（概率论与数理统计专业论文）拟合优度检验与统计模型有效性研究.pdf

摘要 摘要 总体分布是构成统计模型的基本要素，统计推断离不开对总体分布的假设， 概率分布的构造和拟合优度检验在统计理论和应用中有着特殊地位 多元概率分布的拟合优度检验较为复杂，仅多元正态性的检验方法相对成 熟多元随机向量的分量具有相关性，有可能从不同侧面拒绝原假设新型多 元概率分布的构造被更多的讨论，以适应多元数据的多样性垂直密度表示理 论( v d r ) 契j 画了多元概率密度的内在结构及其尾部特征，故v d 王淮多元概率分布 的构造，多元概率分布随机数的生成，多元概率分布的拟合优度检验等诸方面有 着重要应用随机模拟对统计研究和应用具有重要意义通过模拟检验统计量趋 向极限分布的收敛速度，以确定适用的样本容量检验功效模拟用来比较不同检 验方法的优劣及说明检验方法的可用性 拟合优度检验实质上就是模型检验应用于金融数据中，可检验汇率变化率 的概率分布是否星尖峰厚尾态金融时间序列数据的模型拟合，特别是时间序列 模型误差分布为某种非正态分布的拟合优度检验，逐步成为研究热点 本论文主要研究了多元概率分布的拟合优度检验还涉及了时间序列模型的 有效性和基于e d f 型检验统计量的参数估计关于多元概率分布的拟合优度检 验，应用v d 腿论，转换对椭球对称分布的检验为球面均匀分布或球体均匀分布 的检验主要成果有： ( 1 ) 球面均匀分布的拟合优度检验：证明了基于惯量矩的d 维单位球面上样本 服从均匀分布的基本特征，得到球面均匀分布协差阵特征根估计的强相合性及渐 - - i - - 北京工业大学理学博士学位论文 近多元正态性提出了检验球面上样本均匀性的渐近卡方统计量，证明了拟合优 度检验的相合性并做检验功效的随机模拟 ( 2 ) 单位球均匀分布的拟合优度检验：提出了单位球均匀分布拟合优度检验 统计量x 2 证明了单位球均匀分布的充要条件表示定理，得n x 2 的渐近卡方分 布，证明了拟合优度检验的相合性做妒经验分布函数收敛速度及检验功效的随 机模拟，模拟结果保证了样本容量礼1 0 时，基于渐近分布的高维数据单位球均 匀分布检验的有效性 ( 3 ) 多元正态分布的拟合优度检验：提出多元正态性x 2 检验统计量多元正 态分布转换样本y d = r v d 服从p e a r s o ni i 型分布，证明了砰服从贝塔分布基 于贝塔分布和单位球均匀分布，得到多元正态性检验统计量x 2 的渐近卡方分布 功效模拟显示，x 2 统计量优于已有主要多元正态性检验统计量做i r i s 数据多元 正态性的拟合优度检验 应用v d r 还可进行更广泛多元概率分布的拟合优度检验例如转化对中心 相似分布的检验为球面上非均匀分布的检验，这方面的拟合优度检验问题还有待 进一步研究 基于e d f 型拟合优度检验统计量，研究了概率分布的参数估计进行了时间 序列模型有效性的实证分析主要成果有： ( 4 ) p a r e t o i i 型分布参数的极大似然拟合优度估计：对定时截尾样本，证明 了p a r e t o i i 型分布单参数极大似然估计的唯一存在性及强相合性，双参数矩估计 的不存在性理论分析表明，对有限的样本容量n ，p a r e t o i i 型分布双参数似然方 程的解具有不稳定性随机模拟显示，对定时截尾样本，似然方程的有解率随着 一i i 捅要 样本容量竹的增加而趋向o 故提出了极大似然拟合优度估计( m l - g f e ) ，给出基 于e d f _ 型检验统计量的双参数佶计计算公式，证瞬了双参数的m l - g f e 具有穗合 性随机模拟显示，e d f 型检验统计量三k ，w 署，镌，可用做进行p a r e t o i i 型分布 双参数的m o g f e ( 5 ) 增长型经济变量的趋势时闻序列预测模型：针对增长型外汇储备时闻序 列变化复杂性的特点，可以建立确定性趋势的时间序列模型及包含单位根的随机 趋势模塑。实际计算显示，确定性趋势的时间序列模型襄有较高的预测精度 ( 6 ) a r i m a - g a r c h i 慰合模型及其应用：检验人民币日元汇率与波动的时 间序列特征，证实存在简单单位根过程及条件异方差性g a r c h ( 1 ，1 ) 模型的跨 度茺一年的样本外条件异方差预测，显示出该年末汇率的震荡，与实际情况一致。 g a r c h ( i ，1 ) 是汇率数据建模的首选模型 关键词渐近卡方分布多元正态分布e d f 型检验统计量检验功效收敛速度 对闻序列模型 一珏王一 = l 艺京工业大学理学博士学位论文 a b s t r a c t p r o b a b n i t yd i s t r i b u t i o ni sb a s i ci nf o r m i n gas t a t i s t i c a lm o d e l 。s t a t i s t i c a l i n f e r e n c ei sb a s e do nt h ea s s u m p t i o no fp o p u l a t i o nd i s t r i b u t i o n ，t h ec o n s t r u c t i o n o fp r o b a b i l i t yd i s t r i b u t i o na n dg o o d n e s s - o f - f i tt e s t sp l a ya l li m p o r t a n tr o l ei n s t a t i s t i c a lt h e o r ya n di t sa p p l i c a t i o n s t h eg o o d n e s s - o f - f i tt e s t sf o rm u l t i v a r i a t ed i s t r i b u t i o na r ec o m p l e x ，o n l y t h em e t h o d so ft e s t i n gf o rm u l t i v a r i a t en o r m a l i t ya r er e l a t i v e l ym a t u r e t h e s u b v e c t o r so ft h er a n d o mv e c t o ra r ec o r r e l a t i v e ，s ot h en u l lh y p o t h e s i sc a nb e r e j e c t e df r o md i f f e r e n ta s p e c t s 。i no r d e rt of i tt h ey d x i e 锣o fm u l t i v a r i a t ed a t a ， t h ec o n s t r u c t i o no fm u l t i v a r i a t ed i s t r i b u t i o ni ss t u d i e d v e r t i c a ld e n s i t yr e p r e s e n t a t i o n ( v d r ) c h a r a c t e r i z e st h ei n h e r e n ts t r u c t u r e a n dt h et a i lb e h a v i o ro fm u l t i v a r i a t ed i s t r i b u t i o n ，t h e r e f o r e ，v d rh a si m p o r t a n t a p p l i c a t i o n si nt h ec o n s t r u c t i o no fm u l t i v a r i a t ed i s t r i b u t i o n ，t h eg e n e r a t i o no f m u l t i v a r i a t ed i s t r i b u t i o n ，t h eg o o d n e s so ff i tt e s t sf o rm u l t i v a r i a t ed i s t r i b u t i o n ， s i m u l a t i o np o s s e s s e si m p o r t a n tm e a n i n gf o rs t a t i s t i c a ls t u d ya n da p p l i c a t i o n t h r o u g hs i m u l a t i n g ，t h ec o n v e r g e n c er a t e o ft h es t a t i s t i ca p p r o a c h i n gt h e a s y m p t o t i cd i s t r i b u t i o na n dt h ea p p l i e ds a m p l es i z ec a nb ed e t e r m i n e d t h e t e s t p o w e rs i m u l a t i o nc a nb eu s e dt oc o m p a r et h eg o o da n dt h eb e do fd i f f e r e n tt e s t m e t h o d sa n dt os h o wi t sa p p l i c a b i h t y 一一 a b s t r a c t - - _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ - _ _ _ _ _ 一 一1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 ，_ ，_ _ _ _ _ _ g o o d n e s s - o f - f i tt e s ti se s s e n t i a l l ys t a t i s t i c a lm o d e lt e s t f o re x a m p l e ，i n f i n a n c et i m es e r i e sd a t aa n a l y s i s ，t ot e s tw h e t h e rt h ep r o b a b i l i t yd i s t r i b u t i o no f t h ev o l a t i l i t yo fe x c h a n g er a t ep o s s e s s e sl e p t o k u r t o s i sa n dh e a v i e rt a i l f o rf i n a n c e t i m es e r i e sd a t a ，t h eg o o d n e s s - o f - f i to fat i m es e r i e sm o d e l ，e s p e c i a l l yw h e ne r r o r d i s t r i b u t i o nb e i n gn o n - n o r m a l i t y , h a sb e c o m eo n eo ff o c u s e si ns t a t i s t i c s i nt h i sp a p e r ，w em a i n l ys t u d yt h ep r o b l e m so fg o o d n e s s - o f - f i tt e s t sf o r m u l t i v a r i a t ed i s t r i b u t i o n t i m es e r i e sm o d e lv a n d i t ya n dp a r a m e t e re s t i m a t i o n b a s e do ne d ft e s ts t a t i s t i ca r ea l s oi n v o l v e d o ng o o d n e s s - o f - f i tt e s t sf o r m u l t i v a r i a t ed i s t r i b u t i o n ，a p p l y i n gv d rt h e o r y , w et r a n s l a t et h et e s tf o re l l i p t i c a l s y m m e t r yi n t ot h et e s tf o ru n i f o r m i t yo nt h es u r f a c eo fa u n i ts p h e r eo ru n i f o r m i t y i nau n i ts p h e r e t h em a i na c h i e v e m e n t sa r ea sf o l l o w s ： ( 1 ) b a s e do nt h em o m e n to fi n e r t i ao ft h es a m p l e so nt h es u r f a c eo fa u n i ts p h e r e ，t h eb a s i cc h a r a c t e r i z a t i o no fd - d i m e n s i o n a ls a m p l e sw i t hau n i f o r m d i s t r i b u t i o no i lt h es u r f a c eo fau n i ts p h e r ei sp r o v e d ，t h es t r o n gc o n s i s t e n c y a n da s y m p t o t i cm u l t i n o r m a l i t yo ft h ec e n t r o i da n dt h ee i g e n v a l u ee s t i m a t o r so f t h ec o v a r i a n c em a t r i xo ft h eu n i ts p h e r eu n i f o r md i s t r i b u t i o na r eo b t a i n e d ，t h e a s y m p t o t i cc h is q u a r e ds t a t i s t i cf o rt e s t i n gu n i f o r m i t yo fag i v e ns a m p l eo nt h e s u r f a c eo fau n i ts p h e r ei ss u g g e s t e d t h ec o n s i s t e n c yo ft h eg o o d n e s s - o f - f i tt e s t s i sp r o v e da n dt h ee m p i r i c a lp o w e ro ft e s t si sm a d e ( 2 ) t h ex 2t e s ts t a t i s t i cf o ru n i f o r m i t yi na u n i ts p h e r ei ss u g g e s t e d t h e s u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o nf o rt h eu n i f o r md i s t r i b u t i o ni nau n i ts p h e r e v 一 北京工业大学理学博士学位论文 i s p r o v e d ，t h ea s y m p t o t i cc h is q u a r e dd i s t r i b u t i o no ft h ex 2i so b t a i n e d ，t h e c o n s i s t e n c yo ft h eg o o d n e s s - o f - f i tt e s t si sp r o v e d t h es i m u l a t i o no ft h ec o n v e r - g e n c er a t eo ft h ee m p i r i c a ld i s t r i b u t i o nf u n c t i o na n dt h et e s tp o w e ri sm a d e ，t h e s i m u l a t i o nr e s u l t ss h o wt h a t ，b a s e do na s y m p t o t i cd i s t r i b u t i o n ，t h em u l t i v a r i a t e g o o d n e s s - o f - f i tt e s t sf o rs a m p l es i z e 佗1 0i se f f e c t i v e ( 3 ) t h ex 2c o n d i t i o n a lt e s tf o rm u l t i v a r i a t en o r m a l i t yi ss u g g e s t e d t h e t r a n s f o r m e ds a m p l ey d = 冗y df r o mad - v a r i a t en o r m a ld i s t r i b u t i o nh a sa s y m m e t r i cm u l t i v a r i a t ep e a r s o nt y p e d i s t r i b u t i o n t h er e s u l tt h a tr 2h a s ab e t ad i s t r i b u t i o ni sp r o v e d ，t h ea s y m p t o t i cc h is q u a r e dd i s t r i b u t i o no ft h e s t a t i s t i cx 2b a s e do nb e t ad i s t r i b u t i o na n ds p h e r eu n i f o r md i s t r i b u t i o ni so b t a i n e d t h em o n t ec a r l op o w e rs t u d yf o rm u l t i v a r i a t en o r m a l i t ys u g g e s t st h a to u rt e s t i sap o w e r f u lc o m p e t i t o rt oe x i s t i n gt e s t s t h eg o o d n e s s - o f - f i tf o rm u l t i v a r i a t e n o r m a l i t yo fi r i sd a t ai sa n a l y z e d a p p l y i n gv d r ，t h eg o o d n e s s - o f - f i tt e s tf o raw i d em u l t i v a r i a t ed i s t r i b u t i o n c a nb ed o n e f o re x a m p l e ，t h eg o o d n e s s - o f - f i tt e s tf o rc e n t e r - s i m i l a rd i s t r i b u t i o n c a nb et r a n s l a t e di n t ot h eg o o d n e s s - o f - f i tt e s tf o rn o n - u n i f o r md i s t r i b u t i o no nt h e s u r f a c eo fau n i ts p h e r e t h ep r o b l e mn e e d 8t ob es t u d i e df u r t h e r b a s e do ne d ft e s ts t a t i s t i c ，t h ep a r a m e t e re s t i m a t i o no fp r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o ni ss t u d i e d ，t h ea n a l y s i so ft i m e ss e r i e sm o d e l v a l i d i t yw i t ha c t u a ld a t a i sm a d e t h em a i na c h i e v e m e n t sa r ea sf 0 u o w s ： 一v i a b s t r a c t ! ! ! ! ! 曼寰i i i i i i i ii i i i i ；iij i i i 二 一i i i i 烹! ! ! ! 曼 ( 4 ) u n d e rt h et y p e ic e n s o r e dd a t a ，t h eu n i q u ee x i s t e n c ea n ds t r o n g c o n s i s t e n c yo ft h es i n g l ep a r a m e t e rm l eo fp a r e t o i id i s t r i b u t i o na n dt h en o n e x i s - f e n c eo fm o m e n te s t i m a t i o no ft h ed o u b l ep a r a m e t e r so fp a r e t o i id i s t r i b u t i o na r e p r o v e d ，t h et h e o r ys h o w s 德懿t h es o l u t i o no ft h ed o u b l ep a r a m e t e r sl i k e l i h o o d e q u a t i o ni su n s t a b l e t h es i m u l a t i o ns h o w st h a tt h ef r e q u e n c yo fh a v i n gs o l u t i o n o fl i k e l i h o o de q u a t i o nt e n d st oz e r ow i t ht h ei n c r e a s eo fs a m p l es i z e 嚣。t h e r e f o r e t h em a x i m u ml i k e l i h o o d - g o o d n e s so ff i te s t i m a t o ri s p r o p o s e d ，t h ec o n s i s t e n c y o fm l g f ei sp r o v e d t h es i m u l a t i o ns h o w st h a tt h ee d fs t a t i s t i c sd n i 孵 a n d 髯c a n b eu s e dt og i v et h em l - g f e ( 5 ) a c c o r d i n gt ot h ec h a n g ec h a r a c t e ro ft h en o n s t a t i o n a r yt i m es e r i e sw i t h r i s i n gt r e n d ，t h et i m es e r i e sm o d e lw i t ht h ed e t e r m i n i s t i ct r e n da n dt h es t o c h a s t i c t r e n dm o d e lw i t hau n i tr o o tc a nb ee s t a b f i s h e d ，码er e s u l ts h o w st h a tt h et i m e s e r i e sm o d e lw i t hd e t e r m i n i s t i ct r e n dh a sm o r ea c c u r a t ef o r e c a s t 6 ) w ee x a m i n et i m es e r i e s 。f e a t u r e s o fr m b j a p a n e s ey e ne x c h a n g e r a t e sa n dv o l a t i l i t y , r e s u l t ss h o wt h ed a i l ye x c h a n g er a t e sh a v eu n i t r o o ta n d t i m e - v a r y i n gv a r i a n c e s w ef i n dt h a ta r m aa n da r m a g a r c hc o m b i n a t i v e m o d e lc a nn o td e s c r i b et h er e t u r n so ft h ee x c h a n g er a t e s ，g a r c h ，e g a r c h ， i g a r c hh a v es i m i l a rf i t t i n ge f f e c t sa n do v e r a l lt h eg a r c h ( 1 ，1 ) p e r f o r m sb e t t e r t h a ni g a r c h ( 1 ，1 ) a n de g a r c h ( 1 ，王) o u t - o f - s a m p l ev o l a t i l i t yp r e d i c t i o n p e r f o r m a n c eo fo n ey e a rc o n f i r m st h ea c t u a lh i g h e rv o l a t i l i t yi nt h ee n do ft h e v 至王一 北京工业大学理学博士学位论文 y e a r t h eg a r c h ( i ，1 ) m o d e li sr e c o m m e n d e da st h ef i r s ts e l e c t i n gm o d e lf o r v o l a t i l i t ya n m y s e so fe x c h a n g er a t ed a t a k e yw o r d sa s y m p t o t i cc h is q u a r e dd i s t r i b u t i o n m u l t i n o r m a ld i s t r i b u t i o n e d ft e s ts t a t i s t i c c o n v e r g e n c er a t e t e s tp o w e rt i m es e r i e sm o d e l v i i i 符号表 符号表 等号两边随机变量具有相同的概率分布 依分布收敛 服从某概率分布 d 维随机变量x d 的2 模 矩阵a 的转鼍 球心在原点半径为r 的球体 球心在原点的单位球体 ( o ，1 ) 区间上的均匀分布 单位球管上的均匀分布 d 维单位球面均匀分布随机变量 自良度力蠢的卡方分布随机变量 自由度为d ，非中心参数为6 的卡方分布随机变量 鸯由度走d ，鼍萎孛心参数为喜的丢分布隧祝变量 自由度为d 的卡方分布的上0 1 分位点 方阵a 翡迹 集合b 的示性函数 蕊数磊( ) 的反丞数 随机变量y 的分布函数 d 阶l 差分 未知量9 的估计 矗维随机变量x d 的均俊 d 维随机变量x d 的协方差阵 均筐为弘，协方差阵为鬈蛉蠢维歪态随机变量 一一 “ 0 r ， ， 甸哆)=-0 g 薛 垒三掣翟建誊搿嚣爹嚣一 独创性声明 本人声明所量交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得北京工业大学或其它教育 机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确鳃说明并表示了谢意。 签名：盟日期：壁塞兰艺 关于论文使用授权的说明 本人完全了解北京工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部 或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的论文在解密焉应遵守毙规定) 签名錾塞导师签名- 燃日期 第l 章绪论 第1 章绪论 课题的研究方向是应用统计，研究领域为拟合优度检验及其应用，还研究了 时间序列模型的有效性 垂直密度表示理论应用于概率分布的拟合优度检验，给出了多元概率分布 的一般性检验模式将对椭球对称分布的检验归结为对球面或球体均匀分布的 检验依次研究球面均匀分布，单位球均匀分布，多元正态分布等的拟合优度检 验，形成基于检验球均匀分布的多维概率分布的拟合优度检验做检验统计量渐 近分布收敛速度模拟及检验功效模拟，推荐使用检验统计量渐近分布的样本容 量大小对著名的i r i s 数据，做多元正态性的拟合优度检验对定时截尾样本，基 于e d f 型检验统计量，提出了p a r e t o i i 型分布参数的极大似然拟合优度估计并做 随机模拟提出了增长型经济变量的时间序列预测模型，分析了广义自回归条件 异方差模型利用我国金融数据，做时间序列模型的建模，检验，外推式预测 1 1 概率分布构造理论概述 总体分布是构成统计模型的基本要素，统计推断离不开对总体分布的假设 因此，概率分布的构造和拟合优度检验在统计理论和应用中有着特殊地位，它们 的理论和方法在最近十几年越来越受到人们的重视在理论及应用研究中，正态 分布居主导地位，中心极限定理保证在一定条件下，随机变量和具有渐近正态性 多元数据的处理，主要是基于多元正态分布进行统计分析的，时间序列分析中误 差分布一般假设为正态分布，信息论中高斯分布是其基本假设 随着研究的深入及精确推断的要求，人们发现在一些应用问题中，概率分布 为正态分布的假设是不成立的例如收益序列通常呈现的“尖峰厚尾态”不宜假设 为正态分布，备选的概率分布有t 分布及g e d 密度函数制定中国男子服装1 2 项 指标构成的随机变量不满足多元正态分布，只是1 2 项指标的若干子集构成的随机 一1 一 北京工业大学理学博士学位论文 变量服从多元正态分布保定学院中文系普通话水平测试的4 项相关指标构成的 随机变量( 样本容量为3 2 9 ) 不满足多元正态分布，且所有分变量均不服从一元正 态分布这些随机变量按正态分布假设进行统计分析会出现明显的误差总体分 布的正态性拟合优度检验，总体分布的非正态性条件下，备选分布的构造与拟合 优度检验在应用中具有重要意义 1 1 1 一维概率分布 概率分布是用来描述随机现象的基本工具，任何统计方法都离不开概率分 布的概念和各种具体分布的性质，j o h n s o n 和k o t z 在上世纪7 0 年代编著了统计 分布( d i s t r i b u t i o ni ns t a t i s t i c s ) 一书，共4 册方开泰和许建伦1 9 8 7 年编著了 统计分布一书，详细介绍了一维随机变量的对数正态分布，x 2 分布，伽玛分 布，贝塔分布，柯西分布，l o g i s t i c 分布，极值分布，拉普拉斯分布对数正态分布 出现在许多领域之中，如针刺麻醉的镇痛效果，流行病蔓延时间的长短，某些电器 寿命等l o g i s t i c 分布最初用于描述生长曲线，现也广泛应用于经济社会统计中 x 2 分布是由正态分布派生出来的分布，在统计检验中有广泛的应用，例如时间序 列模型白噪声的检验可由渐近x 2 分布来进行伽玛分布，贝塔分布应用于可靠性 统计及可用作先验分布极值分布用作描述洪水等灾害性自然现象，拉普拉斯分 布可用作稳健统计分析 1 1 2 多元概率分布构造 为了解决多元数据的总体概率分布问题，统计学者提出了各种概率分布的 构造方法k t f a n g ，s k o t za n dk w n g 的( s y m m e t r i cm u l t i v a r i a t ea n d r e l a t e dd i s t r i b u t i o n s ) 【，研究了球对称分布，椭球对称分布，多元2 l 模对称分 布，多元l i o u v i l l e 分布、口对称分布等的构造详细讨论了各种分布的性质，例 如k o t z 型分布，p e a r s o n i i 型分布，多元柯西分布，多元t 分布等的特征函数，矩， 边际分布，条件分布等椭球对称分布是多元正态分布的自然推广，这些分布族 - - 2 - - - 第1 章绪论 成为多元正态分布的备选分布，相对一般意义下的多元分析即为广义多元分析 1 ) 密度定义：设x 服从n ( i t ，盯2 ) ，其概率密度为， 焉竺jexp【一百1(zp)(cr2)一1(z-it)exp 了趸荠万 t 一互【z p ) 【仃) 1 由此猜想多元正态分布概率密度为 c l | _ 1 2 e x p 一去( z i t ) 7 一1 ( z p ) ) z ，p r d ，为d d 阶矩阵， 0 ，c 为归一常数 2 ) 球对称分布：d 维随机变量y 称为服从球对称分布，当且仅当 y ：dr u ( d ) 其e e r 是非负随机变量，u 是单位球面上的均匀分布，r 与u ( 回独立 3 ) 椭球对称分布：多元正态分布概率密度c l i - 1 2 e 印 一j ( z p ) 7 e _ 1 一p ) ) 表 达式中，( z i t ) 7 e - 1 一i t ) 等于常数时，其密度值相等一个自然的推广是，构 造多元概率密度为l r , i 一1 2 夕( ( z i t ) 7 一1 ( z 一肛) ) d 维随机变量x 称为服从椭球 对称分布，当且仅当 x = dp - t - a y ， 其中y 服从d 维球对称分布，a 为d d 阶非奇异阵 4 ) 多元l i o u v i l l e 分布：x 是碰上的d 维随机变量，x 称为服从多元厶d u 优f f e 分 布，当且仅当 x 兰冗y 其中j 砗= ( z 1 ，z d ) ：x i 0 ，i = 1 ，d ) ，y 服从j 哞中b d _ = 的d i r i c h l e t 分布，j e l d = 1 ，y d ) ：江dly i = 1 ) ，r 与y 独立 5 ) 中心相似分布：z h e n h a iy a n g 和s a m u e lk o t z ( 2 0 0 3 ) 基于球对称分布提出了 中心相似分布【2 】：x d = 冗u d 定义了基本集d o 及其界函数6 ( x d ) ，此时假定u d 在基本集d o 服从均匀分布，r 是非负随机变量且与u d 独立得到已知d o 及随 机变量嗨率密度函数时随机变量x 的概率密度积分表达式做为例子，得到零均 值的多元正态分布是中心相似分布的特例给出了中心相似分布另一种表达等价 一3 一 北京工业大学理学博士学位论文 形式：x = 冗【厂d = r i u d i i w d 得到w d = u d l l u d i i 的概率密度公式，此时单 位球面上的随机变量w d 不再服从球面上的均匀分布并且引申出以下问题，线 形模型中的误差分布为中心相似分布所替代时，经典的结论是否有效或可能有哪 些变化更一般的讲，统计模型的分布为中心相似分布所替代时，会有哪些统计 结论 1 2 垂直密度表示理论( v d r ) 及其应用 1 2 1 垂直密度表示理论概述 ( o ) i 一型垂直密度表示理论 t r o u t t 2 0 ( 1 9 9 1 ) - 首先提出- v e r t i c a ld e n s i t yr e p r e s e n t a t i o n ( v d r ) ，给出了i - 型垂直密度表示( t y p eiv d r ) 设随机变量x d 具有概率密度，( z d ) 记v = f ( x d ) d c d ，【，1 ) ( z ) = 刃d r d ，f ( x d ) z ) ，l a ( a ) 为a 的l e 6 e s g 让e 钡9 度，a r d 若l d ( d ( a ，) ( ) ) 可微，则y 的概率密度为 夕( u ) = 一 杀玩( d ( d ( u ) ( 1 - 1 ) 且概率密度f ( x d ) 可表示为 r 如 f ( x , d ) = ( x d l v ) g ( v ) d v ， ( 1 2 ) ( 茁d i u ) 是给定v = u 条件下，x d 的条件概率密度，f o = s u p f ( x d ) ：x d 称g ( v ) 为垂直密度，称( 1 2 ) 式为t y p eiv d r 对有限值如，定y w = v f o ，w 的 概率密度记为p ( 叫) 称p w ( w ) 为规范化垂直密度 k o t z ，n o u t t 【2 4 】( 1 9 9 6 ) 应用v d r 技术刻画1 3 个一元随机变量的尾部特征例 如，标准c a u c h y 分布的垂直密度为 夕( ) 2 砺而1 ，o v t r - 1 当u _ o 或7 r - 1 时，g ( v ) _ o o u 在0 值附近的夕( ) 对应着厚尾性，即概率密度的 厚尾性对应着垂直密度在0 值附近的陡变同样可用多元v d r 刻画多元随机变量 一4 一 第1 章绪论 的尾部特征 球对称分布在多元概率分布的构造中有着重要作用，球对称分布可 通过球均匀分布生成设x d = ( x 1 ，弱) 服从球对称分布，概率密度 为，( z d ) = 九( z 知d ) ，九( ) 是严格单调减少的可微函数则的概率密度为 p 小) 一篙m 1 删p 【一( 删) 】， 其中如= ( o ) 设x d y d ( o ，j d ) ，其概率密度为 ，( z d ) = ( 2 7 r ) d 2 e z p ( 一去z ：d ) ， z d r d v = ，( x d ) ，o = ( 2 7 r ) 一讹，则 p ( 伽) = r ( 。d h 2 ) 一2 f n 伽】彤2 1 ，0 一l ， v = f ( x d ) ， = o d ，则 p 小) = 焉州1 - w l i r a p 0 删， z = w 1 加_ b e t 口( m + 1 ，罢) ， x ：f x d ：ar 2 一b e 口( 互d ，r e + i ) x d = dr u ( 句，r 2 一b e 玩( 罢，m + 1 ) ，u ( 田一 r 与u ( 回独立 ( 6 ) i i 一型垂直密度表示理论 n o u t t 没有给出( i ) 的表示，k t ，y a n g ，z h $ 1 ：l k o t z ，s f 2 1 】( 2 0 0 1 ) 提出 了i i 型垂直密度表示( 聊ei iv d r ) ，给出了( l 口) 的表达式由引理1 1 给出 j 匕京工业大学理学博士学位论文 ! ! ! ! ! 舅嬲罡! ! ! ! 曼燃鬯! ! 苎! i i i i i i i i i ii i i i ii i i i i i i i i i h i i i i 苎竺! ! 对非负函数，( z d ) ，x d r d ，定义d ( d + l ，【，】) cr d + 1 为 d ( a + i ，翻) = 髫g + l = ( x d ，x d + l ；：0 茹拜l f ( x a ) ，鬈蠢g ， 引理1 1 设随机变量x d 一， d ) ，则( x d ，x 4 1 ) 在d ( “l ，) 上服从均匀分布 豹充要条件是 1 ) x d + s 的密度函数为乩( d ( 虬巾 ) ) ； 2 ) 给定x d + i = 秽条件下，x d 的条件分布是d ( 蚰髓) ( 秘) 上的均匀分布 1 2 。2 基：j ：i i 型v d r 的多元l o g i s t 分布构造 杨振海等应用i i 型v d r 给出了多元l 幛8 t 分布的定义- - ：死l o g i s t 分布密 度函数是 p l ( 嚣) 。南，一 舅o o 设x p 1 ( ) ，