（基础数学专业论文）bck代数的广义模糊蕴涵理想和广义模糊bck滤子.pdf

b c k - 代数的广义模糊蕴涵理想和广义模糊b c k 滤子 摘要 本文应用了模糊点与模糊子集之间的关系，首先，给出b c k - 代数的( ，) ( ( ，v q ) ， 心v g ) ) 一模糊蕴涵理想的定义，对其性质进行研究，得到了b c k - 代数的模糊子集为 b c k - 代数的( ，) ( ( ，v q ) ，心vg ) ) 一模糊蕴涵理想的充要条件，并描述了b c k - 代数 的( ，) 一模糊蕴涵理想与模糊理想，模糊子代数之间的关系 接着，用上述方法，给出了b c k - 代数的 ，p ) ( 心vg ) ) 一模糊b c k - 滤子的概念， 讨论了b c k - 代数的 ，p ) 一模糊b c k - 滤子的性质，继而，又将b c k - 代数的模糊b c k - 滤子概念作了进一步的拓展，引入了b c k - 代数的( h ，九2 ) ( ( ，v q ( h ，k ) ) ) 一模糊b c l 卜滤子 的概念。并研究了( ，九2 ) 一模糊b c k - 滤子与( ，v q ( h 。k ) ) 一模糊b c k - 滤子间的关系 关键词 b c k - 代数，理想，滤子，模糊蕴涵理想，模糊b c k - 滤子 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , b yt h eu s eo ft h er e l a t i o n sb e t w e f u z z yp o i n t sa n df 岫s u b s e t s ，f i r s to f a 1 1 ，t h ec o n c e p to f ( ，) ( ( ，v q ) ，( e , evg ) ) 一f u z z yi m p l i c a t i v ei d e a lo fb c k - a l g e b r a si s g i v e n a n dt h e n , t h ep r o p e r t i e so f ( ，) ( ( ，v q ) ，( ，v 鼋) ) 一f u z z yi m p l i c a t i v ei d e a la l e i n v e s t i g a t e d ，s o m en e c e s s a r y a n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n st h a taf u z z ys u b s e ti s a ( ，) ( ( ，v q ) ，( ，vg ) ) - f u z z yi m p l i c a t i v ei d e a lo f b c k - a l g e b r a s a l ea c q u i r e d m o r e o v e r , t h er e l a t i o n sa m o n g ( e , e ) - f u z z yi m p l i c a t i v ei d e a l s ，f u z z yi d e a l sa n df u z z ys u b a l g e b r a so f b c k - a l g e b r a sa l ed e s c r i b e d t of o u o w , b y t h eu s eo f t h es a m ew a ya st h ea b o v e ，t h en o t i o no f ，p ) ( ( ，e v q ) ) 一 f u z z yb c k - f i l t e r si sg i v e n , a n dt h ep r o p e r t i e so f ，p ) 一f u z z yb c k - f i l t e ra l ed i s c u s s e d ， a f t e r w a r d s ，t og oas t e pf u r t h e r , t h ed e f m i t i o no ff u z z yb c k - f i l t e r si nb c k - a l g e b r a si sa l s o g e n e r a l i z e d ，t h ec o n c e p to f ( h ，九2 ) ( ( ，v q ( k 。k ) ) ) 一f u z z yb c k - f i l t e r si nb c k - a l g e b r a si s i n t r o d u c e d , ，a n dt h er e l a t i o no f ( 九i ，九2 ) 一b c k - f i l t e ra n d ( ，v q ( k ，k ) ) 一b c k - f i l t e r i s i n v e s t i g a t e d k e yw o r d s b c k - a l g e b r a , i d e a l , f i l t e r , f u z z yi m p l i c a t i v ei d e a l , f u z z y b c k - f i l t e r 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。学校 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。本人允许 论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存 和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研究所等机构将本学位论 文收录到中国学位论文全文数据库或其它相关数据库。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：刘盈盏指导教师签名： 7 o o 年占月j 日 年月e l 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西 北大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的 同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢 意。 学位论文作者签名：浏银率 2 d d 年石月 日 西北大学硕士学位论文 第一章绪论帚一早硒比 1 1 模糊集理论的概述及研究现状 经典数学是建立在经典集合论的基础之上而经典集合论描述的对象具有确定性等 重要特征在当时，这些性质已经满足了人们认识和研究客观现象的需求，随着现实生活 和客观现象的复杂化，逐渐出现了这样的问题：人们所研究的对象不具有确定性，即模 糊性，如：好坏、高矮、胖瘦等概念，这些概念的涵义是模棱两可的现实生活中普遍存 在着这种模糊现象，随着对客观世界研究的深入和拓广，实践证明经典数学理论有其局 限性，因此，经典数学理论面临着巨大的挑战，解决不了类似这样的问题，这说明经典数 学有待于发展，以满足人们认识客观世界的需要 针对上面提到的问题，于1 9 6 5 年，美国的计算机与控制论专家z a d e hl 久( 扎德) 【l 】 教授引入了模糊子集的概念：令x 为一个集合，x 上的模糊子集是这样一个函数 肛：x _ 【0 ，l 】这个概念能使得人们能够用精确的数学语言对模糊性进行描述，它标志 了模糊集理论的诞生模糊集理论是利用隶属度函数的数学方法认识和处理了现实生 活及理论中出现的模糊问题，适应了信息论、现代控制论、计算机科学及系统论的发展 需要也为研究和处理其它不确定性问题提供了方法并在理论和实践中得到广泛应 用，尤其在模糊决策、模糊关系方程及模糊模式识别等方面。与此同时，关于模糊集方 面理论研究也正在深入下去，一些学者将模糊集的概念应用到经典数学理论上，得到了 和经典数学类似的模糊代数结构，如：1 9 7 1 年，作者r o s e n f e l da 【2 】将它应用到群上，提出 了模糊子群的概念：设斗为群石的模糊子集，若对任给的x , y x ，有 p ( 】吵) p ( x ) t k y ) ；p ( 工1 ) p ( x ) 则称为群x 的模糊子群 模糊子群的出现，标志了模糊代数的产生从此开始了在模糊代数结构方面的探索 与研究1 9 8 0 年，日本学者k u r o k in 【3 弓】开始对模糊子半群进行研究，提出了模糊子半群、 模糊理想的概念，对半群上的各模糊结构进行了详细的研究而这些概念都是一般子半 群及理想等定义的延伸它们均为从模糊代数研究开始以来，模糊代数领域最活跃的研 究内容于1 9 8 2 年，l i u 6 将模糊子集的概念进一步引入到群g 上，得到了模糊不变子群， 第一章绪论 等概念，促使对模糊代数的研究更进一步深入到各代数分支中如：模糊子格7 1 、b c k - 代 数的模糊理想【8 1 等 1 2 b c k b c i 一代数及其研究进展 逻辑代数是近代科学，如：人工智能，控制论，及计算机科学等许多科学领域推理机 制的代数基础而b c k b c i 代数为两类重要的逻辑代数日本学者i s e k ik 及i m a iy 嘲于 1 9 6 6 年引入了b c k - 代数的概念，即 一个系统( z ；，0 ) 称叫做一个b c k - 代数，如果其满足以下条件： ( 1 ) ( ( 工j ，) ( 工z ) ) ( z j ，) = 0 ； ( 2 ) ( 工( z j ，) ) j ，= 0 ； ( 3 ) 工宰x = 0 ； ( 4 ) 0 工= o ； ( 5 ) 工j ，= o n y * x = 0 蕴涵戈= y 同年，k i s e k i 1 0 1 提出- j b c i 代数，把它视为b c k - 代数的推广，即 在上述定义中去掉条件( 4 ) ，则称( 置乞0 ) 为一个b c i 代数 自b c k b c i 代数的概念被引入以来，许多学者开始对其进行扩展和研究于1 9 7 5 年，i s e k i 鸱t 锄a k as 又给出了交换b c k - 代数，正定关联及关联的概念 1 1 , 1 2 ： 一个b c k - 代数称之为交换的，如果其满足工人y = y 工，记工 y = y o ，工) ( 注： 如果石为一个交换的b c k - 代数，则记工h y = g l b x ，y ) 一个b c k - 代数称之为正定关联的，如果其满足0 j ，) 幸z = o 力o z ) 一个b c k - 代数称之为关联的，如果其满足工( y x ) = x 而上面这三类b c k - 代数间有着紧密联系，于1 9 7 8 年，i s e k ik 与t a n a k as 1 3 1 又有一个 重要的发现，即下面的结论： 一个b c k - 代数为关联的充要条件是：它为正定关联的和交换的 其他众多学者也对b c k - 代数的性质进行了更为深入的研究学者费秀海、高建华 等人刻画了有界交换b c k - 代数同格蕴涵代数及m v 代数间的关系随后，费秀海与胡方 汉等人又研究了对合b c k - 代数的性质，并描述了对合b c k - 代数同有界交换b c k - 代数 的关系作者郑淑红研究了有关b c k - 代数的模型论的性质 2 西北大学硕士学位论文 随着对b c k - 代数研究的推进，于1 9 9 1 年，作者x io q 【8 】把模糊子集的概念引入到 b c k - 代数中，给出了模糊理想的定义： b c k b c i 代数的模糊子集为b c k b c i 代数的模糊理想，如果它满足以下条件： ( 1 ) v x x ，p ( 0 ) p ( x ) ； ( 2 ) v x ，j ，x ，p ( 工) r a i n p ( ( 工。y ) ) ，p ( j ，) 从此开始了对模糊b c k - 代数的研究，作者j u ny b 讨论了b c 尉b c i - 代数的广义 模糊子代数的性质作者杜娟1 8 1 在她的硕士毕业论文中，研究了更为广泛的模糊子代数 的性质，并进一步探讨了模糊b c k - 代数的一些理想的特征在众多学者的努力下，有关 b c k - 代数的模糊理论以惊人的速度发展着，其中以模糊理想和模糊滤子的发展最为迅 速 1 9 9 8 年，作者j 衄y b ，h o n gs m ，m e n gj 1 9 1 给出了模糊b c k - 滤子的概念 b c k - 代数的模糊子集p 为b c k - 代数的模糊b c k - 滤子，如果它满足以下条件： ( 3 ) v x x ，r t ( d p ( 功； ( 4 ) v x ，j ，x ，“( x ) m i n p ( ( 工y ) ) ，p ( j ，) 在有界b c k - 代数的限制下，作者孟彪龙1 2 0 】研究了模糊b c k - 滤子、模糊集生成的模 糊b c k - 滤子以及b c k - 代数的所有模糊b c k - 滤子组成的集合的性质等 对偶的，作者孟m e n gj ，g u ox i u e 2 q 讨论了b c k b c i 代数的模糊集生成的模糊理 想、模糊理想格的性质，进一步研究了素模糊理想理论 而在交换b c k - 代数的限制下，作者j u n y b 及x i n x l 【2 2 1 研究了b c k 代数的模糊素 理想和可逆模糊理想的性质不久，作者孟杰等矧又给出了b c k - 代数的模糊蕴涵理想的 定义，研究了模糊蕴涵理想的性质，描述了模糊蕴涵理想与模糊交换理想、模糊正蕴涵理 想之间的关系 1 3 问题的提出 热爱数学的众多学者在对模糊代数结构作进一步探讨的过程中，对模糊集的值域 【o ，1 】闭区间产生了兴趣，进而对其进行研究，发现值域【o ，l 】闭区间的限制条件有些强，不 利于模糊集理论在其它科学中进行很好的应用经过这些学者的不断努力，最后发现能 借助于作者p i lbm l i l lym 2 4 2 5 1 给出的模糊点的概念对其进行扩充，用特殊的模糊集即 模糊点与模糊集之间的关系，来研究模糊代数结构，b h a k a ts ，kd a sp 和y a ob 等作者在 第一章绪论 这方面作了大量的工作，得出一系列有益的结果，在1 9 9 6 年，作者b h a k a ts k ，d a sp 2 6 给出了( ，v q ) 一模糊子群的概念，并讨论它的充要条件2 0 0 0 年，作者b h a k a tsk 【2 刀对 ( ，v q ) 一模糊正规子群的性质进行了研究而在2 0 0 3 年，作者y u a n x , z h a n g c ，r e n y 【2 8 】 又将模糊子群的概念作了进一步的推广，给出了( 九，p ) 一模糊子群的概念，给出了其充要 条件，研究了其在同态上的性质2 0 0 5 年，作者y a ob 【2 9 】对模糊子群的研究又上升了一个 高度，将商群的概念进行拓广，研究了( v q ) 一商模糊子群的性质用相同的思想方法， 作者y a ob 删研究了( 九，p ) 一模糊正规子群与( 九，肛) 一商模糊子群的性质作者陈敏3 1 1 给 出了广义模糊子半群的定义，并讨论了其相关性质从此，掀起了用模糊点与模糊集之间 的关系的方法来研究模糊代数结构的浪潮逐步往其它代数结构上扩充，如作者b h a k a ts kd a s p 【3 2 】又研究了( ，v q ) 一模糊子环的性质作者y a o b t 3 3 1 给出了( 九，p ) 一模糊子环和 ( 九，斗) 一模糊理想的概念等等 随后，把这种思想引入到b c i b a 代数中，对b c k b c i 代数的模糊理想和模糊滤子 的概念进行了扩展，如作者张广济、于明业、周丽刮3 4 】，用模糊点与模糊集之间的关系给 出了( s ，t l 一模糊理想的定义并研究了其的性质文 3 5 ，3 6 借助模糊点的概念，将作者在 模糊群，模糊半群上的转移理论思想应用到b c k - 代数中，刻画了模糊理想，模糊交换理 和模糊正蕴涵理想的特征作者孟彪龙【3 7 】在b c i 代数的中引入佶v g ) 一模糊b c k - 滤子 的概念，并研究了( ，v g ) 一模糊b c k - 滤子还有一些成功运用这种思想的文章【3 8 删 通过对这些理论成果的学习与研究，心中产生了这样的疑问：在对模糊蕴涵理想、 模糊b c k - 滤子进行讨论的过程中，模糊集的值域l o ，1 l 闭区间是否还可以更进一步的拓 广和延伸呢? 带着这个问题，查阅了很多文献，得出了以下结论 1 4 本文的主要工作和创新点 本文试图将b c k - 代数的模糊蕴涵理想和模糊b c k - 滤子的概念进行推广，并对其性 质进行探讨，因为对理想和滤子的研究历久弥新，由经典的理想到模糊理想以至于模糊 蕴涵理想，与此同时，经典的滤子到模糊滤子以至于生成的模糊滤子，丰富了模糊代数的 结构理论，本文在前人研究的基础上将模糊蕴涵理想的定义以及模糊滤子的概念作进一 步的推广旨在完善前人理论工作上起到抛砖引玉的作用 本文的主要创新点在于应用乐模糊点与模糊集之间的关系，首先，给出了b c k - 代数 的广义模糊蕴涵理想的定义，描述了b c k - 代数的( ，) 一模糊蕴涵理想与模糊理想，模糊 4 西北大学硕士学位论文 子代数之间的关系，随后对其进行研究，得到了b c k - 代数的模糊子集为b c k - 代数的广 义模糊蕴涵理想的充要条件其次，将上面的方法，引入到b c k - 代数的模糊b c k - 滤子 上，给出了b c k - 代数上的广义模糊b c k - 滤子的概念，研究了b c k - 代数上的 ，p ) 一模 糊b c k - 滤子的性质，继而，又将b c k - 代数的广义模糊b c k - 一滤子的概念作了进一步推 广，给出了b c k - 代数的( 九。，九2 ) ( ( ，v q ( k 。k ) ) ) 一模糊b c k - 滤子的概念，并讨论了它们之 间的关系最后，借助同态的概念，研究了b c k - 代数的( ，k ) 一模糊b c k - 滤子在同态 上的特征 第二章预备知识 第二章预备知识 本章第一部分介绍了b c k - 代数x 上的偏序集、有界b c k - 代数、模糊子代数、蕴 涵理想、模糊蕴涵理想以及模糊点的定义第二部分给出了b c k - 代数石上的有关理想、 模糊理想、模糊蕴涵理想的性质定理 注：在下文中，若没有特别说明的情况，x 始终代表一个b c k - 代数 2 1 相关概念 为方便阅读，本小节主要介绍了b c k - 代数x 的理想、蕴涵理想、模糊蕴涵理想以 及模糊子代数的定义等 定义2 1 1 x 的二元关系” 1 ( 4 ) g p 当且仅当t p ( 工) 且p ( x ) + f 1 ( 5 ) a u 当且仅当对任意的a ，留， g ，v g ，弘p 均不成立 注：在下文中，若没有特别说明的情况，a ，b 始终分别代表，q ，人9 ，v q 中任意一个 定义2 1 9 设t ，k 0 ，1 且 ，p ( 工) + f 2 k ，则模糊点被叫做 “拟重于”p ，并记为眠，b ) p 若“或吼h 。k ) p ，则记j r f v g ( ，k ) p 定义2 1 1 0 x 的非空子集f 称叫做x 的b c k - 滤子，如果其满足以下条件： ( 1 ) e f ； ( 2 ) 垤，y x ，n ( n x , n y ) f 和y f 蕴涵z f ，记e * x = n x 2 2 相关定理 下面介绍了b c k - 代数x 的有关理想、蕴涵理想模糊理想、模糊蕴涵理想的性质， 以方便对下文的研究 第二章预备知识 定理2 2 1 3 9 1x 的任何一个模糊蕴涵理想均为彳的一个模糊理想 定理2 2 2 1 3 9 】 若x 是一个蕴涵的b c k - 代数，则x 的任何一个模糊理想均为x 的 一个模糊蕴涵理想 定理2 2 31 3 9 x 的一个模糊子集p 是x 的一个模糊蕴涵理想的充要条件 为：v t 0 ，l 】，当u ( 肛，f ) f 2 j 时，它是x 的一个蕴涵理想 定理2 2 4 1 3 9 1x 的任何一个模糊蕴涵理想p 均为x 的一个模糊理想 定理2 2 51 3 9 】x 的任何一个模糊理想p 均为x 的一个模糊子代数 定理2 2 6 l ”】令p ，v 是x 的两个模糊理想，且它们满足p v ，p ( 0 ) = v ( 0 ) 若为x 的模糊蕴涵理想，则v 也为x 的模糊蕴涵理想 定理2 2 7 i * o 令i 和a 是x 的理想，且满足，g 丸若，为一个蕴涵理想，则a 也为一 个蕴涵理想 8 西北大学硕士学位论文 第三章模糊蕴涵理想和模糊b c k - 滤子的研究 本章主要从( ，) 一模糊蕴涵理想、( ，v q ) - 模糊蕴涵理想、( ，v q ) - 模糊蕴涵理 想、 ，1 3 ) - 模糊b c k - 滤子、( ，e v q ) - 模糊b c k - 滤子、( 九。，九：) 一模糊b c k - 滤子、和 ( ，九：) 一模糊b c k - 滤子在同态上的特征这七个方面研究了b c k - 代数x 上的模糊结构 的性质 3 1( ，) 一模糊蕴涵理想 本节主要借助于特殊的模糊子集即模糊点与模糊子集之间的关系，引入了( ，) 一模 糊蕴涵理想的定义，讨论了( ，) 一模糊蕴涵理想与模糊模糊蕴涵理想、模糊子代数、模 糊理想之间的关系 定义3 1 1z 的一个模糊子集p 叫做x 的一个( ，) 一模糊蕴涵理想，如果它满足 条： ( ，1 ) v x x ，t ( 0 ，1 】，“= ，0 。l a ； ( ，2 ) 帆，y ，z x ，t ，s ( 0 ，l 】，( o 工) ) z ) ，p j x u l ，订p 首先，给出x 的模糊子集“为x 的心) 一模糊蕴涵理想的充要条件 定理3 1 1 设p 是z 的一个模糊子集，则p 是x 的一个模糊蕴涵理想的充要条件 是：p 是z 的一个心) 一模糊蕴涵理想 证明必要性设p 是x 的一个模糊蕴涵理想 慨石，te ( o ，1 】，令l a ，则p ( x ) f ，由定义2 1 7 中的( 1 ) 知：p ( o ) 斗( 工) f ，即 0 ，斗，故( f 1 ) 成立 设( 工( j ，x ) ) z ) ，乙p j ，y ，z x ，t ，s ( o ，1 】，贝9 p ( 工o 工) ) z ) t ，“( z ) s 由定义2 1 7 中的( 2 ) 知：p ( 工) 血n p ( j ，z ) ) z ) ，p ( z ) m i n t ，s ) ， 因此p ，故( ，2 ) 成立 第三章模糊蕴涵理想和模糊b c k - 滤子的研究 故p 是x 的( ，) 一模糊蕴涵理想 充分性设p 满足( f i ) ，( f 2 ) 因为( d p ，由( ，1 ) 知：0 p ( ，) p ，即r t ( o ) p ( x ) ，定义2 1 7d p f b j ( 1 ) 成立 因为坛，ye x ，( o o 工) ) z ) p “州一肛) i t , ( ：) p ，由( ，2 ) 知：p ，这里 q = m i n 肛 o 工) ) z ) ，“( z ) ，于是p ( 工) t 1 ，定义2 1 7 中的( 2 ) 成立 故p 是x 的模糊蕴涵理想。 根据定理3 1 1 ，再结合定理2 2 3 ，定理2 2 4 ，定理2 2 5 ，定理2 2 6 ，我们可以得出以 下推论 推论3 1 1 设p 是x 的一个模糊子集，则是x 的一个心) 一模糊蕴涵理想的充要 条件是：v t ( 0 ，1 】，当【，( p ；f ) o 时，它是x 的一个蕴涵理想 下面以推论的形式来描述x 的( ，) 一模糊蕴涵理想与模糊理想，模糊子代数之间的 关系 推论3 1 2 设p 是x 的一个( ，) 一模糊蕴涵理想，则p 是x 的一个模糊理想 注：推论3 1 2 的逆不一定成立 例3 1 1 设x 是一个b c k - 代数，其上的运算和关系如下图，p 是z 的模糊子集， 令p ( 0 ) = l ，p ( 1 ) = p ( 2 ) = p ( 3 ) = p ( 4 ) = f ，t 【o ，1 ) 通过常规计算可得是石的模糊理想， 但t t 不是x 的( ，) 一模糊蕴涵理想，因为0 ，p ，“1 ( 3 1 ) ) 0 ) 。p ，但l 曲 l - l = l 。弘 ol23 4 00o00o 110l oo 222oo0 3333o0 4434l0 4 l ，2 0 若对b c k - 代数x 加以一定的限制，则推论3 1 2 的逆成立，虽口有下面的推论 推论3 1 3如果x 是一个蕴涵b c k - 代数，则x 的每一个模糊理想u 都是x 的 ( ) 一模糊蕴涵理想 推论3 1 4x 上的每个( ，) 一模糊蕴涵理想都是x 上的一个模糊子代数 注：t t , v 是x 的任意两个模糊子集，p v 当且仅当p ( 工) v ( 工) ，v x x 推论3 1 5p 和v 是z 的模糊理想，且满足p v ，p ( 0 ) = v ( 0 ) 如果p 是j 的一个 1 0 西北大学硕士学位论文 ( e , e ) - 模糊蕴涵理想，则v 也是z 的一个( ，) 一模糊蕴涵理想 3 2 ( ，v q ) 一模糊蕴涵理想 文 4 0 研究了( ，v 吼k 九) ) 一广义模糊关联理想的性质，在定义2 1 9 中，当 = 0 ，k = o 5 时，薯纸，b ) 肛即为模糊点与模糊子集之间关系的( 2 ) ：x , q p 针对这种情况， 下面我们将要讨论( ，v q ( 0 0 ，) ) 一模糊蕴涵理想，记为( ，v q ) - 模糊蕴涵理想 类似于上小节，首先，给出了b c k - 代数上的x ( ，v q ) - 模糊蕴涵理想的定义接 着研究( ，v q ) - 模糊蕴涵理想的充要条件，给出与( ，v q ) - 模糊蕴涵理想的充要条件 有关的推论最后，借助x 的v q - 匐j 集概念，进一步研究了b c k - 代数z 上的( ，v q ) 一 模糊蕴涵理想的性质 定义3 2 1x 的模糊子集p 叫做一个( ，v q ) - 模糊蕴涵理想，如果它满足条件： ( ，3 ) v x x ，t ( 0 ，l 】，五p = 0 ，v q p ； ( ，4 ) v x ，y ，z x ，t ，s ( 0 ，1 ，( o 工) ) z ) ，乙p j x u 抽l v q p 下面给出x 的( ，v q ) - 模糊蕴涵理想的性质 定理3 2 1 设“是x 的一个模糊子集，则肛是x 的一个( ，v q ) 一模糊蕴涵理想的充 要条件是： ( 日1 ) v x x ，弘( o ) m i n i ( 工) ，0 5 ； ( 日2 ) v x ，y ，z x ，p ( 工) m i n 斗( ( 工工) ) z ) ，p ( z ) ，0 5 证明必要性设弘是z 的一个( ，v q ) 一模糊蕴涵理想 首先来证明( 日1 ) 成立 因为工p o ) p ，所以0 p ( ，) v q p 如果o p ( 曲p ，则 p ( o ) p ( 曲m i n p ( d ，0 5 ) ， 如果o p ( ，) g p ，则p ( 0 ) + p ( x ) l ，分以下两种情况讨论： ， ( o ) 0 5 ，那么自然有p ( o ) m i n p ( 工) ，0 5 u ( o ) 1 ，我们得：p ( x ) 0 5 ，因此x o ，“，由( 乃) 得：0 0 5 v q p ，当0 0 5 l a 时，即有肛( 0 ) 0 5 ，这与“( 0 ) 1 ，于是p ( o ) 0 5 ，这与p ( o ) n ，因此 p ( 功m i n 加，0 5 = m i n p ( ( 工0 工) ) z ) ，i t ( z ) ，0 5 如果g u ，r l = m i i l p ( 0 o 工) ) z ) ，i t ( z ) ，则i t ( x ) + r l l ，当i t ( x ) o 5 时，就有i t ( x ) m i n 如，0 5 = m i n 斗( o o 工) ) z ) ，i t ( z ) ，0 5 现证i t ( x ) 0 5 ， 因此( o o 工) ) z ) o 5 i t , z o 5 p ，由( f 4 ) 知：而5v q i t 如果而5 i t ，则i t ( x ) 0 5 ，这与 p ( 功 l ，则i t ( x ) 0 5 ，这也与i t ( x ) o 5 ，因此p ( 工) + 曲 f ，s ) l ，则( ，4 ) 成立 故p 是x 的一个( ，v q ) - 模糊蕴涵理想 推论3 2 1 设p 是x 的一个( ，v q ) - 模糊蕴涵理想，如果p 满足：v x x ， i t ( x ) 0 5 ，则就是z 的一个模糊蕴涵理想 1 2 西北大学硕士学位论文 推论3 2 2 设p 是x 的一个模糊子集，如果p 满足：协x ，p ( 工) 0 5 ，则p 是x 的 一个( ，v q ) - 模糊蕴涵理想 在定理3 2 1 的基础上。我对( ，v q ) 一模糊蕴涵理想作了详细的研究，将推论3 2 2 进行了推广，即有下面的定理 定理3 2 2 是彳的一个模糊子集，则p 是x 的一个( ，v q ) - 模糊蕴涵理想的充 要条件是：v t ( o ，0 5 】，当u ( 肛；f ) 0 时，它是x 的一个蕴涵理想 证明必要性设p 是j 的一个( ，v q ) - 模糊蕴涵理想，且t ( 0 ，0 5 】 如果x u ( p ；f ) ，贝0 肛( x ) t ， 由( h 1 ) 知p ( o ) r a i n t t ( x ) ，0 5 m m t ，0 5 = f ，故：o u ( “；f ) ( 爹如果( 工 ( y 工) ) 幸z ，z u ( p ；f ) ，则有斗“工( y x ) ) z ) f ，斗( z ) f ， 即有( ( x c v 工) ) 力。，弓肛，由( h 2 ) 就有： p ( 工) m i n p ( ( 工 工) ) z ) ，弘( z ) ，0 5 f ，0 5 ) = f ， 即x u ( p ；f ) ，所以u ( p ；f ) 是x 的一个蕴涵理想 充分性设t ( 0 ，0 5 】，u ( 1 a ；t ) a 时是x 的一个蕴涵理想 如果( 日1 ) 不成立，则有工x 和s ( o ，0 5 ) ，使得p ( 0 ) 占 m i n i 工o ) ，0 5 ，因此 0 u ( p ；s ) r x u ( x ；s ) ，矛盾 如果( h 2 ) 不成立，则有工，y ，z x 和s ( 0 ，0 5 ) ，使得 i l ( 工) f ，由( h i ) 得“( o ) m i n p ( o ，0 5 当斗( z ) 0 5 时，有p ( o ) p ( z ) ，如果p ( z ) t ，那么p ( o ) t ，因此0 d ( p ；f ) 如果 i l ( z ) + f l ，那么p ( 0 ) + f 1 ，因此0 o ( ；f ) 当肛( z ) 0 5 时，得p ( 0 ) 0 5 如果t 0 5 ，则肛( 0 ) t ，于是0 d ( p ；f ) 如果 t 0 5 ，则p ( o ) + f 1 ，于是0 d ( p ；f ) 综上可得：0 d ( “；f ) 满足( ，1 ) 设( 工( j ，工) ) z ，z o ( m t ) ，贝0 有 p ( ( 工o 工) ) 幸z ) t 或“( ( 工( y x ) ) z ) + f l 和p ( z ) t 或肛( z ) + f 1 ， 由( h 2 ) 有p ( 工) m i n p “x 宰o + 工) ) z ) ，p ( z ) ，0 5 = m i n i 血 p ( o o 石) ) 幸z ) ，p ( z ) ，0 5 ) ，存在以下两种可能： ( dm i n p ( ( 工幸o z ) ) z ) ，p ( z ) o 5 ，贝9p ( x ) m i n p ( ( 工o x ) ) 力，p ( z ) ，如果 m i n p ( ( x o 工) ) z ) ，p ( z ) t ，贝0 p ( 工) f ，因此工d ( p ；f ) 如果m i n p ( ( z ( j ，工) ) z ) ，p ( z ) + f l ，则p ( x ) + f l ，因此x o ( 1 a ；t ) 曲 肛( o o 工) ) z ) ，( z ) ) o 5 ，我们有p ( x ) o 5 ，如果t o 5 ，则p ( 工) f ，于是 工d ( 肛；f ) 如果t 0 5 ，贝0 p ( 工) + f l ，因此工d ( p ；f ) 综上可得：工d ( ；f ) 故满足( 1 3 ) 即当d ( p ；f ) 时，它是x 的一个蕴涵理想 充分性设t ( 0 ，l 】，当d ( p ；f ) g 时，它是x 的一个蕴涵理想 如果p 不是x 的一个( ，v q ) - 模糊蕴涵理想，存在以下两种可能： 如果存在工x 和t e ( o ，0 5 】，使得p ( o ) t m i n p ( 砷，0 5 ， 于是0 e o c i - t ；t ) ，而工d ( 肛；f ) ，矛盾，所以( 日1 ) 成立 同理得( h 2 ) 成立因此p 是x 上的一个( ，v q ) - 模糊蕴涵理想 定理3 2 4b c k - 代数上的任意( ，v q ) - 模糊蕴涵理想都是z 上的一个( ，v q ) - 模糊理想 证明令( f 4 ) 中的y = 0 即可得出结论 1 4 两北大学硕士学位论文 定理3 2 5 在蕴涵b c k - 代数中，每个( ，v q ) - 模糊理想都是石上的一个 ( ，v q ) - 模糊蕴涵理想 3 3 ( 三，三v ；) 一模糊蕴涵理想 由定理2 2 3 知x 上的模糊子集a 是石上的一个模糊蕴涵理想当且仅当v t 0 ，l 】， 当u ( 气f ) 彩时，它是x 上的一个蕴涵理想又由定理3 2 2 知x 上的模糊子集a 是x 上的一个( ，v q ) - 模糊蕴涵理想的充要条件是v t ( o ，0 5 】，当u ( 厶t ) f 2 j 时，它是x 上的一个蕴涵理想由此来考虑当九( o 5 ，1 】，【，( 气t ) 是x 上的一个蕴涵理想的情况 本节给出了( ，v q ) - 模糊蕴涵理想的概念，主要讨论了它的充要条件，并综合前两 节的知识，分别描述了( ，) 一模糊蕴涵理想、( ，v q ) - 模糊理想、( ，c v q ) - 模糊蕴涵 理想与值域厶( 厶= 九：九( 0 ，1 且u ( 气九) 是x 的一个蕴涵理想) 之间的关系 定义3 3 1 设a 是x 上的一个模糊子集，称a 是x 上的一个( ，v q ) - 模糊蕴涵理 想，如果它满足条件： ( ，5 ) v 工x ，九( 0 ，l 】，0 1 e a 黾v q a ； ( ，6 ) v x ，y ，z x ，九，p ( 0 ，l 】， p ) a j ( 【y x ) ) z ) e v q a 或z p v 非 下面给出z 上的一个模糊子集为x 的一个( ，v q ) - 模糊蕴涵理想的充要条件 定理3 3 1 设a 是x 上的一个模糊子集，则a 是x 上的一个( ，e v q ) - 模糊蕴涵理 想的充要条件是： ( 日3 ) v x e x ，m a x a ( 0 ) ，0 5 a ( x ) ； ( 日4 ) v x ，y ，z 工，m a x a ( x ) ，0 5 m i n a ( ( 工o 工) ) z ) ，a ( z ) 证明仅证( 日4 ) ，( h 3 ) 的情况类似可证 必要性若x , y ，z x 使得m a x a ( x ) ，0 5 九= m i n a ( o 工) ) z ) ，a ( z ) 则 九( 0 5 ，1 】，黾a 且( o 工) ) z ) l ，气a ，于是( o 工) ) z ) x n 或气社，因此 九a ( ( 工( y 幸工) ) z ) 九+ a ( ( 工( y 工) ) z ) l 或九a ( z ) 九+ a ( z ) 1 由此可得 九0 5 。矛盾 因而觇，y ，z x ，m a x a ( x ) ，0 5 m i n a ( 0 o 工) ) z ) ，a ( z ) 第三章模糊蕴涵理想和模糊b c k - 滤子的研究 充分性设x x ，使得 e a ，s u a ( x ) m i n x ，p - t - g 有： 若a ( x ) 血 a ( ( 工 o + x ) ) z ) ，a ( z ) ，贝0 山 a ( ( z ( y 工) ) z ) ，a ( z ) m i n z ，p ， 因而a ( o o 工) ) z ) 九或a ( z ) p ，即( 工) ) 幸z ) “或z 。a ，因此 ( ( x o 工) ) 力x v g a 或z 。e v q a ( 爹若a ( x ) 0 5 ，则斗就是z 的一个模糊蕴涵理想 由定理4 2 及定理5 3 ，可以得出x 的一个模糊子集是x 的一个心) 一模糊蕴涵理想的 充要条件，即有下面的定理 推论3 3 2 设p 是x 的一个模糊子集，如果p 满足：v x x ，p ( 工) 0 5 ，则p 是z 的一个