（一般力学与力学基础专业论文）叠层板状结构流致振动特性研究.pdf

西南交通大学研究生学位论文第1 页 摘要 叠层板状结构的流致振动特性是流固耦合振动研究的一个重要课题。 本文将管道理论引入叠层板状结构的流致振动研究，建立了叠层板状结 构的流致振动模型，用微分求积法对叠层板状结构的运动方程进行数值求解。 研究了系统零流速状态的固有频率和模态。运用特征值分析与响应分析结合 的方法，研究了系统失稳的临界流速与失稳形式。研究了不同参数对系统失 稳阙值的影响。主要包括以下内容。 1 、从叠层板状结构和输流管道两个不同的研究课题，对近年来出现的研 究模型，研究方法，研究成果及尚存在的问题进行了综述： 2 、建立了叠层板状结构的流致振动模型，运用输流管道的哈密顿原理， 考虑各板振动相位的不同，建立了理想不可压缩流体作用下的系统运 动微分方程，对简化后的方程进行了无量纲化处理。引入粘弹性结构 阻尼，推导了粘弹性结构的运动微分方程并进行了无量纲化处理； 3 、将微分求积法引入叠层板状结构运动方程的离散化问题； 4 、研究了叠层板状结构在悬臂支承情况( 非守恒系统) 和两端固定支承 情况( 回转守匾系统) 的自由振动和稳定性问题； 5 、研究了不同参数对系统稳定性的影响。 本文的研究工作，将叠层板状结构与输流管道的振动问题更加紧密地联 系起来，为叠层板状结构的流致振动研究提供了一定的参考。 关键词：振动；稳定性；叠层板；不可压缩流；管道；临界流速；微分求积 法 西南交通大学研究生学位论文第| | 页 a b s t r a c t t h ed y n a m i cb e h a v i o ro f p l a t e - t y p es t r u c t u r ei si m p o r t a n ti nt h ef l u i d s o l i d c o u p l i n g v i b r a t i o n t h i st h e s i si n t r o d u c e s p i p et h e o r yi n t ot h e f l o w - i n d u c e dv i b r a t i n gr e s e a r c ho f p l a t e - t y p es t r u c t u r ea n d t h em e c h a n i c a lm o d e li ss e tt od e s c r i b et h es t r u c t u r e t h e d i f f e r e n t i a l q u a d r a t u r em e t h o di s u s e dt os o l v et h ed i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s t h e s y s t e m sn a t u r a lf r e q u e n c i e sa r es t u d i e dw h e n t h ef l o w s p e e di sz e r o t h ec r i t i c a l v e l o c i t ya n df o r mo fi n s t a b i l i t y a r es t u d i e db yt h em e a n so fe i g e n v a l u ea n d r e s p o n s ea n a l y s i s t h ee f f e c to f d i f f e r e n tp a r a m e t e r so nt h ec r i t i c a lv e l o c i t yi sa l s o a n a l y z e d t h ef o l l o w i n gs e c t i o n sa l ei n c l u d e d ： ( a ) t h es u m m a r yo ft h er e c e n tm o d e l s ，m e t h o d s ，a c h i e v e m e n t s ，a n du n s o l v e d p r o b l e m sa r ed r a w ni nt h ed y n a m i ct o p i co f b o t ht h ep l a t e t y p es t r u c t u r ea n d p i p ec o n v e y i n g f l u i d ( b ) t h ep l a t e t y p ep i p em o d e li se s t a b l i s h e d b e c a u s et h a tt h ed i f f e r e n tp l a t e s h a v ed i f f e r e n tv i b r a t i o n a lp h a s e ，t h em o d e l se q u a t i o ni sd e d u c e db a s e do n h a m i l t o np r i n c i p l e t h ev i s c o e l a s t i cd a m pi si n t r o d u c e da n di t se q u a t i o ni s e s t a b l i s h e d ( c ) t h ed i f f e r e n t i a l q u a d r a t u r e m e t h o di su s e dt od i s c r e t et h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ( d ) t h ef r e ev i b r a t i o na n ds t a b i l i t ya n a l y s i sa r ef o c u s e do nt h ec a n t i l e v e r e dm o d e l a n df i x e dm o d e l ( e ) t h e s t a b i l i t ya n a l y s i si sf o c u s e d 0 nt h ei n f l u e n c eo f d i f f e r e n t p a r a m e t e r s t h i st h e s i sc o n n e c t st h ef l o w - i n d u c e dv i b r a t i o no ft h ep l a t e - t y p es t r u c t u r e w i t ht h ed y n a m i co f p i p e sc o n v e y i n gf l u i d ，a n di sat h e o r e t i c a lr e f e r e n c ef o rt h i s t o p i c k e yw o r d s ：v i b r a t i o n ；s t a b i l i t y ；p l a t e t y p es t r u c t u r e ；i n c o m p r e s s i b l ef l o w ；p i p e ； c r i t i c a lf l o wv e l o c i t y ；d i f f e r e n t i a lq u a d r a t u r em e t h o d 西南交通大学研究生学位论文第1 页 1 1 工程背景 第1 章绪论 流体固体耦合振动是介于结构动力学与流体力学之间的一门交叉学科， 主要研究结构在流体环境中的动力行为以及结构与流体两者之间相互作用。 在现实生活中有很多流固耦合振动的实例。比如高层建筑顶置水箱、贮油罐 的地震响应问题，油罐车、液化气罐车行驶中的随机振动，海底输油管道受 洋流冲击的振动，船舶在水中的振动，桥梁和塔的风振，绳索的风振，机翼 的振动，水轮机和汽轮机叶片的振动，飞机外挂油箱的振动，充液航天器的 振动，心脏和血管的振动，气管壁粘膜的颤动等等【1 _ 6 】，都是流同耦合振动问 题。 叠层板状结构在反应堆结构工程中有重要的应用。在核反应堆中，核燃 料元件是维持核裂变链式反应的源泉和产生核燃料2 3 9 p u 的场所，同时核裂 变能量通过元件包壳以热能的形式传给冷却剂，所以燃料元件是反应堆中最 关键的部件，也是决定反应堆安全、经济和先进与否的重要部件。由于燃料 及燃料元件和组件分别是反应堆中最核心的结构和最重要的部件，工况也最 苛刻，为保证燃料元件的稳定性和完整性，除燃料芯体应满足它的性能要求 外，元件包壳的可靠性还受到包壳外的热工水利条件制约，它们之间彼此配 合才能保证燃料中心温度，包壳表面临界热负荷和包壳蠕变变形量不超过安 全规定的极限值。 燃料元件的形状有棒状、板状、管状、套管状和球状等。它们依次分别 应用在水冷动力堆、试验堆、石墨与改进气冷堆、高通量工程试验堆和高温 气冷堆中。在试验堆中，一般具有高通量的特点，以便达到缩短幅照时间， 扩大堆的试验功能和生产高比度放射性同位索的目的。因此，试验堆的比功 率和燃耗都比较大。材料试验堆的这两项指标是各种试验堆中最高者，所以 试验堆多采用高浓度铀片组型燃料元件。燃料组件是由l o 2 0 片燃料薄板组 成的元件盒，板的厚度是1 3 1 5 m m ，彼此间留有2 m m 间距供作冷却剂流道， 燃料片是夹心饼干式，内芯是金属一金属型( u a l 4 a 1 ) 弥散体燃料，两侧夹 板是纯铝或铝合金( x 8 0 0 1 ) ，用热轧或挤压成型。通常情况下，板状燃料元 件被平行地安装在高速流动的冷却流中，构成平行板叠层结构【丌。 当平行板叠层结构被安装在个刚性矩形管内时，冷却流由于受到管道 西南交通大学研究生学位论文 第2 页 的约束而呈现出管流的特征。为研究方便起见，可以将这种结构近似视为管 道结构。与管道不同的是，薄板所处的流体环境导致了单块板上、下两面存 在着压强差和流速差【8 】o 在这种情况下，流体对单个板乃至整个叠层结构的 振动都具有很强的耦合效应，这种效应使得各板之间也存在着相互影响。由 此看来，要对整个结构的动力特性和稳定性进行分析求解具有一定的难度。 因此，对叠层板状结构的动力特性及稳定性研究具有重要理论价值和实际意 义。 1 2 国内外文献综述 1 2 1 叠屡板状结构研究综述 对于叠层板状模型的流固耦合动力特性分析，| i 人已经做了不少工作。 早先人们研究发现在冷却剂流经流道时，由于板的柔性及板两侧通道的 压强差和流速差，会产生板的横向偏移从而导致失稳和破坏。在这一问题上， 不同的研究者提出了许多不同的方法：m i l l e r 首先用解析的方式研究冷却流 所引起的燃料板的变形，他利用宽梁理论，提出了“临界速度”这一概念 在该速度下，平行燃料板组件中会产生板的破坏1 9 】；j o h a n s s o n 发展了m i l l e r 的模型，并把摩擦因素及流体重分布考虑在内【1 0 】：s m i s s a e r t 做了关于高频 振动的解析及实验的研究 1 1 , 1 2 ；g r o n i n g e r 和k a n e 做了关于高流速下产生 的颤振分析l _ ”j 。这些研究大都采用单块板模型，对流体的处理也较为初步。 近年来，国内研究人员在板状叠层结构流固耦合振动问题上取得了很大 进展。郭长青等采用板状粱的力学模型，对叠层板结构的干模态的固有频率 和振型进行了研究【1 “”j ；采用电磁法的实验手段测试单个矩形板的流致振 动，得出了流速与板的振幅和速度的关系【1 巨1 7 】；采用势流理论导出的流体力 研究了叠层板在流场中的固有频率特性，并计算了其临界流速1 9 】；研究了 二维流道不同支承条件下，矩形板的流致稳定性问题【z 。】。杨翊仁等研究一个 置于水槽中的多跨宽梁，考虑流体的粘性和耦合效应，求出了该模型中水的 附加质量和附加阻尼，并将其推广到叠层板状梁结构中，获得了静水中的固 有频率和振型，并与实验做了比较 2 1 - 2 4 ；研究了静水中叠层板非对称因素对 固有特性的影响，得到了模型模态局部化随非对称参数的变化规律【2 5 吨7 】；研 究了单个板上的简谐非定常流体力，推导出其表达式【柏】；利用假设模态法研 究了p o i s e u u l e 流中刚性矩形管内的板状梁的动力特性和稳定性，给出了流 速对结构固有频率的影响3 0 1 。陈贵清刚- 3 4 首先研究了有不可压缩无粘流体 的弹性矩形管内的简支板状梁，将矩形管的顶板和底板视为与管内简支扳振 幅及相位相同，分别采用了文献h 8 和文献【2 8 】的流体力，得到了发散的临界 西南交通大学研究生学位论文第3 页 流速；随后研究了刚性矩形管中带有松动约束的简支板、悬臂- 弹性支承板以 及简支一弹性支承板，采用了文献【2 8 1 的流体力得到了线性和非线性支承对 发散临界流速的影响；另外对振荡流作用下带有非线性支承的简支板，采用 文献【1 8 1 的流体力，研究了板在参激振动下的共振特性。 最近，在第十三届全国反应堆结构力学会议上，国内研究者们公布了他 们的新成果。李天勇等采用实验手段，测量了板状燃料组件在空气中和静水 中的整体振动特性参数，在流速为4 m s ，6 m s ，8 m s ，l o m s 时的响应参数， 吼及在1 0 2 1 5 r i d s 的流速下的稳定性和耐久性，实验中没有发现燃料板达到 临界流速情况【3 副。闵刚等用锤击法采用普通加速度传感器获得了板状燃料组 件的横向和侧向的干频率陋 。鲁丽采用非线性理论分析了刚性管内有弹性支 承的简支梁的h o p f 分叉问题【3 7 】。 总的看来，在叠层板状结构的干模态下的固有特性以及静水中的固有特 性方面已经研究得相当透彻。在动水中的振动特性方面，对刚性矩形管内单 块板的流致稳定性和非线性振动研究也趋于成熟，但是对于多层板状梁结构 在动水中的流固耦合模型，由于其复杂的几何构造和流体的耦合效应，在理 论和实验上分析起来都比较困难。 1 2 2 输流管道研究综述 输流管道的动力问题也是流固耦合振动研究的一个重要课题。 自上世纪5 0 年代初a s h l e y 和h u v i l a n d 研究横穿阿拉伯输油管线以来， 关于输液管到振动问题的研究取得了惊人的成绩。事实上，早在1 9 世纪8 0 年代，b r i l l o u i n 就已观察到流致管道振动现象。后来，他的学生b o u r r i r e s 从理论与实验上探讨了悬臂输液管的稳定性问题，导出了正确的运动力程， 得出了摆动失效的许多特征，尽管没能得出管道失稳的临界流速值，但可以 认为，b o u r r i e r e s 是第一位正确推导该问题控制微分方程的人。真正具有实 际意义的工作开始于f e o d o s e v ，h o u s n e r 和n i o r d s o n 的研究，他们的研究 仅发现屈曲失稳现象。1 9 6 3 年，g r e g o r y 和p a i d o u s s i s 3 a 系统地进行了理论 与实验分析，指出在足够高的来流速度下，悬臂管道将发生颧振失稳。除 n i o r d s o n p 9 l 和郑哲敏【4 0 】采用壳体模型之外，早期的研究大都采用管梁模型m 4 1 - 4 z ，即视管道为梁，其运动限于l 阶环向模态振动。这期间，管道的梁模 型振动得到了充分讨论。其中，影响较大的有b e n j a m i n 4 11 ，m o v c h a n 4 2 以 及g r e g o r y 和p a i d o u s s i s 3 8 的工作，他们的论文从不同方面促进了这一课题 的发展，至今仍常被作为经典性文章提及f 4 3 1 。 在国内，输流管道的振动问题也受到研究者们的关注，各式各样的管道 西南交通大学研究生学位论文麓旦重 模型不断出现。目前在理想不可压缩流体条件下和线性结构理论分析方面已 经较为成熟c 4 3 4 4 1 ，对非线性响应和稳定性问题的研究也有很大的进展1 4 ”“。 研究表明，采用管梁模型，悬臂管在临界流速下会发生颤振失稳，而两端支 承管只发生屈曲失稳【4 8 】；采用壳模型，任何端部支承都可能发生颤振失稳， 随着流速增大，两端固支输液壳的屈曲失稳总是先于耦合模态的颤振失稳发 生：悬臂输液壳与悬臂输液管梁一样，只会发生颤振失稳即l 。近年来，在输 流管道的非线性振动问题上，提出了一些非线性分析计算方法，研究了各种 输流管道的流致稳定性以及分叉与混沌等非线性行为。 1 3 本文研究内容 反应堆中的叠层板状结构类似于矩形输流管道，本文针对这一结构，借 鉴输流管道对流体的处理方法，研究叠层板状结构流固耦合系统的动力特性 和临界流速问题。本文共分五章。 第一章从叠层扳状结构的工程背景出发，从叠层扳状结构和输流管道两 个不同的研究课题，对近年来出现的研究模型，研究方法，研究成果及尚存 在的问题进行了综述。 第二章建立了叠层板状结构的管道模型，运用输流管道的哈密顿原理， 考虑各板振动相位的不同，建立了理想不可压缩流体作用下的系统运动微分 方程，对简化后的方程进行了无量纲化。引入粘弹性结构阻尼，推导了粘弹 性结构的运动微分方程并进行了无量纲化。 第三章将微分求积法引入叠层板状结构的运动方程离散化问题。 第四章研究了叠层板状结构的自由振动和稳定性问题。首先阐述了边界 条件对管道系统流致稳定性的重要作用，随后研究了悬臂支承情况( 非守恒 系统) 和两端固定支承情况( 回转守恒系统) 的零流速下的固有特性，最后 研究了它们的稳定性问题。 第五章研究了不同参数对系统稳定性的影响。 西南交通大学研究生学位论文第5 页 第2 章叠层板状结构的动力学模型 2 1 叠层板状结构的梁式流固耦合模型 以核反应堆中板状燃料元件为工程背景的叠层板状结构力学模型如图 2 1 所示。不同的研究者依据此模型，从不同的方面结合不同的工况，创建 了形态各异的流固耦合力学模型，并根据各自的模型推导出结构的运动方程， 从而形成多种多样的研究方法。总的看来，此前出现的大多数研究方法都有 个相似之处：采用板状梁来简化每个平行的燃料板，利用梁的横向振动理 论结合流体的影响建立流固耦合振动方程。其中比较有代表性的模型见图 2 2 和图2 3 。 图2 1 模型2 2 ( a ) 为不可压缩理想流体作用下叠层板状梁，平行等间隙的各 板在长度方向上受等间隔支承的约束。文献【1 8 ，19 】采用势流理论导出的流体 力研究了2 2 ( a ) 梁模型在流场中的固有频率特性，并计算了其临界流速。 文献f 1 6 1 7 采用电磁法的实验手段测试图2 2 ( b ) 中单个矩形板的流致振动。 a 一f ”一蔫麟 b 图2 - 2 西南交通大学研究生学位论文第6 页 模型2 3 ( a ) 为一个置于水槽中的等间距支承的多跨宽梁，考虑流体的 粘性和耦合效应，文 2 1 2 21 求出了该模型中水的附加质量和附加阻尼，并将 其推广到叠层板状梁结构2 3 ( b ) 中，获得了结构静水中的固有频率和振型， 并与试验结果做了比较。文f 2 7 】对模型2 3 ( c ) 静水中非对称叠层板结 构的固有特性进行了研究，得到了模型模态局部化随非对称参数的变化规律。 对横截面如2 - 3 ( d ) 所示的刚性矩形管内的双跨梁，考虑流体的粘性，文 2 8 3 0 】 利用假设模态法研究了其动力特性，给出了流速对结构固有频率的影响。 a c 图2 3 2 2 叠层扳状结构的输流管道模型 d 针对动水中叠层板状结构的动力特性问题本文提出了叠层板状输流管 道的力学模型，如图2 - 4 所示。与梁式模型相同的是，将每个燃料板视为只 有横向振动的梁，不同的是，梁与梁之间与侧壁共同构成了类似于管道的流 体环境。 水二蝗三蠹爱水，二毒惹= = 黧篙荔 a 图2 4 潮黛蹦嘲躺鼯 鞫嬲蟪嘲糊 铀酾嘲髂瓣嘏嘣 掣飘 西南交通大学研究生学位论文第7 页 对图2 4 这样一个悬臂管梁模型，做如下假设： 1 、 流体是无旋、无粘性和不可压缩的，只考虑流体质量的影响； 2 、 上、下流道无流体交换； 3 、 上、中、下三层板做粱式横向弯曲变形，在长度方向不可伸长 4 、 结构做微幅振动： 5 、 忽略重力和材料阻尼的影响。 2 3 叠层板状结构的运动方程 2 3 1 运动方程 图2 - 5 三块弹性板厚度分别为，卜t 2 、t 3 ，长度为上，宽度为b 且相互平行、质 量均匀，在长度方向上一端固支，另一端自由，宽度方向两侧由质量和刚度 可忽略不计的薄板连接，三板间隙中充满了水，上、下流道水的流速分别为u ： 和u ，其它参数见图2 5 。 下、中、上三板的y 向位移分别用“。( z ，r ) ，“：( z ，f ) ，蚝( z ，) 表示，下、上两 个间隙中的水的y 向位移分别用u f t ( z ，) ，“，：( = ，r ) 来表示，由于考虑水无粘性 并且不可压缩，那么应有“，l = ( 村l + “2 ) z 和q 2 = ( “2 + “3 ) 2 。下、中、上 三板单位长度的质量分别为m 。，m ：，m ，下、上流道单位长度的水的质量为 亘壹窒夔杰堂塑窒生堂笪迨塞塑j 坠 _ _ _ _ _ 一 m ：l 、m ：2 ，有m _ ：p 。b ( _ f l + u 2 - - t 1 ) ，州：2 = p ，b ( h 2 + “，一2 ) ，p 为流体的 密度。设；：和i ，分别为z 向和y 向的单位向量，则流动速度d ，1 和d ，：为( 1 表示对z 的微分，“”表示对时间的微分) 疗，：邑眇。( 1 一妻“知2 ) 一c i ，】p 己( i ，+ u 甜；，) 口2 ：；：【u 2 ( 1 一i 1 “j 2 2 ) 一e ，2 】+ 弓( 矗，：+ u z “j z ) ( 2 4 ) c s ，q ：为由于扳的弯曲引起的流体在z 的负向的位移，其大小为 c ，l - r 吉“z 出c 矿r 圭略出( 2 - 2 ) 系统的拉格朗1 9 函数是： ：t + 7 、，一_ 一矿，_ ( 2 - 3 ) 式中，t ，k 板的动能和势能：0 ，v ，流体的动能和势能。 正= 丢m i 打? 出+ 圭m ：f i ；出+ 圭m ，l i ；如 砍= 圭e f “? 2 出+ 互1e ：，：f “2 ”如+ 丢e 3 1 3j “；2 出 乃= 丢胁陆1 2 比+ 吉“：酬2 出 由于流体不可压缩_=0(2-4) 自由端的位簧向量五和与出口过流断面垂直的单位向量亍分别为 灵i = 一孑：c ，1 f + 苫y ，i 亍1 = 苕：+ 茗y “； j i 2 t c ，2 ，+ 弓“，2 ， 7 2 = ；：+ ；y u f 2 ，( 2 - 5 ) 上式中，c 川= c s , i = ：，c ，2 f = c s z l u f l l 。“一：；，“删，z l 西南交通大学研究生学位论文第9 页 略，= 剖。屹，= 割。 ( 2 - 6 ) 由输流管道的哈密顿原理，得 d f 2 厶丹+ f 2 6 w d t f 2 所：。【，。( 童。+ u 。i ) 藏；d t f 2 删：u ：( 素：+ u ：t ) 旗：础= o ( 2 7 ) 将式( 2 - 1 ) 到( 2 - 6 ) 代入式( 2 7 ) ，外力虚功w 为零，经过变分整理，可 以得到系统的运动微分方程 m l i i l + e i “ 一t p b a l = 0 2 2 + e 2 ，2 p 一去p 删2 = 0 ，+ 易，3 “ ”一去p 删3 = 0( 2 8 ) 上式中，a 、a ：、a ，分别为 爿t = 一圭( 啊+ “：一”。) ( i t + z ) 一u 。( + 2 - - u ；) ( i ：+ n ；) 一呶：+ 去i ? 一言n ：2 一圭u - ( “i z 1 2 + f i l u ：) + 圭u ；“扣t t - - u l t t 2 n 2 - u ? + 2 u 、c ，一圭 u ? ( “? + “：) 一j 1u 。2 哼3 “：2 一扣2 + ( u 2 - - t t ) ( 小固州砌 爿2 = 一l ( h 】+ “2 一“i ) ( 拼一十d 2 ) 一l ( h 2 + “3 一“2 ) ( 2 + 也) 一【，1 ( 向l + “2 一w 1 ) ( n ：+ ：) 一u 2 ( + u 3 - u o o i 2 + 矗：) + 破i ：一“：i ，+ 言“? 一i 3 f i 。2 + 圭u t ( ”：n z + t ：) 一 吉【，2 ( ”：曲，+ ：“；) + 弓3 u 。”：。一3 _ u ： ；，+ ，? 一u ：一2 u 。e ，。+ 2 u ：e ，： 一圭啊u ( “? + ：) 一1 2 h ：u ；( 甜2 + “；) + u ? t 3 “：2 一”：2 2 ( u ：- u o ( ”? + “：) + 2 ”：“：卜i 1 u 2 2 【3 ；2 - - t 3 2 2 + 2 ( ”3 一 2 ) ( ”! + ；) + 2 “；“：】 西南交通大学研究生学位论文第10 页 4 一( 2 + u 3 - u 2 ) ( 拼：坞) 一叫 ：捣氆) ( n ；州) 鹄n ，+ 三n ：2 一去女，2 + 圭u ：( “：疗，+ 靠：“；) + _ 2 3u ：“：u 2 - 1 u ：“；n ，+ u ；一2 u ：e ，：一三 ：u ；( ”；+ “；) 一去u ； “；2 3 “：2 + 2 ( u ，- u z ) ( “；+ “；) 一2 “：“；( 2 9 ) 对于悬臂输流管道，边界条件为 “l ( o ，) = “2 ( o ，t ) = u 3 ( o ，) = o“：( o ，f ) = u ：( o ，) = ：( o ，r ) = 0 “? ( ，f ) = “：( 工，) = ”；( 工，f ) = 0“_ ( 上，) = “；( 三，f ) = “又三，) = 0 对于两端固支的输流管道，边界条件为 “i ( o ，r ) = “2 ( o ，r ) = 心( 0 ，r ) = o“：( o ，f ) = “：( o ，r ) = “；( o ，r ) = 0 “l ( ，) = ”2 ( l ，) = “3 ( ，t ) = 0“：( ，t ) = “：( ，) = ；( ，f ) = 0 2 3 - 2 运动方程的简化及无量纲化 ( 2 - 1 0 ) ( 2 1 1 ) 虽然在运动方程的推导过程中已经做了取舍，但得到的式( 2 - 8 ) 和式 ( 2 9 ) 仍非常复杂，本文采取了下列简化。 1 、等流速等间距简化 取u l = u 2 = u ，啊= 吃= h ，肌l = m 2 = 州3 = m ，e 1 = e 2 = e 3 = e ， i 。= i ：= i ，= i ，将式( 2 9 ) 简化，舍去高阶小项和交叉项后，得到 m “。+ e l u l 4 ) + 去p 。b ( 。+ “：) + 2 m ( i + d ；) + u 2 ( “? + “；) + 2 u2 】= o 聊舀：+ e l u ；4 ) + 三p 。研 ( 玩+ 2 西2 + 也) + 2 u h ( 矗：+ 2 呓+ ) + u 2 。? + 2 “；+ “；) = o ， l 舀，+ e 缸5 4 ) + 丢n b 【 ( 西2 + 西3 ) + 2 u h ( 舀；+ 西；) + 向u 2 扣：+ 材；) 一2 u2 】= o ( 2 1 2 ) 西南交通大学研究生学位论文第11 页 令m ，= p ，b h ，引入无量纲变量 q = ；吐2 睾；q = 睾；f = 主；r = ( 里m ) o5 可t ； “= 百m y ) 05 u l ；a = 鲁；= i m f 。( 2 - 1 3 ) 式( 2 - 1 2 ) 写成如下无量纲形式 等+ 秒噻争篆，+ 鲁觑鲁+ 等k 1 以0 甏2 0 4 ：+ 等，哇硎2 = 。 挚+ 秒甜毫+ 2 鲁+ 碧，+ 等+ 丢磐+ 2 警+ 等， 中学+ z 挚+ 等 挚毛脾铙+ 卺，+ 垫o r 2 + i 1 咯+ 挚，+ ；“2 謦+ 倒2 = 。 ( 2 - 1 4 ) 2 、等流速不等间距简化 取抚h ：，其它条件同第一种情况，将式( 2 9 ) 简化，得到 m i , + e 觑：+ 去一研魄( 甜。+ “：) + 2 u h ，( 打：+ ) + h i ( ，2 ? + “；) + 2 u 2 】= o 川i e l u ：4 ) + 1 4 n 研 l ( 靠l + 矗2 ) + 2 ( “2 + 女3 ) + 2 u h l ( i ：+ n ：) + 2 u h 2 ( i ：+ 呓) + h t u2 ( 村? + “；) + h 2 u2 ( “：+ “；) 】= 0 肌i i 3 + e i u ；4 ) + 1 p , b h 2 ( n 2 + 正3 ) + 2 u h 2 ( ：+ n ；) + 2 【，2 ( “；+ “；) 一2 u 2 】= 。 f 2 1 5 ) 令m l2 n b h i ；卅，22 n 口 2 ；引入变量“l = ( 百m f l ) ”u l ；“2 = m 刖s 2 ) ”，u l ： 口2 鲁：口：= 专；，= 毒= 鲁：届= 等；岛= 等，无量纲化后得到 雾+ 互1 h - o5 叶丽0 2 0 4 + 卺，+ 等+ 知罄+ 堕c 3 r 2 ，7 1 2 守+ 挚，+ 知2 = 。 西南交通大学研究生学位论文第1 至至 等+ 扩“。酝+ 篆，+ 矽姒鲁+ + 等十去届磐+ 等， + 三埚謦+ 等岬12 铬+ 等，+ 和售+ 万0 2 ( 0 3 ，= 。 等t 叱皂+ 面0 2 c 0 3 ，+ 鲁+ 扣蟹+ 鲁，+ p 12 粤+ 挚， 一壬喁= o( 2 1 6 ) 3 、不等流速等间距简化 取u u ，其它条件同第一种情况，将式( 2 9 ) 简化，得到 m i i l + 肌f f 4 + p l 口 而( 打l + i i 2 ) + 2 u l 厅( 打：+ 西；) + h u i2 ( “? + “；) + 2 u t 2 = 0 埘甜2 + e u ：4 + p 1 占【 ( 订i + 2 打2 + i i 3 ) + 2 u 1 ( 五：+ 打：) + 2 u2 ( 打：+ 矗；) + h u l2 ( “? + “；) + h u22 ( “；+ “；) 一u ? + u ；】= 0 r 玎西3 + e 亿；4 + i l p l b h ( f i 2 + i i 3 ) + 2 u 2 矗( n ：+ n ；) + h u 2 。( “：+ h ；) 一2 u 2 2 】= 0 ( 2 1 7 ) 引入变量“，= m 刖y ) 。5 u 上；“：i 百m y ) o5 u ：e ； = 鲁， 无量纲化后得到 等v 1o 5 q 丽o z c q + 篆，+ 兽弓磅+ 叠o r 2 ，7 1 。2 窜+ 等，哇斫= 。 等+ ：l _ r o s ( 0 2 e 0 ，1 + 面0 2 l 0 2 ，+ 州篆+ 蓦，+ 等丢烈挚+ z 等 + 等_ 1 订謦+ 等，+ 缸c 挚+ 挚，一圭乖扣，2 = 。 等+ 秒砒毪+ 麓，+ 鲁7 1 霄0 z c 0 2 + 一0 铲2 0 ) 3 _ 1 ，2 。2 、0 矿2 + 挚， 一；新“2 ：o ( 2 - 1 8 )1 西南交通大学研究生学位论文第1 3 页 2 4 粘弹性叠层板状结构的运动方程 考虑板为粘弹性材料，引入粘弹性系数玎，由粘弹性管道的挠度微分关系 式c 5 0 】 邶+ 叩争窘= m ( 2 - 1 9 ) 得到粘弹性叠层板状结构的运动微分方程为( 等流速、等间距) 聊甜+ l l e l f 玎4 ) + e m 4 ) + 去尸，研厅( 拼。+ 靠：) + 2 咖( 西f + 打：) 十 u 2 。i + “：) + 2 u 2 】= o 州甜：+ 椰三4 ) + 斛+ i l n 取i i 。+ 2 i i 2 + 拼，) + 2 叫叫+ 2 + ) + u 2 ( “? + 2 “：+ “；) 】_ o 肌“3 + 删r 1 + e 胁；4 1 + i 1p b i b ( u 2 + 女3 ) + 2 沏( ；+ ) + h u 2 ( “；+ “；) 一2 u 2 】= o ( 2 - 2 0 ) 引入无量纲变量q = ；吐= 睾：鸭= 导；f = 兰；r = ( 詈) 05 古 = 等) ：暑；口= 鲁：= 等。式( 2 2 0 ) 写成无量纲 等+ 杂t 谚+ 嚣，+ 等+ j 砖+ 等，7 12 窘+ 可0 2 0 4 ，毛甜= 。 等+ 器+ “毫+ ：卺+ 象，+ 等+ ；谗+ z 等+ 等， + 三“2 彰+ z 挚+ 擎脚 + 鲁哇矿5 锈+ 象，+ + i 1 肾_ 0 2 0 吐+ ，+ 扣譬+ ， 一!础2=o(2-21)2 汜 一肼为吲喊 西南交通大学研究生学位论文第1 4 页 第3 章叠层板状结构运动方程的微分求积法 3 1 微分求积法概述 微分求积法是一种求解偏微分方程( 组) 的数值方法，它可以直接给出解 函数在某些点处的值。这种方法在工程计算中的有效性已经被人们认可，在 科学研究领域也得到了大力推广。早先人们将微分求积法运用于结构的静力 计算，随后发现该方法在处理非线性问题上非常方便，近年来研究者将其用 来研究结构的动力稳定性和非线性振动问题【5 ”。实际上，微分求积法就是通 过在求解域内的离散化，将偏微分方程直接转化为代数方程。研究表明微 分求积法有如下的优点：计算量较少，精度较高，易在计算机上实旌。只要 网点选用得当，能用较少的计算量给出满足工程要求的解。 微分求积法把函数在给定网点处的导数值近似用域上全部网点处函数值 的加权和表示。考虑可微的一维函数f ( ) ，有 卫 l 。( ，( 毒) ，= ：露i ，( 毒，) ( f = 1 , 2 ，n )( 3 1 ) 式中是线性微分算子，女是阶数，是域内的网点总数，a ：是相应的 权系数，掌，是网点的坐标值。方程( 3 - 1 ) 的精度取决于网点数目和权系数。 根据s u 和r i c h a r d s 的做法【5 2 1 ，有 爿= 兀( 毒) 丌( 善，) ( 喜一旬) ( f ，j = 1 , 2 ，n ；j f ) ( 3 2 ) 其中 n ( 喜) = n ( 善一彘) ，兀( 掌，) = 兀( 掌，一氧) ( 3 3 ) t = 1 t i l r = 1 女j 高阶的权系数可以采用下列递推关系确定 以一= r ( 4 ”码“一码”( 喜一每) ) ( f ，j = 1 , 2 ，n ；j i ) ( 3 - 4 ) 对角项为 西南交通大学研究生学位论文第15 页 = 一掣 ( f = 1 , 2 ，) ( 3 - 5 ) k = l l t ， 网点的确定可采用两种方式，一是均匀网点，二是非均匀网点，边界点 都采用占邻接处理，j 为小量，一般取1 0 - 3 1 0 一。这两种网点的布置可表示 为 善l = o ，孝2 = 万，知一l = 1 一占，善= 1 ，毒= ( i 一1 ) ( n 一3 ) ( i = 3 , 4 ，n 一2 ) 点- o ，考2 = 蜡一= l 屯知2 1 ，亭，= j 1 ( 1 - c o s 葛硼( f 黾4 咽 ( 3 6 ) 当确定了网点后，就可以根据公式( 3 - 1 ) 用域上全部网点处函数值的加权 和来代替给定网点处的导数值，从而将偏微分方程( 组) 化为代数方程( 组) ， 省去了求解偏微分方程的诸多不便。 3 2 微分求积法在输流管道动力分析中的应用 在输流管道动力分析问题上，随着各类具体物理模型的难度与广度增大， 种种分析计算方法相继被引入与探讨。有限元方法的使用使得所研究的输液 管模型更有一般性。传递矩阵法对任意形状的平面曲管问题的求解非常有效 的。杂交元法可方便地处理厚度不连续的简支输流壳、环向加劲固定端壳等 结构模型，对分析由内或外部流场引起的随机压力场作用下的响应问题极为 重要。当流速逐渐增加时，采用结构阻抗法可连续求出管道位移响应，从而 从理论上描述稳定性的转化过程。方法的优越性是与所研究的问题的特点密 切相联的。 由于输流管道非线性动力特性以及复杂边界研究的进一步深入，研究者 们发现微分求积法在处理初值边值问题上简单有效，运用灵活。倪樵等1 5 3 , 5 4 1 首先将微分求积法推广到求解输流管道的临界流速，研究了一个具有弹性支 承的直弹性管和半圆曲弹性管，用微分求积法得到了它们的临界流速和失稳 特性；随后倪樵【5 5 , 5 6 1 又对k e l v i n 型粘弹性输流管道的临界流速应用了微分求 积法，对带有非线性约束粘弹性输液管的动力特性分析。本文借鉴了文献1 5 3 】 的研究成果，将微分求积法引入了叠层板状输流管道的动力求解。 西南交通大学研究生学位论文第1 6 页 3 3 用微分求积法将叠层板状结构离散化 对等间距等流速简化的无量纲式( 2 4 4 ) ，不考虑常数项的影响，采用微 分求积法将其离散化，得到离散后的运动方程为 4 ：4 q ( ，f ) + 卢“5 ”4 【而( 乞，f ) + 西2 ( 一，f ) 】+ 西，( 幺，f ) + 去卢【西( f ，f ) j = l | = l + 西：( f ；，f ) 1 + j 1 “2 舻她( f ，f ) + 吐，f ) 1 _ 0 。 j 2 i 硝屿( f ，f ) + 去”“硝【画( f ，力+ 2 西2 ( ，f ) + 如( f ，f ) 】+ 趣( f ，f ) + j - l j = i j 所酋( ，r ) + 2 趣( ，f ) + 趣( ，r ) + i l , 1 2 善巧2 晒( f ，) + 2 毡( f ，r ) + q ( f ，r ) 】= o 4 踟，嘭，f ) + 寺“4 辨西：k ，f ) + 奶( f ，f ) 】+ g b 3 ( f ，f ) + 寺所亩：( f ，f ) = l i = l 1 + 6 3 3 ( 乒，r ) 】+ “2 c o ：( f ，f ) + 0 9 3 ( f ，f ) _ 0 。 = l i = 3 , 4 一3 ( 3 7 ) 对于悬臂支承模型，边界条件为 c o l ( o ，r ) = 0 9 2 ( 0 ，r ) = 0 2 , 3 ( 0 ，f ) = 0 彳男q ( 旬，f ) = a ：7 0 , ：( f ，r ) = 一男铀( 乞，r ) = 0 j = tj = 1，= 、 一艘u q ( 乞，r ) = 爿艘1 , j 棚：( 乞，r ) = 4 艘u q ( f ，f ) = 0 j = lj = li = 1 爿鼢q ( f ，f ) = a 。( 3 ) m ：( f ，r ) = 4 f 3 ) 鸭( f ，r ) = 0 ( 3 8 ) 1 = 1= 1= t 对于两端固定支承模型，边界条件为 吼( o ，f ) = 珊2 ( 0 ，f ) = c 0 3 ( 0 ，f ) = 0 夥q ( 乞，r ) = 爿夥q ( 乞，f ) = 一夥峨( ，r ) = 0 - lj = lj z l q ( 1 ，f ) = 2 ( 1 ，f ) = q ( 1 ，f ) = 0 4 船q ( 六，f ) = 爿嬲吐( 旬，r ) = 爿学q ( 乞，r ) = 0 ( 3 9 ) 西南交通大学研究生学位论文第1 7 页 3 4 消除边界条件与降阶 根据边界条件的不同，分别将( 3 - 8 ) 、( 3 - 9 ) 与( 3 7 ) 合并，得到如下 统一的矩阵形式 朋】 面) + 【g 】f 面 + k 】 = 0( 3 1 0 ) 其中 岛 = ： 纨) 7 ； r = 翰，i q ，2q ，l 旺1 妈1 畔。吐，l 吗皑j 鸭、2q 、_ l 吗 哟) 7 = h 30 4 ，4 0 4 肛2 皑，3q ，。呜加20 6 ，0 4 4 0 4 肛2 ； ( 3 一”) 吼) 为边界上的位移向量， ) 为非边界上的位移向量，将式( 3 一i 0 ) 按照边界上的量和非边界上的量分解，可以写为下面这种块矩阵的形式 。0 。艺， | 意沿+ 。曼，。，1 j u 面啪j u l + 旺乏j 荟：鬻2 泞= 。c 3 m ， 下标b 表示边界上的量，d 表示非边界上的量。将( 3 - i 2 ) 中的边界条件消 除后，得到 【施】 峨) + g ：】 也) + 【勋 吼) = 0( 3 - 1 3 ) 其中 【m z 】- m 。】 【】_ g 卜 g d b 】 吒。一 丘。 k z 】_ k 卜【托，】 足。】- 1 【k 。】( 3 - 1 4 ) 对含有陀螺项的二次特征值问题，引入状态向量 研= 奶) 7 i 钆) 7 ) 7 ， 式( 3 1 4 ) 可以写成 【 ，】 驴 + 【g y 】 妒 = o( 3 - 1