（基础数学专业论文）具有限定高斯曲率的圆纹曲面.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 本文主要研究三维欧氏空间中圆纹曲面的几何性质设n = n ( s ) 为每个圆纹所在平 面的单位法向量，则圆纹曲面s 的参数方程可以表示为： x ( 8 ，t ) = r ( s ) + p ( 8 ) ( b c o s t + c s i n t ) ， 其中a = n ( s ) ，b = n 如) ，c = 佗( s ) n ，( s ) ，r ( 8 ) 和p ( s ) 分别为8 圆纹的圆心和半径，s 为n 的弧长参数，t 是8 圆纹的弧度 选取标架 x ；en ，b ，其中t = a ，n = b c o s t + c s i n t ，b = 一b s i n t + c c o s t 利用这 个标架，计算曲面s 的第一基本形式的系数e ，只g 和第二基本形式的系数厶m ，用 【，】表示印中的混合积，且令w = e g f 2 ，则圆纹曲面s 的高斯曲率可以表示为 k = 铬， 其中硒= x a ，x t ，x 8 。】 墨，托，】隅，托，咒t 】2 接下来，研究高斯曲率满足a k 疣= 0 的圆纹曲面直接计算可见a k 疣= 0 等价 于k l t w 一2 k 1 w t = 0 ，所以只需研究满足后者的圆纹曲面把髓w 一2 k 1 w t 展成关于 t 的f o u r i e r 展式，有 5 凰t w 一2 k 1 w t = 0 = 岛+ ( e c o s n t + f s i nn t ) ， s j ，t z n = l 系数目，只是关于8 的光滑函数故所t 一2 k 1 w t = 0 当且仅当岛= 晟= 尻= 0 ， i = 1 ，2 ，3 ，4 经过研究，我们得到了以下两个结论： 命题1 如果s 是由单参数圆族生成的非球面圆纹曲面，满足警= 0 ，则这些圆位 于平行平面中 命题2 如果s 是由位于平行平面里的单参数圆族生成圆纹曲面，且满足豢= 0 ， 则 ( 1 ) 如果k 0 ，则s 是旋转曲面 ( 2 ) 如果k = 0 ，则曲面s 可以表示成 x ( 8 ，t ) = ( 口l s + ( 2 0 ，卢1 s + 岛，8 ) + ( p l s + p 0 ) ( c o s ( t ) ，s i n ( t ) ，0 )q o ，q 1 ，b o ，卢1 ，p o ，p l r 令z = q 1 s + q o + ( p l s + p o ) c o s t ，y = 卢1 s + 风+ ( p l s + p o ) s i n t ，z = s ，则s 可以表示成 ( z 一口1 z q o ) 2 + ( 可一卢1 z 一岛) 2 = ( p 1 名+ p o ) 2 此时s 是一个二次锥面或椭圆柱面 具有限定高斯曲率的圆纹曲面 关键词：圆纹曲面；活动标架；f o u r i e r 展式 i i 大连理工大学硕士学位论文 c y c l i cs u r f a c e sw i t hp r e s c r i b e dg a u s sc u r v a t u r e a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，t h eg e o m e t r yp r o p e r t i e so fc y c l i cs u r f a c e si ne u c i l i d e a n3 - s p a c ei sm a i n l y s t u d i e d l e tn = n ( s ) b et h es m o o t hu n i tv e c t o rf i e l do fe a c hp l a n ei n c l u d i n gs - c i r c l e t h e n c y c l i cs u r f a c ei sp a r a m e t r i z e db y x ( 8 ，t ) = r ( 8 ) + p ( s ) ( b c o s t + c s i n t ) ， w h e r e 口= 竹( s ) ，b = n 7 ( s ) ，e = 佗( s ) an 7 ( s ) ，p = p ( 8 ) a n dr = r ( 8 ) d e n o t er e s p e c t i v e l yt h er a d i u s a n dc e n t e ro fe a c hs - c i r c l e ，a n d8i st h ea r ep a r a m e t e ro fn ( s ) ，ti st h er a d i a no fe a c hs - c i r c l e l e tt = a ，n = b c o s t + c s i n t ，b = 一b s i n t + c c o s t ，c h o o s em o v i n gf r a m e x ；t ，n ，b ) t h e nu s et h i sm o v i n gf r a m et oc o m p u t et h ec o e f f i c i e n t so ft h ef i r s tf u n d a m e n t a lf o r me ，f g a n dt h ec o e f f i c i e n t so ft h es e c o n df u n d a m e n t a lf o r m 工，m ，n l e tu sd e n o t eb y 【，】t h em i x e d p r o d u c ti n 舻a n dp u tw = e g f 2 ，t h e n - t h eg a u s sc u r v a t u r eh c a nw r i t ea s ， k 1 - 2 w 2 w h e r e 硷= 阢，五，x 8 。】阢，x t ，x u 卜阢，托，五t 】2 i ti si n t e n d e dt os t u d yt h ec y c l i cs u r f a c e st h a ts a t i s f y8 ki 矾= q i ti se a s yt oc h e c kt h a t j n t 一2 k iw 1 = 0i se q u i v a l e n tt oa k 况= 0 s oi ti ss u f f i c i e n tt os t u d yt h ec y c l i cs u r f a c e s t h a ts a t i s f yk u w 一2 k 1 w t = 0 e x p a n dk l t w 一2 k i w ii n t of o u r i e re x p a n s i o na b o u tt t h e n 5 甄t 一2 k 1 w t = e o - 4 - ( e n c o s n t - 4 - f ns i n n t ) ， s j ，t z n = l a l lc o e f f i c i e n t s 忍，尻a r es m o o t hf u n c t i o no i l8 s ok u w 一2 k 1 w t = 0h o l d si fa n do n l yi f e 0 = 最= 毋= 0 ，i = 1 ，2 ，3 ，4 t h em a i nr e s u l t so ft h i sp a p e ra r e ： p r o p o s i t i o n1s u p p o s et h a tt h en o n - s p h e r ec y c l i cs u r f a c es s a t i s f i e st h et y p eo k i & = 0 ，t h e nt h ep l a n e sc o n t a i n i n gt h ec i r c l e so ft h ef o l i a t i o na r ep a r a l l e l p r o p o s i t i o n2s u p p o s et h a tc y c l i cs f a c es i sf o l i a t e db yp i e c e so fc i r c l e sl y i n gi n p a r a l l e lp l a n e s ，a n d 筹= 0 ，t h e n ( 1 ) i fk 0 ，t h e ns i sas u r f a c eo fr e v o l u t i o n ( 2 ) i fk = 0 , t h e nsc a nb ep a r a m e t e r i z e da s x ( s ，t ) = ( c t l 8 - 4 - c t 0 ，卢1 s - 4 - 风，8 ) - 4 - ( p a s - 4 - p 0 ) ( c o s ( t ) ，s i n ( t ) ，0 ) q o ，o l l ，风，口1 ，p o ，p 1 r l e tz = c 。1 8 - 4 - q o - 4 - ( p l s - 4 - p o ) c o s t ，y = p l s - 4 - 阮- 4 - ( p l s - 4 - p o ) s i n t ，z = 8 ，t h e nsc a nb e p a r a m e t e r i z e da s ( z q 1 z q o ) 2 + ( 可一卢1 z 一风) 2 = ( p l z - 4 - o o ) 2 i i i 具有限定高斯曲率的圆纹曲面 si saq u a d r a t i cc o n eo rae l l i p t i cc y l i n d e r k e yw o r d s ：c y c l i cs u r f a c e ；m o v i n gf r a m e ；f o u r i e re x p a n s i o n i v 大连理工大学学位论文独创性声明 作者郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究工 作所取得的成果尽我所知，除文中已经注明引用内容和致谢的地方外，本 论文不包含其他个人或集体已经发表的研究成果，也不包含其他已申请学位 或其他用途使用过的成果与我一同工作的同志对本研究所做的贡献均已在 论文中做了明确的说明并表示了谢意。 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。 学位论文题目： 塞盔坦宦兹塞牢盟聋边蝈遮l 塑! 之 作者签名：盛验日期：4 年丘月j 业日 大连理工大学硬士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关学位论文知识产权的规定，在校攻读学位期间论 文工作的知识产权属于大连理工大学，允许论文被查阅和借阅学校有权保 留论文并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，可以将本学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印、或 扫描等复制手段保存和汇编本学位论文 3 1 大连理工大学硕士学位论文 1 绪论 1 1 活动标架背景介绍 活动标架的概念起源于力学，例如在研究刚体运动时，可以在刚体上联系一个标架， 刚体运动时标架随着运动，这样就得到了一依赖时间参数t 的一族标架，刚体的运动就 可以用含t 作为参数的这一族标架来表示c o t t o n ，d a r b o u x 等把标架概念推广到与多个 变量有关的情形在力学理论的推动下，d a r b o u x 首先创造了以活动标架为基础的流形 理论e c a f t a n 将这个理论发扬光大，他将活动标架从运动群推广到任意李群，建立起 李群与微分几何的联系，并引进外微分形式直接研究几何外微分与活动标架法相结合， 使得整体微分几何有了突飞猛进的发展陈省身将e c a r t a n 的方法发扬光大，他关于纤 维丛和示性类的理论，建立了微分几何与拓扑的联系，是一个光辉的里程碑 1 2 圆纹曲面研究背景介绍 由单参数圆族所生成的曲面，叫做圆纹曲面，球面，圆柱面，圆环面等都是三维欧氏 空间中圆纹曲面的例子作为一类重要的曲面，圆纹曲面是微分几何的一个重要研究领 域，关于它的研究，最早是由e n n e p e r 发起的，在1 8 8 6 年，e n n e p e r 就发现了圆纹极小 曲面，即悬链面，并用椭圆积分给出了一个具体的表示后来，r i e m a n n 也得到了同样的 结果近年来，人们已经开始研究高维空间由球生成的极小子流形，取得了一些很好的结 果，具体见文献【4 】一【6 】 n i t s c h e 1 对三维欧氏空间中平均曲率是常数的圆纹曲面进行了研究，并对其进行了 分类 l o p e z 2 ，3 1 研究了三维欧氏空间中g a u s s 曲率是常数的圆纹曲面，后来，他又对g a u s s 曲率k 与平均曲率日满足：a k + b h = c ( 其中a ，b ，c 为常数) 的圆纹w e i n g a r t e n 曲 面的情形进行了研究，也对其进行了分类 由于圆纹曲面的特殊性质之处，圆纹曲面在机械设计加工中具有重要的意义例如 】 具有限定高斯曲率的圆纹曲面 在机构运动学中关于轮轴的运动等，具体见文献【2 8 】 1 3 本文内容介绍 本文主要以圆纹曲面为研究对象，首先选取了一种合适的活动标架，并在此标架下 来研究圆纹曲面的性质 第一章首先介绍本文所讨论话题的历史发展，一些关于该学科领域的国内外学者所 取得的成果，并在最后介绍了本文的主要工作 第二章主要介绍了关于活动标架和曲面论的一些预备知识，曲面的基本形式，曲面 的基本公式，基本方程和基本定理等 第三章讨论了满足a k 况= 0 的圆纹曲面，其中k 为圆纹曲面的高斯曲率首先选 取了合适的标架，然后介绍了圆纹曲面的几何，接着分别讨论了圆纹平行和圆纹不平行 这两种情况 最后系统地概括了本文所取得的一些主要成果 2 大连理工大学硕士学位论文 2 预备知识 本章前两节分别简要介绍了活动标架的基础知识和曲面的基本形式接下来简单介 绍了曲面在一点的主曲率，曲面的基本公式，基本方程和基本定理 2 1 活动标架 首先我们简要介绍曲面上的活动标架的概念设e 3 中的曲面s 的参数表示为r = r ( u ， ) ，参数曲面s 上的光滑向量场z ( u ，t 7 ) 式指对于s 上的任意一点r = r ( u ，口) ，z ( t ， ) 是从点r = r ( u ， ) 出发的一个向量，并且z ( 让，t ，) 光滑地依赖于参数( 让， ) 对于任意的 ( u ，u ) ，当z ( 仳，口) 是曲面s 在点r = r ( 钍， ) 的切向量时，z ( u ，t ，) 称为曲面s 的切向量场， 当z ( u ，口) 是曲面s 在点r = r ( u ， ) 的法向量时，z ( u ，u ) 称为曲面s 的法向量场 给定e 3 中的曲面s 以及s 的一个参数表示r = r ( 乱，口) ，在s 各点的切平面上取向 量e l ，e 2 使得 - - - - = 1 ， = o( 2 1 1 ) 而且e 1 e 2 关于( u ， ) 是光滑的，取e 3 = e l a e 2 为曲面所的单位法向量场，则 r ；e 1 ，e 2 ，e 3 ) 构成沿曲面的一个正交标架曲面s 上的正交活动标架是指以曲面上的点为原点的三维 欧氏空间的坐标系p ( u ，口) ；a ( u ，t j ) 6 ( u ，口) ，c ( u ，口) ) ，其中a ，b ，c 是曲面s 上处处线性无关的 向量场特别，如果 o ，b ，c ) 为单位正交标架，则称 r ( u ，u ) ；a ( u ，u ) 6 ( u ，秒) ，c ( 仳，口) 为沿曲 面s 的正交活动标架 设e 3 的曲面s 的参数表示为r = r ( u ，u ) ，r u 和是曲面s 上切向量场的两个自 然的例子，n = 彘镱是曲面s 上的单位法向量场显然，n ，礼相互线性无关，因此 r = r ( 让，u ) ；，n ，佗构成了以r = r ( u ，u ) 为原点的e 3 的一个标架，这些标架的全体称为参 数曲面s 的自然标架场 ( 正交标架的存在性) e 3 中曲面s 的参数表示为r = r ( u ，u ) ，对自然标架，施行 s c h i d t 正交化，有 e = 承素零5 兹 ( 2 1 2 ) e 1 = 承菥5 诟 ( 2 1 2 ) 3 e l ，e 2 是曲面切平面的单位正交基令 容易验证，e 1 ，e 2 ，e 3 满足 e r u f r u e 3 - - - - e lae 2 - n - - - - - 尚 = = 1 ， = 0 ，e 32e 1 e 2 则 r ；e l ，e 2 ，e 3 ) 是s 的一个正定向的正交标架如果 a = 幽a l l l 刚u ； 是定义在参数区域d 上的正交矩阵且d e t a = 1 ，令 ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 测e 2 2a 别 ( 2 1 6 ) 那么 r ；e i ，e ；，e ；= e 3 ) 也是s 的个正定向正交标架显然e i ，哇是s 切平面的正交 基e 1 ，e 2 经过变换a 得到的 通过研究曲面上的任意标架来研究曲面与标架无关的几何性质，是微分几何学的一 个基本方法 2 2 曲面的基本形式 设已给曲面 其中矢函数r ( u ， ) 有连续的偏导数与，而且 0 设 r ：t 正= u ( 亡) ， = u ( t ) ，t l t 2 为s 上的一条曲线对于曲线r ， 或者 d 7 d ud 钐 面2 面+ 面， 4 ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) 大连理工大学硕士学位论文 若8 表示r 的弧长，则 d s 2 = d r 2 = r 2 d u 2 + 2 r u r t ，d u d v + r ：d 口2 ( 2 2 3 ) 令e = 吒，f = r u t v ，g = 嵋，则( 2 2 3 ) 可以写成 d s 2 = d r 2 = e d u 2 + 2 f d u d v + g d v 2 ( 2 2 4 ) 公式( 2 2 4 ) 右端是对于微分d u ，山的一个二次微分式，称为曲面s 上的第一基本 形式，用j 表示， i = e d u 2 + 2 f d u d v + g d v 2 ( 2 2 5 ) 它的系数e ，f ，g 称为s 的第一类基本量第一基本形式是曲面的一个基本的几何量，理 解这个几何量是学习微分几何的出发点 命题2 2 1 曲面s 的第一基本形式与参数选取无关 证明设( 仳，口) = 口( 瓦，西) 是参数变换，在参数( u ， ) 下曲面的第一基本形式为 j ( 缸，t ，) = e d u 2 + 2 f d u d v + g d v 2 ，( 2 2 6 ) 在参数( 西，万) 下曲面的第一基本形式为 j ( 西，可) = 础+ 2 - i 舶+ - d 可2 ( 2 2 7 ) 利用基变换公式 r a 乱 铡= l 既 l 向 我们可以求出第一基本形式系数间的关系： 锄 锟i 剐 ( 2 2 8 ) 向j 再= ( ，嘲= ( r u 嘉+ 嘉几笔+ 嘉) = e 、o 掘u ，2 + 2 f ( 凳嘉) + g 、丽o v ) 2 ； 同理，有 f = ( r - ，句) = e ( 丽o u 丽o u ) + f ( 瓦o u 丽o v + 丽o v 丽0 钆) + g 、掘o v 丽o v ) ； 虿= 的，句) = e ( - 嘉- v u ) 2 + 2 f ( 筹塞) + g ( 褰) 2 这些关系式写成矩阵的形式 匿习= j 障翻j r ， 5 ( 2 2 9 ) 具有限定高斯曲率的圆纹曲面 其中j = i 彘 r 钆 l 册 是变换的j a c o b 阵又因为 即 丝蚓 【d u d r = d - d v i 彘荔i = 【d d v 正 ( 2 2 1 0 ) l _ 丽丽j 所以有 j ( - ) l - 【d - d v 晤习 翊 j ( ，- ) 【d - i 等务i1 3 引 = 【d d - 】，巨翻j t 嗣 ( 2 2 1 1 = 【d 仳d v 】曙羽酬= 讹，口) 命题证毕 接下来我们来介绍曲面的第二基本形式，在曲面r ( u ， ) 上的一点( 让，钐) 处。我们作曲 面的切平面，并从它的邻近点( u + d u ，口+ 如) 引这个切平面的垂线，那么这个垂直距离 是d u ，d v 的二阶无穷小量，而其主要部分则等于 妻竹d 2 r ( 2 2 1 2 ) 石竹。q r l 厶， 其中n ： 耸三是曲面的单位法向量，r u ，为曲面的坐标且向量我们把这距离两倍 i n 。八n ，l 的主要部分定义为第二基本形式，j ，也就是 i i = n d 2 r ( 2 2 1 3 ) 然而n d r = 0 ，所以n d 2 r = - d n d r ，于是 j j ：一h d r ：础+ 2 m d u d v + n d v 2( 2 2 1 4 ) l m ，称为曲面的第二基本量 命题2 2 2 设r = r ( 缸，t ，) 和r = ，( ，可) 是曲面的两个不同参数表示当变换( 让，口) _ ( 瓦，可) 是同向参数变换时，第二基本形式不变，即i i ( u ，t ，) = ( 瓦，可) ；当变换( 让， ) 一( - ，面) 6 一口 一口 l ! 昌 ! 昌 钆一向如一丽 + + 面 面 j 言 j 瞢 砒一掘锄一向 = = 池 札 仃 = 竹 = mn = l 中 其 大连理工大学硕士学位论文 是反向参数变换时，第二基本形式改变符号 证明由佑 句= 爱器 ，当参数变换同向时，几( 让，口) = n ( 西，万) ，利用一阶微 分形式不变性，可得 i i ( u ，口) = 一d n ( u ，钉) d r ( u ， ) = - d n ( 面，一) d r ( 西，可) = j ，( 西，万) 当参数反向时，佗( u ，口) = 一几( - 可) ，同理可证，i i ( u ，钉) = 一j j ( - ，可) 证毕 2 3 曲面在一点的主曲率 下面我们首先定义个切平面到切平面的线性变换： w ： 郴一功 ( 2 3 1 ) u = a r t + t ，一w ( v ) = 一( 入n 缸+ l z n 可) ， w 称为曲面的w e i n g a r t e n 变换 命题2 3 1 曲面的w e i n g a r t e n 变换是曲面切平面到自身的一个自共轭变换，即对 ( w ( 可) ，w ) = ( 口，w ( 伽) ) 证明设口= a r u + # r v ，w = + r f f 是p 点的两个切向量，由于( 气，亿口) = ( ，钆) ， 我们有 一( w ( 口) ，伽) = ( , k n u + 卢礼t ， r u + ，7 r t ，) = 入( r u ，n u ) + 入7 7 ( ，n u ) + 心( 气，n v ) + m ( ，n 分) = ( 入r t + p r l ， 7 l u + v l n 口) = 一( 秽，w ( 硼) ) 证毕 曲面的w e i n g a r t e n 变换是曲面切平面到自身的一个自共轭变换，由线性代数的知识 知，它的两个特征值是实数我们把其在p 点的两个特征值称为曲面s 在p 点的主曲 率特征值对应的两个特征方向称为曲面在p 点的主方向 为了计算曲面的主曲率，我们首先要求w e i n g a r t e n 变换在坐标切向量下的系数矩 阵设曲面s 的参数表示为r = r ( 让， ) ，在切平面基 ，) 下w e i n g a r t e n 变换的系数 7 具有限定高斯曲率的圆纹曲面 矩阵是 a c 翻，即 1 w ( ) = 一= 口气+ 巩， w h ) = 一= c + d r p 将( 2 3 2 ) 式分别与气，作内积，可得 求解以上线性方程组，得 l = a e 牟b e , m = a f + b g l g m f 。m e l f 口2 面万可r ，d 。e g - f 2 类似将( 2 3 3 ) 式分别与气，作内积，得 m = c e d f , n = c f + d g 求解，得 c 2i 万可r ，6 2 面万可r m g n f 。n e mf 所以w e i n g a r t e n 变换的系数矩阵为 a b 一l 鲫 目一1 【c 训1 一【m 儿t e 酬 = 百万芦 m l g g - 一m f f m e e 一- m l f 州1 从( 2 3 4 ) 式可以知道主曲率k 须满足方程 ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) ( 2 3 5 ) 记曲面的两个主曲率( 即上面方程的两个根) 为h 、乜我们把日= 三( 七l + 七2 ) 称为 曲面的平均曲率，k = 七1 k 2 称为曲面的g a u s s 曲率，由根和系数的关系有 8 大连理工大学硕士学位论文 2 4 曲面论的基本公式 日= i 1 l g 百- 2 瓦m r f + n e ， k = 瓦l n 丽- m f 2 在本节里，我们假设表示曲面的矢函数r ( 珏，秽) 有连续的三阶偏导数 现在假定已经选择好了参数乱，锣，使曲面上的参数曲线构成正交网，首先，f = 0 其 次，我们引进记号 n n ， e 12 疆，e 2 2 而忍2 n 剐1 肥2 ， 则e l ，e 2 ，e 3 是三个右旋的，彼此垂直的幺矢。他们构成曲面的一种动标三棱形因此，我 们可以断言， 其中 33 ( e t ) u = 勺，( 岛) 口= 6 巧勺 o = 1 ，2 ，3 ) ， ( 2 4 1 ) j = lj = l = ( 龟) u 勺，b i j = ( 色) t ，勺 都是u ，u ，的纯量函数，而且和都是反对称方阵，即 我们现在来求和首先 于是，由于f = 气= 0 ， + 叼i = 0 ，+ 幻t = 0 ( e ，) u = ( 去) u = 器+ ( 去挑， ( e 2 ) u = ( 品) = 舞+ ( 去) 仉， ( e 山= ( 另扣箍+ ( 去肌， ( e 2 ) t ，= ( 品扣兹+ ( 嘉挑 口，2 一吻一( e 2 k ，一滏 9 具有限定高斯曲率的圆纹曲面 但 ( e ) 口= ( ，：) ”= 2 7 - 删， ( e ) u 9 1 2 2 一2 二s v 雹二- 一d 此外， 、钆r u u l 0 1 32 ( e l j 们32 面2 诟， ，、 n r u vm a 2 32 【e 2 ) u 朗。而2 而 同样可得 6 1 2 = 互( g d ) u g , b i s = 诟m ，6 2 3 = 嘉。 代入f 2 4 1 1 即得f ：0 下的基本公式。 e 1 j u 。一刃丽e 2 + 万e 3 e 2 ) 缸= 刃丽e 1 + 历e 3 e 3 ) u2 一历e 1 一诟e 2 ； r ，、 il e l ) 口2 l ( e 2 ) = l l ( e 3 ) 移= 、 习丽e 2 + 历e 3 一2 e g e l + 而e 3 、g 一历e 1 一而眈 这两组公式可以合成一组沿曲面上的任意曲线或方向，若令 则由于d 龟= ( e o u d u + ( e 0 d v ，根据( 2 4 1 ) 把叼和的值代入，即得 哟= d u + d v = 一哟 1 0 ( 2 4 2 ) ( 2 4 3 ) ( 2 4 4 ) 勺一 u 3 触 = 龟 d 大连理工大学硕士学位论文 注意，u 1 2 完全决定于第一类 2 5 曲面论的基本方程 r i u 1 22 j u 2 32 i 【u 3 12 一玩d u + g u 面 2 e g a 甜钍+ n d v q g l d u + m d v e ( 2 4 5 ) 现在，由于已经假设矢函数r ( u ，秽) 有连续的三阶偏导数，慨) 伽= ( e 1 ) 饨 = 1 ，2 ，3 ) ，由 ( 2 4 1 ) ， 同样 ( 吼) 伽= ( 口甜勺) = ( ) 口e j + o 玎( 勺) j = ljj = ( o 巧) e j + 触 jj k = ( ) 冒+ 砚p 】留 ( 龟) 饥= ) u + 吼婚 j 弘 由于勺线性无关，从1 2 2 _ h n 式得 ( 口巧) ”一( ) 缸= ( 咄喇一魄弘) 肛 由于和6 玎都是反对称方阵，( 2 5 1 ) 里只包含三个独立得关系，而且右端的和里每次 只剩下一项这三个关系是 方程 a 1 2 ) 移 0 2 3 ) 一( b 1 2 ) 钍= b 1 3 a 3 2 一a 1 3 b 3 2 ， 一( ) u = b 2 1 a 1 3 一a 2 1 b l a ， a 3 1 ) 口一( 6 3 1 ) u = b 3 2 a 2 1 一a 3 2 b 2 l ， ( 2 5 2 ) 把( 2 4 ) 中。玎和岵的值代入，并适当地把公式整理，就得到在f = 0 情况下的g a u s s 1 1 具有限定高斯曲率的圆纹曲面 和c o d a z z i 方程 k = 百l n - m 2 = 一去 铬h 【铬m ( 2 5 3 ) 悠l , u 毒, m , 一工, , t 哮( v - e ) v m m 季( 厢e g ) g u ： 仁雅， 【c 拱一c 参一工孕一m 訾- o 一 2 6 曲面论的基本定理 从g a u s s c o o d a z z i 方程我们可以看到，一个曲面的第一基本形式和第二基本形式 不是可以任意选择的；他们的系数必须适合基本方程但是可以证明，只要u ，钞的六个函 数e ，f g 和厶m ，除了满足条件e g f 2 0 ，e 0 外，还适合g a u s s c o o d a z z i 方 程，它们就是某些曲面的第一和第二基本形式的系数，而且一切具有相同的第一和第二 基本形式的曲面经过刚体运动可以互相重合我们有下面的定理。 定理2 6 1 ( 存在性定理) 已给六个含u ，v 的的函数e ，f j g ( e g - f 2 0 ，e 0 ) 和 lm ，其中刀，只g 有连续的二阶偏导函数，lm ，有连续的一阶偏导函数，而且它们 满足曲面论的基本方程，则一定有某些曲面，以e ，f ，g 为第一类基本量，以厶m ，为 第二类基本量 定理2 6 2( 曲面论的基本定理) 两个曲面可以重合的充要条件是：在适当地选择 参数后，它们有相同的第一类和第二类基本量 这两个定理的证明和曲线论的对应定理相仿，其差别是，在这里，不变量较多，所遇 到的微分方程是偏微分方程，而且还有积分条件( 即基本方程) 等等在这里，我们就不 加以证明了，具体证明详见【2 7 】 3 一类特殊的圆纹曲面 3 1 正交标架的选取 大连理工大学硕士学位论文 设x = x ( s ，t ) 是e 3 中的圆纹曲面s 的参数表示，我们想在s 上选取一个合适的标 架来研究曲面s 的性质首先取n = 佗( s ) 为每个圆纹所在平面的单位法向量，且8 为几 的弧长参数，则有i n ，i = 1 ，令a = 礼( s ) ，b = n ，( s ) ，c = n ( s ) an ，( s ) ，则a ，b ，c 正交，且有 a 7 = b ， 6 ，= 一口+ 勘c ， c ，= - v b 其中v 是关于8 的光滑函数，则圆纹曲面的参数方程可以表示为： ( 3 1 1 ) x ( 8 ，t ) = r ( s ) + p ( s ) ( b c o s t + c s i n t ) ， ( 3 1 2 ) 其中，r = r ( 8 ) 为圆心曲线，p ( 8 ) 0 为圆的半径 令 则 x ；t ，b ) 是s 上的一个活动标架，在该标架下，( 3 1 2 ) 式可以简写为 x ( s ，亡) = r ( s ) + p ( s ) n ( s ，t ) 1 3 ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) t 醒 咄 螂 吼 c c + - t t n s ， 啷 = 蓦 由 = = i l 丁 b ，-ijc、_【 具有限定高斯曲率的圆纹曲面 且有 死= n c o s t b s i n t ， 噩= 0 ， 肮= 一t c o s t + v b ， ( 3 1 5 ) n t = b ， 玩= t s i n t v n ， b t = 一n 令 ，= e a + y b - - g c ，( 3 1 6 ) 其中e ， g 是关于8 的光滑函数 这样我们就在圆纹曲面s 上取了一个活动标架【x ；t ，n ，b ，并在此标架下给出了圆 纹曲面个参数表示接下来我们利用该标架和该参数方程来计算圆纹曲面s 的基本量 3 2 圆纹曲面上的基本量 设e ，f g 为曲面s 的第一基本量，l ，m ，n 为曲面s 的第二基本量，则曲面s 的高 斯曲率可以表示为 k = 丽l n - m 2 ， ( 3 2 1 ) 我们用【，】来表示萨中的混合积，且令w = e g f 2 ，则( 3 2 1 ) 式变为- k = 铬， ( 3 2 2 ) 其中k 1 = 【x 。，五，x 。s 】阢，五，玩】- 阢，五，x 。t 】2 利用( 3 1 5 ) ，( 3 1 6 ) 和圆纹曲面s 的参数方程( 3 1 4 ) ，我们来求圆纹曲面s 的基本 量对圆纹曲面的参数方程( 3 1 4 ) 分别关于s ，t 求偏导， 咒= ( e p c o s t ) t + ( p 7 十i c o s t + g s i n t ) n + ( - i s i n t + 9 c o s t + ) b ， x 0 8 = a 1 t + a 2 + a s b ，五t = p s i n t t p v n + p p b ，咒= 印，= 一p ， 仃= 毒篙= 毪竽= 击p ( + ，c o s t + 夕咖亡) t 一嘶一p c o s t ) m 1 4 一 大连理工大学硕士学位论文 二_ _ 二二= 二二：一一 其中 入l = 一2 p ic o s t + ( e 7 一，) - i - p vs i n t ， a 2 = 一互1 p c 0 82 抖( e + ，7 一g v ) c o s t + ( 一互1 j d 一2 ) + ( 9 ，+ ，口) 8 i n 亡， a 3 = ( 玎+ 9 ) c o s t + ( 印7 t ，+ 7 ) + 三p s i n 2 z + 国口一，一e ) s i n 经过直接的计算，则有、 其中 e = ( ，咒) = 三尸2 c o s2 t + 2 7 ，+ 用留p e ) c 。s t + ( e 2 + ，2 + 9 2 + p ，2 + p 2 v 2 + 三p 2 ) - i - 2 ( p g - p v f ) s i n t ， f = ( 五，x t ) = p gc o s t + p 2 v p fs i n t g = ( 五，x t ) = p 2 ， k ( 种) 2 去i x ，托，x s s ， m = ( 咒t ，礼) 2 责【五，五，咒t ， m ，礼2 啬阮，五，施】 p 已，五，咒s = p o + z lc o s 3 t + # 2c o s2 t + i “3c o s t - i - 1s i n 2 t - i - z , 2s i n t ， 阢，五，列= 一互1 2 肿鼢一p 3 c 0 8 亡+ ( p 2 v e + 三p 2 9 ) + 三j d 2 ，咖2 t + j d 2 小i 吐 阢，托，五d = 一p 3c o s t + p 2 e p o = p ( p e + p e 7 + p v 2 e + 去p ，7 2 p 7 f p e ) ， 1。 肛1 2 一互矿， p 2 = p ( p e p v g + 丧p i 一2d i f 、1 丘3 。j d ( 一e 2 一，2 2 p 尼一p 2 u 2 一丢p 2 一e ，7 + e 7 ，+ e g 口+ p p ”) ， z 1 = p ( p v f + 去册7 一j d 夕) ， v 2 = p ( p l j v + e l g e 9 7 一e y v g f ) 我们利用( 3 2 2 ) 式，可见批况= 0 与 蜀一2 硒w t = 0 1 5 ( 3 2 3 ) 具有限定高斯曲率的圆纹曲面 等价，接下来我们只需研究满足( 3 2 3 ) 的圆纹曲面 将w ，硷展成关于t 的f o u r i e r 级数，有 其中 2 w = 山+ ( a n c o s n t + b s i n n t ) ， 8 j ，te 正 n - - - - i a 2 = 三p 2 ( p 2 + ，2 一夕2 ) ， a i = 2 p 2 ( ，一p e ) ， 山= j d 2 【( e 2 + 扩) + 妒+ ，2 + 夕2 ) 】， 岛= p 2 y g ， 8 j t z b 1 = 2 p 。pg ， 瓯= 丢p 4 ( p 2 i i _ f 2o ) = 扣z c 3 = p 4 ( p l f 一三p e 一主p ，7 ) q = 互1 p 6 卞互3 p 4 c _ 2 + 三j d 4 ，2 + 耋p 4 俨+ j d 4 ，e - 互1 p 4 ，e ，一互1 p 5 p h 一互1 p 4 舭一p 3 p ，e + 互1 p 4 夕2 臼= 出一兰e 一三，7 + 川+ p 4 ( 2 以+ 2 p e - - ) + p 3 ( y e e + g v e 2 - - ，e 2 _ e 3 _ _ ，2 e - - 矿e ) 函= 善p 4 ( p 2 + ，2 一矿) + 三j d 4 ( 3 e 2 + p n + 2 f r e - - ，e _ 3 9 钞e ) + p 3 ( p e e - - 2 l | d 7 ，e 一e 2 ) d 4 = 去p 4 f g = 去p 2 岛 d 3 = p 4 ( 9 一却 d 2 ：昙矿”+ l p 4 ( 2 9 e + 1 y e - g g ) 一p 3 p 9 e d = 一三p 5 9 ，一p 4 j d 7 夕+ 矿e ( e ，9 一叼- - e ，v - g ，一胁) ( 3 2 4 ) 对硒，关于t 求偏导，然后代入虬t w 一2 k 1 吼，并展成关于t 的f o u r i e r 展式， 有 其中 8 i ，t z ( 3 2 5 ) 耐 n _晶 nd +耐瞄g 4 脚 + = 硷 瓜目8r+耐瞄r 5 - l + 勖 = 阢瓯 2一 陆 大连理工大学硕士学位论文 岛= 一去b 2 岛+