（船舶与海洋结构物设计制造专业论文）薄壁梁轴向碰撞下的动力弹性分析.pdf

攮要 薄壁梁轴向碰撞下的动力弹性分析 摘要 结构的碰撞问题一直以来广受工程技术人员和研究人员的关 注。但几十年以来，对于梁的轴向碰撞问题都是以具有弯曲初始缺 陷和双轴对称的实心矩形断面梁为研究模型。本文运用薄壁结构力 = _ f t ! ! = = 一 学的理论对具有非对称断面的薄壁梁的轴向碰撞问题进行了分析， 分析中假定梁具有弯曲初始缺陷。薄壁结构在工程领域中有着广泛 的应用，一些大型结构，如船体结构、飞机结构、桥梁结构、起重 及车辆以及某些建筑结构等，都是由薄壁结构构成的，因此对薄壁 梁的轴向碰撞问题进行研究是十分有意义的。 ， ( 具有非对称断面的薄壁梁与一般的具有双轴对称的实心矩形断 面梁有所不同。由于非对称断面薄壁梁的扭心与形心不重合且扭转 刚度较小，受到轴向加载后，轴向力、轴向惯性力和侧向惯性力都 会对梁产生扭转作用，因此梁会发生扭转并伴有扭转惯性，对于边 界受约束的薄壁梁还会产生二次扭矩，同时弯曲和扭转还会产生耦 合。因此，具有弯曲初始缺陷和非对称断面的薄壁梁的轴向碰撞问 题要比一般的矩形断面实心梁的碰撞问题复杂。本文推导出了具有 任意断面形状和弯曲初始缺陷的薄壁梁的动力学方程式。推导中假 设梁的变形为小变形，梁的材料为理想弹性，考虑了轴向拉压、弯 曲与扭转的全耦合，考虑了梁的轴向惯性、侧向惯性和扭转惯性， 忽略了梁截面的旋转惯性和剪切变形的影响，给出了梁任意断面处 轴向力的表达式。对于碰撞问题，本文研究质量碰撞，即梁受到一 具有常质量物体的对心( 形心) 轴向碰撞，这种模型与实际的碰撞 摘要 现象比较相似。 本文以两端固支的具有槽形断面的薄壁梁为例对控制微分方程 进行了数值求解。求解中采用中心差分的方法，分别对空间和时间 进行了离散，建立起了薄壁梁受轴向碰撞后瞬态响应的差分格式， 并用c + + 语言进行了程序编制，用m a t l a b 对计算结果进行了可视化 处理。 对于计算结果的分析，本文主要考虑薄壁梁的动力弹性屈曲问 题和模态响应问题。具有初始缺陷的薄壁梁受轴向碰撞后的失效形 式为屈曲，即量变失稳。动力屈曲与静力屈曲不同，不能简单地归 结为静态的欧拉临界载荷。本文以梁中点处的位移和扭角的最大值 对于不同的碰撞初速度的激增为准则来确定梁的临界碰撞速度和动 力临界载荷。同时，对于初始缺陷对于梁的动力弹性屈曲性能的影 响进行了分析。另一方面就是梁的动力响应模态问题，本文对于梁 在多种碰撞速度下的响应模态问题进行了分析并对初始缺陷对于响 应模态的影响进行了分析讨论。j 夕人一 关键词：薄壁梁，轴向碰撞，动力分析，动力弹性屈吵匿垂塑查 一一 国， 、一 h a b s t r c t d y n a m l 0e l a s t i ca n a l y s i so ft h i n - w a l l e d b e a m ss u b j e c tt oa x la lim p a c t a b s t r a c t t h ei n v e s t i g a t i o no fd y n a m i ce l a s t i cb u c k l i n gh a sb e e n c a r r i e do u to nb e a m sw i t hs o l i dc r o s s s e c t i o n s w i t h c o n s i d e r a t i o no fi n i t i a lg e o m e t r i c a li m p e r f e c t i o n w h e n s u b j e c tt oa x i a li m p a c t s i n c et h ee a r l i e rw o r ko fk o n i n ga n d t a u b 1 a n dm u c hp r o g r e s sh a sb e e nm a d e b u tt ot h ea u t h o r s k n o w l e d g e ，m u c hl e s sw o r kh a sb e e nd o n eo nt h ed y n a m i ce l a s t i c b u c k l i n ga n a l y s i s o ft h i n - w a l l e dc r o s s s e c t i o nb e a m sw i t h c o n s i d e r a t i o no ft h ec o u p l i n gb e t w e e nb e n d i n ga n dt o r s i o n t h i n - w a l l e db e a m sw i t ha s y m m e t r i cc r o s s s e c t i o n s a n d i n i t i a l g e o m e t r i c a li m p e r f e c t i o n w i l lb e n d c o u p l e d w i t h t o r s i o nw h e ns u b j e c tt oa x i a lf o r c e i nt h i st h e s i st h ed y n a m i c r e s p o n s eo ft h i n w a l l e db e a m sw i t ha s y m m e t r i cc r o s s s e c t i o n s s u b j e c tt oa x i a li m p a c ti ss t u d i e dt h e o r e t i c a l l y r e s u l t sf r o m an u m e r i c a li n v e s t i g a t i o na r ep r e s e n t e d t h ea x i a l ，t r a n s v e r s e a n dt o r s i o n a li n e r t i a sa n dt h ec o u p l i n gb e t w e e nb e n d i n ga n d t o r s i o na r ef u l l yt a k e ni n t oa c c o u n ti nt h ef o r m u l a t i o no ft h e b e a m t h ep u l s eb u c k l i n gr e s p o n s ei sn u m e r i c a l l ym o d e l e dv i a t h ef i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d 。c h a r a c t e r i z e d b y t h e i l l a b s t r c t u n a c c e p t a b l eg r o w t h o fl a t e r a ld is p l a c e m e n t so rt o r s i o n a l a n g l e d u et oam a s s i m p a c t t h a t s i g n i f i c a n t l y e x c e e d st h e c r i t i c a ls t a t i cl i m i t ab u c k l i n gc r i t e r i o ni s i n v e s t i g a t e d t h ei n v e s t i g a t i o ng i v e sab a s i cg u i d et oe v a l u a t et h ed y n a m i c b u c k l i n go fa x i a ll yi m p a c t e dt h i n w a ll e db e a m sw i t ha s y m m e t r i c c r o s s s e c t i o n sa n di n i t i a li m p e r f e c t i o nf r o mav i e w p o i n to f c o u p l i n gb e t w e e nb e n d i n ga n dt o r s i o no ft h i n w a l l e db e a m s k e yw o r d s ：t h in w a ii e db e a m a x ia i i m p a c l ：。d y n a m i ca n a i y s l s c o u p i i n g b e l ：w e e n b e n d i n ga n dt o r s i o n o ri t i c a c a d ，d y n a m i cb u c k ii n g 上海交通大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本 人完全意识到本声明的法律结果同本人承担。 学位论文作者签名： 殇婚 日期：口护年2 月f 伪 上海交通大学 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权上海交通大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。 保密口，在年解密后适用本授权书。 本论文属于 不保密戳 ( 请在以上口内打“4 ”) 学位论文作者签名：王袁泞伊导老师签名：翻彩c 仁 日期：2 。n ；年2 月f 徊 日期：年月日 第一章前言 卜1 综述 第一章前言 薄壁结构由于其重量轻、强度高在工程领域中越来越受到广泛的应用。些 大型结构，如船体结构、飞机结构、桥梁结构、起重及车辆以及某些建筑结构等， 都是由薄板或薄壳结构构成的，因此对薄壁结构的强度进行分析是十分有意义 的。 结构的动力屈曲问题长期以来一直是工程师和研究人员们感兴趣，同时又 受困扰的问题。结构的动力屈曲不同于静力失稳，不能简单的归结为单一的l 临界 载荷。动力屈曲的产生主要是由于结构在几何形状上存在初始缺陷，偏心受载， 边界条件不均匀等等。研究发现，结构能够承受比静力屈曲载荷大的多的动力屈 曲载荷。结构的动力屈曲性能主要受初始缺陷、载荷作用时间等参数的影响，静 力屈曲载荷是动力屈曲载荷的下限。 对于结构动力屈曲的研究最早可追溯到二十世纪三十年代。k o n i n g 和 t a u b 2 是最早研究这方面课题的学者之一。他们以两端简支、有半个正弦波的 弯曲初始缺陷的梁为研究对象，以不变的轴向压缩载荷作为轴向动力载荷，使其 作用一段时间。结果显示，当轴向动力压缩载荷超过静力屈曲临界载荷时，梁发 生屈曲。m e i e r 3 研究发现，当载荷作用的时间较快时，梁屈曲时所承受的轴向 动力载荷可以远远大于梁静力屈睦时的l | 缶界载荷。 2 、 3 以及 6 中的研究都 是假设结构在几何上存在着初始缺陷，初始缺陷的形状为半个正弦波，即梁弯曲 振动的一阶摸态。同时在他们的研究中忽略了轴向惯性的影响，他们所得到的动 力响应摸态也为一阶摸态。关于轴向惯性的影响，h o f f 4 做了这方面的研究， 认为当轴向载荷的加载速率较慢时，轴向惯性的影响是可以忽略的。s e v i n 7 在研究中考虑了轴向惯性的影响。h o u s n e r 和t s o 8 在研究中考虑了剪切变形 ( 铁木辛可梁) 和梁断面旋转惯性( 瑞利梁) 的影响，但忽略了轴向变形和轴向 惯性的影响。 8 和 9 在研究中考虑了初始缺陷包含各种不同的高阶摸态的情 况。l i n d b e r g 9 从试验和理论上研究了具有随机分布初始缺陷梁的轴向碰撞问 题，得到了高阶的响应模态，试验与理论的结果符合的很好，其研究似乎表明如 第一章裁亩 果初始缺陷中不包含高阶模态，则动力响应中就不会产生高阶模态。h a y a s h i 和 s a n o “ 1 2 研究了具有一阶模态弯曲初始缺陷梁的低速 1 1 】和高速 1 2 轴向碰撞 问题。对于低速碰撞问题，他们分别忽略和考虑了轴向惯性的影响，发现对于低 速碰撞，轴向惯性的影响可以忽略不计，同时梁的响应模态为一阶基本模态。对 于高速碰撞，轴向惯性的影响不能忽略，且梁产生高阶模态的响应，这主要是由 于轴向惯性的影响，同时剪切变形和断面旋转惯性的影响可以忽略。a r i g u r 、 w e l l e r 和s i n g e r 1 3 3 2 等人从工程的角度提出了确定动力屈曲载荷的近似准则， 进行了一系列梁的试验和理论分析，本文中将采用其提出的准则来确定动力屈曲 i 晦界载荷，具体的描述见2 - 1 。s u g i u r a 、m i z u n o 和f u k u m o t o 1 4 从碰撞质量的 能量损失的角度来评估梁的动力屈曲，提出了相应的准则，同时他们在分析中考 虑了动力的应力应变关系，忽略了剪切变形和断面旋转惯性的影响。l i n d b e r g 和 f l o r e n c e 1 5 对结构的动力屈曲给予了系统的总结和回顾，提出了“p r e f e r r e d m o d e ”的概念，该摸态是通过动力屈曲时各模态之间的相互竞争而演化形成。 k e n n y 、p e g g 和t a h e r i 1 6 根据 1 5 提出的理论，用有限元和有限差分的方法对梁 的动力屈曲进行了分析。z h a n g ，和t a h e f i 1 7 将动力屈曲的理论运用到复合材料 梁的分析中。 以上对梁的动力弹性屈曲问题的研究给予了简要的回顾。概括来说，梁的模 型可分为三种：1 e u l e r b e r n o u l l i 梁，即忽略剪切变形、断面旋状惯性的影响： 2 r a y l e i g h 梁，即考虑断面旋转惯性的影响，忽略剪切变形的影响； 3 t i m o s h e n k o 粱，即考虑断面惯性和剪切变形的影响。初始缺陷可分为两种： 基本弯曲模态( 一阶) 和高阶模态( 包含随机分布) 。轴向碰撞载荷分为四种： 1 轴向碰撞速度始终为常量，使其作用一段时间；2 轴向碰撞载荷不变；3 轴向 碰撞为常质量碰撞，即梁受到一质量不变的物体的轴向碰撞，这种情况与真实的 碰撞较为相似；4 给定已知的载荷形式。 以上都是以双轴对称的实心矩形断面梁为研究模型。 卜2 本论文的研究工作 本文将研究具有非对称薄壁断面梁的轴向碰撞问题。非对称断面的薄壁梁与 第一章前言 一般的双轴对称的实心矩形断面梁有所不同。由于非对称断面薄壁梁的扭心与形 心不重合且扭转刚度较小，受到轴向加载后，轴向力、轴向惯性力和侧向惯性力 都会对梁产生扭转作用，因此梁会发生扭转并伴有扭转惯性，对于边界受约束的 薄壁梁还会产生二次扭矩，同时弯曲和扭转还会产生耦合。因此，具有弯曲初始 缺陷和非对称断面的薄壁梁的轴向碰撞问题要比一般的矩形断面实心梁的碰撞 问题复杂。 除此之外，薄壁梁的屈曲形式也与一般的梁有所不同，其会产生弯扭耦合形 式的屈曲。动力弹性屈曲分析因此也会变得复杂。 本文将推导出具有任意断面形状的薄壁梁的动力学方程式。梁的模型以 b e r n o u l l i 梁为基础，考虑轴向变形、弯曲与扭转的全耦合，侧向惯性，扭转惯 性和轴向惯性。并对控制微分方程进行求解，然后进行程序编制，算例计算和结 果分析。 第二章薄壁梁动力学方程式的理论推导 本文讨论具有初始弯曲缺陷的两端固支的具有非对称断面的等截面薄壁梁 受轴向碰撞后的动力屈曲问题。 稳定性问题分为两类。第一类稳定性问题，也称为质变失稳，其特征为结构 屈曲前的平衡形式成为不稳定，出现了新的与屈曲前平衡形式有本质区别的平衡 形式，结构的内力和变形都产生了性质上的突然变化，质变失稳是相对理想直的 结构而言。第二类稳定性问题，也称为量变失稳，即结构屈曲时，其变形在数量 上发生较大变化，而不会出现新的变形形式，其破坏载荷不是由于纤维应力达到 某一临界值( 如纤维开始屈曲或杆中出现塑性铰) ，而是在某一届曲载荷下，内 外力之间的平衡成为不可能。实际结构都存在着或多或少的初始缺陷( 偏心，初 始弯曲等) ，所以研究结构的量变失稳更加具有实际意义。 本文研究具有初始弯曲缺陷的薄壁梁的动力屈曲问题，即量变失稳问题。当 梁受到轴向碰撞时，由于其有初始缺陷，所以一受到轴向动力压缩即产生变形， 对于具有对称截面的杆件来说，这种变形就是侧向弯曲。对于不同的碰撞速度最 终将会得到如图2 - 1 所示的一条曲线，该曲线分为两部分。一部分变化比较平缓， 而另一部分，微小的轴向压缩的增量将导致侧向变形的激增。由此即可确定梁受 轴向碰撞下的临界载荷和临界速度。本文将采用 1 3 1 所提出的动力屈曲准则来确 定梁的临界载荷和临界碰撞速度。 0 图2 - 1 本文研究的对象是具有非对称截面的等截面薄壁梁。碰撞时梁的所受到的轴 向力会对梁产生扭转作用，同时由于梁截面的弯心与形心不重合，梁受载后产生 的侧向惯性力对粱的扭心产生扭矩，使得梁在弯曲的同时伴随扭转。所以梁的变 4 形包括侧向弯曲和扭转，屈曲载荷则由其中的较小者决定。建立运动方程时将考 虑梁的轴向惯性、侧向惯性和扭转惯性，以及弯曲与扭转的耦合；忽略截面旋转 惯性和剪切变形的影响。由于为固定支持，梁的初始缺陷假定为静力屈曲时的模 态。碰撞模型如图2 2 所示。碰撞时假定轴向力，通过一刚性板作用到梁的碰 撞端，即梁端面上受到均布的压力，其通过端面的形心。其中v 。为初始挠度；v 为在y 方向产生的弯曲挠度，从中性轴算起；v ，为y 方向的位移，包括y 方向 产生的弯曲挠度以及由于扭转在y 方向产生的挠度，从中性轴算起；吖为碰撞 质量；为初始碰撞速度。梁的两端为固定支持，其中碰撞端可以沿碰撞方向 自由移动。 一- z 图2 2 假设梁在y 轴方向有初始弯曲缺陷且梁断面为非对称断面，如图3 所示的工 字梁。其中0 为截面的形心，a 为截面的扭心。由于杆在y 轴方向有初始缺陷， 所以一受到轴向加载即开始发生弯曲：由于弯曲时梁断面发生旋转且由于断面的 扭心和形心不重合，所以轴向力沿梁断面的切向力分量会对扭心产生扭矩，断面 由于弯曲产生的惯性力对扭心也会产生扭矩，所以梁在弯曲的同时会伴随扭转； 梁发生扭转后，轴向力又会对断面产生额外的扭矩；同时由于梁发生扭转使得梁 在x 方向产生位移，梁在x 方向也必须发生弯曲以抵抗轴向力在x o z 平面内产 生的弯矩。详细的分析见以下的公式推导。 图2 3 现考虑任意断面形状的薄壁梁。加载后梁断面上任一点的偏离可用三个位移 分量来表示，即梁断面的弯心轴在x 方向的位移u 、y 方向的位移v 和梁断面绕 弯心轴的扭角妒，如图4 所示。 o y x v 2 酉s i n 口= - - 删面x - - x a = ( x - - x a ) 妒 图2 4 “j 2 u u 铲面1 c o s a = 面等吨u ) 妒 v 。= v + ( x x 。) 妒“，= u 一( y - y 。) 妒 ( 2 一1 ) 先对y o z 平面内的弯曲进行分析，取微段d z ，如图5 所示，其中4 为断面的面 积，p 为梁的密度，e 为材料的弹性模量，l 为断面对于x 轴的惯性矩，l 为 断面对于y 轴的惯性矩，w 为梁任意断面处的轴向位移( 为断面由于轴向力的 压缩产生的位移，为断面的总体位移，不包括由于约束扭转而产生的翘曲) 。本 文中所有符号规定均按本文图中所示的正方向为准。( y 代表；，) 代表昙。 也0r 0 y z 图2 - ， 由x 方向的平衡条件，得： 盟+ 倒堡：0 o z o t 。 由y 方向的平衡条件，得： 警= 窘 对c 点取矩得： 虬出+ 警( 出) 2 + ( ：+ 警出) ( 叩+ 眺) + 础p a 百0 2 u 坝, o f 叩+ 三2 眦) 出院 。 = 窘出吉出+ i o m x 出+ m 叩 ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) 其中，7 为断面形心到c 点的垂直距离；略去高阶小项，同时计( 2 2 ) 式可得 - o m _ x ny n ：8 ：o 院 又因为 p = ( v o + v ，) 从而( 2 5 ) 变为 ( 2 5 ) ( 2 6 ) 第二章薄壁粱动力学方程式的理论推导 o _ = m x n y 一：( v 。+ v ，) = o g z 将( 2 7 ) 式对z 求导，并计及( 2 3 ) 式，得 等一窘一 n a ”例= 。 由图2 5 所示的符号规定 m 。= 一e i 将上式代入( 2 8 ) 式得： 日。v i p + 萨c 3 2 v + i n ：( v 0 + y 洲= 。 ( 2 7 ) ( 2 。8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 同理，可得x o z 平面内的弯曲运动微分方程为( x 方向无初始缺陷) ： e i y u i v + 萨0 2 u + ( ：“弘。 ( 2 1 1 ) 因为断面每一点的“。和匕n n ；不n “也( + u ) 可由下述相当分布载荷的 方法得到。 取粱中面积为幽长度为三的微条，如图2 - 6 所示，三为梁的长度。由( 2 1 0 ) 、 ( 2 1 1 ) 式可得 甄v = 一窘一 也( v o + 匕) ，】，e u i v = - 脚p a 矿c 3 2 u 一( 也蝴( 2 - 1 2 ) 图2 - 6 上式相当于梁静力弯曲时的弯曲微分方程式( 按图5 所示的符号法则) ： e i x v l ”= g 。( z )e y u 7 = g ，( z ) ( 2 _ 1 3 ) 所以一窘和一 ：( v 0 + v 相当于梁受到的沿y 方向的关于z 的分布载 荷，一窘和一( n z “相当于梁受到的沿x 方向的关于z 的分布载荷，如图2 - 7 所示 0 y x 图2 7 考虑( 2 1 ) 式，同时不计梁轴向纤维间的相互挤压，可得梁中面积为d a 长 度为三的微条在任意断面处的在x 方向与y 方向的相当侧向分布载荷为： 由，= 一了n z “l ( y y 。) 妒1 础一等 “，- ( y y 。) 们以一p 窘烈 由，等【( v 。+ v ) + 一屯) 伊1 羽一等 ( v 。+ v ) + o 一屯】姒一户窘以 ( 2 1 4 ) 此相当分布载荷不通过断面的弯心，故他们对弯心有矩，将由，由，对弯心取矩， 得梁上的相当分布扭矩为： d m = 由，( z 一工。) 一砌，( y y 。) 9 = 一阻”小_ 矽，+ 瓤州，+ c 一加 户貅_ ，捌 + 恃f _ ( y 吨矽埘+ 7 n y 咄川, 十p 萨0 2 u j ( y - y o ) 刎 ( 2 1 5 ) 将( 2 1 4 ) 和( 2 1 5 ) 式代表的相当力与相当力矩沿梁的整个断面积分，同时计 及： f 筹刎= 札，肛= o ，i y 幽= o ， 2 烈= ，f - y 2 拟= l 得整个梁在y 方向的相当力及相当扭矩分别为： 铲d q x = - n , 脚卜彤窘叫( “，u ” 乱= d q y = - n , ( v o 川l 硼卜警一坝( v 。+ v ) 吨们 ( 2 一1 6 ) m = 枷= m 以v 0 + v ) 。一m y a u - 呦。+ 肚。窘一的。窘 + ：( v 0 + v ) 一m y 。“一2 v ：s 妒 ( 2 1 7 ) 其中： _ 为断面对于扭心的极惯性半径，r o 为断面对于形心的极惯性半径。 巧= ! 三：! 学= x 。2 + y 。2 + 寺( 2 - 1 8 ) 由( 2 1 6 ) 式可得出梁在x o z 平面和y o z 平面内的弯曲运动微分方程式为： “+ m “+ 札儿p + m “+ m 炸p + 害= 。 ( 2 - 1 9 ) 弘v + 札( + v ) ”一：l 9 。+ 彤( v 。+ v ) l 形妒+ 等= 。 ( 2 _ 2 0 ) 南( 2 1 7 ) 式可得婆的约束扣转i 云动微分方程才 1 0 鸠+ 警d z 位 图2 8 取微段出，如图2 - 8 ，其中l 为单位长度梁绕扭心的转动惯量， ，。- - p l r 2 相= 。；见图2 9 ，l 为断面对于扭心的极惯性矩， ，= i o + 血：+ 砂：= t + l + 血：+ 4 y ： ( 2 2 1 ) 0 y x 图2 - 9 厶为断面对形心的极惯性矩，厶= l + ，。以后还会用到断面对扭心的等效极惯 性矩，。， ，- - t , ：l h 2 d s ( 2 2 2 ) f 为薄壁梁的壁厚。 由微段扭矩的平衡条件可得： 警眦睾= 。 协z 。， 对于薄壁梁的约束扭转，m ：= m ，+ m 。其中m ，为自由扭转扭矩，m 。为约束 扭转产生的二次扭矩。 对于开口薄壁梁： m ，= g j , ( p 为圣维南扭矩 ( 2 2 4 ) m 。= 一日。妒”( 2 2 5 ) 以为开口薄壁粱扭转惯性矩， 以= ；p 3 出。 ( 2 - 2 6 ) i 。为断面的扇形惯性矩， ，。= p 2 d a 。 ( 2 2 7 ) 国为断面的扇性坐标， = 胁西，如图2 - 9 。( 2 2 8 ) 对于闭口薄壁粱： m ，= g j 口妒为布雷特扭矩( 2 2 9 ) 耻一划孝， 一古w 一盖嘲”矿删以卜也y , , u - 2 n ：脚 一w 一2 也r 一眺鑫一脚。意一以舞 + ，。( v o + y ) 一。“一d n ：e p 】( 2 3 0 ) j 。为闭口薄壁梁扭转惯性矩， 对于单闭室的情况 小再4 a 2 ( 2 3 1 ) 对于多闭室的情况，j 。的计算方法见 1 ，本文不再赘述。 ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) s 为断面的曲线坐标，h 为一个带有正负号的量，其符号规定为：当断面薄壁中 心线上的点至形心的连线沿s 坐标方向为顺时针转动时，h 为正，反之为负。如 图2 - 9 所示。 于是可得粱的约束扭转运动微分方程式为： 开口薄壁梁： 日h 帆一g j ：) c p * - z ( 州w x a + m 脚。一肚。豢+ 脚。豢+ 矾挈 一n ；x 。( v o + v ) + n ；y 。“+ 疗 l 妒= 0 ( 2 3 4 ) 闭口薄壁梁 扛矿+ 等酬”l “1 v 一札c p z v + 眺鑫一眇。嘉 一。急+ 3 ：( + v ) ”一3 ：y 。“”一3 r ，2 m ：, 妒”+ 3 。( v 。+ v ) 一3 ：y a u - 3 巧汐” + 囊。v o + v ) 一n t y 。“一_ 2 v ：m 妒 + ( 札- g j b ) ( o 一n z ( v o + v ) 石。+ ：y 。“ 一曲。窘+ 肿。害+ 以窘叫蹦v 0 + v y + 助+ t m 小。 ( 2 3 5 ) 由上两式可见由于梁断面发生弯曲和形心与扭心不重合，轴向力、轴向惯性 力和侧向惯性力都会对扭心产生扭转作用，弯曲、扭转以及轴向位移发生全耦合。 在特殊情况下，如果断面的形心和扭心是重合的，因为有x a = y 。= 0 ，故梁 的弯曲运动微分方程( 2 1 9 ) 、( 2 2 0 ) 和扭转运动微分方程( 2 3 4 ) 或( 2 3 5 ) 为： 炳 等啬 一 u 卜 ，如。 瓯“i v - i - 呦+ o a 等= o 脚”地( + v ) 如。+ v ) + 窘= 。 ( 2 3 6 ) 彤+ ( 巧札一啦) 妒e t + 2 t + 比軎= o ( 2 _ 3 7 ) 或 1 e i w o t v _ 蛐e i lp ：a p t v + p lt 蔷参n 烈矿+ 3 r 沁矿q n 姚 + ( 4 n ：一g j 加比窘+ 巧砌_ o ( 2 - 3 8 ) 此时，弯曲与扭转不发生耦合。 控制微分方程方程( 2 2 ) 、( 2 - 1 9 ) 、( 2 2 0 ) 、( 2 3 4 ) 或( 2 3 5 ) 中包含轴向 力札，未知变量为“、v 、w 、妒和：，为了使微分方程组闭合，需要求出轴 向力也的表达式，众所周知： 札( z ，f ) = e 职( o ，t ) a a ( 2 3 8 ) 本文中定义压应变为正，同时考虑到弯扭耦合以及y 方向的初始缺陷，可得梁 任意断面处面积为d a 长为d z 的微元的轴向压应变为： 一裂 掣 2 - ( 刘一吉( 簪毛 c z 一。， 其中气为断面上扇形坐标为国处的翘曲应变，其沿断面的积分为零。考虑( 2 1 ) 式并将( 2 3 9 ) 式代入( 2 3 8 ) 式，可得： l ：一e a w t _ g a ( u , 2 + v ，2 + 2 y a u o - 2 v ，妒，+ 巧妒，2 + 2 v o v - 2 工。，嵋妒，) ( 2 4 0 ) 以上我们运用相当分布载荷的方法求得了任意断面等截面薄壁梁在轴向力 作用下，在x o z ，y o z 平面内的弯曲运动方程式和绕z 轴的扭转运动方程式。同 时，给出了轴向力的表达式。从扭转运动方程式中，可以看到轴向力、轴向惯性 力以及侧向惯性力都会对梁产生扭转的作用。 第三章薄壁梁轴向碰撞下控制微分方程的解 本文中以开口薄壁梁为例对控制微分方程进行求解。 3 - 1 控制微分方程的无量纲形式 现对控制微分方程进行处理。 控制微分方程为 警+ 倒窘= o( ) zo i e i 。u i v + n 一。+ n ：y n 9 + n + y ( 0 1 + p x l a - 矿1 “= o ( 2 2 ) ( 2 一1 9 ) 皿+ 札( v 0 + v ) l ：屯妒。+ m ( + v ) ，一m 矗+ 窘= 。 ( 2 2 。) e i 矿“肾g j 凇l n a v o + w x a + n ：y a u 。- 础4 等+ d a y 4 等+ p i 。等 一：x 。( v o + v ) + ：) ，。“+ l 妒= 0 n z = - e 4 w 一ur 2 + v 2 + 2 y a u 妒一2 丸v 妒+ 舌p7 2 + 2 v ：v 一2 工。，嵋p ) ( 2 3 4 ) ( 2 4 0 ) 将( 2 1 9 ) 、( 2 2 。) 式表示的警和窘代入( 2 3 4 ) 式，( 2 - 3 4 ) 式变为： e i w + e i 剐”一彤，删( 碍n , - 虬) q 9 w + 右砌+ 比等= 。 ( 3 1 ) 其中r o 为断面对形心的惯性半径， 疗= 舌_ 2 u 2 = i _ 4 9 o = 半 ( 3 2 ) 所以控制微分方程现由( 2 - 2 ) 、( 2 1 9 ) 、( 2 2 0 ) 、( 3 1 ) 和( 2 4 0 ) 式来表达。 现对控制微分方程进行无量纲化处理，使其形式更为简洁。引入 c = 居应力波的传播艘 = j 鲁，断面对于x 轴的惯性半径 。= j 鲁，断面对于y 轴的惯性半径； 以及相应的柔度比 疋：旦，兄，：三，以：三，工为梁的长度 0 无量纲位移和扭角 舭z 忙z w 2 z 妒。妒。 无量纲坐标 z = 一： 工 无量纲时间 一e t 2 i 。 无量纲轴向力 冠= 丝e a ； 同时记 七2 ：盟，三2 七2 ：s ： e i 。 ，出：i x ，x a _ _ _ l l ， m i n e 名o 。 ， i y y 。工 2 _ m 。：华 。 铲一 心2 鲁 以及关系式： a ua 8 2 h18 2 砭0 4 u18 4 瓦 瓦2 瓦矿2 i 可可2 可可； 知笱0 2 v1a 2 矿 瓦2 百萨2 一l 可院 o z出1 出。盟一p = 堂铲 o w 柳 瑟瑟 a 妒 1 a 万 a z工瑟 生：一1 壹 a z 2工2 挖2 o n z ：= e a o n ： 瑟工瑟 d “d “ 面纠面 加布 面引瓦 a 2 “c 2a 2 订 研2砑2 a 2 vc 2a 2 矿 a f 2工酉2 a wa 面a 2 wc 2a 2 面 百可百可2 t 万 a 妒 ca 歹 a tla - a 4 妒 1 0 4 万 瑟4p 缶4 可得控制方程的无量纲形式为： 矽+ 苟= 0 者玎1 y + 矾矿+ 乞最万+ 冠+ e z 冠- ，+ 苛= 。 ( 3 3 ) ( 3 - 4 ) 去_ 1 7 十矾( 0 + 玎托z 歹+ 豌( _ o + 列托，冠歹，+ 爷= 。 ( 3 _ 5 ) 万”+ 矿一订”+ ( 兢一j ) 歹+ - - v ：s 妒- + 爹= o ( 3 6 ) 兢一_ - 妒+ - ”+ 2 晒歹+ 2 怖寿_ 2 喇办2 瞩砷 3 - 2 碰撞质量的动力学分析 设碰撞物的质量m ，为刚性。碰撞质量与梁端接触瞬时的轴向位移 w m o = 0 ) = o 碰撞质量与梁发生碰撞时的初始速度为 ( 3 7 ) ( 3 8 ) 1 7 堕酽，一r = 妒 铲一西 啪_ o ) 即刮。 ( 3 _ 9 ) 碰撞质量跟梁发生碰撞后，由于受到梁碰撞端反力n z 的作用而不断被减速，由 冲量定理可得碰撞质量在任意时刻t 的速度为： ( f ) 2 。一吉f 也( 吡) 出 ( 3 一l o ) 因为梁两端为刚性固定，所以： 罢i ：到：监i ：挈：o (311)a a z bz l 。0 z 乙瑟l 。 由( 4 0 ) 式可得： m ( 0 ，f ) = 一e a w ( o ，f ) ( 3 1 2 ) 将( 3 1 2 ) 式代入( 3 1 0 ) 式可得： ( f ) = 。+ 面删- 1 4 w 0 , ，f ) 出( 3 1 3 ) 化为无量纲的形式为： 瓦( 力= + 吾崩o ，砸( 3 - 1 4 ) 其中： m 为梁的质量； 瓦：叠，瓦。：监。 3 3 边界条件和初始条件 ( 1 ) 初始条件： 碰撞瞬间，梁其它部分都是静止的，只有碰撞端z = 0 处被扰动。所以，初始 条件可写为： ( i ) 位移初始条件： u ( z ，f = o ) = 0 ； v ( z ，f = 0 ) = 0 ； w ( z ，t = 0 ) = 0 ； ( i i ) 速度初始条件 c p ( z ，t = 0 ) = 0 。 u ( z ，t = 0 ) = 0 ； i ( z ，f = 0 ) = 0 ； w ( z o ，t = 0 ) = 0 ； 以z = 0 ，f = 0 ) = o 庐( z ，t = 0 ) = 0 。 ( 2 ) 边界条件： 梁两端为刚性固定，边界条件为： ( i ) z = o 。l 处： u 2 v = 口= 0 ： “= v = 0 ： = o ( 断面的翘曲为零，w = 一舻= 0 ) ； ( i i ) z = l 处： w = 0 ： ( i i i ) z = 0 处： 当也( 0 ，f ) 0 时，w ( o ，f ) = ( f ) ； 否则， m ( 0 ，f ) = o ( 从数值分析的角度来说就是也( o ，f ) ，。|石c叮口 lp，。16c町口 撞初速度，大约为： o = 1 5 5 ，对于a m = o 0 0 2 l ： o = 2 5 5 ，对于a m = 0 0 0 0 4 2 l 。 由上述分析可见，对于本例，由梁中点的挠度v 所确定的临界碰撞初速度和 由梁中点的扭角妒所确定的临界碰撞初速度几乎相同，且从图形变化上来看，扭 转屈曲的现象更为明显。因此，对于具有非对称断面的薄壁结构来说，扭转效应 不可忽略。初始缺陷对梁的动力弹性屈曲性能影响较为明显，初始缺陷越大，临 界碰撞速度越小，越容易发生动力弹性屈曲。 第六章总结与展望 6 1 总结 本文对薄壁梁轴向碰撞下的动力学问题进行了分析。推导出了具有任意断面 形状的薄壁梁受轴向碰撞下的动力学方程式。梁的力学模型以e u l e r b e r n o u l l i 梁为基础，梁的两端为固支，沿梁长具有一阶弯曲振动模态的初始缺陷。碰撞模 型为质量轴向对心碰撞。推导中考虑了轴向变形，弯睦与扭转的全耦合，考虑了 轴向惯性，侧向惯性和扭转惯性的影响。并用有限差分的方法对控制微分方程进 行了数值求解，得出了数值运算的差分格式。 本文以具有槽形断面的薄壁梁为例进行了算例计算和结果分析，其中用c + + 语言进行了程序编制，在v i s u a lc + + 6 0 上进行了调试运算，采用m a t l a b 6 0 对数据进行了可视化处理。 算例的结果分析表明，碰撞发生后，沿梁长有波的传播现象发生。明显的存 在一个高阶模态向一阶模态演化的过程。横波在分离发生时已充分演化成一阶模 态。扭转波在分离发生时有向一阶模态演化的趋势。横波的传播速度要快于扭转 波的传播速度。沿梁长同时存在着轴向应力波的传播。弯曲初始缺陷对弯曲位移 和扭角的影响比较明显，对轴向位移和轴向力几乎没有影响。碰撞速度越快，模 态的响应幅值越大。梁中点处的弯曲挠度和扭角随时间的变化接近于一阶自由振 动时的情形。碰撞过程中，碰撞端的碰撞力时间历程的确定是另人比较感兴趣的 问题，文献 2 4 中对这一问题进行了研究和分析。本文中给出了碰撞力的解析形 式，同时给出了其数值解和时间历程图。 关于结构的碰撞动力屈曲问题一直是研究人员和工程师们感兴趣的问题。本 文运用文献 1 3 中提出的方法，对算例进行了动力弹性屈曲分析。分析表明，对 于具有非对称断面的薄壁结构来说，扭转效应不可忽略。初始缺陷对梁的动力弹 性屈曲性能影响较为明显，初始缺陷越大，临界碰撞速度越小，越容易发生动力 弹性屈曲。 以上的结果分析仅是对本算例而言。不同的截面形状和几何参数导致的结果 可能会不同。对于更为普遍规律的研究需要大量的实例分析和进一步地探讨。 第六章总结s 蔑望 6 - 2 展望 本文的分析中假定材料为理想弹性。实际问题中，梁可能在弹塑性阶段发生 动力弹性屈曲。因此，将塑性问题考虑到薄壁梁的碰撞动力分析中是需要进一步 做的工作之一。另一方面，对于动力问题，材料的应力应变关系不同于静力问题， 将动力的应力应变关系考虑到薄壁梁的碰撞动力分析中也是需要进一步做的工 作，文献 1 4 中对这方面问题进行了一些分析研究。本文中的分析是到碰撞质量 与梁发生第一次分离时为止，实际上碰撞质量与梁分离后还有可能发生多次碰 撞，将这一因素考虑进来可以进一步完善本次论文的工作。还有将薄壁梁置于实 际的结构当中，例如汽车结构，考虑结构对梁的约束进行分析也是更具实际意义 的工作。考虑不同的初始缺陷形式( 如随机分布的初始缺陷) 对薄壁梁的碰撞响 应模态的影响也是需要进一步做的工作。将有限差分的方法跟有限元方法得到的 结果进行比较也是很有意义的工作。 礅录 附录 薄壁梁轴向碰撞下动力瞬态响应程序( c + + 语言编制，在v c 6 0 上进行了调试) # i n c l u d e # i n oj u d e #in ciu d e # d e f in e n2 3 分段数加3 # d e f in ep l 3 1 4 5 9 2 6 v o i dm a in 0 f o f s tr e a mn o u t f ： d o u b iex a y a ，lx y j w a l ，j s ：薄壁粱剖面参数和几何参数 d a u b i ed e n s i t y e p a s s i o n ：薄壁粱的材料性能 d o u b l em ：碰撞物的质量 d a u b i ev o n ，h n a x v o _ z n ，v o z z n ：初始缺陷 d a u b i ec n ：c o u r a n t 数 d a u b l eg r o ，r k r x r y 1 0 ，i c m ，k 2 d e i t a _ t ；i 相荚参数 d a u b iel x l y l a 。s r w x r w y ，t w o r w a ，e l ，e 2 ：无量纲参数 d o u b ie “n 2 0 0 】，v n 1 0 0 w n 1 0 0 a n g l e n 1 0 0 ：位移和扭角 d a u b ieu _ t n 1 0 0 v _ t n 1 0 0 w _ t i n 】 1 0 0 a n g l e t n 1 0 0 】；i i 速度 d a u b l eu _ t t n vt t n 】w _ t t n 】，a n g i e _ t t i n 】；) l