（基础数学专业论文）边界可约的平环的和环面的把柄添加.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 本文主要运用组合的方法来研究三维流形中的一些问题，即双曲流形上退化的把柄 添加及与之相关的内容 三维流形是低维拓扑学的主要研究对象，而双曲流形是一类简单而基本的三维流形， 从而我们可以通过研究双曲流形来了解复杂流形的性质在本文中，我们将引用几何相 交数的概念来估测双曲流形上退化的把柄添加的个数，这也是三维流形理论中比较热点 的话题之一 m s c h a f l e m a n n 和y - qw u 证明了若m 是双曲流形，a ，卢是m 的一个亏格大于1 的 边界分支上的两条分离的本质闭曲线，如果m h ，m 旧都是非双曲的，则( a ，卢) s 1 4 本文将在以上结论的基础上，利用图论的一些方法和结论，对其中的三种情况做更细致 的探究，并得出相应的结果即：设m 是一个双曲的三维流形，卢是o m 上的两条 分离的闭曲线 ( 1 ) 如果m i q j 和m 旧都是边界可约的，则( 卢) 8 ； ( 2 ) 如果m 【0 是平环的，m 捌是边界可约的，则( a ，口) s8 ； ( 3 ) 如果m i n i 是环面的，m 吲是边界可约的，则( n ，卢) s1 0 本文的结构如下： 第一章，简单介绍了三维流形的研究方法，以及本篇文章研究的背景和主要结果 第二章，介绍三维流形理论的一些基础知识，即有关曲线，曲面以及三维流形的性 质与构造等方面的基本概念和结论 第三章，给出图论的一些相关定义，并重点介绍和证明了与本文联系密切的球面图 和环面图的一些概念和结论 第四章，介绍关于把柄添加和双曲流形的一些相关概念和结论根据本文所要讨论 的三种不同情况，给出三个相对应的基本引理，最后给出中心定理的证明 关键词；双曲的；边界可约的；平环的；环面的 王静；边界可约的，平环的和环面的把柄添加 i i 大连理工大学硕士学位论文 a - r e d u c i b l e ，a n n u l a ra n dt o r o i d a lh a n d l ea d d i t i o n s a b s t r a c t h t h i sp a p e r w ew i l lc o n s i d e rs o m ep r o b l e m sa b o u tt h ed e g e n e r a t i n gh a n d l ea d d i t i o n si n t h e3 - m a n i f o l dt h e o r yb yc o m b i n a t o r i a lm e t h o d t h e3 - m a n i f o l di st h em a i ns u b j e c ti nt h er e s e a r c ho ft h el o w - d i m e n t i o nt o p o l o g y s i n c e t h eh y p e r b o l i c3 - m a n i f o l di ss i m p l ea n db a s a l ，w ec a no b t a i ns o m ep r o p e r t i e so fc o m p l i c a t e d 3 - m a n i f o l db ys t u d y i n gi t i nt h i st h e s i s o l l rm a i na i mi st oe s t i m a t et h em i n i m a lg e o m e t r i c a l i n t e r s e c t i o nn u m b e ro ft w od e g e n e r a t i n gs l o p eo nh y p e r b o l i c3 - m a n i f o l d lt h i si sa l s oo n eo ft h e h o t s p o t si nt h e3 - m a n i f o l dt h e o r y m s c h a r l e m a n na n dv - qw uh a v ep r o v e dt h et h e o r e m ：s u p p o s em i sah y p e r b o l _ i c3 一 m a n i f o l dw i t hb o u n d a r y , a n da ，芦a r et w os e p a r a t i n ge s s e n t i a lc u r v e so na g e n u s9 1b o u n d a r y c o m p o n e n to fm ，i f m ，m 唧a r eb o t hn o n - h y p e r b o r i c ，t h e n ( d ，卢) 兰1 4 o nb a s eo ft h i s t h e o r e m ，w ew i l lg i v em o r ef i n e dr e s u l t s t h a ti s ：l e tm b eah y p e r b o l i c3 - m a n i f o l dw i t h b o t m d a r y , s u p p o s et h a t 声a r et w os e p a r a t i n gs t o p e so no m i f 丝网i s0 - r e d u c i b l eo ra n n u l a r w h i l em 旧i so - r e d u c i b l e ，t h e na ( a ，卢) s8 ；i fm f o ji st o r o i d a lw h i l em l s i so - r e d u c i b l e ，t h e n 陋，卢) 1 0 t h es t r u c t u r eo ft h i sp a p e ra 8f o l l o w s ： i nt h ef i r s t c h a p t e r 7w ea r ed e v o t e dt oi n t r o d u c et h ed e v e l o p m e n ta n dm e t h o d so ft h e r e s e a r ho f3 - m a n i f o l dt h e o r y , a l s op r e s e n tt h ep r o b l e m st h a tw i l lb es t u d i e d i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w ee x p a t i a t et h eb a s i cd e f i n i t i o n sa n dt h e o r e m so f3 - m a n i f o l d s i nt h et h i r dc h a p t e r w ee x p a t i a t et h eb a s i cd e f i n i t i o n sa n dc o r r e l a t i v ec o n c l u s i o n so ft h e g r a p ht h e o r y , e s p e c i a l yt h e 擎a 吕h 吕o i l2 - s p h e r ea n dt o r n s i nt h el a s tc h a p t e r w ee x p a t i a t et h eb a s i cd e f i n i t i o n sa n dc o r r e l a t i v ec o n c l u s i o n so fh y p e r - b o r i c3 - m a n i f o l da n dh a n d l ea d d i t i o n s t h e np r o v et h el e m m a sa n dc e n t r a lt h e o r e mo ft h ew h o l e p a p e r k e y w o r d s ：h y p e r b o l i c ；0 - r e d u c i b l e ；a n n u l a r ；t h r o i d a l i i i 大连理工大学硕士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解”大连理工大学硕士、博士学位论文版权使用 规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论 文 作者签名 导师签名 a 静q 僻 馘 丛牟 至月卫日 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作 及取得研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理工大学 或其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所 做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 作者签名：互蛰 日期：2 塑! ：) 皇：笸 大连理工大学硕士学位论文 1 绪论 三维流形理论是低维拓扑学的主要研究对象，也是当前研究的热点学科之一为了 研究三维流形，人们做了大量的工作，并且发展了大量的技巧和方法 拓扑学家们已经证明，在一个拓扑三维流形上存在且唯一存在一个三角剖分( 即细化 后等价) ，存在且唯一存在一个光滑结构因此人们可以从不同的角度来研究三维流形 例如1 9 8 2 年f i e l d s 奖获得者w p , t h u r s t o n 的几何化猜想是从微分几何的角度来考虑三 维流形，f w a l d h a u s e n 等数学家的关于基本群的工作是从代数的角度来研究三维流形 另外，用组合的方法来研究三维流形也是一个非常重要的手段，主要研究内容为扭结， d e h n 手术的性质，h e e g a a r d 分解以及其与流形中不可压曲面之间的关系 1 9 2 2 年p h e e g a a r d 证明了任意紧致的三维流形都有h e e g a a r d 分解1 9 6 2 年， l i c o r i s h 1 】证明了任意可定向的闭三维流形均可通过在三维球面上实施d e h n 手术而得 到而研究表明，有关h e e g a a r d 分解，d e h n 手术等多种问题又都可以归结为把柄添加 问题，这就使得对把柄添加的研究在三维流形研究中起到了非常重要的作用 双曲流形是一类简单而且基本的流形，因此拓扑学家们很早就对双曲流形的研究产 生了浓厚的兴趣。t h u r s t o n s 证明了一个h a k e n 流形是双曲沆形，当且仅当这个流形是 不可约的，边界不可约的，不含有本质圆环和不含有本质环面的从而人们可以使用组 合方法来研究双曲流形研究发现，对双曲流形进行把柄添加后，得到的流形不一定仍 为双曲流形于是人们开始关注于什么样的把柄添加可以使双曲流形变为非双曲流形( 这 样的把柄添加称之为退化的把柄添加) ，以及有多少个这样的把柄添加后来人们引入几 何相交数的概念来推测退化把柄添加的个数，并取得了一定的成果 1 9 8 4 年，a c a s s o n 和r l i t h 盯l a n d 闭建立了图论的方法，后来这一方法被广泛的应 用到d e h n 手术( 即在环面分支上作的把柄添加) 的研究中。在文献f 3 1 4 j 中我们可以观 察到，其中几乎将所有情况都给出了很好的结论尽管人们对d e t m 手术已经研究的比较 透彻，但对于一般的把柄添加问题，相关结果还非常少，想要得到和d e h n 手术类似的精 确结论仍然是非常困难的 研究发现，有例子表明存在某些三维流形，在其上可以做种无数退化的把柄添加 但m s c h a r l e m a n n 和y - qw u 于1 9 9 3 年中证明了这样一个结论 1 5 1 ，即虽然有无数种退化 的把柄添加，但是大部分的退化曲线都是和某些分离的退化曲线共面的，而分离的退化 曲线只有有限条因此人们开始将更多注意力集中在分离的退化曲线上关于分离的退 化曲线的研究，m s c h a r l e m a n n 和y qw u 有如下结论【1 5 1 ： 王静：边界可约的，平环的和环面的把柄添加 假设m 是双曲流形，卢是m 的一个亏格大于等于2 的边界分支上的两条分离的 本质曲线，在m 上沿a ，p 作把柄添加，得到流形m m ，m 嘲若m ，吖吲都是非双曲 的，则( o ，卢) 至1 4 这个结论只是对所有的情况作了一个大致的估计在【1 6 】中作者对其中的一种情况， 即可约的把柄添加作了更深入的讨论而在本篇论文中，我们将利用图论的一些方法( 见 文献 17 ) ，对其中的其他几种些情况傲进一步的讨论，并得出更精细的结论，即： 如果m 是一个双曲的三维流形，a ，口是o m 上的两条分离的本质闭曲线 ( 1 ) 如果m h 和m 渊都是边界可约的，则( o ，卢) 曼8 ； ( 2 ) 如果m 是平环的，m 旧是边界可约的，则( a ，卢) 8 ； ( 3 ) 如果m 是环面的，m 阍是边界可约的，则z x ( a ，卢) 1 0 本文的主要内容如下： 第一章，简单介绍了三维流形的研究方法，以及本篇文章研究的背景和主要结果 第二章，介绍三维流形理论的一些基础知识，即有关曲线，曲面以及三维流形的性 质与构造等方面的基本概念和结论 第三章，给出图论的一些相关定义，并重点介绍和证明了与本文联系密切的球面图 和环面图的一些概念和结论 第四章，介绍关于把柄添加和双曲流形的一些相关概念和结论根据本文所要讨论 的三种不同情况，给出三个相对应的基本引理最后给出中心定理的证明 在本论文中，如果不加特殊说明，我们用d 表示二维圆盘用b 3 表示三维球，s 2 表示二维球面，s 3 表示三维球面，记，= 0 ，l 】，记t 2 为二维环面 2 大连理工大学硬士学位论文 2 三维流形基本概念和结果 在本章中，我们将给出三维流形中的一些基本概念、定理和结果这些主要是为了 后继讨论作准备 2 1 流形的定义 定义2 1 1 设m 是个h a u s d o r i f 空间，如果m 中的每个点都有邻域同胚于r “ 则称m 是一个n 维流形，n 为m 的维数，记为n = d i m m n = 2 的流形我们称之为二维流形， 形我们称之为三维流形，记作3 一流形， 记作2 一流形，也就是常说的曲面n = 3 的流 也是我们重点的研究对象 定义2 1 2如果m 中每一点都有一个邻域或同胚于r ”，或同胚于兄犟= 协= ( $ l ，。2 ，z 。) ： 0 ，i = l ，2 ，n ) ，则称m 是一个n 维带边流形记所有邻域同胚于 磁的子集为o m ，称之为m 的边界 注意：o m 也是一个流形，并且有m = 0 ，d i m o m = d i m m 一1 定义2 1 3 如果m 是紧致的无边流形，则称m 是一个闭流形 例如：铲，t 2 等 正如曲线在研究曲面过程中发挥了重要作用一样，了解3 一流形中的曲线，曲面对 于了解3 一流形本身是十分重要的 定义2 1 4 设m 是一个n 一维流形，称s 是m 的一个m 维子流形，若s 中每一 点均有一个邻域u ，使得( 以u n s ) 同胚于标准对( 酽，j p ) 称，：s m 是一个嵌 ， 若，是从s 到m 的子流形，( 占) 的同胚 定义2 1 5 假定m 是一个3 一流形 ( 1 ) 设& ，岛是m 中的两个( 嵌入) 曲面，称& 和岛在m 中处于一般位置( 或横 截相交) ，若它们的相交任意局部均如图2 1 1 所示 3 王静：边界可约的，平环的和环面的把柄添加 图2 , 1 1 ( 2 ) 设占是掰中的一个( 嵌入) 曲面，g 是m 中的一条简单闭曲线，称s 和c 在 m 中处于一般位置( 或横截相交) ，若它们的相交任意局部均如图2 1 2 所示 l。 图2 1 2 定义2 1 6 设s 是m 中的一个嵌入蓝面，若o sco m ，i n t sci n t m ，则称s 是m 中个真( 嵌入) 的曲面 定义2 1 7 设m 是个3 一流形，若h ：m i m ，是个同胚，并且对每个 i ，日( 刁t ) = ( 甄( 。) ，0 ：m m 均为同胚，则称日为从凰到毋的合痕( 或同痕) 对于m 中的曲面岛，曲，如果存在合痕日，使得日0 = i d m ，日1 ( s o ) = s 1 ，则称岛和& 是合 痕的 2 2 曲面上的曲线 我们在第一节中已经对三维流形作了大致的介绍，从本节起，我们将对三维流形的 各部分内容作系统细致的介绍首先我们从最基础的部分一曲面上的曲线进行介绍 定义2 2 1 设n 是曲面f 上的真嵌入的曲线段，如果存在f 的边界上的曲线段e ， 使得o e = o a ，并且。与e 界定f 上的圆盘，则称a 为曲面f 上的平凡的曲线段，也可 4 大连理工大学硕士学位论文 称作曲线段。在曲面f 上是平凡的 定义2 2 2 设。是凸面f 上的真嵌入的曲线段，如果不存在f 的边界上的曲线段 e ，使得o e = o a ，并且。与e 界定f 上的圆盘，则称n 为曲面f 上的本质的曲线段，也 可称作曲线段a 在曲面f 上是本质的 如图2 2 1 所示：n 2 是平凡的，0 , 1 ，o , 3 是本质的 图2 2 1 定义2 2 3 设c 是曲面f 上的真嵌入的闭曲线，如果c 在f 上界定圆盘，则称c 为 曲面f 上的平凡闭曲线否则称闭曲线c 为曲面f 上的本质闭曲线 如图2 2 2 所示；c l 是平凡的，c 2 ，c 3 是本质的 图2 2 2 定义2 2 4 曲面f 上的两条曲线o t ，芦称作是共面的，如果f a u 卢的某些分支是 平环或是有一个洞的环面 如图2 2 3 所示，口l ，与岛是共面的，啦与侥是共面的，但a l 与a 2 ，岛不共面 5 王静z 边界可约的，平环的和环面的把柄添加 图2 2 3 定义2 2 5 令口，卢为三维流形m 上的曲线，我们将a ，卢在合痕意义下的交点的个 数称作a ，的几何相交数，记作： ，钟 如图2 2 ，4 所示，o 和卢的几何相交数为4 2 3 兰维流形中的曲面 0 l b 图2 2 4 n 一1 维流形的性质的研究对于n 维流形的研究是十分重要的所以这里我们介绍一 些有关二维流形( 即曲面) 的相关知识 定义2 3 1 设m 是一个三维流形，f 是m 中一个真嵌入的曲面或者fca m 如 果下面的任意一种情况发生： ( 1 ) f 为锄彳上的圆盘或f 为m 中的真嵌入圆盘，并与a m 上的圆盘界定肼中的 实心球； ( 2 ) f 为m 中的平凡球面； ( 3 ) 存在着m 中的圆盘d ，使得dn f = a d ，并且a d 不界定f 中的圆盘 ( 如图 2 3 1 所示) 我们称f 在流形m 中为可压缩的，我们通常称第三种情况下的圆盘为流形m 的压 缩圆盘 如果f 在肘中不为可压缩的，则我们称曲面在流形m 中为不可压缩的 注意： m 中一个可压缩曲面f 可通过如下方式加以简化， 6 大连理工大学硕士学位论文 1 ) 舍弃所有非本质的二维球面和与边界平行的圆盘； 2 ) 若存在f 在m 中的一个压缩圆盘d ，如图2 3 1 所示取d 在m 中的一个同胚 于d j 的邻域，使得( dx j ) n f = ( a d ) j ，令f ，= f = 万啊u d 0 i ，如图2 3 2 所示，则f ，是m 中比f 简单的曲面，通常称f 是f 沿d 在m 中压缩而得到的 fd 图2 3 1 f o x o o x 1 图2 3 2 定义2 3 2 设m 是一个带边的三维流形，f 是m 中的个真嵌入的曲面，a f o ， 若存在m 中的一个圆盘d ，使得dn f = a 是c 3 m 上的一段弧，d 1 7a m = 卢是o d 上 的另一段弧，满足a n 卢= a a = a b ，并且或者口不分离f ，或者a 分离f 所得的两个分 支均不是圆盘，则称f 在m 中是边界可压缩的，此时也称d 是m 的一个边界压缩圆 盘通常，m 中的一个边界平行的圆盘也被称为边界可压缩的 7 王静：边界可约的，平环的和环面的把柄添加 f 图2 3 3 若f 在m 中不是边界可压缩的，则称f 在流形m 中是边界不可压缩的 设m 是个三维流形，s 是m 中的一个闭曲面，分离m 为7 ，m ”设f 是m 中 的个曲面，与s 处于般位置记f = f n 假设在 中是边界可压缩的，d 是f ，的一个边界压缩圆盘如图2 3 4 所示： fm 图2 3 4 在m 中沿着d 如下图所示合痕移动f 得到曲面f 1 ，称f l 是f 在m 中沿着d 作 一个合痕所得的曲面，如图2 3 5 所示： 大连理工大学硬士学位论文 fm 图2 3 5 m ” 定义2 3 3设f 是m 中真嵌入的曲面，如果沿着f 把m 切开，得到的流形 m i = m i n i n ( f ) 有一个分支同胚于f j ，则我们称f 是平行于边界的否则称f 是 不平行于边界的 定义2 3 4 设f 是m 中真嵌入的曲面，如果f 是不可压缩的，边界不可压缩的， 并且是不平行于边界的，则我们称f 是m 中的本质曲面 由定义看出，本质曲面是一类基本的曲面在对三维流形中的研究中，它有着重要 的作用 2 4 三维流形的性质和构造 在本节中，我们将介绍三维流形的可约性，不可约性，边界可约性以及边界不可约 性等性质，并给出连通和，边界连通和以及自边界连通和等流形构造方法的概念 定义2 4 1 设m 是一个三维流形，s 是m 中的一个二维球面，若s 不是m 中的 一个实心球的边界，则称s 是m 中的本质的球面否则称s 是m 中的平凡的球面 定义2 4 2 若三维流形m 中存在着本质的二维球面，我们就称流形m 是可约的 否则称m 为不可约的 定义2 4 3设m 是一个三维流形，m 中有一个二维球面分离m 为两个三维流 形1 ，2 ，令脑= lub 3 ， 如= 2ub 3 ，则我们称m 为m 与m 2 的连通和，记作 m = 炳4 如 显然，对于任意的流形m ，均有m = m h 岛 定理2 4 4 ( m i l n o r 定理) 任意三维流形m 均可以表示为m = 炳# a 龟4 # ，其中 尬“= 1 ，2 ，”) 为不可约流形，且在同胚意义下是唯一确定的 通过连通和的定义，我们可知任意一个三维流形均可以通过不可约流形进行相粘得 到 9 王静：边界可约的，平环的和环面的把柄添加 定义2 4 5 如果带边的三维流形m 的边界a m 是边界可压缩的，则我们称流形m 是边界可约的否则称其为边界不可约的 注：如果m 是边界可约的，那么其边界的压缩圆盘称为m 的边界压缩圆盘 定义2 4 6设m 是一个边界可约的三维流形，则m 中有一个分离的边界压缩圆 盘d ，将m 分为两个三维流形m a ， 如，则我们称m 是尬与的边界连通和，记作 m = 尬4 a 尬如图2 4 1 m m 1m 2 图2 4 1 定义2 ，4 7设m 是一个边界可约的三维流形，则m 中有一个不分离的边界压缩 圆盘d ，沿d 将m 切开，得到流形m ，_ m i n t n ( d ) ，则我们称m 是m 的边界自连 通和，记作m = 8 0 m 如图2 4 2 所示 1 0 大连理工大学硕士学位论文 m m 图2 4 ，2 定义2 4 8 如果m 中不含有本质的平环，则我们称m 是不含有本质平环的 定义2 4 9 如果m 中不含有本质的环面，则我们称m 是不含有本质环面的 设a 是m 中真嵌入的平环，如果4 是可压缩的，则a 压缩后构成了m 的边界压缩 圆盘如果a 是平行于边界的，则沿着a 把m 切开，得到两个流形，一个同胚于且f ， 一个同胚于m 本身当a 是m 中的本质的平环时，和边界可压缩的情况作类比我们 知道沿着a 把m 切开，则得到的流形( 要么有两个分支要么有一个分支，这取决于a 在 m 中是不是分离的) 要比m 简单 同样的，如果设m 是不可约的，边界不可约的，不含有本质平环的，但含有本质的 环面那么m 同样有一个以环面为分界的分解 大连理工大学硕士学位论文 3 图论及其相关结果 我们研究三维流形，很大程度上依赖于对图形的直观观察但是很明显，三维流形 做为一类复杂的研究对象，想要直接观察到它的整体会比较困难，因此人们往往将观察 的侧重点转向流形中的曲线和曲面而研究曲线和曲面，一个比较重要的手段就是将其 转化为曲面上的图来进行研究事实证明，图论的某些方法及结论对于整个三维流形发 展确实有着具有巨大的推动作用例如图论在d e h ns u r g e r y , 扭结等多方面的研究应用 在本文中，我们也会大量的用到图论的一些结果和方法因此在本章中，我们有必要将 有关图论的一些基本概念及结论做一下简要介绍 3 1 图的相关定义 定义3 1 1 图的定义： 设v ( r ) = 1 ，也，吻，是一个非空有限集合，e ( r ) = e i ，e 2 ，) 是与v ( r ) 不 相交的有限集合一个图r 是指一个有序三元组( r ) ，e ( r ) ，皿( r ) ) ，其中皿( r ) 是关联函 数，它使e ( r ) 中的每一个元素对应于v ( r ) 中的无序元素对( 可以相同) 在图r = ( 矿( r ) ，f ( i ) ，皿( r ) ) 中，v ( r ) 称为r 的顶点集合，其中的元素称为f 的顶 点；e ( r ) 称为r 的边集合，其中的元素称为r 的边 通常情况下，我们将图r = ( y ( r ) ，曰( 1 1 ) ，皿( r ) ) 简记为r = ( y ( 工1 ) ，e ( f ) ) ，或p = ( ke ) 或工1 定义3 1 2 有限图：如果一个图r 的顶点集v ( r ) 和边集e ( r ) 都是有限集，则该图 称为有限图，否则称为无限图 定义3 1 3 嵌入图：图可以用曲面上的点和曲线段表示，把v ( r ) 中的点用曲面上 不同的点相对应，把e ( r ) 中的边用曲面上的连接相关顶点的曲线段表示并且边与边之 间只在顶点处相交，如果存在这样的表示，则称这种表示为图在曲面上的一个嵌入或嵌 入图如图2 1 1 所示，是一个环面上的嵌入图 1 3 王静：边界可约的，平环的和环面的把柄添加 图3 1 1 定义3 1 4 球面图：球面上的嵌入图称为球面图 定义3 1 5 环面图：环面上的嵌入图称为环面图 定义3 1 6 设r 是f 上的嵌入图，则f r 的连通分支被称作是r 的面 3 2 球面图与环面图 在上一节中我们定义了球面图与环面图的概念，在这节中，我们会进一步介绍它们 的一些相关概念和性质，并给出简单结论 以下内容中，我们假设r 是曲面s 上的嵌入图，其中s 为球面或环面 定义3 2 1 如果从工、的一个顶点u 出发，不重复的经过若干点和边到达另一个顶 点”，贝经过的边被称为路，记做u u 路，并记n 为路的长度，如果“一为r 中的同一 个顶点，那么称此路为环路，也称做圆周 如图3 2 1 所示：e l ，e 2 ，旬梅成了长度为3 的圆周，e 4 构成了长度为l 的圆周，e 5 ， e 6 构成了长度为2 的圆周 图3 2 1 1 4 大连理工大学硕士学位论文 定义3 2 2f 中的两个顶点u ，n 称为是连通的，如果在p 中存在“一”路若r 中 任意两点连通，则称r 为连通图，否则称r 为不连通 定义3 2 。3 环；两个顶点重合为一个顶点的边称为环 注意到环就是长度为1 的圆周如图3 2 1 所示，e 4 为一个环 定义3 2 4 如果边e 为r 的长度为1 的圆周，并且e 在s 上界定圆盘d ，i n t d 不含 有r 的其他顶点和边，则我们将d 称作单边面 定义3 2 5 如果c = e 1ue 2 为长度为2 的圆周，并且界定s 上的圆盘e ，i n t e 不含 有r 的其它顶点，此时e z ，e 2 被称作是平行的 定义3 2 6 如果r 为s 上的有限图，如果将r 的每一组相互平行的边由一条边代 替，这样得到的图我们称之为r 的约化图，通常记作f 图3 2 1 的约化图如图3 2 2 所示： 图3 2 2 定义3 2 7 度数：图r ( ve ) 中与顶点相关联的边数( 每个环计算2 次) ，称为顶点的 度数，记为d ( ”) 定义3 2 。8 图的e u l a r 公式：若y ，e ，f 分别表示r 中顶点，边及面的个数，则有 y e + f x ( s ) 如果r 是连通的，贝0 有v e + f = x ( s ) 在以下定理的证明中，我们沿用定义3 2 8 中对四，f ，y 的定义 定理3 2 9 如果r 为没有单边面的有限的球面图，于为工1 的约化图，则在于上至 少存在三个度数至多为5 的顶点 证明：这里我们不妨假设r 为连通图( 如果r 不连通的话，我们加上一些边，使 之成为连通图) 假设于中最多有两个度数至多为5 的顶点由题设于中无单边面和平行边，则有 2 e 6 ( v 一2 ) 同理可知，r 中每一个面至少由3 条边构成，从而有3 f 冬2 e 根据连通的球面图的e u l a r 公式：2 = v 一四+ f e 3 + 2 一四+ 2 e 3 = 2 ，矛盾。 所以定理成立 1 5 王静：边界可约的，平环的和环面的把柄添加 定理3 2 。1 0 如果1 1 为没有单边面的有限的环面图，亍为r 的约化图，则在于上至 少存在一个顶点，其度数至多为6 证明：这里我们依然假设r 为连通图假设亍中所有顶点的度数均大于7 由题 设于中无单边面和平行边，我们有7 vs2 e 和3 f 曼2 e 根据连通的环面图的e u l a r 公式：0 = v e4 - f s2 e 7 1 e 3 0 ，矛盾 所以定理成立 1 6 大连理工大学硕士学位论文 4 边界可约的，平环的和环面的把柄添加 在前两章的理论基础上，我们进入本文的主体部分：即边界可约的，平环的和环面 的把柄添加的论述 4 1 把柄添加 在本章中所有的三维流形都假定为可定向的 定义4 1 1 添加1 - h a n d l e ，? , - h a n d l e ，3 h a n d l e ： 设m 是一个带边的三维流形，将d j 按照以下方式粘到m 的边界上： ( 1 ) 添加1 - h a n d l e ：如图l 所示把d o ) ，d 1 ) 粘到o m 上，称为是往m 上添加 1 - h a n d l e m d i 图4 1 1 ( 2 ) 添加2 - h a n d l e ：如图2 所示把a d i 沿着0 m 上的一条简单闭曲线c 的正则邻域 粘到0 m 上，称为是往m 上沿着舔加2 - h a n d l e 1 7 _ 一 王静：边界可约的，平环的和环面的把柄添加 图4 1 2 ( 3 ) 添加3 - h a n d l e ：如果m 的边界有一个分支是s 2 ，则沿着铲粘一个b 3 ，称为是往 m 上添加3 - h a n d l e 定义4 1 2 设a 为o m 上的合痕类，在m 上沿着a 添加2 - h a n d l e ，并沿着因加 2 - h a n d l e 而可能产生的球面分支添加3 - h a n d l e ，我们称此操作为在m 上沿着口作把柄添 加，并把得到的流形记作m m d d m 图4 1 2 定义4 1 3 如果在上面定义中a 为a m 的环面分支上的合痕类，添加2 - h a n d l e 就 相当予在村上沿着岱添加固体环，这时的把柄添加称作在肘上沿着n 作d e h nf i l l i n g 。 另：本章若无特别指出，则所有曲线均可视为合痕类 4 2 双曲流形相关概念 定义4 2 。1 如果可定向的三维流形m 为不可约的，并且含有可定向的不可压缩的 曲面，则我们称m 为h a k e n 流形 定义4 2 2 假设m 是一个h a k e n 流形，( 特别地，0 m 不含有球面分支) ，如果m 为不可约的，边界不可约的，不含有本质平环的和不含有本质环面的流形，则我们称m 为双曲流形 从双曲流形的定义，我们不难看出，双曲流形不能用本质球面，本质田盘，本质平 环及本质环面进行分解因此从这种意义上说，双曲流形是一类比较简单基本的流形 定义4 2 3 如果髓为双曲流形，矧叫不为双曲流形，那么将此把柄添如或d e l t a f i l l i n g 称作退化的把柄添加或退化的d e h n 丑u i n g ，将a 称为退化曲线 定义4 1 2 4 如果f d j 含有本质的平环，则称其为平环的 定义4 2 5 如果m a 含有本质的环面，则称其为环面的 定理4 2 6 1 5 l 设m 是一个双曲的三维流形，a ，p 是0 m 上两条分离的闭曲线 如果m m 为可约的，m 旧为边界可约的，则( a ，卢) = 0 关于d e h nf i l l i n g 的研究，在1 9 8 4 年a c a s s o n 和r l i t h e r l o 。n d 建立图论的方法后，已 1 8 大连理工大学硕士学位论文 经有了很大的进展，几乎将所有情况都给出了证明但对于一般的把柄添加问题，贝4 相 关结果较少 m a r t i ns c h a r l e m a n a 和吴应清1 1 5 有例子表明，存在三维流形其上可作无穷种退化的 把柄添加在这些退化曲线中，大部分的曲线都与某些分离曲线共面，所以研究分离的 退化曲线对整个问题的研究都有着重要意义在文献 1 6 中，文章作者对在双曲流形上 沿分离曲线作可约的把柄添加有了进一步的讨论而在本章的以下两节中，我们将对其 他一些情况，即边界可约的，平环的和环面的把柄添加做进一步的探讨，并给出一些相 对应的结论 4 3 三个基本引理 在进入本章中一5 - 定理的证明之前，我们先来讨论三个与之相关的基本引理 在本节中，我们假设m 是双曲的三维流形，a 是o m 上分离的闭曲线在o m 上 沿凸：作退化的把柄添加，得到流形m 则m 可能是可约的，边界可约的，平环的或 环面的接下来我们将对后三种情况分别加以讨论分析 引理4 3 1 如果m 【卅是边界可约的流形，则m 中存在本质的带洞的圆盘p ，并且 p 除了其中一个边界分支外，其他边界分支均平行于a 证明：因为m f o l 为边界可约流形，则m h 中一定存在一个边界压缩圆盘卢，令 p = 卢n m 则p 是一个带洞的圆盘，并且除了边界分支a 卢以外，其他的边界分支均平 行子a 适当选取使p 的边界分支数最小令o p = 罅u 鱼p u u 磊。p 其中国p ，岛p ， ，。p 均平行于n ，并且在o m 上按出现顺序排列，即反p 与魂+ 1 p 之间界定o m 上 的一个平环。 则p 为不可压缩的 若不然，假设p 为可压缩的，则存在压缩圆盘d ，沿着d 对p 进行压缩变换，得到 两个曲面则其中一个为边界分支数比p 更少的带洞的圆盘这与p 的选取矛盾，故p 为不可压缩曲面 并且p 为边界不可压缩的，若不然，假设p 是边界可压缩的，则存在边界压缩圆盘 曰，o e = u u ，其中“o m ，( ”，加) ( p 】a p ) 因为p 不可压缩，则“不能合痕于o p ( 平 行于边界的) 即( u ，a u ) 在( 3 m , o p ) 上本质沿着f 对p 作边界压缩运算，得到一个新 的曲面，根据u 的端点位置不同，新曲面有一或两个分支如果新的边界分支在o m 上 是平凡的，我们用平凡的圆盘将其堵上，得到的曲面记作p ，这时，我们有以下三种情 况： ( 1 沁的两个端点落在o p 的不f 习的分支上如图4 3 1 所示 1 9 王静：边界可约的，平环的和环面的把柄添加 a p 图4 3 1 此时p ，只有一个分支，且p = 声，1 卯l l a p | 也就是说，p 是比p 边界分支数更少 的带洞的圆盘 ( 2 ) 抛a t p 或0 u 如。p 如图4 3 2 所示 屯pa p a 1pa l p a 。p 图4 3 2 此时p 有两个分支，且新的边界分支在a m 上是本质的从而p ，有一个分支是 边界分支数更少的带洞的圆盘，矛盾 ( 3 ) 抛a p 因为声是边界不可压缩的，p 肯定有一个分支是合痕于声的所以相对应的，p ， 有一个分支是有着更少边界分支数的带洞的圆盘，矛盾 接下来两个引理的证明与引理4 3 1 的证明是类似的，我们将在证明过程中略去一些 重复性的说明 引理4 3 2 如果吖嘲是平环的但边界不可约的三维流形，那么m 中存在本质的 带洞的平环p ，并且p 除了其中两个边界分支外，其他边界分支均平行于a 证明：因为州叫为含本质平环的，则m 0 i 中一定存在个本质的平环卢类似于 大连理工大学硕士学位论文 引理4 3 1 ，我们得到带洞的平环p ，并且p 除了边界分支a 卢，巩卢以外，其他的边界分 支均平行于a 适当选取使p 的边界分支数最小令0 p = a p u 如p u a p u u 巩。p t p 为不可压缩的若不然，假设p 为可压缩的沿压缩圆盘d 对p 进行压缩变换， 得到两个曲面p l ，恳，我们用矗，磊来表示将p 1 ，p l 的平凡边界分支用m m 中的圆盘堵 上后得到的曲面由于a 声在a m 上是本质的，我们有以下两种情况： i ：若d 如图4 3 3 所示，则矗，磊均独立构成了m 中的边界压缩圆盘这与m 卅 是边界不可约的矛盾 图4 3 3 i i ：若d 如图4 3 4 所示，则p 1 ，局中有一个是带洞的平环，并且边界分支数少于p 这与p 的选择矛盾 图4 3 4 p p 为边界不可压缩的若不然，假设p 是边界可压缩的类似的，我们仍有以下三 种情况： ( 1 ) u 的两个端点落在0 p 的不同的分支上 2 1 王静：边界可约的，平环的和环面的把柄添加 因为卢是边界不可压缩的，u 的两个端点不可能同时落在a l p 和a 声上对于其 他种情况，p ，只有一个分支，且p = ei a p l i a p l 这与尸的选择矛盾 ( 2 ) a u a p 或a u 如。p 此时f 有两个分支，且新的两个边界分支在d m q 】上是本质的 i ：若u ，”如图4 3 5 所示，则p 有一个分支构成了m 的一个边界压缩圆盘，矛 盾 图4 3 5 i i ：若u ，”如图4 3 6 所示，此时p 为两个本质的平环，从而相对应的p ，有一个分 支是有着更少边界分支数的带洞的平环，矛盾 图4 3 6 ( 3 ) 钆a 声或如魂声 因为声是边界不可压缩的，p 肯定有一个分支是合痕于声的从而p ，的两个分支 中有一个是有着更少边界分支数的带洞的平环，矛盾 证明完毕 大连理工大学硕士学位论文 引理4 3 3 如果m 是环面的，不含本质平环的，不可约的，边界不可约的三维 流形，那么m 中存在本质的带洞的环面p ，且p 的所有边界分支均平行于o 证明：因为m 陋】为含本质环面的流形，则m 中一定存在一个本质的环面f ，类 似的我们得到m 中带洞的环面p ，且尸的所有边界分支均平行于o l 适当选取使p 的边 界分支数最小令a p = a 1 p u u & 。p p 为不可压缩的若不然，假设p 为可压缩的，沿压缩圆盘d 将p 进行压缩，得到 曲面p 1 i ：若d 如图4 3 7 所示，贝i 矗为m m 中的可约球面，这与m 同是不可约的矛盾 图4 3 7 i i ：若d 如图4 3 8 所示，则p l 有两个分支，其中一个是带洞的环面，并且边界分支 数少于p 这于p 的选择矛盾 图4 3 ，8 p 为边界不可压缩的，若不然，假设p 是边界可压缩的因为这里声为环面没有边 界，我f ) 仅讨论与弓j 理4 3 1 中类似的前两种情况 ( 1 ) u 的两个端点落在a p 的两个相邻的分支上 王静：边界可约的，乎环的和环面的把柄添加 此时p 7 是比尸边界分支数更少的带洞的环面，矛盾 ( 2 ) 抛a p 或抛魏。p 此时有一或两个分支，且新的边界分支在蹦m 上是本质的 i ：若乱，u 如图4 3 9 所示，则p 为一个本质的平环，这与m m 是不含本质平环的 矛盾+ 图4 3 9 i i ：若“，口如图4 3 1 0 所示，则p 有两个分支且其中一个构成了m m 的一个边界压 缩圆盘，这与m 同是边界不可约的矛盾。 证明完毕 图4 3 1 0 4 4 中心定理的证明 假设m 为双曲的三维流形，a ，卢是o m 上两条分离的闭曲线在o m 上沿。，卢做退 化的把柄添加，得到流