（计算数学专业论文）发展型反应扩散方程积分形式的流量重构算法.pdf

中国【e 航人学硕士学位论文 摘要 数值模拟流体流动时，常常需要同时求解两个未知函数，并且往往是一个标 量函数、一个向量函数，这类问题通常采用混合有限元方法处理。混合有限元方 法的理论与应用已经有比较系统的研究，并获得了丰硕的成果。混合有限元方法 的突出优点是满足局部守恒性质，其缺点是必须处理源于鞍点方程的、系数矩阵 非对称正定的线性方程组( 通常的数值代数( 例如共轭梯度法) 方法不易处理) ， 此外，混合有限元方法计算量较大。本文以一维发展型反应扩散方程为模型，系 统研究发展型问题积分形式的流量重构算法。我们将分别研究半离散和全离散的 计算格式。在两种计算格式中，空间变量均采用有限元方法逼近，在半离散格式 中时间变量不离散，在全离散计算格式中，时间变量采用有限差分方法逼近。本 文算法分别计算逼近压力以和逼近流量。首先，采用标准的g a l e r k i n 有限元 格式求得逼近压力p h ；然后，在每一个空间剖分区域上，直接构造一个极其简 单的逼近流量的局部计算公式，直接得到精确流量u 的有效逼近m 。此流量重构 算法不仅有效地克服了通常混合有限元方法的上述缺点，大大节省了计算工作 量，而且保持了混合有限元方法满足局部守恒性质的优越性。本文严格分析了计 算格式的收敛性，数值计算结果显示了该算法的优越性。 关键词有限元方法，流量重构算法，局部守恒性，收敛性，有限差分方法 中国民航大学硕士学位论文 a b s t r a c t n u m e r i c a ls i m u l a t i o no ff l u i df l o wu s u a l l yn e e d su st os o l v et w ou n k n o w n f u n c t i o n sa tt h es a m et i m e ，o n ei sas c a l a rf u n c t i o n ，a n dt h eo t h e ri sav e c t o rf u n c t i o n m i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o d sa r eo f t e nu s e dt od e a lw i t hs u c hp r o b l e m s t h e o r ya n d a p p l i c a t i o no fm i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o d sh a v eb e e ns t u d i e ds y s t e m a t i c a l l ya n d g r e a ts u c c e s s e sh a v eb e e ns c o r e d t h e i ro u t s t a n d i n gs t r o n gp o i n ti sp o s s e s s i n gl o c a l c o n s e r v a t i o n b u tt h e i rs h o r t c o m i n g sa r et h a to n eh a st of a c es o l v i n ga ni n d e f i n i t e s y m m e t r i cs y s t e mr e s u l t i n gf r o mt h es a d d l ep o i n tf o r m u l a t i o n ，a n dt h e yn e e dl o t so f c o m p u t i n gw o r k i nt h i st h e s i s ，t a k i n go n ed i m e n s i o ne v o l u t i o nr e a c t i o nd i f f u s i o n e q u a t i o na s am o d e l ，w es y s t e m a t i c a l l y s t u d yt h ef l u xr e c o v e r ym e t h o d st a k i n g i n t e g r a lf o r mf o re v o l u t i o np r o b l e m s t h es e m i - d i s c r e t ea n dt o t a ld i s c r e t es c h e m e s w i l lb ep r o v i d e dr e s p e c t i v e l y w ea l w a y su s ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d st oa p p r o x i m a t e t h es p a c ev a r i a b l ei nb o t ho fs c h e m e s t h et i m ev a r i a b l ek e e p sc o n t i n u o u si nt h e s e m i d i s c r e t es c h e m e ，b u tw eu s ef i n i t ed i f f e r e n c em e t h o dt oa p p r o x i m a t et h et i m e v a r i a b l ei nt h et o t a ld i s c r e t es c h e m e a c c o r d i n gt ot h es c h e m e si nt h i s p a p e r , t h e a p p r o x i m a t ep r e s s u r ep i a n dt h ea p p r o x i m a t ef l u x u k a r ec a l c u l a t e db yt w os e p a r a t e s t e p s f i r s t l yt h ea p p r o x i m a t ep r e s s u r e 仇i sg o tb yg a l e r k i nf i n i t ee l e m e n tm e t h o d ； t h e nt h ea p p r o x i m a t ef l u x u h t ot h ee x a c tf l u xui so b t a i n e db yas i m p l eb u t p h y s i c a l l yi n t u i t i v ef o r m u l ao v e re a c hf i n i t ee l e m e n t t h e s em e t h o d sn o to n l y e f f e c t i v e l yo v e r c o m et h es h o r t c o m i n g so fm i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o d sa n ds a v el o t s o fc o m p u t i n gw o r k , b u ta l s om a i n t a i nl o c a lc o n s e r v a t i o np r o p e r t ya tt h ee l e m e n tl e v e l t h ec o n v e r g e n c e so fa l ls c h e m e sh a v eb e e na n a l y z e ds t r i c t l y n u m e r i c a lr e s u l t ss h o w a d v a n t a g e so ft h em e t h o d si nt h i sp a p e r k e yw o r d s ：f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，f l u xr e c o v e r ym e t h o d ，l o c a lc o n s e r v a t i o np r o p e r t y , c o n v e r g e n c e ，f i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d 中国民航大学硕i j 学位论文 中国民航大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所 知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果， 也不包含为获得中国民航大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 研究生签名：逊日 中国民航大学学位论文使用授权声明 中国民航大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的复印件 和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和纸质论文的内 容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全 部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权中国民航大学研究生部办理。 研究生签名：呈哑导师签名： 期：堡翌! 笙：翌 中国民航大学硕士学位论文 第一章绪论 有限元方法是数值求解偏微分方程的基本方法之一，有限元方法最突出的优 点是能够容易地处理求解复杂区域上的问题，这也正是在过去的几十年中，有限 元方法在弹性力学，流体力学以及大量的工程问题的计算中获得极大成功的主要 原因之一。它的数值分析理论已相当完善。众多的文献资料报告了有限元方法的 研究成果。例如，c i a r l e t 1 1 总结了椭圆型问题的有限元解法，t h o m e e l 2 1 总结了抛 物型问题的有限元解法，而g i r a u l t l 3 1 ，c h u n 9 1 4 1 ，t e m 柚【5 】等则阐述了流体动力学 中的有限元方法。 在用有限元方法数值模拟流体流动时，常常需要同时求解两个未知函数，而 且常常同时求一个标量、一个向量，例如如下一阶抛物型边界值问题即为此类问 题的一个典型代表。 _ a p ( x _ , t ) 一兰( p ) 掣) ，o ，f ) ，z ( 口，6 ) ，t e ( o ，r 】， 砸。，疗篡，、三丁1 ( 1 1 ) p ( 口，f ) = p ( b ，f ) 一0 ，te ( o ，r 】， 卜“7 p ( x ，0 ) = p o o ) ，石( 口，6 ) 其中，户一声o ) 是一恒正函数，且卢日1 ( 口，b ) ，f e c ( o , t ；l 2 ( a ，6 ) ) 。 引进流量函数“。一卢望，则问题( 1 1 ) 可以等价地表示为如下阶偏微分方 d 程组 a p 弓( x 厂, t ) + i o u = ，o ，f ) ，工。，6 ) ，f ( o ，z 】， “+ 卢罢一o 工( 口，6 ) ，f 【o ，r l ， ( 1 2 ) d x p ( a ，t ) 一p ( b ，f ) 一o f ( 0 ，z 】， p ( x ，o ) = p o o ) ，z ( 口，6 ) 问题( 1 2 ) 可以解释为忽略重力作用的情况下，不可压缩单向流体在介质中流动的 数学模型。( 1 2 ) 中卢是介质浸透率与流体粘性系数之比，其值决定于介质与流体 的物理属性，未知函数p 可解释为压力，而未知流量函数“= 一卢( 劫缸) 可解释 为d a r c y 流速。在实际应用中，数值求解问题( 1 2 ) 往往不仅仅限于计算压力p 的 逼近解阢，更重要的是寻求流量u 的逼近解u 。众所周知，标准的g a l e r k i n 有 限元方法产生的线性方程组的系数矩阵是对称正定的，因而是易于求解的，但是 它不能自动得到流量的有效逼近。这类问题常常用混合有限元方法处理，基于( 1 2 ) 的混合有限元方法不仅给出精确的逼近流量，而且逼近流量满足局部守恒性，这 是各种混合有限元方法的主要优势。也正是由于这个原因，混合有限元方法的理 论与应用研究一直是有限元方法中的重要研究方向之_ 1 6 - 9 。另一方面，这类问 中国民航大学硕l ：学位论文 题也可以采用混合有限体积方法处理1 9 14 。，混合有限体积方法同样具有混合有限 元方法的上述优越性( 事实上，局部守恒性本来就是有限体积方法的出发点! ) 。 但是各种混合有限元方法和混合有限体积方法有一个共同的缺陷，产生的线性方 程组的系数矩阵是非对称正定的，因而通常的数值代数( 例如共轭梯度法) 方法 不易处理，另外，由于同时求解两个未知函数，混合有限元方法和混合有限体积 方法计算量都较大。 为了克服混合有限元与混合有限体积方法的上述缺陷，自然提出非常有实际 价值的这样一个问题：可否分别计算逼近压力和逼近流量? 也就是说，首先通过 对问题( 1 1 ) 采用标准的协调或非协调g a l e r k i n 有限元方法，得到压力逼近解p ， 其次在每一个有限元单元上，构造简单明了的显式公式，直接计算精确流量u 的 逼近解比。，并且逼近流量是局部守恒的，从而无需求解任何大型线性方程组。换 言之，这种想法如果得以实现，新方法将保留混合有限元方法或混合有限体积方 法的优越性，但有效地克服了它们的局限性，这种方法就是所谓流量重构算法。 美籍华人s o h s i a n gc h o u 和s h e n g r o n gt a n g 教授首次提出了一种满足局部 守恒性的流量重构算法【1 5 6 1 ，其基本思想是利用获得的逼近压力，基于局部守恒 性直接构造逼近流量局部计算公式的主要部分，在此基础上通过加局部修正项使 逼近流量在相邻剖分单元公共边法分量方向上连续。何松年教授对一维椭圆型问 题提出一种所谓积分形式的流量重构算法旧，他采用直接模拟通过有限单元边 界的流量的思想构造逼近流量的局部计算公式，其基本思想更为自然、简洁与明 快，更容易为工程技术人员所接受，其理论分析也更为方便。李良则以二维椭圆 型问题为例，将何松年积分形式的流量重构算法的理论分析方法和技巧推广到高 维椭圆型问题【删。 显然实际问题多数是与时间有关的，因此把积分形式的流量重构算法推广到 发展型方程是有理论意义和实际应用价值的。本文旨在系统研究发展型反应扩散 方程积分形式的流量重构算法。我们将以一维发展型反应扩散方程( 1 1 ) 为例，系 统研究发展型问题积分形式的流量重构算法，分别计算逼近压力玩和逼近流量 。首先，采用标准的g a l e r k i n 有限元格式求得逼近压力以；然后，在每一个 空间剖分区域上，直接构造一个极其简单的逼近流量的局部计算公式，直接得到 精确流量u 的有效逼近“。同时，分别给出半离散和全离散的计算格式。在两种 计算格式中，空间变量均采用有限元方法逼近，在半离散格式中时间变量不离散， 在全离散计算格式中，时间变量采用有限差分方法逼近。本文证明了逼近流量的 局部守恒性以及在空间各剖分节点上的连续性，严格证明了所提出的算法的收敛 性，给出了逼近流量的严格的误差估计。此外，本文还给出了大量的数值模拟试 验结果，这些数值计算结果证明了算法的有效性。本文的理论分析方法和技巧可 2 ! 型垦堕奎兰婴兰兰垡堡茎 一 以比较容易地推广到高维问题，事实上，本文给出了发展型l t 根基积分形式流量重 构算法分析的一般性框架。 本文中r 表示q 上平方可积函数空间，我们将用j | f f q 及( ，) 口分别表示 h i l b e r t 空间r ( q ) 的通常范数与内积，h7 ( q ) 及h ；( q ) 表示经典s o b o l e v 空间， 其范数与半范数分别表示为i ，q 及i l 啦，并且当q = 0 ，6 ) 时省略记号q 。此外， 本文中形如f ( x ，t ) 的符号可省略记为厂o ) 或者，形如 t ) 的符号可省略记为 o ) 或者五，形如群o ) 的符号可省略记为芹，形如f 7 0 ) 的符号可省略记为 f 。 最后我们引入一些记号【1 9 1 ： c ( 0 ，t ；x ) 表示映射族p o ) ：( o ，t ) _ x ，其中任- v q ) 关于t e ( o ，t ) 按空间 x 的度量是连续的。 r ( o ，r ；x ) 表示映射族p o ) ：( o ，t ) - - , x ，其中任- v ( t ) 关于f ( o ，t ) 按空间 x 的度量是平方可积的。 3 中国民航火学硕士学位论文 第二章半离散积分形式的流量重构算法及其误差分析 2 1 半离散算法的基本思想 在这一节，我们的主要任务是提出构造半离散积分形式的流量重构算法的基 本思想。 下面我们考虑原始问题( 1 1 ) 的弱形式： 求p o ) ：【0 , t 】一硪( 口，b ) ，使得 忙劫+ 口 砌毒( 厂，g ) ，v q 碰 ) ， ( 2 1 ) i p o ，o ) 一p 0 0 ) 其中牟o t ，g ) = 广望o t 啦，口( p ，留) = f 卢望o x 堕d x 出，( 厂，留) = f 向出。 当t 固定时，给定区间 ，b ) 的一个分割a - x o 五 毛4 - - b ，令 h 一】里蟹“一鼍4 ) ，昵表示通常相应于节点墨的形状函数，即够是连续的分段线 性函数且满足够瓴) 一晚，这里， 氏a 忙麓驰川加又记 v 2i s p a n 够。，仍，纸以) ，取曙作为p 的逼近空间，则求解( 2 1 ) 的标准半离散 g a l e r k i n 有限元格式为：求映射见o ) ：【o ，t 】_ 嵋，使得 j 謦，吼) 4 - 口慨w 脚，哦 ( 2 2 ) l 见( 0 ) 一钟 其中硝昭是函数p o o ) 的某种近似。 由于 鲲o ) 器是空间曙的一个基底，所以问题( 2 2 ) 又可以表述为： 求函数表达式 以o ，f ) 一呸o ) 够o ) ( 2 3 ) 即确定其中系数 q o ) ) ：，使得 4 中国民航大学硕士学位论文 j 蓦掣( 哪) + 删= ( ，州小垅扩1 ( 2 4 ) 【a ( o ) = ，i 一1 ，2 ，刀一1 其中为硝( 工) 。荟够o ) 的系数。 可以看出，( 2 4 ) 是以 q o ) = 为未知函数的一个一阶常微分方程组。由于这 里时间变量f 仍然是一个连续变量，所以说( 2 4 ) 是问题( 2 1 ) 的一个半离散近似。 m ；( ，l f ) 。一撕1 嘞一( 够，) ， k 一( b l l 。l , k q 一口( 够，妒a 口o ) - ( q o ) ，口：o ) ，一。( f ) ) r ， f 。( 五，厶，4 ) r ，五- ( r ，魄) ， 厂一( ，吃，d ) r 其中m 是一个g r a m 矩阵，称为“质量矩阵 ，它是非奇异的，故m 1 存在，利 用上述记号，半离散问题( 2 4 ) 又可以写成 f 丁d a ( t ) + m 心= m 。即【呱 ( 2 5 ) i 口( 0 ) 一厂 由常微分理论可知，初值问题( 2 5 ) 对于任意f 和，存在唯一的解口) ，其中 口p ) , , e - u x r + e - m - x f oe m - k f m 1 ，p 矽f ，从而半离散问题( 2 2 ) 存在唯一解 见 ，f ) 。 。 下面对半离散问题( 2 2 ) 中初值硝的选法作一下说明。仇。七r 。o 通常有以下几 种选取方法【1 9 1 ： 1 取硝为p o 在砰上的r 一正交投影，即令z - & p o ，它由下式唯一确定 ( p o ，屹) 一儡p o ，) ，h 曰。 2 取硝为p o 按照区间( 口，6 ) 分割节点的分段线性插值函数，则显然 中国民航人学硕士学位论乏 钟曙，记作e , p o 曙。 3 取片为p o 在曙中的椭圆投影，即令z ；层p o ，它由下式唯一确定 4 ( p o ，v h ) = 口( f ：p o ，屹) ，v p ? 。 由上面所述方法选取的近似初值以0 皆满足【1 9 1 i i ps c h 2 酬l ：，l l e 。- e z l l 。s 劬刎i ：。 ( 2 6 ) 现在，我们转向讨论逼近流量计算格式构造的基本思想。我们取k 作为流量 的逼近空间，其中圪- s p a n p o ，劬，仍，纸书 。假设已经通过求解格式( 2 2 ) 得到逼近压力p h ，来考虑如何构造逼近流量的局部计算公式。首先确定在 空间区域各剖分节点上函数值的计算公式。 由( 1 1 ) 的两边同乘以仍并在区间【墨4 ，鼍】上分部积分可得 口“力一一瓴) 望笋一一j r x t 4 侈望o x 掌d x d x t _ t d r ,出一- 1 詈识出+ j r ：q - 1 ，够出， ( 2 7 ) 戤 - ，i lm 若在区间k ，毛+ 。】上分部积分又可得 “ ，r ) - 一声 ) 望警坐一r “望8 x 塑d x 出+ r “詈够出一c “厂仍出( 2 8 ) 由于比o ，t ) 的连续性，自然( 2 7 ) ，( 2 8 ) 右端的值是相同的。这表明( 2 7 ) 或( 2 8 ) 的 右端可精确地“恢复 流量“ ，f ) 在鼍点的值比“，t ) ，这启发我们自然地定义逼 近流量在这点的值为 何力一t 誓警出一誓够出+ 丘厂够出， ( 2 9 ) 以及 似力= c + 1 夕誓警出+ f 誓仍出一f - i 识x 。 ( 2 1 0 ) 这里非常自然朴素的想法是：若见是p 的好的逼近，则( 2 9 ) ，( 2 1 0 ) 的右端 自然应当分别是( 2 7 ) ，( 2 8 ) 的右端的好的逼近。由于本文流量重构算法的基本想 法是通过利用积分形式( 2 9 ) 、( 2 1 0 ) 分别模拟( 2 7 ) 、( 2 8 ) 的途径，确定逼 近流量在空间区域各剖分节点上的值，所以我们称之为积分形式的流量重构算 法。 6 中闷民航大学硕i 学位论文 2 2 半离散算法的合理性分析 在这一节中，我们先讨论计算公式( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 的合理性，然后给出逼近流量 的局部表达式。 所谓合理性是指算法是否满足这样两个条件： 第一，由算法( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 得到的逼近流量是否具有连续性? 第二，由算法( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 得到的逼近流量是否满足局部守恒性? 对于这两个问题的回答都是肯定的。首先，验证逼近流量的连续性。由于逼 近流量是分段线性函数，所以，逼近流量是否具有连续性，决定于逼近流量在空 间区域各剖分节点上是否连续，亦即逼近流量在各剖分节点上由公式( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 确定的两个值何，f ) ，僻，t ) 是否相等! 我们有如下结果。 定理2 1由算法( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 得到的逼近流量在任一剖分节点上具有连 续性，即在任一剖分节点玉a 一1 ，n 一1 ) 上成立 “ ( 巧，f ) 一“ ( 彳，f ) ，f 一1 ，刀- 1 。 ( 2 1 1 ) 证明在式子( 2 2 ) 中，令吼= 够，则有 e 卢誓警出+ e 誓够出； f q 。, d x 。 一 于是有 o p hd 够i 机f 誓晦j ：s 4 h 如 ( 2 1 2 ) 一丘卢誓警址丘誓仍机r q f f f f l x 由( 2 9 ) ，( 2 1 0 ) 知，上式正是僻，t ) 一，t ) 。 注计算( ，t ) r 能用公式( 2 1 0 ) ，同理计算纯，t ) 则只能用公式( 2 9 ) ，因 此逼近流量在区间端点处的连续性自然成立。 由定理2 1 可知，我们可以先通过公式( 2 9 ) 一( 2 1 0 ) 计算出 ，t ) 在 墨，i - o ，1 ，万上的值，然后把各点“，“，f ”，i - o ，1 ，2 ，忍依次连接得到 的连续的分段线性函数即为逼近流量函数 ，t ) ，显然k 我们注意到，从逼近压力的有限元计算格式本身，就可以非常简洁地证明逼 近流量的连续性，并给出整个空间区间域上的逼近流量函数，这说明本文提出的 流量重构算法具有理论分析非常方便的优越性。 其次，我们来验证这种流量逼近算法的局部守恒性质。 7 中国【己航大学颂i j 学位论文 定理2 2 由算法( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 得到阴遏逝流重满足局邵吁但佳庾，b i j 征仕 一空间剖分区域i x , 以，鼍】上成立 f 皇生；一r 至1 出+ f 皿，f ：1 ，2 ，刀 ( 2 1 3 ) j x t d a xj x a _ , o t j x i 、 证明 事实上，注意到在区间【薯4 ，气】上成立仍一，+ 够暑1 ，可得 嘛力吨) 一k 卢a 缸p hd 出c p id r 一丘誓够出+ 丘。，叫 一蛙卢誓警出+ 。誓鲲一i d x j = ：i 厂仍一癣】 t t 卢誓掣出一誓魄。+ 仍协+ 丘，锄以+ 够皿 a t 警出+ 肚 即 j r x , q 学- t 亟o t 出+ 丘触，渊 2 a x j 而- lj 而i 。 亦即( 2 1 3 ) 成立。 最后我们给出逼近流量的局部表达式。由于蚝在 以，t ) 上为线性函数，所 以由定理2 1 ，f 2 1 3 ) 也可写为如下形式 警- - ( 争；+ 五，x x i _ “m ，2 m ( 2 1 4 ) 其中五i 丢e 皿，争5 瓤誓出，即，誓在上的 平均值。于是u 。g ，f ) 有如下局部表达式 比。o ，f ) 。h 。“。，f ) + 【万一( 墼) ，】o 一五以) ，工“以，而)( 2 1 5 ) o t 其中瓴巾f ) 一j = ! l 声誓警出+ 丘誓仍一础一丘厂识一皿 8 中国民航大学硕l 学位论足 2 3 半离散算法的误差分析 p - p s i 龆蚓u p i 隆1 2 + m 。 l| 1s 锄扩” q d f ) 三) i l u - u hl k 。，丁z ? 。j ”：c h l l i i i , 2 。，r 4 j 。 ，+ u p i i l 2 ( o , r 河, ( a , b ) ) + ( f l f p 。0 ：) i + 声学么砖弧f 腓毗南 砧o ，f ) 一“一 ，f ) 一一p o ) 粤巳一“一 d ，f ) 一【五一、( a p h 、月t 1 0 xo t 。o 一毛一。) - 一o ) 罢一警警出一誓够皿+ 砌 一【万一r x 弛8 t j t l j 。o 一五d ) 叫o ) 罢+ 厦誓一丘誓够础+ ( o p h ；恤 ( 2 + 丘，仍一皿一万。 一毛4 ) 一( 厦一声) 罢+ 厦( 誓一挈一警够一皿+ ( 争 吨。) + e 。，仍q 出一z o 一玉4 ) 9 中国民航人学硕士学位论文 其中厦；三一f 声出，f 一1 ，2 ，刀 毛一毛一l j 而一 我1 f j 分别对于( 2 1 7 ) 石躏谷坝近仃佰订。田硒值逼近疋埋及爿1 ( 口，6 ) 阴假 设可得 陪户吼s 乩恤卢卜c h j l 叱l k 酬姚矿 显然 陋誓一烈刮p 1 1 i , s c p h 由s t h w a r t 7 1 不等吉易得 瞬。一h ) l = 醪 一而以) 峥h l l ：l l 再注意到l 够一。1 , 1 ，x “ 而) ，类似可得 瞻舰戤l ls 圳l 。 同理，有 屹誓础h 卧 睁，h 盹 利用三角形不等式及以上各估计式，可得 ) 吨眺墨c h ( i p o 撕+ l i ，i 叫警卜c i p 刮| 1 ，2 ， 于是有 吨绯劬：+ l i ，i i + 劁) + c i p 一见i 。 1 0 中国民航大学硕士学位论文 怯吨啡嘶虬删州+ 刚w i ii i ：+ 蜕蚓p 】。 ( 2 f 1 8 ) 最后估计l i 誓l f ，证明它是有界的。在( 2 2 ) 中，q h = o 优p - - - - 生h ，则有 e 等) + j r 。6 pa 觑p ha 呶s p d 矽h - ( ，挚， l l i o p h1 1 2 + 吾言矿( 挚2 咖( ，争。 又因为 ( ，挚4 1 i i i i 誓日i 争+ i i 1 1 2 ， 所以 - 1 1 3 i i a p 6i i 2 专昙旷卢审2 a x ) 4 1 厂1 1 2 。 整理得 f o i la ，p ，“i i 2 如+ 嚣卢( 警2 出墨瓤盯1 1 2d z + 丑( 警2 出。 从而有 f o i la 。p ，i i 2d 了s 詈f o l lf1 1 2 机瓢卢( 警脑。 综合( 2 1 8 ) 和( 2 1 9 ) ，可得 蜕一研d z ) ；s 锄劬p 。 中国民航人学顺： 学位论文 第三章全离散积分形式的流量重构算法及其误差分析 发展型反应扩散方程( 1 1 ) ，经过前章介绍的半离散有限元方法近似转化为常 微分方程组的初值问题( 2 5 ) ，其中时间变量仍为连续变量称为半离散问题。为了 获得期待的数值解，尚需将前章所得的半离散问题( 2 2 ) 对时间变量进一步离散 化，即建立全离散计算格式。这一章，我们仍以问题( 1 1 ) 为例，主要讨论发展型 反应扩散方程全离散积分形式的流量重构算法及其误差分析。 3 1 全离散算法的基本思想 在这一节中，我们通过有限差分方法进一步把半离散问题( 2 2 ) 完全离散化， 得到问题( 1 1 ) 的全离散积分形式的流量重构算法。我们的主要任务是提出构造全 离散算法的基本思想。 为简便起见，在【0 , t 】上作一个等距剖分0 - t o 乙一。 乙一t ，记 = g 4 ，f f ) ，取时间步长f - t t - t t - l ，= 拓，z - 1 , 2 , ，m ，又记p ，为问题( 1 1 ) 的 真解p ( x ，f ) 在节点岛，f - - 0 ，1 ，2 ，小处的近似值，且f 为p ，在鼍i j f = o ，2 ，疗) 处 的值。则求解问题( 1 1 ) 的全离散向后e u l e r - g a l e r k i n 格式为：求曙， ，i o ，1 ，2 ，m ，使得 掣，吼) + 口( p f ，g ) 。( ，g ) ，吼) ， f 曰，- 1 , 2 ，历，( 3 1 ) p | 跌 此格式是由向后差商瓴g ) 一见g 一。”r 近似方程( 2 2 ) 中的导数慨g ) 出，再将 见g ) 改记为而导出的。不难看出，( 3 1 ) 相对于( 2 2 ) 的局部截断误差为d 0 ) 。 由于k o ) = 是空间砰的一个基底，所以问题( 3 1 ) 又可以表述为：求函数 表达式 一。仇g ，岛) 。荟够o ) ，= o ，1 ，2 ，朋， 使得其中系数 口；料，l o ，1 ，2 ，m ，满足 中国【心航大学硕士学位论文 善彰慨妒) + 口( 哪川2 荟a ；。1 ( 伽抄( 厂，纺) ， j n1 , 2 , - - , n - 1 , l ；1 ，2 ，m ，( 3 2 ) 口? 一r , i = 1 ，2 9 9 n 一1 其中为p o = 仍o ) 的系数。 筒 仍采用标准半离散有限元格式的矩阵记号，贝j j ( 3 2 ) 可改写成 譬州口 盹x b 由此看到，当e l - 1 ( 即口h ) 已知，那么通过求解正定、对称系数矩阵( m + t k ) 的线性代数方程组( 3 3 ) ，即可求出下一时刻的近似解p f ，这是一个隐型格式。由 ( 3 3 ) 知，当p ( 即口o ) 已知，则通过( 3 3 ) 可依次求出，i - 1 , 2 , ，肌，于是得出 问题( 1 1 ) 的真解p o ，f ) 在节点，o ，1 2 ，m 处的近似值。 现在，我们转向讨论逼近流量的格式构造。假设p 的逼近解一已由全离散 向后e u l e r - g a l e r k i n 格式( 3 1 ) 求出，来考虑如何构造逼近流量u 在空间区域各剖 分节点上函数值的计算公式。 对任意取定的某一时刻岛，l - 1 , 2 , ，m ，首先由( 1 1 ) 的两边同乘以仍并在区 间【d ，毛】上分部积分可得 “瓴，) ，一声“) 塑等；t 笔 警出一j 三半够出+ j l ，( f ，) 仍出，( 3 4 ) 若在区间k ，而钉】上分部积分又可得 “，) 一一声“) 塑孚；f 1 卢专争警出+ j 了了a p f t , ) 仍出一j ? ， ) 够出( 3 5 ) 由于“o ，t ) 的连续性，自然( 3 4 ) ，( 3 5 ) 右端的值是相同的。这表明( 3 4 ) 或( 3 5 ) 的 右端可精确地“恢复 流量“g ，) 在鼍点的值h “，) ，这启发我们自然地定义 逼近流量u 7 在这点的值为 中国民航大学硕士学位论文 昨一t 詈警出一e , _ p , _ p , - 1 够出+ 。，( f ，) 够出， ( 3 6 ) 以及 以一r “i ba 魄e ld 戤q 口id x + r “e l i l 1 1 _ 1 够出一r + 1 厂( f f ) 够出 ( 3 7 ) 这里非常自然朴素的想法是：若p f 是p 的好的逼近，则( 3 6 ) ，0 7 ) 的右端自 然应当分别是( 3 4 ) ，( 3 5 ) 的右端的好的逼近。 下面对初值u o 的选取作一下说明。一般地，我们取u o 为“( o ) 在曙上的r 正 交投影，即令u o = 印( o ) ，它由下式唯一确定 缈o ，屹) ；( e o u ( o ) ，v h ) ，曙。 其中，砧( 0 ) 可以按照“( o ) ：一 ) ( p 。o ) ) 获得。 1 4 中国民航大学硕士学位论文 3 2 全离散算法的合理性分析 在这一节中，我们先讨论算法( 3 6 ) ( 3 7 ) 的合理性，然后给出逼近流量的局 部表达式。 所谓合理性是指算法是否满足这样两个条件： 第一，由算法( 3 6 ) 一( 3 7 ) 得到的逼近流量是否具有连续性? 第二，由算法( 3 6 ) ( 3 7 ) 得到的逼近流量是否满足局部守恒性? 对于这两个问题的回答都是肯定的。首先，验证逼近流量的连续性。由于逼 近流量是分段线性函数，所以，逼近流量是否具有连续性，决定于逼近流量在空 间区域各剖分节点上是否连续，亦即逼近流量在各剖分节点上由公式( 3 6 ) ( 3 7 ) 确定的两个值u ! ，u f + 是否相等! 我们有如下结果。 定理3 1由算法( 3 6 ) ( 3 7 ) 得到的逼近流量u 在任一剖分节点上具有连 续性，即在任一剖分节点鼍上成立 啡- 以。 ( 3 8 ) ll 、 证明事实上，在( 3 1 ) 中令q h 一仍，得 e 芦詈誓出+ e 生箬仍出一e 厂g 蛔出 于是有 j ：“型a x 亟d x 出+ ? 竺二 i s 兰仍出一e n 厂g ) 够出 一t 卢等警出一与尝仍出+ 矗厂g ，础 m ( 3 6 ) ，( 3 7 ) 知，上式正是u ，t 一- 啡。 注计算“只能用公式0 7 ) ，同理计算则只能用公式( 3 6 ) ，因此逼近流量 在区间端点处的连续性自然成立。 由定理3 1 可知，我们可以先通过公式( 3 6 ) - ( 3 7 ) 计算出u 1 在鼍，i o ，i ，刀 上的值，然后把各点( 而，彬) ，i 一0 ，1 ，2 ，刀依次连接得到的连续的分段线性函 数即为逼近流量函数u ，显然u 。圪。 我们注意到，从逼近压力的有限元计算格式本身，就可以非常简洁地证明逼 近流量的连续性，并给出整个区间上的逼近流量函数，这说明本文提出的流量重 构算法具有理论分析非常方便的优越性。 其次，我们来验证这种流量逼近算法的局部守恒性质。 中国民航大学硕士学位论文 定理3 2 由算法( 3 6 ) 一( 3 7 ) 得到的逼近流量u 满足局部守恒性质，即在任 一。空间剖分区域k 彬x , l _ k 0 2 立 挚；t 竿d x + j r x t q 厂“渺 f | 1 2 ， ( 3 9 ) j 而1a xj 而- lf 证明事实上，注意到在区间k 以，毛】上成立劬一。+ 够羞1 可得 u - e l 。吖t 卢a 觑e ld 出c p id x 一1 竿够出+ c 。m 叫 一吧罢警出+ 竿够一i d x 一。m 州 。t卢坚掣奴一竺!慨以+够协+r厂q)4+够)axorj 而i , d x j 再- i r 。 j x l i 。 一t 竿出+ m 出 即 丘笔幺一t 竺d x + e ，“渺，z 一1 2 ，一 亦即( 3 9 ) 成立。 最后我们给出流量的局部表达式。由于u 在“羽毛) 上为线性函数，所以由 定理3 2 ，( 3 9 ) 也可写为如下形式 掣一醋+ 丽丽z d ，毛) ，2 ，腮 戤fi 舯丽一壶丘舭，华；a 去丘竿引啪， ! 弓兰在 4 ，毛) 上的平均值。于是u 有如下局部表达式 研。i i _ 1 + 【丽一竽l 肛“x 毛) ( 3 1 0 ) 其中以。；j b 罢警出+ 丘兰仍皿一丘， 娩血 1 6 中l 目民航大学颀：l j 学位论义 3 3 全离散算法的误差分析 在这一节中，我们主要讨论全离散流量重构算法( 3 6 ) ( 3 7 ) 的收敛性，给出 严格的误差估计。n - - n # 中出现的c 均表示与精确压力p 、精确流量“、h 以 及f 均无关的某个正的常数( 可以与已知函数o ) 的范数有关) ，在不同的地方出 现，可以表示不同的值。 对于逼近压力，我们有如下经典的误差分析结剁1 9 1 ： i i 印一p l i + l l l 异p p 忙凸5i l p u 。，l o 渺u 忉蚓：掣z + l | 川| i + 硎剖产 m 回 训等i i 以咄c i “) 1 1 f 4 1 二三型丛型竺：二幽，吼) + 口一助g ) ，吼) i 拦，吼) + 口( ，q 矗) 一垒墅立二必，吼) 一口( 墨p g ) ，吼) ( ，g ) ，吼) 一( 生里鱼上兰丝蜮，吼) 一口( p g ) ，吼) 。( 掣，吼) 一( 丝必，吼) 。掣一号( 丝幽，g ) 在上式中，令吼。1 - p , p c t , ) ，则有 f 1 9 l i 掣1 1 2 一( ! 掣，掣) + 当乜( ，一只p ( ) ，p ，一号p ( f f ) ) 。掣一只掣，生攀 即 嘞，却咖_ 1 1 1 了0 p ( t , ) 嘣熊掣) 1 1 2 + 扣掣1 1 2 于是 詈l i e 却g ) i e s 训1t o p ( t , ) 嘣掣f 二dl 其中) ，为一正的常数。于是有 却啡到警一，( 垃掣) 1 1 2 + 剞掣1 1 2 0 由中值定理及( 3 1 1 ) 可知，j 某岛g 4 ，岛) ，便得 i io p 班( t , ) _ ( 掣悄l 警嘣华忙c i ip i i c i ( 圳。 再由( 3 1 1 ) 可知， 0p 以一j p d ) 8 墨c h 2l i pi i ：。 所以 咿一印 ) 眙仍k m + c 训h 4 p i 睦。 于是 ip f 一即g ) | l s c 石i c 。0 ，洱，( 圳+ c 忑h 2 忪i i ：。 再一次注意到假设c ，j 1 2 印，于是又有 lp ，一即( f 1 ) i l s ( 0 pl i c l 洱- “) ) + l l p l l ：) 。 由三角不等式，可得 ip ，一只p ( f j ) l i qp ，一置p ( f l ，、+ i 最p g ) 一p g ) k 。0 1 7 ) - ：c h ( 1 lp 1 1 ：t ( 。，r 珂t ( 4 乒) ) + l ip i i ：) 最后，将( 3 1 7 ) 代入( 3 1 6 ) 可得 中国民航大学硕士学位论文 m 驯s 劬扩l | 2 + l 龇+ 吲l + f 8 学忙 + c - 圳) 中国民航大学硕 ：学位论文 第四章数值结果 这章我们主要对此类微分方程给出几个具体的例子，用这种流量重构算法进 行数值运算，比较其与真解之间的误差大小，用图表与图形的形式进行对比。 4 1 区域的划分与离散范数的选择 这节我们对空间和时间区域q = 【o ，l l x 0 ，1 0 】进行简单的等距剖分，并以矗表 示空间小区间长度，z 表示时间小区间长度。且用下面的式子计算p 和u 的相对 误差： p e r r r l _ 【善p 瓴，f ) 一见 ，f ) ) 2 】l 尼【善p “，f ) 2 】1 2 ( 4 1 ) l 肋一r l ：_ 【善 “