（计算机应用技术专业论文）数值试井中不规则稀疏矩阵相关算法研究.pdf

中国科学技术大学硕士学位论文 摘要 数值试井是油田开发方案和调整方案编制、动态预测等油藏管理的重要技术 手段和基本工具，是找到提高最终采收率的方法和途径，在现代油藏开发管理中 发挥着越来越重要的作用。大型不规则稀疏矩阵的求解是数值试井中单个花费最 大的一部分，同时也是关系到结果可靠性的最重要环节。 本文首先给出了数值试井的具体过程，从区域的离散( 网格划分) ，到方程 的离散，再到离散方程的线性化，最后是稀疏矩阵的求解，都给出了详细的介绍。 然后，针对数值试井中出现的大型不规则稀疏矩阵的求解进行了研究，具体讨论 了适用于数值试井的高效、可靠的矩阵迭代求解算法和矩阵预处理算法。最后， 通过对已讨论的矩阵迭代算法和矩阵预处理算法的编程实现，并将这些算法运用 于不同条件下的数值试井中，再对这些试井结果进行精度和效率上的比较，在分 析、比较的基础上探讨最适合于数值试井的大型不规则稀疏矩阵的求解算法。主 要成果如下： 1 给出了利用有限体积法在p e b i 网格基础上离散黑油模型方程的具体推导过 程，以及离散方程的线性化过程； 2 研究了适合于求解不规则稀疏矩阵的迭代求解算法，并通过算例比较了多种 迭代求解算法的计算效率和稳定性，实验证明了g m r e s 迭代算法是适用于 数值试井的最为高效、可靠的算法； 3 探讨了多种不同类型的矩阵预处理算法，研究表明使用i l u 预处理，m i l u 预处理以及松弛的i l u 预处理能够大大地加速迭代的收敛，对于松弛i l u 预 处理，通过算例证明了采用不同大小的松弛因子值时能够导致计算效率的较 大差别； 关键词：数值试井；网格；不规则；稀疏：迭代求解算法；预处理算法 中国科学技术大学硕士学位论文 a b s t r a c t n u m e r i c a lw e l lt e s ti sa ni m p o t l z n tt e c h n i c a lm e a na n dab a s i cm e t h o df o ro i l f i e l de x p l o r a t i o na n dr e s e r v o i rm a n a g e m e n t s ，s u c ha sp r o j e c ta d a p t a t i o na n dd y n a m i c p r e d i c t i o n i ti saw a ya n dm e t h o df o rr a i s i n gt h ef i n a lo i lr e c o v e r yr a t i o ，a n di s p l a y i n g am o r ea n dm o r e i m p o r t a n t r o l ei nm o d e r nr e s e r v o i r e x p l o r a t i o n m a n a g e m e n t s t h es o l v i n go fl a r g e s c a l e - s p a r s e i r r e g u l a rm a t r i x ，c o m p a r e dw i t ht h e o t h e rp a r t so f t h ew o r k , c o s t st h el a r g e s tp a r to f w o r kt i m e ，a n dm e a n t i m e ，i st h em o s t i m p o r t a n tp a r to ft h ew o r kb e c a u s ei tr e l a t e st ot h er e l i a b i l i t yo ft h en u m e r i c a lw e l l t e s tr e s u l t s t h ed e t a i l e di n t r o d u c t i o n sa n dp r o c e d u r eo f t h en u m e r i c a lw e l lt e s ti sp r o v i d e di n t h ep a p e r ，i n c l u d i n gt h ed i s c r e t i z a t i o no fa r e a ( t h ed i v i s i o no fg d d ) ，t h ed i s c r e t i z a t i o n o fe q u a t i o n s ，t h el i n e a r i z a t i o no ft h ed i s c r e t ee q u a t i o n s ，t h es p a r s em a t r i xi t e r a t i o n s o l u t i o na l g o r i t h ma n dt h em a t r i xp r e c o n d i t i o n i n ga l g o r i t h m t h e nw es t u d i e dt h e s o l v i n gm e t h o d so fl a r g e s c a l e s p a r s e i r r e g u l a rm a t r i x ，w h i c hc o m e su pf r e q u e n t l yi n t h en u m e r i c a lw e l lt e s tp r o b l e m s ，a n dm a d ead e t a i l e dd i s c u s s i o na b o u tt h em a t r i x i t e r a t i o ns o l u t i o na l g o r i t h ma n dm a t r i xp r e c o n d i t i o n i n ga l g o r i t h m ，w h i c ha r ee f f e c t i v e a n dr e l i a b l ei ns o l v i n gn u m e r i c a lw e l lt e s tp r o b l e m s f i n a l l y , t h r o u g hp r o g r a m i m p l e m e n t a t i o no fd i s c u s s e di t e r a t i o na l g o r i t h ma n dp r e c o n d i t i o n i n ga l g o r i t h m , a p p l y i n gt h e s ea l g o r i t h m si nt h es o l v i n go fn u m e r i c a lw e l lt e s t su n d e rd i f f e r e n t c o n d i t i o n s ，w ec o m p a r e dt h ep r e c i s i o n sa n de f f i c i e n c i e so f n u m e r i c a lw e l lt e s tr e s u l t s b a s e do na b o v ea n a l y s i sa n dc o m p a r i s o n , w ed i s c u s s e dt h eb e s ts o l v i n gm e t h o do f l a r g e - s c a l e - s p a r s e - i r r e g u l a rm a t r i xi nn u m e r i c a lw e l lt e s t s t h ec h i e fr e s u l t sa l e 船 f o l l o w s ： 1 d e t a i l e dd e d u c t i o np r o c e d u r eo fd i s c r e t i z a t i o no fb l a c ko i lm o d e l e q u a t i o nb a s e do np e b ig r i da n df v mm e t h o d ，a n dt h el i n e a r i z a t i o n p r o c e d u r eo f t h ed i s c r e t ee q u a t i o n sa r ep r o v i d e di nt h ep a p e r 2 t h ei t e r a t i n gs o l u t i o n a l g o r i t h m t h a tf i t sf o r t h e s o l v i n so f h i 中国科学技术大学硕士学位论文 3 l a r g e - s c a l e - s p a r s e i r r e g u l a r m a t r i xi s s t u d i e d b yc o m p a r i n gt h e e f f i c i e n c ya n dr e l i a b i l i t yo fm a n yi t e r a t i o ns o l u t i o na l g o r i t h m st h r o u g h e x a m p l e s ，w ef i n dt h a tt h eg m r e s m e t h o di st h em o s te f f i c i e n ta n d r e l i a b l ea l g o r i t h mf o rn u m e r i c a lw e l lt e s t w ed i s c u s s e dd i f f e r e n tk i n d so fm a t r i xp r e c o n d i t i o n i n ga l g o r i t h m s a n d r e s u l t ss h o w t h a t , u s i n gi l up r e c o n d i t i o n i n g ，m i l up r e c o n d i t i o n i n ga n d r e l a xi l u p r e c o n d i t i o n i n g c a n g r e a t l y a c c e l e r a t et h ei t e r a t i o n c o n v e r g e n c e i nt h es t u d yo f r d a xi l up r e c o n d i t i o n i n g ，w ep r o v et h r o u g h e x a m p l e st h a td i f f e r e n tr e l a xf a c t o r s 啪c a t l s et h es i g n i f i c a n td i f f e r e n c e s i nc o m p u t a t i o ne f f i c i e n c y k e y w o r d s ：n u m e r i c a lw e l lt e s tg r i d ，i r r e g u l a rm a t r i x ，s p a r s em a t r i x ，i t e r a f i v e s o l u t i o na l g o r i t h m ，p r e c o n d i t i o n i n ga l g o r i t h m i v 中国科学技术大学硕士学位论文 致谢 本论文是在导师卢德唐教授的精心指导下完成的。卢老师严谨的治学态度、 求实的科学作风、独特的创新意识以及丰富的科研经验，使我在三年的硕士学习 期间掌握了不少科研的方法以及积累了一些软件项目的经验，这让我收益非浅。 在整个论文的完成过程中，从研究方向的确定、开题、具体研究工作以及论文的 撰写和修正等，都倾注了卢老师的大量心血。在卢老师的指导和鼓励下，才有了 本论文的顺利完成。至此，向卢老师表示最衷心的感谢i 感谢李道伦老师，在本论文的研究工作遇到困难时，李老师给了我及时的指 导，让我解决了难题，摸索出了正确的方法。另外，在论文的撰写思路上，李老 师给了我很多有价值的建议 感谢实验室的曾亿山、晏忠良老师和其他的师兄弟们平时给予我的关心和帮 助。 感谢我的家人给我的生话和工作上的帮助、理解，支持与鼓励，使我能够顺 利完成学业! 中国科学技术大学硕士学位论文 1 1 研究意义 第一章绪论 数值试井是在高性能计算机上利用数值计算方法模拟油气资源在开采过程 中的复杂流动，以了解和控制油气藏的生产动态，为控制和选择优化的开发方案 提供科学依据。它对于研究剩余油分布，促进我国相当部分已进入高含水的后期 老油田的高产、稳产具有重要指导意义。 随着计算机硬件和软件技术的飞速发展，给数值试井提供了一个好的平台， 使得通过数值的方法在试井分析中变得可能，而且越来越体现出数值方法的优越 性。并逐渐取代解析的方法，占据主导的地位。因为数值的方法可以处理任意边 界的油藏区域，能够解决多种复杂情况，如断层、裂缝井。水平井等等，以及针 对解析试井的瓶颈多相流问题时，用数值的方法可以容易地求得可靠结果。 伴随着计算机中央处理器的高速发展以及大容量存储器的出现，使得数值试井不 仅变得可行而且高效“。 具体地，数值试井是针对具体问题建立合适的数值模型，再通过合理的网格 划分技术将待求的复杂油藏区域划分为若干个小区域，然后将对应的油藏模型方 程在此网格的基础上进行离散，在线性化的基础上得到一系列的离散方程，该离 散方程组构成了一个大规模的稀疏矩阵。此时，便涉及到了这个大型稀疏矩阵( 更 多时候还会是不规则的) 的求解问题。我们知道，在整个数值试井中，该稀疏矩 阵求解结果的精度直接关系到整个数值试井结果的可靠性，另外，稀疏矩阵的求 解也是整个流程中消耗时间最多的一项重要环节。因而，寻找快速、有效的稀疏 矩阵求解算法具有重要意义嘲。 早期的矩阵求解算法主要是直接求解方法，最早运用于油藏工程领域的也是 直接解法，那时的数值试井所能够处理的问题只是比较简单的，规模很小的问题。 然而随着计算机技米的高速发展，使得人们已不再满足于这种小规模的试井分析 问题。因而，数值试井中处理的油藏区域越来越大，越来越复杂，伴随着各种先 进的网格划分技术的发展，以及对于试井精度的不断提高的要求，会产生越来越 庞大的网格数目，这势必导致大规模的稀疏矩阵的出现，同时，这些矩阵也不再 中国科学技术大学硕士学位论文 是原先的玎对角矩阵，而变成了不规则矩阵。因而，只能求解小规模规则矩阵的 直接解法便变得不再可行。此后发展起来的迭代求解算法具有更高的求解效率， 且能够处理规模较大的、不规则的矩阵问题。然而，如何将这些高效矩阵求解算 法运用到数值试井中来，即寻找适合于数值试井的迭代求解算法，在国内却研究 甚少。因而，从数值试井领域的角度去研究这类算法是具有重要意义的，也是迫 切需要的。 1 2 国内外相关的研究现状 稀疏矩阵的求解是在数值试井中单个花费最大的一部分，同时也是关系到试 井可靠性的最重要环节，还是最为耗时的部分，因而找到一个好的稀疏矩阵求解 算法是至关重要的。 最初，稀疏矩阵的求解采用的是直接求解方法，从最古老的高斯消去法，到 改进的高斯一约旦降阶法( g a u s s j o r d a n ) ，再到适合求解三对角矩阵的t h o m a s 算法，这些都只是最为简单的方法，并不能对油藏工程做出多大的贡献。紧接着 发展起了一些直接求解的改进算法，包括稀疏矩阵法、主元素法、多已知向量法 以及迭代改进法。这些改进的直接求解算法的确带来了求解速度上的略微提高， 但是仍然不能处理不规则边界的油藏问题。为了处理不规则边界问题，扩大直接 求解方法的运用范围，将不规则区域补充为规则区域，并将所有的网格块( 有效 的和无效的) 都连续地编上号，对有效网格块按常用的形式写出其方程，而对于 那些无效的网格块则写出其虚拟方程。通过这样的做法解决了不规则边界问题， 然而那些虚拟方程的引入导致求解该矩阵方程的运算量增加，因而，并不是一个 十分有效的方法。随后，又发展起来多种网格块排序算法，如自然排序法、d - 4 排序法、双循环( 红一黑) 排序法以及d 一2 排序法，通过对网格块的不同排序方 法来减少求解离散方程组的运算量。经过这些处理工作，直接解法相比最开始时 的形式已经有了很大进步，能够良好地求解小规模的油藏问题。 但是随着计算机技术的突飞猛进的发展，现代化的工业要求能够尽可能地处 理越来越大的油藏模型，同时对于计算精度越来越高的要求使得区域离散的必须 采用越来越复杂的网格划分技术，而不再是简单的规则网格划分技术。这样势必 为油藏试井过程中带来大量的网格数目，从而使得问题的规模变大。然而，那些 2 中国科学技术大学硕士学位论文 改进的直接求解方法却并不适合于求解该类大规模问题。此时，迭代求解的方法 丌始运用于数值试井领域，并变得越来越普遍。从最初的简单迭代，如j a c o b i 迭 代、g a u s s s e i d e l 迭代迭代，再到逐次超松弛方法( s 0 r ) ( 包括点逐次超松弛 方法一p s o r 、线逐次超松弛方法一l s o r 、块逐次超松弛方法- b s o r ) ，这些形 式简单的算法仍然不能为数值试井中的矩阵求解带来突破性的进展，但是这种迭 代的思想却开始体现出了它强大的生命力和巨大的发展潜力。2 0 世纪6 0 年代到7 0 年代，发展起了迭代的交替方向隐式法( a d i p ) ，这种技术在当时的油藏试井 中有着十分广泛的运用。然而，s o r 法和a d i p 法在处理非均质性的油藏试井问 题时不能收敛，这时近似分解技术的出现，特别是强隐式法( s t p ) 的出现成功 地解决了非均质问题，近似分解技术的基本思想是用一个与原来系数矩阵类似但 更易于分解为【c 1 和】的近似矩阵【爿】来代替原来的系数矩阵【棚。 后来，共轭梯度法( c g ) 的出现标志着矩阵迭代解法发展的一个飞跃，在 矩阵学领域具有里程碑的意义，共轭梯度法是一种求解含，1 个未知量的疗元线性 方程组的一种迭代方法，在刀迭代后可得到精确解( 假设没有舍入误差) ，而近 似解可以在少于盯次迭代得到。共轭梯度法一出现便显示了其强大的生命力，因 为它具有以下的突出优点；( 1 ) 可以在n 次迭代后得到含行个未知量的胛元方程 组的精确解，所以，如果完成了，1 次迭代后，共轭梯度法可以视为是直接求解法。 但在实际应用中，更多地迭代的次数会低于疗次，然而得到的结果精度也会相当 可靠；( 2 ) 易于编码实现并且占用内存较少；( 3 ) 运算过程中不需要对原始系 数矩阵进行转换，因此可以保持原稀疏矩阵的结构。( 4 ) 可以求解对称系数矩 阵和非对称系数矩阵。但是，共轭梯度法也存在收敛速度较慢的问题，且在求解 非对称系数矩阵时运算量较大。于是，在共轭梯度法的基础上又出现了广义共轭 梯度类方法( c g l ) 。在油藏试井中，常用的广义c g l 类算法称为最小余量法， 其中常用的求解算法有正交极小化方法( o r t h o m i n ) 、广义极小余量算法 ( g m r e s ) 、广义正交余量法( g c r ) 等。其中o r t h o m i n 迭代方法和a 订r e s 迭 代方法使用频率最高，大量试验表明这两种方法是目前数值试井领域中用于求解 大型不规则稀疏矩阵最为商效的两种算法。 目前，矩阵的迭代求解算法发展已经相对成熟。然而，随着数值试井规模的 越来越大，对矩阵求解的要求也在日益提高，同时我们发现矩阵求解的性能、迭 中国科学技术大学硕士学位论文 代收敛速度的快慢在很大程度上依赖于矩阵前提条件的质量。一个好的预处理算 子能够带来计算速度的极大提高，同时使得迭代算法的稳定性更好。因而，人们 将更多的精力放在了寻找一种好的矩阵预处理算法，而且任何一个迭代求解的预 处理算子都可以用作其它迭代求解的预处理，并且各种不同的预处理算法可能绑 定在一起形成多级预处理算法。传统的预处理算法包括，对角预处理，不完全 l u 分解( i l u ) ( b c h i e 和f o r s y t h ，1 9 8 3 ) ，修正不完全l u 分解( m i l u ) ，松弛不完全 l u 分解，代数多重网格法( a m g ) ( s t u c b e n ，1 9 8 3 ) 等。但是，这些预处理算法的 性能很大程度上依赖于所需求解的矩阵类型，同时某些预处理算法中相关系数的 设定值大小对求解过程也有着决定性作用。以松弛不完全l u 分解为例，其中的 松弛因子缈的取值以及填充集甲的选取，就直接关系到迭代算法收敛速度的快 慢以及存储量的需要大小。研究这些预处理算法针对数值试井不同情况时的适用 程度以及相关参数的设定范围是十分有必要的，然而这些问题目前国内外的相关 研究却并不多见“1 。 因而，研究适用于数值试井领域的迭代求解算法以及相关的矩阵预处理算 法，并分析它们的求解效率以及求解的可靠性与稳定性将是本文研究的主要内 容。 1 3 论文研究的主要内容 本文研究的主要内容是现代数值试井中不规则稀疏矩阵的求解算法，结合国 内外数值试井领域的相关研究成果，探讨适用于求解数值试井过程中出现的大型 不规则稀疏矩阵的高效稳定算法。 具体地，本论文的主要工作包括：( 1 ) 油藏区域的空间离散；( 2 ) 黑油模 型方程的离散；( 3 ) 离散方程的线性化：( 4 ) 大型不规则稀疏矩阵求解算法的 研究；( 5 ) 具体功能的软件实现。 1 3 1 油藏区域的空间离散 油藏区域的空间离散也就是采用适当的网格划分程序将待求的油藏区域划 分为着干个小区域。一个好的网格划分算法直接关系到数值试井结果的好坏，它 是整个数值试井过程的良好开端，也是数值试井的必备条件。本文使用的网格， 中国科学技术大学硕士学位论文 为了满足多种复杂情况酌求解问题以及出于精度的考虑，采用包含径向网格以及 p e b i 网格”川的混合网格啪划分技术划分而来。并将具体算法采用c + + 语言编程实 现了，代码可以划分任意边界的油藏区域，可以绘制断层、裂缝等复杂情况，且 能够很好地处理多井干扰、多条断层干扰以及井与断层问的干扰问题。 1 3 2 黑油模型方程的离散 数值计算领域常用的三种离散方法是有限差分法( f d m ) 、有限元法( f e m ) 和有限体积法( f v m ) 嘲。然而，有限差分法虽然构造简单、计算效率高，但是 处理复杂区域时面临很大困难，且对单元剖分要求较高，只适用于结构网格，因 而并不适合用于文中的问题。而有限单元法虽然能够处理复杂区域，且适用于非 结构网格，然而编程复杂，且不够经济可观。本文采用有限体积法来离散黑油模 型方程，因为有限体积法不仅具有有限元方法的网格剖分的灵活性，适合结构网 格和非结构网格，能够逼近复杂的几何区域；而且具有有限差分法在格式构造上 的多样性，可以利用大部分有限差分法的设计思路，以及相关的理论结果。 1 3 3 离散方程的线性化 采用有限体积法离散得到的方程组并不是线性方程组，因为未知量的系数同 时也是未知量的函数，要进行下一步的工作必须先对该非线性方程组进行线性化 处理操作。具体的线性化处理方法包含显式处理方法、隐式处理方法以及线性化 的隐式方法。显式处理方法实现最为简单，但是稳定性也最差；而隐式处理方法 稳定性最高，但同时也是最复杂的，且要求较高的计算机硬件条件；线性化的隐 式方法介于两者之间。文中出于条件所限以及简单考虑，更多地使用了显式处理 方法和线性化的隐式方法“1 。 1 3 4 大型不规则稀疏矩阵求解算法的研究 这一部分内容是本文的核心部分，具体介绍了数值试井中的常用矩阵求解算 法。通过分析数值试井时产生的矩阵的特点，探讨适合于求解这类矩阵的算法 i s - 1 4 中国科学技术大学硕士学位论文 1 3 5 具体功能的软件实现 文中的研究内容主要围绕大型数值试井软件开发过程中所遇到的问题，对这 些问题展开讨论，并一解决从而为软件的开发扫除难题。也就是说论文的写作 过程同时也是软件的编写过程。目前，已完成了软件的大部分功能，具体实现了 能够划分任意平面区域问题、处理多种复杂情况的网格划分程序，多种迭代算法 和预处理算法的代码实现部分，并使用自己编制的网格和矩阵求解算法实现了二 维单相流、两相流问题的计算。 1 。4 论文的主要创新点 过去的几十年内国外在油藏数值模拟领域取得了较大发展，已发展起多种高 效的稀疏矩阵的求解算法，并将这些方法成功地运用于具体的油藏数值模拟问题 中。目前，s l b 和k a p p a 等公司均已开发出一些大型的数值模拟软件，这些软件 在具体的数值模拟过程中具有较高的运算速度，而且计算的结果也比较可靠。然 而，目前国内大多数的油田都存在区域不大的特点，即石油分布相对分散，需要 了解更多有关于油井附近的压力分布情况，而油藏数值模拟更多地是针对于一个 比较大型的复杂油藏区域，一般是从整体上去考虑油藏的动态变化，并不适合国 内的实际情况，因而需要采用数值试井的方法去了解更多关于井附近的压力变化 情况，通过采用不一样的网格划分程序，即在观察井附近使用比较密的径向网格 划分，显然在这种网格下形成的稀疏矩阵结构会有所不同，因而本文的主要工作 是探讨适合于数值试井的稀疏矩阵求解算法。同时，至今为止国内还没有独立编 制出利用数值方法进行试井分析的大型软件，而本文的研究工作正是为实际开发 数值试井软件服务的，同时也是软件开发过程中的经验总结。 1 5 论文的组织结构 本文以不规则稀疏矩阵的算法研究为核心，以整个数值试井的流程为主要组 织脉络，具体分为以下各章内容： 第一章简单介绍了论文的研究意义及相关研究内容； 第二章介绍了混合网格下的黑油模型方程的离散； 6 中国科学技术大学硕士学位论文 第三章重点介绍大型不规则稀疏矩阵的迭代求解算法； 第四章重点介绍矩阵的预处理算法； 第五章对多种求解算法进行运算比较和结果分析； 第六章结论及展望。 7 中国科学技术大学硕士学位论文 第二章混合网格下的黑油模型方程的离散 2 1 混合网格技术 在数值试井中，网格“4 删划分是极其重要的组成部分。因为在数值试井时 需对渗流方程进行离散，而网格是方程离散的基础。当离散方法确定时，网格分 布决定了方程组系数矩阵的组织结构，从而直接影响数值试井的计算效率、及计 算精度。同时，网格生成的质量和效果，如对求解区域几何复杂性、边界条件的 适应能力和逼近程度，对全域和局部区域的网格重分可能性和编程的简易程度， 以及所生成的数据的自动化和智能化程度等，都直接关系到数值试井结果的好 坏。 网格按拓扑结构可分成结构网格和非结构网格。结构网格是指网格区域内所 有的内部点都具有相同的相邻单元。然而结构网格适用的范围比较窄，只适用于 形状规则的图形，不便于描述断层尖灭等油藏地质特征；而且存在严重的网格取 向效应。因而结构网格无法胜任复杂油藏的数值试井，须探寻新的网格方法。非 结构网格是指网格剖分区域内的不同内点相连的网格数目不同，在其内部可以包 含结构化网格的部分。非结构网格可以逼近任意油藏形状，便于局部加密，易于 描述断层等复杂情况，在数值试井领域受到格外重视。然而非结构网格的生成困 难，数据结构复杂；代数方程组求解相对困难。考虑到计算时间、内存空间等， 非结构网格也难以全域油藏中使用。 另外，用于数值试井的网格要求正交。因为不规则的非正交的网格且渗透率 各向异性的方程非常复杂，求解非常费时间；离散化方法不唯一，求解结果依赖 于邻网格点的选择，从而导致试井结果严重依赖网格。 1 9 8 9 年h e i n e m a n n 提出了p e b i 网格( 图2 。l 、图2 。2 ) ，一种局部正交网格 具有非结构性和正交性。p e b i 网格可以很好试井复杂油藏边界；可以解决渗透 率各向异性问题；近井处可以局部加密并且粗细网格过渡较为平滑；取向效应小； 易于构造断层；满足网格正交性要求，是目前数值试井中采用的最为广泛的网格 划分技术。 8 中冒科学技术大学硕士学位论文 图2 1p e b i 网格示例 图2 2 一般形式的p e b i 网格 9 中国科学技术大学硕士学位论文 然而，由于p e b i 网格的不规则性，导致网格块可有任意多的相邻网格，从 而给存储、计算更多的负担，因而不能用p e b i 网格对全域油藏进行划分，只可 局部使用。另外，在对油藏进行数值试井时，主要是为了得到比较精确的井底压 力随时问的变化，因而在井四周必须采用划分比较密的网格，这时仍采用p e b i 网格则会带来较多的网格数据，同时针对油井四周的流体流向是呈径向分布的， 因而在油井四周更加适合使用径向网格，因而综合考虑，在数值试井中一般采用 混合网格技术，即在油藏试井区域的不同区块上结合流体的流动特征使用不同的 网格和坐标系。一般来说，在油藏区域较大时，采用在油井区域采用径向网格， 在断层、边界及混合网格过波段采用p e b i 网格，在非特殊区域使用规则的长 j 下方形网格( 图2 3 ) 。而当油藏区域不是很大，同时我们只想了解井底压力的 变化，并不需要知道整个油藏区域的压力分布时，一般只在油井区域采用径向网 格，其它区域使用p e b i 网格的混合网格划分便可( 图2 4 ，本文主要使用的网 格划分) 。通过混合网格的使用实现了多种坐标体系的结合，能够较为准确地反 映井眼周围流体流动特征、很好地描述断层裂缝等地质特征，而且可以大大地减 小网格数目、克服单一网格在试井过程中的不足，在油藏试井中得到了普遍的重 视与广泛的应用，是目前各大商业软件采用的首选网格划分技术。 图2 3 含径向网格、p e b i 网格及矩形网格的混合网格 l o 中届科学技术大学硕士学位论文 2 2 数值方法 图2 4 含径向网格、p e b i 网格的混合网格 2 2 1 有限体积法 有限体积法【明又称控制体积法( c o n t r o lv o l u m em e t h o d ) ，基本思想是将求 解区域划分为一系列不重叠的控制体积，并使每个网格点周围有一个控制体积； 然后将待解的微分方程对每一个控制体积积分，得出一组离散方程。其中的未知 数是网格点上的因变量的数值，为了求出控制体积的积分，必须假定值在网格点 之间的变化规律，即假设值的分段的分布剖面。从积分区域的选取方法看来，有 限体积法属于加权剩余法中的子区域法；从未知解的近似方法看来，有限体积法 属于采用局部近似的离散方法。 其基本解题步骤如下： 将计算区域划分为一系列不重叠的控制体积，并使每个网格点周围有一个 控制体积： 中国科学技术大学硕士学位论文 将待解的微分方程对每一个控制体积积分，得出一组离散方程，其中的未 知量是网格点上的因变量的数值； 求解所得的代数方程组获得微分方程的近似解。 在采用混合网格技术将复杂油藏区域划分为一系列的小区域之后，还需要找 到一种能将混合网格的诸多优点利用起来的渗流方程的离散方法。通过对有限体 积法的研究，可以发现有限体积法不但具有有限元方法的网格剖分的灵活性，适 合于结构网格和非结构网格，能够逼近复杂的几何区域；而且具有有限差分方法 在格式构造上的多样性，可以利用大部分差分方法的设计思路，以及相关的理论 结果。因而，在数值试井中使用有限体积法离散渗流方程是最为有效的方法。 2 2 2 g t e e ne l e m e n tm e t h o d ( g e m ) 我们知道，边界元法( b e m ) 是以定义在边界上的边界积分方程为控制方 程，通过对边界分元插值离散，化为代数方程组求解。它与基于偏微分方程的区 域解法相比，由于降低了问题的维数，而显著降低了自由度数，边界的离散也比 区域的离散方便得多，可用较简单的单元准确地模拟边界形状，最终得到阶数较 低的线性代数方程组。又由于它利用微分算子的解析的基本解作为边界积分方程 的核函数，而具有解析与数值相结合的特点，通常具有较高的精度。特别是对于 边界变量变化梯度较大的问题，如应力集中问题，或边界变量出现奇异性的裂 纹问题，边界元法被公认为比较精确高效的数值方法。而且由于边界元法所利用 的微分算子基本解能自动满足无限远处的条件，因而边界元法特别便于处理无限 域以及半无限域问题。然而边界元法的适用范围较为狭窄，不能求解非线性、不 均质区域问题。 g e m 1 7 是一种新颖的方法，是b e m 按e l e m e n t - b y e l e m e n t 方式的执行，是 一种奇异边界积分理论。可以很好地解决非线性问题，适应非均质问题，避免形 成整体系数矩阵。g e m 提供对一维和二维空间领域中的线性和非线性，稳态和 非稳态的工程问题的求解，以及一些迄今用边界积分理论无法解决的问题。g e m 是在扩大边界元( b e m ) 的求解范围的基础上发展起来的，运用g e m 可以解决 b e m 无法解决的非线性、非均质问题，避免了b e m 生成的矩阵为整体系数矩阵 的特点。g e m 采用有限元网格划分技术，结合了b e m 方法的精确高效性和有 中国科学技术大学硕士学位论文 限元方法的多功能性的优点。g e m 区别于b e m 的显著特点是在问题区域定义 许多小区域，使得每个小区域附近的节点数目相对较少，然而这样的做法也带来 了数量较大的节点数目，使得问题求解需要消耗太多的内存。研究表明，g e m 方法可以成功运用于求解b m g h a m 流在非均匀介质中的渗流问题，并能得到比 较理想的结果。 2 3 黑油模型的数学方程及其离散过程 2 3 1 黑油模型数学方程 数值试井的基础是油藏数学模型的建立，数学模型是一组数学关系式，它刻 画了实际油藏系统的数学关系和空间关系。为要模拟的物理系统建立基本方程 式，并建立相应的边界条件和初始条件，构成完备的数学方程组，从而正确反映 实际油藏物理量阃的定量关系。然而构成的油藏数学模型的方程组一般有很复 杂，难以用解析方法求解，必须用近似的方法将方程组写成计算机能够接受的形 式，这一组方程就形成了数值模型。 目前，黑油模型( b l a c k - o i lm o d e l ) 是最为常见的油藏数学模型的代表，是 一种三维三相模型。流体组分分为水、油、气三个组分，流体流动假设存在油、 水和气三相。通常情况下水是润湿相，油是中等润湿相，气是非润湿相。假定油 和水互不相溶，并且无质量转换和相变，而气相即不溶于油中也不溶于水中。 黑油模型的油水气相的数学方程分别如下所示： 油相： v 各c 即o - y o v z 帕钞 水相： v 赣( 吣r w v z ) l = 昙譬h 。 气相： 中国科学技术大学硕士学位论文 乳 。k 心k , o r , c 耽一心v z ，+ 篑孛c 睨一以v z ) = 妄( 鲁+ 警) 一 ( 2 3 1 3 ) 式中0 ，w 、g 一油、水、气相的下标。 足一地层绝对渗透率； 七，相对渗透率； 占地层体积系数； 粘度； y 相对密度； p 压力。 z 垂向坐标； 冠溶解油气比； 钆组分产量或流量。 2 3 2 黑油模型方程的离散 观察方程( 2 3 1 1 ) 至( 2 3 1 3 ) ，可以发现油，水，气相的方程具有相 似性，因而，下面不妨以油相方程为例，来具体讨论其离散过程，水相和气相方 程的离散类似之。因为2 1 节中讨论的混合网格中的径向网格和规则网格实际上 可以看成是p e b i 网格的特殊形式，因而具体讨论p e b i 网格下的离散过程便可， 以下将给出p e b i 网格下采用有限体积法离散黑油模型方程的具体推导过程“1 。 考虑p e b i 网格的任一网格块f ( i = 1 , 2 ，n ) ，如图2 5 ：邻点为， ( j = 1 , 2 ，m ) ，针对油、水、气相方程分别讨论其离散方法。 1 4 中国科学技术大学硕士学位论文 2 3 图2 5 网格块f 对油相方程作体积积分： f v 嚣t 吣班，卜畴c q 一汜s “， 考虑到p e b i 网格两相邻网格中心点的连线垂直于此两个网格的公共邻边的 事实，应用高斯定理，有： 手暖。c 蛾一匕a z 旷1 = 鲁 ( 鲁) ：+ l 一( 鲁) ：卜搿 方程( 2 3 l5 ) 左端表示流动项，右端表示累积项毛。为传导系数，是p e b i 网格任意两个相邻网格的中心点之间的流动系数乃，与其几何因子g 的乘积： 乃，。= 乃，。q ( 2 3 1 6 ) 其中九，参数有多种取值方法，包含单点上游加权法、两点上游加权法以及中点 加权法等，其中单点上游加权法是一阶精度的，而两点上游加权法和中点加权法 是二阶精度的，因而在对精度要求不是很高时可以考虑单点上游加权法，具体格 式如式所下： 中国科学技术大学硕士学位论文 钆=ikk。圹1隅kiuobos ( 见+ r o z ) j ( p o + 7 0 z ) ， ( p o + r o z ) j ( 岛+ 圪z x 式中，。为地下原油重度，z 为从某一基准面算起的高度。几何因子q 为两相邻 p e b i 网格f ，j 间流体流动的断面嘞与这两个p e b i 网格中心点间的距离吃的比 值： q = 6 9 f i d v ( 2 3 1 8 ) 值得注意的是，式( 2 3 i 5 ) 中的各个分量都采用了隐式格式，如传导系数项毛矿 油相组分产量g 。等都使用了n + l 时刻的值。 对于油相流动来说，由于求解变量是( 以”，研n + l ，“) ，因此对式( 2 3 i 5 ) 右端累积项还需进一步处理。将右端第一项l 1 - 尾o i 按泰勒公式在( p ”，酃，霹) 点 作一阶展开： c p ”，( 鲁厂= ( 鲁丁+ 霹陆嚣一高等卜 一( 筹砜+ 等峨) 肌 其中5 印= p ”1 一p ” 胬w = s 叶一s ： 器g 一- - 。n ? 一s ： 将式( 2 3 1 9 ) 代入式( 2 3 1 5 ) ，有： 暑l ( 甜一( 到= 拳怯鬈高等卜( 若可n + lj s g ) f l i 彤勿( 群) 2 印j 叫l 掣”彰“。 i 1 6 中霄科学技术大学硕士学位论文 由饱和度守恒等式最+ & + = 1 ，有： 瓯= l 一一墨 所以式( 2 3 1 5 ) 可以写成如下的形式： ( 哦一九z = c o , a p o + 船。+ 岛晖一( 2 3 1 1 2 ) j 舯气v , l r 呖la 4 一丽n + l 刳嘁哪， 类似于油相方程的离散过程，可得水相、气相的离散方程，在此不再详述具 体过程，结果如下所示： 水相离散方程： ，。( 瓴一九蛆) = 瓴+ 峨+ 晖一烈( 2 3 1 1 3 ) ) 其中= 善 专考一蕞警p ， 气相离散方程 【乃，。( 瓴- y , a z ) ”1 + & ( 劬o - y o a z ) 州 ， ( 2 3 1 1 4 ) = c p s + c p 6 s 。+ c 曙| s g q 芸 其中= 龇专考一雨n + l 刳彤+ 筹种母墨， + 采髫一每外， 】7 v j 玎玎 “呸2 一 爿甄 一 一 勺 ) 滢， 专玑 办 白 中国科学技术大学硕士学位论文 勺= 一暑滢r = 旦址t b , j 谢 。 因为“= p o p c o , , ，p g = 见+ ，其中和为毛细管力在数值试 井中，毛细管力对于精度的影响一般较小，文中为了研究问题的方便，将毛细管 力的影响忽略不计。因而。方程( 2 3 1 1 3 ) 及( 2 3 1 1 4 ) 可以表示为如下两 式： 水相离散方程： ( 瓴一九心) 一= 瓴+ 峨+ 峨一g 。n + l ( 2 3 i 1 5 ) ， 气相离散方程： 【乃。，( 蛾一z 矿1 + r ( 峨一九z 坩“ j| = 瓴+ 峨+ c 嚣g s s 目= 其中，系数c 邵，、q 、勺、勺及c 嚣保持不变。 2 4 多相流离散方程的求解 与单项流数值试井只涉及到压力未知量p 相比，多相流“1 的数值试井需要 求解压力未知量p 和饱和度未知量s 。因而，两相流的数值试井未知量数目是单 相流的两倍，而三相流的未知量数目是单相流的三倍。目前，求解多相流数值试 井方程的比较常用的方法有隐压显饱法( i m p e s ) 和联立求解法( s s ) 。其中， i m p e s 方法比较简单，计算耗时较短，不过计算结果的精度得不到保证：而s s 方法相对复杂，计算结果精度较高，然丽时问复杂度较高。总之，这两种方法各 有所长，可视具体情况的需求决定应该选用哪种方法来求解问题。下面将就这两 种方法给出一些详细的介绍。 1 8 中国科学技术大学硕士学位论文 2 4 i 隐压显饱法( i m p e s ) 隐压显饱法( n “p e s ) 来自于s h e l d o n 等人( 1 9 5 9 ) ，以及s t o n e 和g a r d n e r ( 1 9 6 1 ) 的著作，之后的d a n i l o v 等人( 1 9 6 8 ) 也对i m p e s 做出了贡献。i m p e s 的基本思想是合并流体方程得到一个只含压力的方程。某一步的压力求出来以 后，饱和度采用显式更新。下面以三相黑油模型方程为例来详细地介绍i m p e s 方法。 从2 3 2 节，我们知道黑油模型的油、水、气相离散方程： e r r , , ，。