（流体力学专业论文）圆柱绕流和大气湍流的HilbertHuang变换分析.pdf

上海大学硕士学位论文 摘要 湍流问题一直是经典力学中没有得到很好解决的一个难题。 在湍流发展的过程中，信号处理方法的发展( 包括各种统计方法) 起到了极其重要的作用，帮助人们加深了对于湍流现象的理解。 然而，湍流研究在理论分析、数值计算和实验三个方面存在的困 难，以及传统信号处理方法所具有的局限，限制了人们对于湍流 问题的进一步理解。因而，作为研究湍流问题的一个强有力的手 段，信号处理方法需要新的发展，来帮助人们重新认识和发现湍 流。 本文首先介绍了新近发展出来h i l h e r t h u a n g 变换方法。该 方法有着完全的自适应、更高的时间和频率分辨率等优点，因而 是用来分析非平稳、非线性数据1 的理想工具。同时，在h h t 方法 中，波内频率调制所描述的非线性机制对非线性作用的描述提供 了个全新的视角。 然后使用h h t 方法分析了圆柱绕流尾迹流的实验数据和大气 湍流观测数据。圆柱绕流尾迹流的分析结果表明主要含能模态存 在着明显的波内频率调制，表明圆柱绕流的涡的脱落频率并不是 一个常值，而是围绕着某一值出现上下波动，这说明涡的脱落过 程受控于非线性机制。同时，从涡的空间演化来看，同样存在着 明显的波内频率调制，说明非线性作用的存在。 1 对于数据本身并没有线性和非线性之分，这里的“非线性”指的是产生数据背后的控制方程是非线性的。 v 上海大学硕士学位论文 在对大气湍流的分析中，经验模态分解法很好地提取了相干 结构，分析表明大气运动以及湍动能输运和热量输运主要受到这 些大尺度的相干结构的控制。同时相干结构相应的瞬时频率存在 着明显的波内频率调制，说明在涡的时空演化过程中非线性作 用，如涡的变形、耗散、破碎起到了主要作用。而在h i l b e r t 边 际谱中还发现，在较低的频率就脱离惯性子区，从而进入了耗散 区。 关键词：湍流、h i l b e r t - h u a n g 变换、经验模态分解、波内频率调 制、非线性作用 上海大学硕士学位论文 a b s t r a c t t u r b u l e n c ei san o t o r i o u su n s o l v e dp r o b l e mi nc l a s s i c a lm e c h a n i c s t h es i g n a la n a l y s i sm e t h o d s ( i n c l u d i n gv a r i o u ss t a t i s t i c a lm e t h o d s ) p l a y a ni m p o r t a n tr o l eo nt u r b u l e n c er e s e a r c e1 1 1 e y h e l p u s u n d e r s t a n dt h em e c h a n i s m u n d e r l y i n g t u r b u l e n c e p h e n o m e n a h o w e v e r , t h ed i f f i c u l t i e s o ft h et h e o r e t i c a la n a l y s i s ，n u m e r i c a l s i m u l a t i o na n de x p e r i m e n t s ，a sw e l la st h es h o r t c o m i n g so fs o m e s h o r t c o m i n g so ft h et r a d i t i o n a ls i g n a la n a l y s i sm e t h o d sp r e v e n tu s f r o mf u r t h e ru n d e r s t a n d i n gt h et u r b u l e n c ep r o b l e m h e n c e ，a sa p o w e r f u lt o o l ，t h es i g n a la n a l y s i s m e t h o d sn e e ds o m en e w d e v e l o p m e n t t o h e l p u st or e - d i s c o v e ra n dr e - - u n d e r s t a n dt h e m e c h a n i s mb e h i n dt u r b u l e n c ep h e n o m e n a i nt h i st h e s i s ，an e w l y d e v e l o pp r o m i s i n gs i g n a la n a l y s i sm e t h o d h i l b e r t - h u a n gt r a n s f o r m ( h e r e a f t e rh h t ) w a si n t r o d u c e d ，w h i c h c o n t a i n st w o p a r t s ：e m p i r i c a lm o d ed e c o m p o s i t i o n ( h e r e a f t e re m d ) a n dh i l b e r ts p e c t r aa n a l y s i s ( h e r e a f t e rh s a ) t h i sm e t h o dh a sm a n y a d v a n t a g e s o v e rt r a d i t i o n a l m e t h o d s ，s u c h a s c o m p l e t e l y s e l f - a d a p t i v e n e s sa n dm o r ep r e c i s et i m ea n df r e q u e n c yr e s o l u t i o n a t t h es a m et i m e ，an e wm e c h a n i s m i n t r a w a v ef r e q u e n c ym o d u l a t i o n i sp r o p o s e dt o i n t e r p r e tt h en o n l i n e a re f f e c t s ，w h i c h s h e d sn e w i n s i g h to nt h en o n l i n e a re f f e c t s t h e r e f o r ei ti s a l li d e a lm e t h o dt o 上海大学硕士学位论文 a n a l y z en o n s t a t i o n a r ya n dn o n l i n e a rd a t a 2 t h e nt h eh h tm e t h o dw a su s e dt oa n a l y z et h ee x p e r i m e n td a t ao f f l o wo v e rac y l i n d e ra n dt h ea t m o s p h e r i ct u r b u l e n c ed a t a i ti sf o u n d t h a tt h ev o r t e xs h e d d i n gf r e q u e n c yi naw a k ef l o wo v e rac y l i n d e ri s n o tac o n s t a n tv a l u e ，b u tf l u c t u a t e sa b o u tam e a nv a l u ew i t ht h et i m e ， w h i c hi n d i c a t e san o n l i n e a rm e c h a n i s mu n d e r l y i n gt h ep h e n o m e n a w i t ht h e s p a t i a le v o l u t i o no ft h es h e d d i n gv o r t e x ，t h ei n t r a w a v e f r e q u e n c ym o d u l a t i o n sa r ec l e a ri l l u s t r a t e di nt h eh i l b e r ts p e c t r u m ， w h i c hc a nb ec o n s i d e r e da st h en o n l i n e a re f f e c t s a st ot h ea n a l y s i so fa t m o s p h e r i ct u r b u l e n c ed a t a ，t h ec o h e r e n t s t r u c t u r e sw e r ew e l le x t r a c t e db yt h ee m dm e t h o da n dt h e i r c o r r e s p o n d i n g i n s t a n t a n e o u s f r e q u e n c i e se x p e r i e n c e ds i g n i f i c a n t i n t r a w a v e f r e q u e n c y m o d u l a t i o n t h i si n d i c a t e st h a tn o n l i n e a r i n t e r a c t i o n ss u c ha sv o r t e xd e f o r m a t i o n ，d i s p e r s i o no rf r a g m e n t a t i o n p l a yar o l ei nb o t hs p a t i a la n dt e m p o r a le v o l u t i o n i ti sa l s of o u n d t h a tt h ee n do ft h ei n e r t i a lr a n g ea n dt h eb e g i n n i n go ft h ed i s p e r s i o n r a n g ep r e d i c t e db yt h em a r g i n a lh i l b e r ts p e c t r u mi sf o u n da tal o w e r f r e q u e n c yt h a nt h a tp r e d i c t e db yt h ef o u r i e rs p e c t r u m k e y w o r d s ：h i l b e r t - h u a n gt r a n s f o r m ，e m p i r i c a l m o d e d e c o m p o s i t i o n ，i n t r a w a v ef r e q u e n c ym o d u l a t i o n ，n o n l i n e a re f f e c t s ， t l _ i r b u l e n c e 2 i nf a c tt h e r ei sn od e f i n i t i o na b o u tt h el i n e a ra n dn o n l i n e a rd a t a i nt h i st h e s i s ，t h e ”n o n l i n e a rd a t a ”j u s tm e a n st h a tt h em e c h a n i s mo rg o v e r n i n ge q u a t i o nb e h i n dt h e p h e n o m e n ai sn o n l i n e a r v u i 上海大学硕士学位论文 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作。 除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其它人已发 表或撰写过的研究成果。参与同一工作的其它同志对本研究所做的 任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：t 莲矗豸聋日期：砭! 5 1 l ! 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学 校可以公布论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 日期：彬s f 。 上海大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 湍流问题存在的困难 自从1 8 8 3 年r e y n o l d s 实验以来，人们尝试各种方法来研究湍流问题【1 1 ”。 经过一个多世纪的努力，湍流研究有了很大的进展，但是湍流问题依然没有得 到根本解决【1 5 ，1 6 1 。 在经典力学中，对于保守的线性系统，h a m i l t o n 力学理论可以得到很好的 结果。然而牛顿流体运动的控制方程，即n a v i e r s t o k e s 方程( 简称n s 方程) “l ，+ 1 , l j u i ，2 一p ，i + 9 , i ， 是非保守( 耗散) 的非线性( 很多时候是强非线性) 系统，其解的存在亦未可知【l ”， 解析求解就更不可能。人们总是尝试通过理论分析来解释所观测到的湍流中的 现象，并建立各种理论进行预测，如各种模式理论、k o l m o g o r o v 理论、重正化 群理论、直接作用原理、层次模型等“ ，w 。然而，这些理论只能解释湍流中 的某些现象，而对于湍流中的其它现象，并不能给出很好的解释。虽然人们对 湍流现象研究了百多年，至今对是否存在一个普适的湍流理论亦未可知。所 以，湍流理论还不够完善，还需要新的发现和新的工具来建立更加普适的湍流 理论。 随着计算机硬件的高速发展，湍流的数值模拟变得越来越重要i l “。然而， 各种模式理论只能对某些问题给出较好的答案，而不能够对所有的情况给出台 理的结果。同时这些模式理论只能给出符合工程条件下的一些结果，并不能解 决湍流的一些机理性问题，如涡的产生、涡的破碎等。直接数值模拟( d i r e c t n u m e r i c a ls i m u l a t i o n 简称d n s ) # ”，使得人们可以得到全场的流场数据。然 而，d n s 只是数字再现流动过程，并没有给湍流的机理认识带来突破性的进展 肛。同时，不论是实验，还是数学分析都表明湍流包含着非常多的时一空自由度 之间的相互作用，如三维流动下湍流的自由度为r e “t 1 2 1 ，这就使得在现有条 件下直接数值模拟高雷诺数下的流动不大可能实现。 所以，实验仍然是研究湍流、认识湍流的必须的手段和方式。新的技术的 引入，如p i v 、p d a 等，虽然可以比较高精度地获得面的信息和点的信息，但 是离人们所希望的三维全场信息还有很大距离。所以，大量的实验数据还是基 于单点测量或者多点测量。如何从现有的大量湍流实验数据里提取更多的有用 信息，以揭示湍流的一些内在机理，帮助人们对湍流本质的理解就显得尤其重 要。不同的信号分析方法有不同的局限性，因而提取得到的信息可能就有所不 上海大学硕士学位论文 同t 3 m ”。湍流信号是典型的时一空非常复杂的非平稳、非线性信号嘲，在信号处 理领域一直没有得到很好的解决。所以湍流信号的有效分析，对任何信号处理 方法都是一个巨大的挑战。下面我们将对湍流信号分析做一个简单的回顾。 1 2f o u r i e r 描述 1 9 2 1 年g it a y l o r 在 d i f f u s i o nb yc o n t i n u em o t i o n ) ) 【州中将统计理论引入 湍流研究中，定义了t a y l o r 微尺度等。接着1 9 3 5 年t a y l o r 在( ( t h es p e c t r u mo f t u r b u l e n c e ) ) 【2 】中又将f o u r i e r 变换 d ( 门= 广u ( t ) e 妒d t ( 1 2 ) 引入到湍流研究中，同时还提出了著名的t a y l o r 冻结假定，对湍流理论的研究 产生了深远的影响。从那以后，在很长一段时间里对湍流实验数据的分析一直 都采用基于f o u r i e r 分析 3 5 - 4 0 1 的方法和t a y l o r 冻结假定 2 , 4 1 - 4 3 】。f o u r i e r 分析将信 号在整个频域上投影，从而将信号从时域变换到频域，去研究这些信号在频域 内的频谱特征。这样得到的某一频率以等强度充满整个物理空间，因而得不到 频率随时间的分布的局部信息【j “。f o u r i e r 这种全局性，抹煞了局部信息，如 猝发、相干结构等的局部特性3 。同时，f o u r i e r 分析的整个过程都是线性4 的： 用平稳、线性过程来近似非平稳、非线性( 很多时候是强非线性) 过程，从某种 意义上来说，出发点就是错误的。但是，在没有更好的分析手段和工具的情况 下，f o u r i e r 分析还是给湍流的研究起到了很大的促进作用。 f o u r i e r 分析本身有着坚实的数学基础，同时f o u r i e r 能谱所预测的惯性子区 和k o l m o g o r o v 理论所预测的一5 3 律相吻合，在大量的实验和数值计算当中得到 了验证。但是，对于非平稳、非线性信号，人们所关心的某一事件( 频率) 何时 出现、强度如何、何时结束等局部特性，f o u r i e r 分析不能给出很好的解答。虽 然人们对f o u r i e r 分析进行了加窗等各种改进 3 0 , 3 1 1 ，但并没有带来本质上的突 破。 上世纪七十年代相干结构的发现使得湍流研究向前迈进了很大一步，人们 3 这里的局部并不意味着没有记忆特性，恰恰相反，对于猝发过程、相干结构等有着较强的记忆特性。但 是如果我们在较大的时间尺度里面来看，这些非局部特性就变成了局部特性。 4 f o u r i e r 分析过程是线性的是指，f o u r i e r 本身的基( 函数) 是正弦或者余弦它们是线性的，同时， f o u r i e r 变换的操作也是线性的原则上不能用来分析非平稳、非线性数据。后面我们将看到，小波分析 的过程也是线性的，但是小波基( 函数) 本身是紧支的。因而可以在局部用线性过程来拟合非平稳、非线性 过程，当然这种用线性过程来近似非平稳、非线性过程是一种无奈。而对于h h t 方法，虽然它们操作的 过程是线性过程，但是它们的基( 函数) 不是预设的，也没有线性的要求，因而可以是非线性的，是用来分 析非平稳、非线性数据的理想工具。 上海大学硕士学位论文 意识到湍流并非是完全随机的运动，而是有结构的运动，相干结构是湍流的重 要组成部分【4 4 。4 “。可以说，由于f o u r i e r 分析的局限，推迟了人们对相干结构的 发现。相干结构在湍流流动中的重要性，使得人们尝试使用各种不同的统计方 法来提取相干结构波形，如v i t a 法、加窗f o u r i e r 法、最优正交分解法( p r o p e r o r t h o g o n a ld e c o m p o s i t i o n 简称p o d ) - 等l j ”j 。虽然这些方法有着种种不足，但 是在湍流研究的发展过程中，这些方法的广泛使用，确认了相干结构的普遍存 在，推动了湍流研究的发展。 1 3 小波描述 小波分析 3 8 , 4 7 1 的出现提出了尺度分解的概念 f 嘣耻，嘭“羔】( 1 3 ) l 州2 ，x ) = ，_ 【， = ( ，( ) ，弘。( 上) ) = ，f ( x ) t f t x ，( ) x 通过“母波”y 硼5 在尺度f 上的伸缩和位置茁上的平移等变形，构造出系列 “子波”，( x ) 。将信号或函数，( x ) 和这些子波进行卷积变换到小波空间( ，x ) 里去，从而可以研究信号在某一尺度上的特性。小波分析提出的多尺度分解概 念，在信号处理领域是次很大的突破。由于研x 1 具有紧支域的特性，因而在 物理空间上可以很好地捕捉事件的时间信息，同时对应的频率也具有紧支的特 性，在频率空间里面，也可以较好的定位频率。小波分析这种通过平移在物理 空间上定位时间，通过伸缩在频率空间定位频率的能力被誉为“数字显微镜”， 一经提出后就在信号分析和函数的数值求解中得到了广泛的应用 3 8 , 3 9 , 4 8 - 5 0 。 小波分析的这些优点突破了f o u r i e r 分析的部分限制，部分符合了分析非平 稳、非线性的要求，能较好地刻画信号的局部特征。小波分析理论提出后，很 快就在湍流分析中得到应用，如小波分析使得人们第一次可以直观地证实了 r i c h a r d s o n 所描述的能量级串的存在一 。同时在湍流领域人们对小波分析的应 用发展出了两种不同的方向：基于已知d n s 数据库的相干结构( 涡) 提取和基于 小波空间的相干涡模拟( c o h e r e n tv o r t e xs i m u l a t i o n 简称c v s ) t 3 8 , 3 9 , 5 0 。本质上 c v s 是大涡模拟的一种。但是相对于以往的大涡模拟模式，c v s 有着一定的自 适应性和更少的计算量。 然而，小波分析的整个过程仍然是线性过程，同时还存在着分辨率偏低、 分析结果依赖于小波基( 函数) 的选择、高维小波的物理意义不明显等局限 5 当然不是任何函数州并 都可以成为“母波”，只有当 x 】满足容许性条件，具有紧支域的时候才 可以成为母波。 上海大学硕士学位论文 3 1 , 3 8 _ ”，需要进一步的研究与发展。 1 4 h i l b e r t - h u a n g 变换 综上所述，传统的信号处理方法在湍流研究的过程中起到了至关重要的作 用，推动了湍流研究的发展。但是这些方法要么有着阀值的选择等问题，要么 就是基于f o u r i e r 分析，本身并不能很好地描述非线性过程。因而，如何发展或 者应用已有的信号处理方法，从己有数据中提取更多的信息，帮助我们理解湍 流现象本后的本质，在湍流研究方面就显得尤其重要。 h u a n g s h s q 提出的经验模态分解方法( e m p i r i c a lm o d ed e c o m p o s i t i o n 简称 e m d ) ，与以往的信号分析方法不同。该方法并不预设基( 函数) ，而是预先选择 好判据根据信号本身所包含的特征尺度进行分解，得到有限阶内模函数 ( i n t r i n s i cm o d ef u n c t i o n s 简称i m f s ) ，因而每阶i m f 都有着比较明确的物理意 义。将e m d 方法和h i l b e r t 谱分析相结合就得到了完整的h i l b e r t - h u a n g 变换 ( h i , c a h u a n gt r a n s f o r m 简称h h t 方法) 9 l ”j 。在h i q t 方法中对数据没有平稳 性和线性的要求，具有完全自适应性的特点，能更好地保留原有信号的物理特 征，同时解析信号和瞬时频率p 。】的采用使得该方法有着比小波分析更好的时频 局部刻画能力以及对数据长度的利用比以往任何方法都要有效【3 ”。随后h u a n g 等人又提出了波内频率调$ i | ( i n t r a w a v ef r e q u e n c ym o d u l a t i o n ) e 3 1 , 5 1 1 的概念描述波 形在一个周期内的改变，从而来刻画非线性作用的过程，这更加符合真实的物 理过程。对于f o u r i e r 分析和小波分析，则需要添加非物理的高次谐波来模拟波 形对正弦( 或余弦) 的偏离6 ，这些高次谐波的出现只是数学上的需要，并非是 对真实的物理过程描述。这样非线性作用就通过波内频率调制和波间频率调制 ( i n t e r - w a v ef r e q u e n c ym o d u l a t i o n ) 共同体现p i ，”j 。作为传统的f o u r i e r 分析，波 内和波间频率调制都捕捉不到；小波分析则只能捕捉到波间频率调制；h 3 q t 方 法则能较好地对两者进行捕捉。在水波、地震、生物工程等 3 1 , 5 1 。6 6 信号分析领 域内，h h t 方法得到了更符合物理本质的解释和说明，以h i l b e r t 谱的观点加 深了人们对这些非平稳、非线性过程机理的理解，得到了优于小波分析的结果， 取得了很大的成功。h i - i t 方法理论上能比小波更好地分析复杂信号，更适合应 用于非平稳、非线性信号的分析。 1 5 论文的主要研究内容 本论文首先介绍了h i l b e r t h u a n g 变换方法，并使用该方法对圆柱绕流实验 和大气湍流的观测数据进行分析。 6 注：这种偏离通常对应着物理上的非线性过程。 4 上海大学硕士学位论文 本文的结构安排如下： 第二章介绍有关经验模态分解的基本知识，如特征尺度的定义，内模函数 的定义、经验模态分解的过程以及经验模态所面临的一些问题，如内模函数的 数学模型、样条曲线的选择等； 第三章介绍了h i l b e r t 谱分析以及相应的h i l b e r t - h u a n g 变换，并使用d u f f i n g 方程的例子来说明波内频率调制所描述的非线性过程： 在第四章里面，使用h h t 方法分别分析了圆柱绕流的尾迹流的实验数据和 某一气象站的大气运动观测资料； 第五章总结了本文的工作，并展望h h t 方法在湍流研究领域存在的潜在应 用。 上海大学硕士学位论文 第二章经验模态分解 对于一个基于尺度的分解方法，特征尺度如何定义，所定义的尺度是否具 有普遍物理意义，以及如何实现从数据中提取特征尺度，分解的特性等等问题， 都是人们所关心的。本章将逐一介绍特征尺度，经验模态分解，以及经验模态 分解的优势和目前存在的一些问题。 2 1 特征尺度的定义 在f o u r i e r 变换中，尺度定义为具有固定振幅的正弦( 或余弦) 一个周期波形 的长度。这在某种意义上就决定了f o u r i e r 变换的性质和缺陷：虽然数学上可以 做到任意精度的逼近某一信号，但是很多时候需要添加高次谐波来模拟信号对 正弦( 或余弦) 波形的偏离。这种逼近是全局意义上的，只能对平稳、线性信号 有明确的物理意义，对于非平稳、非线性信号则不能给出较好的解释。随后发 展出来的加窗f o u r i e r 变换、w i g n e r v i l l e 分布等方法，虽然有所改进，但是本 质上他们对于尺度的定义并没有改变，因此他们不可避免地继承了f o u r i e r 分析 的缺点 3 1 , 5 1 , 6 7 1 。 小波是在“母波”的基础上进行伸缩和平移等变形而来，伸缩因子可以认为 是小波的特征尺度的一种度量【4 7 】。小波具有平方可积的特性，因而小波分析是 在一个有限影响区间f 紧支) 内对原有信号进行局部的逼近，能得到信号的局部 时频能信息。在小波分析中，对某一尺度的频率是固定不变的，但是小波系 数( 振幅) 是可以随着时间变化的，即小波分析有着调幅( a m p l i t u d em o d u l a t i o n ) 的特性，这对f o u r i e r 变换是一次突破和推广。本质上，小波分析可以看作是自 适应窗f o u r i e r 变换，只是这里窗的大小具有一定的自适应特性。然而，小波分 析的整个过程依然是线性的，对于非线性信号，小波分析仍然不能给出很好的 物理解释。 实际信号基本上都是包含多成分( 这里的成分既是尺度) 信号 ( m u l t i c o m p o n e n t ss i g n a l ) ，所对应的瞬时频率没有明显的物理意义 3 0 , 3 1j ，只有 单一成分信号( m o n o c o m p o n e n ts i g n a l ) 的瞬时频率才具有明显的物理意义。为 了把多成分信号分解为单成分信号的组合，h u a n g 引入了内模函数( i n t r i n s i c m o d ef u n c t i o n 简称i m f ) 来近似描述单一成分信号，并给出经验模态分解 ( e m p i r i c a lm o d ed e c o m p o s i t i o ne m d ) 方法来提取相应的i m f 。i m f 用模糊的语 言描述了单一成分信号所满足的条件，因而在实际操作过程中仍然需要重新对 尺度进行定义，这里将给出三种不同的定义。在线性、平稳和正态分布的假设 上海大学硕士学位论文 下，r i c e ( 1 9 4 5 ) t 6 8 l 给出了统计意义下的特征尺度：过两零点的距离即为特征尺度 z z ( t ) = 0 1 正：t l + 1 一f i 2 d l 正= 。一f i ”“ 然而并不是所有的信号都过零点，所以这一定义有很大的局限性，在很多情况 下，该定义下的特征尺度并不能有效的被提取。为了克服这一定义的局限性， h u a n g 给出了第二个特征尺度的定义：相邻两个局部极大值( 极小值) 间的距离为 特征尺度z fi ( t ) = 0 1 z ：t i + 1 一t i 心2 在大多数情况下，该定义下的特征尺度可以有效的被提取出来。因而这种定义 方式可以较好地刻画特征尺度。但是在有些情况下，如某一较强信号包含有弱 的骑行波( r i d i n gw a v e ) ，这时弱的骑行波很难被提取出来，造成在同一个i m f 里面存在两个明显不同的尺度，从而出现模态混合。为了解决第二种定义下的 特征尺度在某些情况下不能有效提取的问题，h u a n g 又提出了第三种特征尺度 的定义，曲率法 存知一 弦。， l = t i + 1 一 曲率的两个极大( 小) 值间的距离就是一个尺度z 。这样的定义物理上对应着加速 度，曲率符号的改变，表明受力的变化。以上三种关于尺度的定义，都是尝试 近似的满足i m f 的定义，并设计一定的分解方式来得到所定义的尺度。 2 2 经验模态分解 h u a n g 等人认为，实际信号基本上都是多成分信号，所对应的瞬时频率没 有明显的物理意义，只有单一成分信号的瞬时频率才具有明显物理意义。为了 使得瞬时频率具有明显的物理意义，h u a n g 等人在原有特征尺度分解的基础上 6 9 ，提出了内模函数的概念和经验模态分解方法。 h u a n g 用内模函数来近似单一成分信号，并用描述性的语言定义如下： ( 1 ) 、极值点的个数和过零点的数目相等，或者最多相差为l ； ( 2 ) 、在任一点，由极大值构成的包络和由极小值构成的包络的平均值为零。 ，j、l 上海大学硕士学位论文 这样的描述性定义实质上是要求i m f 为一窄带信号，局部对称以及没有骑 行波，是对单一成分信号的一种近似。对于e m d 方法，之所以还只是一个实 用的数据分析方法，而不像f o u r i e r 分析和小波变换有着完备的数据基础，就是 因为这里对于i m f 的定义是模糊性的语言，而不是明确的数学表达式。如能给 i m f 较明确的数学描述，那么e m d 方法就有可能像f o u r i e r 分析和小波分析一 样，建立坚实的数学基础。 为了从原始信号中分解出内模函数，h u a n g 给出了经验模态分解方法，过 程如下： ( 1 ) 、找到信号x ( r ) 所有的极值点： ( 2 ) 、用三次样条曲线拟合出上下极值点的包络线o ) 和e ( f ) ，并求出上 下包络线的平均值：m ( f ) = ( e m 。( f ) + e 啊。( 0 ) 2 ，在z ( f ) 中减去它： h ( t ) = z ( r ) 一m ( t ) o ( 3 ) 、根据预设判据判断 ( f ) 是否为i m f ； ( 4 ) 、如果不是则以州f ) 代替x ( 0 ，重复以上步骤直到 满足判据，则 ( f ) 就 是需要提取的i m fc a t ) ； ( 5 ) 、每得到一阶i m f ，就从原信号中扣除它，重复以上步骤。直到信号最 后剩余部分就只是单调序列或者常值序列。 这样，经过e m d 方法分解就将原始信号x ( r ) 分解成一系列i m f 以及剩余 部分的线性迭加 x ( f ) = c i ( f ) + k ( f )( 2 4 ) i = 1 在e m d 方法分解过程中，确定内模函数的判据对整个分解是至关重要的。 h u a n g 给出的判据是引入两次过滤的标准差3 t , s u ( 2 5 ) 并建议s d 取值在0 2 0 3 之间，这样分解得到的结果，既反应了原信号的特 征，又可以较好地满足i m f 的条件。随后，gr i l l i n g i v 0 1 等人又提出了新的判据。 在他们的判据中，引入了模振幅玎( f ) - 0 。( o e 。( f ) ) 2 和评估函数 一( f ) ：= im ( r ) a ( r ) i 两个量，然后设定两个阀值来判断过滤是否应当结束。从分解 的结果来看，两个不同的判据分解得到的结果还比较一致。 一一 u坐缸 坠 ，鲫 劬 上海大学硕士学位论文 2 3e m i l 方法的特点以及存在的一些问题 e m d 方法突破了传统的f o u r i e r 分析方法的限制，并没有预设基( 函数) ，而 是根据信号本身所包含的特征尺度进行分解。作为一个实用的数据处理方法， e m d 方法有着完全的自适应性等特点，但同时也有着数学基础不完备，实际操 作过程中如样条曲线、判断准则的选取刚1 等问题。 2 3 1e m d 方法分解的特点 e m d 方法不像传统的信号处理方法那样预设基( 函数1 ，而是根据信号本身 所包含的特征尺度进行分解，有着完全的自适应性”l ，”j q ”u j ，是对f o u r i e r 分 析、小波分析的突破。这种根据信号本身特征尺度进行分解的方法，符合非平 稳、非线性信号分析的需要。同时，e m d 方法分解得到的模态有着更加明确的 物理意义，这是f o u r i e r 分析、小波分析所不能做到的。另外，分解过程是通过 定义极大值和极小值的包络来完成，上下包络的定义有着很好的局部特性，后 面我们将会看到e m d 方法对局部事件的有着比小波分析更好的定义。 这里我们考虑如下一个信号 f ( t ) = 0 5s i n ( 2 x t 1 0 0 ) + s i n ( 2 m 1 0 0 0 ) + s i n ( 2 m 2 0 0 0 ) ( 2 7 ) 是由三个频率分别为o 0 1 h z ，o 0 0 1 h z 和0 0 0 0 5 h z 的正弦信号线性迭加得到( 见 图2 i ) 。这里e m d 方法分解采用h u a n g 的判断准则，并取s d = 0 2 5 ，对于边 界则采用添加特征波的方式。从分解得到的结果( 图2 2 ) 可以看见，对于第一阶 模态，很好的捕捉到了0 0 1 h z 。但是由于边界效应的影响，随着模态的增加， 捕捉到的模态和原有信号存在着明显的偏离。特别是分解得到的第三阶模态所 对应的平均频率为o 0 0 0 7 h z ，和o 0 0 0 5 h z 有着明显的偏离。但是，从该信号的 能谱和h i l b e r t 边际谱( 图2 3 ) 可以看到，对于e m d 方法分解得到的结果能量更 集中，也更加符合原有信号的特征。 2 3 2 内模函数的定义和数学模型 e m d 方法分解得到的模态满足1 m f 的定义，在每阶模态里面可以同时存 在调幅和调频( f r e q u e n c ym o d u l a t i o n ) 。然而，i m f 却没有一个明确的数学模型。 这正是e m d 方法的一个优点，在分解之前没有预设基( 函数) ，因而有着完全的 自适应性。但同时也是e m d 方法的理论基础并不像f o u r i e r 分析和小波分析那 样完备的根源。后面我们将会看到，对于满足i m f 定义的c ( f ) 可以改写为 c ( t ) = r ea ( t ) e 9 ( 2 6 ) 上海大学硕士学位论文 图2 1 简单线性迭加信号( f ) = o 5 s i n ( 2 n t 1 0 0 ) + s i n ( 2 疵1 0 0 0 ) + s i n ( 2 n t 2 0 0 0 ) i 。删删 jl 1 亩1 南、盏_ 1 高1 螽一土 l 。净aj l 1 苗1 高r 高r 萄矿蟊矿士 匝夏至 图2 2 信号f ( t ) e m d 方法分解得到的各阶模态和相应的瞬时频率 上海大学硕士学位论文 i ! i i i i i ! 捌；雒萎垂；l ； 4 i ；i ；i ；- - _ - - i i ；l ；：l i i ! i i 盎；捌岿割 = 二= 【= 川 二l m c 二仁1 , 1 1 二二二c = c 1 3 【= = 土= l 二 二c c o 刊 二：二；：；q ：gqn r l - ：聱e j ：；：；a 二：二：并：；：；：二；：二并需； ；i ； ；! 鲥i ； i - ! i 韭l 韭l i l 捌i ! i i ；i i 崮；i i ：l i i ! i 引i 岩刳d 鼍罨端譬蛩篡搏薯嚣薷譬群嚣鬻 ；l ! ；i 劐；劐i i ；韭； i ；j 蝴；i i - 4 _ ! ；崮i ! l l ：i ；i ； 引! 捌赏g 目 二= 二= 一= = c 】 1 x = 二亡= c 亡 亡口= 一二= _ 二3 1 一一r 一1 一t 1 一r 一一一t r 1t1r f 一一、t j 一一r l 。rrr 一一一t 一一l 一1 + 一1 一 7 1 ；= - - i ；! ；! i 劐；i 韭；i 韭! i i i ；i 岿；羹 ；圭；崩i i i i i i 垒i 劐型d i 蓦鬟期羞强善臻羞i 毒鬟照至辜善篡訇 ；2 - - ；= - - ：；! g ；拈；：i 是；l ；i 岿；i ；i - - ：l - - ；鬣；i i ；! ；j i ；器： 薯琴蔫篝蓦餮嚣薯薹蕈篝藩嚣薯孽蟊 i ：! ；i ；：蠡g 划i ! ! i 娃 ；! ；捌；i ；i i 目i ； 钳；j ! ；x l 蚓i 崩目 图2 3 信号f ( t ) 的h i l b e r t 边际谱和能谱 的形式。这里的a ( t ) 和目( f ) 都是待定函数，并没有个确定的一般的形式。对 于e m d 方法的理论基础的完备，需要给i m f 个比较明确的数学定义，这就 需要人们对单一成分信号有新的认识。 2 3 3 样条曲线的选取 在e m d 方法分解过程中，在用样条曲线拟合上下包络的时候，样条曲线 对分解结果的影响并不是主要的。在大多数情况下三次样条曲线得到的结果已 图2 4 一个i m f 和上下包络 经很好【3 l 】，就没有必要使用更高次的样条曲线来拟合上下包络p “。但是对于边 0 d o 口 自；cili 上海大学硕士学位论文 界效应的处理，就和样条曲线的选择有关。 2 3 4 边界效应 和任何数据处理方法一样，边界的g i b b s 现象是不可避免的。在e m d 方法 分解的过程中，由于使用样条曲线来拟合极大值和极小值的包络线，在信号的 两端会引起飞翼现象【7 ”j 。从而使得分解得到的结果在端部失真，从而污染分 解得到的模态。虽然包络线是在局部定义的，但是e m d 方法分解过程是一个 迭代过程，这种数字污染会随着迭代的次数增加而向内传播。在数据长度比较 短，同时数据本身比较复杂的情况下，这种边界的效应会严重影响分解质量。 对于边界效应传统的做法是抛弃边界点。但是e m d 方法本身就是用来处理 非平稳、非线性信号，所要面对的信号本身长度就很短，如若再抛弃边界点， 就会非常可惜。所以，需要考虑用适当的方式来抑止边界效应的影响。h u a n g 给出的方法是在数据的两端添加特征波的方法 5 1 , 6 7 。对边界效应的抑止得到了 不错的效果。当然还有其它一些方法来抑制端点效应t 7 3 7 ”，但是，总体上来说， 都不是非常的理想，并没有一个通用的方法来很好地抑制边界效应。 2 3 5 判断准则和迭代过程 在e m d 方法分解过程中，判断迭代过程结束，分解得到i m f 的判据的选 取至关重要。如判据选择过严，则分解得到的分量趋于常值，而损失了物理意 义。判据过松，就会造成分解得到的结果不满足i m f 的定义。h u a n g 给出两次 过滤的标准差s d 判据取值范围在0 2 0 3 之间时 3 1 , 5 1 , 7 1 】，分解得到的结果，既 反应了原信号的特征，又可以较好地满足i m f 的条件。随后，r i l l i n g 7 0 】给出模 振幅判据在口z o 0 5 时可以得到较满意的结果。采用两个不同的判据得到的分 解结果基本一致，因而这里只采用h u a n g 的判据，而不再使用r i l l i n g 的模振幅 判据。 对于e m d 方法分解迭代过程，在分解得到第一阶模态后，就从原有信号里 面减去得到的模态，把减掉第一阶模态后的信号作为新的信号，再重复原来的 迭代过