（采矿工程专业论文）锚杆锚固质量无损检测研究.pdf

太原理工大学硕士研究生学位论文 锚杆锚固质量无损检测研究 摘要 锚杆锚固技术正在世界各地的隧道、采掘、高边坡和深基坑等工程支 护中广泛应用，其使用范围由较完整的围岩到破碎、松软岩体中的地下结 构，直至煤层、土体中的结构。锚杆锚固质量及受力状态的检测大多仍然 停留在破坏性拉拔试验阶段，这种检测手段既费工又费时，对加固的岩体 也产生较强的扰动，降低了锚杆对围岩的加固作用。因此，无损检测技术 为锚杆锚固质量的评价提供了一种新的方法。 本文针对实际工程岩体锚固状态下环境易于发生变化这一现象，在波 动理论的基础上，对锚杆锚固状态检测进行了理论上的研究，取得了如下 一些主要成果： 通过对应力波传播理论的分析，研究了弹性波在锚固体系中的传播 规律，得到了弹性波在锚固体系中的衰减规律和能量分配规律，为锚杆锚 固质量的检测提供了重要的理论依据。 锚固系统的无损检测可用固结波速、锚固长度、锚杆工作荷载等参 数作为判断质量优劣的依据，试验研究结果表明固结波速和锚杆杆体与锚 固剂的粘结强度有关。锚固质量越好，粘结强度越高，固结波速越接近锚 固介质的波速；锚固质量越差或者完全没有粘结的锚杆，其固结波速接近 或等十锚杆杆体的波速。而工作荷载和极限承载力则从另一个角度反映了 锚固质量的优劣。 太原理工大学硕士研究生学位论文 用小波分析、多分辨率分析和自适应滤波等分析方法识别底端反射 信号，其中，在用小波分析方法处理信号时，发现应用“d b 4 ”小波或“c o i f l ” 小波对信号进行4 尺度或5 尺度分解，所得的最高尺度分解系数的高频重 构信号可以对底端反射信号有较好地反映；多分辨率分析和小波包分析是 对小波分析手段的丰富；自适应滤波分析方法应用信号逼近的手段使待测 信号显现出想要的结果。以上几种分析方法表现出很好的一致性，联合使 用会极大地提高分析精度。 根据弹性波在锚固体系中的传播理论和信号分析理论，以m a t l a b 为开发平台编写了锚杆锚固质量无损检测信号分析系统软件，实现了锚杆 锚固质量的智能评价，更好地获得表征锚杆工作状态的特征参数，提高分 析精度，形象直观化。 关键词：锚杆，无损检测，锚固质量，小波分析 太原理工大学硕士研究生学位论文 r e s e a r c ho nn o n d e s t r u c t i v e d e t e c t i o ni na n c h o r a g e q u a l i t yo fr o c k b o l t s a b s t i 己a c t r o c kb o l t sn o wu s e dw i d e l yi nt h ew o r l d , s u c ha st u n n e l i n g ，m i n i n g , h i g h s l o p ea n dd e 印f o u n d a t i o ne x c a v a t i o ne t c i ti su s e di n 岫d e 留0 u n ds t r u c t u r e f r o mi n t a c tw a l lr o c k , j o i n tr o c kt oc o a ls e a ma n ds o f t b u tc o n s t r u c t i o no fr o c k b o l t si sac o v e r tp r o j e c t , w h i c hn o to n l yl i e so nt h ee f f e c to f t r a v e r s es t r a t u ma n d c o n d i t i o nb u ta l s od e c i d e db yc o n s t r u c tt e c h n i q u e sa n dm a n a g e m e n tl e v e l ，i ti s a l s ot h ec a s et h a ts o m ep o t e n t i a lf l a wm a k e st h eq u a l i t yo fc o n s t r u c t i o nc a n t r e a c hd e s i g nr e q u i r e m e n ta n dd oal o to fd a m a g ei np r o j e c ta n de c o n o m y a sa r e s u l t , w em u s te m p h a s i z ed e t e c t i o ni na n c h o r a g eq u a l i t yt og u a r a n t e et h es a f e m a s so f p r o j e c t s n o w a d a y sm o s td e t e c t i o no na n c h o r a g eq u a l i t ya n d s t r e s si ss t a y e di nt h e s t e po f u s i n gf l u i dp r e s s u r eo p e r a t e d j a c k s t h e r e f o r e ，i ti sa nu r g e n tm i s s i o n t o m a k ear e s e a r c ho nn o n d e s t r u c t i v ed e t e c t i o ni na n c h o r a g eq u a l i t yo f r o c kb o l t s t h ep a p e rb a s e do nw a v et h e o r ya n da c c o r d i n gt ov a r i a b l es i t u a t i o no n i l l 太原理工大学硕士研究生学位论文 a n c h o r i n gs t a t e ，al o to f r e s e a r c hi sc o n d u c t e di nt h et h e o r yo na n c h o r a g eq u a l i t y o f r o c kb o l t sa n d g e t ss o m em a j o ra c h i e v e m e n ta sf o l l o w s ： ( 1 ) t h ea c a d e m i ca n a l y s i so fs t r e s sw a v es p r e a d i n gi sc o n d u c t e do i lt r a n s m i t r u l ea b o u te l a s t i c i t yw a v et oo f f e ra n i m p o r t a n ta c a d e m i cb a s ef o rn o n d e s t r u c t i v e t e s ta n de v a l u a t i o no f a n c h o r a g es y s t e mq u a l i t y ( 2 ) a n c h o r a g es y s t e mq u a l i t yc a nb ee s t i m a t e db yc o n c r e t i o nw a v ev e l o c i t y a n c h o r a g el e n g t ha n db o l tw o r kl o a ds t a t e ( 3 ) t oi d e n t i f y b o t t o mr e f l e c t i o n s i g n a l 、】l ，i m w a v e l e t a n a l y s i s ， m u l t i - d i f f e r e n t i a t ea n a l y s i sa n d a d a p ts i e v ew a v e i ts h o w s t h a tb o t t o mr e f l e c t i o n h a sb e e ni d e n t i f i e dw e l lb yh i g hf r e q u e n c ys i g n a lo f d e c o m p o s e do r i g i n a ls i g n a l w i t t ld b 4i n4s c a l e ：m u l t i - d i f f e r e n t i a t ea n dw a v e l e tp a c k e t 啪a b u n d a n tm e a n s f o rw a v e l e t ；a n ds e v e r a lm e a n sa b o v eh a v eag o o dc o h e r e n c e ( 4 ) a p p l ym a t l a bt oa n a l y z et h es i g n a lo fn o n d e s t r u c t i v et e s t i n ga n d v i s u a l i z a t i o nt h er e s u l t si no r d e rt oi m p r o v ea n a l y s i sp r e c i s i o na n dv i s u a l i z e a n a l y t i cp r o c e s s t h ew a v e l e ta n a l y s i su s e di nt h i sp a p e ri sa l s oc a nb eu s e di nn o n d e s t r u c t i v e d e t e c t i o na tc o n s t r u c t i o no fs l o pe n g i n e e r i n ga n du n d e r g r o u n de n g i n e e r i n g ，a n d p r o v i d er e f e r e n c e da c a d e m i ce v i d e n c ef o r t h e i rs a f e t ye v a l u a t i o n k e yw o r d s ：r o c kb o l t ，n o n d e s t r u c t i v ed e t e c t ，a n c h o r a g eq u a l i t y ，w a v e l e t a n a l y s i s i v 声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文。是本人在指导教师的指导下， 独立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外。本论文 不包含其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究 做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的 法律责任由本人承担。 论文作者签名：蔓堡垒垒日期：。2 笸：丝 关于学位论文使用权的说明 本人完全了解太原理工大学有关保管、使用学位论文的规定。其 中包括：学校有权保管、并向有关部门送交学位论文的原件与复印 件；学校可以采用影印、缩印或其它复制手段复制并保存学位论文； 学校可允许学位论文被查阅或借阅；学校可以学术交流为目的。 复制赠送和交换学位论文；学校可以公布学位论文的全部或部分内 容( 保密学位论文在解密后遵守此规定) o 签名：兰笠堑叁 毒 导师签名：经退 日期： 1 2 互：兰 眺牡 太原理工大学硕士研究生学位论文 第一章锚杆动测技术研究的历史及现状 1 1 选题的背景和意义 当前，锚杆锚固技术正在隧道地铁支护、采矿巷道支护、边坡加固等大型建设工程 中广泛应用，并且发展迅速。在岩土工程中采用锚固技术，能充分利用岩土的自身强度 和自身承受能力，大大减轻结构自重，节约工程材料，取得了显著的经济效果，并确保 施工安全与稳定。 在各种土木建筑工程中使用锚固技术距今已有8 0 多年的历史。据记载，美国于1 9 1 2 年首先在阿伯施菜辛( a b e r s c h l e s i n ) 的弗里登斯( f r i e d e n s ) 煤矿使用锚杆支护顶板， 1 9 1 5 年至1 9 2 0 年在金属矿山也开始使用锚杆，并有所发展和推广。从1 9 3 4 年阿尔及利亚 的舍尔法坝加高工程使用预应力锚杆及1 9 5 7 年前西德b a u e r 公司在深基坑中使用土层锚 杆至今，锚固技术在世界各地都得到了广泛应用。德国、奥地利的地下开挖工程，已把 锚杆作为施工的重要手段，无论硬土层或软土层，几乎没有不使用锚杆的。5 0 年代后 期，我国先后在京西矿务局的安淮煤矿、河北龙烟铁矿、湖南湘潭锰矿等单位开始使用 楔缝式岩石锚杆支护矿山巷道。进入6 0 年代，普通砂浆锚杆与喷射混凝支护开始在矿山 巷道、铁路隧道和边坡整治等工程中大量应用。7 0 年代，北京国际信托大厦等基坑工程 采用土层锚杆支护。近几十年以来，随着我国改革开放后工程建设项目不断增加，岩土 锚固技术也得到了突飞猛进的发展。 与此同时，对锚杆施工质量和工程可靠性的检测工作也日益迫切要求。目前，由于 多方面的原因，我国锚杆锚固质量及受力状态的检测仍然停留在利用液压千斤顶进行破 坏性拉拔试验阶段，即工程界常用的方法“拉拔”实验，此法虽然具有直观可靠之优点， 但此法费工费时，而且这种检测手段会对经锚杆加固的巷道产生较强的扰动，降低了锚 杆对围岩的加固作用，这样会导致某些矿井大面积失控现象，仍属于有损检测。因而锚 杆“拉拔”试验只限于抽查，而且工作量较大，操作不便。因此，寻求一种能快速实时 检测锚杆锚固质量及受力状态的无损检测技术，是保证围岩加固质量及其稳定的必要前 提，也是我国目前岩土加固工程及矿业采掘急需解决的技术关键问题。可以预测，只要 检测水平达到了一定程度，锚固技术将以独特的效应，简便的工艺，广泛的用途，经济 的造价，在岩土工程领域中显示其旺盛的生命力。 太原理工大学硕士研究生学位论文 随着岩石动力学的研究深入和在岩土工程中应用的开展，以及现代计算机应用的普 及，使得采用波动理论的方法解决这一难题成为可能。自然界波动现象极为普遍，其波 动信号携带有大量的有用信息，其关键是如何采集、分析、鉴别这些信息，为我所用。 这方面中国科学院武汉岩土力学所在桩基质量检测方面取得了较为突出的成果，并在工 程中实践使用，取得了较为明显的社会效益和经济效益。同时，对于锚杆，无论从理论 上讲，还是从几何形体、材质、受力情况等方面，比桩基更符合一维弹性杆的波动理论， 而且就目前煤矿上广为使用的锚杆形式，其相对长度较桩基小得多；另外就信号接收来 讲，因其能量衰减较小，更容易一些。这样，就可以借鉴桩基动测法中的小应变法( 即 锤击法) 测定锚杆的锚固情况。此外，因锚杆材质与围岩的波阻抗相差不多，而且锚杆 长度较短，会给波形分析和识别带来更大的困难。这就需要提高信号采集系统的精度。 锚固体系质量检测系统是加强以锚固技术为支护方式的土木水利工程安全生产的 迫切需要解决的技术问题。它的应用，能够解决现场专家不足的问题，早期发现结构潜 在的缺陷，减少判断故障的时间，避免或减少事故的发生，对带伤结构的剩余寿命进行 科学的评价，保证结构的安全性。健康监测与智能诊断系统有可能把目前广泛使用的离 线、静态、被动的检查转变为在线、动态、实时健康监测与控制，将导致安全监控和性 能改善产生质的飞跃。 1 2 现有研究成果的文献综述 近几十年来，发展起来的无损检测技术是多学科紧密结合的高技术产物。现代材料 科学和应用物理学的发展为无损检测技术奠定了理论基础，现代电子技术和计算机科学 的发展为无损检测技术提供了现代化的测试工具，同时，现代土木工程中迅速发展的新 设计、新材料、新工艺又对无损检测技术不断地提出新的更高的要求，起着积极的促进 作用。所以，它已成为测试技术体系中的一个重要分支，是建筑工程测试技术现代化的 重要发展方向。常用的工程结构无损检测诊断方法有：振动诊断法；声发射诊断法；应 力波检测法；射线诊断法；光学诊断法；涡流、磁粉诊断法；泄露诊断法；红外诊断法 等。 8 0 年代，瑞典曾推出超声波反射法检测砂浆锚杆的锚固状态的商品化检测仪 b o l t m e t e rv e r s o l o n 0 0 2 检测仪，9 0 年代，美国矿业管理局开发出能检测锚杆应变和长 度的超声波仪器，但它无法评价锚杆的施工质量。两种仪器都是采用超声波原理，由于 2 太原理工大学硕士研究生学位论文 超声波方法的缺陷是衰减过快，对于长锚杆的检测是无能为力的，且激发条件苛刻又不 能做出定量化评价，而且为了得到比较好的超声波信号，锚头必须磨平，故现场不适用。 同期，我国铁道科学研究院曾经仿效瑞典上述仪器对砂浆锚杆进行过一段试验研究。 因检测的机理及激发、接受方面存在着不少问题，信号采集信噪比低，又无数据处理能 力，而且使用2 2 0 v 电源接x 吖函数绘图仪，故未能投入应用。1 9 9 2 年淮南矿业学院的王 鹤龄等人进行了锚杆检测仪的研制，并于1 9 9 6 年推出了 f r 一1 型锚杆检测仪，提出了用振 幅值比即能量衰减系数来衡量锚杆的锚固质量，但该仪器不能测定锚杆的工作荷载和极 限承载力，没有弄清锚杆的底端反射显现规律，同时由于信号采样率较低，操作安装困 难，成本较高等原因，上述锚杆检测仪未能在我国推广使用。 南京大学的汪明武利用声频应力波来快速普查检测锚杆锚固质量及预测锚固力的无 损拉拔试验方法，研究表明，由于锚固体系广义波阻抗的变化，激发的声频应力波在波 阻抗界面处发生界面效应，产生反射波和透射波，应力波能量会重新分配，介质质点间 内摩擦也导致能量向其他形式转化，此外，反射波的相位特征及能量衰减规律反映了锚 杆的锚固状态和侧面阻力分布状态，且应力波能量吸收系数与锚固段长度有如下关系： 口：上l n 生 2 x 钆 式中：a 为能量吸收系数( 奈培m ) ，x 为应力波在锚固段中传播距离( m ) ，a i 为应 力波第i 次反射的反射波振幅。检测工作的核心之一是锚固段长度的测定，工作关键是 系统参数的合理设定。根据不同的。值和反射波相位特征，可得出锚杆锚固状态检测分 级标准。通过现场锚杆拉拔试验可知，锚杆锚固体系的拉拔曲线在锚系临破坏前有明显 的变化，着自动跟踪绘制拉拔曲线形态和拉拔系数的变化特征，来判断锚杆受力是否达 到临界破坏，并用拉拔曲线转折前后曲线割线交点预测锚固力，可达到既测定锚杆锚固 力，又不损坏锚杆锚固力。现场实测拉拔曲线可能呈现出复杂的变化规律，因为影响锚 固力的因素多而且复杂，锚固体系破坏方式又多样的原因。实测位移除锚固体系的弹性 和塑性变形外，还有锚杆垫板的形状和压入松散岩面的位移，以及杆体与锚固介质、锚 固介质对孔壁围岩的相对位移等。故无损拉拔测定的锚杆锚固力与实际锚固力及破损性 拉拔测定锚固力之问存在差别，这是该法需完善和改进的方面。 重庆大学的许明利用声波原理把声波测试技术应用于锚固工程完整性无损检测中， 其基本原理是采用动力瞬态激振引起锚杆弹性振动，通过测定锚杆的振动响应来估计和 太原理工大学硕士研究生学位论文 推断锚杆的完整性。基于小波包分析得到能量特征向量，作为缺陷特征向量进行无损检 测，这种缺陷诊断方法在实施缺陷特征提取和诊断时。无需建立诊断系统的数学模型，就 可以迅速地进行检测。利用人工神经网络进行锚杆完整性的预测，将人工神经网络这类 非线性动力学系统运用于该灰色系统的质量预测取得了一定的效果。 据( c o a l a g e ) 2 0 0 2 年第1 2 期报道，德国d m t 公司最近开发出了一种超声波锚杆无损 检测系统，能提供明显的信息来说明锚杆是否因断裂而失效，准确确定断裂的位置，而 无需再安装高价的传感器。使用这种超声波无损检测仪，需要配备1 个传感器头紧贴锚 杆端面，并使用1 个胶体式联接器，以减少发声时的能耗。检测仪上显示的输出信号是 由各种不同振幅的声波形成的点状破坏曲线。y 轴，表示量测信号的强度，x 轴，表示量 测点到传感器的头二者之间的距离。从检测仪器上可看到整个曲线上各个量测点的声波 强度值。 长江科学院岩基研究所的汪天翼，王法刚等利用声频应力波无损检测方法，在湖北 清江水布亚电站进行了工程锚杆注浆密实度检测的试验研究，其原理是利用应力波沿着 锚杆传播时因边界条件变化带来波阻抗改变，进一步引起相位的变化，根据波形中反射 相位的相邻点计算空浆或不密实的位置及长短，来判断密实性状，结果表明声频应力波 法检测工程锚杆注浆密实度可以基本满足工程需要，但这也只是定性的建立了检测指标 与锚杆密实度的相关关系。 英国伦敦大学的m d b e a r d 博士等人利用导向超声波来对锚杆进行检测，通过对信 号相速率、能量速率、衰减系数的频散曲线进行分析，并综合考虑了围岩岩石模量、环 氧层模量及厚度、锚固质量等因素对测试结果的影响，得到了在高频和低频时最为理想 的超声波激振频率，而且研制了专门的激振传感器。在低频时，宜采用4 0i d t z 脉冲进行 检测；在高频时，2 脏i z 是一个比较理想的激振频率。在实际中，采用高频和低频相结合 的方法，且通常只能对3 o m 以内的锚杆进行检测。 太原理工大学的李义、王成、刘海峰等人，通过实验室研究和现场实测工作，提出 了锚杆锚固状态综合参数动态无损检测方法。其基本原理是在锚杆顶端( 自由端) 施加一 个瞬态冲击载荷，由安设在锚杆顶端的传感器接受反射信号，通过对反射波信号进行时、 频域分析，获得锚杆有效锚固长度、锚固质量、工作荷载、极限承载能力( 拉拔力) 等反 映锚杆锚固特性的基本参数。该技术可以满足施工质量安全检测及支护参数优化设计的 要求。 4 太原理工大学硕士研究生学位论文 除此以外，在锚杆无损检测的理论和工程应用方面还有许多单位和个人也做了大量 的研究工作，上述研究工作的开展和相关仪器的研制，极大的推动了我国岩土锚固工程 和工程质量无损检测技术的发展，但是锚杆无损检测是一项很复杂的系统工程，无论在 理论上还是实践中都还存在很多的问题需要研究。 1 3 本文研究的主要内容 本文针对实际工程岩体锚固状态下环境易于发生变化这一现象，在波动理论的基础 上，对锚杆锚固状态检测进行了理论上的研究，并对检测结果进行分析，取得了如下一 些主要成果： 通过对应力波传播理论的分析，研究了弹性波在锚固体系中的传播规律，得到了 弹性波在锚固体系中的衰减规律和能量分配规律，为锚杆锚固质量的检测提供了重要的 理论依据。 锚固系统的无损检测可用固结波速、锚固长度、锚杆工作荷载等参数作为判断质 量优劣的依据，试验研究结果表明固结波速和锚杆杆体与锚固剂的粘结强度有关。锚固 质量越好，粘结强度越高，固结波速越接近锚固介质的波速；锚固质量越差或者完全没 有粘结的锚杆，其固结波速接近或等于锚杆杆体的波速。而工作荷载和极限承载力则从 另一个角度反映了锚固质量的优劣。 用小波分析、多分辨率分析和自适应滤波等分析方法识别底端反射信号，其中， 在用小波分析方法处理信号时，发现应用。d b 4 ”小波或“c o i f l ”小波对信号进行4 尺 度或5 尺度分解，所得的最高尺度分解系数的高频重构信号可以对底端反射信号有较好 地反映；多分辨率分析和小波包分析是对小波分析手段的丰富；自适应滤波分析方法应 用信号逼近的手段使待测信号显现出想要的结果。以上几种分析方法表现出很好的一致 性，联合使用会极大地提高分析精度。 根据弹性波在锚固体系中的传播理论和信号分析理论，以m a t l a b 为开发平台编写 了锚杆锚固质量无损检测信号分析系统软件，实现了锚杆锚圃质量的智能评价，更好地 获得表征锚杆工作状态的特征参数，提高分析精度，形象直观化。 本文的应力波法锚杆无损检测理论还为声波测试技术在边坡工程、地下工程等施工 过程以及后续管理中的超声监测、稳定性评价以及岩体强度预测、地应力测量等方面的 应用提供可参考的理论依据。 太原理工大学硕士研究生学位论文 第二章锚杆无损检测的理论基础 2 1 锚杆在轴向荷载作用下的振动规律 在分析锚杆的纵向振动时，我们假设锚杆是弹性连续体，由无穷多个质量组成，为 了确定锚杆中某点的位置，就需要无穷多个位移坐标。这时系统具有无穷多个自由度。 这些坐标作为一连续函数来处理，它对时间的一次导数和二次导数代表一般点的速度和 加速度。因为它的质量是分布的，所以其具有无穷多个固有振型，它的动力反应可以按 诸振型影响之和来计算的。 在考虑锚杆的纵向振动时，我们假设材料是均匀和各向同性的，并服从虎克定律 位移假设相当微小以至动力激发的反应总是线性弹性的并假定纵波的长度比锚杆的横 截面尺寸大得多。在这种情况下，横向位移对纵向运动的效应可忽略不计。锚杆在纵向 振动时，锚杆的横截面保持为平面，而且每个截面上的应力是均匀分布的。 2 1 1 锚杆的纵向振动分析 图2 - 1 表示一根长度为l 的无约束锚杆，在距离锚杆端x 处有一长度为d 。的单元， 用符号“阮f ) 表示在时间t 时x 处横截面的纵向位移。锚杆的单位体积质量为p ，截面 的抗拉刚度为9 4 c x ) ，e 为弹性模量，a c x ) 为横截面积，由于已假设锚杆的横截面在纵 向振动过程中始终保持平面，锚杆的横向变形也可忽略不计。则u ( x ，0 是截面位置x 与 时问t 的二元函数，取微元段d 。，它的应变量为： 0 i) ( io 一 j出卜 图2 - 1 锚杆的纵向振动 f i 9 2 1l o n g i t u d i n a lv i b r a t i o na n a l y s i so f b o l t 6 太原理工大学硕士研究生学位论文 g ：垒挲：下u + 云d x - u ：罢 ( 卜1 ) 9 2 亏尹2 广2 面 0 2 一 在x 和x + d 。两截面上的内力分别为n 和n + 娑出，对于锚杆n 可近似为： 办 ：e a s ：e 4 宴 ( 2 _ 2 ) 根据牛顿运动定律可得： , o a d x o d 2 广u - = + 罢矗一= 警出= 旦a 。b l 塑a x k j 或 p d 0 矿2 u = 旦 尉割 c zq ， 只要知道截面的变化规律a ( x ) ，即可求得( 2 - _ 3 ) 的解，对于等直径杆彳为常数。 ( 2 - 3 ) 式可简化为： 雾= 去v c 察o t c h ， a x 2 22 。 其中殆= 吾为锚杆体中的纵波传播的速度。式( 2 叫) 称为锚杆的纵向一维波动 方程，它表明在纵向振动过程中纵波以速度k 传播，为了求出方程( 2 - 4 ) 的解，可以 令： u ( x ，f ) = x ( x x a c o s 耐+ b s i n c o t ) ( 2 5 ) 式中a ，b 为常数，国是角频率，符号x 是x 的函数，该函数决定固有振型的形 状，把方程( 2 5 ) 代入( 2 - _ 4 ) 并分离变量后可得到： 由此可得： 等d 弗工2 殆2 j = c c o s 茜d s m f f x ( 2 7 ) 式中c ，d 为常数，由边界条件确定，令七：芸，k 为波数。 y c 7 太原理工大学硕士研究生学位论文 七= 旦v c = 铥= 百2 7 ，式中f 为振动频率，名为波长，且z = 孚。将( 2 - - 7 ) 代入 ，= 尉娑= e a ( 一c k s i n h + d k s i n k x ) ( a c o s 耐+ b s i i l 卅( 2 呻 d u ) 一。- - 。0 c ， ( 刳。= 。 u 川 为了满足这个边界条件，并使方程有非平凡解，则必有s i n 舡= o ，即：s m 了o j f l = o ，则 善尝：f 万 f ：1 ，2 2 ( 2 m 1 1 ) 可f 2 万 72 1 1 i ，r v c o ) i ：= 一 工 与各固有频率相对应的各振型函数为： 石( 工) = c 0 0 8 t 研x 将( 3 一1 2 ) 、( 3 一1 3 ) 代入( 3 8 ) 可得： i = 1 2 ：( 2 - 一1 2 ) i = 1 2 ( 2 一1 3 ) 吣，) ：曼c c o s 争舢s t i t t v c t + b s i l l 塑 l = l 上一l山 速度响应为： ，、 m ；一f 耐钮i ，r v c t f ，以i t r v d 、 7 ( 咖。e c c o s l ( 亍螂t 卅彳咖宁 i 一 山厶山山 8 4 5 卜 一 ( 2 太原理工大学硕士研究生学位论文 ：量! 苎坠c o s 堕( b c o s i r r v c t 一爿s i i l i r r v c t ， 5 i 乞= l z 一8 丁【b 。0 8 t 一爿8 m 。j l jll 加速度响应为： 哪，= 墨( 警) 2 c c o s 警洫字础。s 等c 卜 ( 2 ) 一端固定，一端自由的锚杆： 当外端头自由时的锚杆，可简化为一端自由，一端固定的锚杆，其边界条件： ，0 k = 0 。 ( 罢 。= 。 沪1 7 由( 2 一1 6 ) 第一式得c = 0 。 ， 由( 2 一1 6 ) 第二式知，若方程( 卜8 ) 有非零解则必有： c o s 等= o 此时频率方程为： c o lf 万 殆2 各固有频率为： i ，r v c 锄2 1 f 各固有频率相应的振型函数为： f = 1 ，3 ，5 ( 2 一1 8 ) 石= d 血矗x f _ l ，3 5 ( 2 - 1 9 ) 将( 2 1 8 ) 、( 2 一1 9 ) 代入( 2 8 ) 可得出一端固定，另一端自由时锚杆的自由振动的 解为： 如r ) = 茎d 咖争船害他缸笔争 c 搠o ) j = l -厶厶山 哪，= 石d u = 茎笔s m 等c 觚等础m 警c h t ， 俐= 订d 2 u = 争( 等) 2 锄。瓦l a xc 墙m 害一s 警c 2 ( 3 ) 两端固定的锚杆 当端锸锸杆雇端被锚固外端被喷射湿涡十屡固京时可简化为两端固定的模犁。其边 9 太原理工大学硕士研究生学位论文 界条件为： u ( x ，f ) ，d = 0 u ( x ，) 。= 0 由此得出： s 证等= o 由上式得： i x g e 曲。t 各阶振型函数为： 石：c e o s 堡 三 两端固定时，锚杆的自由振动的解为： = i 兰= 1 c c o s 挚c o s 半憾i n 串 l上，山 ( 2 - 2 3 ) 俐= 兰c 警c o s 等( 觚i z t 工v e t a s i n irveti=1 ) ( 2 _ 2 7 ) l 工一 ll 如o = 烈曼_ ( _ j i t t i , e 1 2 c o s t i m c 墙m 字一s 串c 2 一 ( 4 ) 一端自由，一端为弹性支承的锚杆： 外端自由，底端锚固较差的锚杆，可简化为一端自由，一端为弹性支承的锚杆，其边界 条件为： ( 剧鱼o x + 而 。= 。 c h 9 ， l州 。= 。 式中i 为底端锚固介质的刚度系数 由边界条件可得频率方程： e a k s i n k l ：i c o s 也 即t g k l = 丽k 1 0 太原理工大学硕士研究生学位论文 令f = 乜，玎= 告 船f = 叩 由此方程可以画出f 和，7 的相互关系图，并由此确定各阶固有频率的删，相应于各 阶频率的主振型为： 石= 。黪k l cc o 倒+ s 螺) ly f ，ly c ，i “o = 墨偿c 。s ( 爿+ 如( 嚣) 。c 。s 耐+ 曰s 缸跏) c 2 如， 俐= 砉。偿c 。s ( 韵拙( 剀卜4 s i n o 酣+ 觚训h ， 俐= 差耐黪c o 仨) + 吐剀( - 4 c o s 耐一占s i n o 瞒t ) c h z ， 2 1 3 锚杆在轴向荷载q ( t ) 作用下的强迫振动 图2 - _ 2 表示一根一端锚固、一端自由的锚杆，q ( t ) 为轴向载荷。由( 2 一1 9 ) 可 求出锚杆在自由振动时的振型函数： 石o ) = d s m 瓦i n x 卜1 ，3 ，5 ( 2 _ 3 3 ) 由于任何位移“：，f 曲都可以用上述振型函数叠加来得到，所以 图2 - 2 在o ( t ) 作用下的锚杆 fi 9 2 - 2r o c kb o l tu n d e rt i i m 畦o f q ( o 该干扰力q ( t ) 所引起的振动可用下面级数表示： 如f ) ，未j 细里2 l 式中西为时间的函数 l l q ( 七) 太原理工大学硕士研究生学位论文 根据虚功原理，考虑单兀的惯性力，由于变形引起的每一单兀的弹性力以及作用于 端点处的干扰力，得出西所满足的微分方程： 荔掰咖= 壶付) ( 2 _ 3 5 ) 式中：删= 7 啊 i = l ，3 5 p 锚杆的质量密度； a 锚杆的截面积； l 锚杆的长度； 假设初始位移和速度均为零，只考虑由于干扰力q ( t ) 所产生的振动，按杜哈曼积 分形式写出方程( 2 - _ 3 5 ) 的解为： 咖= 锚心it 灿瞪 p c h s ， 将式( 2 - - 3 6 ) 代入( 2 - 3 4 ) ，得到由于干扰力q ( t ) 所产生的下列形式的响应： 吣，r ) = 万面4 。- 量1 , 3 , ，学咖篆j ；钟) 咖 等( f 一，巾 2 1 4 锚杆在瞬态力作用下的振动 前面介绍了锚杆在各种边界下的自由振动特性和锚杆在q ( t ) 作用下的强迫阻尼振 动，下面作为强迫振动的一个特例，介绍锚杆在一端固定，另一端加一冲击荷载 p ( t ) = - p o 占( t ) 的作用。如图2 _ 3 所示 在t - - o 时，锚杆的位移，速度等于零，根据锚杆在自由振动时的振动频率方程及振 型函数可得： 鲫= 莩三吾纠，2 ，s 鲫2 丁i 1 万产l ，- 2 ，土 石“s m 掣争纠，2 ，3 太原理工大学硕士研究生学位论文 由归一化条件： 故 厂厂 血2 1 i 面 正则振型为： 所以广义力为： i 1 1 p ( o = ，a 占 图2 - 3 - p o s ( t ) 作h l 下的锚杆 f i 9 2 3b o l tu n d e rt h ef u n c t i o no f - p o s ( t ) 詹卢4 铱= 岳例彳1 2 衄2 2 1 2 - 1 z r 础= l = 压血孕争 g f ( ，) = p 蚪咖压 弘 在零初始条件下，正则坐标： 所以锚杆的响应为： 卅) i 幅去s 妯耐 甜( ，) = 黑咖( 功别 f ) = j 2 ；p 西。言r - ，面1 一丁2 i - 1 三x s i n 硎 令x = l ，得到在瞬态力一p o s ( t ) 作用下自由端的响应： ( 工，) = 一面2 p o 刍_ 。面1 蛐耐 1 3 太原理工大学硕士研究生学位论文 引入轰居，则叫2 f _ 1 肌上式可改写成 心，r ) 一删4 p 0 慨厘_ e 彭s i i l 泐， 由此可进一步求出锚杆端内质点的速度和加速度响应： v ( x ，f ) = 一兰尝量c o s 泐f 口d li - ! ，3 ，5 ( 2 - 一3 8 ) ( 2 - 3 9 ) 2 2 一维弹性应力波传播的规律 如图2 - 4 所示的长杆，其原始横截面积为以，原始密度为岛。材料的性能参数与 坐标无关，即其为均匀的长杆。首先假定杆在变形前横截面保持为平面，沿截面只有均 匀分布的轴向应力。于是各运动参量都只是考察杆中微元体以，如图2 4 所示。 ( p ( 均一一p ( x + t 的c 0 一 、 j x x + d x 图2 4 杆体的纵向振动 f i g 2 - 4l o n g i t u d i n a lv i b r a t i o no fp o l e 在左截面上总的作用力为p ( x ，t ) ，在右截面上总的作用力为： p 伍+ 扭，f ) = p ( 置f ) + 曼掣髓 ( 2 4 。) 根据牛顿第二定律，可得。 岛4 硝詈= ，伍+ 科，f ) 一p ( 墨r ) = 竺o x 凹( 2 - 4 1 ) 引入工程应力 盯= e 4 ( 2 4 2 ) 可得运动方程 1 4 太原理工大学硕士研究生学位论文 风詈= 面9 0 ( 2 - 4 3 ) 关于材料的本构关系，假定应力只是应变的单值函数( 应变率无关理论) ，即材料的 本构关系可以写成 盯= 盯0 ) ( 2 4 4 ) o ( e ) 是连续可微函数，引入 c 2 1 d c r ( 2 4 5 ) p od s 可由式( 2 4 3 ) 和( 2 4 5 ) 消去o ，得 鱼：c 2 鱼 ( 2 4 6 ) 将式( 2 - 4 0 ) 和( 2 - 4 1 ) 代入式( 2 - 4 6 ) ，则得到波动方程： 窘- c 2 睾0 ( 2 - 4 7 ) 融1 a x l 考察方程( 2 4 7 ) ，该方程为双曲线型偏微分方程，根据偏微分方程的数学理论，存 在两族特征曲线，沿着这些曲线，能把原来的偏微分方程化成沿曲线的全微分。 对于特征线方程，可由方向导数法引入。一个二元函数，y ) ，在它定义域内沿血 线) ，= 伊g ) 的方向导数为 。 丢确，叫，出，= 丢厂b ，以) 】= 五十妾= 正+ 乃尹g ) 所以，任意一个二元函数b ，) ，) 的两个偏导数正和l 的线形组合矾+ 够可以表示成 矾+ 够= 攻正+ 告乃) = 口( 正+ 罢乃) 只要譬= 皇也就是说，两个偏导数的线形组合矾+ 圻，可以认为是二元函数“x ，y ) 盘4 。 沿曲线譬：皇的方向导数。曲线的具体函数形式可由积分j ，= f + c 决定，c 是积分 盘口。口 常数。所以这样的曲线不是一条，而是一个族。这一族曲线就是特征线。 根据方向导数法，对方程( 2 4 7 ) 进行讨论。设在( x ，t ) 平面上有某曲线f f ) ， u 的一阶偏导数也即v 和e 沿此曲线方向的微分则为： 太原理工大学硕士研究生学位论文 西= 昙硝+ 詈出= 嘉科+ 拳击 c z 瑙， 如= 尝硝+ 尝硪= 睾科+ 塑o x o t 西 c z 棚， a x 8 ta x l 。一 式中以和吐是曲线手，) 的微元段以在x ，t 两轴上的分量，也即了d x 是曲线在( x ， 甜 t ) 点的斜率。如果曲线；是方程( 2 4 7 ) 的特征线，则( 2 - 4 7 ) 式左边应能化为只包 含此蛆线的方向微分，对式( 2 4 8 ) 、( 2 - 4 9 ) 进行线形组合，于是( 2 4 7 ) 式化为 西+ 胁= 窘州触+ 凹，塞+ 七豢西= 。 协s 。， 式中k 是待定系数。将上式与( 2 4 7 ) 式进行对比，可见应满足下面的关系： 上：! 一c 2 ( 2 - 5 1 、 由上式中第一个等式得：k = _ d x ；由第二个等式即特征方向孥为：。d x ：c ，或写 d t d t讲 为 西= + c d t ( 2 - 5 2 ) 此即特征线微分方程，对其积分可得特征线。把式( 2 5 2 ) 代入( 2 - 5 1 ) ，得k = q ：c ， 于是式( 2 4 7 ) 也就是式( 2 5 0 ) 化为只包含沿特征线方向微分的常微分方程： 咖=+cd6(2-53) 由于此式规定了在特征线上v 和e 必须满足的相互制约关系，所以称为特征线上相容关 系。将( 2 4 5 ) 式代入( 2 5 3 ) 式，可得特征线上v 和。的相容关系： 如= + p o c d v ( 2 5 4 ) 特征线方程( 2 5 2 ) 在物理意义上表示扰动的传播，即在( x ，t ) 平面上特征线代 表扰动( 波阵面) 的传播轨迹，c = 去等代表波阵面的传播速度( 将在下面的讨论 中进行证明) ，式中正号代表右行波而负号代表左行波。式( 2 - 5 3 ) 、( 2 - 5 4 ) 确定了扰 动传播过程中在波阵面上质点运动速度v 和应变e 与应力。之间的相容关系，风c 称为 波阻抗。 1 6 太原理工大学硕士研究生学位论文 为了使问题简单化，只研究沿x 正方向传播的单向波，没有波的反射；外载荷以应 力边界条件给出l 剖。，以速度边界条件给出i 剖。；杆处于弹性变形阶段，应力和应 变的关系遵循h o o k e 定律，本构关系( 2 4 4 ) 化为 盯= e 6 ( 2 5 5 ) 式中e 为y o u n g 模量。非线性的波动方程( 2 4 7 ) 简化为线性波动方程 窘一四筹= 。 似s e ， 式中c o 是完全由材料常数岛和e 所决定的常数 乙：、厍 y p ( 2 5 7 ) 由式( 2 - 5 2 ) 和( 2 - 5 3 ) 知，这时特征线和相容条件分别为( x ，t ) 平面和( v ，e ) 平面上斜率为c 的两族直线： d x 2 蝙毋 ( 2 5 8 ) 籼= + c o a 引入积分常数r i 。、r i 。r i 、r ：，将( 2 5 8 ) 式改写为 誊0 鼍2 挚( 右行波) v c j 占= 置 、。“”7 置磐二争 ( 左行波) - c o 占= r 2 、“”7 r 1 、r 2 称为r i e m a n n 不变量。 设杆件原来处于静止的自然状态，f = 0 时刻在杆端x = 0 处受到一个给定条件的冲 击，例如杆端质点速度随时间的变化v 0 ( f ) 是已知的。于是问题归结为在初始条件 v 伍，o ) = s 伍，o ) = 0 及边界条件 椰，f ) = v o ( f ) 下求解式( 2 4 7 ) 或式( 2 5 8 ) 在( x ，t ) 平面上，经任一点有正向和负向两特征线，如图2 - 5 所示，其中0 a 是 经过0 ( 0 ，o ) 点的正向特征线。在o a 的下方a o x 区