（基础数学专业论文）mobius群的离散性及扩张.pdf

硕士学位论文 摘要 本文主要研究m s b i u s 群的离散准则和m s b i u s 群的扩张。 首先，我们以c l i f r o r d 代数为工具，得到了扎维空间中双曲变换的一般表达 式然后根据c l i f f o r d 交比的性质来判断具有h a l f t u r n 分解的元素的类型和换 位子的类型。 第二部分主要讨论了二维m s b i u s 群的离散性，主要结果如下：( 1 ) 对s l ( 2 ，c ) 中的非初等子群g 及固定的斜驶( 或抛物、椭圆) 元素g o s l ( 2 ，c ) ，若对f g ， 非初等子群 均是离散的，则g 是离散的；( 2 ) 若s l ( 2 ，c ) 的子群g 是 非初等的，那么g 是离散的当且仅当由g ( 或g ，( 若g 中包含抛物元素) ) 中任 意两个不同的元素生成的予群是离散的以上所得结果是已有相应结果的推广 第三部分主要讨论了m s b i u s 群的扩张我们得到了s l ( 2 ，f 。) 中子群g 是 s l ( 2 ，c ) ( 或s l ( 2 ，r ) ) 中子群g 的扩张的充要条件具体为以下两个定理：( 1 ) g 在s l ( 2 ，f 。) 中共轭于g cs l ( 2 ，c ) 当且仅当g 满足如下条件：( a ) 存在斜驶元 素g o ，h g 使得f i x ( g o ) = 0 ，。) ， i x ( g o ) n l i x ( h ) = 谚，f i x ( h ) n c 谚；( b ) 对 g 中任意斜驶元素g ，t r ( g ) c ( 2 ) g 在s l ( 2 ，f 。) 中共轭于g cs l ( 2 ，r ) 当 且仅当g 满足如下条件：( a ) 存在斜驶元素9 0 g 使得f i x ( g o ) n o ，o 。 0 ； ( b ) 对g 中任意斜驶元素g ，t r ( g ) r 关键词：m s b i u s 群；c l i f f o r d 代数；斜驶元素；抛物元素；椭圆元素；扩张 m 5 b i u s 群的离散性及扩张 a bs t r a c t t h i sp a p e rm a i n l yd i s c u s s e sa b o u tt h ed i s c r e t e n e s sc r i t e r i aa n dt h ee x t e n s i o n o fm 6 b i u sg r o u p s f i r s t l y ，b yu s i n g c l i f f o r da l g e b r a ，w e g e tt h eg e n e r a le x p r e s s i o no f n - d i m e n s i o n a l h y p e r b o l i ct r a n s f o r m a t i o n s t h e na c c o r d i n gt ot h ep r o p e r t i e so fc l i 肋r d c r o s s r a t i o sw ec l a s s i f yt h et y p eo fe l e m e n t sw h i c hh a v et h eh a l f - t u r nd e c o m p o s i t i o na n d t h a to ft h ec o m m u t a t o r s s e c o n d l y ，w ed i s c u s st h ed i s c r e t e n e s so fm 5 b i u sg r o u p s o u rm a i nr e s u l t s a r e ：( 1 ) l e tg b ean o n e l e m e n t a r ys u b g r o u po fs l ( 2 ，c ) a n dg oi sal o x o d r o m i c ( o rp a r a b o l i c 、e l l i p t i c ) e l e m e n to fs l ( 2 ，c ) i fe v e r yn o n e l e m e n t a r ys u b g r o u p ，w h e r ef g ，i sd i s c r e t e ，t h e ng i sd i s c r e t e ( 2 ) l e tgc s l ( 2 ，c ) b e n o n - e l e m e n t a r y t h e ng i sd i s c r e t ei fa n do n l yi fe a c hs u b g r o u pg e n e r a t e db yt w o d i f f e r e n te l e m e n t so fg h ( o r g p ( i fgc o n t a i n ss o m e p a r a b o l i ce l e m e n t ) ) i sd i s c r e t e f i n a l l y 、t h ee x t e n s i o no fm s b i u sg r o u pi sd i s c u s s e d w eg e tan e c e s s a r ya n d s u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h a tgcs l ( 2 ，f n ) i st h ee x t e n s i o no fg cs l ( 2 ，c ) ( o rs l ( 2 ，r ) r e s p e c t i v e l y ) t h e ya r e ：( 1 ) gi sc o n j u g a t ei ns l ( 2 ，f n ) t oag r o u p g 7c s l ( 2 ，c ) i f a n do n l y 订g s a t i s f i e st h ef o l l o w i n gp r o p e r t i e s ：( a ) t h e r ee x i s t l o x o d r o m i ce l e m e n t sg o ，h g s u c ht h a tf i x ( 9 0 ) = 0 ，o o ，f i x ( g o ) n f i z ( a ) = o a n df i x ( h ) nc o ；( b ) t r ( g ) cf o re a c hl o x o d r o m i ce l e m e n tg g ( 2 ) g i sc o n j u g a t ei ns l ( 2 ，f n ) t oag r o u pg 7c s l ( 2 ，r ) i f a n do n l yi fg ，s a t i s f i e st h e f o l l o w i n gp r o p e r t i e s ：( a ) t h e r ee x i s t s al o x o d r o m i ce l e m e n t 蛐g s u c ht h a t f i x ( g o ) n 0 ，o 。 0 ；( b ) t r ( g ) rf o re a c hl o x o d r o m i ce l e m e n tg g ， k e y w o r d s ：m s b i u s g r o u p ；c l i f f o r da l g e b r a ；l o x o d r o m i ce l e m e n t ；p a r a b o l i c e l e m e n t ；e l l i p t i ce l e m e n t ；e x t e n s i o n 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取 得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其 他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个 人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果 由本人承担。 作者签名：憩两囊巴日期：j 竹年乒月节目 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查 阅和借阅。本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位 论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密团。 ( 请在以上相应方框内打“4 ”) 作者签名：隶k 寿遭 导师签名：趸私机 日期：“一争年月叼日 日期：。一争年乒月对e t 硕士学位论文 第1 章绪论 作为数学中的一个热门研究领域。m 6 b i u s 群一直受到许多数学家的关注 m 6 b i u s 群理论是单复变函数理论的一个分支，历经一个多世纪，在二维m 6 b i u s 群和高维m 6 b i u s 群理论的交错发展中，得到了很多著名的结果，见b e a r d o n a f 1 ，m a s k i tb 【2 】2 ，r a t c l i f f ej ，g 【3 】等因它与r i e m a n n 曲面，t e i c h m f i l l e r 空间 理论和双曲流形等密切相关，数学界不断掀起对它的研究热潮 早在1 8 8 2 年，著名数学家p o i n c a r d 4 1 就发现：对于舻中任意m s b i u s 变换 中，有一个自然的扩张作用于j p “，即现在所称的p o i n c a r d 扩张他的发现为 人们对高维m s b i u s 群的研究提供了条很好的方法而推动f u c h s 群和自守函数 向高维发展最具影响的是著名数学家e b e r h a r dh o p f 于1 9 3 0 年发现的遍历定理 至于1 9 4 0 年，有关f e n c h e l n i e l 8 e n 手稿的出现，虽然从未有这部手稿的出 版，但是从此人们对m 6 b i u s 群的研究又一次进入高峰期，首先a h l f o r s 重新认识 了t e i c h m f i l l e r 空间理论的价值并且还在k l e i n 群理论及相关领域作了深入广泛的 讨论并提出了零面积猜想，见a l f o r sl v 吼而著名数学家g d m o s t o w 发表于 1 9 6 8 年的论文 6 1 中的一个定理，即我们所称的m o s t o w 刚性定理，从中揭示了二 维m s b i u s 群与高维m s b i u s 群的本质区别： t e i c h m i i l l e r 曾认识到r i e m a n n 曲面上新的复结构可以通过对原来的复结构 进行拟共形形变而得到。 而m o s t o w 刚性定理则断言： 高维双曲流形上的双曲结构不存在类似于二维空间复结构的拟共形形变 这一点对高维m s b i u s 群的研究起了巨大的推动作用。 著名数学家t h u r s t o nw 【7 l 在m s b i u s 群的研究中所做的工作是与三维流形 密切相关的在这一期间，对m s b i u s 群的研究作出重要贡献的还有b e a r d o na f 1 1 1g r e e n b e r gl ，j c r g e n s e nt i o ，n l ，k n a p pa w 【1 2 】，m a s k i tb t u k i a p 【1 3 】，w i e l e n b e r gn j 1 1 4 】等 与m s b i u s 群的研究密切相关的方面是c l i f f o r d 代数对于c l i f f o r d 代数， 早在十七世纪就已被发现，而在1 9 0 2 年v a h l e n 就利用了c l i f f o r d 代数表示高维 m s b i u s 变换，之后到1 9 4 5 年由m a s sh 改进但当时似乎并没引起太大的关注 一直n - - 十世纪八十年代才由l o n n e s t op e ，l a t v a m m a ，f i l l m o r e ，a h l f o r sl v 作了发展a h l f o r sl v 在其中作了大量的工作，见 1 5 1 7 】等用c l i f f o r d 代 数来研究m s b i u s 群之所以方便，首先是因为有v a h l e n 定理： m s b i u s 群的离散性及扩张 嘣舫r a 矩阵构成的群模土( 。1 ：) 与m 曲i u s 群m c 静，同构 其次是用c l i f f o r d 矩阵表示高维m s b i u s 变换的表达式在扩充到更高一维空 间h ”1 时具有形式不变性即： 9 + x n q - 1 e n + 1 ) = 【a ( x + x n + l e 。+ 1 + 6 ) j 【c ( z + x n + l e 。+ 1 ) + d l 一1 其中对表达式夕( z ) = ( a x + b ) ( c x + d ) - 1 只须用z + x n + l e 。+ l 代替z 即可有关 c l i f f o d 代数的性质将在第2 章详细给出 在m 6 b i u s 群的研究中，还有一些基本概念也是与m s b i u s 变换的研究紧密相 连的如m s b i u s 群的分类，m s b i u s 群的离散性和k l e i n 群序列的收敛性，交比， 换位子，等距球和h a l f - t u r n 分解等对此，本文将在第2 章给出相关的基础知识 和讨论 有关m s b i u s 变换的类型判别，交比及h a l f - t u r n 分解等方面，国内外一些作者 有过许多工作首先m a t e l s k ij p 1 1 8 】1 8 ，b e a r d o na f 1 】给出了二维m s b i u s 群的基 本分类国内则有方爱农和他的学生作的一些完善性的工作：因为在高维m s b i u s 变换中存在一类特殊的元素，即运动元素，于是b e a r d o na f 【1 】有关m s b i u s 变 换的分类在高维中是不完全的，关于此闻题已有一些研究，见刘春林1 1 9 】，周展【2 0 】， 方爱农 2 1 “2 2 ，王仙桃【2 3 】，王仙桃，蒋月平【2 4 】，y uz ，w a n gj ，r e nf 【2 5 】等关 于交比则可参考c a oc ，w a t e r m a npl 【2 6 l ，蒋月平| 2 7 】等关于h a l f - t u r n 分解 则可参考王仙桃，方爱农【2 8 1 等本文也将根据c l i f f o r d 交比的性质来判断具有 h a l f - t u r n 分解的元素的类型我们得到如下结果； 定理2 51 若a 和b 是任意的h a l f - t u r n ，9 = b o a ，那么 ( i ) i m ( c ( a ，6 ) ) = 0 且c ( a ，b ) 0 当且仅当g 是双曲的；i m ( c ( a ，b ) ) 0 当且仅当g 是斜驶的 关于换位子，本文第2 章将给出几维以z ，y 为不动点的双曲变换的一般表达 2 硕士学位论文 式为 1 ( z k y ) ( x g ) 一1 ( 一i ) y ( x 一) 一1 z 。 ( 1 一) ( z 一) 一1( o v ) 一1 ( 七z y ) 其中 0 ，z ，y r ” 然后根据c l i f f o r d 交比的性质来判断换位子的类型得到如下结果： 定理2 5 2 若f ，g 均是p s l ( 2 ，r 。) 中的双曲元素，且f 以 o ，o 。) 为不动点， g 以 z ，) ( o ，o o ) 为不动点，那么若c = c ( f ，g ) r ，则有： ( 1 ) c 0 或f ( c ) 2 时，a p a n a s o vb n 【5 0 j 证得： 若对非初等群gcs l ( 2 ，f 。) 每个非平凡元素g 是双曲的或是严格抛物的或 是严格椭圆的，那么g 是s l ( 2 ，r ) 中的子群的扩张 4 一 硕士学位论文 而在w a n gxy a n gw 【5 l 】和w a n gx 。w a n gh 【5 2 】中分别得到如下定理： 定理w y 若非初等子群gcs l ( 2 ，f 。) 中每个斜驶元素均是双曲的，那么 g 是s l ( 2 ，r ) 中子群的扩张 定理w h 若非初等子群gcs l ( 2 ，f 。) 中每个斜驶元素满足如下条件： ( 1 ) t r 2 ( ，) 4 ； ( 2 ) 打( ，) = t r ( y ) ，其中o 。f i z ( f ) 那么g 是s l ( 2 ，r ) 中的子群的扩张 而在何种条件下gcs l ( 2 ，f 。) 是群g cs l ( 2 ，c ) 的扩张?c h e nm 于 5 3 中证得， 定理c 对于非初等群gcs l ( 2 ，f 。) ，若g 包含双曲元素，那么g 是 s l ( 2 ，c ) 中子群的扩张当且仅当g 在s l ( 2 ，f 。) 中共轭于g ，且g 7 满足下列 条件： ( 1 ) 存在双曲元素g o ，h g 使得f i x ( g o ) = o ，。) ，f i z ( 9 0 ) nf i z ( h ) = 0 且f i z ( h ) n c d ； ( 2 ) 对任意g g ，t r ( g ) c 本文的第4 章考虑m s b i u s 群的扩张，得到如下两个新的定理； 定理4 1 2 设gc s l ( 2 ，f 。) 是非初等的，那么称g 是s l ( 2 ，r ) 中的子群的 扩张当且仅当c f 叫= g ，f s l ( 2 ，f 。) ，并且g 满足如下条件： ( 1 ) 存在斜驶元素g o g 使得y i x ( g 。) n o ，o o o ； ( 2 ) 对任意斜驶元素g g ，t r ( g ) r 定理4 1 3 设gc s l ( 2 ，f 。) 是非初等的，那么称g 是s l ( 2 ，c ) 中的子群的 扩张当且仅当f g f _ 1 = g 7 ，s l ( 2 ，f 。) ，并且g 满足如下条件t ( 1 ) 存在斜驶元素9 0 ，h g 使得i i z ( 9 0 ) = o ，o 。 ，f i z ( g o ) n i z ( h ) = 0 且 f i z ( h ) n c 0 ； ( 2 ) 对任意斜驶元素9 g ，t r ( 9 ) c 注：对于s l ( 2 ，c ) 中的任意斜驶元素g ，t r ( g ) r 当且仅当g 是双曲的，但 当9 s l ( 2 ，r 。) ( n 2 ) 时，上述性质却不一定成立，我们在第4 章用一个具体 的例子加以说明而这一例子也同时说明定理4 1 2 是有意义的 当n = 2 时，s l ( 2 ，c ) 中任意非初等子群均是s l ( 2 ，c ) 中的子群的扩张 但定理c 中当n = 2 时与这一事实不一致，即就是说定理c 中条件“g 包含双 曲元素”太强，而从【5 3 】中看出，这一条件在证明定理c 时起关键作用而我们 用不同方法证得的定理4 1 3 是定理c 的推广，且当n = 2 时，因为元素的迹在 s l ( 2 ，c ) 中具有共轭不变性，所以定理4 1 3 与上述亿= 2 中的事实完全一致从 一5 一 m 6 b i u s 群的离散性及扩张 这种意义上说，定理4 1 3 是最佳的 一6 一 硕士学位论文 第2 章基础知识及相关讨论 2 1 c l i f f o r d 代数 c l i f f o r d 代数a 。一l 是由基1 ，e 1 ，e 2 ，e 。一1 在实数域r 上生成的结合代数 且满足： e ；= - 1 ，e i e j = 一e j e i ( i j ) ，z ，j = 1 ，2 ，佗一1 对任意o a 。一。，存在唯一的表达式； o = 口o + 玩 其中a o ，o r ，鼠= e v l e 2 e 妇，0 l 口2 2 ) 中的充要条件，同时还讨论了在詹中 有关保交比这一性质的充要条件 关于m s b i u s 变换有如下分类： 对s l c z ，r ，中非平凡元素，= ( ：) ，则有 c ，若r 在s 三c 。，r ，中共轭于( ：，一0 。) ，r 。，r - ，a k 且= 1 ，称f 是斜驶的；特别若a = 4 - 1 ，则称f 是双曲的 c 。，若r 在s l c 。，r n ，中共轭于( a 0 ；) ， ，r 。，l a f = t ，。且 地= u a 7 ，称f 是抛物的；特别若a = 4 - 1 ，则称f 是严格抛物的 c 。，若r 在s l c z ，r ，中共轭于( 3 0 品) ，入r 。+ ，= 且- 士， 称f 是椭圆的；特别若a c 0 ，则称f 是严格椭圆的 2 3 等距球 一9 一 m s b i u s 群的离散性及扩张 对g m ( r 2 ) 或s l ( 2 ，e ) ，不妨设； 9 ( $ ) = 万a x 而+ b ，n ，6 ，c ，d c ；a d 一6 c = 1 考虑g ( o o ) 。o 的情形，即c 0 那么，把点。= a ( g ) = g - 1 ( o 。) 记作为g 的等 距圆的圆心，把点a = 口( 9 ) = 口( o o ) 记作为g q 的等距圆的圆心所有过a 和o o 的圆簇，l 在g 的作用下对应于所有过o o 和的圆簇厶，那么与圆簇，t 正交的 圆簇j ：在g 的作用下对应于与圆簇如正交的圆簇e 在圆簇，i 中存在唯一的圆 ，= i ( y ) 在g 的作用下在g 中对应于与它有相同半径的圆，则称i 为g 的等距 圆： ，= ( 。r 2 ：l c z + d l = 1 ，c o ) ，圆心为一：，半径为两1 称，为g - 1 的等距圆： ，= ( z r 2 ： c z o f = 1 ，c o ) ，圆心为：，半径为面1 利用c l i f f o r d 矩阵表示类似的定义高维m s b i u s 变换g 的等距球： ，= ( z 形：j 凹+ d i = 1 ，c o ) ，其球心为a = g - i ( o 。) = - ( c d ) ，半径为 上 i c ? 定义口。1 的等距球： ，7 ： z r ”：l c z a i = l ，c o ) ，球心为a 7 f9 ( 。) = a c 一1 = ( a c 一1 ) + = c , - 1 n ，半径为击 2 4 换位子，h a l f - t u r n 分解 群g 的元索g 和h 的换位子定义为： b ，h 】= g h g 。h - 1 也可看作是g 与g 。的共轭元的复合 m ( 廖) 中一个二阶的椭圆元素a 称为是一个h a l f - t u r n 若a 在e 中有两个 不动点，那么在日3 中连接这两个不动点的双曲线称为a 的轴，记为a 。，那么厶 上任意一点均为a 的不动点 2 5 相关讨论 假设a 和b 是m ( 应2 ) 中任意两个h a l f - t u r n 且在0 中的不动点分别为x ， y ；1 1 , v 定义e ( n ，6 ) = c x , i t , ”，u 】= 等j ；* 矧，那么c ( b ，。) = g 心，z ，”，引= f 0 。l - 一，：r ) ) ( ( 。v - 。y ) ) = ：c ( a ：6 ) 一l o 下 对于办= 酽u o 。) 中任意给定的四点： x ，y ，u ，v 则定义c l i f f o r d 交比如 引理z 息，设，= ( ：d b ) s l c z ，r ，对于r “中任意不同的四点 z g ，u ，”下列等式成立； c ，) ，( 可) ，厂( u ) ，( ) 1 = ( 四+ d ) _ 1 c x ，y ，札，u 】( c 掣+ d ) + 证明：根据 1 7 】中公式( 9 ) 有： ，( 。) 一，( 掣) = ( c 可+ d ) + 一1 ( 。一弘) ( c z + d ) 一1 ， ( ，( z ) 一，( ) ) 一1 = ( c x + d ) 扛一 ) 一1 ( 例+ d ) + ，( u ) 一，( ”) = ( c + d ) + 一1 ( 钍一u ) ( 帆+ d ) ， ( ，( u ) 一，( ) ) 一1 = ( c u + d ) ( u g ) 一1 ( c x + d ) + 那么：c 【，( z ) ，( 可) ，( u ) ，0 ) 1 = ( ，( z ) 一，( ) ) ( ，( z ) 一， ) ) 一1 ( ，( u ) 一，( ) ) ( ，( 钍) 一，( ! ，) ) 一1 = ( c y + d ) “c x ，y ，札，口】( c y + d ) i 峨2 5 1 设，= ( a 。：) s c 。，g ，对于。中任意不同的四点z ，v ，札，” 下列等式成立： c 【，( z ) ，( ) ，( 钍) ，( 口) 】- c l x ，可，让，口 - 据此我们有下列的性质定理： 定理2 5 1 若。和6 是任意的h a l f - t u r n ，g = bo a ，那么 ( i ) i m ( c ( a ，6 ) ) = 0 且e ( o ，6 ) 0 当且仅当g 是双曲的；i m ( c ( a ，b ) ) 0 当且仅当g 是斜驶的 证明；据交比的共轭不变性，不妨令a 以0 和0 0 为不动点，6 以。，y 为 不动点，则 n = ( 麓) 小而1 ( 一掣 易知 g ( n ，6 ) = c o ，z ，o 。，y 】= 业( o - 皿v ) ( o o 丑- x ) = ； 咖溉= 南( 一掣i 。) 知打( g ) = 2 驾= 2 眷= 2 群 ( z ) = 击( 。妄”墨) 于是：i m ( c ( a ，6 ) ) = 0 且c ( 8 ，b ) 2 ； i m ( c ( a 加) ) 0 当且仅当t r ( g ) 隹r 据b e a r d o na f f 1 】中定理4 3 4 及相关的几何意义可知上述结论成立 下面利用构造法得出以z ，y 廓为不动点的双曲变换的一般表达式 1 f ( z k y ) ( x g ) 一1 ( k 一1 ) y ( x 一口) 一1 z 胪丽i ( 卜女) 一) 一1 ( 茁一9 - 1 ( k z 一) 其中z ，y r “， 1 具体证明如下： ( 1 ) 满足c l i f f o r d 矩阵的定义： 证明： 令n = 矢( 茁一七v ) ( z 一可) ，b = 去( 2 去( 1 一) ( z g ) ，d = 去( 嚣一口) 。( 地一譬) ，贝i j ： ( i ) 显然a ，b ，c ，d er 。u o ) ； ( i i ) ( g ) = a d + 一b c = ( 。一曹) ( z 一口) 一1 ( k z 一9 ) ( z 一! f ) 一1 + 警目( z v ) 一1 x ( x g ) 一1 = 【( z 一) ( z 一) 一1 ( k x v ) + ( 一1 ) 2 y ( x 一) 一1 z 】( 一) 一1 一1 2 一 硕士学位论文 记= ( z 一女g ) ( 。一) 一1 ( 女z y ) ， 则7 = k c c ( x 一可) 一1 z z ( z 一目) 一1 y k 2 可( z y ) 一1 。+ k y ( z 一可) 一1 y = k x ( x 一) 一1 z k y ( z 一) 1 z z 扛一) 1 y + v 陋y ) 一1 一k 2 ( z 一 ) 。z + k y ( z 一) - 1 y + k y ( x 一可) 一1 z y ( x g ) 1 y = z y + ( z 一) 一1 ( - k 2 z + k y y + z ) = k x y + y ( x 一”) 一1 f - 陋一1 ) 2 z k ( x y ) + 一) 】 = z y k y + y 一( 一1 ) 2 ( z y ) 一1 z = k ( x g ) 一( k 一1 ) 2 y ( x f ) 一1 z 所以( 9 ) = a d 。一b c = l 7 + ( 一1 ) 2 9 ( z g ) 一1 叫( 。一g ) 一1 = 陋( z y ) 一( k 1 ) 2 ( 茁) 一1 z + ( k 一1 ) 2 可( z 一可) 一1 。】( 。一”) 一1 = 1 ( i i i ) o , c 一1 = ( z k y ) ( x 一) 一1 ( z s ，) ( 1 一) 一1 = 壬i ( 。一k y ) r “ c - l d = 暑焉( z 一可) ( z 一掣) 一1 ( 七z y ) = 芒l ( 七z g ) r n 同样可以证明td b 一，b - l d r “ 所以g 满足c l i f f o r d 矩阵的定义 ( 2 ) g 以茁，9 为不动点 证明：9 ( 。) 一z = o z + b x ( c x + 扪 = ( z k u ) ( z 一) 一1 茁+ ( k 一1 ) y ( x 一) 一1 x 一。( 1 一女) ( z 一目) 一1 z x ( x y ) ( k z y ) = ( x 一七+ 南一v ) ( 口) 一1 z z f ( 1 一女) ( z 一) 一1 。一( 。一) 一1 ( k z y ) 】 = 。一z f ( z 一) 一1 z 一七扛一掣) 一1 $ + k ( x 一暑，) 一1 z 一( 。一) 一1 y 】 = 。一z 【( z 一) 一1 z 一( 。一掣) 一1 掣】 = 0 即g ( x ) = 。，同样可以证明g ( ) = y ( 3 ) g 是m ( 席。) 中的双曲变换 证明：据第4 章引理4b 1 1 ，只须证得以下结果t ( i ) 因为z ，y r n 所以：b = 去( 自一1 ) y ( x 一) 一z = 去( 一1 ) ( x y 一一1 ) 卅z = 去( 一1 ) 0 一 2 c - 1 1 1 席1 c = 去( 卜惫) ( z 一) 。r ” ( i i ) t r ( g ) = a + d = 去( z k y ) ( x 一) 一1 + 去( 女z 一) ( z g ) 一1 = 去( + 1 ) 2 一1 3 m 5 b i u s 群的离散性及扩张 所以9 是m ( 席z ) 中的双曲变换 设f 是m ( 廓) 中以f 0 ，。) 为不动点的双曲变换，则 ，= ( 字击) 一， 那么c = c ( f ，g ) = x y - 1 1 叉【f ，g ：f g f 。g 一 = 去( 字伊0 ) ( ”- k 州y ) ( ：c - u p ) - 1 ( ”k - 1 旷) y ( x - y ) - l ，x ) 去( 彳瓶0 ) ( 邓( k z - 叫y ) ( 时z - y 矿) - ：。一”x ( x - y ) - l y ( k - 们1 ) 一三( z 一七y ) ( z 一鲈) 一1 一r 一1 ( 1 一七) ( z 一口) 一1 r ( k 一1 ) 可扣一y ) l x 、 ( z 一可) 一( 舟z 一挈) ( 一( k ( x l - 一y ) ) ( ( z z - 一y 口) ) - 一：。一( x z ( x 一- ) y 一) ，- ( ：z y 一( k - ) 1 k y ) ( * ) 一( 1 一七) ( z 一弘) 一1( z 一掣) 一1 ( z 一) 、7 令t 1 = ( 茁一g ) ( 。一目) 一1 ( k x 一) ( z 一) 一1 + r ( k 1 ) 2 ( z 一) 一1 z ( z f ) 一1 t 2 = 一( 一1 ) ( 。一f ) ( 。一) 一1 z ( z 一) 一1 + r ( 七一1 ) s ，( z 一) 一1 z ( z 一) 一1 ( 嚣一 则 t 3 = r 一1 ( 1 一) ( z 一9 ) 一1 ( k x 一) ( 。一v ) 一1 一( 1 一七) ( 。- y ) 一1 ( k x g ) ( z - y ) 一1 = ( r 一1 1 ) ( 1 一) ( 一) 一1 ( k x 一) ( z 一) 一1 ， t 4 = r 一1 ( 1 一) 2 ( 。一g ) 一1 x ( x g ) 一1 y + ( z 一可) 一1 ( 南z 一掣) ( $ 一口) 一1 ( z k y ) ， ( ) _ i 1 ( t 。l 于是t r f ，9 1 = ( 。一) ( z g ) 一1 ( k x 一) ( z g ) 一1 + ( z 一可) 一1 ( k z 一口) ( z 。 ) 一1 ( z k y ) + r ( 角一1 ) 2 可( z 一) 一1 x ( x g ) 一1 + r 一1 ( 1 一 ) 2 ( z 一可