（计算数学专业论文）三类保等价关系半群.pdf

学位论文原创性声明和关于学位论文使用授权的声明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究 所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集 体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究做出重要贡献的个人或集体，均 已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：研亿沧 川年牛月形日 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解贵卅i 师范大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留 或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅： 本人授权贵州师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文和汇编学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 做储虢所馅淄新躲加膨趁 加口矽年千月乡日 7 摘要 半群理论是一门年轻的学科，一直以来人们都在对它进行深入的研究它在许多领 域都有着广泛的用途，比如计算机科学，自动机理论，编码和密码理论等等随着时 代的发展，半群理论越来越呈现出强大的活力和广泛的用途 在半群理论中，由于任何一个抽象半群都能嵌入到一个变换半群中，所以变换半群 总是一个充满活力的课题就从理论而言，对于半群理论的研究，只要研究变换半群 就足够了 一直以来，由于有限变换半群优良的可计算性和一系列的组合性质使其受到广大半 群学者的青睐j a g r n 在1 9 5 1 年首次研究了格林关系，格林关系在半群理论的发 展中扮演着基础性作用的角色，特别是在有限变换半群理论的发展中许多的学者对 全变换半群和它的一些子半群进行了深入的研究例如，h o i 骶，游【1 1 1 4 1 ，裴睁9 1 。 杨【1 5 1 1 6 】等等 给定一个拓扑空间x ，则x 上的所有连续自映射在映射合成运算下构成一个半 群m a 百u 和s u b i a h 在1 9 7 4 年对这个半群的正则元的格林关系进行了刻画近几年， 裴慧生 8 】观察了类拓扑空间：设e 是集合x 上的个等价关系，则x 构成一个 拓扑空间，其中由所有的e 类集合构成x 拓扑的拓扑基令： j ( x ) = 口j 吸：v ( z ，秒) e = 争( z q ，口) e ) 裴惹生研究了正则性，格林关系，以及当i x l 有限时，2 僻) 的一些其他性质 戥表示集合x 上的全变换半群，e 是集合x 上的一个等价关系在第2 章中， 研究取的一类新子半群，双向保等价关系半群死僻) 2 ( x ) = q t k ：v ( z ，! ，) e 甘( z q ，暑口) e 2 2 节讨论了死伍) 的格林关系，2 3 节讨论了码伍) 的正则性 在第3 章中，研究致- 的一类新子半群，反向保等价关系半群码( x ) 码( x ) = q ：& ：v ( z q ，暑，q ) e = 争( z ，可) e ) 3 2 节讨论了珏) 的格林关系，3 3 节讨论了码伍) 的正则性 在第4 章中，讨论了一类保等价关系的矩阵半群设： 、 o ：i m l ，p ：i s l r 2 虬 n 规定： q 一口营m + n = 5 + t 显然一是平面上向量间的一个等价关系令： s = a r 2 2 i v q ，p r 2 1 ，q 一卢 e na q a 卢) 则s 是一个半群4 2 节讨论了s 的格林关系，4 3 节讨论了s 的幂等性和正则性 主要结论如下； 第一章给出了半群理论的一些基本概念 定理2 1 3 ( 1 ) e = x x 当且仅当乃) = 强； ( 2 ) e = ，( x 上的恒等关系) 当且仅当 j ( y ) = 口j 吸l v z ，可x ，z 可= 争z q 秒q 定理2 2 1 对任意的q ，p 码( x ) ，下列条件等价 ( 1 ) ( 口，p ) c ； ( 2 ) x q = x p ； ( 3 ) 存在矿容许映射妒：7 r ( q ) _ 7 r ( 卢) ，且q = 妒风 定理2 2 2 对任意的q ，p 码( x ) ，下列条件等价 ( 1 ) ( a ，p ) 冗； ( 2 ) 丌( q ) = 7 r ( 卢) ；i z ( a ) l = i z ( p ) i ( 3 ) 存在6 珏伍) ，6 i x 口：x q _ x p 是双射，且p = 面 存在盯殛伍) ，仃l x 口：x p + x q 是双射，且a = 胁 定理2 2 3 对任意的q ，p 殛) ，下列条件等价 ( 1 ) ( a ，p ) 7 l f ； ( 2 ) x q = x p ，7 r ( q ) = 丌( p ) ； ( 3 ) 存在驴一容许映射妒：丌( a ) _ + 丌( p ) ，且q = 妒风； 存在瓦盯码伍) ，6 l x 口：x 口_ x 卢，盯i x 口：x p _ x q 是双射，且p = a 最a = 胁 定理2 2 4 对任意的q ，p 您僻) ，下列条件等价 ( 1 ) ( q ，p ) d ； ( 2 ) i z ( d ) i = i z ( p ) i 存在口伍) ，仃i x a ：x q _ x p 是双射 定理2 2 5 对任意的a ，卢强( x ) ，下列条件等价 ( 1 ) ( q ，p ) 了； ( 2 ) i x n l = l x p i ，存在p ，r 珏伍) 对任意的a 州e 存在b ，c x 胆使 a a b p pa p c q r 定理2 2 6 对任意的口，p 何) ，i 驯e i = n 加是正整数) ，下列条件等价 ( 1 ) ( q ，p ) d ( 2 ) ( 口，p ) 歹 ( 3 ) i x q i = i x 卢i ，存在nr 码) 对任意的a x e 存在b ，c x j 5 7 使 a q b p j da p c q 7 - 定理2 3 1 对任意的a 码( x ) ，q 是正则元当且仅当对任意的a 驯e ，a n x 口 0 定理2 3 2 码伍) 是正则半群当且仅当l x e i 是有限数 定理2 3 3 设q ，p 珏僻) 若( a p ) 2 = q p 则q ，p 是正则元 定理3 1 4 ( 1 ) 2 ( x ) = 2 ( x ) n 码( x ) ( 2 ) 如果i 驯e l = n ( 凡是正整数) ，则珏) = 码伍) ( 3 ) e = x x 当且仅当码( x ) = 取 ( 4 ) e = j 当且仅当码) = n 取：忱，可x ，z 可辛z 口耖q ) ， 定理3 2 1 对任意的口，p 码僻) 下列条件等价： ( 1 ) ( q ，p ) c ( 2 ) x q = x p 对任意的a x e 存在b ，c x j e 7 使a q = b p ，a p = c q ( 3 ) 存在f 一容许映射妒：7 r ( n ) _ 丌( p ) 使q 。= 妒风 定理3 2 2 对任意的q ，p 码( x ) 下列条件等价： ( 1 ) ( a ，卢) 冗 ( 2 ) 7 r ( a ) = 丌( p ) 1 z ( q ) i = i z ( 卢) 1 并且对任意的z ，y x ，( z q ，y q ) e 当且仅当 ( z 卢，y 卢) e ( 3 ) 存在6 死( x ) 使6 l x n ：x q x p 是双射且p = 耐 存在盯死r ) 使6 i x 口：x p x q 是双射且q = 胁 定理3 2 3 对任意的口，卢珏伍) 下列条件等价： ( 1 ) ( a ，p ) 咒 ( 2 ) x q = x 卢对任意的a 州e ，存在b ，c 州e 使a 口= b 屈a 卢= c a 7 r ( 口) = 丌( p ) ；对任意的z ，耖x ，( z q ，q ) e 当且仅当( 筇，卵) j e 7 ( 3 ) 存在e 一容许映射妒：7 r ( q ) 一丌( 卢) 使a = 妒风 存在正盯珏伍) 使6 i x a ：x q x p ，盯l x 口：x 卢一x 口是双射且口= q 正a = 胁 定理3 2 4 对任意的q ，p 乃伍) 下列条件等价： ( 1 ) ( 口，p ) d ( 2 ) i z ( a ) i = l z ( p ) i 存在6 殆( x ) 使j i | 】f q ：x a x p 是双射对任意的 以x e 存在b ，c x e 使a a 6 = b 卢，a = c q 6 引理3 2 5 对任意的q ，p 码( x ) ，若i z ( p ) i f z ( q ) l 且存在矽一映射6 ：x p _ x q 使对任意的a x e ，都存在唯一的b x e 使a q = b 脚则存在口，7 码) 使 q = 口p 7 7 推论3 2 7 对任意的p 码僻) 若存在最盯码) 使对任意的a 州e ，都存 在b ，c x e 使a 口= b p 占，a p = c q 盯则( q ，卢) 了 定理3 2 8 对任意的口，p 码) 若i x 肛i = n 是正整数) 则下列条件等价： ( 1 ) ( q ，卢) d ( 2 ) ( n ，p ) 7 ( 3 ) i x q i = i x 钟存在p ，r 强伍) ，对任意的a 州e ，都存在b ，c 州e 使 a a b p p ，a p c o r r 定理3 3 1 对任意的q 码伍) 则q 正则当且仅当对任意的a x e 有a 口 x q e q 。a n x q 氆 定理3 3 2 码伍) 是正则半群当且仅当i 驯e i 是有限数 定理3 3 3 对任意的口，卢码伍) 若( q p ) 2 ；叩则口，p 是正则元 定理4 1 1 a = ( 兰：兰：) s 当且仅当n + 口2 = 二- 2 + 口沈 推论4 1 3 a s ：d e t ( a ) o 是s 的子群 推论4 1 4 a s ：d e t ( a ) = o 是s 的子半群 定理4 2 1 对任意的a ，b 位舢( s ) ；( a ，b ) c 当且仅当下列条件之一成立s ( 1 ) 4 = 耳= l ，也= 玩= 一1 ( 2 ) 4 = b r = 1 ，a 一l ，玩一1 ( 3 ) 4 = 耳1 ，也= 鼠= 一1 定理4 2 2对任意的a ，b 位彻( s ) ；( a ，b ) 冗当且仅当下列条件之一成立。 ( 1 ) 也= 玩= 一l ，a = 研= 1 ( 2 ) 也= 玩= 一1 ，小l ，耳1 ( 3 ) a = b c 一1 ，4 = 耳= 1 定理4 2 3 对任意的a ，b 位舢( s ) ；( a ，b ) 7 l f 当且仅当4 = 耳，a 。= 玩 定理4 2 4 对任意的a ，b 砸舢( s ) ；( a ，b ) d 当且仅当下列条件之一成立： ( 1 ) 4 = 耳= 1 ，止= 一1 ，玩= 一1 ( 2 ) 小= 研= 1 ，a 。一1 ，展一1 ( 3 ) a 。= b 。= 一1 ，a ，1 ，2 1 定理4 2 5对任意的a ，b t 饥t ，( s ) ；( a ，b ) 了当且仅当下列条件之一成立： ( 1 ) 4 = 耳= 1 。也= 一1 ，展= 一1 ， ( 3 ) a = 展= 一1 ，小1 ，b r 1 定理4 3 1对任意的a 乱讯u ( s ) ，a 是幂等元当且仅当下列条件之一成立： ( 1 ) 以= e a = 1 二。卜吐。 以= ( 二：二弘咄 定理4 3 2对任意的a 位舢( s ) ；a 是正则元当且仅当下列条件之一成立： ( 1 ) d e t ( a ) o 。 ( 2 ) a t 巧n t j ( s ) ，a n da ，= 1 ，a 。一1 ( 3 ) a t 以几u ( s ) ，a n da t 1 ，a c = 一1 第五章给出了一些后继课题 关键词：变换半群，矩阵半群，等价关系 2 0 0 0m r 主题分类号0 1 5 2 7 中图法分类号0 1 5 2 7 8 a b s t r a c t 9 s e 面g r o u pt h e 0 巧i say o u n gs u b j e c t ，i th 笛b e e nd e e p i yr e s e a r c h e d s e m i 留0 u pt h e 0 呵 h 幽a p p l i e di nm 龃y6 e l d s ，s u 出笛c o m p u t e rs c i e n c e ，a u t o m a t at h e o r y t h e o r yo fc o d i n g ， c r y p t o g r a p h 品a n ds oo n i ti s 印p e a r i n gs t r o n g 讥g o ra n di tw o u l dh m o r ea n dm o r e a p p l i c a t i o n s i n 跎m i 伊o u pt h e o r y t r a n s f o r m a t i o m 鼬m i g r o u pw 够a l w a y saa u c t i v et 硒ki nl 嬲td e c a d 鹤 s i n c ee a c h m 培f o u pc a nb ei 璐e t e di i i n 圯t r a n s f o r m a t i o n m i 目o u p t h e o r e t 记“l y f d r a _ b s t r a c ts e m i f o u pt h e o r yi t i se n o u g ht os t u d yt r a 璐f o r m a t i o n m i g m u p 、 f i n i t ef l l ut r 趾s f o r m a t i o n 跎l i f o u ph 笛a t t a c t e dm a n ys c h o l a 盯st h 缸l 【sf 研i ti sc 0 卜 p u t d b l e 柚di th 鹊m 明yw e u 加i b i n a t o r i 址p r o p e r t l 皓 g r n ，sr e l a t i o 璐，丘r i ts t u d i e db y j a g r e i n1 9 5 1 ，h a v ep l a y e daf u n d 蛆l e n t a lr o l e i nt h ed e v e l o p m e n to f 嘶g r o u p ，睁 p e da ：u y i nt h ed e v e l o p m e n to f 丘n i t ef u ut r a 璐f b r m a t i o ns 唧i g m i l p m a n ys 出o r 越馏h a v e r e 跎a r c h e dd e e p l yf b rf u ut r 姐s f b r m a t i o n m i g r o u pa n di t ss o n l es u b m i 口o u p s f i o re x 锄一 p l e ，h o i w e ，y 0 u 【1 1 - 1 4 】，p e i 睁9 】，y 抽g 【1 5 _ 1 6 】，趾d o n a l lc o n t i n u s e m n a p s0 fag i v e nt o p o l 嚼c a ls p 鹤xm a k eu p0 fa 鼬m i g r o u pu n d e r c o m p o s i t i o n g r e e n sr e l a t i o nf b ri t sr e g u l 龃e l e m e n t s 啊，e r ec h a r a c t e r i z e db ym a g i l la n d s u b i a h ( 1 9 7 4 ) r e 脱n t l y ，p e i 【8 ，2 0 0 5 1o b s e e dac l 嘲0 ft o p o l o g i 砌s p a c 鹤：i fei s 衄e q u i v - a l e n c eo na 鸵t k txb e 衄d o w e d 丽t ht h et o p o i o 盯蠡d rw h i c ht h ef 皿i l y0 fa ub c l 罄晒 i sab 丛i s 1 e t7 ( x ) = ( q 2 x ：v ，暑，) e 兮扛q ，! ，q ) e ) 衄dh 鲢r e a r c h e dt h e r e g i l l 盯i t i 铬，t h e ( 知e e n sr e l a t i o 璐柚ds o m eo t h e rp r o p e r t i 笛o f2 ( x ) w h e ni x ii sf i n i t e d e n o t eb y 取t h ef u ut r 蛆s 五竹m a t i o ns e m i 留o u p0 nx ，ei sa ne q u i v a l e n c eo na tx i n c h a p t e r2 ，an e wk i n do fs u b s e m i 口o u p so f2 x ，s e m i g r o u po ft r 衄s f o r m a t i o n st h a tp r e e 蛇n r e d o u b l ed i r e c t i o ne q u i v a l e n c e 死一( x ) i s 璐i d e r e d ：电( x ) = t q j ：v ( z ，! ，) e 车 ( z q ，夕q ) e ) g r e e n 7 sr e l a t i o 璐0 f 了k ( x ) 缸ed i s c u s 驰di ns e c t i o n2 2 ，t h er e g u l a r i t ) ro f2 k ( x ) i sc 0 璐i d e r e d i i ls e c t i o n2 3 i nc h a p t e r3 ，an e wk i n do fs u b m i g r o u p s0 f7 x ，s e m i g r o u p0 ft r a n s f o r m a t i o 璐t h a t p r e 鲫wd o u b l ed i r e c t i o ne q u i v a l e n c e 码( x ) i sc o n s i d e r e d 码( x ) i 口j & ：v ( z q ，可q ) e = = ( z ，秒) e ) g r e e n 7 sr e l a t i o 璐o f 码( x ) a r ed i s c u 鹳e di i ls e c t i o n3 2 ，t h er e g u l a r i t yo f 码( x ) i s i l s i d e r e d i ns e c t i o n3 3 i nc h 印t e r4 ，al 【i i l do fm a t r 波m i g r o u pt h a tp r 鹤e r v ea ne q u i v a l e n c ei sc o l l s i d e r e d 1 e t a = ( ：) ，p = ( ：) r 2 1 a 口m + n = s + t o b v i o l l s l yt h e i s 锄e q u i v e l 姐c eb e 骶e nv e c t o r so np l 舡屺l e t s = a r 2 2 i v a ，芹1 ，q pt i i e na 口一a p ) c 妇l ysi 8as e m 毋0 l l pu n d 盯c 0 l p o s i t i o n g r e e n ，sr d a t i o 璐o fs 啪出u 鼹e di ns e c t i o n 4 2 ，t h ei d e m p o t e n t e n c ea n dr e g u l a r i 匆o fs 盯ec o n s i d e r e di ns e c t i o n4 3 t h em a i nr u l t sa r e 百v e n 雒f o u o 丽n g i nc h a p t e r1 骶g s o m e b 越i cc 0 璐印t i o na b o u t 锄i g r o u pt h e 0 珥 t h r e m2 1 3 ( 1 ) e = x xi f a n d 伽崎i f 7 k ( x ) = 2 x ； ( 2 ) e = j ( t h ei d e n t i t yr e l a t i o n0 nx ) i fa n d0 n l yi f z b ( x ) = q z x i v z ，童，x ，z 暑号z 口y d ) t h e o r e m2 2 1 f o r 锄yq ，卢乃( x ) ，t h ef o u o 昕n ga r ee q u i v a l e n t ( 1 ) ，p ) c ( 2 ) x a = x p ； ( 3 ) t h e r ei s 柚p a d 嘶鹞i b kb i j e c t i o n 妒：7 r ( a ) - + 7 r ( 卢) 踟c l lt h a ta = 以 t h e o r e m2 - 2 2f 0 rq ，p 殆) ，t h ef o u 0 而n ga r ee q 心同e n t ( 1 ) ( q ，p ) 冗； ( 2 ) 7 r ( q ) = 7 r ( p ) ；i z ( 口) l = l z ( p ) l ( 3 ) t h e r ee 】c i s t s6 2 k ( x ) ，圳x a ：x 乜一x 卢i sab i j e c t i o na n dp = q 5 t h e r ee ) 【i s t s 盯2 k ( x ) ，盯i x 卢：x p 一x 口i sab i j e c t i o n 姐dq = p 口 t h e o r e m2 2 3 f 0 r 口，p 珏( x ) ，t h ef o u o w i n g 缸ee q u i v a l e n t ( 1 ) ( 口，卢) 咒； ( 2 ) x q = 阳，7 r ( q ) = 丌( p ) ； ( 3 ) t h e r ei sa nf a d m i s s i b l eb i j e c t i o n 妒：7 r ( q ) _ 7 r ( p ) s u c ht h a t 口= 以 t h e r ea r e 瓦口2 ( x ) s u c ht h a t 卅x 口：x q _ x 卢，盯l x 口：x p _ x qa u r eb i j e c t i o n sa n d p = q 玩q = p 盯 t h e o r e m2 2 4f o rq ，卢珏( x ) ，t h ef o l l o w i n ga r ec q u i 训e n t ( 1 ) ( a ，p ) d ； i i ( 2 ) i z 陋) i = i z ( p ) i t h e r ee ) ( i s t s6 2 k ( x ) ，6 i x d ：x a _ x pi sab i j e c t i o h t h e o r e m2 2 5e d ra ，p 2 ( x ) ，t h ef b u o w i n ga r ee q u i v a l e n t ( 1 ) ( a ，p ) 了； ( 2 ) i x 口i = i x p i ，t h e r e 嘲s tp ，r 如( x ) f o r 锄ya 别e ，a q b 励郇c o r r f o rs o m eb ，c 驯e t h e o r e m2 2 6l e tq ，p 3 ( x ) i 叫e i = 7 l ( n 话nl 礼e 9 e r ) t h e nt h ef o u o w i n g s t a t e m e n t s 缸ee q u i 舭： ( 1 ) ( p ) d ( 2 ) ( a ，p ) 了 ( 3 ) i x q i = l x 计t h e r e 【i s tp ，7 码( x ) ，f o r 铷1 ya 州e ，a q b 励，a p c 叮 奴戳舡屺b c x e t h e o r e m2 3 1l e tq 码) ，t h 衄口i sr e g u l a ri f 蛆d l yi fan x q 0f o ra n y a x | e t h e o r e m2 3 2 2 ( x ) i sr e g u l a ri f 蛆do n l y0 fi x e ii s 丘i l i t e t h e o r e m2 3 3l e ta ，卢j 瞄( x ) ( a p ) 2 = a pt h e nq ，卢铀- er e g u l a r t h e o r e m3 1 4 ( 1 ) 码( x ) = 珏( x ) n 码) ( 2 ) i fl x e i = n ( 竹i sn 订l t e 9 e r ) ，t h e n3 噔( x ) = 码( x ) ( 3 ) e = x xi f 衄do n l yi f 码( x ) = 取 ( 4 ) e = ，i fa n do n b ! i f 码( x ) = q 丁k ：v z ，可x ，z 秒辛z a y q ) t h e o r e m3 2 1l e tq ，p 码( x ) t h e nt h ef o l k 嘶n gs t a t e m e n t sa r ee q u i v a l e n t ： ( 1 ) ( a ，p ) c ( 2 ) x 口= x pa n df o r 曲a x et h e 阳e x i s tj 5 i ，c x es u c ht h a t a 口= b pn n da p = c a ( 3 ) t h e r ek 蛆f a d m i 鼹m l eb i j e c t i o n 妒：7 r ( o ) _ 丌( p ) s u c ht h a tq 。= 妒风 t h e o r e m3 2 2l e tq ，卢码( x ) t h e nt h ef o u 0 叭n gs t a t e m e n t sa r ee q u i v a l e n t ： ( 1 ) ( q ，p ) 冗 ( 2 ) 7 r ( q ) = r ( p ) i z ( q ) i = i z ( 卢) 1 a n df b ra n yz ，暑，x ，( z a ，! ，q ) ei fa n do n b ，i f ( z p ，y 卢) e ( 3 ) t h e r ee x i s t s6 2 k ( x ) s u c ht h a t6 i x 口：x q _ x 卢i sb i j e c t i o n 蛆dp = q 占 t h e r ee x i s t s 口2 1 e ( x ) s u c ht h a t6 i x 口：x p _ x qi sb i j e c t i o na n d 口= p 口 t h e o r e m3 2 3l e ta ，p 2 ( x ) t h e nt h ef o l l o w i n gs t a t e m e n t s 缸ee q u i v a l e n t ： ( 1 ) ( q ，卢) 冗 ( 2 ) x q = x p蚰df ；d re a c ha 驯et h e r e e x i s tb ，d x e8 u c ht h a ta q = b p 口n da p = c q 7 r ( 口) = 7 r ( p ) a n df b ra n yz ，x ，( z q ，”口) ei fa n do n l yi f ( z ，! 卢) e ( 3 ) t h e r ei s 砸e 一a d 血豁i b l eb i j e c t i o n 妒：7 r ( q ) _ 7 r ( p ) s u c ht h a ta 。= 以 t h e r ea r e 五盯2 乙( x ) s u c ht h a t 卅x a ：x q _ x p ，口j x 口：x p _ x q a r eb i j e c t i o 璐 锄d 卢= 口正q = 伽r t h e o r e m3 2 4l e t 口，p 码( x ) t k mt h ef o l gs t a t e m e n t sa r ee q i l i v a 此n t ： ( 1 ) ( q ，卢) d ( 2 ) i z ( q ) i = i z ( p ) i t h e r e 臼【i 8 t s6 2 ( x ) 舳c ht h a t 别x 口：x q x 卢i sb i j e c t i v e f b r e 锄出a 驯et h e r ee x i s tb ，c es u c ht h a ta q 6 = b p ，a p = c 0 6 l e m 功吼3 2 5l e tq ，p 码( x ) ，8 u p p o s el z ( p ) l i z ( q ) l 卸dt h e r ee x i s t s 锄e 一 m 印p i l l g6 ：x p x as u c ht h a tf d r c ha 剐e ，a q ；b 卢6f o rs i n g l eb x e t h e n q = 卵7 7 五d rs o m ep ，7 码( x ) c o r o l l a r y3 2 7 l e tq ，p 码( x ) 缸dt h e r e 面s t 瓦仃珏伍) s u c ht h a tf o re a c h a 驯e ，a q = b p 五a 卢= c q 盯6 d rs i n g l eb ，c j e t h e n ( a ，p ) 歹 t h e o r e m3 2 8l e tq ，p 码( x ) i 驯捌= t i 话口t n e 9 凹) t h e nt h ef o l l o w i n g s t a t e m e n t s 壮ee q m 、，a l e n t ： ( 1 ) ( 口，卢) 力 ( 2 ) ( 口，p ) 了 ( 3 ) l x q i = i x p l t h e r e 白【i s tp ，7 - 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