（计算机软件与理论专业论文）几类典型混沌系统的同步研究.pdf

大连理t 大学硕七学位论文 摘要 一切实际存在的系统都或多或少地具有非线性。有些非线性是系统固有的，有些则 需要利用电子器件的非线性来达到要求。因此，对非线性系统进行深入地分析，并研究 它的控制方法，具有十分重要的意义。本文利用理论证明和数值分析相结合的方式，对 以下问题进行了研究： 分别利用激活控制同步法、状态反馈同步法，对混沌及超混沌r 6 s s l e r 系统的同步 问题进行了讨论，基于l y a p u n o v 稳定性理论给出了系统达到同步的充分条件，数值仿 真实验进一步证实了该方法的有效性。 基于自适应同步法，设计了超混沌系统的自适应同步控制器，该控制器不仅对结构 相同的超混沌系统有效，对异结构超混沌系统，乃至参数未知的超混沌系统同步同样有 效，因此扩展了混沌同步在实际中的应用范围。 研究了一类新的统一超混沌系统的动力学行为，结合耦合同步方法的特性，对耦合 超混沌系统进行了分析，设计了同步控制器，给出了两个耦合统一超混沌系统达到同步 的标准。 基于双同步理论，对统一混沌系统的同步问题进行了研究，定义了双同步状态，给 出了双同步控制器设计标准，实现了系统同步，仿真实验同时验证了此方法不仅能对结 构相同的混沌系统进行同步，对异构混沌系统同样有效。 基于分数阶系统平衡点的稳定性理论，利用主动控制技术研究了分数阶超混沌 l o r e n z 系统和分数阶超混沌r 6 s s l e r 系统的异结构同步问题。并以0 9 7 阶超混沌l o r e n z 系统和0 9 7 阶超混沌r o s s l e r 系统为例，验证了利用主动控制法可以使二者达到同步。 关键词：混沌系统；混沌同步；l y a p u n o v 稳定性理论 大连理工大学硕士学位论文 s y n c h r o n i z a t i o nr e s e a r c ho fs e v e r a lt y p i c a lc h a o t i cs y s t e m s a b s t r a c t t h e r ea r em o r eo rl e s sn o n 1 i n e a rc h a r a c t e r i s t i ci na l lo ft h ea p p l i c a t i o ns y s t e m s s o m eo f t h e ma r ei n h e r e n t w h i l eo t h e r sn e e dt ou s et h en o n 1 i n e a rc h a r a c t e r i s t i co ft h ee l e c t r o n i c d e v i c e st om e e tt h en o n l i n e a rr e q u i r e m e n t s t h e r e f o r e ，i t sv e r yi m p o r t a n tt oa n a l y s i st h e c h a r a c t e r i s t i c so ft h en o n 1 i n e a rs y s t e ma n dt or e s e a r c ht h ec o n t r o l l i n gm e t h o d so fi t i nt h i s p a p e r ，u s i n gac o m b i n a t i o nm e t h o do ft h e o r e t i c a lp r o o fa n dn u m e r i c a la n a l y s i s ，id ot h e r e s e a r c ha sf o l l o w ： 功es y n c h r o n i z a t i o np r o b l e mo fc h a o t i ca n dh y p e r - c h a o t i cs y s t e m si sd i s c u s s e du s i n gt h e a c t i v ec o n t r o lm e t h o da n dt h es t a t ef e e d b a c km e t h o d a n db a s e do nt h el y a p u n o vs t a b i l i t y t h e o r y ，t h e s u f f i c i e n tc o n d i t i o n so nt h e s y s t e ms y n c h r o n i z a t i o na r eg i v e n n u m e r i c a l s i m u l a t i o nf u r t h e rc o n f i r m st h ev a l i d i t yo ft h em e t h o d 1 1 1 ea d a p t i v ec o n t r o l l e ro ft h eh y p e r - c h a o t i cs y s t e mi sd e s i g n e db a s e do nt h ea d a p t i v e s y n c h r o n i z a t i o nm e t h o d t m sc o n t r o l l e ri sn o to n l ye f f e c t i v et ot h eh y p e r - c h a o t i cs y s t e m s w i t ht h es a m es t r u c t u r e ，b u ta l s oe f f e c t i v et ot h ed i v e r s eh y p e r c h a o t i cs y s t e m s e v e nt h e s y s t e m sw i t hu n k n o w l lp a r a m e t e r s t h e r e f o r e ，t h i sm e t h o de x p a n d st h er a n g eo fa p p l i c a t i o n s o fc h a o ss y n c h r o n i z a t i o ni np r a c t i c e t h ed y n a m i cb e h a v i o ro fan e wk i n du n i f i e dh y p e r - c h a o t i cs y s t e mi sr e s e a r c h e d n l e u n i f i e dh y p e r c h a o t i cs y s t e mi sa n a l y s i s e db a s e do nt h ec o u p l e ds y n c h r o n i z a t i o nm e t h o d s ， a n dt h es y n c h r o n i z a t i o nc r i t e r i o no ft w o c o u p l e dt m i f i e dh y p e r c h a o t i cs y s t e m si sg i v e n b a s e do nt h ed u a ls y n c h r o n i z a t i o nt h e o r y ，t h es y n c h r o n i z a t i o np r o b l e mo fu n i f i e d c h a o t i cs y s t e mi sr e s e a r c h e d ，a n dt h ed u a ls y n c h r o n i z a t i o ns t a t ei sd e f i n e d ，a n dt h ed e s i g n c r i t e r i o no ft h ed u a ls y n c h r o n i z a t i o nc o n t r o l l e ri sg i v e n t h es y n c h r o n i z a t i o ni sr e a l i z e d t h e s i m u l a t i o nr e s u l t ss h o wt h a tt h i ss c h e m ec a nn o to n l yb eu s e dt ot h ec h a o t i cs y s t e mw i t ht h e s a m es t r u c t u r e ，b u ta l s oc a nb eu s e dt ot h ed i v e r s e c h a o t i cs y s t e m s b a s e do nt h es t a b i l i t yt h e o r yo ff r a c t i o n a lo r d e rs y s t e m s ，w i t ha c t i v ec o n t r o lt e c h n o l o g y ， t h ed i v e r s es y n c h r o n i z a t i o nc o n d i t i o n so ft h ef r a c t i o n a lo r d e rh y p e r c h a o t i cl o r e n zs y s t e m s a n dt h ef r a c t i o n a lo r d e rh y p e r - c h a o t i cr 5 s s l e ri sa n a l y s e d a n dt h ep a p e rt a k e st h eb a s eo r d e r 0 9 7f o re x a m p l e s g i v e st h en u m e r i c a ls i m u l a t i o n a n dt h es i m u l a t i o nr e s u l tv e r i f i e dt h e e f f e c t i v e n e s so ft h i ss c h e m e k e yw o r d s ：c h a o ss y s t e m ；c h a o ss y n c h r o n i z a t i o n ；l y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r y i i i 大连理工大学学位论文独创性声明 作者郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究 工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用内容和致谢的地方外， 本论文不包含其他个人或集体已经发表的研究成果，也不包含其他已申请 学位或其他用途使用过的成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献 均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。 学位论文题艮 堕壅邀塑量垒三监兰堑兰! 壁鸳堑 作者签名：辛钰圣叠，一 日期：4 年匕月生日 大连理工大学硕士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关学位论文知识产权的规定，在校攻读学位期间 论文工作的知识产权属于大连理工大学，允许论文被查阅和借阅。学校有 权保留论文并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，可以将 本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印、或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 学位论文题目：! 垒鏊邃塑之幽堑兰! 煎妻坌李型 作者签名： 导师签名： 日期：塑仝年j 三月尘日 日期：蛰型艺年j 羔月丑日 大连理工大学硕士学位论文 引言 混沌是一种貌似无规则的运动，是非线性领域中所特有的一种形式，它广泛的存在 于自然界的各个领域中。然而混沌学这门经典学科真正泛出光芒却在2 0 世纪8 0 年代 1 - 6 。近半个世纪以来，人们对混沌运动的本质以及其在自然界与人类社会中的应用有 了更深刻、更广泛的认识【7 。1 。特别是如何利用混沌理论的成果为人类服务已成为了当 前非线性科学发展的新的热点问题之一f l 卜1 4 】。 美国著名气象学家洛伦兹教授在2 0 世纪6 0 年代提出l o r e n z 系统，开辟了混沌发 展的新纪元【1 5 ，l6 j 。其后，陈关荣，吕金虎等人在研究l o r e n z 系统的基础上又提出了经典 c h e n 系统【1 7 】，l n 系统【1 8 】，以及统一混沌系统【1 9 1 。1 9 7 9 年，基于非线性常微分方程组 所表示的r 6 s s l e r 系统【2 ，r 6 s s l e r 进一步提出了四变量振荡器，即超混沌r 6 s s l e r 系统【2 i j 。 超混沌系统具有比混沌系统更复杂的动力学特性，因此，对超混沌系统的控制与同步的 研究具有很大的理论意义和应用价值。 分数阶混沌系统直至最近1 0 年才广泛进入我们的研究领域，其主要应用于电路系 统中。分数阶是整数阶的一般化，而整数阶的电路是分数阶的特例。目前，越来越多的 研究者已经投入到分数阶混沌系统的研究行列中【2 2 之刀，其重要性不言而喻【2 8 】。 因此，本文首先讨论了混沌与超混沌r 6 s s l e r 系统的同步问题，分别用激活控制同 步法，状态反馈同步法实现了确定的混沌与超混沌r 6 s s l e r 系统的同步，并基于l y a p u n o v 稳定性理论证明了该方法的有效性。随后，作者分析了异构超混沌系统的动力学特性， 结合自适应同步方法设计了自适应控制器，以超混沌l o r e n z 与超混沌r 6 s s l e r 系统为例， 给出了异构超混沌系统同步的充分条件。紧接着对于一类统一超混沌与统一混沌系统， 作者分别用耦合同步法与双同步法实现了这类混沌系统的自同步，利用数值仿真实验模 拟了任意两个系统达到同步的全过程，验证了此方法的正确性。最后，用主动控制法实 现了异结构分数阶超混沌系统的同步，该方法不仅实现简单，且同步速度快，有很好的 实际应用前景。 本文共分为五章：第一章简要介绍了混沌概况，说明了混沌的发展过程，什么是混 沌，以及混沌运动的基本特征与判据准则等。第二章对本文所用到的混沌同步方法作了 简单的介绍。第三章研究了混沌与超混沌r s s s l e r 系统的同步问题，分别用激活控制法， 状态反馈法，自适应同步法实现了混沌系统的同步。第四章分析了一类统一超混沌与统 一混沌系统，分别用耦合同步法与双同步法达到了混沌系统的同步。第五章作者探讨了 异结构分数阶超混沌系统的同步问题。最后，给出了全文的结论。 大连理工大学硕士学位论文 1 i混沌概述 ，p 匕，匕下研比匕 1 1 混沌发展史 混沌，这个在中外文化中渊流悠久的词，正在成为具有严格定义的科学概念，成为 - t - j 新科学的名字。它研究的进展，无疑是非线性科学最重要的成就之一。它正在消除 对于统一的自然界的决定论和概率论两大对立描述体系间的鸿沟，使复杂系统的理论开 始建立在“有限性 这个更符合客观实际的基础之上。跨越学科界限，是混沌研究的重 要特点。普适性、标度律、自相似性、分形几何学、符号动力学、重整化群等等概念和 方法。正在超越原来数理科学的狭窄背景，走进化学、生物、地学、乃至社会科学的广 阔天地。 混沌开始之处，经典科学就终止了。因为自从世界上有物理学家们探索自然规律以 来，人们就特别忽略了无序，而它存在于大气中，海洋湍流中，野生动物种群数的涨落 中，以及心脏和大脑的振动中。自然界的不规则方面，不连续和不稳定的方面，一直是 科学的难题，或许更糟些，是无法理解的怪物。 但是在2 0 世纪7 0 年代，美国和欧洲的少数科学家开始找到了无序的门径：生理学 家们在人类心脏生发出来的混沌中发现了令人惊奇的有序；生态学家们考察了舞毒蛾总 数的升降；经济学家们发掘出陈旧的股票价格数据，并试用新的方法来分析。由此种种 方面得到的启示，直接引入了自然界，包括对云彩的形状、闪电的径迹、微血管的缠结、 星体形成银河星团的过程的认识删。 1 0 年之后，混沌已成为一种迅速发展的学术运动的简称，而这个运动正在改变着整 个科学建筑的结构。它创造了特殊的计算机使用技术和各种特殊的图像，从而抓住了复 杂性背后的古怪而精致的结构。 2 0 世纪9 0 年代，非线性动力学中分岔和混沌理论的建立，使非线性科学有了可靠 的理论保证，并激励着众多的自然科学、工程学和数学工作者深入探究和研究。而与理 论研究相比，混沌的应用研究更引人注目。很难再有另外一门学科能在如此短的时间内 渗透到如此多的学科中并产生重要的影响。混沌运动是存在于自然界中的一种普遍的运 动形式，所以非线性科学不仅推动了其他学科的发展，而且正在改变整个现代知识体系。 如今，混沌理论已经与计算机科学理论等领域广泛结合，使得人们对一些长久悬而 未解的难题有了突破性的进展，在探索、描述及研究客观世界的复杂性方面发挥了巨大 的作用。现在这门学科已经成为各个学科关注的热点，它正在举目四望，无所不在。 几类典型混沌系统的同步研究 1 2 混沌的定义 所谓混沌，就是一种类似随机的现象。从数学上讲，对于确定的初始值，由动力学 系统就可以推知该系统的长期行为甚至追溯其过去的状态。但是有很多系统当初值产生 极其微小的变化时，其系统的长期性态有很大的变化，即所谓的“蝴蝶效应 3 0 l 。由于 实际中的误差是不可避免的，因而系统的长期行为是一种类似随机的行为，无法对这种 系统的长期行为进行预测。对于一个真正的随机系统，从某一时刻的量无法知道以后任 何时刻量的确定值，即系统在短期内也是不可预测的。而对于确定性系统，他的短期行 为是完全确定的，只是由于对初值的敏感依赖性，使得确切运动在长期内不可预测。这 正是有它内在的固有的随机性引起的。这种现象只发生在非线性系统中。但是，究竟什 么是混沌，至今还没有一致的、严格的定义。这里作者给出最常见的几种混沌定义。 1 2 1l i - y o r k e 意义的混沌 1 9 7 5 年，李天岩和y o r k e 在美国数学月刊上发表了题为“周期3 蕴含混沌”的 文章，并给出了混沌的一种数学定义，现称为l i y o r k e 定义【3 1 】： 定义1 1 对于闭区间j 上的连续自映射厂( x ) ，如果满足下列条件，则称它有混沌 现象： ( 1 )厂存在一切周期的周期点； ( 2 )闭区间，存在不可数非周期不变子集s ，满足 ( a )f ( s ) cs ； ( b ) 对任意x s 和厂的任一周期点j ，有 ! i m s u p l f ”( x ) - f ”( y ) l 0 ： ( c )对任意x , y s ，当x y 时有 l i m s u p l f ”( x ) - f ”( y ) l 0 ； ( 3 ) 存在s 的不可数子集& ，对任意x , y s o ，有 l i m i n f l f ”( x ) - f ”( 夕) l = 0 。 n o o 李天岩和约克同时还指出，对于闭区间j 上的连续自映射f ( x ) ，如果存在一个周期 为3 的周期点时，就一定存在任何正整数的周期点，即一定出现混沌现象。用李天岩的 话来说，只要有周期3 就“乱七八糟”，什么周期都可能有。 根据l i y o r k e 定义，一个混沌系统应具有三种性质：( 1 ) 存在所有阶的周期轨道； ( 2 ) 存在一个不可数集合，此集只含有混沌轨道，且任意两个轨道既不趋向远离也不 一4 一 大连理工大学硕士学位论文 趋向接近，而是两种状态交替出现，同时任一轨道不趋于任一周期轨道，即此集合不存 在渐近周期轨道：( 3 ) 混沌轨道具有高度的不稳定性。 1 2 2 d e v a n e y 意义的混沌 d e v a n e y 是给出混沌确切定义的第一人，他的定义涉及一个混沌集( 或限制在不变 集以后的混沌系统) ，他要求的三个性质是：系统具有对初始值的敏感依赖性、周期点 在不变集中稠密、有在不变集中稠密的轨道【13 1 。 定义1 3 设工是一度量空间，一个连续映射：f ：x - - 1 , x 成为x 上的混沌，如果 满足下列条件： ( 1 ) 厂具有初值敏感依赖性； ( 2 ) f 是拓扑传递的； ( 3 ) 的周期点在义中稠密。 d e v a n e y 的混沌定义从另外一个角度刻画了混沌运动的几个重要特征： 对初值的敏感依赖性意味着无论x 和y 距离有多近，在的多次作用下两者的轨道 都会分开较大的距离，而且在每个点x 附近都可以找到离它很近而在厂的作用下分道扬 镳的点y ，如果用计算机计算其轨道，则任意微小的初始误差就将导致多次迭代后的计 算结果与实际结果产生足够大的差异，从而导致计算失败。因此对初值的敏感依赖性也 称为不可预测性。 拓扑传递性意味着任一点的邻域在厂的多次作用下将遍及度量空间墨这说明厂不 可能分解为两个在厂下互不影响的子系统。 周期点集的稠密性意味着混沌系统存在着规律性的成分，绝非混乱一片，形似混乱 而实则有序。 1 3 混沌运动的基本特征 混沌运动具有通常确定性运动所没有的本质特征。与为了其它复杂现象相区别，一 般认为混沌运动应有以下几个特征【1 3 l ，且它们之间有着密不可分的内在联系： ( 1 ) 遍历性：混沌运动轨道局限于一个确定的区域混沌吸引域，混沌轨道经 过混沌区域内每一个状态点。 ( 2 ) 整体稳定局部不稳定：混沌态与有序态的不同之处在于，它不仅具有整体稳 定性，还具有局部不稳定性。 ( 3 ) 对初始条件的敏感依赖性：初始条件的任何微小变化，经过混沌系统的不断 放大，都有可能对其未来的状态造成极其巨大的差别。 几类典型混沌系统的同步研究 ( 4 ) 轨道不稳定性及分岔：长时间动力运动的类型在某个参数或某组参数发生变 化时也发生变化。这个参数值( 或这组参数值) 成为分岔点，在分岔点处参数的微小变 化会产生不同定性性质的动力学特性，所以系统在分岔点处是结构不稳定的。 ( 5 ) 长期不可预测性：由于混沌系统所具有的轨道的不稳定性和对初始条件的敏 感性的特征，因此不可能长期预测将来某一时刻的动力学特性。 ( 6 ) 分形结构：耗散系统的有效体积在演化过程中将不断收缩至有限分维内，这 就使它在相空间的形状发生拉伸、扭曲和折叠，形成精细的无穷嵌套的自相似结构。混 沌状态表现为无限层次的自相似结构。 ( 7 ) 普适性：在混沌的转变中出现某种标度不变性，代替通常的空间或时间周期 性。所谓普适性，是指在趋向混沌时所表现出来的共同特性，它不依具体的系数以及系 统的运动方程而变。 1 4 本章小结 本章主要简单地介绍了混沌理论的发展简史，混沌的几个常用定义，混沌运动的基 本特征。 一6 一 大连理工大学硕士学位论文 2 混沌同步原理及方法介绍 近年来，随着混沌应用被人们广泛接受，混沌控制和同步的研究也越来越受到重视 和青睐。从有限维系统到无限维系统，从反馈同步到自适应同步，从反同步到双同步等 等，可以说，混沌同步的研究方兴未艾1 3 2 3 9 1 ，扩展了振动理论中的同步的概念，在许多 领域中大显身手。本章作者对本文中用到的同步理论作一简单介绍： 2 1 激活控制同步法 假设存在驱动系统 文= a x + 厂( x ) ， ( 2 1 ) a e r ”x 掣为常数矩阵，x = ( x 。，x ：，。，毛) t r ”为状态向量，八x ) 为非线性连续函数。 响应系统： 。；。 夕= 4 y + 厂( y ) + u ( t ) ， ( 2 j 2 ) 其中夕= ( 乃，y 2 ，只厂r ”为状态向量，雎( f ) = ( l ( f ) ，甜2 ( f ) ，。( f ) ) t r ”。 激活控制即设计一个控制器跖( f ) ，使得响应系统( 2 2 ) 渐近与踪驱动系统( 2 1 ) 趋于一致，并最终实现同步，即l ，i m 。0 y 一工1 1 = o ，这里| j j j 为欧氏范数。 定义误差p = y x ，可得误差系统： 叠= 夕一戈= a e + f ( x ，j ，) + 跖o ) ， ( 2 3 ) 其中，f ( x ， ，) = f ( y ) 一f ( x ) 。令 u ( t ) = v ( t ) - f ( x ，y ) ， ( 2 4 ) 这里，v ( t ) = k e 是含有p 的线性项。将式( 2 4 ) 代入式( 2 3 ) ，则 毒= a e + y ( o 。 ( 2 5 ) 等式( 2 5 ) 变换为 叠= ( 4 + k ) e 。 ( 2 6 ) 定理2 1 如果存在对角矩阵且满足条件：五0 ，五为矩阵( 4 + k ) 的特征值，则 等式( 2 6 ) 的状态向量在零点稳定，也就是说，混沌驱动系统( 2 1 ) 与混沌响应系统 ( 2 2 ) 实现同步。 几类典型混沌系统的同步研究 证明：对微分方程叠= ( 4 + 眉求解，容易得到：l l e ( , ) l l = l l e ( a + k ) t p ( o ) i i o 因为矩阵 + k ) 的特征值全都为不大于零的实数，所以当，专时，le l l - , o ，也就是；鳃= o 。 此时系统( 2 1 ) 与系统( 2 2 ) 实现渐近同步。证毕。 2 2 状态反馈同步法 反馈同步方法与反馈控制有密切关系，它可看作是控制被控混沌系统轨道使之按目 标混沌系统轨道运动的问题，利用驱动系统与响应系统的误差信号，通过旋加反馈控制 就可以使响应系统跟踪驱动系统，从而实现混沌系统的同步。 2 2 1 状态反馈控制原理 反馈控制是从系统的状态信号或输出信号中提取出特定信息，使原有的系统构成一 个闭环系统，通过选择和改造，使要控制的目标在这个闭环系统中成为稳定点，以便进 入一个稳定的目标，减少静态误差，最终很好地实现对原系统的控制，达到减小静态误 差和提高系统动态性能的目的。图2 1 为一种简单的传统反馈控制系统。 反馈控制的优点： ( 1 ) 参考输入可以是任意解的目标控制，如不稳定周期轨道、不动点等目标的控 制。 ( 2 ) 控制策略简单，容易实现。 ( 3 ) 允许控制的强度大，具有抗干扰特性。 图2 1 状态反馈控制原理图 f i g 2 1 t h et h e o r yo ff e e d b a c kc o n t r o l 2 2 2 状态反馈同步原理 用下面的常微分方程组将一个维自治非线性动力系统表示为： 矽= i ( u ，p ) ， ( 2 7 ) 一8 一 大连理工大学硕士学位论文 其中，u = ( 甜：) 1 ，r = ( 甲。甲：、壬，。) 1 均为n 维矢量。 将下面的反馈项加至响应系统方程中： u = r ( u 7 ，p ) 一甲( u ，u ) ， ( 2 8 ) 式中，甲( u ，u ) 既可以是向量函数，也可以是标量函数。选择适当的甲( u 7 ，u ) ，使得当 f 寸0 0 时，甲( u ，u ) 一0 ，u 专u ，即方程( 2 8 ) 的解渐近跟踪方程( 2 7 ) 的解，从 而实现驱动响应系统同步。 2 3 自适应同步法 考虑如下的刀维自制系统： i c = 八鼍曲， ( 2 9 ) 其中，x = ( x 1 ，也，吒) 是聆维状态变量，l u = ( a l ，鸬，以) 是f 维系统参数，厂是关于x 、 的，z 维函数向量，f ( x ，) = ( f l ( x ，) l ( x ，) ) 。在系统中选择一条存在的不稳定周 期轨道o ( y ) 作为期望的目标轨道，假设参数集膳是可以得到的，。y 表示目标轨道的变 量。自适应控制的基本思想就是引入一种控制机制，使得响应系统( 2 9 ) 的变量x 和目 标系统的变量j ，同步。由此可知，受控系统表示为 l 文= f ( x ，) t 应= 一占 ( x , - d f j i ，) 一j g c 以一鸬， ( 2 1 。 这里段是参数鸬对应目标轨道y 的值，且鸬是式( 2 1 0 ) 中第- 含子系统中的参数。研 究表明，函数h 和g 取下面的简单形式时，可以使系统( 2 9 ) 达到目标混沌轨道。 厅卜栅剞- s s n c 鲁，c ， 隰 g ( a f 一以) = 一一以。 ( 2 1 2 ) 2 4 耦合同步法 混沌系统的耦合方案可以写成如下的形式： 戈= 彳x + g ( x ) + 皿( y - x ) ， ( 2 1 3 ) 一9 一 几类典型混沌系统的同步研究 夕= a y + g ( y ) + d 2 ( x y ) 。 ( 2 1 4 ) 其中，x 和y 为系统的n 维状态向量，a r “”为常数矩阵，g ：r ”专r ”为连续的非线性 函数，d l 和眈就是我们需要设计的用来实现同步的耦合矩阵。 令e = x y ，我们得到上式( 2 1 3 ) 和( 2 1 4 ) 的误差系统如下： 毒= ( 么+ 。y 一( d i + d 2 ) ) p ， ( 2 1 5 ) 这旱，g ( x ) 一g ( j ，) = m x 。y e ，而鸠，y = m ( x ，y ) 为一有界矩阵。 同步要求误差系统是渐近稳定的，即，1 i m 。e = o 。 定理2 2 如果能够找到正定对称矩阵p 及常数占 0 ，满足对任意的x 和y ，不等 式 ( 彳+ 收，j ，一( 日+ d 2 ) ) 7 尸+ p ( 彳+ m x 。y 一( d l + d 2 ) ) 一9 1 ， ( 2 1 6 ) 一致成立，则误差系统( 2 1 5 ) 全局稳定，其中，为单位矩阵。这样，系统( 2 1 3 ) 和 ( 2 1 4 ) 达到全局渐进同步。 证明：选择l y a p u n o v 函数 。矿( ，) = e ) 心( ，) ， 其中p 为正定对称矩阵，求导得： 坐d t = m 聊) + e t ( 彬( f ) = p 7 o ) ( ( 4 + 鸠，y 一( d l + d 2 ) ) r 尸+ p ( 彳+ 以，y 一( d l + d 2 ) ) ) p o ) - e e 7 p ( ，) 0 ，甄( f ) 、 x z ( t ) 和x 3 ( t ) 是全局有界并且连续可微的。所以，一定存在常数孝 0 ，j l _ ( ，) i 孝 o o 、 l 恐o ) i 孝 口鸲 孝+ 华 证明：为了获得驱动系统( 3 i ) 和响应系统( 3 11 ) 的混沌同步，必须证明误差系 统( 3 1 2 ) 渐进稳定。首先定义l y a p u n o v 函数如下： y = o 5 ( p i + p ；+ p ，2 ) ， 对其求导，得： 矿= p i 叠i + e 2 e 2 + p 3 舌3 = 一缈l p ? 一g i e 3 + ( 口一0 3 2 ) 已；+ ( x ；一x l x 3 ) p 3 一( c + ( 0 3 ) 口； = 一缈l p ? + ( 口一彩2 ) p ；一( c + 国3 ) p ；一e l p 3 + e 3 ( x ：p + z 3 p l p 3 ) 一 ( c 0 1 - 1 胼坳：_ 口) p 2 ( c + 0 3 3 - - 硝一半磁心。一字2 ) 。 当满足以下条件时： 国1 1 0 缈2 一口 0 ， c 坞叫一华 。 即q l ，哆 口，缈， z 卜垒专尘一c ，矿 o 。又因为对任意的f o ，都有 k o ) i 孝 0 0 ，l 而( f ) i 孝 ，i 恐o ) 孝 o o ，k ( f ) l 孝 o o ，l 墨p ) i 孝 口，国， 孝+ 笪之竖一f ，这时矿 a + l ，国， 6 + 三，国。 磊+ 掣。 证明：为了获得驱动系统( 3 2 ) 和响应系统( 3 1 3 ) 的超混沌同步，必须证明误差 系统( 3 1 4 ) 渐进稳定首先定义l y a p u n o v 函数如下： v = o 5 ( p ? + p ；+ e 3 2 + e 4 ) ， 对其求导，可得： = e i 毒l + p 2 吾2 + 9 3 香3 + e 4 e 4 = 一q p ? 一p i 气+ ( 口一国2 ) p ；+ 9 2 9 3 + ( 6 一国3 ) 9 3 2 一c e 3 8 4 + ( x ：x ：一而x 4 ) e 4 一缈4 e ； = 一彩1 口i ! + ( 口一国2 ) p 2 2 + ( 6 一毡) e ；一纨e 4 2 一p l e 4 + p 2 p 3 一c e 3 p 4 + ( x ：口；+ x 4 e l p 4 ) ：一 ( 缈。一1 ) p i + ( c 0 2 - a - i 弦；+ ( m s - b - 5 ) 口，2 + ( 纨一x ：一掣) e 。2 大连理工大学硕士学位论文 当满足以下条件时， + ( e 2 - 乏- ) 2 也，+ 孚) 2 心。一丁x 4 - - 1 2 ) 。 国l 一1 0 国2 一口一1 0 盱6 o ， 缈。一x i ，一! ：! 兰! 二1 2 ： o q 吖一t 产一 0 即q l ，国2 口+ l ， 缈3 6 + ；，国4 x ：+ 掣， 矿 o 。又因为对任意的f o ， 都有k u ) j 孝 ，i 吃o ) l 善 o o ，k o ) i f ，i x 4 0 ) i 孝 o o ，k ( f ) j 善 ， k ( ，) l f o 。，i x ；( 0 l - 口+ 1 ，缈， 6 ；要， 纨 六+ 生单翌时，旷 0 ( i = 1 ，2 ，3 ，4 ) 。尤其，当吐 o ( 以= 吐= 吐= 0 ) 时，系统( 4 3 ) 是 耦合：同样的，如 o ( 4 = 蟊= 以= o ) 是p 耦台；岛 o ( 吐= 吐= 以= o ) 是弘耦合； a 4 o ( 吐= 吐= 吐= 0 ) 是w 耦合。一般地，存在条件函数f ( 4 ，吐，吐，吐) ，当 鎏一叠一 大连理工大学硕士学位论文 巧 o ( 江1 ，2 ，3 ，4 ) 满足，( 西，畋，d 3 ，以) 0 ，那么这两个相同的振荡器将实现精确同步。 定义误差系统： 由于 e l ( t ) = x 2 ( t ) 一而o ) e 2 ( t 、) = y 2 ( ，t 、) 一咒 ( 4 4 ) e 3 ( t ) = z 2 ( f ) 一z l ( ，) e 4 ( t ) = w 2 ( t ) 一w 1 ( f ) l 五z l x 2 7 22 一z 2 e l x t e 3 1 而y 2 一五y l2y 2 e l + x l e 2 ， 【秘乞一x l z l 2 z 2 e 24 - y l e 3 垂( f ) = 一2 2 8 5 a 一+ 3 5 2 口0 一+ 乞2 d 1 2 5 一a + 一2 2 0 畋 一029a1 而01l 2 8 3 5 口一乙一一2 么一五l 儿五 一半一2 吨op - - ( 2 5 a + 2 0 + 2 d 0 2 5 a + 2 0o 1 iro o 2835口答砬一12磊一举一z毒60000 00 三反i + l 孑三 一一2 么oiin五 6 2 zi l ” 2 = 口+ 删f ) 其中p ( ，) = 【q p ) e 2 ( t ) e 3 ( t ) 气( ，) 】i 。 然后可得到如下的对称矩阵： 00 - x a 0 o0 劬0 p ( ，) ( 4 5 ) ( 4 6 ) 几类典型混沌系统的同步研究 b o ) = 丢( 4 t o ) + 4 ( ，) ) = - ( 2 5 a + 2 0 + 2 4 ) 2 4 5 a o l 2厶 2 4 5 a 2 9 a - 1 - 2 d 2 0 邯) = i ( m 飞) + 蛳) ) = 丢 00 b 一2 以 0 一z 2 - z 2 0 y 2 0 0 c 9 2 y 2 0 0 c z 2 0 c y l 吼0 ( 4 7 ) ( 4 8 ) 对于两个相同的统一超混沌系统来说，若初值( 而( 0 ) ，m ( o ) ，z 。( o ) ，w ( 0 ) ) ( x 2 ( o ) ，y ：( o ) ，z ：( o ) ，w 2 ( o ) ) ，则这两个系统的轨迹将会迅速分离，并变得不相关。但是， 对于耦合的统一超混沌系统，若耦合系数满足一定的条件，则对于任何的初始值，这两 个系统将能够达到同步。 以下定理给出两个耦合统一超混沌系统达到同步的标准。 定理4 1 对于给定的0 口1 ，若存在耦合系数西，疵，函，幽，使得如下不等式 成立，则对于任何初始条件( 而( 0 ) ，m ( 0 ) ，z 。( o ) ，w l ( 0 ) ) ，( ( 0 ) ，y 2 ( o ) ，z ：( 0 ) ，w 2 ( 0 ) ) ，两个耦合 的超混沌系统均能达到同步。 一(25口+242：-+5a24)+29a-21二25a口2+一竺芋三02以+三00 00 l 。4 9 ，1 一一 + i 一二二二一2 以+ 口l 一0 0 6 2 a + i , 2 ， 。i 其中 纠丢鬲) 肌 ，朋是统一超混沌系统的上限，即 m = m a x x , i ，l y , i ，i zl ，1w l = l ，2 ，3 ，4 ) 。 证明：构造l y a p u n o v 函数 1 2 o o 以 一 o o字 大连理工大学硕士学位论文 矿：委p t ( 咖( f ) ， ( 4 1 0 ) 它的导数为 警= 鲍) + 虿1 巩雠) = ( ，) ( 4 + 卸+ 三畎琐4 t + m t ) ) = p t o ) 曰p o ) + p t ( ，) k p ) p t o ) b 已o ) + 九。( ) p t o ) p ( ，) 。 ( 4 1 1 ) 通过计算，我们得到 k ( ) 2 专( 2 c 2 咒2 + 2 q 22 + 2 2 2 2 + 2 露 + 2 肛万磊f 历覆五爵石石砑虿藕巧曩巧两再丽) i 1 b 而卜 ( 4 ：1 2 ) 由等式( 4 1 1 ) 和( 4 1 2 ) ，可以得到 警( 曰t 风。 m 因此，如果矩阵不等式 m 三而h 。( j 是单位， 成立，那么根据l y a p u n o v 稳定性理论可知：误差系统( 4 4 ) 在零点稳定。也就是，两 个耦合的统一超混沌系统对于任意初始值实现同步。证毕。 4 1 3 实验- 9 结果 当a = 0 ，b = - 1 ，c = - 1 时，系统( 4 2 ) 为超混沌l o r e n z 系统，则两个相同耦合 超混沌l o r e n z 系统表示如下： 几类典型混沌系统的同步研究 毫= 2 0 ( y l 一而) + + d , ( x 2 一为) 舅= 2 8 x , 一x a z l m + 如( y 2 一m ) 刍= 而朔一8 z l 3 + 4 ( z 2 一z 1 ) 啦= 一嵋一mz l + 吐( w 2 一w 1 ) 岛= 2 0 ( y 2 一x 2 ) + w 2 + 匾( 墨一恐) 见= 2 8 x 2 一而z 2 一致+ 畋( y l y 2 ) 三2 = 屯耽一8 2 2 3 + 以( z l z 2 ) 如= 一w 2 一儿z 2 + 以( w l w 2 ) 这里取m = 5 0 ，d l = d e = d 3 = d 4 = 2 0 ，将其代入式( 4 9 ) ，计算得： ( 2 0 + 2 d 1 ) + 2 5 , 4 r 2 2 40 2 4 1 2 4 + 2 5 4 2 0 oo 一昙一2 4 + 2 5 , f 2 三 oo 2 = - 3 8 1 6 8 2 9 0 4 5 0 ， 1 2厶 0 o 一1 2 a , + 2 5 , f 2 ( 4 1 4 ) 满足定理4 1 。因此，当m = 5 0 ，d i = d e = 3 = d 4 = 2 0 时，对于任何初始条件 ( ( 0 ) ，y l ( 0 ) ，z ，( o ) ，( o ) ) ，( x 2 ( 0 ) ，儿( 0 ) ，z2 ( 0 ) ，w 2 ( 0 ) ) ，两个耦合的超混沌l o r e n z 系统均能 达到同步。仿真实验中，取初始值( o ) = 一l ，m ( o ) = 一1 ，z l ( 0 ) = 0 ，w l ( 0 ) =