（基础数学专业论文）类方程对有限群结构的影响.pdf

西南大学硬士学位论文中文摘要 类方程对有限群结构的影响 基础数学专业硕士研究生王家勤 指导教师陈贵云教授曹洪平副教授 摘要 长期以来，共轭类的某些数量性质与有限群的结构的关系是有限群论研究的 重要课题之一许多群论学者都参与了这一课题的研究，而且获得了大量的研究成 果，这为有限群理论的发展起到了强有力的推动作用在共轭类的众多数量性质中， 有关类方程与共轭类图的研究非常活跃本文将讨论类方程对某些有限群结构的影 响首先，作者根据4 矿和勋阶群的结构求出所有共轭类，然后写出其类方程，验 证群结构与类方程之间的关系其次通过类方程研究其共轭类图的性质，利用这个 结果讨论了连通分支数满足一定条件时群g 的结构 本文的主要结论如下t 定理3 1 设g ( i = 1 ，2 ，1 9 ) 为1 9 个印阶( p 为奇素数) 的群，g 为有限 群，那么 ( 1 ) 若g 的类方程与g 1 的类方程相同，则g 垡g l ，或g 皇g 2 ，或g 垒g 1 2 ； ( 2 ) 若g 的类方程与g 3 的类方程相同，则g 皇g 3 ，或g 皇a 4 ； ( 3 ) 若g 的类方程与g 5 的类方程相同，则g 垒g 5 ，或g 垒c 6 ； ( 4 ) 若g 的类方程与g 7 的类方程相同，则g 鲁g r ，或g 笺a s ，或g 望g 1 0 ， 或g 型g 1 1 ； ( 5 ) 若g 的类方程与g 的类方程相同，则g - - _ g l ，i = 9 ，1 3 ，1 4 ，1 5 ，1 6 ，1 7 ，1 8 ，1 9 定理3 2g 为非交换群，阶为s p ，则其共轭类图r ( a ) 的连通分支数为1 的群 有8 个，连通分支数为2 的群有8 个 推论3 1 如果群g 的阶为印且同构于g ，i = 7 ，8 ，1 0 ，1 1 ，1 4 ，1 5 ，1 6 ，1 7 ，则g 的 商群a z ( a ) 为f r o b e n i u s 群，并且如果g z ( a ) ，f z ( g ) 是a z ( a ) 的f r o b e n i u s 核与补。那么日和f 是交换群 西南大学硕士学位论文中文摘要 定理4 1 设g i ( i = l ，2 ，1 6 ) 为1 6 个4 矿阶( p 为大于3 的奇素数) 的群， g 为有限群，那么 ( 1 ) 若g 的类方程与g l 的类方程相同，则g 垒g 1 ，或g 垒g 2 ，或g 皇g 3 ， 或g 兰g 4 ； ( 2 ) 若g 的类方程与g 5 的类方程相同，则g 垒g 5 ，或g 垒g 6 ，或g 笺g 7 ； ( 3 ) 若g 的类方程与g 8 的类方程相同，则g 笺g a ，或g 垡g g ； ( 4 ) 若g 的类方程与g l o 的类方程相同，则g 垡g l o ； ( 5 ) 若g 的类方程与g l l 的类方程相同，则g 筌g 1 1 ，或g 釜g 1 2 ； ( 6 ) 若g 的类方程与g 1 3 的类方程相同，则g 垡g 1 3 ，或g 望g 1 4 ，或g 鲁g 1 5 ， 或g 笺g 1 6 定理4 2 g 为非交换群，阶为4 p 2 ，则其共轭类图f ( g ) 的连通分支数为1 的 群有3 个，连通分支数为2 的群有9 个 推论4 1 如果群g 的阶为4 p 2 且同构于q ，( i = 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 ，9 ) ，则g 的 商群c z ( g ) 为f r o b e n i u s 群，并且如果h z ( g ) ，f z ( g ) 是g z ( g ) 的f r o b e n i u s 核与补，那么日和f 是交换群 关键词：有限群；类方程；共轭类图；分类 n 西南大学硕士学位论文英文摘要 i n f l u e n c eo fc l a s se q u a t i o no nt h es t r u c t u r eo ff i n i t eg r o u p m a j o r ：p u r em a t h e m a t i c s t u t o r ：p r o f g u i y u nc h e na s s o c i a t ep r o f h o n g p i n gc a o a u t h o r ：w a n gj i a q i n a b s t r a c t t h e r e l a t i o n s h i p sb e t w e e nt h ea r i t h m e t i c a lc o n d i t i o no nc o n j u a g c yc l a s s e so fa f i n i t eg r o u pa n dt h es t r u c t u r eo faf i n i t eg r o u pi t s e l fh a v eb e e ne x t e n s i v e l ys r u d i e db y m a n ya u t h o r s m a n yr e s u l t sh a v eb e e no b t a i n e db ym a n yg r o u pt h e o r e t i s t si nt h e l i t e r a t u r e r e s e a r c ho nt h i st o p i ci m p e l sr e s e a r c ho ng e n e r a lt h e o r yo faf i n i t eg r o u p b o t hr e s e a r c h e so ne q u a t i o no fc o n j u g c yc l a s s e da n dt h ec o n j u g a c yc l a s sg r a p ha r e a c t i v ea m o n gr e s e a r c h e so nq u a n t i t a t i v ep r p e r t i e sr e l a t e dt oc o n j u g c yc l a s s e s i n t h i st h e s i s ，w ec o n c e n t r a t eo nt h ei n f u l e n c eo ft h ec l a s se q u a t i o na n dc o n j u g a c yc l a s s g r a p ho nt h es t r u c t u r eo ff i n i t eg r o u p h e r e ，t h ea u t h o rf i r s t l yf i n d so u tt h ec l a s s e q u a t i o n so fg o fo r d e r s4 p 2a n d8 p ，t h e ng i v e st h er e l a t i o n so ft h es t r u c t u r eo fga n d c l a s se q u a t i o n s s e c o n d l y , t h ea u t h o rd i s c u s s e sc o n j u g a c yc l a s sg r a p h so fg r o u p sw i t h o r d e r s4 矿a n d8 p ，a n dc o m et oc l a s s i f i c a t i o n so ff i n i t eg r o u p sw i t hi t sc o n j u g a c yc l a s s g r a p hc o n n e c t e do rh a v i n gt w oc o m p o n e n t s w e g e tt h ef o l l o w i n gt h e o r e m s ： t h e o r e m3 1l e tgb eaf i n i t eg r o u p ，g l ( i = 1 ，2 ，1 9 ) t h e1 9g r o u p so fo r d e r ( 1 ) i ft h ec l a s se q u a t i o n so fg a n dg ia r et h es a m e ，t h e ng 垒g 1 ，o rg 皇g 2 ， o rg 垡g 1 2 ； ( 2 ) i f t h ec l a s se q u a t i o n so f g a n dg 3a r et h es a m e ，t h e ng 笺g 3 ，o rg 笺a 4 ； ( 3 ) i f t h ec l a s se q u a t i o n so f ga n dg 5a r et h es a m e ，t h e ng 垒g 5 ，o rg 型g 6 ； ( 4 ) i ft h ec l a s se q u a t i o n so fg a n dg 7a r et h es a m e ，t h e ng 皇g 7 ，o rg 笺g s ， o rg 冬g 1 0 o rg 望g n ； 1 n 西南大学硕士学位论文英文摘要 ( 5 ) i ft h ec l a s se q u a t i o n so fg a n dga r et h es a m e ，t h e ng 皇g i a = 9 ，1 3 ，1 4 ，1 5 ，1 6 ，1 7 ，1 8 ，1 9 ) t h e o r e m3 2 l e tgb ean o n - a b e l i ag r o u po fo r d e r 。印，t h e nt h e r ee x i s t s8 g r o u p sw i t h1c o n n e c tb r a n c h ，a n d8g r o u p sw i t h2c o n n e c tb r a n c h e s t e x t b f 3 1i f g i sa f i n i t eg r o u po f o r d e r8 p ，a n dg 兰g t ，i = 7 ，8 ，1 0 ，1 1 ，1 4 ，1 5 ，1 6 ，1 7 ，t h e n a z ( v ) i saf r o b e n i u sg r o u p ，a n dh a n dfa r ea b e l i a ni fa l z ( a ) i saf r o b e n i u s g r o u pw i t hf r o b e n i u sc o m p l e m e n tf z ( a ) a n df r o b e n i n sk e r n e ln z ( a ) t h e o r e m4 1l e tgb eaf i n i t eg r o u p ，g 0 = 1 ，2 ，1 6 ) t h e1 6g r o u p so fo r d e r 4 p 2 ( 1 ) i ft h ec l a s se q u a t i o n so fga n dg 1a r et h es a m e ，t h e ng 垒g 1 ，o rg 皇g 2 ， o rg 皇g 3 ，o rg 鲁g 4 ； ( 2 ) i ft h ec l a s se q u a t i o n so fg a n dg 5a r et h e8 a x n e ，t h e ng 垒g 5 ，o rg 垒g e ， o rg 垒g 7 ； ( 3 ) i ft h ec l a s se q u a t i o n so fga n dg sa r et h es a m e ，t h e ng 笺g s ，o rg 笺g g ； ( 4 ) i ft h ec l a s se q u a t i o n so fga n dg l oa r et h es a m e ，t h e ng 笺g l o ； ( 5 ) i ft h ec l a s se q u a t i o n so fga n dg na r et h es a m e ，t h e ng 皇g n ，o rg 竺g 1 2 ； ( 6 ) i ft h ec l a 8 8e q u a t i o n so fg a n dg 1 3a r et h es a m e ，t h e ng 笺g 1 3 ，o rg 垒g 1 4 ， o rg 垒g 1 5 o rg 髦g ：e t h e o r e m4 2l e tgb ean o n a b e l i ag r o u po fo r d e r4 矿，t h e nt h e r ee x i s t s3 g r o u p sw i t hlc o n n e c tb r a n c h ，a n d9g r o u p sw i t h2c o n n e c tb r a n c h e s t e x t b f 4 1i f g i s a f i n i t e g r o u p o f o r d e r 舻，a n d g 星瓯，i = 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 ，9 , t h e n a z ( a ) i saf r o b e n i u sg r o u p ，a n dha n df a r ea b e l i a ni fa z ( a ) i saf r o b e n i u s g r o u pw i t hf r o b e n i u sc o m p l e m e n tf z ( a ) a n df r o b e n i u sk e r n e lh z ( g ) k e yw o r d s ： f i n i t eg r o u p ；c l a s se q u a t i o n ； c o n j u g a c yc l a s sg r a p h ； c l a s s i f i c a t i o n 独创性声明 本人提交的学位论文是在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。论文中引用他人已经发表或出版过的研究成果，文中已加 了特别标注。对本研究及学位论文撰写曾做出贡献的老师、朋友、同 仁在文中作了明确说明并表示衷心感谢。 学位论文作者：王簪勃 签字日期：加加年上月弓日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解西南大学有关保留、使用学位论文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅。本人授权西南大学研究生院( 筹) 可以将学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书，本论文：口不保密， 口保密期限至年月止) - 、 学位论文作者签名：王鼹勃 导师签名： 签字日期：矽i o 年5 月f 易日 签字日期：年月 日 西南大学硬士学位论文引言 第一章引言 有限群论研究的个重要方面就是确定有限群的结构，从有限群论的发展过程， 人们不难发现有限群的结构与有限群中的某些数量信息有着密切关系利用共轭类研 究群的结构在近年来是一个十分活跃的课题例如，从共轭类长度的角度，b e r t r a m e a ，h e r z o gm 在文献 1 】中定义了共轭类图的概念，具体定义如下； g 为有限群，假设l a i ，i c 2 i c ( g ) ，我们称i a l ，i 岛i 由一条边连接起来的当 且仅当( i c , l ，l 岛i ) 1 ，把c ( g ) 和这种连接关系构成的图称为g 的共轭类图，记为 r ( g ) 符号c ( g ) 表示g 的所有非中心共轭类长组成的集合，并用n ( g ) 表示f c g ) 的 连通分支数 共轭类图r ( a ) 的算术性质如何影响有限群的结构的问题已经得到广泛的研究 文献【2 】刻画了有下列性质的有限群g 的结构，对每个素数p ，g 中至多有n 一1 个 共轭类，使得他们的长度有公因子p ，特别地，给出了仡= 5 时g 的分类，推广了 文献 3 】中结果又如文献【1 】有如下定理：对任何的群g ，r c v ) 最多有n 4 - 连通分 支，并且有两个连通分支的充要条件是tg z ( g ) 是f r o b e n i u s 群，如果g z ( a ) 与f z ( g ) 是a z ( c ) 的f r o b e n i u s 补与核，那么日和f 是交换群 关于以上共轭类图的研究，文献【4 】中又提出如下引理； 如果r ( a ) 有n 4 连通分支，那么( g ) = c ( g z ( g ) ) = i h z ( g ) i ，l f z ( g ) i ， 其中h z ( g ) ，f z c g ) 分别为f r o b e n i u s 群g i z ( v ) 的补与核 在本文中，我们主要利用群理论得出某些群的类方程，通过类方程研究其共轭 类图的性质，以此来揭示类方程对有限群结构的影响，从而推进一些相关的已知结 果的研究 我们先对一些符号和术语作下面的说明：本文中g 表示有限群，z ( c ) 表示g 的中心，c ac x ) 表示g 的中心化子对g 的元素z ，x , g 表示z 所在的共轭类，l z g l 表示z g 的长度c ( g ) 表示g 的所有非中心共轭类长组成的集合，i g l = 扛tln i k i 表示g 的类方程，其中g 的长为m 的共轭类有觑个除特别说明外，p 总表示一 1 西南大学硬士学位论文引言 个奇素数，g 的具体定义可见f r t 章节其他未解释的名词和术语都是标准的 2 西南大学硕士学位论文 预备知识 第二章预备知识 下面介绍一些文中要用到的一些定义和引理： 定义l 【5 】设g 是q 上的置换群且l q i 1 如果满足。 ( 1 ) g 传递地作用在q 上， ( 2 ) 对任意的q q 有g d 1 ， ( 3 ) 对所有的q ，卢q ，q p 有g nn g b = 1 则称g 是q 上的f r o b e n i u s 群 定理1 f 5 】i a g i = i g ：g qj ，口q 特别地，轨道口g 的长度i 口g l 是i g i 的个 因子q = q ，卢，- y ，是一个非空有限集 引理3 2 nn 次对称群岛中置换7 r 与r 为共轭的充要条件是它们为同型置 换 引理3 3 1 1 】对任何的群g ，r ( a ) 最多有两个连通分支，并且有两个连通分支 的充要条件是；g z ( c ) 是f r o b e n i u s 群，如果h z ( g ) 与f z ( a ) 是g z ( c ) 的f r o b e n i u s 补与核，那么日和f 是交换的 引理3 4 n 如果r ( a ) 有两个连通分支，那么( g ) = c ( g 胆( g ) ) = ( i h z ( g ) i ，l f z ( a ) l ， 其中h z ( g ) ，f z ( a ) 分别为f r o b e n i u s 群a z ( a ) 的补与核 本文的主要结论。 定理3 1 设g 为8 p 阶( p 为奇素数) 的群，( i = 1 ，2 ，1 9 ) ，g 为有限群， 那么 ( 1 ) 若g 的类方程与g l 的类方程相同，则g 望g i ，或g 笺g 2 ，或g 垡g 1 2 ； ( 2 ) 若g 的类方程与g 3 的类方程相同，则g 笺g a ，或g 笺g 4 ； ( 3 ) 若g 的类方程与g 5 的类方程相同，则g 垒g 5 ，或g 垒g 6 ； ( 4 ) 若g 的类方程与g 7 的类方程相同，则g 掣g 7 ，或g 掣g s ，或g 垡g l o ， 或g 冬g 1 1 ； ( 5 ) 若g 的类方程与g i 的类方程相同，则g 笺g i a = 9 ，。1 3 ，1 4 ，1 5 ，1 6 ，1 7 ，1 8 ，1 9 ) 定理3 2g 为非交换群，阶为8 p ，则其共轭类图r ( a ) 的连通分支数为1 的群 3 西南大学硬士学位论文 预备知识 有8 个，连通分支数为2 的群有8 个 推论3 1 如果群g 的阶为印且同构于g l = 7 ，8 ，1 0 ，1 1 ，1 4 ，1 5 ，1 6 ，1 7 ，则g 的 商群g z ( g ) 为f m b e a i u s 群，并且如果h z ( g ) ，f z ( g ) 是c z ( g ) 的f r o b e n i u s 核与补，那么日和f 是交换群 定理4 1 设g 为4 阶( p 为大于3 的奇素数) 的群，g = 1 ，2 ，1 6 ) ，g 为 有限群，那么 ( 1 ) 若g 的类方程与g 1 的类方程相同，则g 掣g 1 ，或g 笺g 2 ，或g 笺g s ， 或g 竺g 4 ； ( 2 ) 若g 的类方程与g 5 的类方程相同，则g 釜g 5 ，或g 垒g 6 ，或g 笔g t ； ( 3 ) 若g 的类方程与g 8 的类方程相同，则g 皇g s ，或g 掣c 9 ； ( 4 ) 若g 的类方程与g , o 的类方程相同，则g 笺g i n ； ( 5 ) 若g 的类方程与g 1 l 的类方程相同，则g 垒g n ，或g 垒g x 2 ； ( 6 ) 若g 的类方程与g 1 3 的类方程相同，则g 笺g l s ，或g 鲁g , 4 ，或g 型g , 5 ， 或g 笺g 1 6 定理4 2g 为非交换群，阶为4 ，则其共轭类图f ( g ) 的连通分支数为1 的 群有1 个，连通分支数为2 的群有1 1 个 推论4 1 如果群g 的阶为4 p 2 且同构于g ，0 = 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 ，9 ，1 1 ，1 2 ) ， 则g 的商群g z ( g ) 为f r o b e n i u s 群，并且如果h z ( g ) ，f z ( g ) 是c z ( c ) 的 f r o b e n i u s 核与补，那么日和f 是交换群 4 第三章8 p 阶群的类方程及其对群结构的影响 引理3 1 1 6 1 设g 为印阶群，p 为奇素数，则g 同构于下列1 9 个群之一l ( 1 ) g l2z s p ( 2 ) g 2 = 五玩x 磊 ( 3 ) g 3 ： ，口和= 1 = 矿，9 1 a 9 2a 一1 ( 4 ) g 4 ： ，护= l ，9 2 = 护，夕一1 a g 2a ( 5 ) g 5 ： ，n 4 p = 1 ，9 2 = 1 ，g 一1 a g 2a 籼 ( 6 ) g 6 ： ，n 4 p = l ，9 2 = 护，9 - 1 0 , g 。护1 ( 7 ) g 7 ； ，0 4 p = 1 ，9 2 = 1 ，9 。1 d 9 。护 ( 8 ) g 8 ： ，一= 1 ，9 2 = 扩，g - * a g 。一一 ( 9 ) g 9 皇 ，n 2 = 6 2 = 矿= 12 【口，6 4 2 b , g - l b g = o g 一1 c g = c 一 o o ) a l 。一 ，a 2 = 6 2 = 扩= 【0 ，c 】= 【6 ，c 】，9 2 = 1 ，g 。a g l ：f g ，6 】：陋，c 1 = p ，c 1 ，9 2 = 1 , g - l a g 5 口，9 l b g 、- - 一b , g - l e ，g 。- c - c 1 。、矿；6；2：矿：1：陋，6】：，c】：【6，c1，92=b ( 1 1 ) g 1 1 ： ，矿= 6 ；2 = 矿2 l 2p ，o j2p 叫一。v 蚶 o b , g - l a g = 口，g 一1 b g = 玩g 一1 c g 0 2 ) a 1 2 = 【口，c 1 = 【a ，9 】= ! ? 2 岁1 1i ，1 1 ：铲一。曲：。一。，9 一。凹；a k , g - l b g = b , 矿： 0 3 ) a 1 3 ； ，口2 p = l = 铲，6 1 曲2 o 9 叼。 ， 6，-=-1(rood，2pa),p口，-l(m口2pod：4i肛=幻109础g169_6，92=(14)g b a p , b - * a b 1 4 ： ，口2 p = l ，6 2 = 2a ? 夕 0 9 一u h 啊 ” 6 护兰一l ( m o d2 p ) , p 兰l ( m o d 4 ) 0 5 ) a 1 5 = ，o p = l 26 2 6 - 1 a 6 ：a - 1 , c - l a c = a 七，c 一1 6 c = 6 c 2 = b , g - l a g ：a k , 七2 兰一l ( m o dp ) ，9 2 = c ，g - l b g 2 p ) ，矿兰一l ( m o dp ) , p - - = l ( m 。d8 ) 。 6 ，9 一l c 9 = c ；g - l a g = 口i ，i 8 基1 ( m o d ( 1 6 ) g 1 6 ： ，口2 = 铲= 孑= 矿2 5 l ：【a ，b 】= l 口，c 4 = i b , c 】，g 一1 a g 5 i i n 陋 = ，上 一一 矿 = 2 夕 = 铲i l 铲 g c t 3 ) 阶群的类方程及其对群结构的影响 引理4 1 1 7 】设素数p 3 ，则4 p 2 阶群有 ( i ) 当p 三1 ( r o o d4 ) 时有1 6 个，其构造如下； ( t ) g 1 = n ，6 ) ，= 1 = b 4 ，b - x a b = a - i ； ( 2 ) g 2 = 缸，b ，c ，夕) ，0 p = b 1 , = c 2 = 夕2 = 1 = 【0 ，6 】= 【c ，g 】= 【口，c 】= 【6 ，c 】，9 1 a 9 = 口一，9 - x 的= b - i ； ( 3 ) g 3 = ( 口，b ，c ) ，a p = 6 p = c 4 = 1 = 陋，6 】，c 一1 a c = d 一1 ，c - i b c = b - l ； ( 4 ) a 4 = 口，6 ，c ) ，a p 2 = 6 2 = c 2 = 【0 ，6 】= 【6 ，c 】= 1 ，c 一1 n c = n 一1 ； ( 5 ) g 5 = ( 口，6 ) ，扩= 1 = 6 4 ，b 一1 a b = n r ，其中，1 2 三一l ( m o d 矿) ； ( 6 ) c o = ( o ，6 ，c ) ，a p = 6 p = c 4 = 1 = k ，6 】，c 一1 口c = 0 r ，c - 1 b c 一6 r ，( 其中r 2 兰一1 ( r o o dp ) ) ； ( 7 ) a 7 = ( 口，b ，c ) ，口p = 6 p = c 4 = 1 = 【n ，6 】，c 一1 n c = b - l , c 一1 b e = n ； ( 8 ) g 8 = q ，b ，c ) ，a v = 沙= 一= 1 = i n ，6 】，1 3 - 1 0 c = b ，c - 1 6 c = 口； ( 9 ) a g = ( n ，6 ，c ，夕) ，口p = 6 矽= c 2 = 9 2 = 1 = 【0 ，6 】= c ，夕】= 【n ，c 】= 【6 ，c 】，9 1 a 9 = 6 ，9 一l b 9 = a ： ：( 1 0 ) g l o = ( 口，b ，c ，彩，口p = 扩= c 2 = 9 2 = 1 = f o ，6 】= f c ，翊，c - l a c - w0 - 1c l b c = b - l , 9 1 a 9 = 6 ，9 1 幻= b ； ( 1 1 ) g n = ( 口，b ，c ) ，a p = 6 p - - dc 4 = 1 = 【口，6 】，c - 1 n c = ( a b ) r , c - 1 i x ：= ( a - l b ) r ，其中 ( 2 r + 1 ) 2 耋- 1 ( r o o d p ) ； ( 1 2 ) g 1 2 = ( o ，6 c ) ，a l p = 6 p = 一= 1 = 【0 ，b l , c 一1 口c = ( 口6 ) 一7 ，c 一1 b e = ( n 6 1 ) ，其 中( 2 r + 1 ) 2 三- l ( m o d p ) ； ( 1 3 ) g 1 3 = ，a 4 p 2 1 ( 循环群) ，其中1 表示g 的单位元； ( 1 4 ) g 1 4