（热能工程专业论文）有限深分层流中内孤立波二阶理论.pdf

华北电力大学硕七学位论文摘要 摘要 分层流体内孤立波是力学、物理学、应用数学和工程实际交叉的前沿性课 题，有很强的理论意义和实用价值。本文采用理论分析和符号运算相结合的方 法研究有限深分层流体内孤立波。针对上层流体密度均匀，下层密度随深度变 化的有限深混合分层模型，分别从l o n g 方程和e u l e r 方程出发，采用非线性与 色散平衡关系= d ( 占) ，结合p l k 方法和匹配渐近展开法，借助计算机代数软 件一m a t h e m a t i c a ，分析推导得出有限深内孤立波的一阶发展方程和一阶解， 同时建立二阶修正所满足的方程。通过比较发现两种方法推导结果具有一致性， 且一阶理论与前人研究结果相同。 关键词：内孤立波，分层流体，有限深，摄动方法 a b s t r a c t t h er e s e a r c ho nt h es o l i t a r yw a v e si ns t r a t i f i e df l u i d s ，i n v o l v e di nm e c h a n i c s ， p h y s i c s ，a p p l i e dm a t h e m a t i c s ，p r a c t i c a le n g i n e e r i n ga n de t c ，i sa na d v a n c e df i e l dw h i c h i so fp o w e r f u lp r a c t i c a la n dt h e o r e t i c a ls i g n i f i c a n c e t h es o l i t a r yw a v e si ns t r a t i f i e d f l u i d so ff i n i t ed e p t h ，i nw h i c ht h ed e n s i t yv a r i e sw i t hd e p t hi nl o w e rl a y e rb u tk e e p s u n i f o r mi nu p p e rl a y e r , a r ei n v e s t i g a t e db yu s i n gt h em e t h o do fc o m b i n a t i o no f t h e o r e t i c a la n a l y s i sa n ds y m b o l i cc o m p u t a t i o n t h ef i r s ta n ds e c o n d o r d e rt h e o r i e sa r e d e d v e dr e s p e c t i v e l yf r o mt h el o n ge q u a t i o na n dt h ee u l e re q u a t i o nb yu s i n gt h eb a l a n c e b e t w e e nt h en o n l i n e a r i t ya n dt h ed i s p e r s i o nw i t ht h es c a l i n g z = 0 ( s ) ，v i at h ec o m b i n a t i o n o ft h ep l km e t h o da n dt h em a t c h i n go fa s y m p t o t i ce x p a n s i o n si nv i r t u eo ft h ec o m p u t e r a l g e b r a i cs o f t w a r em a t h e m a t i c a i ti sf o u n dt h ee v o l u t i o ne q u a t i o na n di t ss o l u t i o n d e r i v e df o rt h ef i r s t o r d e rw a v ea m p l i t u d ec o n s i s tw i t ht h ec l a s s i e a lo n e s ，a n dt h e s e c o n d o r d e re q u a t i o no b t a i n e db yt h et w om e t h o d sh e r e i ni so fi d e n t i t y f a nz h o n g y a o ( t h e r m a lp o w e re n g i n e e r i n g ) d i r e c t e db yp r o f c h e n gy o u l i a n g k e yw o r d s ：i n t e r n a ls o l i t a r yw a v e s ，s t r a t i f i e df l u i d s ，f i n i t ed e p t h ， p e r t u r b a t i o nm e t h o d s 华北电力大学硕士学位论文符号表 主要符号表 色敖量度；：非线性量度； 密度有变化的流体层深度； 日： 流体总深度： 密度函数；p。 ： 上层流体密度( 常数) ： 基本状态流体密度分布； u o ( y 1 ： 基本状态速度分布； 基本状态压力分布； g * ：重力加速度； 特征波幅； k： 波数； 波数因子； c 0 ： 线性长波波速； 波速；c ： 波速； 孤立波波长； n 2： b r u n t v a i s l l l a 频率； b o u s s i n e s q 参数研培一；l ： 2 的特征值常数； 模态函数； o ) ： 与( y ) 线性无关的解： 流函数 y ： 铅垂坐标： 水平方向坐标或以波速移动的标架中的水平坐标； 铅垂方向坐标或表示流线上游高度的l a g r a n g e 坐标； x = 锨： y ：y = c i t y ； 重力加速度： f： 正常时间变量； 慢时间变量，f = s 2 t ； f ： 善= 掰 一c t ) ： 流线的铅垂位移r l = ，7 ( 力； ： 水平速度； 垂向速度；p ： 压力； 密度函数；口，矗 ： 非线性项系数： 单位质量流体水平质量力， ： 浅水色散项系数； 单位质量流体垂向质量力，矽 ： 有限深色散项系数； 已知函数，见附录；盯 ： 已知常系数： 已知常数，b 3 ，= e ( 矗) e 。( ) ； e ，( y ) ： 已知函数，见附录； 已知常数，见附录；罗 ：f o u r i e r 变换； h i l b e r t 变换；彳 ： 积分变换； 广义积分主值；z ： 各阶非齐次项； 各阶波速修正；i t ， ： 各阶波数因子修正； 非齐次方程的特解；a ( x ) 、工：一阶振幅； 力 移 力 v ，删 。 占而础纵砒口 r嘶a 盯如x y z g ， 可， 户五乃如b b 穷肼 q 仇 华北电力大学硕士学位论文符号表 r ， ：流线铅垂位移的各阶修正； a ，( x ) 、z ： f 阶振幅； 珥 ：下层各阶水平速度修正： 只 ： 下层各阶压力修正； t ： 下层各阶垂向速度修正； 只 ： 上层各阶压力修正： 矿 ： 上层各阶垂向速度修正； ( ，。 ： 上层各阶水平速度修正： ，：非齐次线性化方程非齐次项； 五，而 ： 外部匹配坐标伸展后的流线铅垂位移和波幅修正； 五，每 ：五，| 7 的傅立叶变换； r ，j ，j ，p ，户，b ，雪，万，彦：一阶孤立波解系数： 声明 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文有限深分层流中内孤立波二阶理论， 是本人在华北电力大学攻读硕士学位期1 1 日j ，在导师指导下进行的研究工作和取得的研究 成果。据本人所知，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发 表或撰写过的研究成果，也不包含为获得华北电力大学或其他教育机构的学位或证书而 使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的 说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：- j 窆芷立鞋一日期：旌区脚 关于学位论文使用授权的说明 本人完全了解华北电力大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保管、 并向有关部门送交学位论文的原件与复印件；学校可以采用影印、缩印或其它复制手 段复制并保存学位论文；学校可允许学位论文被查阅或借阅；学校可以学术交流为 目的，复制赠送和交换学位论文；同意学校可以用不同方式在不同媒体上发表、传播学 位论文的全部或部分内容。 ( 涉密的学位论文在解密后遵守此规定) 作者签名：茳盛主墼 日期：地啤坤日 聊签名：敝 日期：础牛中习 华北电力大学硕十学衍论文 1 1 研究背景及意义 第一章绪论 当扰动作用在处于平衡状态的流体上时，便形成了波动波动现象普遍存在于 自然界，如风吹过水面形成风浪，海水潮汐涨落形成潮波，空气或水中的声波等都 是流体波动现象【”。波动的流体既可以是均匀的，也可以是分层的。实际分层流体 的类型复杂多样，本文以密度分层流体作为研究对象，以下简称分层流体。为便于 理论分析，密度分层流体可概括为如下三类： ( 1 ) 间断分层流体：每层为均匀常密度，层与层之间不相容混。可作为有跃层 的大气或水体的简化模型。 ( 2 ) 连续分层流体：密度在深度范围内连续变化，是深度的连续函数。可作为 对流层中的大气和海洋跃层中的流体简化模型。 ( 3 ) 混和分层流体：由连续分层和间断分层流体组合而成。可作为有跃层的海 洋、大气和湖泊中的流体简化模型。 当扰动作用在分层流体内部时，形成的波动称为内波。研究表明。内波作为分 层流体中存在扰动的传播，是海洋中大中小尺度波动过程中重要的一环，对整个海 洋能量平衡起着积极作用。 内孤立波是内波中的一类波动，它们只有一个波峰，波长无限大，波形廓体不 随时空周期性变化。作为是一种非线性内波，与其它非线性内波相比，其波形在传 播过程中保持不变，并且能量绝大部分均集中在波峰附近。 在分层流体中，内孤立波的存在是密度变化与重力相互作用的结果。研究分层 流体中的内孤立波，除需考虑流体的深度范围、空日j 维数和密度分御外，还要考虑 流体温度、压力、旋度、自由面位形、底部地形、上游扰动、表面张力、是否有障 碍物等因素。 内孤立波按其传播空间的维数可以分为：一维内孤立波、二维内孤立波和三维 内孤立波。作为非线性效应和色散效应相互平衡的产物，依据表征其非线性和色散 的两个参数之间的关系可以分为：浅水内孤立波、有限深内孤立波和大深度内孤立 波，相应的色散关系分别是 c ( k ) - c o k 2 ，( i 1 1 ) 。 c ( k ) - c o k c o t h ( k h ) ，( 1 1 2 ) c o c ( k ) - c o 一( 1 1 3 ) c o 一 1 华北电力大学硕士学停论文 对应这几种色散关系，内孤立波的模型方程分别为： ( 1 ) k o r t e w e g - d ev i e s 方程( k d v 方程) ， 一q + a r r f + = 0 ， ( 2 ) i n t e r m e d i a t el o n g - w a v e 方程( 1 l w 方程) 仇一c i + a r l r l f + 芦z ( 像) = 0 ， 其中 么( 力= 一去e c o 呱埘) e x p ( j k f ) f ( f ) d k ， 这里罗( 力表示f o u r i e r 3 礅 f ( f ) - - 亡厂e x p ( 母孝) 嘶； ( 3 ) b e n j a m i n o n o 方程( b o 方程) r , 一q + a r l r l f + 夕字( 铥) = o ， 其中 律( 门：p 肜r 键出 ( 1 1 5 b ) ( 1 1 5 e ) ( 1 1 6 a ) ( 1 1 6 b ) 可以证明，i l w 方程在极限k h 1 下可以转化为k d v 方程，在极限k h 斗m 下 可以转化为b o 方程，从这个意义上说，有限深理论较浅水和大深度理论更具一般 性。 内孤立波在自然界中存在比较广泛【2 1 叫4 l 。大量研究表明，内孤立波不仅在低层 大气内的湍流生成和组织中起主导作用，而且在大气、海洋的能量、质量和动量的 传输中扮演重要角色【”h 2 ”。作为水波动力学理论的一部分，其研究又与能源电力 有着密切的关系，是海洋能利用的基础和关键。分层流体内孤立波理论的研究不仅 与物理海洋学、大气物理学、船舶及海洋工程、水利工程、环境工程、军事工程及 通信工程有着紧密联系【2 魏，而且对热能工程和工程热物理专业也有重要影响【2 3 卜f 2 引。 因此，分层流中内孤立波的研究具有很强的实际意义【2 6 1 。 同时，孤立波理论是应用数学、力学和物理学的一个重要组成部分，在流体力 学、固体力学、等离子体物理、半导体物理、地球物理、空间物理、非线性光学、 经典场论和量子场论等领域有着广泛的应用。孤立波理论的产生和发展是非线性偏 微分方程研究中的一个重大事件。它的研究受到了国际数学界和物理学界充分重 视，研究工作十分活跃，范围日趋广泛1 2 ”。作为孤立波理论研究的一个分支，分层 流体中内孤立波理论的研究具有不言而喻的学术价值。 可见，有限深分层流体内孤立波的研究作为分层流体内孤立波的一种具有很 强的理论意义和实际价值。 1 2 。国内外研究概况 孤立波是j s r u s s e l l 2 8 1 于1 8 3 4 年首先观察发现的。随后，j b o u s s i n e s q ( 1 8 7 2 ) ， r a y l e i g h ( 1 8 7 6 ) 1 2 9 1 及j m c c o w a n ( 1 8 9 1 ) 【3 0 1 等人继续进行了研究，取得了一系列 关于孤立波理论的重要成果，w h m u n k ( 1 9 4 9 ) 3 1 】对此进行了总结。a w e i n s t e i n 2 、， ) 4 妇 l ，l l ( 华北电力人学硕十学位论文 ( 1 9 2 6 ) ，j b 。k e l l e r ( 1 9 4 8 ) 1 3 2 1 等人对孤立波理论高阶近似解进行了早期的研究， 其研究模型如图 1介。 _ ，一，口 而 毛 i 图i 2 i 孤立波理论高阶近似解早期模型 k e u l e g a n ( 1 9 5 3 ) 3 3 1 和l o n g ( 1 9 5 6 ) 【3 4 】最早对内孤立波理论进行了研究，发 现波可以在两种不同密度流体的交界面上传播。b e n n e y ( 1 9 6 6 ) 3 5 1 和b e n j a m i n ( 1 9 6 6 ) 3 6 1 推出了有限振幅内孤立波控制发展方程，即浅水内孤立波方程，其研究模型为密 度突变层深度和流体总深度近似相等的连续分层流体，波长远大于总水深。b e n j a m i n ( 1 9 6 7 ) 和d a v i s & a e r i v o s ( 1 9 6 7 ) 研究了在无界流体薄密度突变层中传播的大深 度内孤立波。j o s e p h ( 1 9 7 7 ) 3 7 1 和k u b o t a ，k o & d o b b s ( 1 9 7 8 ) 3 8 1 对浅水和大深度 理论进行扩展，研究在既非浅水又非大深度流体中传播的有限振幅孤立波，提出了 有限深内孤立波理论。以上理论暑被用于计算孤立子内波的传播特征参数及分析其 源地，并在实验室和实际应用中得以检验。 近年来，内孤立波理论的研究向多维、连续分层发展，浅水和大深度内孤立波 理论不断深入，有限深内孤立波理论不断完善。下文首先从整体角度综述内孤波在 分层、维数方面的研究进展，从而把握内孤立波研究的方向：然后对本文工作的重 要基础高阶内孤立波的研究现状做分析评述。 从分层角度，单层流的研究进一步深入：l iy a 等( 2 0 0 4 ) 1 39 】采用伪谱数值方 法研究有限深均匀密度理想自由表面流一维发展方程。两层流理论继续发展，多层 流不断进步：魏岗( 2 0 0 3 ) 【4 0 i 研究了有限深二流体系统中点源运动生成的内波及其 与自由面的相互作用。s t a m p a p , j a c k a m ( 1 9 9 5 ) 1 4 ”采用实验研究不同密度两层大 深度流体间交界面薄层中传播的块状孤立波。a l b e r tj p , b o n a 儿，s a u tj c ( 1 9 9 7 ) 4 2 1 研究了两层均匀密度流体间变密度薄层中的i l w 模型，重点讨论了单一和两密度变 化层相邻的情形，v o r o n o v i c ha g ( 2 0 0 3 ) 娜1 分析了具有不变b r u n t v a i s a l a 频率、 在均匀密度两层流体间密度突变层传播的内孤立波理论等等，对2 5 层流体内孤立 波的研究不断取得进展。d o r i a nf r u e t u s & j o h ng r u e ( 2 0 0 4 ) 1 4 4 】分析了各层具有常 数b r u n t v 越s a l a 频率的多层流体完全非线性孤立波。关于连续分层流理论，b r o w n d j & c h r i s t i e d r ( 1 9 9 8 ) 4 5 1 研究了剪切b o u s s i n e s q 流中的完全非线性内孤立波理论。 3 华北电力大学项七学位论文 a i g n e r ，a c n i m s h a w , r ( 2 0 0 1 ) 4 6 】对合并惯性项忽略b o u s s i n e s q 近似二维运动方 程进行数值模拟。p r a s a dd & a k y l a st r ( 2 0 0 3 ) f 4 7 】以不变b r u n t - v a i s a l a 频率做周 期性垂直小波动的大深度连续分层流基底波动进行了分析。 在很多学者的努力下，对多维内孤立波的研究也取得进展。o a o ，y i t i a n ( 1 9 9 7 ) 1 4 8 1 将t a n h 方法应用于浅水2 + 1 维方程，得出类孤立波解系。y i l el i & p a u l d s c l a v o u n o s ( 2 0 0 2 ) 1 4 9 得出扰动产生的临界流速三维非线性浅水孤立波。程友良 ( 2 0 0 3 ) 睁叫给出两水平固壁间两层不可压缩理想流体中二维非线性界面波的演化方 程。而有限深内孤立波理论在二维基础上也发展到对三维的讨论，例如k a t a o k a ，t 等( 2 0 0 0 ) 【5 j 推出了三维有限深均匀分层流体中有限振幅长内波二维流动完全非线 性发展方程。 继k u b o t a ( 1 9 7 8 ) 将有限深水i l w 方程在相应极限下分别转化为k d v 方程和 b o 方程之后，对内孤立波模型方程之间存在的普遍联系和统一理论的研究不断取 得进展。m a t s u n oy ( 1 9 9 3 ) 1 5 2 1 给出任意深二层流体非线性传播的统一理论近 似非线性发展方程n e e s ，通过与现存的n e e s 理论比较，发现该理论包括了几乎所 有现存理论作为其特殊情形。c h o iw ，c a m a s s a r ( 1 9 9 6 ) p m 推出了两层流体系统自 由表面处二维弱非线性水波的一般发展方程，浅水极限时该方程可以转化为二维内 波b o u s s i n e s q 方程，而在下层水深为大深度和无限深时，可分别转化为一维单向传 播的i l w 方程和b o 方程模型。p e g o ，r o b e r tl ( 1 9 9 9 ) 1 5 4 l 证明了等方性b e n n e y - - l u k e 方程系可在适当极限下转化为k d v 方程和k p i 、k p i i 方程。d u l l i n ，h r ( 2 0 0 3 、 2 0 0 4 ) 【55 】等发现在k d v 方程渐近展丌时能够得出浅水波c h 方程，而在浅水波渐近 展开时可以得到可积三阶k d v 方程，同时发现了c h 方程与可积五阶k d v 方程之 间的联系。 分析内孤立波高阶解的研究进展，先对浅水和大深度方向做简要介绍，这里提 及的文献是本文工作的基础。h i r o a k io n o ( 1 9 7 5 ) 5 6 1 以下层流体密度随深度变化， 上层密度均匀的混和分层流体为例，将b e n j a m i n 理论推广到了不定常情形，得到了 b e n j a m i n o n o 方程。r g r i m s h a w ( 1 9 8 1 、1 9 8 3 ) 5 7 1 1 5 8 】分别研究了一般密度分布下 存在基本流动的分层流体中的浅水和大深度孤立波二阶理论，得出波形和波速的二 阶修正以及波长的一阶修正。程友良( 1 9 9 7 ) i s 9 直接从e u l e r 方程出发推出大深度 混合分层流体内孤立波二阶理论；并对一般密度分稀的分层流体浅水内孤立波进行 了三阶理论研究，得到波形和波速的三阶修工f 以及波长的二阶修正。 对有限深内孤波解的研究，从j o s e p h ，r i ( 1 9 7 7 ) 丌始。他给出在弱非线性有 限振幅扰动下满足w h i t a m 方程和上下边界为固壁条件的薄密度突变层中传播的一 阶内孤立波解，同时发现该解在浅水和大深度极限下可以分别转化为k d v 和b o 孤 立子解t k u b o t a ( 1 9 7 8 ) 【3s 】推出有限深薄密度突变层中传播的弱非线性长波的控 制方程，该方程可以扩展到密度突变层靠近上、下边界，能够适用于h 2 l 、 4 华北电力人学硕士学位论文 h 2 l 、h 2 = d ( 1 ) 的情况，在浅水和深水极限下可以分别转化为k d v 和b o 方 程h 。c h e n & y c l e e ( 1 9 7 9 ) 1 6 0 1 研究了有限深两层流体非线性内波方程的解，通 过h i r o t a 法找到n 一孤立子解，讨论了解的不同形式在适当条件下与k d v 、b o 解 之间的关系c g a r yk o o p ( 1 9 8 1 ) 净1 1 采用实验研究了两层流体系统中有限振幅内 孤立波周清甫( 1 9 8 5 、1 9 8 7 ) 【6 2 】【6 3 1 通过对有限深两层强分层流体分析，分别从上 下两层流体出发，给出各层满足的l a p l a c e 方程与交界面上运动学与压力条件，结 合底部条件和交界面条件，求得自由表面存在条件下的三阶内孤立波发展方程并通 过数值方法解出。此外，还有许多研究者为推出i l w 方程周期解的分析表达式做了 尝试，并为i l w 方程引进纯虚波数的求解方法( j o s e p h & e g r i1 9 7 8 【6 4 】；c h e n & l e e 1 9 7 9 1 6 5 】：n a k a m u r a & m a t s u n o1 9 8 0 1 6 6 】) 。然而，a b l o w i t zc ta 1 ( 1 9 8 2 ) 6 7 j 发现这些 分析解由于推导时采用的方法有局限性而只能应用于具体的极限情况。后来，m i l o h ， t o u v i a ( 1 9 9 0 ) 1 6 s 推得了i l w 方程周期解的分析表达式，并发现该解可由线性孤 立子叠加而成。y a n gt s ，a k y l a st r ( 1 9 9 5 ) 1 6 9 1 分析了j o s e p h 提出的有限深分层流 长波发展方程，并发现该方程孤立子解在三阶偏导色散摄动时表现出非局部性，并 在无限长区域内出现摆动的尾部和小振幅指数。p e l l o n ib ，d o u g a l i sv a ( 2 0 0 0 ) u 0 l 采用谱方法求解两非局部、非线性、色散、可积水波b o 方程和i l w 方程，并得出 数值解。 纵观国内外关于分层流体中内孤立波的研究，在高阶解的理论分析和符号运算 研究方面，我们认为，浅水和大深度方向研究较多、进展较为深入，对有限深理论， 尤其是有限深二阶和三阶理论的研究相对很少；已有研究主要针对两层强分层流体 或两层间具有薄密度跃层的流体模型，对三层及以上和混合分层流体模型的研究仍 比较缺乏。 1 3 研究目的与内容 1 3 1 内孤立波二阶理论研究的出发点 对有限深内孤立波的研究，j o s e p h ( 1 9 7 7 ) 从w h i t h a m 方程出发结合有限深条 件给出了一阶内孤立波解，k u b o t a ( 1 9 7 8 ) 推出了薄密度突变层中传播的弱非线性 长波的控制方程，他们的研究奠定了有限深内孤立波一阶理论的基础。随后若干学 者( j o s e p h ( 1 9 7 8 ) 、c h e n ( 1 9 7 9 ) 、n a k a m u r a ( 1 9 8 0 ) 、a b l o w i t z ( 1 9 8 2 ) 、m i l o h ( 1 9 9 0 ) 、 y a n gt s ( 1 9 9 5 ) ) 采用不同方式对一阶理论进行了探讨，这晕不再一赘述。 为了验证一阶理论的正确性，k o o p 等人( 1 9 8 1 ) f 7 1 】和s e g u r 等人( 1 9 8 2 ) 1 7 2 1 分别进行了实验研究，发现只有当波幅很小时一阶解才能给出正确结果。随着波幅 增大，精度迅速恶化。另一方面，在海洋和大气中观测到的很多孤立波育相当大的 振幅( o s b o r n e 和b u r c h ( 1 9 8 0 ) ) ，一阶理论不足以作出精确描述。因此发展二阶理 5 华北电力大学硕士学位论文 论是非常必要的。然而，迄今为止，就我们所知，有关有限深内孤立波二阶或者高 阶理论的结果还不多见，而现有理论也需要进一步完善为此，本文准备对内孤立 波二阶理论作些探讨。 通过对国内外研究进展的分析，我们注意到从l o n g 方程出发，o r i m s h a w ( 1 9 8 1 、 1 9 8 3 ) 对深水和浅水内孤立波方向分别进行了研究，得出令人满意的二阶理论。更 进步她，程友良( 2 0 0 1 ) 从该方程出发得出浅水内孤立波高阶理论。o n o ( 1 9 7 5 ) ， 程友良( 1 9 9 7 ) 从e u l e r 方程出发，得出与实验观测一致的深水二阶理论。然而， 在我们调研的范围内，很少有人直接从l o n g 方程和e u l e r 方程出发对有限深内孤立 波进行分析，本文将分别从这两个方程出发做尝试分析。 值得指出的是，周清甫( 1 9 8 7 ) 对有限深两层强分层流体中内孤立波进行了研 究，求得了三阶发展方程及波速的解析表达式。这里。我们从混合分层流体出发研 究有限深内孤立波，扩展了模型的适用的范围以求理论研究能更加接近实际。研究 发现，文中推得的发展方程与两层强分层流体导出的方程对应，进而说明我们的工 作更具普遍性。 1 3 2 混合分层流体模型简介 对有限深分层流体内孤立波解的研究，已有研究者使用的分层流体模型可概括 为如下几种：不同密度两层强分层流体模型( h h c h e n & y c l e e ( 1 9 7 9 ) 、c g a r y k o o p ( 1 9 8 1 ) 、周清甫( 1 9 8 5 、1 9 8 7 ) ) ：两层强分层且层间有薄密度突变层的流体 模型( j o s e p h ，r i ( 1 9 7 7 ) 、m i l o h ，t o u v i a ( 1 9 9 0 ) 、y a n gt s ，a k y l a st r ( 1 9 9 5 ) ) ， 包括该层接近流体上、下边界( k u b o t a ) 的类型。 上面模型适用范围均有较多限制，然而自然界中流体：如海洋、大气、湖泊甚 至液膜，其密度变化范围广泛、变化形式复杂多样。为使理论研究具有更广泛的应 用价值，作为上面各理论模型的扩展，本文采用更加接近实际的分层流体模型 混和分层流型。 图1 3 2 1 混合分层流体模型 6 华北电力人学硕士学位论文 考虑流体模型分为两层：刚性底部o ，= o ) 上厚度为h 的有限稳定层( 0 y h ) ， 其密度分布随y 变化，基本密度分布和基本速度分布分别为p o ( y ) 和u 0 ( ) ，) ；此层上 部( h j ，密度分布为常数，上边界取为固壁。并假定密度梯度在j ，= 处连续， 其密度分布如图1 3 2 1 ，接近大气流体运动的情况。考虑无粘不可压流体二维运动。 波长水深关系仍满足经典关系式2 h l ，向h 1 ，仅假设非线性与色散平衡关系式 满足 2 h = o ( a l h ) ，( 1 4 2 1 ) 则按照有限深振幅波长超越关系式 ， 口a c o t 旦：一望，( 1 4 2 2 ) a口 可见h 2 = d ( 1 ) 时，上式中余切项有界，满足上面平衡假设：容易证明该平衡假设 同样适用于周清甫( 1 9 8 7 ) 中对分层流体的假设。同时说明了该有限深色散与非线 性平衡假设具有相当的代表性，对前人在有限深分层流体中所用研究模型是普遍适 用的。用表示非线性量度，它是波幅与特征长度h 的比值：占表示色散量度，它 是特征长度h 与特征波长五的比值。因此非线性与色散效应的合适平衡关系满足 = d ( 占) 。 1 4 研究方法 采用理论分析( 主要是渐进分析) 和符号运算( 主要是计算机代数) 相结合的 方法对有限深混合分层流体内孤立波二阶理论进行研究。引进g a r d n e r - m o r i k a w a 变 换，采取p l k 方法与匹配渐近展丌的摄动方法相结合，从l o n g 方程出发分析问题 的定常性态、从e u l e r 方程出发分析问题的非定常性态，分别建立有限深内孤立波 二阶理论。通过比较证明，两方法推导得出的一阶理论在定常积分一致的基础上更 与前人研究结果相符，二阶理论在具有各自特点的基础上有很强的一致性。 由于问题的复杂性，运算过程不胜其繁，但同时注意到从l o n g 方程和e u l e r 方 程出发，运算推导规律性较强，便于用计算机代数进行符号运算。因此，本文将摄 动方法与计算机代数符号运算相结合，以m a t h e m a t i c a 软件为工具，充分运用 该软件在符号运算方面的灵活性，发掘计算机代数软件在处理非线性水波问题的潜 力。 7 华北电力大学硕士学位论文 第二章数学方法和数学语言 为了便于本论文的阅读，在此将文中用到的数学方法和数学语言简介如下： 2 1 摄动方法 2 1 1 概述 一个工程问题或物理问题，在抽象成可以用基本定律讨论的简单模型后，下一 步工作就是建立与求解微分方程。所遇到的问题绝大多数是很难求得精确解的，更 何况很多情况下方程的定解问题本身就是近似的。这时求得问题的近似解具有普遍 意义近似解有两类：一类是解析的近似解，另一类是数值近似解。摄动方法 ( p e r t u r b a t i o nm e t h o d s ) 就是求微分方程定解问题的解析近似解的一大类方法的总 称。 就流体力学发展而言，摄动方法作出了很多历史性贡献。包括p r a n d t l 机翼理论、 p r a n d t l 的边界层理论、非线性波动问题在内的等许多著名理论都是通过摄动方法建 立的。而理想可压缩流体力学、粘性不可压缩流体力学中的许多具体问题更是需要 借助摄动方法才能得以解决1 7 引。 随着计算机科学与技术的飞速发展，差分法、有限元法等数值方法得到了广泛 的应用，但这并没有削弱摄动方法的重要作用。采用该方法得出的近似解析解简单 而又准确，容易看出每个物理参数对解的影响，有助于弄清解的解析结构，这是数 值方法所不能比拟的。摄动方法可以分为许多种：坐标摄动与参数摄动、正则摄动 与奇异摄动、p l k 方法、匹配渐近展开方法、多重尺度法等等，下面重点介绍文中 应用到的几个摄动方法。 2 1 2 几种摄动方法简介 设有函数序列 纯( x ) ) = 1 ，2 ，) ，如果满足两个条件： l i r a 纯( x ) = 0 ， j + 乓 l i m 趔：0 。 。- 纯( 工) 我们便称 纯0 ) ) 构成一个渐近序列。 对于函数f ) ，如果可以找到一组常数 = l ，2 , - - ) ，使得 ，( x ) = r + 纯o ) + ( x ) ( 2 1 2 1 b ) 这里 纯( x ) ) 是渐近序列，当工一而时如( z ) = 口【纨( z ) 】，则称届+ 纯o ) 为渐近展 开式，如( 工) = d 【+ 。o ) 】为余项。 ”1 r 华北电力大学硕士学位论文 2 1 2 1 坐标摄动和参数摄动 设微分方程定解问题为： l ( w ，z ) = 0 ，( 2 1 2 1 x a ) q ( 叻= 0 ( 2 1 2 1 1 b ) 其中三表示方程微分算子，q 表示边界微分算子，是自变量x 的函数。已知当石一x 0 时问题的解为w = w o ，我们研究当z 在矗附近时，w 对w 0 的偏差。用自变量x 的函 数构造渐近序列及渐近展开式，表示w 对w 0 的偏离，这样的摄动法叫做坐标摄动法 如果摄动问题是含有小参数的微分方程定解问题，用参数占的函数构造渐近 序列及渐近展开式求近似解，这样的方法叫参数摄动法。参数摄动法包含正则摄动 与奇异摄动两类问题。 2 1 2 2 正则摄动和奇异摄动 如果摄动问题是含小参数s 的微分方程定解问题p ( 0 ，满足 e ( 8 ) ：l 【w ( x ，f ) 】= g ( x ，占) ，x = ( 五，x 2 ，) q ( 2 1 2 2 1 a ) 坟， w c x , e ) 】= 仍( x ，占) ，( ，= o ，1 ，2 ，k ) ( 2 1 2 2 1 b ) 其中0 占1 ，l 表示方程的微分算子： t ；厶+ 占上l ， ( 2 1 2 2 1 c ) e ，表示定义在边界( 或部分边界) 上的微分算子。若p ) 的解w ( z ，占) 能够用占的 幂级数表示： 三 b 印w o + 占”w a x ) ( 2 1 2 2 2 ) 一i 并且在区域q 中一致有效，那么便称p ( e ) 是区域q 中的正则摄动问题，否则称为奇 异摄动问题。 正则摄动问题可用正则摄动法求解。即取 为渐近序列，构造小参数e 的幂 级数展开式，根掘微分方程及定解条件，求出每一项系数，逐步进行便可以得到问 题一致有效的渐近解，这种方法便是正则摄动法。正则摄动问题的主要特点是，采 用单一尺度变量便可以构造出在感兴趣的区域一致有效的渐近解。 奇异摄动问题则必须把单一尺度变量改变为多于一个尺度的变量，才能构造出 所需要的一致有效的渐近解。处理奇异摄动问题的方法为奇异摄动法。 2 1 2 3p i _ k 方法 p l k 方法是的奇异摄动方法中第一个方法系。该方法的基本思想是，为了求得 一致有效的渐近展开式，除了要对函数作渐近展开外，对自变量也要作渐近展丌， 即把坐标加以变形，所以这个方法也叫做“变形坐标法”。 该方法由l i n d s t e d t 、p o i n c a r e 等人创始。对形如w 艿2 w = e g ( w ，w 3 的方程，在 用直接展开法求正则摄动解的同时，将参数万也展开成级数形式 9 华北电力大学硕士学位论文 j = 磊+ 瓯+ 占2 屯+ 一( 2 1 2 3 2 ) 通过调整系数磊，4 ，最的数值消除了长期项，从而得到了在形式上一致有效的解。 后经p o i n c a r e 严格的数学方法证明，称该方法为l - - p 方法。 由于l - - p 方法在使用时的局限性，l i g h t h i l l 对该方法作了推广，郭永怀将其应 用到大雷诺数( r e y n o l d s 数) 粘性流体流动的研究中去，并与p r a n d t l 的边界层方法 相结合，这就是p ( p o i n c a r e ) - - l ( l i g h t h i l l ) 一k ( k u o ，y h 即郭永怀) 方法。 2 1 2 4 匹配渐近展开方法 现代匹配渐近展开方法是在p r a n d t l 边界层理论的基础上发展起来的。 边界层理论的基本思想是，除去在物体表面极薄的一层外，可以认为流体处处 是理想的这样把粘性流体绕流问题分成两个区域来考虑，一个区域是粘性可以略 去的外部区域，另一个是要考虑粘性的边界层区域。在外部区域可用直接展丌法求 出流场。在很薄的边界层区域中，通过坐标变换，找出能够描述流体切向速度变化 的展开式。由此而产生的两个解，一个是通过直接展开求得的外部解；另一个是内 部解，通过引入一个伸展变量，把坐标的尺度放大，在两个解交界处的公共区域上 使外解和内解吻合。这种把两个解在共同有效的区域连接起来的方法即是匹配法。 匹配渐近展开方法要求把整个区域划分成外部区域和内部区域，在不同区域里 使用不同尺度的变量。外部解是用正则摄动法求得的解，作为基本解的绝大部分区 域是有效的。内部区域是问题奇异性的区域，这里函数变化剧烈。注意到，采用匹 配渐近展开方法进行模型分析时一个不可缺少的前提就是，外部解和内部解需要有 公共的有效区域【”】。 我们这里采用匹配渐近展丌的方法，将混合分层流体上层密度均匀的流体层视 为外部区域，下层密度随流体深度变化的区域视为内部区域，将上下两层流体在两 层交界区域内匹配，进而得到我们所求的方程。 2 1 3 应用摄动方法注意事项 运用摄动方法解决实际问题的关键是建立合适的数学模型，进而根掘问题性质 选择对应的摄动方法。模型建立过程中需要包含保留某些元素，忽略某些元素，并 对其它元素作近似，即无量纲化1 7 ”。经过无量纲化的方程表示为决定系统性状的重 要参数的函数。下文从无量纲l o n g 方程出发，推导得出控制方程和解的过程即满 足这一要求。 在顺利的情况下，摄动解可以达到完全令人满意的结果。但往往不能认为级数 总是收敛的，对于参数摄动来说尤其如此。然而，解的渐近性质表明，只要小参数 适当小，计算几项便可达到要求的精度。同收敛级数相比较，利用渐近级数可以减 少工作量，即在要求达到同样精度下，渐近级数需要的项数明显会低于收敛级数需 1 0 华北电力火学硕士学位论文 要的项数。 从物理和力学的观点来看，采用匹配渐近展开的摄动方法时，一些问题中外部 区域、内部区域是十分明显的。但对有些问题来说，二者却不是很明显。这时我们 可以通过试算和假设的方式尝试解决。同时，在采用该方法进行高阶近似运算时， 其过程是十分繁琐的，而且经常会遇到一些意想不到的困难和问题，这是我们在采 用该方法时应当注意的问题。 摄动方法繁琐，这是其不足之处，运用有关公式推演的计算机软件可以在很大 程度上解决该问题。实践证明，采用计算机代数符号软件m a t h e m a t i c a 与摄动 方法相结合，对于处理有限深分层流体内孤立波问题很有益处。 2 2 计算机代数符号处理软件m a t h e m a t ic a 2 2 1 m a t h e m a t l c a 概述 在众多的数学软件中，就软件的内核而占，可分为两大类。一类是数值计算型 软件，如m a t l a b 、x m a t h 、g a u s s 、m a l b 等，这类软件具有较强的计算能力和可视 化功能，运行效率较高。另外一类是数学分析软件，如m a t h e m a t i c a 、m a p l e 等， 它们处理符号运算的功能特别强，可得到解析符号解和任意精度解。由w o l f r a m 研 究公司研制的m a t h e m a t i c a 系统具有运算功能齐全( 可做几乎所有可行的数学运 算) 和扩展功能强的优点。本文在应用摄动方法求解的过程中，就用到了 m a t h e m a t i c a 软件进行推导过程的验算。 作为目前最优秀的科学计算软件包之一，m a t h e m a t i c a 是一个交互式、集成 化的计算机软件系统，是世界上仅有的科学计算的完全集成环境。它的主要功能包 括三个方面：符号演算、数值计算和图形功能。 m a t h e m a t i c a 最重要的特征之一是它不仅能做数值计算，还能进行符号运 算。这意味着它能像处理数一样处理代数公式。这也是本文选用它协助运算推导的 原因。此外，m a t h e m a t i c a 系统有很好的扩展性。m a t h e m a t i c a 系统本身就 提供了一批能完成各种功能的软件包，而且它还提供了一套类似于高级程序设计语 言的记法和变换规则，用户可以利用这个语言编写具有专门用途的程序或者软件 包。 自从1 9 8 8 年m a t h e m a t i c a 第一次发行，已对计算机在许多技术和其它领域 中的使用方法产生了深远的影响。目前，m a t h e m a t i c a 已在整个科学界物理 学、生物学、社会学和其它方面得到广泛应用，并在许多重要发现中起着至关重要 的作用，成为成千上万科技论文的基础。经过多次的版本更新，m a t h e m a t i c a 功 能日渐强大，使得其应用越来越得心应手。 华北电力大学硕士学位论文 2 2 2 运用m a t h e m a t i c a 进行符号运算 符号运算的主要功能在于：在计算机上以符号形式进行运算，实现公式的机器 推演。如果与初等数学相类比，寻常的数值计算可比拟为算术运算，而符号运算则 可比拟为代数运算( 故有计算机代数之说) ，前者只适用于个例分析，而后者的结果 则具有普遍性，因此，符号运算有数值计算无法比拟的优越性。由