（计算机软件与理论专业论文）离散曲面上曲率估算的采样框架的研究与实现.pdf

摘要 摘要 离散曲面上准确曲率估算是一个带有多种应用涉及多种学科的重要课题，如计算机 图形学、计算机可视化和几何建模n 儿2 儿3 们嵋1 等。曲率和它相关的主方向矢量域具有对刚 体变换不变的特性，曲率是脊的指示剂，通常用于图形分析、图像识别、对象提取、自 适应平滑、不规则网格各向异性的光顺和纹理映射等领域。曲面的曲率依赖于二次微分 量，对于离散数据的曲率估算对噪声极其敏感。因此，对于离散数据的曲率估算的早期 工作集中在平均曲率和高斯曲率的符号的估算上。最近几年技术进步可以获得更加准确 的数据范围而且使得离散数据的曲率估算更加简便。 在该论文中，通过改进的框架对离散曲面进行准确曲率估算，该框架是基于一个采 样条件受限制的曲面的局部曲线采样。这个局部模型与已知的技术相比有很大的自由 度，因此它能很好的表现这个局部集合，与通常的曲率估算技术相比，该框架估算效果 更好。为了能够进行一个涉及光滑程度的无轴估算，我们使用了一组随机产生的b e z i e r 曲线，对于这些曲线，可以用于定性分析计算曲率。根据阐述，由于采样条件的确定， 改进的方法获得的估算误差是比较小的，并且受采样密度、采样不规则性、采样噪声等 影响较小。 关键词：曲率测定，局部曲面集合测定，离散曲面，点云，曲面模型，几何建模， 计算机图形学 ab s t r a c t c u r v a t u r ee s t i m a t i o ni nd i s c r e t es u r f a c e si s a p p l i c a t i o n ss p a n n i n gm u l t i p l ed i s c i p l i n e s ，s u c ha s a l li m p o r t a n tp r o b l e m 、丽t 1 1n u m e r o u s c o m p u t e rg r a p h i c s ，c o m p u t e rv i s i o n ，a n d g e o m e t r i c m o d e l i n g 【1 i ，1 2 1 ，1 3 j ，5 1 c u r v a t u r ea n di t sa s s o c i a t e dp r i n c i p a ld i r e c t i o nv e c t o r f i e l d sa r ei n t r i n s i cp r o p e r t i e st h a ta r ei n v a r i a n tt or i g i db o d yt r a n s f o r m a t i o n s c u r v a t u r ei s a n i n d i c a t o ro fr i d g e sa n dc a nb eu s e di na p p l i c a t i o n ss u c ha ss h a p ea n a l y s i sa n dr e c o g n i t i o n ， o b j e c ts e g m e n t a t i o n ，a d a p t i v es m o o t h - i n g ，a n i s o t r o p i cf a i r i n g o fi r r e g u l a rm e s h e s ，a n d a n i s o t r o p i ct e x t u r em a p p i n g t h ec u r v a t u r eo fas u r f a c ed e p e n d so ns e c o n do r d e rd i f f e r e n t i a l q u a n t i t i e sa n d ，8 0 ，t h ee s t i m a t i o no fc u r v a t u r ef r o md i s c r e t ed a t ai se x t r e m e l ys e n s i t i v et o n o i s e c o n s e q u e n t l y ，e a r l yw o r ko nc u r v a t u r ee s t i m a t i o nf r o md i s c r e t ed a t a 6 1f o c u s e do nt h e e s t i m a t i o no ft h es i g no ft h em e a na n dg a u s s i a nc u r v a t u r e sf o rs e g m e n t a t i o np u r p o s e s t e c h n o l o g i c a la d v a n c e si nr e c e n ty e a r sm a k ei tp o s s i b l et oo b t a i nm o r ea c c u r a t er a n g ed a t a a n d ，s o ，f a c i l i t a t ec u r v a t u r ee s t i m a t i o ni nd i s c r e t ed a t a i nt h i sp a p e r , an e wf r a m e w o r ki sp r o p o s e df o ra c c u r a t ec u r v a t u r ee s t i m a t i o ni nd i s c r e t e s u r f a c e s t h ep r o p o s e df r a m e w o r ki sb a s e do nal o c a ld i r e c t i o n a lc u r v es a m p l i n go ft h e s u r f a c ew h e r et h es a m p l i n gf r e q u e n c yc a nb ec o n t r o l l e d t h i sl o c a lm o d e lh a sa l a r g en u m b e r o fd e g r e e so ff r e e d o m sc o m p a r e dw i t i lk n o w nt e c h n i q u e sa n d ，s o ，c a nb e t t e rr e p r e s e n tt h e l o c a lg e o m e t r y t h ep r o p o s e df r a m e w o r ki s q u a n t i t a t i v e l y e v a l u a t e da n dc o m p a r e dw i t h c o m m o nt e c h n i q u e sf o rs u r f a c ec u r v a t u r ee s t i m a t i o n i no r d e rt op e r f o r ma nu n b i a s e d e v a l u a t i o ni nw h i c hs m o o t h i n ge f f e c t sa r ef a c t o r e do u t , w eu s eas e to fr a n d o m l yg e n e r a t e d b e z i e rs u r f a c ep a t c h e sf o rw h i c ht h ec u r v a t u r ev a l u e sc a nb ea n a l y t i c a l l yc o m p u t e d i ti s d e m o n s t r a t e dt h a t ，t h r o u g ht h ee s t a b l i s h m e n to fs a m p l i n gc o n d i t i o n s ，t h ee r r o ri ne s t i m a t i o n s o b t a i n e db yt h ep r o p o s e df r a m e w o r ki ss m a l l e ra n dt h a tt h ep r o p o s e df r a m e w o r ki sl e s s s e n s i t i v et ol o ws a m p l i n gd e n s i t y ，s a m p l i n gi r r e g u l a r i t i e s ，a n ds a m p l i n gn o i s e k e yw o r d ：c u r v a t u r ee s t i m a t i o n ，l o c a ls u r f a c eg e o m e t r ye s t i m a t i o n ，d i s c r e t es u r f a c e s ， p o i n te l o u d s ，s u r f a c em o d e l i n g ，g e o m e t r i cm o d e l i n g ，c o m p u t e rg r a p h i c s 独创 生声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含本人为获得江南 大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 签名： 墅查垒 日 期： 2 塑墨：笸：盟 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解江南大学有关保留、使用学位论文的规定： 江南大学有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文， 并且本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 签名： 导师签名： 第一章引言 第一章引言 本章第一节简要叙述古典微分几何的背景与发展概况，第二节主要是关于离散微分 几何的历史，发展与现状，第三节离散曲面上曲率估算的发展与现状，第四节主要介绍 了该论文的文章结构。 1 1 古典微分几何思想 几何的观念最初来源于人们对自然空间的直观感受和经验。古希腊时期的几何学家 欧几里得( 约公元前3 3 0 一前2 7 5 7 ) 首先给出了直观几何的条理化结构，他所编写的几 何原本对几何原理作了系统的阐述，并开创了公理化的数学研究方法。长期以来，关 于欧几里得几何公理体系的完备性、无矛盾性引起了许多数学家的兴趣，特别是关于平 行公理的研究更是导致了非欧几何学的诞生，其中决定性的工作应归功于j b o l y a i ( 匈牙 利) 和n i l o b a c h e v s k y ( 俄国) 。h i l b e r t 在其名著几何基础中所规定的公理体系也许是 最严密和最精炼的。 由于欧几里得几何的研究对象是图形。按照所研究图形的性质，可分成两种情况进 行讨论。第一是关于全图形所具有的性质。例如，决定一条直线与一条圆锥曲线交点的 问题就属于此类性质的问题，因为所求的交点是由直线与曲线的整体位置决定的。第二 种是关于图形的局部性质。例如，在曲线上一点引曲线的切线就与这种性质有关，因为 大家知道，切线仅仅涉及到曲线在切点附近一阶展开的状况，而与曲线在其他部分的更 改毫无关系。对后一性质的研究便属于古典微分几何的范畴。 古典徽分几何学是为了研究图形在其元素近旁性质而发展起来的一门学科，所以必 然要运用函数及微积分学柞为工具自古以来，e u l e r ( 1 7 4 4 ) m o n g e ( 1 8 0 7 ) l a g r a n g e ( 1 7 1 3 ) c a u c h y ( 1 8 2 6 ) 等著名数学家把微积分学应用于曲线、曲面的研究，这也是古典微分 几何学的开端然而微分几何这门学科的系统化，则是与c f g a u s s ( 1 8 2 6 ) 的努力分不开 的g a u s s 关于曲面的理论，建立了基于曲面第一基本形式的几何，并把欧几里得几何推 广到曲面上“弯曲的几何，使微分几何真正成为一个独立的学科。r i e m a n n 在18 5 4 年的有名演讲【6 】把g a u s s 的理论推广到高维的空间，r i e m a n n 几何就此诞生r i e m a n n 的 思想引起了许多工作来处理和发展他的新几何。另外，十九世纪时的几何学家，如o s s i a n b on n e ls o p h u sl i e ，e b e l t r a m i ，e c e s a r o ，7 w e i n g a r t e ng d a r b o u x 等人对于微分几 何学的发展都作出了相当的贡献。 与上述想法不同，f k l e i n 在1 8 7 2 年发表了后人称之为“爱尔郎根纲领( e r l a n g e n p r o g r a m ) 的著名演讲“最新几何研究的比较评论 。他的基本思想是把几何看作某个变换 群作用下的不变量。根据k l e i n 的思想，有一个变换群就有一个几何与之对应，古典微 分几何就是研究几何图形在欧几里的变化群下不变的性质和量。它属于运动群，所以古 江南大学硕士学位论文 典微分几何学也称为运动几何学或初等微分几何学。如果我们用别的基本变换群来代替 运动群，那们就能得到其他种类的微分几何学这个想法的具体化便是二十世纪以来几何 学的一系列新发展例如，g f u b i n i ( 1 9 1 6 ) 的射影微分几何学，w b l a s e h k e ( 1 9 1 6 ) 的仿射微 分几何，g t h o m s e n 与w b l a s c h k e ( 1 9 2 3 ) 的保角微分几何学等都是在k l e i n 的这个具有深 远影响的思想指导下产生的。 e l i ec a r t a n 融合了上述两种观点，以联络为主要几何观念，创立了外微分法，使几 何不变量得以更充分的显示。外微分与活动标架法相结合，使得整体微分几何有了突飞 猛进的发展。陈省身将e l i ec a r t a n 的方法发扬光大，他关于纤维丛和示性类的理论，建 立了微分几何与拓扑的联系，是一个光辉的里程碑。 由此可见，古典微分几何学是一门古老陈旧的学科，固然无须多言，但它形成了现 代微分几何学的基础，也是毋庸置疑的。上述部分的论述主要参考了1 7 与8 1 中的部分内 容。 1 2 离散微分几何思想 由第一节可知，古典微分几何的主要研究对象是光滑的曲线和曲面，并且已经有了 很长的历史。对于光滑的几何对象( 主要是正则曲面和曲线) 的研究主要是应用几何或分 析的手段来进行，并且有了一套比较成熟的，相对来说比较机械化的手段和方法。例如， 在曲线上一点引曲线的切线就用到了函数及微积分学作为工具。然而，非光滑曲线，。曲 面也是一类很自然地几何对象。但相对来说却很少有比较成熟的研究方法。而这一方面 的开创性工作，就是由俄罗斯的a l e x a n d r o v 在多面体曲面上所作的。他在【9 l 中提出了一 系列的研究手段和方法来处理多面体曲面。并且这些手段和方法是与那些光滑曲面上的 定义和名词是相对应的他提出了多面体曲面，凸曲面等概念，并对非凸非光滑曲面进行 了分类。 由此也可知，离散微分几何的主要目的也可以说是通过把古典微分几何对象离散 化，来寻找古典微分几何对象、名词和方法的恰当的离散等价物，并由此发展出一整套 相应的理论和方法。离散微分几何是一个非常活跃的数学研究领域，是古典微分几何知 识与离散几何知识的交叉运用。因为古典微分几何的主要研究对象是光滑的几何形体， 如曲面、曲线等而离散几何主要是研究具有有限元素的几何形体，例如多面体曲面等 离散微分几何的目的就是发展和应用古典微分几何中的几何对象与方法的离散等价物。 它在计算机图形学，计算机可视化等领域有着广泛的应用。当然，其他的领域，如p o l t h i e r 与p i n k a l l 分别在文章1 0 1 与1 1 1 1 中介绍的离散极小曲面，b o b e n k o 与p i n k a l l 在1 1 2 】中介绍 的离散h 曲面( 离散常平均曲率曲面) 与离散等温曲面等。当然，这里对于离散极小曲面， 离散等温曲面，离散常平均曲率曲面等对象与古典微分几何中的相应对象并不一致。他 们的定义可以参考文献1 1 3 j 与同l 特别地，我们在这里提到位于德国的一个研究组织s o n d e r f o r s c h u n g s b e r e i c h2 8 8 ( s f b 2 第一章引言 2 8 8 ) ，他们在离散微分几何，可积系统等领域作出了很大的贡献，发表了大量的文章， 具体可参考他们的网站h t t p ：w w w - s f b 2 8 8 m a t h t u b e r l i n d e 。在网站上，该组织对其研 究领域和范围做了详细的分类和说明，并给出了许多相关领域的文献和资料。 1 3 曲率估算技术的简单描述 离散曲面上准确曲率估算是一个带有多种应用涉及多种学科的重要课题，如计算机 图形学、计算机可视化和几何建模乜3 钔陷3 等。曲率和它相关的主方向矢量域具有在 刚体变换下不变的特性，曲率是脊的指示剂，可以应用于像图形分析、图像识别、对象 提取、自适应平滑、不规则网格各向异性的光顺和纹理映射等领域。曲面的曲率依赖于 二次微分量，对于离散数据的曲率估算对噪声极其敏感。因此，对于离散数据的曲率估 算的早期工作集中在平均曲率和高斯曲率的符号的估算上。最近几年技术进步可能获得 更加准确的数据范围而且使得离散数据的曲率估算更加简便。 曲面上曲率估算技术大体被分为参数曲面片适合每个点相邻的定性分析技术和避 免拟合阶段和直接对数据操作的技术。基于曲面方法b h 钔陆1 们n 朝n 刚是对离散数据进行曲 率估算的最普通技术，在这些方法中适合每个局部邻域的曲面片用于计算曲面片的参数 偏导数。这些偏导数又用来计算局部曲面片的第一基本形式和第二基本形式。再通过解 决由第一和第二基本形式矩阵定义的扩展等值问题可以获得主要曲率。不同的基于曲面 的方法是互相不同的，主要是指在用于局部曲面片建模的参数功能和估算曲面片的参数 的使用方法上。在曲面片简化计算的同时，小局域提供的只是小范围的约束，因此只能 进行一个简单的曲面片建模。这样局部曲面片建模能够准确对局部曲面几何进行建模并 且引进一个光滑的强元素进行计算，避免显式曲面片拟合1 7 儿1 8 3 2 1 1 依靠适合使用 不同方法决定曲率第一环域或者立即域的技术。 1 4 论文结构 在该论文中描述的方法是对前人工作”“的一个扩展，与现存的方法不同的是提出 了使用一个采样框架，其中局部曲面几何是通过一组二次曲线建模的。因此，当改进的 模型有大量的自由度时，与其它技术相比，它能够更加准确的对局部曲面几何进行建模。 这个基于曲线方法可以获得可改善性的准确性之外，它还简化了采样条件的公式和曲率 估算中的采样速率的效率和曲面不规则性的分析。采样频率和采样不规则性这两个重要 的问题通常容易被忽视，导致了作出的结果不能扩展到不同的对象。与已知技术相比， 我们可能获得更加准确的结果，即对采样密度、采样规则和噪声不敏感的技术。 对在不同采样条件和曲面规则性的情况下的非一致局部曲面几何的定量性能计算 3 江南大学硕士学位论文 对评价改进方法至关重要。实验结果表明由改进的方法得到的结果并且受采样密度、采 样不规则性和采样噪声影响小。 本文由5 章组成，各章的主要内容安排如下： 第一章简单介绍了古典微分几何的思想、历史与发展等情况；回顾了离散微分几何 的思想起源与发展情况，曲率估算技术的简要介绍。 第二章介绍了一系列的预备知识，主要是关于古典微分几何中第一，第二基本形式 的定义，法曲率，主曲率，平均曲率，g a u s s 曲率，单位法向量，主方向等的定义。并 简单介绍了曲率估算的方法。 第三章为论文的主要工作，即关于图象的采样，曲线采样曲率，自适应采样。 第四章为实验结果，对实验结果作出具体的分析。 第五章为总结和展望。该章主要是对整个论文的一个总结，并对以后的工作和方向 进行了展望。 4 第二章各种曲率 第二章各种曲率 2 1 光滑曲面上各种曲率的定义 关于古典微分几何中g a u s s 曲率和平均曲率的详细介绍，读者可以参考由d oc a r m o 编写的微分几何的经典教材【2 3 1 或者中文教材川。这里我们仅仅给出一些本文中要用到的 基本概念和名词解释。 从平面区域d = ( u ，v ) 到e 3 的映射r ( u ，v ) = ( x ( u ，v ) ，y ( u ，v ) ，z ( u ，v ) ) ，满足： ( 1 ) 每个分量函数是无限阶连续可微的， ( 2 ) 向量= ( 罢，罢，祟) 与= ( 霎，i o y ，害) 线性无关，即八o o 时，我们称r e 3 u h u h u hu vo v o v 一个曲面，( u ，v ) 称为曲面的( 坐标) 参数。法向量n 是垂直于曲面的一个单位向量。 曲面的形状可以由参数( e ，f ，g ，l ，m ，n ) 来刻画，它们分别称为曲面的第一，第 二基本形式。其定义如下： 咖d r = e d u 2 + 2 f d u d v + g d v 2( 2 1 ) 其中 一咖d n = l d g i 2 + 2 m d u d v + n d v 2( 2 2 ) e = ，厂，f = ，g - = r v 厂y l = 一r u n 。，m = 一r u , n ，= 一g v , l l 。，n = 一，刀。 在曲面上任意一点p 处，我们考虑那些经过该点并且在曲面上的曲线，如果它们有 共同的切向量t ，那么 姒d = k p ( d c o s ( 啦器= 等 ( 2 3 ) 曲面曲率k p ( t ) 是那些曲线中任意一条曲线的曲率。 法曲率k n ( t ) 是在曲面上给定点p 处的曲线的曲率，并且这条曲线是由切向量t 与 曲面的法向量n 所成的平面与曲面相交形成的( 为法截线) 。法曲率与曲线曲率的关系 由如下m e u s n i e r s 定理确定。 其中，秒是曲面上过点p 点的任一条曲线的主法向量n 与曲面的法向量n 之间的夹 角。 主曲率k ，k 。如下定义。在上面的m e u s n i e r s 定理中，法曲率随着切向量方向的 变化而大小变化( 因为切向量沿着曲面的法向量旋转) 。从而，法曲率有极大值极小值， 5 江南大学硕士学位论文 我们把这。两个极值称为主曲率。法曲率在任恿方向的e u l e r 公式如f ： k 。= k 1c o s 2 位) + k 2s i n 2 ) ( 2 4 ) 其中，口是k l 所在切方向( 即主方向) 与任意切方向的夹角。 当然，我们也可以从方程： k 2 一l g - 2 m f + n ej | + l n - m 2 ：0( 2 5 ) 也u 一，2也g 一声2 中计算出任意正则点的主曲率，两个主曲率为方程的两个根，( e ，f ，g ，l ，m ，n ) 为相 应第一，第二基本形式。 主方向n n 墨，乃是切平面上相应与主曲率的两个切方向，它们可由方程 ( e m f l ) d u 2 + ( 点一g l ) d u d v + ( f n g m ) d v 2 = 0 ( 2 6 ) 给出，该方程的两个根即为两个主曲率。 平均曲率h 是两个主曲率的平均值，即h = ( k l + k z ) 2 。 g a u s 奎曲率k 是两个主曲率的乘积，r p k = k l k ：。 一般地，利用公式( 2 5 ) ，我们还有 g z m f + n e ，l n m ， 1 - 1 = 。k = ；三 2 ( e g e )e g e 利用e u l e r 公式( 2 4 ) ，对法曲率k 。( 缈) 和它的平方分别进行积分，我们有 肚去肛e ) d e , ( 2 7 ) k = 3 h 2 一昙r 万后：( 劝却 ( 2 8 ) ， 其中，缈是任意切向量r 与主方向石之间的夹角。在2 4 3 中，w a r a n a b e 和b e l y a e v 利用公 式( 2 7 ) 和( 2 8 ) 分别定义了离散的平均曲率和g a u s s 曲率。 进一步地，我们给出平均曲率和g a u s s 曲率的几何解释。 首先，设曲面的s 的参数表示为厂= ，( z ，d ，它在每点有一个确定的单位法向量 砌，归尚 ( 2 9 ) 平行移动n 使之起点落在原点，则n 的终点就落在e 3 的单位球面s 2 上。这样就得到一 个映射，如图2 1 6 第二章各种曲率 图2 1g a u s s 映射 g ：s 专s 2 r ( u ，1 ，) i - - - n ( u ，d 称为曲面s 的g a u s s 映射，见图 设上述曲面s 的面积元为 幽= ( 吒o ， a a v _ - 4 e c - f 2 a a v ( 2 1 0 ) 它是曲面s 上由参数”jz ，+ 幽，1 ，专 ，+ 咖所围成的小平行四边形的面积，如图2 2 2 2 曲面上小平行四边形的面积 在g a u s s 映射g 下，g ( ) 的( 定向) 面积d o 为 ( ( n ( u + d u ，v ) - n ( u ，) ) 八( 刀( z ，v + d v ) 一n ( u ，y ) ) ，n ( u ，) ) 兰( i t u 八仇，n ) a z ，a v 利用八= 弛八，有 d o = ( 仇八凡，n ) d u d v = k d a ( 2 11 ) 其中k 是g a u s s 曲率。因此若d 是s 上包含点p 的一个区域，g ( d ) 是d 在g a u s s 映射下的像， a r e 口( g ( d ) ) = ( 。) d o = i k d a d 7 ( 2 1 2 ) 江南大学硕士学位论文 当d 趋向于p 时 l i m 丝a r e 辫a 圳竹 d _ p i d ) ( 2 1 3 ) 上式说明了g a u s s 曲率的几何意义。即通过g a u s s 映射反映的曲面在一点，弯曲程度， 正好是该点的g a u s s 曲率。 对于平均曲率的几何解释，我们作如下的描述。 首先，引进变分的概念，设x ：ucr 2 专r 3 是正则曲面。选一个有界区域dcu 和 一个可微函数h ：万一r ，这里万是区域d 和d 的边界0 1 9 的并，x ( d ) 的由决定的法向 变分是下面给的映射： 缈d x ( 一g ，g ) j 尺3 伊( z ，e f ) = x ( u ，v ) + t h ( u ，v ) n ( u ，d ，( z ， ，) 万，f ( 一占，g ) 对于每一个固定的f ( 一g ，占) ，映射x ：d 一帮，x ( 甜，力= 缈( 材，u f ) 是一个参数曲面， 且 豢：以+ t h n u + 吮，豢= 置+ t h n v + 以 伪， 咖 于是，若用，f ，g 表示x 的第一基本形式系数，则有 f = e + 砌( ( 丘，v ) + ( 五，v ) ) + ，2 h 2 ( 札，n v ) + t 2 吃吃 f = f + 砌( ( 丘，札) + ( e ，m ) ) + ，2 h 2 ( m ，v ) + f 2 饥民 g = g + 砌( ( 丘，玑) + ( 扎，v ) ) + f 2 h 2 ( y ，玑) + f 2 饥风 由 ( 置，2 v v ) - - - e ，( 丘，v ) + ( 以，n ) - - 一2 f ，( k ，v ) = 一g 和平均曲率 h ：一1 e g - 2 f f _ + - g e 2e g f z 得到 e g 一仁y = 五g f 2 2 t h ( e g 一2 f f + g p ) + 尺= ( e r g f 2 x 1 4 t h h ) + r 其中l i m ( r t ) = 0 f 刈 这就说明，若5 充分小，z 是正则的参数曲面。此外，x ( 万) 的面积a ( i ) 是 第二章各种曲率 a ( t ) = l 扛g 一( f ) 2 撕 ，。= 厂 = l 一4 1 4 t h h + 尺e g f 2 幽咖 其中r = r ( e g f 2 ) 。可见，若s 充分小，彳是可微函数，且它在f = 0 的导数为 彳( o ) = 一：2 h h , j e g - f 2 d u d v 从这里，我们可以发现平均曲率实际上是面积的一个变分。 2 2 离散曲面上各种曲率的定义 这一部分我们将重点介绍在几种离散曲面上的任意顶点的离散曲率的定义方法。这 主要是关于三角形网格曲面上任意顶点处的离散法曲率，离散平均曲率，离散g a u s s 曲 率等的定义。对于其他的离散曲面形式，应用上述的定义可以得到类似的结果。 2 2 1 密切抛物面法 古典微分几何中有如下的定义：在与曲面上一点p 之距离为二阶小量的范围内展现 曲面在该点附近的形状的抛物面。设是以p 为顶点且与曲面在该点相切的抛物面如图 2 3 。另h 和d 分别为抛物面上任意点q 到曲面和到p 的距离。若当q p 时，h d 2 - - - ) 0 ， 则称为密切抛物面。 2 3 陷囱上小半行四边形的面积 利用上述的思想，我们可以如下的定义三角形网格曲面上任意顶点处的离散g a u s s 曲率和平均曲率。设v 为三角网格曲面s 上任意顶点，v 为其直接的邻接点，巳= w 为 网格曲面上的边。令 v ) ：为顶点的直接领域的集合， 巧) ：为这些顶点所成三角形的 集合，并且有 f = ( v w ( ) 删。) 9 江南大学硕士学位论文 令旷为s 在顶点处的单位法向量，其中 n v = 罱n v 再黔一幂竭 亿 而吖即为三角形乃”所在的平面的单位法向量，矿为这些法向量的一个加权平均。 而对顶点 ，进行坐标平移，使之成为原点，并且m 把所在的方向规定为轴的正向， 即进行了旋转，规定任意的与轴正交的方向为轴的方向，而定义y = z x 。则密切抛物 面的方程可以如下表示： z = 蕊2 + 劬+ 缈2 ( 2 1 5 ) 系数口，b ，c 可以通过最小二乘法来求解，带入顶点的各个直接邻接点- n ：- 。i 后即可计算。 则顶点处的离散g a u s s 曲率和平均曲率为 k = 4 a o b 2 ，日= a + c( 2 1 6 ) 这部分更为详细的介绍可以参考文献，1 。 2 2 2 圆盘法 本方法利用了公式( 2 3 ) 与( 2 4 ) 来估计离散曲面上任意顶点处的主曲率，从而 可以得到该顶点的离散g a u s s 曲率和平均曲率。 其主要步骤如下：利用公式，经过简单的变形后，我们有 k n = 三( 毛+ k 2 ) 一吉( 白+ 坝c o s 2 e o c o s 2 a + s i n2 0 0s i n2 口) ( 2 1 7 ) 其中皖是任意选定的切方向t o 与主曲率k ，所在的主方向之间的夹角，岱是上述的法 曲率吒所对应的切方向与切方向t o 之间的夹角。 一般地，我们有方程 吒= a - b c o s 2 a + c s i n 2 口 ( 2 1 8 ) 类似与密切抛物面法，我们利用最小二乘法来计算a ，b ，c 。因为三点可确定一个圆周， 利用这个性质，由顶点，和它的两个直接邻接点哆，来确定彳，b ，c ，并且能保证所得到 的为最小即可。当然，这里的( h d 与( ，一，) 的夹角应该以接近万为好。这样，当选择 的圆周数目j | 3 时，即可求得a ，b ，c 的值。这里利用了两个主曲率为极值的性质，即 公式( 2 3 ) 从而，我们有 第二章各种曲率 向一厅万，乞# 厅万，皖= 三一( 丢) ( 2 1 9 ) 这部分更为详细的介绍可以参考文酬2 8 1 ，【矧。 2 2 3g a u s s b o n n e t 公式法 古典微分几何中有如下的g a u s s - b o n n e t 公式【3 l ：设d 是曲面s 上的一块单联通区域， 是分段光滑闭曲线，- 设a , i 是a d 的顶点的外角如图2 4 ，则 脾+ l j j g 凼+ 嘭= 2 z ( 2 - 2 0 ) 2 4 曲面上一点处的密切抛物回 利用上述的公式( 2 2 0 ) ，我们可以如下的定义三角形网格曲面上任意顶点处的离散 g a u s s 曲率。考虑顶点 ，与它的直接邻接点 v i ) ；n ：- 。1 ，令= 么( 哆，e k 川) 。) 为边q = w 与 e i = 而忑之间的夹角。更进一步的，令乃= 么v ，+ 1 ) 。k m ) 栅。为两边所成的外角 如图2 5 。 一 2 5v 点周围的情况 利用空间解析几何的知识，我们有 1 1 ，p 1 = 乃 i - - - 0 i = 0 具体的证明可以参考文酬3 0 1 。 ( 2 2 1 ) 江南大学硕士学位论文 从而，利用上述的g a u s s b o n n e t 公式( 2 2 0 ) ，我们有 m 黝：2 万一艺：2 万一n - i 乃 ( 2 2 2 ) 这其中注意到，对于任意顶点v 处的直接邻接点相连所成的边是u k ) 。甜。直线，从而为 三角网格曲面上的测地线，即有l 吒凼= o o 对于三角形网格曲面上的任意顶点，假设其离散g a u s s 曲率为一常值，我们有 ：绎n-1k ( 2 2 3 )= ! 业( 2 2 3 ) 喜彳 、 其中a 为顶点处的小邻域所成的面积。 相似地，计算三角形网格曲面上任意顶点处的离散平均曲率的公式为 日：鼍! n - 半i 亿2 4 ， 其中l e i i 为q 的长度，而屈= z ( n 7 ，心+ 1 ) 。甜。) 为法向量之间的夹角。 这一部分更详细的介绍可以参考文献m 1 ，里面给出了关于顶点1 ，周围面积的详 细计算。当然，对于离散平均曲率的求法也有详细的介绍，但是过于复杂就不作进一步 说明了。 2 2 4t a u b i n 的方法 令石，五为正则曲面上任意一点p 处的主方向，对于p 点切平面上任意的单位切方 向，我们有 t = 石c o s ( o ) + 互s i n ( 0 ) 其中秒为切方向t 与主方向石之间的夹角。 为了进一步计算的需要，我们可以把公式( 2 4 ) 写成如下的形式： 后，c 丁，= ( 乏 ( 后，乎后，兰， 乏 c 2 2 5 ， 其中，l = c o s ( a ) ，乞= s i n ( 国，k ，( 石) ，k v ( 瓦) 为两个主曲率，石，正为两个正交的主 方向，从而亿，乃) 为一标准正交基。 如果我们加入p 点处的单位法向量到基底伍，五) ，即有三维欧氏空间的标准正交 1 2 第二章各种曲率 基。 ，石，正) 后p c 7 ) = 三 三 后p三巧， 其中 ( 2 2 6 ) 12 n n + t l l l + t 2 1 2 为一任意的向量。特别地，当时刀= 0 即丁为曲面s 在p 点的切向量。 进一步地，我们记为正交向量u l ，u ：，) 的线性组合，即t = u 。弘+ 材：+ z ，玑，一 般不为切向量。从而有 = z ，k p u ( 2 2 7 ) 其中材= ( z ，z ，：，甜，) ，印( d 为一对称矩阵，并且以0 ，印( 石) ，k p ( 五) 为其特征值。 由此，曲面s 上一点p 处的主曲率和主方向可以通过先限制矩阵印( 丁) 到切平面， 再计算一个2 2 矩阵的特征值和特征向量来求得。 其主要的计算步骤如下：首先定义一对称矩阵 m p = 瓦1 黪。( t ) t t 硼 ( 2 2 8 ) 其中 h c o s 毋i n ( 舻( 互互) ( 鬻 ( 2 2 9 ) 从而，有 蛉：字 亿3 。， 其中，石：= ( 互t o y g - - + 3 2 的矩阵，肼，1 2 = m ，2 1 。并且 所了= 互m ，互= 笔署c c o s 3 ( 秒) s i n ( 秒) 卯+ 掣c c 。s ( s i n 3 ( 秒) 硼= 。 胁1 1 = t i m ，互= 笔笋e c 。s 4 ( 秒) 柏+ 箜2 堕ze c o s 2 ( 力s i n 2 ( 乡) d 9 = 言以石) + 昙姒正) 类似的，有，竹孑= 吉后，( 墨) + 吾后，( 正) 。 i、l，一 刀 乞 ，。_ 、，、 、，2 o 0 p 后 江南大学硕士学位论文 为 则 k p ( 7 i ) = 3 肌? 一脚p 2 2 ，k p ( 五) = 3 所孑一胁，1 1 ( 2 3 1 ) 一般地，对于离散曲面上任意一点 ，和它的直接邻接点m 处，我们定义单位切方向 t i = 即为1 ，一m 方向向量在点v 处的切平面 的投影。定义该方向的法曲率为 碱，2 哿 由此，即可得离散化公式 a l = w i k 。( z ) z 巧 ( 2 3 2 ) 其中w i 的规定在参考文献1 1 中。从而，即可计算三角网格曲面上任意一点处的两个主曲 率了。进一步可得离散的g a u s s 曲率和平均曲率。 这一部分更详细的介绍可以参考文献。 2 2 5w a t a n a b e 与b e l y a e v 的方法 该方法充分的利用了公式( 2 7 ) 与( 2 8 ) ，虽然最后的目的是估计三角形网格曲 面上任意一点处的主曲率，但是求解离散的g a u s s 曲率和平均曲率却是其中的中间过程。 令为一光滑曲面，丁为任意顶点尸处的一个切方向，为该点处的单位法向量。由 ( 2 1 节) 可知，法截线，( s ) ( s 为弧长参数) 为通过p 点的一条曲线，并且这条曲线 是由切方向丁与法方向所张成的平面与曲面s 相交成的平面曲线( 法截线) 。令石，正 为点p 处的主方向，岛，k ：为相应的主曲率，吒为法截线厂0 ) 在点尸处方向为的法曲率， 其中缈为切方向丁与主方向石之间的夹角。 去r ”吒( 缈) 却胡，去”硪伊) 却= 吾日2 一三k ( 2 3 3 ) 那么，变形公式( 2 7 ) 与( 2 8 ) 有 对于上式，为了获得平均曲率和g a u s s 曲率值，我们需要确定任意一点处的任意切 方向的法曲率值，根据曲面上任意一点的展开公式，我们有 1 4 第二章各种曲率 ，。) = 厂( 。) + 盯7 ( 。) + i s 2 ，( 。) + = ，( o ) + ( o ) + 要后。+ ( 2 3 4 ) 从而， k 学 ( 2 3 5 ) 考虑三角形网格曲面上的任意顶点，和它的直接邻接点毪，为根据“密切抛物 面法中的公式( 2 1 4 ) 定义的单位法方向，为了计算的方便，我们设1 ，为原点，。与 坐标轴z 轴所在的正方向相同，则可以离散化( 2 3 5 ) 为如下形式 吒臀 亿3 由于s 为弧长参数，所以l 画l s 。 则，我们可以离散化公式( 2 7 ) 与( 2 8 ) 为 2 硝萝砟f ，型地、1 ( 2 3 7 ) l 挑i = 0 砖l 半j q 3 7 2 万c 三日2 一j lk ，霎磁2 ( 旦学) c 2 3 8 ， 从而，即可确定三角形网格曲面上任意顶点处的离散g a u s s 曲率和平均曲率了。 这一部分更详细的介绍可以参考文献乜制。 特别地，我们注意到，这里的两个公式给我们提供了一个思路来求解离散曲面上任 意一点处的离散g a u s s 曲率和平均曲率。关键的就是找到了一种新的离散法曲率的定义 方法。下面，我们给出一种新型的法曲率的定义方法。 2 2 6 离散法曲率的一种新定义 利用公式( 2 3 ) 我们给出了一种新的离散曲面上任意一点处的离散法曲率的定义。 为了说明的方便，我们利用三角形i a i 格曲面给出它的一般公式。 考虑三角形网格曲面上的任意顶点v 和它的直接邻接点“毪。玑为在“密切抛物 面法 中定义的单位法方向，。为点k 处的单位法方向，边巳= k 一1 ，。近似的，我们 有d r = m y ，d n = 以一v ，从而，三角形网格曲面上顶点处的切方向为处的离散法曲 率可以表示为 江南大学硕士学位论文 啪沪立粤塑 像3 9 ) l 一y 川 进一步地，利用“w a t a n a b e 与b e l y a e v 的方法中的两个公式( 2 3 7 ) 和( 2 3 8 ) 即可计算离散的g a u s s 曲率和平均曲率。 当然，除了上述的六种方法之外，还有一些其他的计算网格曲面上任意顶点处的离 散g a u s s 曲率和平均曲率的方法。特别地，在b 3 1 中给出了一些其他的方法的介绍。 一般地，上述的六种方法并不仅仅限于三角形网格曲面，对于一般地离散曲面，它 们也是适用的。 2 3 曲面拟合技术 给定一个参数曲面片x ( u ，此曲面点v 的主曲率和主方向是通过发现如下式的广 义等向量和等值来计算的： 一r 加l x ：旯lv 毛v k i x ( 2 3 9 ) p 。力- 】l 吒k 。x ，j 在上式的右边的矩阵是第一基本形式的矩阵，而左