（高电压与绝缘技术专业论文）变压器非线性暂态模型建立方法研究.pdf

声明尸明 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文变压器非线性暂态模型建立方法研 究，是本人在华北电力大学攻读硕士学位期间，在导师指导下进行的研究工作和取得 的研究成果。据本人所知，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得华北电力大学或其他教育机构的学 位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文 中作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：狐至： 日期： 型丝： 关于学位论文使用授权的说明 本人完全了解华北电力大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保 管、并向有关部门送交学位论文的原件与复印件；学校可以采用影印、缩印或其它 复制手段复制并保存学位论文；学校可允许学位论文被查阅或借阅：学校可以学 术交流为目的，复制赠送和交换学位论文；同意学校可以用不同方式在不同媒体上发 表、传播学位论文的全部或部分内容。 ( 涉密的学位论文在解密后遵守此规定) 导师签名： 、 华北电力大学硕士学位论文摘要 摘要 电力变压器是电力系统的重要设备，正确建立变压器的稳态、暂态模型是电力系 统稳态、暂态分析的基础。本文基于对偶性原理建立了变压器的非线性暂态模型。文 章从变压器的磁路模型出发，联系磁路与电路的对应关系，应用对偶性原理建立 了变压器的非线性暂态等效电路模型；为了简单而又准确的表示铁芯的非线性特 性，采用了神经网络新理论的方法拟合出的铁芯一i 曲线和一个可变电阻( 表示铁 磁损耗) 建立了铁芯的非线性励磁支路；同时，采用有限元方法计算确定了线圈的 电气参数，并与做短路和空载试验获得的变压器线圈的电气参数进行了对比，验证 了计算方法的准确性。最后，对一实际的1 0 k v 变压器进行暂态试验，并根据文中所 建立的非线性暂态模型，用软件a t p e m t p 进行仿真，实验结果与仿真结果的对比 验证了该模型的有效性。 关键词：对偶性原理，暂态模型，神经网络新理论，有限元方法 a b s t r a c t p o w e rt r a n s f o r m e ri st h ei m p o r t a n tp o w e rs y s t e me q u i p m e n t ；i ti st h eb a s i sf o r p o w e rs y s t e ms t e a d y s t a t ea n dt r a n s i e n ta n a l y s i st ot h er i g h tt oe s t a b l i s hs t e a d y - s t a t e a n dt r a n s i e n tm o d e lo ft h et r a n s f o r m e r b a s e do nt h ed u a l i t yp r i n c i p l e ，an o n l i n e a r t r a n s f o r m e rm o d e li sp r e s e n t e d c o n t a c t i n gt h ec o r r e s p o n d i n gt h em a g n e t i cc i r c u i ta n d t h ec i r c u i t ，at r a n s f o r m e rn o n l i n e a rt r a n s i e n te q u i v a l e n tc i r c u i tm o d e li se s t a b l i s h e db y d u a l i t yp r i n c i p l ef r o mt h et r a n s f o r m e rm a g n e t i cc i r c u i tm o d e lt oc o n s i d e r t oe x p r e s s t h en o n l i n e a rc h a r a c t e r i s t i c so fi r o nc o r es i m p l ya n da c c u r a t e l y , t h ee x c i t a t i o nb r a n c hi s i d e n t i f i e db yt h ef i t t i n g 矽- i u s i n gt h en e u r a ln e t w o r km e t h o da n dav a r i a b l er e s i s t o r ( e x p r e s sf e r r o m a g n e t i cl o s s e s ) m e a n w h i l e ，t h ea c c u r a c yo ff e mi sv e r i f i e db y c o m p a r i n gt h er e s u l t sb e t w e e nc o i l se l e c t r i c a lp a r a m e t e r sc a l c u l a t e db yt h ef e ma n d r e c e i v e db yt h et e s t s l a s t ，t r a n s i e n tt e s ti s o p e r a t e do n alo k vt r a n s f o r m e r , a n d s i m u l a t i o ni sd o n eb ya t p e m t pt h r o u g ht h ee s t a b l i s h m e n to fm o d e l a n dc o m p a r i s o n o fs i m u l a t i o nr e s u l t sa n de x p e r i m e n t a lr e s u l t s ，t h ev a l i d i t yt h em o d e li sp r o v e d z h a n gy u b o ( h i g hv o l t a g ea n di n s u l a t i o nt e c h n i q u e ) d i r e c t e db ya s s p r o f z h a n gz h o n g y u a n k e yw o r d s ：d u a l i t yp r i n c i p l e ，t r a n s i e n tm o d e l ，n e u r a ln e t w o r kt h e o r y , f e m 一 华北电力大学硕士学位论文目录 目录 中文摘要 英文摘要 第一章绪论。l 1 1 课题的研究意义1 1 2 研究现状2 1 3 本文的研究工作6 第二章基本理论知识7 2 1电磁场的基本理论7 2 2 2 3 2 4 2 5 第三章 3 1 3 2 3 3 3 4 第四章 4 1 4 2 2 1 1 麦克斯韦方程组7 2 1 2 电磁场微分方程及边界条件8 对偶性原理9 有限元方法。1 3 2 3 1 有限元法原理l3 2 3 2 有限元计算软件a n s y s 简介1 5 人工神经网络。1 8 2 4 1 人工神经网络简介1 8 2 4 2 神经网络新理论算法1 9 仿真软件a t p e m t p 简介2 l 变压器非线性暂态模型的建立。2 4 变压器的分类及结构2 4 变压器非线性暂态模型的建立2 5 3 2 1 单相变压器非线性暂态模型的建立2 5 3 2 2 三相变压器非线性暂态模型的建立2 8 变压器非线性暂态模型的参数计算3 0 3 3 1 铁芯模型的参数计算3 0 3 3 2 线圈参数的有限元计算。3 3 本章小结3 8 变压器试验以及模型验证。3 9 变压器基本试验3 9 4 1 1 空载试验4 0 4 1 2 短路试验4 4 变压器暂态试验及模型验证4 6 i 华北电力大学硕士学位论文目录 4 3 本章小结5 0 第五章结论与展望5l 参考文献5 2 致谢5 6 在学期间发表的学术论文和参加科研情况5 7 华北电力大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 课题的研究意义 电力变压器是电力系统的重要设备，它的运行状态直接影响着整个电力系统的 安全稳定运行。在电力变压器的实际运行中，由于某些原因产生的保护误动、空载 合闸以及单相对地短路等故障和操作会激发变压器内部的暂态过程，对变压器的正 常运行产生不良影响，进而影响到整个系统，因此建立一个相对准确的变压器暂态 模型用于分析这些暂态过程意义重大。 电力变压器主要由绕组、铁芯构成，结构复杂。由于铁芯材料的饱和效应和铁 耗( 包括磁滞损耗和涡流损耗) ，在暂态过程中会表现出很强非线性特性和频关效应。 在中低频情况下，像切空变、合空变、短路等情况，因变压器铁芯的作用，都会产生过 电压或较大的励磁涌流等。 1 9 9 1 年9 月2 7 日一1 0 月5 日，沙岭子电厂联变和昌平5 0 0 k v 变电站3 号主变进行空载投 切试验n 1 ，沙岭子电厂联变从2 2 0 k v 侧投切5 次，获得5 组数据：从5 0 0 k v 侧共投切4 次， 获得4 组数据，其中后两次发生谐振，引起过电压保护动作。昌平5 0 0 k v 变电站3 号主变 从2 2 0 k v 侧共投切6 次，获得6 组数据；从5 0 0 k v 侧共投4 次，获得4 组数据。沙岭子电厂 联变试验结果如下，从2 2 0 k v 侧空投，5 0 0 k v 侧最大过电压倍数为1 6 7 ，2 2 0 k v 侧最大过 电压倍数为1 1 7 ，最大涌流倍数为2 3 ；从5 0 0 k v 侧空投，5 0 0 k v 侧最大过电压倍数为1 6 0 ， 2 2 0 k v 侧最大过电压倍数为1 2 5 ，最大涌流倍数0 6 6 。昌平变电站3 号主变试验结果如下， 从2 2 0 k v 侧空投，5 0 0 k v 侧最大过电压倍数为1 1 7 ，2 2 0 k v 侧最大过电压倍数为1 3 3 ，最 大涌流倍数为0 8 9 ；从5 0 0 k v 侧空投，5 0 0 k v 侧最大过电压倍数为1 1 4 ，2 2 0 k v 侧最大过 电压倍数为1 1 4 ，最大涌流倍数0 2 3 。7 5 0 k v 输变电示范工程官亭一兰州东线，分合7 5 0 k v 空载变压器嘲的试验结果显示产生了过电压和较大的励磁涌流。以此为据，文 3 从仿真 模型上给出了计算结果，证明了变压器铁芯非线性特性对产生过电压和励磁涌流的重要 作用。特高压电网空载变压器切合闸也会产生过电压，结合我国晋东南一南阳一荆门特 高压试验示范工程，文 4 从变压器铁芯的非线性特性，例如励磁曲线、剩磁等方面来 说明了它对切除空载变压器产生过电压的影响。以上的这些实例说明了投切空载变压器 产生过电压或较大的励磁涌流，变压器铁芯的非线性特性将对这些产生很大的影响。这 些过电压或较大的励磁电流将给电力设备造成很大的破坏性。为能准确地预测这种破坏 行为，防止过电压，合理选择电力设备的绝缘水平，这些都要充分考虑变压器铁芯非线 性特性的影响，因此，建立变压器的非线性暂态模型具有重要意义。 华北电力大学硕士学位论文 1 2 研究现状 变压器模型的研究分为两个重要的部分：线圈部分和铁芯部分。线圈部分的模 型是线性的，铁芯部分的模型是非线性的，且两者都与频率相关。根据研究问题角 度的不同，从铁芯饱和与否的角度，变压器模型可以分为线性模型和非线性模型； 从频率变化的角度，变压器模型可以分为稳态模型和暂态模型。 用于电磁暂态仿真计算的变压器线性模型的建立方法基本上有两种畸】，一是根 据设备的具体结构建立它们的内部等值电路模型，二是采用黑盒子技术建立它们的 宏模型( m a c r o m o d e l ) 。 变压器类设备的内部等值电路模型主要有集中参数电路模型抽1 ，基于多导体传 输线理论的变压器口j 1 分布参数电路模型以及分布参数与集中参数混合的电路模型 咖建立这类模型需要求解复杂的电磁场问题，并且需要知道每一个设备的结构细 节，可以同时计算设备内部与端口的暂态过程。宏模型是模型建立方法中的一个重 要概念，即建立元件、设备的端口电路模型。其目的是只预测系统中感兴趣的频率 范围内的暂态响应，不用进行完全和详细的分析，以缩短计算时间、提高仿真精度， 这对于大规模系统的分析计算与设计有重要意义。端口模型建模方法的一般步骤 是：首先测量或计算设备( 元件) 端口之间的频率响应特性( 如输入输出比、端 口阻抗或导纳参数) ，然后用有理函数对这些数据进行拟合建立其频域函数模型 n 钆川，或更进一步地在频域函数模型的基础上采用电路综合方法建立电路模型n 2 一引。 这种方法简便易行，更适用于不需要了解设备内部波过程的电力系统电磁暂态仿真 与变电站内通过p t c t 的传导干扰的预测计算。这些变压器的线性模型只能应用在 线性情况下( 像变压器饱和之前、高频或超高频情况) ，一旦变压器因某种原因达 到饱和时，这类线性模型就不适用了。为了能应对变压器可能出现的饱和情况，应 该建立变压器的非线性暂态模型。 在高频及超高频率的情况下，铁芯的非线性情况已经可以忽略不计。主要是在 中低频情况下，需要考虑铁芯的非线性情况。我们也是在这种情况下研究变压器的 非线性暂态模型。典型的变压器非线性暂态模型有以下三类n 们：加入铁芯部分的 b c t r a n 模型、s t c 模型、t o p o l o g y b a s e d 模型。以这三类模型来说明变压器非线 性暂态模型的研究状况。 ( 1 ) 加入铁芯部分的b c t r a n 模型 b c t r a n 模型可用阻抗矩阵表示为：【v 】- 【z 】【】，在暂态计算时，可以表示 为：【v 】= 【r i + l a i d t 】，【r 】和j w l 】代表【z 】的实部和虚部。因矩阵【z 】可能存 在病态的情况，于是解决的办法便是表示为：【i 】- 】， 明，暂态计算时为： 【别出】= 【三】叫 v 卜【】。1 【尺】 刁。 2 华北电力大学硕士学位论文 图1 - 1 含有铁芯部分的双绕组变压器的b c t r a n 模型 加入铁芯部分的b c t r a n 模型，是b c t r a n 模型应对铁芯饱和磁滞效应情况 的一种改进，只在原来b c t r a n 模型基础上加上了铁芯部分如图1 - 1 ，并未进行 其他方面的改进，其适用的范围很狭窄。但它代表了最初考虑变压器非线性模型 的一种思想。 ( 2 ) s a t u r a b l et r a n s f o l i l l e c o m p o n e n t ( s t c 模型) 这种模型的初级线圈只是用一个尺一支路来表示，其他线圈作为两绕组变压器等 效，铁芯的饱和效应和磁滞效应用一个非线性电感表示，铁损用一个不变电阻表示， 如图1 - 2 这类模型有一个重要的缺陷就是适用范围一般不能超过三个线圈，虽然这 一点已有人提出一些解决办法n 引帕，但还没彻底解决，适用性不强。 图卜2n 绕组的变压器s t c 模型 ( 3 ) t o p o l o g y - b a s e d 模型 这类模型分为两种：基于几何结构建立的模型和基于对偶性原理建立的模型。前 一种模型来源于方程：【v 】= r l i l + a 2 d t 】，其中不同之处在于引入五，以五的不同表 示方式来处理模型。后一种模型来源于对偶性原理n7 1 ，它从磁路与电路的联系出发， 运用两者之间存在的对偶关系，建立的模型。这种模型不仅考虑铁芯的饱和效应，还 3 华北电力大学硕士学位论文 考虑了电路与磁路的耦合关系，还有一点是该模型中的铁芯模型是独立于线圈的配置， 这是其他模型所不能比拟的。但要根据具体情况添加上相应的表示损耗的电阻和耦合 电容、杂散电容等。如果参数能够准确的确定，这类模型将是相当准确的。该方法建 立的模型经历了几个重要的过程：文献 1 8 主要完成的是一个新的磁滞模型和变压器 参数的测量。文献 1 9 完成了一种变压器在高饱和情况的模型。文献 2 0 采用混合方 法，完成一个完整的变压器模型：铁芯模型采用对偶性原理，漏感的计算采用自己专 门的方法。 在中低频情况下，以上三种变压器模型基本上代表了变压器非线性暂态模型的基本 情况，至于其他出现的模型大多为其相关的、稍有改进的或混合的。文献 2 1 提出了 暂态仿真中一种三相自耦变压器模型，应用受控源原理和修正后的阻尼梯形法推导 出了对应的综合模型，但在其铁芯模块中，励磁阻抗的非线性被忽略了；文献 2 2 提出了三相双绕组电力变压器的实时仿真模型并给出了合适的数字积分方法，其 精确性有所提高，但没有考虑零序磁通的影响；文献 2 3 用励磁主磁通和磁动势作 为联接电路方程和磁路方程的中间变量建立三相多芯柱电力变压器谐波模型；文献 2 4 从变压器的磁路模型出发，应用对偶性原理建立了三相多芯柱变压器的暂态 模型，对偶性原理的应用使变压器模型的电路与磁路有效、正确地耦合，参数的确 定是从铭牌值或基本的短路试验获得。这些都是对考虑了电路与磁路耦合问题的变 压器模型的探讨。基于以上分析，本文就是运用对偶性原理的方法建立了变压器的非 线性暂态模型。 变压器的非线性暂态模型，其中最主要的就是铁芯的非线性问题。铁芯的非线性 表现为：饱和效应、磁滞效应、涡流效应。其中饱和效应在变压器运行中扮演了一个 主要角色，磁滞效应、涡流效应也在暂态过程中起了重要的作用。常用的变压器铁芯 模型如图1 - 3 ，其中用一个线性电阻r 表示铁损( 包括磁滞损耗和涡流损耗) ，而铁芯 的饱和效应则可根据情况用线性或非线性电感( 磁化曲线) 表示。 图1 - 3 铁芯模型 图卜4 则是更为准确的铁芯模型，铁损用一个非线性电阻心表示，铁芯的饱和效 应用一个非线性电感表示，添加的是表示线圈匝间的电容，它在低频暂态情况下用处 不大，但对计算铁芯的其他参数比较有用，见文献 2 5 。 4 华北电力大学硕士学位论文 l 1 ：) j l 、o j c ，气 图1 - 4 铁芯模型 准确的表示铁芯磁化曲线的非线性及磁滞效应，是建立铁芯模型的关键。因为 非线性的表示有多种方法，所以铁芯的非线性模型也有多种表示方法。主要的有以 下两种情况： 1 引入单值磁化曲线建立模型。将伏安特性u 一，曲线转换为励磁支路沙一f 瞬 时值特性曲线，然后对后者进行拟合，从而得到励磁特性的解析表达式；具体的拟 合方法如下：( 1 ) 折线法，有两段折线和多端折线两种。此种方法的模拟大多用在 特定段的计算，准确度不是很高，且易产生震荡。( 2 ) 一般曲线函数的磁化拟合法 哺1 ，此法可用的函数较多，例如： = a t a n b i ：d o = a s h ( s i ) ；汪口2 f + i m n ； 西= a t a n 1b i + c i ，它应用较多，可很好表达额定工作点以下、深度饱和以后呈线 性的特点。( 3 ) 改进的曲线函数的磁化拟合法乜引，拟合函数如：a 扛a r s h ( b q ，) ，从 拟合结果看，保证拟合曲线符合励磁特性单调上升的实际情况，误差较小，但最初 几个样点处误差大，一个改进是将拟合曲线分成三段，前面线性段和后面饱和段分 别用一直线拟合，中间拐弯段用函数f = a r s h ( b 伊) 拟合，这样可有效地提高拟合精 度。也有文献提出为了暂态计算方便，可采用电流值作为变量即：缈= b a r s h ( c i ) ； b f = 口磊+ i 缈2 “1 ，克服了常用拟合多项式f = 羔口：川( f f 2 k + l 的固有缺陷，完善和发 展了这释，拟合方法。( 4 ) b p 算法及其改进的学习翠b p 算法拟合法乜7 删，b p 算法对曲 线的拟合具有平滑性、精确性等特点。但传统的b p 算法训练速度较慢，使其应用受 到了一定限制。为了改善收敛性能，应该给予改进，如引入学习率b p 算法等。( 5 ) 插值方法，它需要大量的试验数据。对变压器的单值磁化曲线的拟合倾向于用 口：b 口r s h ( c i ) 与两段直线的组合完成，或者是改进的b p 算法与一定的优化方法来完 成。这种单值磁化曲线建立的铁芯模型具有简单易行的特点，能满足一般励磁条件 的需求。 2 引入磁滞回线建立模型。单值磁化曲线不能从本质上反映变压器的磁滞特 性，而且不能计及变压器的剩磁效应。在有些情况下，需要用磁滞回线才能更好 地描述变压器这种情况下的特征。目前，磁滞回线模型主要有：p r e i s a c h 、 华北电力大学硕士学位论文 s t o n c r - w o h l f a r t h m o d d 以j i l e s a t l i e r t o n ( j a ) 模型。近些年，比较常用的是j a 模 型。j a 模型理论由d c j i l e s 和d l a t h e r t o n 两位学者于1 9 8 3 年提出。该模型运 用磁畴壁的概念，将磁化强度m 分解为相当于摩擦效应分量( 不可逆分量) m i r r 和弹性弯曲形分量( 可逆分量) m r e v ，即m = m i r r + m r e v ，利用修改的l a n g v i n 函 数最终获得m 与h 之间的关系心引。文献 3 0 3 3 对j a 模型理论进行了更加详细 的论述。文献 3 4 - - 3 8 应用j a 模型取得了较好的分析和仿真效果，但没有分析 j a 模型自身缺陷及改进措施对仿真结果的影响。其他模型也或多或少存在一定的 优势和缺陷。这类由磁滞回线建立的模型，能反映铁芯饱和对变压器的影响，但 试验数据的获得比较麻烦，对曲线拟合度要求较高，实际操作起来较为困难。 1 3 本文的研究工作 为了预测因保护误动、空载合闸以及单相对地短路等现象对变压器的影响， 本文研究了在中低频下变压器非线性暂态模型的建立方法。主要工作有： 1 运用对偶性原理，将磁路与电路联系起来建立了变压器的非线性暂态模 型： 2 用神经网络新理论的方法拟合出了变压器单值磁化曲线，使得铁芯的单值 磁化曲线的表示更为准确，为铁芯模型的准确建立提供了条件； 3 采用有限元软件a n s y s 对线圈的电气参数进行了计算，同样通过空载试 验和短路试验也获得了线圈的电气参数，两者结果进行了比较和验证。 4 根据文中所建立的变压器非线性暂态模型，用软件a t p e m t p 进行了仿真 计算；最后，对一个实际1 0 k v 电力变压器进行切空变试验。通过试验结 果和a t p e m t p 仿真结果对比，验证模型的有效性。 6 2 1电磁场的基本理论 电磁场理论由一套麦克斯韦方程组。9 4 0 1 描述，分析和研究电磁场的出发点就 是麦克斯韦方程组的研究，包括这个方面的求解与验证。电磁分析问题实际上是 求解给定边界条件下的麦克斯韦方程组问题。 2 1 1 麦克斯韦方程组 麦克斯韦方程组是麦克斯韦在1 8 7 3 年建立的。在此之前，由于法拉第、安培、 高斯和泊松等人的工作，这些方程已经以不太完整的形式出现了。麦克斯韦的贡 献在于对这些方程加上了位移电流项，证明电磁场能够以波的形式存在是非常重 要的。麦克斯韦方程的波动性质在1 8 8 8 年由赫兹以试验的方式证明。麦克斯韦 方程组是研究和分析电磁现象的一个基本依据。在电磁场中有限元方法所用的偏 微分方程是从麦克斯韦方程组推导出来的，因此有必要先介绍一下麦克斯韦方程 组，实际上它是由四个定律组成，它们分别是安培环路定律、法拉第电磁感应定 律、高斯电通定律( 简称高斯定律) 和高斯磁通定律( 亦称磁通连续性定律) 。 1 安培环路定律 无论介质和磁场强度h 的分布如何，磁场中的磁场强度沿任何一条闭合路径 的线积分等于穿过该积分路径所确定的曲面q 的电流的总和。这里的电流包括传 导电流( 自由电荷产生) 和位移电流( 电场变化产生) ： 叮删= f f ( j t o d ( 2 1 ) f 苔 o t 式中，j 为传导电流密度矢量( a m 2 ) ，竺为位移电流密度，d 为电通密度 ( c 胁2 ) 。 2 法拉第电磁感应定律 闭合回路中的感应电动势与穿过此回路的磁通量随时间的变化率成正比。用 积分表示为： 叮脚=一(j+罢娜fn” 式中，e 为电场强度( y m ) ；b 为磁场强度( t ) 。 3 高斯电通定律 7 ( 2 2 ) 华北电力大学硕士学位论文 在电场中，不管电介质与电通密度矢量的分布如何，传出任何一个闭合曲面 的电通量等于这已闭合曲面所包围的电荷量，这里指出电通量也就是电通密度矢 量对此闭合曲面的积分，用积分形式表示为： d d s = 洳d y ( 2 - 3 ) s ， 式中，p 电荷体密度( c m 3 ) ：g 为闭合曲面s 所围成的体积区域。 4 高斯磁通定律 磁场中，不论磁介质与磁通密度矢量的分布如何，穿出任何一个闭合曲面的 磁通量等于零，这里指出磁通量即为磁通量矢量对此闭合曲面的有向积分。用积 分形式表示为： ( 努b d s = 0 s ( 2 _ 4 ) 麦克斯韦方程组对应的微分形式如下： v x h ：j + 挲 刁f v x e ：孚( 2 5 ) 讲 v d = p v b = 0 2 1 2 电磁场微分方程及边界条件 电磁场计算中，经常对上述这些偏微分进行简化，以便能够用分离变量法、 格林函数法等解得电磁场的解析解，其解得形式为三角函数形式以及一些用特殊 函数( 如贝塞尔函数、勒让得多项式等) 表示的形式帕。 1 矢量磁势和标量电势的引入 对于电磁场的计算，为了使问题得到简化，通过定义两个量来把电场和磁场 变量分离开来，分别行成一个独立的电场或磁场的偏微分方程，这样便有利于数 值求解。这两个量，一个是矢量磁势a ( 亦称磁矢位) ，另一个是标量电势，它 们定义如：b = v x a ，也就是说磁势的旋度等于磁通量的密度。而标量电势可定 义为：e = 一v 。 2 电磁场偏微分方程 按照矢量磁势和标量电势的定义能自动满足法拉第电磁感应定律和高斯磁通 定律。然后再应用到安培环路定律和高斯电通定律中，经过推导，分别得到了磁 场偏微分方程和电场偏微分方程如下： 8 华北电力大学硕士学位论文 v 2 a 一肛警= 一 v 2 一胪窘= 一詈 ( 2 - 6 ) 和f 分别为介质的磁导率和介电常数，v 2 为拉普拉斯算子 v 2 = c 善+ 罢o y + 参， 功r院一 3 电磁场中常见边界条件 电磁场问题实际求解过程中，有各种各样的边界条件，可以得到许多解。但 是，只有一个是问题的真实解。为求得真实解，就应该知道相应区域的边界条件。 换句话说，一个电磁场问题的完整描述应该包含微分方程和边界条件的全部信息。 边界条件归结起来可概括为三种，狄利克莱边界条件、诺依曼边界条件以及齐次 边界条件。 ( 1 ) 狄利克莱边界条件表示为： 矽l ，= g ( r ) 式中，r 为狄利克莱边界；g ( r ) 为位置的函数，可以为常数和零。 ( 2 ) 诺依曼边界条件可表示为： 缸+ 佃引r - h ( r ) 式中，r 为诺依曼边界，刀为边界r 的为法线矢量，f ( r ) 和h ( r ) 为一般函数( 可 以为常数和零) 。 ( 3 ) 齐次边界条件 在实际中用的最多的是以上两种情况的特例，即上面两中右端的已知函数都 为零，边界条件分别简化为齐次狄利克莱边界条件和齐次诺依曼边界条件，即 矽i r = o 孰= o 、 2 2 对偶性原理 1 电路元素的对偶 9 华北电力大学硕士学位论文 一一对应成双成对出现的事物可以称为对偶事物。例如电压和电流是互为对 偶的物理量，电压源的短路元件和电流源的开路元件是互为对偶的元件，见文献 4 1 。为了说明对偶原理的内涵，先来看一个示例。 c 图2 1 对偶电路 对于图( a ) 的串联r l c 电路而言，由k 况有 喇+ 三妄+ l l 赠埘 对于图( b ) 的并联c - c l 电路而言，由k c l 有 = 觎+ c 害+ z 1l 蝴蟛 c 将两式比较可以看出，若将两式中的电路变量u 和f 互换，将电路元件r 和g 互 换，和c 互换，即可从其中的一式直接写出另一式。这种关系( 方程) 之所以能 彼此转换，是因为它们的数学表示形式完全相似。电路中某些元素之间的关系( 方 程) 用它们的对偶元素对应地置换后，所得新关系也一定成立，后者和前者互为 对偶，这就是对偶原理。根据对偶原理，如果导出了某一关系式或结论，就等于 解决了和它对偶的另一个关系式和结论。若两个电路对偶且对偶元件参数的值相 等，则两者对偶变量的关系式( 即方程) 及对偶变量的值( 响应) 一定相等。由 电路元素间的对偶性归纳出的基本规律。这就是：若由某些电路元素决定的关系 成立，则把这些电路元素用各自的对偶元素置换后得到的新关系亦必成立，而且 这新关系与已有的关系又相互对偶。这两种关系可同属一个电路，也可分属两个 电路。对偶电路元素是指互为对偶的电路变量、电路元件、电路参数、拓扑要素、 电路方程、电路定律等。已知的对偶电路元素见表对偶元素一览，表中同行的两 个元素相互对偶。现已学到的对偶关系如下表2 1 。 1 0 华北电力大学硕士学位论文 表2 - 1 电路的对偶关系表 对偶名称原电路对偶电路 电压u电流i 网孔电流独立节点电位 电路变量 开路电压短路电流 串联并联 开路短路 电路结构 节点回路 电阻r ”= r i电导gc , u v c v s “i 寸删ic c c s 专成 电路元件及 元件方程 v c c s g u lc c v s 专，f i k v lk c l 电路基本定戴维宁定理若顿定理 律和定理 网孔方程节点方程 对偶原理的实用性和重要性显而易见。应用对偶原理可直接从电感元件的电 压一电流关系推出电容元件的电压一电流关系：从戴维南定理导出诺顿定理；从 k c l 得出k v l ( 见基尔霍夫定律) ；从串联的方程求出并联的方程；从有关串联谐 振( 共振) 的结论写出有关并联谐振的结论等。总之，应用它不仅使我们能够大 大精简研究的内容，而且还会使我们有可能从已有的方法、理论和电路导出新的 方法、理论和电路。 2 电路与磁路的对偶 对偶现象并不只存在于电路中，在电路和磁路n7 1 中依然存在，并且是可逆的。 在等效磁路中，线圈电流作为磁动势( m m f ) 源，漏磁通作为线性磁阻，磁芯作 为可饱和得磁阻。对偶关系被表示为： p d ；i m ； 同时，磁阻( r ) 与电感( 1 l ) 也存在一定的对偶关系： 华北电力大学硕士学位论文 墨：是一i 1 ：i 1 可以使两者相互转化：r 了1 利用这些关系，可以完成从磁路模型到电路模型的转化。以一个原、副边相同绕 组的理想变压器为例来说明这一过程。图2 - 2 为变压器的磁通图，为激励源，i ，、 为通过变压器原、副边的电流，矽为通过变压器铁芯的磁通，砟、以分别为通过变 压器原、副边绕组的漏磁通，。 + 1 ， ，j ，) f ( 靴 。篱 - - - ) 芝( 、? ； i 二 )l ( z 图2 - 2 变压器磁通图 按照图2 2 中变压器的磁通流通图，画出变压器的等效磁路如图2 3 ，其中，g p 、 胁分别为激励磁动势、响应磁动势，邑、最分别为变压器原、副边绕组漏磁通产生 的磁阻，s 为变压器主磁通产生的磁阻。 k 图2 - 3 变压器等效磁路模型 1 2 华北电力大学硕士学位论文 b ac k 图2 - 4 变压器等效电路模型 利用对偶性原理( 图2 - 3 中的虚线部分为其对偶原理应用的痕迹) ，从图2 - 3 变压 器的等效磁路模型转化为图2 4 的等效电路模型，其中，e 。为激励源，。、厶分别为 变压器原、副边绕组漏感，三为铁芯电感。到此为止，完成了变压器从磁路模型到电 路模型的转化。 从以上的例子可以看出，对理想变压器来说，在用对偶性原理将变压器从磁路 模型转化到电路模型时，所得到的模型是比较方便的、是完备的。但在实际中， 变压器存在铜耗、铁耗以及耦合电容等量，这些在用对偶性原理建模时并没有直 接被取得。因而，我们在运用对偶性原理建立变压器模型时，还要根据具体情况 将这些电气量添加到等效电路模型当中形成完整的模型。 2 3 有限元方法 有限元法( f e m ) 是一种高效能、常用的计算方法，最早产生于力学计算中。 1 9 7 1 年w i n s l o w 、c h a d 、s i l v c s t e r 等人把它用于电磁场计算，成为电磁场分析的 一个转折点，至今在电磁场界得到了广泛的应用。随着计算机的迅速发展和数值 计算方法的广泛应用，有限元法在电磁场界、固体力学界、流体力学界和热传导 等方面得到大量应用。与差分法相比，它在网格剖分方面很灵活，能适应形状复 杂的结构和边界，且能根据需要对局部加密网格。另一方面由有限元法生成的代 数方程组，经修改后，系数矩阵常是正定、稀疏的，因而能保证结果的正确性。 2 3 1 有限元法原理 有限元方法h 2 1 的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域 划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函 数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的 插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求 解。采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。 i 有限元法的实现步骤 有限元法的基本求解步骤归纳为： g v 华北电力大学硕士学位论文 ( 1 ) 确定求解场域、边界条件和激励，列出电磁场方程。利用几何结构和激励的 对称性确定对称轴，缩小求解区域和计算量。 ( 2 ) 将整个场域离散。即有限元的剖分，用单元( e l e m e n t ) 和节点( n o d e ) 表示 场域。在这步中，全域被分成许多小区域，这些子域就称为单元。整个区域完全 被单元覆盖。各个单元的顶点由节点确定，节点和单元按次序用数字编号。每个 单元对应一个激励和一种材料。一个节点的完整描述应包括它的坐标值、局部编 码和全局编码。节点的局部编码表示它在单元中的位置，全局编码表示它在场域 中的位置。有限元法得到的系数矩阵通常是带状矩阵。其带宽由一个单元中两个 节点全局编码之差的最大值决定。这样，可通过对节点合理编号使带宽较小，减 小系数矩阵的规模。进而减小计算机存储量和计算时间。单元形状可以是三角形、 四面体、六面体等，单元类型的选择主要取决于求解场域的形状及求解精度要求。 好的有限元计算软件具有将任意形状的线、面和体剖分 成指定单元的能力。 ( 3 ) 插值基函数的选择。 ( 4 ) 方程组的建立。 ( 5 ) 依据变分原理或伽略金法，离散出矩阵方程。 ( 6 ) 方程组的求解。 用强加边界条件修改方程组，求解修改后的方程组，得到各个节点的磁位 近似解。线性方程组的解法，可用直接法、迭代法和优化方法。直接法有高斯 消去法、平方根法和乔列斯基解法。优化法有共轭梯度法( c g ) 、不完全分解 的共轭梯度法( i c c g ) 。 ( 7 ) 结果分析。 电场量和磁场量一般都不是最终的求解量。还应根据具体情况应用函数等 得出工程所需参数。 2 形状函数 插值基函数决定了近似解在单元上的形状，因此插值基函数也称为形状函数。 对一维一阶有限元形状函数为一条直线，二维一阶有限元形状函数为一个平面。 三维单元，由平面或曲面构成的任意多面体，可通过坐标变换，都变换成自然坐 标系中的标准多面体。可采用与平面单元相似的方法，构造这些标准单元的形状 函数。在单元分析中，需要进行求导及积分运算，实际上是对形状函数进行求导 及积分运算，因而形状函数在有限元法中很重要。 1 4 华北电力大学硕士学位论文 2 3 2 有限元计算软件a n s y s 简介 a n s y s h 3 4 4 3 是一种广泛的商业套装工程分析软件。所谓工程分析软件，主要 是在机械结构系统受到外力负载所出现的反应，例如应力、位移、温度等，根据 该反应可知道机械结构系统受到外力负载后的状态，进而判断是否符合设计要求。 一般机械结构系统的几何结构相当复杂，受的负载也相当多，理论分析往往无法 进行。想要解答，必须先简化结构，采用数值模拟方法分析。由于计算机行业的 发展，相应的软件也应运而生，a n s y s 软件在工程上应用相当广泛，在机械、电 机、土木、电子及航空等领域的使用，都能达到某种程度的可信度，颇获各界好 评。使用该软件，能够降低设计成本，缩短设计时间。 到8 0 年代初期，国际上较大型的面向工程的有限元通用软件主要有：a n s y s n a s t r a n ，a s k a ，a d i n a ，s a p 等。以a n s y s 为代表的工程数值模拟软件，是 一个多用途的有限元法分析软件，它从1 9 7 1 年的2 0 版本与今天的5 7 版本已有 很大的不同，起初它仅提供结构线性分析和热分析，现在可用来求结构、流体、 电力、电磁场及碰撞等问题的解答。它包含了前置处理、解题程序以及后置处理， 将有限元分析、计算机图形学和优化技术相结合，已成为现代工程学问题必不可 少的有力工具。 1 a n s y s 软件主要功能 a n s y s 软件是融结构、热、流体、电磁、声学于一体的大型通用有限元软件， 可广泛的用于核工业、铁道、石油化工、航空航天、机械制造、能源、汽车交通、 国防军工、电子、土木工程、生物医学、水利、日用家电等一般工业及科学研究。 该软件提供了不断改进的功能清单，具体包括：结构高度非线性分析、电磁分析、 计算流体力学分析、设计优化、接触分析、自适应网格划分及利用a n s y s 参数设 计语言扩展宏命令功能。 2 a n s y s 软件主要特点 主要技术特点： 唯一能实现多场及多场耦合分析的软件 唯一实现前后处理、求解及多场分析统一数据库的一体化大型f e a 软件 唯一具有多物理场优化功能的f e a 软件 唯一具有中文界面的大型通用有限元软件 强大的非线性分析功能 多种求解器分别适用于不同的问题及不同的硬件配置 华北电力大学硕士学位论文 支持异种、异构平台的网络浮动，在异种、异构平台上用户界面统一、数据 文件全部兼容 强大的并行计算功能支持分布式并行及共享内存式并行 多种自动网格划分技术 良好的用户开发环境 3 a n s y s 电磁场分析对象 a n s y s 以麦克斯韦方程组作为电磁场分析的出发点。有限元方法计算未知量 ( 自由度) ，主要是磁位或磁通量，其他关心的物理量可以由这些自由度导出。根 据用户选择的单元类型和单元选项的不同，a n s y s 计算的自由度可以是标量磁 位、矢量磁位或边界通量。 a n s y s 利用a n s y s e m a g 或a n s y s m u l t i p h y s i c s 模块中的电磁场分析功能，可 以分析计算下列设备中的电磁场：电力发电机、磁带及磁盘驱动器、变压器、波 导、滤波器、螺线管传动器、谐振腔、电动机、连接器、磁成像系统、天线辐射、 图像显示设备传感器、回旋加速器。在一般电磁场分析中关心的典型的物理量为： 磁通密度、能量损耗、磁场强度、磁漏、磁力及磁矩、s 一参数、阻抗、品质因数、 电感、回波损耗、涡流、本征频率。 利用a n s y s 可完成下列电磁场分析： ( 1 ) 二维静态磁场分析，分析直流电( d c ) 或永磁体所产生的磁场。 ( 2 ) 二维谐波磁场分析，分析低频交流电流( a c ) 或交流电压所产生的磁场。 ( 3 ) 二维瞬态磁场分析，分析随时间任意变化的电流或外场所产生的磁场，包括永 磁体的效应。 ( 4 ) 三维静态磁场分析，分析直流电或永磁体所产生的磁场。 ( 5 ) 三维谐波磁场分析，分析低频交流电所产生的磁场。 ( 6 ) 三维瞬态磁场分析，分析随时间任意变化的电流或外场所产生的磁场。 4 分析过程包括： ( 1 ) 定义单位 在电磁场分析中必须使用国际单位制( m k s ) ，因而在建模时一定要注意 将已习惯使用的单位制转为国际单位制，否则计算结果会出乎意料。 ( 2 ) 定义单元类型 a n s y s 在数据库中定义了2 0 0 种单元类型。应根据需要选择合适的分析单 元。每种单元类型决定了单元的自由度