（计算机软件与理论专业论文）基于纠缠协助的量子纠错码理论的研究.pdf

i y i i i i l l l l 7 l l l l l l l l l l 6 l l l l l l l l l l l l l 5 i i i i l l 7 l l l l l 9 l l l l l l r e s e a r c ho nq u a n t u m e r r o r c o r r e c t i n gc o d e s b a s e do n e n t a n g l e m e n t a s s i s t e d at h e s i ss u b m i t t e dt o s o u t h e a s tu n i v e r s i t y f o rt h ea c a d e m i cd e g r e eo fm a s t e ro f s c h o o lo fc o e n g i n e e r i n g b y w a n gs h u o - x i n g 东南大学学位论文独创性声明 本人卢明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究j ：作及取得的研究成果。尽我所知，除 了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获 得东南人学或其它教育机构的学位或证二饽而使用过的材料。与我一同1 ：作的同忠对本研究所做的任何贡献 均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 研究生签名：王近星日期：趁! 望! 生：边 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图二 弓馆有权保留本人所送交学位论文的复印件和电子文档， 可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密 期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括以电子信息形式刊登) 论文的全部内容或中、 英文摘要等部分内容。论文的公布( 包括以电子信息形式刊登) 授权东南大学研究生院办理。 研究生签名：互洫星导师签名：研究生签名：上燧终导师签名： 东南人学顾i ：学位论义 摘要 自1 9 9 5 年p e t e rs h o r 构造出第一个量子纠错码h 9 ，1 ，3 1 1 码之后，量子纠错码的研究在最 近十几年进展很快。c s s 编码理论的提出建立了以经典线性纠错编码为基础的量子纠错编 码的理论和方法，使得可以用人们所熟知的经典码来构造量子码。之后，稳定子理论提出 建立了构造量子纠错码的系统理论方法。量子稳定子码是经典线性码的类比，它几乎概括 了原先所有的量子纠错码，其中就包括c s s 码。 尽管稳定子码构造的条件( 要求构造所需的经典码必须包含它的对偶码) 不是特别苛刻， 但是对一些高效的现代码( 像t u r b o 码，l d p c 码) 却很难满足这个条件。特别是对l d p c 码，即使这个条件满足，然而由于大量4 环的存在，使得所构造的量子l d p c 码性能受到 很大的影响。所以，进一步的研究显得格外重要。 本文在总结量子纠错码基本理论的基础上，首先利用有限群的表示理论( 特别是有限群 的特征标理论) 详细论述了通过辛自正交的a b e l 群来构造量子纠错码的方法。其次，基于 纠缠协助的稳定子体系，证明了可由参数分别为h k ，d 1 和【n , k ，d 1 的经典二元线性码c 和 气 c ( 需满足c c ，并且k 2k + 2 ) ，构造出参数为【，l ，k + 足一挖+ c ，m i n d ，三d ) ；c 】的量子 z 码；并在此基础上提出了基于纠缠协助的类c s s 量子纠错码。此构造方法弱化了c s s 编码 构造条件中要求经典纠错码c 必须包含其对偶码的条件；借助纠缠比特，通过任意的经典 纠错码都可以构造出量子码。这个结果对量子l d p c 码的构造很有帮助。 最后，论文讨论了基于纠缠协助的量子l d p c 码的构造，以及使构造所需纠缠比特的 数目最小化的方法。基于纠缠协助的量子l d p c 码消除了影响其构造和性能的不利因素， 使得可以从任意围长不小于6 的经典l d p c 码构造出高性能量子l d p c 码。 关键字：量子纠错码；特征标；c s s 码；纠缠协助；量子l d p c 码 东南人学顾 j 学位论义 a b s t r a c t i n1 9 9 5 ，t h ef i r s tq u a n t u me r r o r - c o r r e c t i n gc o d e 【9 ，1 ，3 】w a sc o n s t r u c t e db yp e t e rs h o r s i n c et h e n t h er e s e a r c ho nq u n t u me r r o r - c o r r e c t i n gc o d eh a sd e v e l o p e dr a p i d l yi nad e c a d e t h e c s sc o d i n gt h e o r yc o n s t r u c t e dt h et h e o r ya n dm e t h o do fq u a n t u me r r o r - c o r r e c t i n gc o d e s ，b a s e d o nt h ew e l lk n o w nc l a s s i c a lc o d e s l a t e r , s t a b l i z e rt h e o r ye s t a b l i s h e dt h es y s t e m a t i cm e t h o df o r c o n s t r u c t i n gq u a n t u me r r o r - c o r r e c t i n gc o d e s q u a n t u ms t a b i l i z e rc o d e sa r ea n a l o g o u st oc l a s s i c a l l i n e a rc o d e s a n da l m o s ti n c l u d ea l lq u n t u me r r o r c o r r e c t i n gc o d e sb e f o r e ，o fc o u r s e ，c s sc o d e s o n l yc l a s s i c a lc o d e st h a ts a t i s f yad u a l c o n t a i n i n gc o n s t r a i n tc a nb eu s e dt oc o n s t r u c t s t a b i l i z e rc o d e s a l t h o u g ht h i sc o n s t r a i n ti sn o tt o oh a r s hf o rr e l a t i v e l ys m a l lc o d e s i ti sa s u b s t a n t i a lo b s t a c l ef o rh i g h l ye f f i c i e n tm o d e mc o d e s ，s u c ha s ，t u r b oc o d e s ，l d p c e s p e c i a l l y f o rl d p c ，e v e ni fi tm e e t st h ec o n d i t i o n i t sp e r f o r m a n c ei sr e d u c e db a d l y , s i n c eal o to ff o u r c y c l e se x i s t s ot h ef u r t h e rr e s e r c hi sn e c e s s a r y f i r s to fa 1 1 t h eb a s i ct h e o r yo fq u a n t a me r r o r - c o r r e c t i n gc o d e si ss u m m a r i z e d b yu s i n gt h e r e p r e s e n t a t i o nt h e o r yo ff i n i t e 孕o u p ( e s p e c i a l l y ，t h ec h a r a c t e r i s t i ct h e o r y ) ，t h em e t h o db yw h i c h q u a n t u me r r o r c o r r e c t i n gc o d e sa r ec o n s t r u c t e dt h r o u g hs y m p l e c t i co r t h o g o n a la b e lg r o u p s ，i s d i s c u s s e di nd e t a i l s e c o n d l y , b a s e do nt h ee n t a n g l e m e n t a s s i s t e d i ti sp r o v e dt h a tt w oc l a s s i c a l e r r o r - c o r r e c t i n g c o d e sc = 【n , k ，d 】a n dc = 【，l ，k ，d 】w h i c hm e e tt h ec o n d i t i o nc c a n d k k + 2 ，c a nb ec o n v e r t e di n t oaq u a n t u mc o d eo fp a r a m e t e r s n ，k + 七一，l + c ，m i n d ，三d ；c 】， z a n de n t a n g l e m e n t a s s i s t dq u a s ic s sc o d e sc o m eu p t h ec o n s t r u c t i o nw e a k e n st h ec o n d i t i o ni n t h ec o n s t r u c t i o no fc s sc o d e st h a tt h ec l a s s i c a le r r o r - c o r r e c t i n gc o d em u s tc o n t a i ni t sd u a lc o d e w i t ht h eh e l po fac e r t a i nn u m b e ro fe b i t s q u a n t u mc o d e sc a nb ec o n s t r u c t e df r o ma r b i t r a r y c l a s s i c a lc o d e t h i sc o n c l u s i o ni sv e r yh e l p f u lt ot h ec o n s t r u c t u r eo fq u a n t u ml d p cc o d e s i nt h ee n d ，t h ec o n s t r u c t u r eo fe n t a n g l e m e n t a s s i s t e dq u a n t u ml d p cc o d e si sd i s c u s s e d ，a n d t h em e t h o dh o wt om i n i m i z et h en u m b e ro fe b i t sn e e d e df o rc o n s t r u c t i n gt h e mi sd i s c u s s e dt o o e n t a n g l e m e n t a s s i s t e dq u a n t u ml d p cc o d e se l i m i n a t et h ed i s a d v a n t a g e sw h i c hi n f i u e n c et h e i r c o n s t r u c t u r ea n dp e r f o r m a n c e s ot h a th i g hp e r f o r m a n c eq u a n t u ml d p cc o d e sa r ec o n s t r u c t e d f r o ma n yc l a s s i c a ll d p cc o d e sw h o s eg i r t he q u a lo rl a r g e rt h a n6 k e yw o r d ：q u a n t u me r r o r - c o r r e c t i n gc o d e ；c h a r a c t e r ；c s sc o d e ；e n t a n g l e m e n t - a s s i s t e d ；q u a n t u m l d p cc o d e 东南人学坝l j 学位论文 目录 摘至罢i a b s t r a c t i i 第一章绪论1 1 1 量子纠错码研究背景及意义1 1 2 研究现状1 1 3 论文组织3 第二章量子纠错编码理论基础。4 2 1 经典纠错码一4 2 1 1 经典纠错码的基本概念。4 2 1 2 经典线性码4 2 2p a u l i 群6 2 2 1 单量子比特上的p a u l i 群6 2 2 2 ，l ! 垂p a u l i 群7 2 3 量子纠错码基本概念8 2 3 1 量子码。8 2 3 2 错误算子8 第三章量子纠错码的构造1 l 3 1 群的特征标理论j 1 l 3 2 量子纠错码的构造1 3 3 2 1 量子纠错码的构造过程1 3 2 2 2 量子纠错码的构造实例1 5 3 3c s s 构造方法1 7 3 4 稳定子码1 7 第四章基于纠缠协助的量子纠错码1 9 4 1 基本原理1 9 4 2 纠缠协助的类c s s 码2 2 第五章基于纠缠协助的量子l d p c 码2 5 5 1 坌至萝龟l d p c 码2 5 5 1 1l d p c 码基础2 5 5 1 2q c l d p c 码2 6 5 2 量子l d p c 码2 8 5 3 基于纠缠协助的量子l d p c 码2 9 第六章结束语3 l 致谢。3 2 参考文献。3 3 m 第一章绪论 1 1 量子纠错码研究背景及意义 第一章绪论 2 0 世纪6 0 年代至7 0 年代，人们就发现，能耗会导致计算机芯片的发热，影响芯片的 集成度，从而限制了计算机的运行速度，能耗问题成为经典计算机发展的瓶颈。为了克服 计算机中的能耗问题，人们对可逆计算机进行了研究，而对可逆计算机的研究导致量子计 算机概念的产生。 1 9 9 4 年，p w s h o g l j 等人在量子叠加性和相干性这一量子本质特征的基础上提出了量 子并行计算的量子计算机理论，给出了大整数因子分解的量子多项式时间算法，并且说明 量子计算机可以实现经典计算机不可比拟的信息处理功能。这一理论的提出使得有关量子 计算和量子计算机、量子纠错码、量子通信、量子密码、量子信息的理论和实验迅猛发展， 从而使得信息科学跨入了量子信息的新阶段。 量子计算和量子信息是基于量子级别的，在实际环境中量子比特不是孤立的，它时刻 与外部环境发生相互作用，破坏量子比特相干性，导致量子消相干。因此，要使量子计算 和量子通信成为现实，一个核心问题就是克服量子消相干。经过人们的研究发现，量子纠 错编码是克服量子消相干最有效的方法之一，因此，量子纠错码理论的研究便显得十分重 要。 类似于经典纠错编码原理，量子纠错码也是通过引入冗余信息，来防止和纠正量子错误 的。但是，量子环境下有三个非常重要的性质，这使得量子纠错码不能是经典纠错码的简 单推广： ( 1 ) 不可克隆性：经典纠错码一般通过复制引进冗余位来纠正出错的信息位，而量子纠 错码具有不可克隆性，无法通过复制引进冗余位。 ( 2 ) 不可测性：在量子力学中，观测一般会破坏所观测的量子状态，造成量子状态的塌 缩，从而使恢复变的不可能。而在经典纠错中，我们观测来自信道的输出，并决定采取什 么样的解码步骤。 ( 3 ) 差错是连续：连续的不同差错可能出现在单量子比特上，为确定哪个差错出现以便 纠正它，需要无穷好的精度，因此要求无穷多的资源。而经典码的错误是离散的，只有0 和1 之间的跃迁。 由此可见，虽然量子纠错码与经典纠错码有紧密的联系，但也有本质机理的不同，因此， 对量子纠错码的研究是一项全新的工作。 1 2 研究现状 1 9 9 5 1 9 9 6 年，量子纠错研究取得了重大突破。p e t e rs h o r l 2 j 和s t e a n e 3 j 分别独立提出了 两种量子纠错码的编码方案，具体为：( 1 ) 量子编码时，将单量子比特念编码为较复杂的 纠缠态，即不是多个比特的直积念。这样，既引进了冗余信息，又不违背量子不可克隆定 理。( 2 ) 量子纠错时，进行部分测量。通过编码，可使不同的量子错误对应于不同的正交 空间。而在该空间，信息位之间的量子相干性依然保持，同时又能测出错误模式。( 3 ) 物 理机制上，把复杂的纠缠态量子错误归结和化简为只需考虑每个量子位上独立发生的错误， 并且错误的类型只有三种：吒= ( ：三) ，口y 一( ? 苫) ，吒一( 三二) ，分别表示比特翻转错 东南人掌坝i j 学化论义 误，比特相位同时翻转错误，相位翻转错误，这三种错误的任意组合可以解决连续的量子 码错误。 1 9 9 5 年，基于这种物理简化模型，p e t e rs h o r 构造了第一个量子纠错码【9 ，1 ，3 i n t 2 1 。1 9 9 6 年，s t e a n e 给出了量子纠错方案的一般表述，具体构造出 1 7 ，1 ，3 1 码i 3 1 。还是在1 9 9 6 年， l a f l a m m e 4 j 等人和b e n n e t t l 5 1 等人给出了【5 ，1 ，3 1 1 码，这是最优码。 1 9 9 6 年，c a l d e r b a n k ，s h o r t 6 j 和s t e a n e i7 i t 8 1 采用经典线性分组纠错码的思想，利用两个 特殊的经典二元纠错码设计了量子纠错码的第个系统的构造方法c s s 编码，从而建 立了以经典线性纠错编码为基础的量子纠错编码的理论和方法。 1 9 9 7 年，c a l d e r b a n k ，r a i n ，s h o r 和s l o a n e 提出了一个构造量子纠错码的群理论框架1 9 j ， 这个框架可以简化对已知量子纠错码的描述，并且使构造新的纠错码变的方便，这些理论 成果最终在1 9 9 8 年发表【1 0 j 。文献 1 0 l 系统地建立了量子纠错码的数学模型，并利用有限交 换群的特征标理论及有限域上的辛几何理论，给出了一种从f 2 或f 4 上的经典纠错码来构造 量子纠错码的有效的数学方法，从而构造出了一些好的量子纠错码。这极大的推动了量子 纠错码理论的研究。 1 9 9 7 年g o t t e s m a n l l l 】发明了二元稳定子码，给出了构造量子纠错码的系统理论方法。量 子稳定子码是经典线性码的类比，它几乎概括了原先所有的量子纠错码，其中就包括c s s 码。 1 9 9 9 年，s t e a n e l l 2 】进一步改进完善了c s s 构造方法，使构造的c s s 码的最小距离更大， 纠错能力更强；并利用本原和非本原b c h 码构造了很多参数较好的量子纠错码。 在量子纠错码构造理论期间，一些研究人员也研究了量子码的界限问题，包括量子 h a m m i n g 界，量子s i n g l e t o n 界，量子g v 界等1 1 3 d 引。 1 9 9 5 年至1 9 9 9 年间，研究人员主要研究的是二元域上的量子码，后来也一直有研究。 1 9 9 9 年及以后，研究人员开始研究p 元域上的量子纠错码。 1 9 9 9 年，r a i n s 讨论了p 元域上的量子m d s 码，截短码，线性码等量子码i l 引。 2 0 0 1 年，a l e x e i a s h i k h m i n 等人利用非二元的错误基，讨论了特征为q 的f ：域上的经典 t 码和q 元量子码的关系i 删。 2 0 0 2 年，马智和冯克勤教授利用有限酉几何证明了q 元域上的量子g v 界，并且证明 了每个奇素数p ，量子码【6 ，2 ，3 1 1 p 和【7 ，3 ，3 】p 均存在【2 1 】【2 2 1 。 2 0 0 6 年，s a l a ha a l y 等人i 冽利用分圆陪集证明了最小设计距离和b c h 码是否包含它 的欧氏或h e r m i t i a n 对偶码的关系，而且分析了b c h 的维数和最小距离，并且由此推导出 两类不同参数的量子码。 2 0 0 6 年，a v a n t ik e r t k a r 等人【驯描述了有限域上稳定子码的基本理论，文中阐述了迹辛 型、迹交替性、h e r m i t i a n 内积的概念；推导出稳定子码的最小距离的上下界；证明了非二 元域上的c s s 码构造定理；并列举了若干量子码的构造方法，包括量子汉明码，量子b c h 码，二次剩余码，量子特征码等；系统地构建了有限域上非二元稳定子码的理论框架。 上面提到的基本上都是基于稳定子码描述方式的文章，还有量子码的其他的描述方式， 只是现在研究的相对较少。 2 0 0 1 年，s c h l i n g e m a n n 和w e r n e r 两人【2 5 】提出了通过构造具有某些特性的图来构造量子 码的方法，实质上利用有限域上的矩阵组合性质构造稳定子量子码，证明了每个图都等价 于一个稳定子码的稳定子的生成元。 2 0 0 5 年，刘太琳等人【2 6 i 利用s c h l i n g e m a n n 和w e m e r 两人提出的构造量子码纠错码的图 论方法，给出了一个构造非二元量子循环码的方法；对于任意的奇素数p ，构造出量子码 【8 ，2 ，4 1 1 p 和【n ，n - 2 ，2 1 p 。 之后，量子纠错码研究进展略显迟缓，论文也不如以前那么多。2 0 0 4 年，m a c k a y 等人 1 2 7 研究了基于c s s 结构的量子稀疏图码。 2 。j!：!j!j!：。一 _ _ _ _ _ _ _ _ - 。_ _ _ - _ _ _ - _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ - _ - - _ - _ _ _ - - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ - - _ - _ _ - _ _ _ _ _ - - _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - 一 尽管稳定子码构造的条件( 要求构造所需的经典码必须包含它的对偶码) 不是特别苛刻， 但是对一些高效的现代码( 像t u r b o 码，l d p c 码) 却很难满足这个条件。算予量子纠错码 2 8 , 2 9 1 年1 基于纠缠协助的量子纠错码【3 0 i1 3 1 1 的出现很好的解决了这个问题。其中，基于纠缠协 助的编码方法可借助一定数目的纠缠比特，通过任意的经典纠错码都可以构造量子码。 2 0 0 7 年，f o r n e y 等人1 3 2 j 对量子卷积码进行了系统的研究。 至此，量子纠错码作为一个量子信息科学的专门分支，其理论框架已经形成，并在不断 地得以发展和完善。 1 3 论文组织 本文围绕着量子纠错码研究的最新理论，研究了基于纠缠协助的量子纠错码的构造； 并在深入了解经典l d p c 码的基础上，利用纠缠协助的稳定子体系，给出了构造量子l d p c 码的新方法。下面简述一下本文的安排和主要研究结果。 第二章阐述了量子纠错码的基本理论。其中，重点介绍了经典纠错码基本理论和量子 纠错码的基本概念，以及与量子纠错码有着紧密联系的p a u l i 群( 错误算子) 。 第三章，在介绍有限群的特征标理论的基础上，利用特征标理论详细阐述了量子纠错 码的构造理论，并给出了严谨的证明。另外，对c s s 码、稳定子码等构造方法进行了简明 的介绍。 在第四章，在详细介绍基于纠缠协助的量子纠错码体系的基础上，给出了基于纠缠协 助的类c s s 码构造方法，并给出了相关的证明，这是对已有量子纠错编码理论的有益扩展。 在第五章，在介绍经典l d p c 码和标准量子l d p c 码的基础上，给出了构造量子l d p c 码的新方法一基于纠缠协助的量子l d p c 码。最后，并讨论了如何使构造所需纠缠比特数 目最小化的方法。 最后，对全文进行了总结和展望。 3 东南人学硕上学位论文 第二章量子纠错编码理论基础 为了便于后面论文的叙述，本章要对经典纠错码的基本理论和量子纠错码的基本概念 进行介绍。 2 1 经典纠错码 尽管经典纠错码和量子纠错码的物理机制很不相同，但是很多概念和结果至少在数学 表现形式上有相似之处；而且经典码是构造量子码的重要工具，所以，在讨论量子纠错码 之前，本节先介绍经典纠错码的一些基本知识。详细内容可参见文献 3 3 3 4 1 。 2 1 1 经典纠错码的基本概念 定义2 1 设哆为含有g 个元素的有限域。写的一个子集c 称为一个码。码c 中的向量l ，叫 做码字。咒称为码长。k = l c i ，k = l o g 。k 就称为码c 的信息位数。k n 叫做码c 的码率。 码长，l 和信息位数k 是码c 的两个重要参数，除此之外，还有一个重要参数，就是码c 的最小距离。 定义2 2 设向量 ，= ( h ，y ：，k ) 呀，的汉明权重定义为 o ( 1 ，) = 撑 1s fs n iv i o ) ( 2 1 ) 两个向量比- ( u ，“：，h 。) ，l ，= “，屹，心) 曜的汉明距离定义为 码c 的最小距离定义为 d 日( “，1 ，) 一样 1s is ，liu f k = w _ ( 砖一v ) ( 2 2 ) d = d ( c ) 一m i n d ( c ，c ) iv c ，c c ，c c 7 ( 2 3 ) 定理2 1 【3 3 i 假设码c 是一个最小距离为d = d ( c ) 的码。那么码c 可检查当d 一1 个错误，并且 删憾旧个骶 已知码c 的三个参数：n ，k ( 或者k ) 和d ，那么，码c 可记为n ，k ，d l 。，或者( 刀，k ，d ) 。 2 1 2 经典线性码 定义2 3 假若码c 为昭的哎一线性子空间，则码c 称为码上的线性码。如果c 是呀的一个 4 第_ 二章量了纠错编码理论攘础 k 维子空间，则称c 为一个研，足】。线性码。 于是，线性子空间c 的维数就是码c 的信息位数，即七= d i m c 。码c 的码字的个数 k = i c l = q 。 定理2 2 1 3 3 l 线性码c 的最小距离等于最小权重，即a ( c ) = m i n w n ( c ) i c e c ，c 聋0 ) 。 因为一个研，足l 线性码c 是曙的一个忌维子空间，所以只要给出c 组基就可以完全定 义线性码c 。 定义2 4 假设c 是一个m ，七】。线性码，将c 的一组基，作为行向量构成个七，z 阶矩阵g ， 那么g 称为线性码c 的生成矩阵( g e n e r a t o rm a t r i x ) 。 显然，一个线性码c 的生成矩阵的行向量的任意组合都是c 的码字；反过来，c 的任 意一个码字也都可以表示成生成矩阵g 的行向量的一个线性组合。 线性码的编码方法很简单。假设信源信息由嘭中的向量表示，则对任意信源信息向量 “嘭，h 编码为c 中的码字比g 。显然，编码函数蹦- - , u g 是一个从七维向量空间嘭到咒维 向量空间酵的k 维子空间c 的一个双射函数。 定义2 5 设x = ( x l ，x ：吒) ，y = ( y 。，y ：) ，。) 叼。x 和y 的内积定义为 x 。yz t y l + x 2 y 2 + x n y 。 ( 2 4 ) 对任意石，y 一，如果z y = 0 ，则称x 与y 是正交的。 定义2 6 设c 是一个m ，尼】。线性码，定义c 上= 缸叼ir a c ，x 。口= 0 ) ，称之为c 的对偶码。 定理2 3 1 3 3 】设c 是一个m ，七】。线性码， ( 1 ) 如果g 是线性码c 的生成矩阵，则c 上= x s 贬i x g r = 0 ； ( 2 ) 码c 的对偶码c 上是一个i n ，以一七】。线性码； ( 3 ) f 上) 上一c 。 定义2 7 设c 是一个【刀，尼】口线性码，其对偶码c 上的生成矩阵称为线性码c 的校验矩阵 ( p a r i t y c h e c km a t r i x ) 。 所以，x c 的充分必要条件是x h r ；0 ，也即线性码可以通过校验矩阵来定义。另外， 对一个线性码，其校验矩阵与最小距离之间有着密切的联系。 定理2 4 【3 3 】设c 是一个m ，七】。线性码，其校验矩阵为h 。贝t l a ( c ) ，d 的充分必要条件是h 的 任意d 一1 列线性无关，并且存在d 列线性相关。 s 东南人学硕一l ：学位论文 2 2p a u l i 群 p a u l i 矩阵是量子信息操作的基本单元，并且咒重p a u l i 矩阵作为错误算子建立起经典纠 错码( 也即一个a b e l 群) 和量子纠错码之间联系，因而在量子纠错码理论中具有重要的作 用。 2 2 1 单量子比特上的p a u l i 群 2 维h i l b e r t 空间h 上的p a u l i 矩阵定义如下： ，2 ( 三；) ，x2 ( ：三) ，y2 ( ? 苫) ，z2 ( 三 p a u l i 矩阵是h e r m i t i a n 酉矩阵，其上的乘法运算如表21 所示： 表21p a u l i 矩阵乘法运算 ix yz iix yz x xi i zi y y yi zii x zzi yi xi 显然，这些p a u l i 矩阵或对易或反对易。 定义2 8对单量子比特来说，由所有的p a u l i 矩阵与1 ，+ f 相乘所组成的集合 g = ，x ，】，z ，订，+ i y ，f z ，在矩阵乘法运算下构成一个群，称g 为单量子比特 上的p a u l i 群。 记陋】= a slae c ，la 卜q 表示s 关于系数的等价类。那么【g 】= 【，】，【x 】，【y 】，【z 】 在矩阵 乘法 s l i t 】= 【s t 】下构成一个可交换群。 考虑加法群( f 2 ) 2 = o o ，0 1 ，1 0 ，1 1 ，其加法运算定义如表2 2 所示。这个群也是二元域上 的2 维向量空间。( f 2 ) 2 中的向量h 可写作“= ( zi 戈) 的形式，其中，z ，工f 2 。例如：1 0 可 记为( 1 10 ) 。 表2 2 ( f 2 ) 2 上的加法运算 +0 0 0 11 11 0 0 0 0 00 l1 11 0 0 10 l0 01 01 1 1 11 11 00 00 1 1 01 01 10 10 0 定义乏9 对任意“；( z i x ) ， ，= ( z7 i 工) ( 畦) 2 的辛内积定义为： 6 第- 二章量了纠锚编码埋论某础 u o v ；z x 盯+ z 冀7( 2 5 ) 定义一个映射n - ( f j 2 一g 如下所示： 那么【( 】= 【z 。x 。】，由此可知： ( 1 ) 映射【】：( f 2 ) 2 一 a l 是一个同构映射：【m 】【，】= n u + ，1 ； ( 2 ) p a u l i 矩阵之间的交换关系可通过辛内积表示：n u n v 一( 一1 ) 帕”m m 。 2 2 2n 重p a u l i 群 定义2 1 0，z 重p a u l i 矩阵s 是p a u l i 矩阵的甩重张量积，它能够表示成s = s s ：o o s 的 形式，其中s i g 。4 一个甩重p a u l i 矩阵与1 ，f 相乘所组成的集合，也构成一个群，称 之为以重p a u l i 群。 聘重p a u l i 群可以记作g ”= i x s 。o s ：o o 只 ，o s as 3 。这个群有几个非常有用的 性质：( 1 ) g ”中每个元素的平方等于l ；( 2 ) g “中任意两个元素或对易或反对易；( 3 ) g ” 中的每个元素都是酉算子；( 4 ) g “中的元素或是h e r m i t e 的或是反h e r m i t e 的。 因为 s l t i ：i s 。r d s ：互】 【s 。t i = t i s l ，s ，r g “ 。所以 ，集合 【g “】= 【s 】i s g ”) 是一个可交换群。 定义2 1 1二元域上的2 n 维向量空间嘭4 中的向量“也可写作“一( zlx ) 的形式，其中 z ；( z ，z ：，z ) a g ，z = 瓴，吃，矗) 蟛。那z , u = ( zix ) 和 ，= ( z 7l 工7 ) 的辛内积定义为： u o v = 蕊叮+ z r ；o 屹 ( 2 6 ) 其中，u 。= ( z il t ) ，k = “l ) 。 定义一个映射n ：( f 2 ) “_ g “如下所示： m 。m 。 虬： 虬。 ( 2 7 ) 一 从而有【( 水) 】= 【z 。x 。】。由此可知： 东南人学硕j ：学位论文 ( 1 ) 映射【j ：( 醍) “呻【g “j 是一个同构映射：【虬 【v 】= 【札+ ，】； ( 2 ) p a u l i 矩阵之i 开j 的交换关系可通过善内积表示：虬n v = ( 一1 ) 姻”m m 。 2 3 量子纠错码基本概念 本节简要介绍量子纠错码的基本概念。详细内容可参见文献【3 卜 1 0 1 ，【3 5 1 ，【3 8 1 ，本节 中如不特殊说明均指二元情形。 2 3 1 量子码 一个量子位1 - - l q u u - j 疋e l2 维复向量空间c 2 中的非零向量，量子物理中把c 2 的一组基表示 为j 0 ) 和1 1 ) ，所以一个量子位表示为： 组基 v ) = a0 ) + f l1 ) ( a ，卢c ，( a ，卢) ( o ，o ) ) ( 2 8 ) 一个量子状态是n 个c 2 的张量积( c 2 ) 鳓中的非零向量。它是2 ”维复向量空间。它有一 口。) o i 口：) o o l a 。) ，其中q o ，1 ) = f 2 ， 1 s f s n 这组基可以简记为：i a l a ：口。) = i 口) ，其中口= ( a l a ：) 哎。所以每个量子状 态i y ) 是它们的线性组合： v ) _ 仲，墨回c 蚺吒) l a i a z 吒) 。荟c ( 即2 咸触； 其中，c ( a 。a ：a 。) 一c ( 口) c ( 不全为零) 。 ( 2 9 ) 定义2 1 2 1 3 5 】 复向量空间y 一( c 2 ) 翻= c 矿中每个复向量子空间a 都叫做一个量子码。忍叫 做q 的码长，q 的维数记为k = d i m q ，并记七= l o g ：k 。 除了码长咒和维数k ( 或七) 之外，量子码也有一个反应纠错能力的参数。这就需要先解 释量子错误的概念。 2 3 2 错误算子 错误算子在量子纠错码中具有非常重要的作用，它可以用来表示量子错误，并且通过 错误算子可以建立起经典纠错码和量子纠错码之间联系。 s h o r 和s t e a n e 在物理机制上，把复杂的纠缠态量子错误归结和简化为只需考虑每个量 子位上独立发生的错误，并且错误类型恰好由四种p a u l i 矩阵表示：，( 无错误) ，吒- x ( 比 8 第二章量了：纠错编码理论皋础 一一 特翻转) ，q = y ( 比特和相位同时翻转) ，呸= z ( 相位翻转) 。而多量子比特上的量子错 误是上述四个算子的张量积，也即其在复向量空间y = ( c 2 ) 锄上的错误作用形式为 e = f 2 q o 鸭 其中，os as 3 ，q ，：，q ，o - y ，呸 ，并且p 在基向量上的作用是按分量作用。 ( 2 1 0 ) 对任意两个错误算子e ；i 2 q 吡 和p = q 7 7 吐 o 魄，它们之间的乘 法运算定义如下： e e 7 = f 1 “( q 鸭) 0 ( 2 吡7 ) o o ( 魄哦) ( 2 1 1 ) 从而所有这些错误算子在乘法作用下构成一个群，也即，l 重p a u l i 群g “，这罩另记为e ，它 是矿“阶非交换群。群e 的中心为： e ( e ) = f 2 l o ，2io sas 3 ) ( 2 1 2 ) 东南人学硕i ：学位论义 给出群e 和加法群碍”的同构： 歹：e = e 三( e ) g 嘭”，万( 万) = 驴( p ) = ( 口1 6 )( 2 1 6 ) 从而后等同j 二嘭”，万一 1 6 ) 。 定义2 1 3 对于一个错误算子p ；f 。q o o r ，当w i 一，时，第f 位量子位没有错误作 用。而当雌= o x ，或吒，或q 时，第i 位量子位有错误作用。用w q ( e ) 表示e 中有错误作用 的量子位的个数，称它为e 的量子权重，即： w o ( e ) - - - # i 1 1 ：is 力，乒， ( 2 1 7 ) 而量子码q 的最小距离d = d ( q ) 是满足下述性质的最大正整数：对于l 矿) 和i 矿) q ，如 果 - - 0 。其中，e ( z ) = e e el 0 ) s ，0 p ( g ) 1 w ，v g e g 也是g 的表示。称( ，耽) 为，p ) 的子表示。 定义3 4 【3 7 】设，p ) 为群g 的表示，若有不变子空间形，使得 w 0 ，w v ， 则称，p )