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四川太学博士学证论文 非线性波动方程的全局吸引子 应用数学专业 研究生朱朝生指导教师穆春来教授 摘要 非线性k i r c h h o f f 方程，s c h r & l i n g e r 方程b e n j a m i n - b o n a - m a h o n y 方程都是重要的 波动方程其中非线性k i r c h h o f f 方程起源于对弹性细弦的微小振动的描述【5 4 j ，非线性 s c h r & l i n g e r 方程是量子力学中的重要模型1 4 0 ，而非线性b e n j a m i n - b o n a - m a h o n y 方程则 是描述非线性色散和耗散相互作用的长波传播模型【9 】有许多文献研究过这三类方程， 并取得了一系列重要进展尤其是对这三类方程初边值问题解的全局存在性及其渐近行 为的研究取得了丰硕的成果【1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，8 ，9 ，1 0 ，1 1 ，1 2 ，1 4 ，1 5 ，1 6 ，1 7 ，1 8 ，2 8 ，2 9 ，3 0 ，3 3 ， 4 8 ，4 9 ，5 0 ，5 9 ，6 l ，“，6 5 ，阳，7 1 ，7 2 ，7 3 ，7 4 ，7 5 ，7 7 ，7 8 ，8 1 ，8 2 ，8 3 8 4 ，8 5 ，9 5 ，9 6 ，9 7 j ， 从偏微分方程的定性研究来看，最关键的是要建立对定解问题的解对时间t 大范围的 一致先验估计 4 3 1 因此，由发展方程定义的无穷维动力系统是研究偏微分方程的一个重 要方面本文的主要目的是在这方面作一些研究，即- ( 1 ) 研究带三种不同边界条件的非线性k i r c h h o f l 方程全局吸引子的存在性； ( 2 ) 研究带非线性边界条件的s c h r 6 d i n g e r 方程全局吸引子的存在性和正则性； ( 3 ) 用调和分析方法研究r 1 上b e n j a m i b o n s - m a h o n y 方程全局吸引子的存在性 全文共分六章 第一章，引言，介绍无穷维动力系统的基本理论以及本文的主要结果 第二、三、四章，分别研究带三种不同边界条件的k i r c h h o f l 方程全局吸引子的存在 性目前，对齐次边界条件的发展方程定义的无穷维动力系统全局吸引子及相关问题已 有全面完美的结果【7 ，1 9 ，2 0 ，2 l ，3 1 ，3 2 ，3 4 ，3 5 ，3 6 ，3 7 ，3 8 ，3 9 ，4 1 ，4 2 ，4 3 ，4 4 ，4 5 ，4 6 ，4 7 ，5 3 ，5 6 ， 5 7 ，5 8 ，6 2 ，6 7 ，7 6 ，7 9 ，8 6 ，8 7 ，8 8 ，8 9 ，9 0 ，9 1 ，9 2 ，9 3 ，9 4 ，9 8 ，9 9 1 但是对非齐次边界条件的发展 方程定义的无穷维动力系统全局吸引子及相关问题还有许多问题需要解决【2 2 ，2 3 ，2 4 ，2 5 】 这正是我们研究带三种不同边界条件的k i r c h h o f f 方程全局吸引子存在性的原因众所周 知，一个紧的全局吸引子存在当且仅当解算子半群有一个有界吸收集，且算子半群是渐 近紧的【8 8 】我们在证明有界吸收集存在性的时候，遇到了第个困难，即，非齐次边界 条件为了克服这个困难，我们采用能量扰动方法【1 0 0 ，6 研和来自于f 5 5 l 的技术其次， 对渐近紧性的证明，通常采用算子分解的方法把解算子分解成紧的和渐近小的两部分 i i束朝生非线性波动方程的全局吸引干 然而。由于m ( 1 l v u l 2 ) 是非线性的，给我们的证明增加了困难为了战胜这个困难我们 将采用一种不同于p a p a d o p o u l o s ，s t a v r a k a k i s 7 4 ，7 5 ，7 6 新的分解方法来证明渐近紧性 具体来说第二章。研究带非线性边界条件的k h c h h o i t 方程解和全局吸引子的存在 性我们分两种情况来讨论，即当m ( i i v u l l 2 ) r n o 0 时我们研究如下问题。 it 船一m ( i w i l 2 ) a u 一毗= ， 讥n ( 0 ，o o ) ， j t = 0o n f 0x ( 0 ，) ， lm ( i i v u h 2 ) 器+ 铬+ 日( u ) = g o n r l ( o ，o o ) ， 【“( z ，0 ) = 2 o ( z ) ，t “( z ，0 ) = u l ( z ) 圣n n 当m ( i v u l l 2 ) 20 时。我们研究如下问题， t 蜥一m ( i i v u l l 2 ) a u 一t t = 0 i n n ( 0 ，o o ) ， u = 0o n f ox ( 0 ，c o ) ， m ( i i v u lj 2 ) 器+ 铬+ h c u ) = 0 f i n r l ( o ，o o ) ， “( z ，0 ) = t 0 ( z ) ，啦( z ，0 ) = u l ( x ) 讯 n 第三章，研究如下带记忆边界条件的k i r c h h o f f 方程全局吸引子的存在性一 i t h m ( i v u 1 2 ) a u 一t “+ ，( t ) = ( ) i nn x ( 0 ，o o ) ， l u = 0o r s f 0 ( 0 ，) ， 卜+ 舶( t e ) ( m ( i i v u ( 珊) 器( a ) + 静( s ) ) d s = 0 o n f 1 ( o ，o o ) ， i ( z ，0 ) = t 0 ( z ) ，砘( z ，0 ) = u l ( z ) i nn 第四章，研究边界带非线性耗散和记忆的k i r c h h o f f 方程的全局吸引子的存在性我们 分别研究如下两个问题： 和 t 衄一m ( i t w h 2 ) a u a 锄一毗+ ，( “) = ( z ) i n n ( o ，o o ) ， u = 0o n f 0 ( 0 ，o o ) ， m ( i l w l f 2 ) 券+ o 争+ 静+ “+ 毗+ 9 0 ) l 毗1 9 饥= g i “1 1 廿f i nr l ( o ，o o ) ， u ( 。，0 ) = t 0 ( 。) ，毗( z ，0 ) = 1 1 1 扛) i nn 毗t m ( i l w l l 2 ) a u 一嘶+ ，( ) = 扛) i n n ( 0 ，o o ) ， u = 0 o r s f o ( 0 o o ) ， m ( i l w l l 2 ) 面o u + 静+ + 9 ( t ) j 啦1 9 毗= g l u p , , 0 1 2f l ( o ，o 。) ， u ( z ，0 ) = 如( z ) ，地( z ，0 ) = u l ( z ) 讯n 四川大学博士学位论文 第五章研究如下带非线性边界条件的s c h r k l i n g e r 方程 t t “+ t b z + i t 1 2 t + 讹= ，( z ) ，z n ，t 0 ， ( o ，t ) = l u ( 0 ，t ) 1 2 u ( o ，t ) ， t 0 ， u # ( 1 ，t ) = 0 ，t 0 ， “( ，0 ) = t o 扛) ， 瓦 i 我们将证明全局吸引子的存在性和正则性大家知道，全局吸引子的存在性和正则性是 无穷维动力系统研究的重要内容，例如，见1 3 7 ，3 8 ，3 9 。8 8 ，9 2 】在c 3 8 ，3 9 】作者分别证明了 周期边界条件非线性s c h r & i m g e r 方程和k d v 方程的渐近光滑性而z k a n gf 9 9 采用同样 的方法处理了浅水波方程本章我们采用g o u b e t 【勰，3 9 】的方法来证明全局吸引子的存 在性和正则性 第六章研究无界区域r 1 上耗散b e n j a m i n - b o n a - m a h o n y ( b b m ) 方程， ， it c 一一p u 搿+ o m + ( t ，k = 9 扛) ， iu ( z ，0 ) = ，( z ) 我们采用一种新的方法来证明全局吸引子的存在性，这种方法来源于调和分析我们知 道，当这个方程定义在有界区域上时，则存在有限维的全局吸引子【1 9 ，9 3 ，9 4 】_ 然而当方程 定义在无界区域上时，证明全局吸引子的存在性就有很大的困难，原因在于这时s o b o l e v 嵌入不是紧的目前，有三种方法解决这个问题- 第一种方法是用能量方程证明弱渐近 紧性等价于强渐近紧性；第二种方法是作算子分解，将解算子分解成紧和渐近小的两部 分；第三种方法是利用截断函数或加权函数证明解对大空间和时间变量一致小根据第 三种方法，s t a n i s l a v o v a 【8 6 ，8 7 】提出了一种新的充分必要条件来验证定义在无界区域上 发展方程的渐近光滑性，这种充分必要条件包含了l i t t l e w o o d - p a l e y 投影算子本章我们 将利用这个充分必要条件来证明全局吸引子在日1 ( r 1 ) 中存在，而且全局吸引子包含于 日；一e 忙 o ) 关键词k i r c h h o f f 方程。s c h r 6 d i n g e r 方程，b e n j a m i n - b o n a - m a h o n y 方程，全局吸引子， 吸引子正则性，吸收集，渐近紧性，初边值问题，边界记忆非线性边界耗散，g a l e r k i n 方法，能量扰动，算子分解，无界区域，调和分析，l i t t l e w o o d - p a l e y 投影算子 i v束朝生非线性或动方程的全局吸引干 g l o b a la t t r a c t o ro fn o n l i n e a rw a v ee q u a t i o n s m a j o ra p p l i e dm a t h e m a t i c s a u t h o rz h uc h a o s h e n gs u p e r v i s o rp r o f e s s o rm uc h u n l a i a b s t r a c t i ti sw a l lk n o w nt h a tt h en o n l i n e a rk i r d l b o f fe q u a t i o n s ，t h en o n l i n e a rs c h r 6 d i n g e re q u a t i o n s a n dt h en o n l i n e a rb e n j a m i n - b o n a - m a h o n ye q u a t i o n sa y et h r e e k i n d so f i m p o r t a n tw a v ee q u a t i o n t h en o n l i n e a rk i r c h h o f fe q u a t i o n so r i g i ni nt h em a t h e m a t i c a ld e s c r i p t i o no fs m a l la m p l i t u d e v i b r a t i o n so f a ne l a s t i cs t r i n g 【5 4 】t h en o n l i n e a rs c h r 刮l i n g e re q u a t i o n sa r et h eb a s i cm a t h e m a t i c m o d e li nt h eq u a n t t t mm e c h a n i c s 4 0 t h en o n l i n e a rb e n j a m i n b o n a - m a h o n ye q u a t i o nw a s p r o p o s e di n 【9 】a sam o d e lf o rp r o p a g a t i o no fl o n gw a v e 8 w h i c hi n c o r p o r a t e sn o n l i n e a rd i s p e r s i v e a n dd i s s i p a t i v ee f f e c t s t h e r ee x i s t sal a r g eb o d yo fl i t e r a t u r er e g a r d i n gt h r e ek i n d so fe q u a t i o n a n das e r i e so fi m p o r t a n ta d v a n c e sa r ea c h i e v e do nt h em a t h e m a t i c a ls t u d i e s e s p e c i a l l yf o r e x i s t e n c eo fg l o b a ls o l u t i o na n dt h e i ra s y m p t o t i cb e h a v i o ro fi n i t i a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ， p l e n t i f u la n ds u b s t a n t i a lr e s u l t sa r eg o t ，f o re x a m p l e ，b 【1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，8 ，9 ，1 0 ，1 1 ，1 2 ，1 4 ，1 5 ， 1 6 ，1 7 ，1 8 ，2 8 ，2 9 ，3 0 ，3 3 ，4 8 ，4 9 ，5 0 ，5 9 ，6 l ，6 4 ，6 5 ，7 0 ，7 l ，7 2 ，7 3 ，7 4 ，7 5 ，7 7 ，7 8 ，8 1 ，8 2 ，8 3 ，8 4 ， 8 5 ，9 5 ，9 6 ，9 7 f r o mt h ev i e wp o i n to fs t u d yo fq u a l i t yf o rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，t h ek e yp o i n ti s t oo b t a i ns o m ep r i o re s t i m a t eo fs o l u t i o n sw h e nt 叶o 。i ns o m eb e 靶 4 3 卜s ot h ei n f i n i t e d i m e n s i o n a ld y n a m i c a ls y s t e m sd e f i n e db yt h en o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n si si m p o r t a n ta s p e c t f o rr e s e a r c ho fp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i nt h ep r e s e n tp a p e r ，o u rf i r s tm a i ng o a li st os h o wt h ee x i s t e n c eo fg l o b a la t t r a c t o r sf o r k i r e h h o f fe q u a t i o nw i t ht h r e ed i f f e r e n tb o u n d a r yc o n d i t i o nr e s p e c t i v e l y ；o u rs e c o n dm a i ng o a li s t os h o wt h ee x i s t e n c ea n dr e g u l a r i t yo fg l o b a la t t r a c t o r sf o rs c h r & l i n g e re q u a t i o nw i t hn o n l i n e a r b o u n d a r y c o n d i t i o n s ；a t l a s t ，w e w i l l i n v e s t i g a t e t h e e x i s t e n c e o f g l o b a la t t r a c t o r s f o r t h e d a m p e d b e n j a m i n - b o n a - m a h o n ye q u a t i o nd e f i n e do nr 1b yh a r m o n i ca n a l y s i s t h et h e s i sc o n s i s t so fs i xc h a p t e r s t h ef i r s tc h a p t e ri sd e v o t et ot h e8 u m a r yo ft h ed i s s e r t a t i o nf i r s to fa l l ，w ep r e s e n ts o m e b a s i cn o t i o n so fi n f i n i t ed i m e n s i o n a ld y n a m i c a ls y s t e m s s e c o n d l y , w ep r e s e n to u rg o a la n dt h e m a i nr e s u l t so ft h ep a p e r i nc h a p t e r2 ，3a n d4 ，w es h a l ls h o wt h ee x i s t e n c eo fg l o b a la t t r a c t o r sf o rk i r c h h o f fe q u a t i o n s w i t ht h r e ed i f f e r e n tb o u n d a r yc o n d i t i o nr e s p e c t i v e l y a tp r e s e n t ，t h e r ea r em a n yf u l lr e s u l t s f o ri n 丘n i t ed i m e n s i o n a ld y n a m i c a ls y s t e m sd e f i n e db yt h en o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n sw i t h h m o m g e n e o n sb o u n d a r yc o n d i t i o n 【7 ，1 9 ，2 0 ，2 1 ，3 l ，3 2 ，3 4 ，3 5 ，3 6 ，3 7 ，3 8 ，3 9 ，4 1 ，4 2 ，4 3 ，“， 4 5 ，4 6 ，4 7 ，5 3 ，5 6 ，5 7 ，5 8 ，6 2 ，6 7 ，7 6 ，7 9 ，8 7 ，8 8 ，8 9 ，9 0 ，9 1 ，9 2 ，9 3 ，9 4 ，9 8 ，9 9 1 b u tf o r n o n h m o m g e n e o u sb o u n d a r yc o n d i t i o n ，t h e r ea r em a n yp r o b l e m sn e e dt o w ( 2 2 ，2 3 ，2 4 ，2 5 1 t h i si sw h yw ec o n s i d e rk i r d a h e t te q u a t i o nw i t hn o n h m o m g e n e o n sb o u n d a r yc o n d i t i o n i ti s w e l lk n o w nt h a t8c o m p a c tg l o b a la t t r a c t o re x i s t si fa n do l yi ft h e8 豇n i f o l l ph a sbb o u n d e d a b s o r b i n g s e ta n di sa s y m p t o t i c a l l yc o m p a c t 8 8 w em e e tt h ef i r s td i 伍c u l t yi sn o n h m o m g e n e n n s b o u n d a r yc o n d i t i o n sw h e np r o v i n ge 僦e n c eo fb o u n d e da b 6 0 r b i n gs e t i no r d e rt oo v e r c o m e t h i sd i 伍c u l t y , w e8 h a l lc o m b i n et h ep e r t u r b e de n e r g ym e t h o du s e di n 【1 0 0 ，5 5 1w i t ht e c h n i q u e s f r o m 【6 6 】s e c o n d l y , f o rt h ep r o o f o fa s y m p t o t i c a l l yc o m p a c t ，o l l eu s u a l l yd e c o m p o s et h es o l u t i o n o p e r a t o ri n t o8c o m p a c tp a r ta n daa s y m p t o t i c a l l ys m a l lp a r t h o w e v e r ，b e c a l l s em ( i l w , t 2 li s n o n l i n e a r ，t h e r ea r ea d d i t i o n a ld i f f i c u l t i e sw h e np r o v i n ga s y m p t o t i c a l l yc o m p a c t t oo v e r c o i n e t h i sd i m c u l t y , w e8 h a u t i l i z eaf l e wd e c o m p o s i t i o nf o rt h es o l u t i o no p e r a t o rw h i c hi sd i f f e rf r o m 【7 4 ，7 5 ，7 6 】t ov e r i f yt h ea s y m p t o t i cc o m p a c t n e s s hc h a p t e r2 ，w es t u d yt h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n sa n dg l o b a la t t r a c t o r sf o rk i r c h h o f fe q u a t i o n 埘t hn o n l i n e a rb o u n d a r y 啪d i t i o n s h e r e 。聊d i s c u s st h i sp r o b l e md i v i d ei n t ot w oc b 嘲 c a s e ( 1 ) ：m ( i i v u i l 2 ) m o 0 ， c a s e ( 2 ) ：m ( i l w l l 2 ) 0 饥n ( 0 ，) ， o n r 0 ( 0 ，c o ) ， o n r l ( 0 ，c o ) ， 静l0 t n n ( 0 ，c o ) ， o n r o ( 0 ，o o ) ， o n r l ( 0 ，c o ) ， e n n i nc h a p t e r3 ，w ec o n s i d e rt h ee x i s t e n c eo fg l o b a la t t r a c t o r sf o rk i r c h h o f fe q u a t i o nw i t h ， 叫轧 吖 阳吲 吼 扣势 h “景 缸 静 诺婚 州。乳啦一一圳毗 0 叫 n 枷 刮 饥 ” 口o勰 铷 唠一 嘲毗州。驯惦一一圳如 v i束朝生非发性走动方程的全局吸引干 m e m o r yb o u n d a r yc o n d i t i o n ： i 蛳一m ( i l w l l 2 ) a u 一t “+ ，( ) = ( z ) i n o ( 0 ，o o ) ， lu = 0 o n r 0 ( o ，) ， 1u + 厝9 ( t s ) ( m ( i l v u ( s ) 1 1 2 ) 铝( s ) + 移( s ) ) d s = o mr ix ( o ，* ) ， 【扛，0 ) = 蛳( ) ，铆扛，0 ) = u l ( x ) i n n ， i nc h a p t e r4 ，w ei n v e s t i g a t et h ee x i s t e n c e9 1 0 b a la t t r a c t o r sf o rt h ef o l l o w i n gk i r c h h o f fe q m t i o nw i t hn o n l i n e a rd a m p i n ga n dm e m o r yt e r ma tb o u n d a r y c o n c r e t e l y , w es h a 】li n v e s t i g a t e t h ef o l l o w i n gt w op r o b l e m sr e s p e c t i v e l y ： i 铆l m ( i l v u l l 2 ) 一a a m i 一+ ，( ) = ( z ) t nnx ( o o o ) ， l u = 0 d nr 0 x ( 0 ，) lm c i i v u l l 2 ) 器+ 口争+ 警+ u + 啦+ 9 ( f ) l 撕f 9 t t = g l u l u 帆r lx ( o ，c o ) i u ( z 0 ) = t o ( z ) ，t t ( 霸0 ) = u l ( z ) i n n ， iu t t m ( i l v u l l 2 ) a s 一毗+ ，( “) = h ( x ) 伽q ( 0 ，) ， l u = 0 r o ( o ，) ， lm ( i l v u i 2 ) 器+ 铬十t + g c t ) l u t 9 t “= 9 l u l 7 u o n r l ( o ，c o ) ， iu ( z ，0 ) = = t o ( z ) ，t “( z ，0 ) = u l ( x ) i nq i nc h a p t e r5 ，w ea r ei n t e r e s t e di nt h el o n gt i m eb e h a v i o ro fs o l u t i o n st ot h ew e a k l yd a m p e d n o n l i n e a rs c h r s d i n g e re q u a t i o nw i t han o n l i n e a rb o u n d a r yc o n d i t i o na sf o l l o w s ： z n ，t 0 ， c 0 t 0 z n h e r ew es h a l lp r o v et h a tt h ee x i s t e n c ea n dr e g u l a r i t yo fag l o b a la t t r a c t o r t h ei s s u eo ft h e e x i s t e n c ea n dr e g u l a r i t yo f t h ea t t r a c t o r i sc l a s s i c a l i n t h e s t u d y o f i n f i n i t e d i m e n s i o n a l d i s s i p a t i v e s y s t e m s ，f o re x a m p l e ，s e e 【3 7 ，3 8 ，8 8 ，9 3 】w ef o l l o wt h em e t h o d so fg o u b e t 【3 8 ，3 9 1 ，w h e r et h e a u t h o rh a se s t a b l i s h e dt h ea s y m p t o t i ce f f e c tf o rt h en o n l i n e a rs c h r s d i n g e re q u a t i o n sa n df o rt h e n o n l i n e a rk d ve q u a t i o n sw i t hp e r i o d i cc o n d i t i o n ，a n dz h a n g 9 9 】a l s od e a l sw i t ht h ee q u a t i o n o fs h a l l o ww a t e rt y p ew i t ht h i sm e t h o d s i i l汹和+ 降气j i 评媳，黼 + m 仉蛳 z = = = 加加驴 斗o 1 ， 虮础蚶如 四川太学博士荦位论文i i nc h a p t e r6 ，w ew i l li v t i g a t et h ea s y m p t o t i cb e l m v i o ro ft h es o l u t i o n so ft h ef o l l o w i n g d a m p e db e n j a m i n - b o n a - m a h o n y ( b b m ) e q u a t i o nd e f i n e do nr 1 ： ， j 啦一t 牡。一+ 叫+ ( u 2 ) = = 9 扛) lt ( z ，0 ) = ，( z ) w h 口t h ee q u a t i o ni sd e f i n e di n8b o u n d e dd o m a i n ，t h e r ee x i s t sf i n i t ed i m e n s i o n a lg l o b a la t t r a c - t o t 【1 9 ，9 3 ，9 4 】n o t et h a tw h e nt h ed o m a i no ft h ee q u a t i o ni su n b o u n d e dt h e r ea r ea d d i t i o n a l d i f f i c u l t i e s w h e n p r o v i n g t h e e x i s t e n c e o f a t t r a c t o r s b e c a u s e ，i n t h i s c a 。t h e s o b o l e v e m b e d d i n g s a r en o tc o m p a c t t h e r ea r es e v e r a lm e t h o d sw h i c hc a nb eu s e dt os h o wt h ee x i s t e n c eo fa t t r a c - t o r si s t a n d a r ds o b o l e vs p a c e sw h e nt h ee q u a t i o n sa r ed e f i n e di nu n b o u n d e dd o m a i n s o n e c a nu s ee n e r g ye q u a t i o nt e c h n i q u et os h o wt h a tt h ew e a ka s y m p t o t i cc o m p a c t n e s si se q u i v a l e n t t ot h es t r o n ga s y m p t o t i cc o m p a c t n e s so rd e c o m p o s et h es o l u t i o no p e r a t o ri n t oac o m p a c tp a r t a n daa s y m p t o t i c a l l ys m a l lp a r t at h i r dm e t h o di st op r o v et h a tt h e 即h t i a 8a r eu n i f o r m l y s m a l lf o rl a r g es p a c ea n dt i m ev a r i a b l e sb yae n t - o t tf u a c t i o no rb yaw e i g h tf u n c t i o n f o l l o wt h et h i r dm e t h o d ，s t a n i s l a v o v ai s 6 ，8 7 1p r e s e n tah e wn e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n - d i t i o nt ov e r i t yt h es e y m p t o t i cc o m p a c t n e s so f8 丑e v o l u t i o ne q u a t i o nd e f i n e di n 皿u n b o u n d e d d o m a i n ，w h i c hi n v o l v e st h el i t t l e w o o d - p a l e yp r o j e c t i o no p e r a t o r s h e r ew es h o wt h a tt h e r e e x i s t sag l o b a la t t r a c t o ri nh 1 ( r 1 ) m o r e o v e rt h ea t t r a c t o ri si nf a c ts m o o t h e ra n di tb e l o n g s t o 日一。f o re v e r y 0 k e yw o r d sk i r c h h o f fe q u a t i o m ts c h r s d i n g e re q u a t i o n ，b e n j a m i n - b o n a - m a h o n ye q u a t i o n ， g l o b a la t t r a c t o r ，r e g u l a r i t yo fg l o b a la t t r a c t o r ，a b s o r b i n gs e t ，a s y m p t o t i cc o n a p a c t n e s s ，i n i t i a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ，m e m o r yt e r m ，n o n l i n e a rb o u n d a r yd a m p i n g ，g a l e r k i nm e t h o d s ， p e r t u r b e de n e r g ym e t h o d s ，o p e r a t o rd e c o m p o s i t i o n ，u n b o u n d e dd o m a i n ，h a r m o n i ca n a l y s i s ， l i t t l e w o o d - p a l e yp r o j e c t i o no p e r a t o r 1 1 8b i 工g r a p f f y 本人完全了解四川大学有关保留，使用学位论文的规定，即- 学校有权保留送交论文 的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容。可以采用影 印，缩印或其他复制手段保存论文 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 储鹳韶睡 导师铭 日岬一力l 日期： l l矽弘” 雾 雪 厂始 彳 z 四川大学博士季位论文 第一章引言 1 1 无穷维动力系统的基本理论 自然界中常出现一些随时问或位置变化而演变的体系。如行星系。流体运动等它们 的运动通常可以用一些变量或参数的函数或微分方程来表示，我们称之为系统动力系 统论是研究系统自身演化规律的理论研究中涉及了许多数学中主要的技术领域，包括 微分方程。代数和分析拓扑等数学上。已经建立了动力系统的重要数学理论。提供了 瑾论研究和数值计算方法为此我们考虑微分方程 掣= f ( 俐 ( 1 1 1 ) 具初始条件 u ( 0 ) = ( 1 12 ) 的解并关心当t o o 时u ( t ) 的渐近行为其中未知函数u = “( t ) 属于线性空同日( 通 常称为相空间) f ( u ) 把日映射到自身有两种情形需要考虑， ( i ) 有限维情形，当u = t ( t ) - = 月 ( i i ) 无限维情形，当= u ( t ) - = 某个h i l b e r t 空间 这里，我们只考虑无限维情形，即无穷维动力系统下面我们引入无穷维动力系统中非 常重要的一个概念一全局吸引子 定义1 1 1 设e 为b a n a e h 空间，s ( t ) 为半拜算子，即有s ( t ) je e ，s ( t + r ) = s ( t ) s ( t ) ，f 0 ，s ( o ) = j 倦等算子j 如果紧集4 c e 满足： 倒不变性，即在半群s ( t ) 作用下为不变集t s ( t ) a = 4 ，v t 2 0 ( 1 1 3 ) r 砂吸引性即 吸引e 中一切有界集，也就是对任意有界集bce 有： 击5 。( s ( 。) 丑，) 2 罢暑怨”s o 净一f f f e 。o ，t - - - - , o o ( 1r l 4 ) 特别地，当t o o 时，从u o 出发的一切轨线s ( t ) 咖收敛于一4 ，即有： d i a t ( s ( t ) u o ，4 ) 一0 ，t o o ( 1 15 】 2束朝生 非线性连动方程的仝局吸引干 那么，紧集称为半群s c t ) 的全局吸引子 全局吸引子的结构是很复杂的，除了包括问题( i i 1 ) 一( 1 1 2 ) 的简单平衡点u ， f c u , ) = 0 外，还包括时间周期解的轨道，拟周期解的轨道，以及分形，奇异吸引子等 它可能不是光滑流形，且具有非整数维数 为了给出全局吸引子的存在性定理，我们需要引进吸收集的概念 定义1 1 2 对于有界集b oce ，如果存在t o ( b o ) 0 ，使得对任何有界桌bce ，有 则称z 玷为e 中的有界吸收集 s ( t ) b c b o ，y t 2 t o ( 1 1 6 ) 定理1 1 3 设f 为b o n 础空间， s c t ) ，t o ) 为半群算子，s ( t ) ：e e ，s ( 亡+ r ) = s c t ) s ( r ) ，v t ，r 0 ，s ( o ) = ，其中i 为恒等算子设半群算子s ( t ) 满足以下条件一 倒半群算子s ( t ) 在e 中一致有界，口p 7 1 - r 0 ，存在常敷e 俾) ，使得当i e r 时。有 i i s c t ) , , l l esc ( 兄) ，v t6 【0 ，o o ) ( 117 ) 一砂存在e 中有界的吸收集b o 一例当t 0 时。s ( t ) 为全连续算子 则半群s ( t ) 具有紧的全局吸引子a 注1 如果将条件一砂中的有界吸收集b o 改换为存在紧的吸收集b o ，则条件m 砂中 s ( t ) 的全连续性可以改为s ( t ) 为连续算子，这时定理j j ，仍然成立 注2 可以证明上述的全局吸引子为吸收集f b 的u 极限集，即有 = u ( 岛) = nu s ( t ) b o 0 t 2 0 其中闭包在e 上取 另个常用的吸引子的存在性定理为； ( l 1 8 ) 定理i i 4 设e 为b a n a c h 空间，半群算子f s ( t ) ，t 0 ) 是连续的设存在一个开集 “ce 和“中的一个有界集b ，使得日在“中是吸收的且满足条件： 里型苎! 竖! 堡丝圭 3 n ，鼻子s ( t ) 对充分大的t 是一致紧的，即对每个有界集8 ，存在t = t o ( s ) ，使得 us ( t ) b ( 1 1 9 ) t _ t o 在e 中是相对