（运筹学与控制论专业论文）一些gouldcarlitz型组合恒等式的证明.pdf

d i s s e r t a t i o no fm a s t e r2 0 1 0 c o l l e g ec o d e ：1 0 2 6 9 r e g i s t e rn u m b e r ：5 1 0 7 0 6 0 1 0 1 3 e a s tc h i n an o r m a l u n i v e r s i t y p r o o fo fs o m eg o u l d - c a r l i t zt y p ec o m b i n a t o r i a l i d e n t i ti e s d e p a r t m e n t ： m a t h e m a t i c s s p e c i a l t y ：o p e r a t i o n a lr e s e a r c h e sa n dc y b e r n e t i c s d i r e c t i o n ：c o m b i n a t o r i c s a d v i s o r ：a s s o c i a t ep r o f e s s o rg u oj u n w e i n a m e ： c h a n gz h a n g l i a n g a p r i l2 0 1 0 s h a n g h a i 华东师范大学学位论文原创性声明 郑重声明：本人呈交的学位论文一些g o u l d - c a r l i t z 型组合恒等式的证 明，是在华东师范大学攻读硕士学位期间，在导师的指导下进行的研究工作及 取得的研究成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发 表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中 作了明确说明并表示谢意。 作者签名：日期：hfd 年厂月 捆 华东师范大学学位论文著作权使用声明 一些g o u l d - c a r l i t z 型组合恒等式的证明系本人在华东师范大学攻读学 位期间在导师指导下完成的硕士学位论文，本论文的研究成果归华东师范大学所 有。本人同意华东师范大学根据相关规定保留和使用此学位论文，并向主管部门 和相关机构如国家图书馆、中信所和“知网 送交学位论文的印刷版和电子版； 允许学位论文进入华东师范大学图书馆及数据库被查阅、借阅；同意学校将学位 论文加入全国博士、硕士学位论文共建单位数据库进行检索，将学位论文的标题 和摘要汇编出版，采用影印、缩印或者其它方式合理复制学位论文。不保密，适 用上述授权。 导师签名：本人签名： 日期：知c 口年厂月w 日 常章亮硕士学位论文答辩委员会成员名单 姓名职称单位备注 张晓东教授上海交通大学数学系i 糠 洪渊教授华东师范大学数学系 杜若霞副教授华东师范大学数学系 l c a r l i t z 有如下恒等式： m l ，m n - - - - 0 摘要 ( m l + c e l ) m l ( 砜慨) 篆蔫一( 塾叫眠 ) ， ( 爿c ) 其中码= ：1m i a o ，缸 = x ie x p - - e j l la t j x j ，i = 1 ，2 ，礼) ，0 t 1 ，q n 为 任意实数a ( x l ，x 2 ，z n ) = d e t l s i j a j 钇i 二! n ，如为k r o n e c k e r 符号 利用多变量拉格朗日定理，我们给出了( 木) 和下式 f ：一 ，1 ，7 m 2 0k f l = l ( a r k - f r k + 仇l 一。1 ) 击 1 ( n 2 。( 1 一( o 一1 ) x i ) 一x l - j m 厩j 可 f ；莎 的证明并用( 木) 式的衍生结果证明了如下几个恒等式 i = 0 t l i = 0 m j = o m j = 0 z z z z( g ji z 、，秒m + - j 名、( 一名) u n + 一j 。z ) = ( 这里r m + 1 = 7 1 ) ( z 未) ( ：) ， ( x - 兰鱼i z ) 盟( y + i z ) ( zj zk i n - j ( 一名) ( 一m 竹z 一+ i 歹名) = 等茅( 一亿m z ) i y( 蚪m 秒) = 一i i- z + 佗 高y 慧端i z ) ( uj z ( 舛秒乞舭“z ) ( 挈j 娩) ( 1 iz ) ( o i z ) ，( z + + 佗z 一 + ) 歹m 一 ， 、死一 =(x+丽y)u-nmz2fy)uz ：秒) ( ：) = _ i- ( z + m n 。 最后，我们证明了 薹( z y + i z ”、一一v + j 。z ) 是z + y ，u + v ，z 的多项式 关键词：多变量拉格朗日定理；二项式系数模拟；恒等式 铷 a b s t r a c t l c a r l i t zh a v ef o l l o w i n gi d e n t i t y ： 轰_ o ( m l - - o i l 严c 砜帆p 鲁等一c 喜础心， ， ( 木) w h e r e 码= ：1m i a o ，钆i = x ie x p 一la o x j i = 1 ，2 ，礼) ，q 1 ，q n r a ( x l ，x 2 ，) = d e t l 如一a , j x , i ；2 n b ya p p l y i n gm u l t i v a r i a t el a g r a n g et h e o r e m ，w ep r o v e d ( ) a n d 乏2 。亘( a r k + r k + l 一1 ) 击 1 ( 1 l i = 1 ( 1 一( n 一1 ) z t ) 一x l x m ) n 篷l ( 1 + x k ) n ( w h e r er m + 1 = r 1 ) a l s o ，b ya p p l y i n gs o m ed e r i v e di d e n t i t i e sf r o mi d e n t i t y ( 木) ，w ec a np r o v ef o l l o w i n g i d e n t i t i e s z z z z( z ji z 、f ，k y m + - j z 、( 一名) u 他+ 一j 。z ) =( z ：秒) ( 差) ， 骞薹龋( z 一；) ( 一名) ( 一m z + 豇) = 等( 一孑z ) ( z ：可) nm f f t 一t ：一 i - - - - 0j = 0高y 蔫端i z ) ( uj z ( 蚪弩卜娩) ( 篙z ) ( 。iz ) ( 2 i 名) ， + + 扎名一+) 歹m 一歹 n 一 = ( x + y 鬲) u - 一n m z 2 u ) u ( 。：秒) ( ：) ( z +m 佗 a tl a s t ，w ep r o v e d 妻j = o ( z 一( 芝放一v + j z ) i st h ep o l y n o m i a lo fz + y ，似+ ，z k e y w o r d s ：m u l t i v a r i a t el a g r a n g et h e o r e m ；f a c t o r i a la n a l o g ；i d e n t i t y i i m 间 n 鲫 础 第一章 1 1 1 2 第二章 2 1 2 2 2 3 2 4 目录 引言1 序论1 用到的定理6 组合恒等式的证明8 关于一个定理的说明8 恒等式( 1 1 1 ) 一( 1 1 3 ) 的证明9 组合恒等式( 1 1 9 ) 一( 1 1 1 1 ) 的证明1 3 组合恒等式( 1 1 1 7 ) 的推广及证明1 5 第三章小结1 8 参考文献1 9 作者申请硕士学位期间完成的工作2 2 后记2 3 一些g o u l d c a r l i t z 型组合恒等式的证明 第一章引言 1 1 序论 组合恒等式的证明一直是组合数学研究方向的一个热点，近年来组合恒等式的 证明层出不穷，出现了很多新的恒等式及证明，证明方法也有很多种，主要的证明 方法有代数法和组合法，代数法就是对恒等式进行变形，拆分，改变形式，直至符合 某个已知的公式或是已经证明了的恒等式最常见的代数法是生成函数法，就是求 出恒等式两边的生成函数，然后验证生成函数相等或是对所得的生成函数进行比 较系数，从而得到所要的恒等式同样，由已知的一些函数，同样可以通过变形，比 较系数等方法得到新的恒等式 1 9 7 4 年，l 。c a r l i t z 【4 1 应用m a e m a h o n sm a s t e rt h e o r e m ( 参见【8 ，2 0 ) 证明了 如下结果 札景：。铲一砩”筹蔫= 池心，而) ， ( 1 1 1 ) 并给出如下的一般情形： ( 而1 + 口1 ) m 1 ( 砜+ q n ) m l ，m n = o m 。u ? 1 乱孑” m l ! m n ! = e x p 口t z t ) c z - ，z z ，z n ， c 1 2 ， 在上述公式中，觋= ：lm i a i j ，地= x ie x p 一la i j x j ，i = 1 ，2 ，佗) ， o l l ，口n 为任意实数 a ( x l ，x 2 ，z n ) = 1 一x l a l l - - x 2 a 2 1 一z n a n l 1 - - x l a l 2 1 - x 2 a 2 2 - - x n a n 2 - - x l a l n - - x 2 a 2 n 1 一z n a n t l 一些g o u l d c a r l i t z 型组合恒等式的证明 本文中我们将给出用多变量拉格朗日定理( 参见【7 ，1 2 ，3 0 ) 证明( 1 1 1 ) 一 ( 1 1 2 ) 以及下式 乏。亟( a r k + r k + l 一1 ) 而 i i 茎j 可_ = 二_ 网z 0 一x l z 。) 兀篷( 1 + x k ) n ( 1 1 3 ) 这里r m + 1 = r l ，a 1 1 9 7 7 年l c a r l i t z 【5 】重新对( 1 1 2 ) 进行探讨，并用因子模拟的方法对( 1 1 2 ) 进行模拟，得到了一系列的反演公式，衍生出一些新的恒等式 例如其中就有以下定理 定理1 1 记 则 p )( 咖= 托) ( 叭窘邯) ， = a m ，n ( q + a ，p + ) ， ( 1 1 4 ) 幽，肛1 ) k 加如) = a m + c n + a + q 一1 ) ( b m + d n + 记1 3 + 一1 ) c 1 1 s ， 在本文中，将用生成函数法【2 9 】( 即定理1 1 ) 来证明下列三式的二项式系数模 拟【1 3 】的结果o t - - 式，是黄凤英和柳柏濂【17 】提出的a b e l 型多项式恒等式 ( 咖= 壹i = o 妻j = o ( 0 ( 加一z 广坛朋别( u 拙广， ( 1 1 6 ) 2 i + 幻 + 畚 却r 貉 一1 旦州 俨 口 蔫竺r 磊 展 k 锄 一甜 a 一0， 、0、弋以n枷。脚 励 m脚m脚 的 一 意 帐 ， 一些g o u l d c a r l i t z 型组合恒等式的证明 ( z + y + n z ) ( - m z ) nx + 耖) m 一1 ( 孑) ( 了) z ( x - i z ) j 一1 ( y + n z ) ( 可+ t z ) m j 一1 ( 一歹z ) ( 一m z + 歹z ) n 一 ， 【( 。+ y ) u n m z 2 】( z + 秒) m - 1 u n 一1 = ( 了) c x + y + n z ) ( 1 1 7 ) ( z + y + 佗名一i z ) 歹一1 ( 一n z + i z ) m 一( u + m z ) ( - j z ) ( 钍+ 歹名) n 一一1 ) ( 1 1 8 ) 这里约定0 0 = 1 等式( 1 1 6 ) 一( 1 1 8 ) 的二项式系数模拟为 一z z( z j 名、，可m + - i j z 、( 一名) u n + 一j 。z ) = ( z ：可) ( ：) ， i i 端( zji 名k i n - j ( 一名) ( 一m n z 一+ i 歹z ) = 等等( 一扎m y名) ( z 黔 = 一i l il z + 扎、m 7 ( 1 1 9 ) ( 1 1 1 0 ) 高y 羔n z 端j z ( 蚪弩卜娩) ( 哪m 臀j ) ( 。iz ) ( ? i z )( z + + 一z z ) ( 心+) 歹 一 ，佗一 = ( x + 而y ) u - - 一n m z 2 y ) u ( z ：y ) ( 凳) ， = ：il l_ ( z + m 、n 而这些式子与r o t h e 【2 7 卷积公式极其相似 我们回顾一下r o t h e 卷积公式【3 1 】 z k z ( z 韵( 纩? z ) = ( z 一繁) = ( z 玲 3 ( 1 1 1 1 ) i ( 斜y 扎m 嬲) ， ( 1 1 1 2 ) ( 1 1 1 3 ) 。伽 n：i = 仇：i n 铷 一z m ! 豆 n 铷 。舢 n 鲫 m ：豆 n 铷 n 脚 一些g o u l d c a r l i t z 型组合恒等式的证明 等式( 1 1 1 2 ) 和( 1 1 1 3 ) 的证明参见 i s ，2 4 ，2 8 b l a c k w e l l 和d u b i n s 【3 】还给出 了( 1 1 1 2 ) 的组合证明不仅如此，m o n h a n t y 【2 3 利用格路模型 2 】给出了不同的 组合证明 g o u l d ( 参见【9 ，l o ) 重新研究了( 1 1 1 2 ) 和( 1 1 1 3 ) 得到如下有趣的恒等式 喜( z 繁) = 妻k = o k “z ) ( 可- 一e + 娩) 2 0 0 8 年，郭军伟【1 4 创建了一个新的字模型，给出了( 1 1 1 3 ) 以及( 1 1 1 4 ) 的 组合证明 若记a = ( a l ，o m ) n m ，b = ( b 1 ，6 饥) c m ，l a i = 0 1 + + o m ， o ! = a t ! ! ，a + b = ( a l + b l ，a m + ) ，a b = a l b l + + n m k ，以 及b 。= b l 町6 m ，对复变量z ，以及他= ( n 1 ，r i m ) ，0 = ( 0 ，0 ) z m 定 义多变量系数( 三) 有 ( 三) 2 ；z 一1 z i 佗i l 佗l 茎三_ 竹1 ，n m n m m o n h a n t y 【2 1 】用生成函数证明了( i i 1 2 ) 和( i i 1 3 ) 的多元推广式 薹f 两者目两( 一k 轧名) ( 纩等二r ) ，乏：( z 一南z ) ( y 一( n 一庇) 。z ) n 一庇 = i 干羔y ( z + ：佗名) = i - z + 一礼名 n ( z 一0 名) ( 秒：二二名) = ( z ：? ， 之后m o n h a n t y 和h a n d a 【2 2 提出了如下的恒等式 薹喀) ( 秒：二f ) _ 一。( x + u - i i ) ( 1 忌k 1 ) 它是下面的j e n s e n s 1 1 】恒等式的多元形式 喜( z ( 乙二警) = 砉( z + 一y - 七) 少 4 、-，、l， 5 6 1 1 1 1 1 1 ，j， 一些g o u l d c a r l i t z 型组合恒等式的证明 最近，郭军伟( 参见【1 6 ) 又改进了该字模型，给出了( 1 1 1 5 ) 和( 1 1 1 6 ) 以及 下式( ( 1 1 1 4 ) 的一般式) 的组合证明 薹( 一( 可：二) = k 妻= o ( 蚪卜k 舡名) ( 秒- 一e + k 吃) 7 ， 在本文中，将对( 1 1 1 7 ) 作进一步推广，并给出证明 5 一些g o u l d c a r l i t z 型组合恒等式的证明 1 2 用到的定理 介绍多变量拉格朗日定理之前，我们先回忆一下一元的拉格朗日定理( 参 见【1 ，1 2 ，2 5 ，2 6 ，3 0 1 ) ，也叫拉格朗日定理： 定理 1 2 设( 入) 捌【1 则存在唯一的形式幂级数叫( 亡) r o ，使 得u = ( u ) 1 如果f ( a ) r ( ( a ) ) ，则 妒m 小净州”州啪， 抓0 川刈 i 【a o 】厂( u ) + 盼一1 】，7 ( 入) l n ( ( 入) 一1 ( o ) ) ，当n = 0 2 如果f ( a ) r 【，则 护= f ) l 一o ) ) ，其中= 盼挖j f ( a ) n ( a ) 礼o 下面是推广的多变量拉格朗日定理： 定理1 3 ( 多变量拉格朗日定理) 设f ( a ) r ( ( 入) ) ，妒1 ( 入) ，( 入) 冗【n 】1 其中入= ( a l ，入m ) 若记0 2 i = 如) ，i = 1 ，m ，u = ( u l ，) 令垂= ( l ，m ) ，t = ( t l ，亡m ) ，南= ( k l ，k m ) ，0 = ( 0 ，0 ) 则有 c 删= 掣州州卜志掣地川 ( 1 2 1 ) 2 如果f ( 入) r 【n 】，则 南iu：u。，2篆t知t入豇，fc入，圣知c入，=ch，k， c 1 2 - 2 ， 6 一些g o u l d c a r l i t z 型组合恒等式的证明 注：这里的r ( ( 入) ) = t c r , k f q r ，c a r d i c i o ，i o ) o ( 1 + z ) 3 p 1 + 时 1 r l ，r m 0 这里+ 1 = r 1 m 七= 1( 2 时芝- 1 ) ( ( 1 一x ) m z m ) ( 1 + z ) m n z r l + r 2 + + n n ( 1 + z ) 3 ( r 1 + r 2 + + r m )k f l = l ( r k + 2 r k + 他l 一。1 ) ( 1 2 r e x m ) ( 1 + x k ) m n 1 2 ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) 禹 、l ， 1 一 n 一 1 1 奄 十r 七 r2+ 七 r m n 一些g o u l d c a r l i t z 型组合恒等式的证明 2 3 组合恒等式( 1 1 9 ) - ( 1 1 1 1 ) 的证明 等式( 1 1 9 ) 的证明：定理1 1 的( 1 1 5 ) 式可以改写为 塾_ ) ( 咖“hc 一( m - 力帕一) ( 酞一曲+ d 叫( m - 力邯。1 ) = ( a m + c n + 札。1 ) ( b m + d n ? 邯一) 则令a = d = 0 ，b = c = 一z ，o l = 钍+ 1 + m z ，p = y + 1 + n z ，口7 = 0 ，p 7 = z ，代入 上式即可得到( 1 1 9 ) 式 等式( 1 1 1 0 ) 一( 1 1 1 1 ) 的证明：定理1 1 的( 1 1 4 ) 式可以改写为 nm a i ，j ( 口，p ) a n t ，m j ( q ，p 7 ) = a n ，m ( q + q 7 ，p + p 7 ) ， 则令a = d = 0 ，b = c = 一z ，o l = 0 ，p = z ， 可得到( 1 1 1 0 ) 式 口 ( 2 3 1 ) 口= 0 ，p 7 = y + n z ，代入( 2 3 1 ) 式即 同理，若令a = d = 0 ，b = c = 一z ，q = 0 ，p = z - t - y + n z ，q 7 = 札+ m z ， 卢7 = 0 代入( 2 3 1 ) 式即可得到( 1 1 1 1 ) 式 同时，我们在证明上述三式的过程中得到了下面的a b e l 型恒等式 z n z - i - 可) m u n = nm ff ：一t 二 i = oj = o( ：) ( 了) 。( z i 力j 一1 ( y + i z ) m j ( u 一歹z ) u z ) n i ， 同样的它的二项式模拟也是一个恒等式 z z z( z 一( 端) ( 心一( 0 。) = z 一亿z( z ：y ) ( 竺) 口 ( 2 3 2 ) 不仅如此，在式( 1 1 9 ) - ( 1 1 1 1 ) 以及式( 2 3 2 ) 中，若将z ，y ，乱替换为x t ，y t ，u t ，且 两边同乘以t m ，再令t 一两边取极限，可得到与其对应的的a b e l 型恒等式 1 3 n 础 m ! 豆 n：l 一些g o u l d c a r l i t z 型组合恒等式的证明 以等式( 1 1 9 ) 为例，替换后如下 x t i z( z 亡3 m - j ( 一孑z ) u n t + 一j 。z ) z m n = ( 疵( 珍一t l ， 再令t _ o 。两边取极限，可得 ( z + ) m u n 子 ( ：) ( 了) z ( x - i z ) 歹一1 ( 剪+ t 名) m j ( 一歹z ) ( u + 歹名) n 一 即为黄风英和柳柏濂证明的a b e l 型恒等式( 1 1 6 ) 1 4 m ：i i n 础 m 伽 n：l 一些g o u l d c a r l i t z 型组合恒等式的证明 2 4 组合恒等式( 1 1 1 7 ) 的推广及证明 等式( 1 1 1 7 ) 拓展后的二元情形 定理2 5 假设z ，3 ，锄，0 t ，j 2 则有下面的等式成立： 妻i = 0 妻j = o ( 现“z r l 2 ) ( 沈“芎。锄) ( 纨+ 2 豇1 2 ) ( 时m i 竺) n 一2一， = 壹i = o 妻j = o ( 钆托1 。；z l l - - j z l 2 11 现托2 一锄2 ) ( 秒l s 1 ：兰：1 + 歹忽2 ) ( 耽一5 2 未兰；+ 歹勿2 ) 给出等式( 2 4 1 ) 证明之前，我们首先了解如下引理【5 1 5 引理2 6 下面的等式成立： m n - - - - o( 咖+ = 一1 ) ( 匕郸一) m n 1 一a x d y + ( n d b c ) x y ( 1 + z ) 口( 1 + 可) 卢 ( 2 4 1 ) ( 2 4 2 ) 其中乱5 两可考盯干驴， = 西两豸干一，口，b ，c ，d ，q ，p ，z ，y ，均为非负实数 定理2 5 的证明：将x l = q ，x 2 = p ，a = 一z 1 1 ，b = 一z 2 1 ，c = 一z 1 2 ，d = 一z 2 2 ，以 及相应的u1=上(1_i_x)z11+1(1_by)=21，钞l=两可西南：矛两代入定理26中等式(242) 可得 薹。( 吼叫1 1 m m - - z 1 2 01 ) ( x 2 - - z 2 1 m n - 锄一1 ) u 槲 1 一z l l x z 2 2 y + ( z 1 1 2 2 2 一z 1 2 2 2 1 ) x y 1 5 ( 1 一z ) 观( 1 一秒) 勘 一些g o u l d c a r l i t z 型组合恒等式的证明 则有 1 一z l l x z 2 2 y + ( z l l z 2 2 一z 1 2 2 2 1 ) x y ( 1 一z ) $ 1 + v 1 ( 1 一可) z 2 + 管2 = 羔0 0 。( 饥均1 叫1 m l m 一仍。) ( 抛怕咱? 咱2 1 ) u 槲坪a 3 ， 另一方面 ( 1 一z l l x z 2 2 y + ( z 1 1 2 2 2 一名1 2 2 2 1 ) z 可) 2 ( 1 一z ) 茁1 + 可1 ( 1 一可) 。2 + 抛 ( 观q 1 1 = z 仍。1 ) ( 沈叫2 1 巧锄一1 ) 让m 喜( 圹铀歹产一) ( 纩锄歹。1 ) 州 = 熹妻妻( 一如歹产。1 ) ( 一锄歹。1 )m n = oi = 0j = o 、 j7、7 ( 秒1 一z 1 1 m 一要二歹1 2 礼一d 一1 ) ( 耽一钇“m j n ) 一- - 。z 2 2 n d 一1 ) 心? 7 ( 2 4 4 ) 所以，由( 2 4 3 ) 和( 2 4 4 ) 对比可知，对于每一组固定的m ，佗而言 妻i = 0 妻j = o ( 观一1 1 歹产。1 ) ( 现咱产。1 ) ( 秒1 一z 1 1 m m j ) 一- 歹z 1 2 礼一谚一1 ) ( 沈一勿“m j 佗) 一- - 。z 2 2 礼一d 一1 ) ， m j 佗一o 都是z 1 + y 1 ，z 2 + y 2 的多项式从而只需重新给变量赋值，即可得 一t z ? 一歹z 1 2 ) ( z 2 一i z 2 歹1 一j 记2 ) ( 可l + i 竹z z z + ；歹名1 2 ) ( 抛+ m i z 2 1j 歹r - 歹勿2 ) ， 也是z 1 + y 1 ，z 2 + y 2 的多项式故定理得证 下面我们给出定理2 5 的一般和特殊情形 1 6 口 一 = r m 伽 n：l 一些g o u l d c a r l i t z 型组合恒等式的证明 定理2 7 设p = p 1 ，) ，q = ( 口l ，q m ) n m ；z = ( 锄) m m ，n ， 记z t 是矩阵z 的转置，令b ( p ，q ) = n 銎1 ( 象) 贝, l g r b ( p 一忌z t ，k ) b ( q + z t , 仡一知) k = o n b ( p + g 一鬼z t ，k ) b ( q g + z t , n 一惑) 它可以用以下引理【5 】来证明 引理2 8 下面的等式成立： m l ，r n t i = o n t = 1p 麓。) 乱卜 t o ( x l ，z n ) ( 1 + x 1 ) 叽( 1 + z n ) 其中= 既1 - i j 1 ( 1 + 巧) 一d 玎，a 0 ( x 1 ，z n ) = d e t l ( 1 + 瓤) 一x i a i j i ， 1 i ，jn ，如 若在定理2 5 中取特殊情况z 1 1 = z 2 2 = 0 ，z 1 2 = z 2 1 = z ，我们可以得到下式 ( z 1i 歹z ) ( z 2 了z ( y l + j ：名) y m 2 + 一i j z ) nm ：rr 乙j 乙 i = 0j = o( z 1 + ? 一歹z ) ( z 2 + 萝一2 z ) ( 秒1 二 二亨歹名) ( 耽二置三亨z ) 上式可以重新写为： 也即 ( z 一( 芝欺一( = ) ( z + 0 2 名) ( 秒- - m e 一2 - 歹1 - z ) ( 乱+ g 。1 一歹名) ( 钞- - 竹e 一24 ；- j z ) 推论2 9 表达式 i = 0j = o( z 一( 裟放一( = ) 是z + y ，乱+ 口，z 的多项式 1 7 m 触 n 渤 m 伽 竹铷 m 伽 件：l = m 仆 一些g o u l d c a r l i t z 型组合恒等式的证明 在文中我们给出了等式 第三章小结 ( z 1 一z ? 一歹名1 2 ) ( z 2 一i z 2 歹1锄2 ) ( 玑+ 笔：亨j 魂2 ) ( 耽+ 竺：；歹沈2 ) = 壹i = o 妻j = o ( x l + l - - ；i z l x - j z x 2 ) ( 现托2 一锄2 ) ( 玑叫12 铀) ( 圹包：鸳州锄) 的代数证明 在探讨等式证明的过程中我们也在尝试找到它以及下述表达式 ( z 一( 芝；)( u ( 竺) 的组合解释，但未能如愿今后，这项工作还将继续 1 8 m 触 n ：i m 舢 。御 参考文献 参考文献 【1 】m a i g n e r ，ac o u r s ei ne n u m e r a t i o n ，s p r i n g e r - v e r l a g ，b e r l i n ，2 0 0 7 【2 】g e a n d r e w s ，t h et h e o r yo fp a r t i t i o n s ，c a m b r i d g eu n i v e r s i t yp r e s s ，c 彻幽r i d g e ， 1 9 9 8 【3 】d b l a c k w e l la n dl d u b i n s ，a ne y i n l i e n t a r yp r o o fo fa ni d e n t i t yo fg o u l d ，s b 0 1 s o c m a t m e x i c a n au ( 1 9 6 6 ) ，1 0 8 - 1 1 0 f 4 】l c a r l i t z ，a na p p l i c a t i o no fm a c m h o n sm a s t e rt h e o r e m ，s i a mj a p p l m a t h 2 6 ( 1 9 7 4 ) ，4 3 1 4 3 6 【5 】5l c a r l i t z ，s o m ee x p a n s i o n sa n dc o n v o l u t i o nf o r m u l a sr e l a t e dt om a c m h o n sm a s t e r t h e o r e m ，s i a mj m a t h a n a l 8 ( 1 9 7 7 ) ，3 2 0 - 3 3 6 【6 】l c a r l i t z ，m u l t i p l eb i n o m i a la n dp o w e rs u m s ，h o u s t o nj m a t h 6 ( 1 9 8 0 ) 3 3 1 3 5 4 f 7 】i j g o o d ，g e n e r a l i z a t i o n st os e v e r a lv a r i a b l e so fl a g r a n g e se x p a n s i o nw i t ha p p l i c a t i o n st os t o c h a s t i cp r o c e s s e s ，p r o c c a m b r i d g ep h i l o s s o c 5 6 ( 1 9 6 0 ) ，3 6 7 - 3 7 9 【8 】i j g o o d ，as h o r tp r o o fo fm a c m a h o n s m a s t e rt h e o r e m ，p r o c c a m b r i d g ep h i l o s s o e 5 8 ( 1 9 6 2 ) ，1 6 0 f 9 】h w g o u l d ，s o m eg e n e r