（基础数学专业论文）关于几个数论函数的方程及其相关问题.pdf

摘要 众所周知，各个时代的数学家对于一些特殊序列及函数的算术性质的研究都十分重 视，已取得了许多数论方面的具有理论意义的研究成果新问题的出现比老问题的解决更 快著名的美籍罗马尼亚数论专家f l o r c n t i ns m a r a n d a c h e 在译为只有问题，没有解答 一书中提出了许多有趣的问题和猜想许多学者都对此进行了深入的研究，并获得了不 少具有重要理论价值的研究成果 本文基于对以上所述问题的兴趣，主要研究了数论函数的对数均值估计，以及一些 包含伪s m a r a n d a c h e 函数的特殊方程的正整数解的问题等具体说来，本文的主要成果 包括以下几方面： 1 、研究了函数l s ( x ) 的均值，并得到一个较强的渐近公式 2 、利用初等方法研究了一个包含s m a r a n d a c h e 函数与伪s m a r a n d a c h e 函数的方程 z ( ，1 ) + s ( 行) = k n 解的存在性并给出了方程所有的正整数解 3 、分析了著名的s m a r a n d a c h e 函数s 积) 的互反函数足0 ) 与伪s m a r a n d a c h e 函数 z ( ，z ) 的对偶函数z + ( 胛) 的关系，证明了方程墨( 刀) = z ) + 咒，疋( 刀) + z ( 刀) = 2 n ，有无 穷多个解，并给出部分解的表达形式 4 、利用初等方法研究了倒置毗连平方序列中的完全平方数 5 一彻襻施碱了劫溅n = l 南n 撇摊屁瓣町地袖腊 i 口一i j l 式 6 、提出了一个新的数论函数，并研究了此函数的一些特殊性质 关键词 s m a r a n d a c h e 函数，伪s m a r a n d a c h e 函数，渐近公式，方程的解 a b s t r a c t i ti sw e l lk n o w nt h a tv a r i o u st i m e sm a t h e m a t i c i a n sd e v o t e dm u c ha t t e n t i o nt ot h e p r o p e r t i e so fs o m es p e c i a ls e q u e n c e sa n d t h ea r i t h m e t i cf u n c t i o n ，a n do b t a i n e dm a n y s i g n i f i c a n tr e s e a r c hr e s u l t so nn u m b e rt h e o r y t h en e wq u e s t i o na p p e a r a n c ei sq u i c k e rt h a n t h eu n s o l v e dp r o b l e ms o l u t i o n f a m o u sa m e r i c a nn a t i o n a l i t yr o m a n i at h e o r yo fn u m b e r s t h e o r i s tf l o r e n t i ns m a r a n d a c h ei nt h eb o o kn a m e d “o n l yp r o b l e m s ，n o ts o l u t i o n s i n t r o d u c e d m a n yi n t e r e s t i n gq u e s t i o n sa n dc o n je c t u r e s m a n yr e s e a r c h e r sh a v es t u d i e dt h e s es e q u e n c e s a n df u n c t i o n s ，a n do b t a i n e dm a n yv a l u er e s e a r c hr e s u l t s id e v e l o pa ni n t e r e s ti nt h ef u n c t i o no fe s m a r a n d a c h e i nt h i sd i s s e r t a t i o nw em a i n l y s t u d yt h ea v e r a g ev a l u eo fs o m ea r i t h m e t i c a lf u n c t i o na n dd i s c u s ss o l u t i o n so fs e v e r a ls p e c i a l e q u a t i o n sc o n c e r n i n gp s e u d os m a r a n d a c h ef u n c t i o n t h em a j o ra c h i e v e m e n t sa r ea sl i s t e d b e l o w 1 s t u d yt h ea v e r a g ev a l u eo ft h ef u n c t i o nl s ( x ) a n da c h i e v ea na c c u r a t ea s y m p t o t i c f o r m u l a t ef o ri t 2 w eu s et h ee l e m e n t a r ym e t h o d st od i s c u s st h es o l v a b i l i t yo faf u n c t i o ne q u a t i o n c o n c e r n i n gt h ep s e u d os m a r a n d a c h ef u n c t i o na n dg i v ei t sa l lp o s i t i v ei n t e g e rs o l u t i o n s 3 a n a l y z et h ep r o p e r t i e so ft h ep s e u d os m a r a n d a c h ef u n c t i o nz ( n ) a n dt h es m a r a n d a c h e r e c i p r o c a lf u n c t i o n 疋( ，z ) ，p r o v et h a t 疋( 刀) + z ( 刀) = 2 n ，s a n ) = z + ( 咒) + 玎t h e yh a v e i n f i n i t ep o s i t i v ei n t e g e rs o l u t i o n s 4 w eu s et h ee l e m e n t a r ym e t h o d st os t u d yp e r f e c ts q u a r en u m b e ri nt h eb a c k c o n c a t e n a t e ds q u a r es e q u e n c e 5 w es t u d yt h ec o n v e r g e n c eo ft h i si n f i n i t ys e r i e st h r o u g ht h ee l e m e n t a r ym e a n s ，a n d g i v es o m ei n t e r e s t i n gr e s u l t s 6 i n t r o d u c ean e wn u m b e rt h e o r yf u n c t i o na n ds t u d yi t sp r o p e r t i e s k e y w o r d s s m a r a n d a c h ef u n c t i o n s ，p s e u d o - s m a r a n d a c h ef u n c t i o n s ，a s y m p t o t i cf o r m u l a t e ，s o l u t i o no f e q u a t i o n 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。学校 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。本人允许 论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制于段保存 和汇编奉学位论文。同时授权中国科学技术信息研究所等机构将本学位论 文收录到中国学位论文全文数据库或其它相关数据库。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：2 堂硷指导教师签名： 加哆年妇，p 日叩年争月勿日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及 取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，本 论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西北大 学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对 本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：空么冷 年月日 西北大学硕十学位论文 第一章绪论 1 1 数论的发展 人类从原始社会石头记数或结绳记数起，就有了自然数的初始概念在实践的过程 中发现了加法进而有加法结合律，同时数的概念也进一步扩充到零及负整数用零来表 示“无 ，减法的需要引入负整数正整数、零和负整数合称整数整数是人类能够掌握 的最基本的数学工具十九世纪德国伟大数学家k r o n e c k e r 因此说“只有整数是上帝创 造的，其他的都是人类自己制造的”数论就是专门研究整数性质的科学 自古以来，数学家对于整数性质的研究一直十分重视，初等数论中的质数、合数、 约数、倍数等概念很早就被古希腊的数学家提出来，而对于数论中一个最基本的问题整 除性在当时也已经有了系统的研究公元前4 世纪，欧几里得的几何原本通过1 0 2 个命题，初步建立了整数的整除理论，其中包括素数有无穷多个的证明公元3 世纪， 丢番图研究了若干不定方程，并分别设计巧妙解法，故后人称不定方程为丢番图方程 我国古代，许多著名的数学著作中都有关于数论内容的论述，比如求最大公约数、勾股 数组、某些不定方程整数解的问题以及有名的中国剩余定理等这些研究成果仅仅孤立 地记载在各个时期的算术著作中，也就是说还没有形成完整独立的学科 1 7 世纪之前，关于数论的研究依然零散，所受到的重视不够，直到业余数学家之王 费马出现之后，这种现象才有所改变，他利用业余时间对不定方程进行了深入研究费 马将不定方程的研究限制在整数范围内，这时，数学中才有了数论这门分支他在数论 领域中的成果是巨大的，其中有著名的费马大定理，同时发明了无穷下推法进一步推动 了数论的研究之后，欧拉证明了费马小定理并将其推广为数论中的欧拉公式，定义了 欧拉函数 到了十八世纪末，整数性质研究结果虽然已经非常的丰富了，但还很零散，把它们 整理成为一门系统的学科迫在眉梢德国数学家高斯就把历代数学家的成果整理汇编了 算术探讨，并在1 8 0 1 年发表了这部著作，这部书标志着数论研究进入现代数论了 确立数论为一门独立的学科后，数论的知识体系及研究方法也有了很大的进展按 研究方法的侧重点，数论可分成初等数论、解析数论、代数数论和几何数论 初等数论是数论中最古老的一个分支，古希腊毕达哥拉斯是初等数论的先驱它以 第一章绪论 初等、朴素的算术方法为主要研究方法，以整数的整除理论、不定方程、同余式等为主 要内容中国古代对初等数论的研究有着光辉的成就，周髀算经、孙子算经、张邱 建算经、数书九章等古文献上都有记载其中中国剩余定理，秦九韶的大衍求一术 驰名中外 解析数论是利用数学分析的方法为工具来解决数论问题一个分支，数学全才欧拉是 解析数论的奠基人，起源于素数分布、哥德巴赫猜想等问题的研究，主要有圆法、筛 法、三角和估计等方法 代数数论是数论中以代数整数，或者代数数域为研究对象一个重要分支其起源于 费马大定理的研究不少整数问题的解决离不开代数整数的研究整数研究理所当然的 推动了代数数论发展，相应地代数数论又推动了代数学的发展 几何数论是主要在于透过几何观点研究整数的分布情形，如圆内整点问题就是几何 数论中著名问题。德国数学家、物理学家闵可夫斯基是几何数论奠基人 在我国近代，数论也得到蓬勃发展在解析数论、一致分布等方面已取得了很好的 结果，出现了华罗庚、闵嗣鹤、柯召、陈景润、王元等一流的数论专家直到现在，数 论仍是数学中的一个重要分支，它与数学中的其他分支相结合也产生许多重要结果，相 信数论这位“数学皇后”在将来仍将焕发出更大的活力与青春 西北人学硕士学位论文 1 2 数论的魅力 数论是一门古老而优美的数学研究领域说它“古老 是因为自从有了人类文明， 就有了数论；说它“优美是因为数论问题提法简单而推理严谨、方法奇妙、公式卓越， 令人拍案叫绝 伯克霍夫说：“整数的简单构成，一直是使数学获得新生的源泉在整个数学中数 论分支是最有魅力的而对一些特殊数的探究，吸引着众多的专家和数学爱好者用大量 的精力去研究而乐此不疲 数论是美丽的科学对称是美学的基本法则之一，它广泛地存在于我们的日常生活 中，存在于千姿百态的动植物中，存在于人类创建的文明史中，当然也存在于数论中 就拿完全数为例完全数指一个整数等于除它自身以外的各个正因子之和，完全数是被 古人视为吉祥的数古希腊人在公元2 世纪末已发现四个完全数最小的完全数是 6 = l + 2 + 3 在自然数里，到底有多少完全数? 有人统计，在1 到4 0 0 0 0 0 0 0 这么多数中， 只有5 个完全数，他们是 6 = 1 + 2 + 3 = 2 1 + 2 2 2 8 = 1 + 2 + 4 + 7 + 1 4 = 2 2 + 2 3 + 2 4 = 1 3 + 3 3 4 9 6 = 1 + 2 + 4 + 8 + 1 6 + 3 1 + 6 2 + 1 2 4 + 2 4 8 = 2 4 + 2 5 + + 2 8 ：1 3 + 3 3 + 5 3 + 7 3 8 1 2 8 = l + 2 + 4 + 8 + 1 6 + 3 2 + 6 4 + 1 2 7 + 2 5 4 + 5 0 8 + 1 0 1 6 + 2 0 3 2 + 4 0 6 4 = 2 6 + 2 7 + 2 8 + 2 9 + + 2 1 2 ：1 3 + 3 3 + 5 3 + 7 3 + 1 5 3 还有一完全数是3 3 5 0 3 3 6 可见完全数是非常稀少的从第四个完全数到第五完全数的发 现经过了一千年，这是因为第五个完全数比第四个完全数大了4 1 0 0 多倍，直到1 9 9 6 年 人们具体写出了3 4 个完全数迄今为止发现的完全数都可以表达为2 的连续次幂之和： 除6 外，其他完全数都可表示为连续奇数的三次方之和；已发现的完全数均为偶数，没 有发现奇完全数，但也不能证明没有奇完全数；欧几里得不但正确地给出了求完全数的 公式：n = 2 州( 2 “- 1 ) 还给出严格的证明：若2 ”- 1 是素数，则2 川( 2 ”- 1 ) 的真因子之和 为：( 1 + 2 + 2 2 + + 2 ”。1 ) + ( 2 ”一1 ) + 2 ( 2 ”一1 ) + 2 22 - - 1 ) + + 2 ”22 - - 1 ) 对上式进行化简即得( 2 “一1 ) + ( 2 州- i ) ( 2 ”- 1 ) = 2 ”1 ( 2 ”- i ) 公式如此完美，证明如此简 第一章绪论 练的模式，怪不得完全数如此迷人，具有魅力但是1 9 3 6 年美国联合通讯社播发了一 条令外行瞠目结舌的新闻纽约先驱论坛报道说“s i k i r e g e r 博士发现了一个1 5 5 位的完全数2 2 5 6 f 2 2 5 7 1 1 这位博士说，为了证明它为完全数，足足奋斗了五年，这位博 士盲目行事，实际上，两千年欧几里得就已经告诉大家2 ”1 ( 2 ”一1 ) 是完全数，其中n 为 正整数，后经欧拉严格证明，欧几里得公式是正确的我们要注意学科的发展，否则发 现的“新大陆 并非什么新成就完全数只是数论数列的一种，孪生素数、亲和数、完 全平方数、多边形数、勾股弦数、魔术数等，在奇妙的数的世界邀游，不但可以开阔眼 界，还能启迪智慧 数论是奥妙的科学1 3 世纪意大利数学家斐波那契在他的算盘经的修订版中增 加了一条著名的兔子繁殖问题，竟然和我们熟知的黄金分割数0 6 1 8 相关他的问题是 一对兔子每一个月可以生一对小兔，那么，从刚出生的一对小兔算起，满一年可以繁殖 多少兔子? 从第一个月到第十二个月兔子的对数分别为：l ，1 ，2 ，3 ，5 ，8 ，1 3 ，2 1 ， 3 4 ，5 5 ，8 9 ，1 4 4 ，这个数列称为斐波那契数列这个数列的特点是从第三项起，每一项 等于它的前两项之和c = e 一。+ e - 2 ，( 刀3 ) 其通项为 f = 去睁h 学玎 奇妙的是公式中的含有无理数5 ，而刀用正整数代入时，所得结果却是正整数；相邻 两项的比为争，当，z 趋于无穷时，它的极限恰好是等兰0 6 1 8 ，斐波那契数列具有 特殊的神秘的魅力，国外专门出版了斐波那契数列，专门发表斐波那契数列的新发 现及新用途的文章，使斐波那契数列长盛不衰，生生不息 数论是严谨的科学，它必须精炼，准确，因而简洁美是数论的又一特色数论中的 简洁之美无处不在哥德巴赫猜想 1 每个不小于6 的偶数都可以表示为两个奇素数之和； 2 每个不小于9 的奇数都可以表示为三个奇素数之和 女口6 = 3 + 3 ，8 = 3 + 5 ，1 0 = 5 + 5 = 3 + 7 ，1 2 = 5 + 7 ，1 4 = 7 + 71 - - 3 + 1 1 ，1 1 = 3 + 3 + 51 3 = 3 + 5 + 5 这一猜想让小学生都能看懂，而且可验证某数字然 而，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意2 0 0 年过去了，没有人证 西北大学硕士学位论文 明它哥德巴赫猜想由此成为数论这项皇冠上一颗可望不可及的“明珠 人们对哥德巴 赫猜想难题的热情，历经两百多年而不衰世界上许许多多的数学工作者，殚精竭虑， 费尽心机，然而至今仍不得其解几乎每年都有不少数学爱好者从事“哥德巴赫猜想 1 3 数论的应用 数论对训练人的心智有用在数论的发源地古希腊，数论是用来培养高层人才的基 本课程，用以提高人的心智水平现在，数论题目经常在各种数学竞赛中出现，原因在 于数论题目简单易懂，富有挑战性，可以很大程度的锻炼数学思维，发现数学天才 数论也是密码学的理论基础密码学主要用到是大合数素因子分解换句话说，如果 给我们两个1 5 0 位的素数，算出他们的乘积，难度不大，但如果给一个3 0 0 位的数( 这 个数是两个1 5 0 位的素数的乘积) ，设置这两个素数就是密码，解密过程就是找这两个 素数过程，目前任何一个人无论利用当前最高级的计算机系统和最先进的算法，在有生 之年都是无法完成的，到找到这两个素数时，恐怕这已经不再是秘密了正是这种不可 能，使现在的采用大素数作为密钥的密码体系都非常安全 随着计算机的产生与发展给科学技术带来了巨大而深刻的变革，数论也随之有了更 加广泛的应用途径实践中所遇到的许多问题都必须离散化后才能在计算机上进行数 值计算、仿真模拟当然离散数学就显得非常重要，而离散数学的基础之一就是数论 1 4 研究背景与课题意义 我国著名数学家潘承洞院士所说，“提出一个问题往往比解决一个问题更难”美 籍罗马尼亚著名数论专家f s m a r a n d a c h e 教授一生中提出了许多序列、函数、悖论等并 以其名命名为s m a r a n d a c h e 函数、s m a r a n d a c h e 序列1 9 9 3 年在他所著的o n l y p r o b l e m s ，n o ts o l u t i o n s 一书中，他就提出了1 0 5 个尚未解决的数学难题，这些问题 的出现，已经引起了不少国内外学者的兴趣和关注，对其中的一些问题进行研究并给以 一定程度上的解决，可能会为某些数学问题的研究和发展提供了新的思路和方法 多数数论函数的单个取值都很分散，分布复杂，但是他们的均值( ，z ) 往往却具 n s j 有很好的规律性，数论函数均值是研究数论函数性质的重要途径和工具，也研究重要课 题当然包含数论函数的一些特殊方程的正整数解的问题也是数论的重要研究课题 基于以上的想法，我们应用初等数论等知识对s m a r a n d a c h e 函数的对数均值进行了 气 第一章绪论 研究，并得到了一个较强的渐近公式通过分析数论函数之间的关系，构造了几个包 含s m a r a n d a c h e 函数的方程，并讨论了方程的可解性用初等方法讨论了倒置毗连平方 序列及一个乘积序列的相关性质最后提出一个新的数论函数这些内容分布在第三章至 第六章具体说来，本文的主要成果和内容组织如下： 1 研究了函数l s ( x ) 的均值，并得到一个较强的渐近公式 2 利用初等方法研究了一个包含s m a r a n d a c h e 函数与伪s m a r a n d a c h e 函数的方程 z ( n ) + s ( n ) = k n 解的存在性并给出了方程所有的正整数解 3 分析了著名的s m a r a n d a c h e 函数s ( n ) 的互反函数疋( 行) 及伪s m a r a n d a c h e 函数 z ( 疗) 的对偶函数z ( ，z ) 的关系，证明了方程( 刀) + z ( 栉) = 2 n ，疋q ) = z 0 ) + ”有无穷 多个解，并给出其部分解的表达形式 4 利用初等方法研究了倒置毗连平方序列中的完全平方数 5 拥襻施蹴了劫缴n = l 高n 撇敛帧斗绌了世舶腊 l 口il l 式 6 提出了一个新的数论函数，并讨论了此函数的一些特殊性质 西北大学硕士学位论文 第二章关于s m a r a n d a c h e 函数一个均值 2 1 引言及结论 对任意正整数刀，著名的f s m a r a n d a c h e 函数s ( ，1 ) 定义为最小的正整数m 使得，ll ，l ! 例如s ( n ) 的前几个值s o ) = 1 ，s ( 2 ) = 2 ，s ( 3 ) = 3 ，s ( 4 ) = 4 ，s ( 5 ) = 5 ，s ( 6 ) = 3 ， s ( 7 ) = 7 ，s ( 8 ) = 4s ( 9 ) = 6 ，s ( i o ) = 5 ，s ( i1 ) = 1 1 ，s ( 1 2 ) = 4 关于s ( n ) 的简单算 术性质，文献1 1 中有详细地阐述，这里不再重复关于s ( 挖) 的更深刻性质，许多学者也 进行了研究，获得了不少有趣的结果，如美籍数论专家f l u c a 教授在文献 2 1 中讨论了函 数爿( x ) = - 兰2 s ( ，z ) 的上下界估计问题，给出t a ( x ) 的一个较强的上界估计同时他还在 ，n l i e 翻是绝对收敛的，并提出了下面的猜测： 猜测对任意实数x 1 ，有渐近公式 l s ( x ) 兰玎s ( 以) = i n 工一l n l n x + 0 0 ) n 一 xs己 第三章关于s m a r a n d a c h e 函数的方程 第三章关于s m a r a n d a c h e 函数的方程 3 1 一个包含伪s m a r a n d a e h e 函数的方程 3 1 1 引言 对任意正整数，z ，著名的f s m a r a n d a c h e 函数s ( 甩) 定义为最小的正整数m 使得刀i 肌! 即就是s ( n ) = m i n m ：m n ，咒i 删! 这一函数是美籍罗马尼亚著名数论专家 f s m a r a n d a c h e 在他所著的( ( o n l yp r o b l e m s ，n o ts o l u t i o n s ) ) 一书中引入的，并建议人们 研究它的性质! 从s ( n ) 的定义我们容易推出如果玎= p 产砖表示n 的标准素幂分解 式，那么s ( 刀) = m 。a ：x ， ，s ( p ；嘶) 由此我们不难计算出s 0 ) 的前几项为：s ( 1 ) = l ，s ( 2 ) = 2 ， s ( 3 ) = 3 ，s ( 4 ) = 4 ，s ( 5 ) = 5 ，s ( 6 ) = 3 ，s ( 7 ) = 7 ，s ( 8 ) = 4 ，s ( 9 ) = 6 ，s ( 1 0 ) = 5 ， s ( 11 ) = 11 ，s ( 1 2 ) = 4 ，s ( 1 3 ) = 1 3 ，s ( 1 4 ) = 7 ，s ( 1 5 ) = 5 ，s ( 1 6 ) = 6 关于s ( 玎) 的各种 算术性质，许多学者进行了研究，获得了不少有趣的结果! 参阅文献【7 ，8 ，9 ，1 0 1 例如在文献 u o l q b 杜凤英研究了和式 委而1 ( 3 1 ) 驯 ) l “， 为整数的问题，并证明了下面三个结论： ( a ) 当n 为无平方因子数时，( 3 1 ) 式不可能是正整数 ( b ) 对任意奇素数p 及任意正整数t 7 r ，当n = p 口且口p 时，( 3 1 ) 式不可能是正整数 ( c ) 对于任意正整数刀，当n 的标准素幂分解式为n = 开谬矿s ( n ) = p t 时，( 3 1 ) 式不可能是正整数 此外，j s a n d o r 教授引入了伪f s m a r a l l d a c h e 函数z ( 胛) 其定义为最小的正整数m 使得 n 整哪+ 2 + 3 ”| 】就翮炉i i l i nm ：m n , n l 掣) 眦的定义容易推 出z ( 玎) 的前几个值为：z ( d = 1 ，z ( 2 ) = 3 ，z ( 3 ) = 2 ，z ( 4 ) = 7 ，z ( 5 ) = 4 ，z ( 6 ) = 3 ， z ( 7 ) = 6 ，z ( 8 ) = 1 5 ，z ( 9 ) = 8 ，z o o ) = 4 ，z ( 11 ) = 1 0 ，z ( 1 2 ) = 8 ，z ( 1 3 ) = 1 2 ，z ( 1 4 ) = 7 ， 西北大学硕士学位论文 z 0 5 ) = 5 ，z ( 1 6 ) = 3 1 ，关于z 0 ) 的算术性质，许多学者也进行了研究，获得了不少 有趣的结果参阅文献 i i , 1 2 , 1 3 , 1 4 】本节主要研究数论函数方程 z ( n ) + s ( n ) = k n ( 3 2 ) 的可解性，其中k 为任意正整数，并利用初等及组合方法获得了这一方程的所有正整数 解具体地说也就是证明了下面的： 3 1 2 主要结论 定理3 1 当k = 1 时，以= 6 ，1 2 是方程( 3 2 ) 仅有的两个特殊正整数解；而此时其它正整数 以满足方程( 3 2 ) 当且仅当n = p 七或者万= p 2 口k ，其中p 7 为素数，2 口i i p - 1 ，k 是 1 p - f 1 ( 口) 的任意一个大于1 的奇数因子 定理3 2 当k = 2 时，n = 1 是方程( 3 2 ) 的一个特殊解；其它正整数n 满足方程( 3 2 ) 当且仅 当以= p ”其中p 5 为素数，“是号的任意一个偶数因子 定理3 3当k 2 时，方程( 3 2 ) 没有正整数解! 推论当七= 1 时，如果n 含有f e r m a t 素因子，则刀不可能满足方程( 3 2 ) 3 1 3 定理的证明 这节我1 f i n 用初等及组合方法来完成定理的证明首先证明定理3 1 这时k = 1 注意至0z ( 1 ) + s ( 1 ) = 2 1 ，z ( 2 ) + s ( 2 ) = 5 2 ，z ( 3 ) + s ( 3 ) = 2 3 ，z ( 4 ) + s ( 4 ) = 11 4 ， z ( 5 ) + s ( 5 ) = 9 5 ，z ( 6 ) + s ( 6 ) = 6 ，所以以= 1 ，2 ，3 ，4 ，5 不满足方程( 3 2 ) n = 6 满足 方程( 3 2 ) 于是当其它以满足方程( 3 2 ) 时一定有刀7 设n = p 产谬p 2 i l p 为，z 的标准 分解式，此时由f s m a r a n d a c h e 函数的性质知s ( 刀) = 懋 s ( 易q ) = - - s ( p 口) = “。p 其中p 为 某一只，口为某一，u 口 现在注意到p l ，z 及s ( 行) = “p ，所以可设行= p 口确当，z 满足方程( 3 2 ) 时我们有 z ( 刀) + u p = p “，l l( 3 3 ) 第三章关于s m a r a n d a c h e 函数的方程 首先我们证明在( 3 3 ) 式中口= 1 否则假定口2 于是由式( 3 3 ) 立刻推出p i z ( 刀) = m 由z ( ，1 ) ：研的定义知n = p a r h 整除掣而( 埘，m + 1 ) ：l ，所以p 。l 研从而由( 3 3 ) x - 戈 推出p 口i s ( n ) = “p 即就是p 扣1i “从而p ”1 “但是另一方面，注意到 s 仰) = s ( 矿) = p 由f s m a 眦d a c h e 函数叉以) 的性质知“口，所以p ”1s “口此式对 奇素数p 显然不成立 如果p = 2 ，则当口3 时，p 萨1 u 2 素数，口n 4 引理4 1 5 】z c p 口，= 孝；二三，夕为任意素数，口，口 3 2 4 定理的证明 ( 1 ) 很容易看出：n = 1 是方程( 3 4 ) 的解 当p 为素数，p + 2 为素数，因为z ( p ) = p 一1 ，s a p ) = p + l 第三章关于s m a r a n d a c h e 函数的方程 所以左= z ( p ) + 足( p ) = p - l + p + l = 2 p = 右故定理3 3 中a 成立 如n = l ，5 ，11 ，1 7 ，2 9 ，4 1 ，5 9 ，7 1 等 ( 2 ) 当p 为素数( p 5 ) ，刀= p 口( p 5 ，口2 ，口z ) ，当p 口+ 2 为素数 因为z ( p 4 ) = p 8 - 1 ，墨( p 口) = p 口+ 1 所以左= z ( p 口) + 疋( p 。) = p 口- l + p 口+ l = 2 p 8 = 右故定理3 3 中b ( 1 ) 成立 如n = 5 3 ，7 2 ，9 2 ，等 当口1 ，口n ，z = 3 口，3 8 + 2 必是一素数 因为z ( 3 口) = 3 口- i ，疋( 3 口) = 3 8 + 1 左= z ( 3 口) + ( 3 8 ) = 3 口- 1 + 3 口+ l = 2 x 3 口= 右 ( 3 ) 当p 2 为素数，n = 2 p 口，口1 ，口z 当p 口三3 ( m o d 4 ) ，显然p 口为比2 大的奇数 因为s 。( 2 p 口) = 2 p 口+ 2 k ( k = 1 ，2 ，3 ) z ( 2 p 。) = p 口 所以左= z ( 2 p 口) + 疋( 2 p 口) = p 口+ 2 p 口+ 2 k = 3 p 口+ 2 k 为奇数 右= 2 x 2 p 口= 4 p 口为偶数 显然，以= 2 p 。当p 岔暑3 ( m o d 4 ) 不满足方程( 3 4 ) 故定n 3 3 q b b ( 2 ) 成立 ( 4 ) p 5 ，夕1 ，夕z ，n = p 2 ，”，n = p 2 a + 1 + 2 必是一素数 因为z ( p 2 户+ 1 ) = p 2 芦+ 1 - 1 ，s a p 2 声+ 1 ) = p 2 声+ 1 + 1 左= z ( p 2 芦+ 1 ) + ( p 2 + 1 ) = p 2 ”一l + p 2 卢+ 1 + 1 = 2 xp 2 声“= 右 1 6 西北大学硕士学位论文 故定n 3 3 中b ( 3 ) 成立 其次证明定理3 4 显然n = l ，2 ，3 ，4 时均不满足方程( 3 5 ) ( 1 ) 当p - 与p + 2 为素数时( 1 9 5 ) ，s 。( p ) = p + l ，z ( p ) = 1 左= s 。( p ) = p + l 右= z + ( p ) + p = l + p 以= p 为方程( 3 5 ) 的解，当p + 2 为素数时如n = 5 ，11 ，1 7 ，2 9 ，4 1 ，5 9 ，7 l ( 2 ) 当口1 ，o f n ，刀= 3 口，则3 a + 2 必为素数 左= s 。( 3 “) = 3 口+ 1 右= z ( 3 口) + 3 口= 2 + 3 口 n = 3 口不是方程( 3 5 ) 的解，当口1 ，口n 时 若p 5 ，1 ，z ，n = p 2 ，贝, l j n = p 2 p + l + 2 必为素数 左= s 。( p 2 ，+ 1 ) = p 2 肛1 + 1 右= z ( p 2 f l + 1 ) + p 2 肛1 = l + p 2 + 1 n = p 2 + 1 为方程( 3 5 ) 的解，当p 5 ，1 ，z 时 第四章两个特殊序列 第四章两个特殊序列 4 1 倒置毗连平方序列中的完全平方数 4 1 1 引言及结论 对任意的正整数以，毗连平方序列口( ，1 ) 定义为口( 力) = 1 2 2 2 3 2 ( n 一1 ) 2 2 倒置毗连平 方序列6 积) 定义为：6 ) = - n 2 仍一1 ) 2 一2 ) 2 3 2 2 2 1 2 由定义知口( 行) 的前几项为：1 ，1 4 ， 1 4 9 ，1 4 9 2 5 ，1 4 9 2 5 3 6 ，由定义知b c n ) 的前几项为：1 ，4 1