y s i si m a g ed e n o i s i n ga sak e yp o i n t c o n d u c t st h e r e s e a r c ht ot h ew a v e l e tt r a n s f o r m a t i o na n dt h eg e n e t i ca l g o r i t h md e n o i s i n gu n i o n m a i n w o r ka sf o l l o w s ： 1 n es y n t h e s e se l a b o r a t e d t h ew a v e l e td e n o i s i n ga n dt h eg e n e t i ca l g o r i t h m r e s e a r c hh i s t o r ya n dt h ep r e s e n ts i t u a t i o n , a sw e l l 勰d e v e l o p m e n tw a v e l e td e n o i s i n ga n d g e n e t i ca l g o r i t h mr e s e a r c hs i g n i f i c a n c e 2 i n t r o d u c i n gt h ew a v e l e ta n a l y s i sb a s i ct h e o r y , e l a b o r a t e dt h ec o n t i n u a lw a v e l e t t r a n s f o r m a t i o n ，t h es e p a r a t ew a v e l e tt r a n s f o r m a t i o n ，t h eb i n a r yw a v e l e tt r a n s f o r m a t i o n ， t h em u l t i - r e s o l u t i o na n a l y s i sa n dt h em u l t i w a v e l e tt r a n s f o r m a t i o na sw e l la si m a g e w a v e l e tt r a n s f o r m a t i o nb a s i ct h e o r yk n o w l e d g e 3 i n t r o d u c i n gt h eb a s i ct h e o r yo f t h eg e n e t i ca l g o r i t h m ，e l a b o r a t e dt h eb a s i ct h e o r y k n o w l e d g e ：i h eg e n e t i ca l g o r i t h mb a s i cc o n c e p t ，g o a l ，p r i n c i p l e ，b a s i cs t e pa n d c h a r a c t e r i s t i ca n ds oo n 湖北工业大学硕士学位论文 4 b a s i n go nt h ef o u n d a t i o nt oc o n t r a s ta n da n a l y z et w ok i n d so ft h eb a s i cm e t h o d o i lt h ei m a g ed e n o i s i n g ：a i rz o n ef i l t e ra n df r e q u e n c yr a n g el o wp a s sf i l t e rh a sa n a l y z e d w a v e l e tt r a n s f o r m a t i o nm o d e la n df l o wm e c h a n i s m se t c ，t h eg e n e r m i z e da n a l y s i s d i f f e r e n tt h r e s h o l d sa n dt h ef i l t e rp e r f o r m a n c e ，h a sc a r r i e do nt h ea n a l y s i sa n dt h e c o n t r a s tt ot h ew a v e l e ta n a l y s i sd e n o i s i n gb yd i f f e r e n tm e t h o d s ，c o m p a r e dw i t ht h e i r g o o da n db a dp o i n t s 5 d e v e l o p i n gt h ei m p r o v e m e n tr e s e a r c ho fw a v e l e tt r a n s f o r m a t i o nd e n o i s i n g a l g o r i t h m t h er e l a t i v i t yi sb a s e do nt h ea n a l y s i sw a v e l e tc o e f f i c i e n t ，p r o p o s i n gt h e i m p r o v e m e n tt h r e s h o l df u n c t i o nh a sc o n d u c t e dt h er e s e a r c ht ot h et h r e s h o l do ft h e m u l t i c r i t e r i o nt h r e s h o l dd e n o i s i n gm e t h o d ，f i n a l l yu n i f i e dt h eg e n e t i ca l g o r i t h mt o p r o p o s et h ei m p r o v e m e n td e n o i s i n gm e t h o d ，a n dh a sc a r r i e do nt h ec o n f i r m a t i o no f s i m u l a t i o ne x p e r i m e n t k e y w o r d s ：t h ew a v e l e ta n a l y s i s ，t h ei m a g ed e n o i s i n g , t h eg e n e t i ca l g o r i t h m ，t h e w a v e l e tc o n t r a c t s 诹1 l 亡工繁火港 学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工 作所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个 人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体， 均已在文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：j 却i 卅日期：矿石月6 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和 借阅。本人授权湖北工业大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 学位论文作者签名 日期：碉年莎月 指导教师签名：古巾厂讹， 日期：哗占月厶日 吖， 丹 即日 z 湖北工业大学硕士学位论文 第一章引言 小波分析( w a v e l e tt r a n s f o r m ) 是8 0 年代后期发展起来的应用数学分支，是继 f o u r i e r 分析的一个突破性进展，它给信号处理领域带来了崭新的思想，提供了强 有力的工具，在科技界引起了广泛的关注和高度的重视【l 】。它既包含有丰富的数学 理论又是工程应用中强有力的方法和工具。小波分析的发展推动着许多其它学科 和领域的发展，使得其本身具有了多学科相互结合、相互渗透的特点。探讨小波 的新理论、新方法以及新应用成为当前数学晃和工程界的一个非常活跃和富有挑 战性的研究领域。 从数学角度看，小波分析属于调和分析的范畴，用于把某一函数在特定空间 内按照小波基展开和逼近：从工程角度去看，小波分析是一种信号与信息处理的工 具，是继f o u r i e r 分析之后的又一有效的时频分析方法1 2 1 。小波变换作为一种新的 多分辨分析方法，可同时进行时域和频域分析，具有时频局部化和变分辨特性。 小波分析是由f o u r i e r 分析发展起来的一个新的数学方法，它利用小波基取代 传统的三角函数基，从而对函数进行分解与综合，由于这样的基简单( 一维时它是 由一个函数经平移与伸缩而得到的) ，性质好( 充分光滑，快速衰减，具有振动，状 如小波) ，它能为理论与应用的许多分支提供对函数进行分析的更方便的工具。与 f o u r i e r 变换、窗口f o u r i e ：变换( g a b o r 变换1 相比，它是一个时间与频率的局域变换。 因而能有效从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多 尺度分析( m u i t i s c a l ea n a l y s i s ) 解决了f o u r i e ：交换不能解决的许多困难问题。 遗传算法( g e n e t i c a l g o r i t h m ) 是一类借鉴生物界的进化规律( 适者生存，优 胜劣汰遗传机制) 演化而来的随机化搜索方法。它是由美国的j h o l l a n d 教授1 9 7 5 年首先提出，其主要特点是直接对结构对象进行操作，不存在求导和函数连续性 的限定；具有内在的隐并行性和更好的全局寻优能力；采用概率化的寻优方法， 能自动获取和指导优化的搜索空间，自适应地调整搜索方向，不需要确定的规则。 遗传算法的这些性质，己被人们广泛地应用于组合优化、机器学习、信号处理、 白适应控制和人工生命等领域。它是现代有关智能计算中的关键技术之一。 1 1 小波分析的发展回顾 小波概念的真正出现应是1 9 8 4 年，法国地球物理学家j m o r l e t 等在研究地震 信号时首次提出，之君他一与ag r o s s m a n n 一起，建立了连续小波交换的几何体 湖北工业大学硕士学位论文 系。1 9 8 5 年， y m e y e r f 同a g r o s s m a n n 及i d a u b e e h i e s 一起共同研究，得到了 一组离散的小波基( 称为小波框架) ，且根据小波框架的离散子集函数，恢复了连续 小波函数的全空间。1 9 8 6 年m e y e r 证明了确实存在正交的小波基。稍后l e m a r i e 和b a t t l e 又分别独立地构造了具有指数衰减的正交小波函数。1 9 8 7 年，m a l l a t 将 计算机视觉领域内的多尺度分析思想引入到小波分析中，提出多分辨率分析概念， 统一了在此之前的各种具体正交小波基的构造，并且提出相应的分解与重构快速 算法。这是小波理论突破性的成果，其作用和地位与f o m e r 分析的f f t 相当。1 9 8 8 年，d a u b e c i e s 建立紧支集的小波及小波框架的基本理论，并且在小波专题研讨会 上作了十次演讲( a p 后来著名的小波十讲1 。引起各行业众多人士的关注，从此 在全球掀起了小波分析与应用的热潮。 1 9 8 9 年，随着小波理论的进一步发展，m a l l a t 提出了实现小波变换的快速算 法一m a l l a t 塔式算法，他的地位相当于f o u r i e ：变换中的f f f 。1 9 9 0 年，崔锦泰和 王建忠构建了基于样条的单正交小波函数，并讨论了具有最好局部化的尺度函数 和小波函数，与此同时，w i c k e r h a u s e ：和c o i f i n a n 的等人通过对母小波函数进行伸 缩、平移和调制运算，提出了小波包的概念，并将m a l l a t 算法进一步深化，得到 了小波包算法。 通常，小波函数，可由一个特殊的l 2 但) 中函数( 称为母函数) 树经过二进平移 和伸缩而得到，这样的小波称为第一代小波，除了d o n o h o 外，第一代小波的构造 方法主要依赖于f o u r i e ：变换。其中的原因是，平移和伸缩是f o u r i e ：域中的代数运 算。 事实上，八十年代早期，s t r o m b e r g 用基于样条插值的方法发现了第一个正交 小波，该方法并不依赖于f o u r i e r 变换。到了九十年代中期，s w e l d e n s 和d a u b e c h i e s 等学者提出了第二代小波的构造方法一提升方法( l i f t i n gs c h e m e ) ，即这样的 小波未必是母小波的互相平移和伸缩，但仍具有第一代小波的所有优良性质，它 还可以定义在r ，的任意区域上，如某一曲面上。提升方法是构造第二代小波的简 单而相当有效的工具。 近年来，小波理论得到了进一步的发展，人们构造出同时具有多种优良性质 的小波，1 9 9 4 年，g o o d m a n 等人提出基于r 元的多分辨分析，建立了多小波的基 本理论框架：并给出了样条多小波例子【3 】o 同年，g e r o n i m o ，h a r d i n 和m a s s o p u s t 利用分形插值，成功的构造了具有短支撑集、正交、对称和二阶消失矩的两个尺 度的向量函数：1 9 9 3 年，s t e f e np 和h e l l e rp n 等人构造了m 一带小波，1 9 9 2 年， d o n o h o 给出了插值小波和小波变换等。除此以外，也从另外一个角度放宽正交小 波基的条件。去研究更一般的非正交向量族，如框架等，1 9 9 2 年，v a i d y a n a t h a ne p ， 2 湖北工业大学硕士学位论文 v e t t e r l i m ，h e r l e y c 以及s t r a n 9 1 3 等发展了滤波器理论，r ( r ) 中的小波基可以 由递归滤波器组得到。1 9 9 6 年，u n s e r m ，t h e r e n a ze 和a l d r o u b ia 从样条函数 出发构造了一组平移正交小波基等，使得小波理论不断完善【。 在小波理论迅速发展的同时，小波的应用研究也在数学、信号处理和图像处 理领域不断地展开。其应用范围包括信号分析、图像处理、电子对抗、计算机识 别、地震勘探数据处理、纹理分析、边缘检测、音乐与语音人工合成、机械故障 诊断等多个方面。例如，在数学方面已用于数值分析、盟线曲面构造、微分方程 求解、控制论等；在信号分析方面已用于信号的分解与重构、去噪、滤波等；在图像 处理方面已用于图像地压缩、去噪、数字水印、模式识别、图像融合等方面。 1 2 遗传算法的研究历史与现状 遗传算法研究的兴起是在8 0 年代末和9 0 年代初期，但它的历史起源可追溯 至6 0 年代初期。早期的研究大多以对自然系统的计算机模拟为主。如f r a s e r 的模 拟研究，他提出了和现在的遗传算法十分相似的概念和思想。h o l l a n d 和d e j o n g 的创造性研究成果改变了早期遗传算法研究的无目标性和理论指导的缺乏。其中， h o l l a n d 于1 9 7 5 年出版的著名著作( ( 自然系统和人工系统的适配 系统地阐述了 遗传算法的基本理论和方法，并提出了对遗传算法的理论研究和发展极为重要的 模式理论。这一理论首次确认了结构重组遗传操作对于获得隐并行性的重要性【5 j 。 同年，d e j o n g 的重要论文 将h o l l a n d 的模 式理论与他的计算实验结合起来，并提出了诸如代沟等新的遗传操作技术。可以 认为，d e j o n g 所作的研究工作是遗传算法发展过程中的一个里程碑 6 1 。 进入8 0 年代，遗传算法迎来了兴盛发展时期，无论是理论研究还是应用研究 都成了十分热门的课题。尤其是遗传算法的应用领域也不断扩大。目前遗传算法 所涉及的主要领域有自动控制、规划设计、组合优化、图像处理、信号处理、人 工生命等。可见，遗传算法的应用研究已从初期的组合优化求解拓展到了许多更 新。更工程化的应用方面。 1 3 小波图像去噪的研究现状 图像去噪是一个古老的话题，对它的研究已经持续了很多年，至今仍受到国 内外广泛学者的重视。图像去噪的目的就是去除噪声影响的同时尽可能地多保留 原始图像的原有有用信息。在所处理的图像中，相邻象素的灰度间大多具有一定 的相关性。因为这种空间灰度相关性的存在，一般图像的能量主要集中在图像的 湖北工业大学硕士学位论文 低频区域中，而图像的细节部分集中在高频区域。由于在图像的获取、数字化和 传输中常伴有噪声出现，而这部分干扰信息主要集中在高频区域内，所以消除噪 声的一般方法是利用空域中图像象素点的相关线性和非线性变换、频域内的低通 滤波来衰减噪声图像的高频分量。但与之同时带来的负面影响就是经过处理后的 图像的细节也有一定的衰减，从视觉效果上来看图像比处理前模糊。一个较好的 去噪方法应该是既能消去噪声对图像的影响，又不使图像细节变模糊。 图像去噪是图像处理过程中一个非常重要的研究领域，人们根据实际图像的 特点、噪声的统计特征和频谱分布的规律研究了各种去噪方法其中最为直观的方 法是根据噪声能量一般集中于高频，而图像频谱则分布在一个有限区间的这一特 点，采用低通滤波方式来去噪低通滤波在消除图像噪声的同时，也会消除图像部 分有用的高频信息因此，各种图像去噪方法，其实就是在去噪和保留有用高频信 息之间进行权衡。 早期，传统去噪方法有低通滤波器法，主要包括线性滤波、中值滤波以及自 适应滤波三种，它们主要是基于对模板的考虑。其他方法还有基于秩一阶滤波r 排 序量) 的方法，基于马尔可夫场模型和基于偏微分方程( ( p d e p a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n ) 的方法以及l p 正则化方法等。 由于小波具有低墒性、多分辨率、去相关性、选基灵活性等特点，小波理论 在去噪领域受到了许多学者的重视，并获得了良好的效果。利用小波对含噪信号 进行处理，可有效地滤除噪声，保留信号高频信息，得到对原信号的最佳恢复。 目前，基于小波分析的图像去噪技术已成为图像去噪的一个重要方法l j 丌。 从数学上看，小波去噪问题的本质是一个函数逼近问题，即如何在由小波母 函数伸缩和平移所展成的函数空间中，根据提出的衡量准则，寻找对原信号的最 佳逼近，以完成原信号和噪声信号的区分由此可见，小波去噪方法也就是寻找从 实际信号空间到小波函数空间的最佳映射，以便得到原信号的最佳恢复从信号分 析的角度看，小波去噪是一个信号滤波问题，而且尽管在很大程度上小波去噪可 以看成是低通滤波，但是由于在去噪后，还能成功地保留图像特征，所以在这一 点上又优于传统的低通滤波器所以，小波去噪实际上是特征提取和低通滤波功能 的综合 m a l l a t 提出利用小波变换模极大值原理进行信号去噪的方法，这是小波去噪的 最经典的方法。m a l l a t 通过对小波系数的模极大值处理之后，在小波变换域内去除 了由噪声对应的模极大值点，仅保留了由真实信号所对应的模极大值点，然而仅 仅利用这有限的模极大值点进行信号重构，误差是很大的1 8 j 。因此，基于模极大值 原理进行信号去噪时，存在一个由模极大值值点重构小波系数问题。m a u a t 提出的 4 湖北工业大学硕士学位论文 交替投影方法，较好的解决了这个问题。然而，交替投影方法计算量很大，需要 通过迭代实现，有时还不稳定。 x u 等人提出了基于小波变换域内相邻尺度间系数相关性的去噪方法。d o n o h o 等人则提出了小波域软阀值和硬阀值去噪方法。其中，软硬阀值去噪方法由于算 法简单、效果好而得到广泛运用。但是，正如c o i f m a n 和d o n o h o 所指出的，这种 方法处理后的图像中有些地方会出现振荡。出现这种现象的原因是，在阀值处理 过程中，把一些不应忽视的系数置零了。针对这个问题，他们提出了一种平移不 变的去噪方法，取得了较单独使用软阀值或硬阀值方法更好的效果。近几年，又 出现了几种新方法，比如有人根据小波系数的统计性质建立各种先验模型，对小 波系数的收缩自适应变化，也就是每个小波系数所采用的阀值都各不相同1 9 1 。原图 像小波系数的方差估计采用局部邻域估计，代表方法有a d a p t b a y e s s h r i n k 方法， l a w m l s b r i n k 方法等还有一些方法利用了小波系数层内的相关性，比如c a i 和 s i l v e r m a n 等人提出的n e i g h c o e f f 和n e i i g h b l o c k 方法，都将待处理的小波系数置 于由它周围的系数所组成的方窗内，由窗内所有系数共同决定该系数的处理。在 此基础上，g y c h e n 等人提出了n e i g h s h r i n k 方法，根据邻域窗口内所有小波系数 的平方和的大小来决定阀值和收缩函数。实验显示这种基于邻域系数估计阀值的 方法在保留图像细节方面有一定的优势1 1 0 l 。 总之，最近几年来有关小波去噪的文献非常多，己取得了不少好的结果，不 仅将大大拓宽小波去噪方法的应用领域，而且在推动这些领域研究发展的同时， 必将从这些领域的应用中反馈新的问题，从而会进一步丰富小波去噪的内容和推 动小波去噪的发展。 1 4 本文所做的工作 本文主要研究的是基于小波分析和遗传算法的图像去噪问题，比较深入的研 究了小波去噪中不同门限和滤波器性能分析，并对小波系数相关性和多尺度阀值 去噪提出了遗传算法的改进。 第一章为概论，介绍了小波去嗓的发展，遗传算法的研究历史和现状以及小 波图像去噪的研究现状。 第二章主要介绍了小波分析的基础理论知识，包括连续小波变换，离散小波 变换，二迸小波变换，多分辨率分析以及多小波变换的定义、性质和多小波的构 造。 第三章主要介绍遗传算法的基础理论，包括遗传算法的基本概念，遗传算法 5 湖北工业大学硕士学位论文 h i 的目的，遗传算法的原理，遗传算法的基本步骤遗传算法的特点。 第四章主要介绍小波去噪的方法，包括图像去噪的空域滤波和频域低通滤波， 详细分析了小波图像去噪的机理和典型的方法：基于模极大值和小波收缩的去噪 方法，并分析了不同门限和滤波器的性能。 第五章主要对小波去噪的方法结合遗传算法提出了改进，包括小波系数相关 性去噪，多尺度小波阀值去噪，基于遗传算法的阀值去噪。 第六章是全文总结和展望，总括了全文的研究内容和创新点，并对今后的工 作进行了展望。 湖北工业大学硕士学位论文 第2 章小波分析的基础理论 2 1 引言 本章简要回顾小波、多分辨分析和多小波等一些重要的基本概念，以及近年 来小波理论取得的基本结果。它们是本文工作的基础。 经典的傅立叶变换不能同时进行时域和频域的分析。因为信号经过傅立叶变 换后，时域的信息不存在，时间特性消失，只能进行频域信息的分析。为了克服 经典傅立叶的缺陷，后来引入了小波分析。 小波变换克服了傅立叶变换的缺陷，具有时一频二维分辨的特点，并且它具 有时域和频域“变焦距”的特性，因此十分有利于对信号的精细分析。 小波变换采用的是一种窗口大小( 即窗口面积) 固定但其形状可改变，时间窗和 频率窗都可改变的时频局部化分析方法，很好地解决了时间分辨率和频率分辨率 的矛盾，在时间域和频率域里都具有很好的局部化性质。对信号中的低频成分， 采用宽的时间窗，得到高的频率分辨率；对信号中的高频成分，采用窄的时间窗， 得到低的频率分辨率。小波变换这种对信号的自适应特性，使它在工程技术和信 号处理方面获得广泛应用。小波变换继承和发展了短时f o u d e r 变换的局部化思想， 同时克服了窗口大小不随频率变化、缺乏离散正交基等缺点，是比较理想的对非 平稳信号进行局部时频分析的有力工具。 本章主要讨论了小波分析的基本理论，包括：连续小波变换、离散小波交换、 二进小波变换、多分辨率分析、多小波变换和图像的小波变换。 2 。2 小波变换基本理论 2 2 1 连续小波变换( o w t ) ( 1 ) 连续小波基函数 小波就是空间【气r ) 中满足下述条件的函数或者信号v ( t ) f 。l v ( t ) 1 2 d tc m q 一正臀虮m 这时，掣( t ) 也称为小波母函数，( 2 。2 ) 称为容许性条件【1 1 l 。 7 ( 2 1 ) ( 2 2 ) 湖北工业大学硕士学位论文 根据小波函数的定义，小波函数一般在时域具有紧支集或近似紧支集，即函 数的非零值定义域具有有限的范围，这即所谓“小”的特点；另一方面，根据可容 许性条件可知v ) l 。0 = 0 ，即直流分量为零，因此小波又具有正负交替的波动 性。 小波函数要满足的条件： ( 1 ) 紧支撑性( c o m p a c ts u p p o r t ) ， 函数具有速降特性。 ( 2 ) 平均值为零，即： ( t 皿- 0 - ：。 而且其高阶矩也为零： r t k 妒( t ) a t ；0 即在一个很小的区域之外函数均为零， k - - 0 , 1 ，2 ，n - 1 ( 2 3 ) 将小波母函数v ( f ) 进行伸缩和平移，设其伸缩因子( 亦称尺度因子) 为a ，平移 因子为r ，并记平移伸缩后的函数为1 l a ，f ( i ) ，则 。甲。，。( t ) ：a 三v f 三1 1 ，a 0 ，f r ( 2 5 ) 、a ， 并称掣。( t ) 为参数为a 和f 的小波基函数。由于a 和f 均取连续变换的值， 因此又称之为连续小波基函数，它们是由同一母函数护掣( t ) 经伸缩和平移后得到 的一组函数系列。 ( 2 ) 连续小波变换 将任意l 2 ( r ) 空间中的函数自( t ) 在小波基下进行展开，称这种展开为函数f ( t ) 的连续小波变换( c o n t i n u ew a v e l e tt r a n s f o r m ，简记为c w t ) ，其表达式为 w t r “r ) = l 函数甲( t ) 具有伸展作用，若a a 减少，增大，妒( 二) 变窄，时域窗变窄，观测更段时间区间，同时在频域 a 能够观测更宽的频域窗，且频率中心向高频移动。这相当于对于高频情况， 小波变换对时问域看得细些，对频域看得粗些【”l 。 9 湖北工业大学硕士学位论文 ( 3 ) 小波反变换 对于所有f ( t ) ，v ( 1 ) l 2 ( r ) ，连续小波逆变换定义为! “t ) 专业。w f ( a j 严( i 脚 o 力 2 2 2 离散小波变换( d y r r ) 我们在实际应用中应用的最多的是离散小波变换，而不是连续小波变换，这 主要是离散小波变换更容易在计算机上实现。离散小波变换对应于傅立叶级数， 正如连续小波变换对于与傅立叶变换。所谓的“离散”即尺度和位移的离散，而 对待分析信号和分析小波中的时间交量r 并没有被离散化【1 3 l 。 1 减小小波变换系数冗余度的做法是将小波基函数1 q ，( o = a2 袒1 的a ，f 限 3 ， 定在一些离散点上取值，一种最通常的离散方法就是将尺度按幂级数进行离散化， 即取a m = a o ”( m 为整数，_ 1 ，一般取a o = 2 ) 并且相应地位移间隔取为2 0 r s ， 得到离散小波函数： 一! o 丸，。( t ) 一22 妒e n t ) ( 2 8 ) 二 当把t 轴用t s 归一化后，则有： m 妒。( t ) - 22 妒( 2 4 t n ) ( 2 9 ) 于是，任意函数f ( t ) 的离散小波变换d w t 为： w 工( m ) f r o ) + 兀( t ) d t ( 2 1 0 ) 2 2 3 二进小波变换 对于小波变换而言，将它的参数对亿f ) 离散化，分成两步实现，并采用特殊 的形式即先将尺度参数a 按二进的方式离散化，得到著名的二进小波和二进小波 变换，之后，再将时间中心参数f 按二进整倍数的方式离散化，即产生下面的二进 小波。 这里记号v ) ，1 如) 分别表示函数v o ) 和t ) 的f o u r i e r 变换，二进小波和 二进小波变换是这样定义的： 如果小波函数( z ) 满足稳定性条件 1 0 湖北工业大学硕士学位论文 a l 平( 2 ) 1 2 b ，w e r ( 2 1 1 ) j ：= 则称、y ( x ) 为二进小波，对于任意的整数k ，记 k 掣( 2 一，r ) ( z ) - 2 2 掣( 2 。( z f ) )( 2 1 2 ) 它是连续小波鼍圳瓴) 的尺度参数a 取二进离散数值a 。- 2 4 。函数f ( x ，的二 进离散小波变换记为w ? 0 ) ，定义如下： 研p ) - w f ( 2 - kf ) 一cf “) v ( 2 - kf ) ( z ) 毗( 2 1 3 ) 这相当于尺度参数二取二进离散数值a 。- 2 4 时，连续小波变换盯( 4 ，f ) 的取值。 二进小波介于连续小波和离散小波之间，它只是对尺度参量进行了离散化， 而在时间域上的平移量仍保持连续变化，因此二进小波变换仍具有连续小波变换 的时移共变性，这是它较之离散小波变换所具有连续的独特优点也正因为此，它 在奇异性检测、图像处理方面十分有用1 1 4 1 。 2 2 4 多分辨率分析 多分辨分析( m u l t i - r e s o l u t i o na n a l y s i s ) 又称多尺度分析，是建立在函数空间概 念上的理论。它是m a l l a t 在8 0 年代提出的，可用于正交小波分解和重构，也称为 金字塔算法。多分辨分析的基本思路是将原始信号分成不同分辨率的几个信号， 然后选择合适的分辨率或者在各级分辨率上处理该信号。我们可以把尺度理解为 照相机的镜头，当尺度由大变小时，就相当于将照相机镜头由远及近的接近目标。 在大尺度空间里，相当于从远处观察目标，只能看到大致的概貌；在小尺度空间里， 相当于从近处观察目标，可观测到目标的细节部分。因此，随着尺度由大到小的 变换，在各尺度上可以由粗糙到精细地观察目标。这就是多尺度( 多分辨) 的思想。 多分辨分析从空间概念上形象地说明了小波的多分辨特性，将此之前的所有正交 小波基的构造方法统一起来，给出了正交小波的构造方法以及正交小波的快速算 法，即m a l l a t 算法。m a l l a t 算法在小波分析中的地位相当于快速傅立叶变换在经 典傅立叶分析中的地位。关于多分辨分析的理解，我们还可以用一个三层分解加 以说明，其小波分解树如图所示l 埘。 湖北工业大学硕士学位论文 图2 3 小波分解图 根据取样理论，我们知道若某信号是带限的，且其n y q u i s t 频率小于1 厂r ，那 么可以完全重构信号，否则只能是近似的。t 越小，信号近似和分解的就越好at 的大小度量了信号f 的分辨率，通常的f f t 分析只有一个分辨率。若缓变信号中 存在一个短时尖峰，那么单一的分辨率显然不合适处理这样的问题了。对此问题 m a l l a t 是这样解决的：首先，把有取样定理得到的带限函数空间用原信号的某个截 断代替。其次，用基于同一空间的不同尺度( 即t 2 , t 4 , - ) 分析信号，所以称为多 分辨率分析。 下面是多分辨率分析的一般定义： 定义令v ；，j = ，2 , - 1 ，0 12 为l 2 ( r ) 中的一系列子空问序列。若下面的条件 成立，则空间集合 v ；，j e z ) 称为多分辨率分析： ( 1 ) ( 嵌套性) v ie v - t ( 2 ) ( 上完整性) 巢：v m ll 2 ( r ) ( 3 ) ( 下一v 。一 o m 乜 ( 4 ) ( 尺度不变性) z ( t ) v 。x ( 2 ”t ) v 0 ( 5 ) ( 位移不变性) z ( t ) v o x ( t n ) v o ，n e z ( 6 ) ( 标准正交基) 存在一个基妒v 0 ，使得 伊( i n l z 是v o 的标准正交 基。 其中正交基存在住条件可放宽为r i e z e 基存在性，因为由r i e z e 基可以构造出 一组正交基。 2 。2 5 多小波变